Az arkhimédészi csőfelületről
|
|
- Ágoston Lukács
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az arkhimédészi csőfelületről Az előző dolgozatban melynek címe: Csaarokról és rokon témákról elkezdtük a csaaros témakör körüljárását. Most folytatjuk a címbeli témáal. A felület definíciója [ 1 ] szerint: Arkhimédész - féle csőfelület keletkezik, ha egy kört úgy mozgatunk, hogy középpontja csaaronalat ír le, és a kör síkja minden helyzetben a csaaronal adott pontbeli érintőjére merőleges. Megjegyezzük, hogy a korábban izsgált meridiánkör - csaarfelület esetén az alkotókör síkja minden helyzetben tartalmazza a csaaronal tengelyét; agyis ha az alkotókör a kezdő helyzetében a függőleges csaartengelyen átmenő síkú ld. előző dolgozat!, akkor bármely helyzetében is az marad. Itt azonban az alkotókör síkja periodikusan áltozó helyzetű. Nem téeszthetők össze! A címbeli felület a gyakorlatban sűrűn előfordul; pl.: ~ sodrott szerkezetekben a huzalok, pászmák; ~ asúti kocsik, autók spirálrugói ; ~ a spirálfüzetek drót - gerince, stb. A spirál szó azért lett idézőjelbe tée, mert a spirál egy síkgörbe - család nee, míg itt nyilán térgörbékről an szó. Ez egy helytelenül elterjedt szóhasználat. Helyesebb a spirálrugó helyett a csaarrugó, hengeres csaarrugó, stb. elneezések használata. 1. ábra Az 1. ábra egy személyautó hengeres csaarrugóját / spirálrugóját mutatja. Forrása: Minthogy az arkhimédészi csőfelület a illamos kábelekben geometriai alapalakzat, ezért nem életlen hogy kábelipari zsebkönyekben, kézikönyekben találkoztunk leginkább a címbeli felület analitikus izsgálatáal [ ], [ 3 ]. Nem elhanyagolhatóak a gépészeti onatkozások sem [ 4 ]. Az alábbiakat főként a [ ] és [ 3 ] munkákra alapozzuk. Célunk: az ismeretterjesztés, a szórakoztatás, alamint a szemléletformálás.
2 Ehhez tekintsük a. ábrát [ 3 ]! Az arkhimédészi csőfelület egyenleteinek felírása. ábra A. ábra szerint a csőfelület egy tetszőleges Q pontjának helyektora az ( Oxyz ) koordináta - rendszerben: ξ r ρ, Q P Q ( 1 ) ahol a korábbiak szerinti (t) t, ( ) z(t) t összefüggésekkel is: r P (t) R cos( t) i R sin( t) j t k, ( 3 ) ρq R ' cos n R ' sin b ; ( 4 )
3 az alkalmazott jelölések: ~ r P : a csaaronal egy P( t ) pontjának helyektora; ~ ρ Q : a csőkeresztmetszet Q pontjának helyektora; ~ ω : a szögsebesség nagysága; ~ ν : a z tengely menti emelkedési sebesség nagysága; ~ t : az eltelt idő; ~ R : a ezérhenger sugara; ~ R : a cső sugara; ~ ψ : szögáltozó a körcső - keresztmetszet síkjában; ~ i, j, k: a x, y, z tengelyek szerinti egységektorok. Most ( 1 ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ξ Rcos( t) i Rsin( t) j tkr ' cos nr ' sin b. ( 5 ) Az ( 5 ) képlet többféle egységektort tartalmaz, így fel kell írni az n n( i, j, k), ( 6 ) b b( i, j, k) összefüggéseket is. Ennek érdekében felidézzük a szükséges ektor - összefüggéseket a ( t, n, b ) kísérő triéder - egységektorok és a csaaronal r( t ) helyektorának idő szerinti deriáltjai között [ 3 ], [ 5 ]. A P pont a csaaronal mentén ( t ) sebességű és a( t ) gyorsulású mozgást égez: dr d (t) r (t) R cos( t) i R sin( t) jtk dt dt ( 7 ) Rsin( t) i Rcos( t) jk ; d d r a r i j dt dt (t) (t) R cos( t) R sin( t) ; ezek nagysága / abszolút értéke: 3 ( 8 ) r (t) R állandó, ( 9 ) a (t) R állandó. a ( 10 ) Ezután égezzünk el néhány átalakítást! dr dr ds (t) t t, ( 11 ) dt ds dt ahol: ~ s = s( t ) : a pályabefutás függénye; ~ t : az érintő egységektor; ~ : az eredő sebesség nagysága. Most ( 11 ) - ből:
4 4 (t) r (t) t(t). (t) r (t) Majd ( 7 ), ( 9 ), ( 1 ) - el: ( 1 ) Rsin( t) i R cos( t) j k t(t) R R R sin( t) i cos( t) j k. R R R ( 13 ) Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Az ábra szerint is: dskör d d xy xy R R R R, ( 14 ) dt dt dt dz z, ( 15 ) dt R, ( 16 ) xy z
5 5 xy cos, R R z sin. R ( 17 ) ( 18 ) Az utóbbi két képletben és a 3. ábrán α a csaaronal menetemelkedési szöge. Most ( 13 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal: t(t) cossin( t) i coscos( t) jsin k. ( 19 ) A ( 19 ) képlet a t érintő egységektor kifejezése az ( Oxyz ) rendszer egységektoraial. Folytata a deriálást, ( 11 ) - ből: d (t) d d d t a t t ; ( 0 ) dt dt dt dt látjuk, szükség lesz t deriáltjára is. Ehhez tekintsük a 4. ábrát [ 5 ]! 4. ábra A 4. ábra bal oldali része azt szemlélteti, hogy a térgörbe két szomszédos, P és P pontja, melyek a pálya mentén ds R g d ( 1 ) ítáolságra annak egymástól, alamint t és t érintő egységektorokkal bírnak, benne annak a két érintő egységektort tartalmazó simulósíkban. A 4. ábra jobb oldali része azt szemlélteti, hogyan iszonyulnak egymáshoz egy e egységektor és annak de nöekménye. Ugyanis az egységektorra fennáll, hogy e 1, ( a ) azaz: e ee e e cos , ( b ) így az utóbbi kapcsolat idő szerinti deriálásáal:
6 6 d d e e e 0, ( c ) dt dt ami azt mondja, hogy az egységektor és deriált ektora merőlegesek egymásra. Ekkor a jobb oldali ábrarész szerint: de e d 1 d d. ( d ) Eszerint: de d. dt dt Fentiek szerint: ha e = t, akkor de = dt, amely ~ normális irányú, ~ d hosszúságú, tehát: dt d n. ( ) Most ( ) - el is: dt dt d d n. ( 3 ) dt d dt dt Ámde ( 1 ) - gyel is: d d ds 1, ( 4 ) dt ds dt R így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: dt 1. dt R g g n ( 5 ) Az újabb jelölések: ~ n : a görbe normális egységektora; ~ R g : a görbületi sugár; ~ S : a térbeli íhossz. Ezután ( 0 ) és ( 5 ) - tel: d dt d r t t n. ( 6 ) dt dt dt R g Most képezzük az alábbi mennyiséget, ( 11 ) és ( 6 ) felhasználásáal! 3 d d r r t. dt t R n g dt t t R t n g Figyelembe ée, hogy t t 0, t n b, ( e ) ( 7 ) ( 8 )
7 így ( 7 ) és ( 8 ) - cal: r r R Innen: 3 g b. 7 ( 9 ) r r b. r r ( 30 ) Végül ( 1 ) és ( 30 ) - cal: r r r r r r n b t r r r r r r. ( 31 ) Most már kiszámíthatjuk a ( 6 ) kifejezéseket is. Először ( 7 ) és ( 8 ) - cal: R sin( t) R cos( t) R cos( t) R sin( t) r r i j k i j j i k i i j k j 3 3 R cos ( t) Rcos( t) R sin ( t) R sin( t) 3 R cos ( t) sin ( t) k j R cos( t) i Rsin( t) 3 R sin( t) i Rcos( t) j R k. Toábbá ( 16 ) és ( 3 ) - el: r r 3 R sin( t) R cos( t) R R sin ( t) cos ( t) R R R R R R R R, ( 3 ) ( 33 ) majd ( 3 ) és ( 33 ) - mal: 3 r r R sin( t) i R cos( t) j R k r r R R ( 34 ) sin( t) i cos( t) j k ; most ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ), ( 30 ), ( 34 ) - gyel: b(t) sin sin( t) i sin cos( t) j cos k. ( 35 ) Ezután ( 19 ), ( 31 ) és ( 35 ) - tel: n b t sin sin( t) i sin cos( t) j cos k cos sin( t) i cos cos( t) j sin k sin sin( t) i cossin( t) i coscos( t) jsink sin cos( t) j cossin( t) i coscos( t) jsin k cosk cossin( t) i coscos( t) jsin k ; folytata:
8 8 n sin sin( t) coscos( t) i j sin sin( t) i k j i j k +sin cos( t) cossin( t) sin cos( t) k i k j cos sin( t) cos cos( t) ; toább folytata: n i sin cos( t) cos cos( t) j sin sin( t) cos sin( t) k sin sin( t) coscos( t) sin cos( t) cossin( t) ; még toább: n i cos( t) sin cos sin( t) sin cos j k0 i cos( t) jsin( t), tehát: n(t) cos( t) i sin( t) j. ( 36 ) Most ( 5 ), ( 35 ) és ( 36 ) - tal: ξ Rcos( t) i R sin( t) j tk R ' cos n R ' sin b R cos( t) i R sin( t) j t k R ' cos cos( t) i sin( t) j R ' sin sin sin( t) i sin cos( t) j cos k ; folytata: ξ i R cos( t) R ' cos cos( t) R ' sin sinsin( t) j R sin( t) R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t) k t R ' sin cos ; rendeze: ξ i R R ' cos cos( t) R ' sin sin sin( t) j R R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t) k t R ' cos sin. Azonban: ( 37 ) ξ(t, ) x(t, ) i y(t, ) j z(t, ) k, ( 38 ) így ( 37 ) és ( 38 ) összehasonlításából:
9 9 x(t, ) R R ' cos cos( t) R ' sin sin sin( t), y(t, ) R R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t), z(t, ) t R ' cossin. ( 39 ) A ( 37 ), illete a ( 38 ) ~ ( 39 ) egyenletek írják le az arkhimédészi csőfelületet, részben geometriai, részben mechanikai mennyiségekkel. A tisztán geometriai mennyiségekkel aló leíráshoz együk a korábban is alkalmazott z(t) t, ( ) (t) t mennyiségeket! Ha egy körülfordulás megtételéhez T idő kell, akkor ez idő alatt a P pont éppen h menetmagasságnyit emelkedik a z tengely mentén, azaz ( ) - el is: z(t) T h, ( 40 ) (t) T ; innen T kiküszöböléséel: h ; ( 41 ) most ( ) és ( 41 ) - gyel: h h z(t) t t (t), ( 4 ) agy a t áltozót elhagya és z( t ) = s régi jelöléssel: h s( ). ( 43 ) Majd ( 39 ), ( 4 ), ( 43 ) - mal: x(, ) R R ' cos cos R ' sin sin sin, y(, ) R R ' cos sin R ' sin sin cos, ( 44 ) h z(, ) R ' cossin. A csaaronal egy menetének síkba fejtéséel adódó derékszögű háromszögből ld. 5. ábra, melynek forrása [ 4 ]! : h tg, R ( 45 ) innen:
10 10 h R tg. Most ( 44 ) és ( 46 ) - tal: x(, ) R R ' cos cos R ' sin sin sin, y(, ) R R ' cos sin R ' sin sin cos, z(, ) R tg R ' cossin. 5. ábra ( 46 ) ( 47 ) A különféle egyenlet - áltozatok felírása után térjünk rá a felület keresztmetszeti görbéjének tanulmányozására! A z(, ) 0 álasztással ( 47 ) - ből: R tg R sin sin. R ' cos R ' cos Ezzel: R ' cos R sin cos 1sin 1. ( 48 ) ( 49 ) Most ( 47), ( 48 ), ( 49 ), - cel:
11 11 R sin x( ) R R ' 1 cos R tg sin, R ' cos R sin y( ) R R ' 1 sin R tg cos. R ' cos Más alakban: x( ) R ' R sin 1 1 cos tg sin, R R R ' cos y( ) R ' R sin 1 1 sin tg cos. R R R ' cos ( 50 ) ( 51 ) Ez a z = 0 keresztmetszeti görbe paraméteres egyenletrendszere. A φ paraméter azonban nem ehet fel tetszőleges értékeket; a korlát: a négyzetgyök alatt nem állhat negatí szám. Ennek a feltételnek a kifejezése: R sin 1 0, R ' cos azaz: R sin 1, R ' cos R ' cos R sin R ' cos *, R sin, tehát: * *. ( 5 ) Beezete az x( ) y( ) R ' ( ), ( ), ' ( 53 ) R R R jelöléseket, ( 51 ) és ( 53 ) - mal:
12 1 1 sin ( ) 1 ' 1 cos tg sin, ' cos 1 sin ( ) 1 ' 1 sin tg cos. ' cos ( 54 ) Egy példa adatai: α = 15 ; ρ = 0,5; ezekkel φ* = 0, ( rad ). A Graph programmal készített rajz a 6. ábrán szemlélhető. 0.8 éta(fi) kszi(fi) x(t)=(1-0.5*sqrt(1-( *t)^))*cos(t) *t*sin(t), y(t)=(1-0.5*sqrt(1-( *t)^))*sin(t) *t*cos(t) x(t)=(1+0.5*sqrt(1-( *t)^))*cos(t) *t*sin(t), y(t)=(1+0.5*sqrt(1-( *t)^))*sin(t) *t*cos(t) Az összetartozó 6. ábra ( ), ( ) pároknál a gyökjel előtt ugyanaz az előjel szerepel. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Reméljük, céljainkat is elértük. Úgy - e, szép karácsonyi ajándékot adtunk magunknak? Köszönet érte mindenkinek, akit illet.
13 13 Irodalom: [ 1 ] Hajdu Endre ~ H. Temesári Ágota: Konstruktí geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, [ ] Kábel Zsebköny, II. kötet Magyar Kábel Műek, 197. (. kiadás ) [ 3 ] Szerk. Hoffmann Pál: MKM Kábelipari Kéziköny I / 1. Prodinform Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, [ 4 ] Szerk. Sz. D. Ponomarjo: Szilárdsági számítások a gépészetben,. kötet: Rudak. Rugók. Műszaki Könykiadó, Budapest, [ 5 ] Budó Ágoston: Mechanika Tankönykiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 010. december 4. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár
Vontatás III. A feladat
Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat
RészletesebbenA csavarvonal axonometrikus képéről
A avarvonal axonometrikus képéről Miután egyre jobban megy a Graph ingyenes függvény - ábrázoló szoftver használata, kipróbáltuk, hogy tudunk - e vele avarvonalat ábrázolni, axonometrikusan. A válasz:
RészletesebbenA kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről
1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,
RészletesebbenSzökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:
Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
RészletesebbenAz elliptikus hengerre írt csavarvonalról
1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
RészletesebbenEgy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.
Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban
RészletesebbenForogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.
1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton
RészletesebbenA Cassini - görbékről
A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a 17-18 században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is
RészletesebbenFa rudak forgatása II.
Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve
RészletesebbenKosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.
osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenAz éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
RészletesebbenSíkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya
Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya Két korábbi dolgozatunkban melyek címe és azonosítója: [KD ]: Egy érdekes feladat, [KD ]: Egy másik érdekes feladat azt vizsgáltuk, hogy egy csuklós rúdnégyszög milyen
RészletesebbenA ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét
A ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét A szabadforgácsolást [ 1 ] az alábbiak szerint definiálja, ill. jellemzi. Ha a forgácsolószerszám élének minden pontjában a forgácsolási
RészletesebbenA hordófelület síkmetszeteiről
1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük
RészletesebbenEgy általánosabb súrlódásos alapfeladat
Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat Az előző dolgozatunkban címe: Egy súrlódásos alapfeladat, jele: ( E D ) tárgyalt probléma általánosítása az alábbi, melynek forrása [ 1 ]. Tekintsük az 1. ábrát!
RészletesebbenÉrdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
RészletesebbenFiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot
RészletesebbenA loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
RészletesebbenA fatörzs és az ágak alakjának leírásához. Szétnéztünk az interneten. A lábon főleg a szabadon álló fák alakja meglehetősen bonyolult; pl.: 1. ábra.
A fatörzs és az ágak alakjának leírásához Szétnéztünk az interneten A lábon főleg a szabadon álló fák alakja meglehetősen bonyolult; pl.: 1. ábra. 1. ábra forrása: http://images.honlapepito.hu/?modul=oldal&tartalom=1130507
RészletesebbenA magától becsukódó ajtó működéséről
1 A magától becsukódó ajtó működéséről Az [ 1 ] műben találtunk egy érdekes feladatot, amit most mi is feldolgozunk. Az 1. ábrán látható az eredeti feladat másolata. A feladat kitűzése 1. ábra forrása:
RészletesebbenA főtengelyproblémához
1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási
RészletesebbenA lengőfűrészelésről
A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású
RészletesebbenA közönséges csavarvonal érintőjének képeiről
A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről Már régóta rajzoljuk a táblára a közönséges csavarvonal vetületeinek és síkba teríté - sének ábráit, a Gépészeti alapismeretek tantárgy óráin. Úgy tűnik, itt
RészletesebbenEgy háromlábú állvány feladata. 1. ábra forrása:
1 Egy háromlábú állvány feladata Az interneten találtuk az alábbi versenyfeladatot 1. ábra Az egyforma hosszúságú CA, CB és CD rudak a C pontban gömbcsuklóval kapcsolódnak, az A, B, D végükön sima vízszintes
RészletesebbenEgy kinematikai feladathoz
1 Egy kinematikai feladathoz Az [ 1 ] példatárból való az alábbi feladat. Egy bütyök v 0 állandó nagyságú sebességgel halad jobbról balra. Kontúrjának egyenlete a hozzá kötött, vele együtt haladó O 1 xy
RészletesebbenA térbeli mozgás leírásához
A térbeli mozgás leírásához Az idők során már többször foglalkoztunk a címbeli témával; az előzmények vagyis a korábbi dolgozatok: ~ KD : Az R forgató mátrix I Az R forgató mátrix II ~ KD : A véges forgatás
RészletesebbenVonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra
1 Vonatablakon át Sokat utazom vonaton, és gyakran elnézem a vonatablakon át a légvezeték(ek) táncát. Már régóta gondolom, hogy le kellene írni ezt a látszólagos mozgást. Most erről lesz szó. Ehhez tekintsük
RészletesebbenEgy érdekes statikai - geometriai feladat
1 Egy érdekes statikai - geometriai feladat Előző dolgozatunkban melynek címe: Egy érdekes geometriai feladat egy olyan feladatot oldottunk meg, ami az itteni előtanulmányának is tekinthető. Az ottani
RészletesebbenNéhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )
1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai
RészletesebbenEgy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
RészletesebbenKeresztezett pálcák II.
Keresztezett pálcák II Dolgozatunk I részéen a merőleges tengelyű pálcák esetét vizsgáltuk Most nézzük meg azt az esetet amikor a pálcák tengelyei nem merőlegesen keresztezik egymást Ehhez tekintsük az
RészletesebbenTovábbi adalékok a merőleges axonometriához
1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés
RészletesebbenA ferde tartó megoszló terheléseiről
A ferde tartó megoszló terheléseiről Úgy vettem észre az idők során, hogy nem nagyon magyarázták agyon azt a kérdést, amivel itt fogunk foglalkozni. Biztos azt mondják majd megint, hogy De hisz ezt mindenki
RészletesebbenEllipszis átszelése. 1. ábra
1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva
RészletesebbenHenger és kúp metsződő tengelyekkel
Henger és kúp metsződő tengelyekkel Ebben a dolgozatban egy forgáshenger és egy forgáskúp áthatását tanulmányozzuk abban az egyszerűbb esetben, amikor a két test tengelye egyazon síkban fekszik, vagyis
RészletesebbenEgy kinematikai feladat
1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú
RészletesebbenA Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.
1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert
RészletesebbenA véges forgatás vektoráról
A véges forgatás vektoráról Az idők során sokszor olvastuk azt a mondatot a mechanika - könyvekben hogy a végtelen kis szögelfordulások az elemi forgások vektornak tekinthetők [ ] Természetesen adódik
RészletesebbenAszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.
1 Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt az A és B pontok egy nyeregtető oromfali ereszpontjai, a P pont pedig a taréj pontja. Az ereszek egymástól való távolságának
RészletesebbenRugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz
RészletesebbenSzabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással
Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással Előző dolgozatunkban jele: ( E ), címe: Szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása
RészletesebbenFelső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
RészletesebbenForgatónyomaték mérése I.
Forgatónyomaték mérése I Bevezetés A forgatónyomaték az erőpár mint statikai alapalakzat jellemzője A nevéből is következően a testekre forgató hatást fejt ki Vektormennyiség, melyet az M = a x F képlettel
RészletesebbenIsmét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]
1 Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról Az 1. ábrával már korábban is találkozhatott az Olvasó. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen azt láthatjuk, hogy bizonyos esetekben a fűrészelt fagerenda a
RészletesebbenEgy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása
1 Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere Az egyenletek felírása Korábbi dolgozataink már mintegy előkészítették a mostanit; ezek: ~ KD - 1: Általános helyzetű
RészletesebbenA kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról
1 A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról Sok korábbi dolgozatunkban foglalkoztunk kötélstatikai feladatokkal. Ez a mostani azon - ban még nem került szóba. A feladat: az egyenes körhengerre feltekert,
RészletesebbenA szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
RészletesebbenEgy geometriai szélsőérték - feladat
1 Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő
RészletesebbenA csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról
A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz
RészletesebbenEgy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.
1 Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen egy út tengelyvonalának egy pontjában tüntették
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
RészletesebbenVégein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.
1 Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó. A feladat Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 1. ábra forrása:
RészletesebbenT s 2 képezve a. cos q s 0; 2. Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról
Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról Úgy találjuk, hogy a kötelek statikájának népszerűsítése egy soha véget nem érő feladat. Annyi szép dolog tárháza
RészletesebbenA rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről
1 A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről Előző dolgozatunkban melynek címe: A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről felírtuk az általánosabb helyzetű ellipszis mint
RészletesebbenKerék gördüléséről. A feladat
1 Kerék gördüléséről Nemrégen egy órán szóba került a címbeli téma, középiskolások előtt. Úgy látszott, nem nagyon értik, miről van szó. Persze, lehet, hogy még nem tartottak ott, vagy csak aludtak a fizika
RészletesebbenÉrdekes geometriai számítások 10.
1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más
RészletesebbenA Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenA merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről
1 A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről Most néhány régebben már megbeszélt összefüggés újabb igazolását adjuk meg, illetve más, eddig még nem látott képlet - alakokat állítunk elő.
RészletesebbenEllipszissel kapcsolatos képletekről
1 Ellipszissel kapcsolatos képletekről Előző dolgozatunkban melynek címe: A Lenz - vektorról viszonylag sokat kellett ellipszissel kapcsolatos képletekkel dolgozni. Ennek során is adódott pár észrevételünk,
RészletesebbenAz eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész. Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete
1 Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete Az alábbi ábrát találtuk az interneten 1. ábra 1. ábra forrás( ok ): http://www.sema-soft.com/de/forum/files/firstpfettenverschiebung_432.jpg
RészletesebbenEllipszis perspektivikus képe 2. rész
1 Ellipszis perspektivikus képe 2. rész Dolgozatunk 1. részében nem mentünk tovább a matematikai kifejtésben. Ezzel mintegy felhagytunk a belső összefüggések feltárásával. A jelen 2. részben megkíséreljük
RészletesebbenA gúla ~ projekthez 2. rész
1 A gúla ~ projekthez 2. rész Dolgozatunk 1. részében egy speciális esetre a négyzet alapú egyenes gúla esetére írtuk fel és alkalmaztuk képleteinket. Most a tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög alakú
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenA kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése
A kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése Bevezetés A Hooke -, vagy Kardán - csukló a gyakorlatban széles körben elterjedt gépelem. Feladata a forgó mozgás átszármaztatása
RészletesebbenA konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról
1 A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról Előző dolgozatunk melynek címe: Ha az évgyűrűk ellipszis alakúak lennének készítése során böngész - gettük az
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
RészletesebbenEgy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként
1 Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás
RészletesebbenCsúcsívek rajzolása. Kezdjük egy általános csúcsív rajzolásával! Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Csúcsívek rajzolása Előző dolgozatunk kapcsán melynek címe: Íves nyeregtető főbb számítási képleteiről találkoztunk a csúcsívvel, mint az építészetben igen gyakran előforduló vonalidommal. Most egy másik
RészletesebbenCsavarokról és rokon témákról
Csavarokról és rokon témákról A Gépészeti alapismeretek tantárgy tanítása / tanulása során megbeszéljük a csavarvonal és a csavarmenet származtatását, például mozgásgeometriai alapon. Azonban ez talán
RészletesebbenFénypont a falon Feladat
Fénypont a falon 3. Dolgozat - sorozatunk. és. részében két speiális eset vizsgálatát részleteztük. Itt az általánosabb síkbeli esettel foglalkozunk, főbb vonalaiban. Ehhez tekintsük az. ábrát is! 3. Feladat.
RészletesebbenA tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához
1 A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához Bevezetés Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1 Itt azt szemlélhetjük, hogy hogyan lehet el - kerülni egy épület tűzfalának eláztatását. A felső ábrarészen
RészletesebbenEgy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.
1 Egy újabb térmértani feladat Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra. Úgy látjuk, érdekes és tanulságos lesz végigvenni. 2 A feladat Egy szabályos n - szög alapú
RészletesebbenAz ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról
1 Az ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról Előző dolgozatunkban melynek címe: ED: Az ötszög keresztmetszetű élszarufa σ - feszültségeinek számításáról elkezdtük / folytattuk
RészletesebbenEgy sajátos ábrázolási feladatról
1 Egy sajátos ábrázolási feladatról Régen volt, ha volt egyáltalán. Én bizony nem emlékszem a ferde gerincvonalú túleme - lés ~ átmeneti megoldásra 1. ábra az ( erdészeti ) útépítésben. 1. ábra forrása:
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenEgy variátor - feladat. Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Egy variátor - feladat Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! A feladat 1. ábra forrás: [ 1 ] Egy súrlódó variátor ( fokozatmentes
RészletesebbenChasles tételéről. Előkészítés
1 Chasles tételéről A minap megint találtunk valami érdekeset az interneten. Az [ 1 ] tankönyvet, illetve an - nak fejezetenként felrakott egyetemi internetes változatát. Utóbbi 20. fejezetében volt az,
RészletesebbenEllipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
RészletesebbenÉlesmenetű csavar egyensúlya másként
Élesmenetű csavar egyensúlya másként A szakirodalom ld pl: [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] tanulmányozása során feltűnt, hogy ~ leginkább a laposmenetű csavar erőjátékának vizsgálatát közlik, annak egyensúlyi
RészletesebbenNem párhuzamosan, de szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet főbb geometriai jellemzőinek meghatározása számítással. Bevezetés
Beezetés Nem párhuzamosan de szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet főbb geometriai jellemzőinek meghatározása számítással A befoglaló köréből alamilyen gyengítéssel kialakított az előzőekben már tanulmányozott
RészletesebbenA kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról
1 A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról Az idők során már többször eszünkbe jutott, hogy foglalkozni kellene a címbeli témával. Különösen akkor, amikor olyan függvényábrákat találtunk, melyek
RészletesebbenKúp és kúp metsződő tengelyekkel
Kúp és kúp metsződő tengelyekkel Előző dolgozatainkban [ ED ], [ ED ], [ ED 3 ], [ED 4 ] már láttuk, hogyan lehet meghatározni a két legegyszerűbb forgástest a henger és a kúp áthatási görbéinek egyenleteit.
RészletesebbenA felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.
1 A felcsapódó kavicsról Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez azért is érdekes, mert autóvezetés közben már többször is eszünkbe
RészletesebbenKerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról
1 Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról Előző dolgozatunkban melynek címe: A kerekes kútról a végén azt írtuk, hogy Az elengedett vödör a saját súlya hatására erősen felgyorsulhatott. Ezt személyes
RészletesebbenA csavart oszlop előállításáról
1 A csavart oszlop előállításáról Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről felírtuk a szakirodalom - ban ld. pl.: [ 1 ]! csavart oszlop néven
RészletesebbenFüggőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához
1 Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához Az interneten való nézelődés során találkoztunk az [ 1 ] művel, melyben egy érdekes és fontos feladat pontos(abb) megoldásához
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenA középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak
A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól [ 1 ] : Az ugyanazon
RészletesebbenA csavarvonalról és a csavarmenetről
A csavarvonalról és a csavarmenetről A témáoz kapcsolódó korábbi dolgozatunk: Ricard I. A Gépészeti alapismeretek tantárgyban a csavarok mint gépelemek tanulmányozását a csavarvonal ismertetésével kezdjük.
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenKecskerágás már megint
1 Kecskerágás már megint Az interneten találtuk az újabb kecskerágós feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] A feladat ( kicsit megváltoztatva az eredeti szöveget ) Egy matematikus kecskét tart a kertjében.
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Részletesebben