Nem párhuzamosan, de szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet főbb geometriai jellemzőinek meghatározása számítással. Bevezetés

Átírás

1 Beezetés Nem párhuzamosan de szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet főbb geometriai jellemzőinek meghatározása számítással A befoglaló köréből alamilyen gyengítéssel kialakított az előzőekben már tanulmányozott keresztmetszeteket és hiatkozási jelüket az ábra foglalja össze [ ED ] [ ED ] [ ED ] [ ED ] ábra Tény hogy a kört szinte égtelen sokféle módon csonkolhatjuk majd az így előálló keresztmetszetek adatainak könytára egyre több nehézség leküzdéséel elkészíthető Nyilánaló hogy nem sok gyakorlati haszna an a tetszőlegesen csonkolt körök tanulmányozásának Ami haszon az főleg eli jellegű: példát mutat arra hogy a felhasználónak nem kell a szakirodalom kiszolgáltatottjának maradnia Egy másik ér az elköetkezendők mellett didaktikai: jó ha a tanuló látja hogy az iskolában tanult ismeretekkel azokat komplex módon hasznosíta milyen újszerű feladatok megoldására is állalkozhatunk Már ha nem sajnáljuk rá az időt és az energiát A jelen dolgozat tárgyát a ábrán szemlélhetjük ábra

2 A keresztmetszeti síkidom úgy áll elő hogy az sugarú körből két körszeletet eltáolítunk a kör egy átmérőjére néze tükörkép - helyzetű e és f egyenesű szelőkkel Ez az átmérő a síkidom szimmetriatengelye ezen helyezkedik el súlypontja is A szelők a szimmetriatengellyel α szöget zárnak be A szelők az M pontban metszik egymást A ábrán megadtuk az egyenesek u tengelymetszeteit is Számításainkat egy ( O x y ) derékszögű ill ( O r φ ) síkbeli polárkoordináta - rendszerben égezzük ahol O a kör középpontja Az egyszerűség kedéért a keresztmetszet síkidomát ék - nek neezzük A képletek leezetése Feladat: Adott: u Keresett: h a A x S I u I K u K Megoldás: Először: azt tisztázzuk hogy a bemenő adatok mely kombinációi értelmesek számunkra agyis milyen keresztmetszet - alakokat onunk be a izsgálatba Ehhez tekintsük a ábrát is! ábra

3 a) ögzített u mellett: az e szelő határhelyzete az e* érintő agyis fennáll hogy 0 u * ( ) ahol sin * tehát u * arcsin ( ) u Fennáll még hogy cos * * innen a fentiekkel is: * cos * sin * u * ; u agyis előírjuk hogy tehát 0 * ( ) Ha kikötjük hogy * éges maradjon akkor ( ) szerint kell hogy u ( 5 ) teljesüljön b) ögzített mellett: az e szelő határhelyzete az e** szelő; ekkor ugyanis biztosítjuk hogy az ék keskenyebbik égének legalább egy pontja az sugarú körön legyen Így elkerüljük azokat az elfajuló eseteket amelyekre a ábra mutat példákat Fennáll hogy tg ( 6 ) u tg ** tehát ** arctg ; ( 7 ) ( )

4 ezzel előírjuk hogy ábra 0 ** ( 8 ) Fentiekből köetkezik hogy u** u ( 9 ) ahol u ** ( 0 ) Fentiek megmutatják hogy a keresztmetszeti alak illete az alapető paraméterek megadásánál nagy gonddal kell eljárni Másodszor: meghatározzuk az ék sarokpontjainak a szögkoordinátáit mert ezek adják az integrálási határokat Ehhez tekintsük az 5 ábrát! A sarokpontok a befoglaló kör és a szelő egyenesek metszéspontjai / közös pontjai ezért kielégítik mindkét síkidom egyenletét; utóbbiakat polárkoordinátás alakban írjuk fel A kör egyenlete: r k ( ) ( ) A szelő egyenlete az 5 ábra alapján: p p cos cos r sz ( ) cos sin cos cos tehát cos r sz( ) ( ) sin Most ( ) és ( ) egyenlőé tételéel:

5 5 5 ábra cos majd innen: sin cos sin ( ) A ( ) egyenletnek két megoldása an tekintettel a sin sintrigonometriai összefüggésre; ezek: cos arcsin ( ) cos arcsin ( 5 ) Most megint az ábra alapján: tg ( 6 ) u innen: arctg u ( 7 )

6 6 Majd felhasznála hogy cos ( 6 ) - ból is: tg cos u Ezek után ( ) ( 5 ) ( 7 ) ( 8 ) - cal: arctg arcsin ; u u arctg arcsin u u ( 8 ) ( 9 ) ( 0 ) A ( 9 ) és ( 0 ) képletek már a bemenő adatokkal adják az integrálási határokat Harmadszor: felírjuk az integrálok meghatározásánál köetendő sémát Ez az alábbi: d d d d ; cos r( ) = ; r( ) = ; r( ) = sin ( ) 0 ( ) Negyedszer: elégezzük a számításokat ) A h húrmagasság meghatározása Ehhez tekintsük a 6 ábrát is!

7 7 6 ábra h p cos u h u tehát ( / ) ( ) Alakítsunk a nyílmagasság képletén! ( ) - ből: h u majd h u égül h cos u D ( )

8 8 ) Az a húrhossz meghatározása Ismét a 6 ábráról: a p tg ; ( ) most az 5 és a 6 ábra összehasonlításából: ( ) majd ( ) és ( ) - gyel is: a p tg cos tg tg ; ( 5 ) u ezután ( 9 ) és ( 0 ) - szal: arcsin innen: u arcsin ; u ezzel: u tg arcsin u égül ( 5 ) és ( 6 ) - tal: tg tg arcsin ; (! ) ( 6 )

9 9 u a tg arcsin u ( 7 ) A ( ) és ( 7 ) képletek a bemenő adatokkal fejezik ki a keresett mennyiségeket Jaasoljuk az Olasónak hogy a fenti szögösszefüggéseket keresse meg az 5 ábrán; például a (! ) szerinti szöget is! Alakítsunk a húrhossz képletén! Átmenetileg jelöljük U - al a neező arcsin - os részét! U arcsin u ( ) Most ( 7 ) neezője: sin U sin U u tgu ; cos U sin U u ( ) Most a ( 7 ) és ( ) képletekkel:

10 0 u a cos u u u ( ) Ezután a ( ) és ( ) képletekkel: h h h a D D D D tehát h h a D D D ( 8 ) A ( 8 ) képlet megegyezik az [ ED / ( 6 7 )] képleteiel adódó képlettel Látjuk hogy célszerű lehet a ( ) helyettesítés az áttekinthetőség fokozása és a korábbi eredményekkel aló összehasonlíthatóság égett ) Az ék A keresztmetszeti területének alamint x S y S súlypont - koordinátáinak meghatározása Minthogy az S súlypont a szimmetriatengelyen fekszik ezért y 0 ( 9 ) S Az x S koordináta meghatározásához tekintsük a 7 ábrát! A feltétel: S u da 0 ( 0 ) (A) észleteze a 7 ábra szerint is:

11 7 ábra u cos x S; ( ) most ( 0 ) és ( ) - gyel: u da cos xsu da cos da x S da 0 innen: (A) (A) (A) (A) cos da (A) x S (A) da ( ) ( ) neezője azaz a keresztmetszeti terület: r( ) A da d d r ( ) d (A) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) - at átíra:

12 ( ) A r ( ) d ( ) Most ( ) és ( ) - gyel: cos A r ( ) d d d d ; sin ( ) 0 egyszerűsíte: ( 5 ) cos sin 0 ( 6 ) A d d d I I I Kifejte: 0 tehát: I d d I ; ( 7 ) hasonlóan: I ; ( 8 ) égül: cos I d cos d ; a ( 9 ) - ben szereplő integrálban a : d d d helyettesítéseket elégeze: sin sin ( 9 ) sin d d ; sin ( 0 ) ( ) most integráltáblázatból ld pl: [ ]! : d ctg ( ) sin így ( ) és ( ) - el: ctg ctg ctg ctg ( ) d sin majd isszatére az eredeti áltozóra ( 0 ) ( ) ( ) - mal:

13 d ctg ctg ; ( ) sin ezután ( 9 ) és ( ) - gyel: I cos ctg ctg ( 5 ) Most ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 5 ) - tel: A cos ctg ctg ; ( 6 ) rendeze: cos A ctg ctg ( 7 ) Felidéze hogy arcsin ( 8 ) u cos ( 9 ) u u arcsin u ( 50 ) arcsin u ( 5 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 50 ) ( 5 ) - gyel kapjuk hogy

14 u u u u Toább alakíta: A arcsin ctg arcsin ctg arcsin A arcsin ctg arcsin u u u Még toább alakíta: u A arcsin ( 5 ) u tg arcsin u Most ( 5 ) - t a ( ) képlet szerint átíra: sin U A U U sin Ucos U tgu ( 5 ) U sin U sin U Majd ( 5 ) és ( 5 ) - mal: u u u A arcsin ( 5 )

15 5 Az ( 5 ) képlet az ék keresztmetszeti területét adja a bemenő adatok függényében Most alkalmazzuk ( ) - ot ( 5 ) - re! h h h A arcsin ; D D D ( 55 ) elégeze a h h h h h D D D D D ( 56 ) kifejtést ( 55 ) és ( 56 ) - tal: D h h h h A arcsin D D D D ( 57 ) Úgy tűnik az ( 57 ) képlet tetszetősebb mint ( 5 ) bár nem a bemenő adatokkal készült A korábbiakban ld: [ ED / ( 9 ) ] : D h h A arcsin sin arcsin D D ( ED / 9) Átalakíta: D h h A arcsin sin arcsin D D D h h h arcsin sin arcsin cos arcsin D D D D h h h arcsin cos arcsin D D D D h h h arcsin D D D D h arcsin h h h D D D D ami egyezik ( 57 ) - tel

16 6 Megjegyzések: M A húrhossz és a keresztmetszeti terület egyezése a szimmetrikusan és párhuzamosan majd nem párhuzamosan szélezett körkeresztmetszetek esetén eléggé kézenfekő hiszen ezek a mennyiségek függetlenek a lemetszések irányától M Az ( 5 ) képlet is mutatja hogy erősen bonyolódik a képletek alakja ha ragaszkodunk ahhoz hogy azokat közetlenül a bemenő adatokkal fejezzük ki Ez még inkább igaz a köetkezőkre így ( 7 ) - hez hasonlóan az egyszerűbb képletalakokat álasztjuk Természetesen a megtartott paramétereket / segédáltozókat kifejezhetjük az eredeti bemenő adatokkal ha akarjuk Most kiszámítjuk ( ) számlálóját: r( ) Sz cos da d cos d r ( ) cos d (A) ( ) 0 ( ) innen ( ) - gyel is: Sz r ( ) cos d ( ) cos cos d cos d cos d sin 0 I I I 5 6 azaz Sz I I I észleteze: 5 6 ( 58 ) I cos d cos d ; de miel ld: [ ]! 0 0 cos d sin ezért I sin sin sin 0 sin tehát: 0 I sin ( 59 ) Hasonlóan kapjuk hogy I sin sin sin tehát 6 I sin ( 60 ) 6

17 7 Ezután részletezzük I 5 kiszámítását: cos cos I5 cos d cos d I*? sin sin ( I 5 ) Először trigonometriai átalakításokkal: sin sin cos cos sin sin cos tg cos tg tg ; cos cos ( I 5 ) most ( I 5 ) és ( I 5 ) - el: cos cos cos cos cos sin sin cos tg tg tg tg cos ( I 5 ) Ezek után ( I 5 ) és ( I 5 ) - mal: cos cos dtgtg I* cos d d ; sin tg tg tg tg ( I 5 ) beezetjük a V tg tg ( I 5 5 ) röidítő jelölést majd ( I 5 ) és ( I 5 5 ) - tel: V V V dv V I* V dv V V V V V V tg tg tg tg Most ( I 5 ) és ( I 5 6 ) - tal: I 5 tg tg tg tg ( I 5 6 ) ( 6 ) Ezután ( 58 ) ( 59 ) ( 60 ) és ( 6 ) - gyel:

18 8 Sz I I5 I6 sin sin tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg ( 6 ) Végül ( ) ( 7 ) és ( 6 ) - el: x cos da (A) S (A) da Sz A sin sin tg tg tg tg cos ctg ctg sin sin tg tg tg tg cos ctg ctg tehát: sin sin tg tg tg tg xs cos ( 6 ) ctg ctg Némileg szimmetrikusabb képletalakra jutunk toábbi átalakításokkal: sin sin tg tg tg tg xs cos ( 6 ) tg tg

19 9 Még szimmetrikusabbá is tehetjük eredményünket trigonometriai átalakításokkal: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tgtg tg tg tgtg tg tg tgtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tgtg tg tg tg tg tg tg tg ; tg tg tg tg tg tg tg tg ( 65 ) most ( 6 ) ( 65 ) - tel: cos tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg Végül ( 6 ) és ( 66 ) - tal: sin sin tg tg tg tg xs tg tg tg tg ( 66 ) agy sin sin tg tg tg tg x S tg tg tg tg ( 67 ) A többféle alakban aló felírás az esztétikai szempontokon túl célszerű is: a későbbiekben kiderülhet melyik az előnyösebb Egy toábbi alak az alábbiak szerint kapható

20 0 Most átalakítjuk a ( 67 ) képlet számlálójának és neezőjének tagjait a)? ( ) és ( 5 ) szerint: cos arcsin ( F ) cos arcsin ( F ) Most képeze utóbbiak különbségét: cos arcsin ( F ) innen pedig: cos arcsin ( F ) b) sin sin? Felhasználjuk a sin sin cos sin trigonometriai azonosságot: ( F 5 ) sin sin cos sin ; most ( F ) és ( F ) - ből: ( F 6 ) cos arcsin ( F 7 ) Most ( F 5 ) ( F 6 ) ( F 7 ) - tel: cos sin sin cos sin arcsin cos cos sin sin arcsin sincos arcsin cos sin tehát cos sin sin sin ( F 8 )

21 c) tg tg tg tg? Először ( F ) - gyel: cos tg tg arcsin cos tg tg arcsin cos tgtg arcsin cos tg cos cos tg cos cos tg cos tg tg tg cos tg cos cos cos tg tg tg cos cos cos tg cos majd ( F 9 )

22 cos tg cos tg tg cos innen: tg cos cos cos tg cos tg tg cos cos tg tg tehát: cos cos tg tg cos tg ( F 0 ) Majd hasonló módon: cos cos tg tg cos tg ( F ) Most ( F 0 ) és ( F ) - gyel: cos cos tg tg tg cos tg tg tg cos cos tehát: cos cos cos

23 cos cos tg tg tg tg ( F ) d) tg tg tg tg? Először ( F 0 ) - et négyzetre emele: cos cos tg ; tg cos tg ( F ) majd ( F ) - et négyzetre emele: cos cos tg ; tg cos tg ( F ) képeze ( F ) és ( F ) különbségét: cos cos cos tg tg tg tg tg tg cos cos Most emlékeztetünk az A B A B A B tg tg tg tg azonosságra majd ezzel is: cos cos tg tg tg tg cos tg tehát: sin cos cos ( F 5 )

24 Most ( 67 ) ( F ) ( F 8 ) ( F ) ( F 5 ) képletekkel: cos cos sin sin cos xs cos cos arcsin cos cos cos sin sin cos cos cos arcsin cos cos sin cos cos cos arcsin cos cos sin cos cos arcsin cos tehát: cos sin x S cos cos arcsin cos ( F 6 ) Az ( F 6 ) képlet a súlypont x S koordinátáját adja meg az α adatokkal Ha utóbbiakat tekintjük bemenő adatoknak és ezt megtehetjük ha akarjuk akkor ez a képlet egyben a tényleges égképlet is Megjegyezzük hogy az 0 0 speciális esetben: x S = 0 ahogy azt ártuk is Ez [ ED ] esetét jelenti

25 5 ) Az ék I u másodrendű nyomatékának meghatározása Definíció szerint: I u da ( 68 ) (A) A 7 ábráról leolasható hogy sin ( 69 ) így ( 68 ) és ( 69 ) - cel: r( ) Iu sin da sin da d sin d (A) (A) ( ) 0 ( 70 ) r ( ) sin d ( ) Most ( ) és ( 70 ) - nel: Iu r ( ) sin d ( ) cos sin d sin d sin d sin 0 I I I innen: Iu I7 I8 I 9 ( 7 ) Az integrálok kiszámítását itt is részletezzük I7 sin d sin d ; ( 7 ) 0 0 integráltáblázatból: sin d sin ; ( 7 ) most ( 7 ) és ( 7 ) - mal: I7 sin sin 0 tehát: I7 sin ( 7 ) Hasonló úton:

26 6 9 I sin sin sin sin tehát: I9 sin ( 75 ) Most ( 7 ) és ( 75 ) - tel: I7 I9 sin sin sin sin tehát I7 I9 sin sin ( 76 ) Folytata: cos I8 sin d I** sin ( 77 ) cos sin d I** sin d sin sin ( 78 ) cos Az ismerős átalakítással: sin sin cos cos sin sin tg sin cos tg sin ; cos tg ( 79 ) most (78 ) és ( 79 ) - cel: sin I** d tg ( 80 ) tg A ( 80 ) integrál kiszámításához elégezzük a tg W( ) ( 8 ) tg helyettesítést Ezzel:

27 7 dw( ) d tg d d cos sin tg tg tg tg majd ( 80 ) ( 8 ) és ( 8 ) - el: dw( ) W d dw I** d tg W ( ) tg W ( ) W ( 8 ) ( 8 ) Integráltáblázattal is: W W dw W W ( ) W W W W ( 8 ) majd ( 8 ) ( 8 ) és ( 8 ) - gyel: I** tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tehát: I** tg tg tg tg tg ( 85 ) Ezután ( 77 ) és ( 85 ) - tel: I 8 tg tg tg ( 86 ) tg tg Most a ( 7 ) ( 76 ) és ( 86 ) képletekkel: Iu sin sin tg tg tg tg tg ( 87 )

28 8 Itt is toábbi átalakításokat égzünk melyek már magukban is érdekesek tanulságosak lehetnek főleg a téma iránt komolyabban érdeklődők számára a) sin sin? Ismét a sin sin cos sin trigonometriai azonossággal az helyettesítéssel: sin sin cos sin cos sin innen: sin sin cos sin ( F ) Most ( F ) és ( F ) - el: cos arcsin ; ( F ) majd ( F ) és ( F ) - el: sin sin cos sin arcsin cos cos cos cos sin arcsin cos sin arcsin cos cos cos cos cos cos tehát: sin sin cos cos cos ( F ) b)? tg tg tg tg tg

29 9 Először ( F 9 ) - ből: cos tg cos tg cos tg cos ( F ) majd ( F ) - ből: tg tg tg cos cos cos cos ( F 5 ) ezután ( F 5 ) - ből: cos tg tg cos tg tg cos tg cos ( F 6 ) majd ( F 6 ) - tal:

30 0 cos cos tg tg tg cos cos tg tg cos tg cos agyis: cos tg cos tg ; tg cos tg cos ( F 7 ) majd ( F 7 ) - ből: cos tg cos cos cos tg tg tg cos cos tg cos agy: sin cos tg cos tg Most ( F 8 ) - ból: cos ( F 8 )

31 6 sin cos cos tg tg cos tg tg ( F 9 ) Teljesen hasonlóan kapjuk hogy: 6 sin cos cos tg tg cos tg tg ( F 0 ) Most ( F 9 ) és ( F 0 ) - zel: tg tg tg tg 6 sin cos sin cos cos cos cos ( F ) Ezután emlékeztetőül: A A A A A A A A A 6A AA A A ; majd ( F ) és ( F ) - el: tg tg tg tg ( F ) 6 sin cos sin cos cos cos cos cos si cos sin n cos cos ( F ) Végül pedig ( F ) - ból:

32 tg tg tg tg tg cos sin cos cos sin tg cos cos 5 cos sin cos cos 5 cos sin cos cos cos tehát: tg tg tg tg tg ( F ) 5 cos sin cos cos cos Most ( 87 ) ( F ) ( F ) és ( F ) - gyel: cos cos cos arcsin cos Iu 5 cos sin cos cos cos Végleges alakjában: cos cos cos arcsin cos I u cos cos tg cos sin ( F 5 )

33 Speciális eset: 0 0 Ekkor ( F 5 ) - ből: I u ( 0) arcsin ( F 6 ) Ekkor az [ ED ] - beli jelöléssel: sin * * arcsin ( F 7 ) cos * Most ( F 6 ) és ( F 7 ) - tel: I u ( 0) * sin * cos * sin * cos * * sin * cos * sin * * sin * cos * sin * sin * cos * * sin * cos * sin * cos * * sin * cos * cos * sin * * sin * cos * * sin * tehát: I u ( 0) * sin * ( F 8 ) ( F 8 ) megegyezik az [ ED / ] egyenlettel

34 5) Az ék I másodrendű nyomatékának meghatározása Definíció szerint: I u da ( 88 ) (A) Most ( ) és ( 88 ) - cal: I cos x da cos x cos x da S S S (A) S S (A) (A) (A) cos dax cos da x da Felidézzük hogy cos da (A) x S (A) da (A) (A) ( 89 ) ( ) Majd ( 89 ) és ( ) - el: cos da cos da (A) (A) I cos da cos da da (A) da (A) da (A) (A) (A) azaz: cos da (A) cos da A cos da I cos da I I (A) A ( 90 ) (A) A számításokat most is részletezzük r( ) I cos da d cos d r ( ) cos d (A) ( ) 0 ( ) ( 9 )

35 5 Most ( ) és ( 9 ) - gyel: I r ( ) cos d ( ) cos cos da cos d cos da sin 0 I I I 0 tehát: I I0 I I ( 9 ) Majd ehhez: I0 cos da cos da ( 9 ) 0 0 cos da sin ( 9 ) agyis ( 9 ) és ( 9 ) - gyel: I0 sin sin 0 tehát: I0 sin Teljesen hasonlóan: I sin sin sin tehát: sin ( 95 ) I sin ( 96 ) Most ( 95 ) és ( 96 ) - tal:

36 6 I0 I sin sin sin sin tehát I0 I sin sin ( 97 ) Toábbá: cos I cos d I*** sin ( 98 ) ahol cos I*** cos d sin ( 99 ) Az ismerős átalakítással: sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos tg cos cos cos tg tg ; majd ( 99 ) és ( I 5 ) képletekkel: cos I*** cos d d cos tg tg tg tg ( I 5 ) ( 00 ) Beezetjük az U( ) tg tg ( 0 ) jelölést Ezzel: du( ) d cos ( 0 ) így ( 00 ) ( 0 ) ( 0 ) - el:

37 7 du( ) U U d du U I*** d U ( ) U U U U U U U tg tg tg tg tehát I*** tg tg tg tg Most ( 98 ) és ( 0 ) - mal: I tg tg tg tg ( 0 ) ( 0 ) Ezután a ( 9 ) ( 97 ) ( 0 ) képletekkel: I I0 I I sin sin tg tg tg tg tehát: I sin sin tg tg tg tg ( 05 ) Most ismét ( 90 ) - hez: cos da (A) I A ( 06 ) ( 06 ) számlálójához a ( 6 ) képlettel:

38 8 (A) cos da sin sin tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg majd ( 06 ) neezőjéhez a ( 7 ) képletből a ( 67 ) - hez ezető módon felíra: A tg tg tg tg Ezután a ( 06 ) ( 07 ) ( 08 ) felhasználásáal: cos da (A) I A sin sin tg tg tg tg tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg 9 tg tg tg tg tehát: sin sin tg tg tg tg I 9 tg tg tg tg ( 07 ) ( 08 ) ( 09 ) Most a ( 90 ) ( 05 ) ( 09 ) képletekkel:

39 9 I I I sin sin tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg agy: 9 tg tg tg tg I sin sin tg tg tg tg sin sin tg tg tg tg 9 tg tg tg tg ( 0 ) Megint más képletalakokat keresünk átalakításokkal észenként haladunk; először ( 05 ) - öt dolgozzuk át A hozzáalók az alábbiak Ismétlés: I sin sin tg tg tg tg ( 05 ) a) ( F ) - gyel: cos arcsin ( F ) b) ( F ) - mal: sin sin cos cos cos c) ( 05 ) első részéhez: ( F )

40 0 sin sin cos cos cos arcsin cos cos cos cos arcsin cos ( F ) d) ( 05 ) második részéhez:? tg tg tg tg Most ( F 0 ) - zel: cos cos tg cos cos tg tg cos sin cos sin ( F ) Majd ( F ) - gyel: cos tg cos tg cos cos tg cos cos tg tg cos sin cos sin ( F ) cos tg cos tg

41 Ezután ( F ) - ből: cos sin cos tg tg tg tg sin cos sin cos sin ( F ) Ugyanígy ( F ) - ből: cos sin cos tg tg tg tg sin cos sin cos sin ( F 5 ) Most ( F ) és ( F 5 ) - tel: tg tg tg tg cos cos sin cos sin sin ( F 6 ) Alkalmaza hogy B B B B ( F 7 ) ( F 6 ) és ( F 7 ) - ből:

42 tg tg tg tg cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos tehát cos cos sin cos tg tg tg tg ( F 8 ) Most ( F 8 ) - cal is: tg tg tg tg cos cos sin cos cos cos sin cos tehát:

43 tg tg tg tg cos cos sin cos ( F 9 ) Ezután ( 05 ) ( F ) és ( F 9 ) - cel: cos cos cos arcsin cos I cos cos sin cos cos cos cos arcsin cos cos cos sin cos tehát: cos cos cos arcsin cos I cos cos sin cos ( F 0 ) Most ( 09 ) - et ismétele a könnyebb áttekinthetőség égett: sin sin tg tg tg tg I 9 tg tg tg tg ( 09 )

44 A hozzáalók: a) ( F 8 ) szerint: cos sin sin sin ( F ) b) ( F 5 ) szerint: sin cos cos tg tg tg tg így cos sincos tg tg tg tg ( F ) Most ( 09 ) számlálója: SZ sin sin tg tg tg tg cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos 6sin cos 6 sin tehát: cos SZ 6sin ( F ) Most ( 09 ) neezője:

45 5 N tg tg tg tg c) ( F ) - gyel: cos arcsin d) ( F ) - el: cos cos tg tg tg tg Ezután ( F ) ( F ) ( F ) képletekkel: cos cos N arcsin cos cos cos cos arcsin cos cos cos N arcsin ( F ) ( F ) ( F ) tehát ( F 5 ) Most a ( 09 ) ( F ) ( F 5 ) képletekkel: cos 6sin SZ I 9 N 9 cos cos cos arcsin cos sin 8 9 cos arcsin cos cos tehát:

46 6 cos sin 8 9 cos cos cos arcsin I ( F 5 ) Most a ( 90 ) ( F 0 ) ( F 5 ) képletekkel: I I I cos cos cos arcsin cos cos cos sin cos cos sin 8 9 cos cos cos arcsin agy cos cos cos arcsin cos cos I cos sin cos cos sin 6 9 cos cos cos arcsin Speciális eset: 0 0 Ekkor ( F 6 ) - ból: ( F 6 )

47 7 I ( 0) arcsin arcsin arcsin ( F 7 ) Ismét az ( F 7 ) jelölésekkel: sin * * arcsin ( F 7 ) cos * Most ( F 7 ) és ( F 7 ) - tel: I ( 0) * sin * cos * cos * cos * * sin * cos * * sin * cos * cos * * sin * cos * cos * * sin * cos * 6 * sin * sin * cos * 6 * sin * sin *

48 8 tehát: I ( 0) * sin * sin * ( F 8 ) Megjegyezzük hogy ( F 8 ) megegyezik az [ ED / 0 ] képlettel 6 Az ék keresztmetszeti tényezőinek meghatározása Ehhez tekintsük a 8 ábrát is! Definíció szerint: I u K u e ( ) ahol e max sin sin ( ) Toábbá: I K eu ahol ( ) 8 ábra eu x S ( )

49 9 Hasonlóan: I K eu ahol ( 5 ) e x ( 6 ) u S A toábbi részletek kidolgozását az Olasóra bízzuk Megjegyzések: M A 8 ábrán a tengelymetszetet 0 - lal jelöltük hogy egy ábrán ne szerepeljen kétszer pontosan ugyanaz a jelölés M Ebben a dolgozatban is igyekeztünk képleteink helyességét speciális esetekben tesztelni Ez látszólag sikerült is Ezzel kapcsolatban fontos elmondani hogy ezek a próbák nem bizonyítékai a képletek helyességének; mondjuk hogy nöeli az esélyét egy képlet jóságának ha sikeresen előáll belőle egy korábbi képletalak a specializáció során Egy példa: képleteinket az α = 0 speciális esetre alkalmaza a sinα - t tartalmazó tagok tényezők nulláá álnak Ha tehát egy képletben a sinα - s tag a hatányon an az ekkor ugyanúgy 0 - á álik mintha a hatányon lenne így eltűnése még nem bizonyítéka jóságának A képletek jóságának igazolása például egy független azonos eredményre ezető leezetéssel lehetséges Egy másik ellenőrzési mód: a képletekkel majd egy ezektől teljesen idegen numerikus módszerrel meghatározni és összeetni egy adott keresztmetszet jellemzőit Összefoglalás Ebben a dolgozatban leezettük a címbeli keresztmetszet - alak legfontosabb mértani jellemzőit a teljesség igénye nélkül Pótoltuk a szakirodalomban megléő hiányok egy részét alamint megmutattuk hogyan oldható meg egy ilyen típusú feladat nagyobb bonyodalmak nélkül Az elégzett munka nem a nehézsége inkább terjedelme miatt tűnhet riasztónak Megjegyezzük hogy az itteninél is általánosabb esetekben az elégzendő munka mennyisége rohamosan nő Talán ez is lehet az oka hogy az itt leezetett képletek egy részét most láthatjuk először Ezeket az alábbi képletgyűjteményben foglaljuk össze az α bemenő adatok / paraméterek függényében Talán meglepő de kiderült hogy ezekkel adódnak a legkellemesebb alakban képleteink így a kezdeti u - t lecseréltük α - ra eméljük hogy összefüggéseink használhatónak bizonyulnak

50 50 Képletgyűjtemény cos h ; a cos ; A arcsin cos cos cos ; x S cos sin cos cos arcsin cos ; cos cos cos arcsin cos I u ; cos cos tg cos sin I cos cos cos arcsin cos cos cos sin cos cos sin 6 9 cos cos cos arcsin

51 5 Kiegészítés Az előbb megjegyeztük hogy a képletek ellenőrzésére ajánlatos az előzőektől eltérő illete azoktól független utat - módot álasztani Esetünkben egy toábbi részleges ellenőrzést adó út járható be Ezt az úgyneezett poláris másodrendű nyomatékkal kapcsolatos ismeretekre alapozzuk ld: [ ]! Ehhez tekintsük a 9 ábrát is! Definíció szerint: I 9 ábra S r da ( K ) (A) A 9 ábra alapján: r u ( K ) Most ( K ) és ( K ) - el: tehát: I u da u da da I I S u (A) (A) (A) IS Iu I ( K ) Toábbá: u cos x S sin ; ( K ) Majd ( K ) és ( K ) - gyel:

52 5 r u cos xs sin cos x cos x sin x cos x S S S S tehát: r xs cos x S ( K 5 ) Most ( K ) és ( K 5 ) - tel: ( K 6 ) I r da dax cos da x da S S S (A) (A) (A) (A) Ezután ( ) - el: cos da (A) x S (A) da Majd ( K 6 ) és ( ) - el: tehát I da x x A x A dax A S S S S S (A) (A) (A) ( ) I S da xs A IO xs A ( K 7 ) Most ( K ) és ( K 7 ) - tel: Iu I da xs A ( K 8 ) (A) De a korábbiak szerint is: Iu sin da ( 70 / ) (A) S ( 90 / ) (A) I cos da x A ami egyezik ( K 8 ) - cal hiszen da da sin cos da sin da cos da (A) (A) (A) (A) (A) ( K 9 ) Ezek után képleteink részleges ellenőrzésének alapgondolata a köetkező: ~ ismerjük I u és I kifejezését a régi / korábbi számításokból agyis ( K ) szerint összegükkel ismert az I S régi kifejezése is; ~ kiszámítjuk ( K 7 ) szerint I Súj kifejezését majd ~ konstatáljuk hogy ( K 8 ) szerint teljesül az I S régi = I Súj egyenlőség; ~ ebben az esetben képleteink részleges ellenőrzése sikeres

53 5 Ennek az eljárásnak az a eleje hogy a ( K 9 ) egyenlőség bal oldalán és jobb oldalán álló integrálokat különböző utakon határozzuk meg Ezek szerint a közetlen feladat ( K 8 ) szerinti számítások égrehajtása ( K 8 ) bal oldala: I I I ( K 0 ) régi S u A képletgyűjtemény szerint: I u I cos cos cos arcsin cos cos cos tg cos sin cos cos cos arcsin cos cos cos sin cos cos sin 6 9 cos cos cos arcsin cos arcsin cos cos tg cos sin sin cos cos sin 6 9 cos cos cos arcsin ( K ) Az első tagban az összeonás:

54 5 tg cos sin sin cos tg cos sin cos sin cos cos ; cos cos ( K ) most ( K ) és ( K ) szerint: cos arcsin I cos u I cos cos cos cos sin 6 9 cos cos cos arcsin ( K ) Toább alakíta: cos arcsin Iu I cos cos cos cos sin 8 9 cos arcsin cos cos ( K )

55 55 Most kiszámítjuk ( K 8 ) jobb oldalát részleteiben r( ) I O da d d r ( ) d ; innen: (A) ( ) 0 ( ) cos IO r ( ) d d d d sin ( ) 0 I I I 5 tehát: IO I I I 5 ( K 5 ) Itt: I d d tehát: I ; ( K 6 ) hasonlóan: 5 I d d tehát: 5 I ; ( K 7 ) most ( K 6 ) és ( K 7 ) - tel: I I5 ( K 8 ) Majd cos I d cos I**** sin ( K 9 ) ahol d ( K 0 ) sin I**** Most alkalmazzuk az X dx d d helyettesítést ( K 0 ) és ( K ) - gyel: ( K )

56 56 X dx I**** ( K ) X sin X Integráltáblázattal: dx ctgx ctg X sin X ( K ) így ( K ) és ( K ) - mal: X X I**** ctgx ctg X ctgx ctg X X X ( K ) ctgx ctgx ctg X ctg X ; tgx tgx tg X tg X most ( K ) és ( K ) - gyel: I**** tg tg tg tg ( K 5 ) Majd a ( K 9 ) és ( K 5 ) képletekkel: I cos tg tg tg tg ( K 6 ) Ezután ( K 5 ) ( K 8 ) ( K 6 ) - tal: IO I I I5 cos tg tg tg tg ( K 7 ) A könnyebb kezelhetőség égett bontsuk két részre ( K 7 ) - et! IO IO I O ( K 8 ) ahol IO ( K 9 ) és IO cos tg tg tg tg ( K 0 ) Emlékeztetőül:

57 57 cos arcsin ( F ) Most ( K 9 ) és ( F ) képletekkel: cos IO arcsin ( K ) Ezután kiszámítjuk ( K 0 ) részeit ( 5 ) - tel is: cos sin arcsin cos cos tg tg arcsin cos cos arcsin cos tg cos cos ( K ) Most ( K ) - ből: cos tg tg cos / ( K ) Ismét ( 5 ) - tel is: cos cos tg tg arcsin tg arcsin cos sin arcsin cos cos cos arcsin cos ezzel:

58 58 tg cos cos ( K ) Most ( K ) - ből: cos tg tg cos / ( K 5 ) Ezután ( K ) és ( K ) - gyel: tg cos cos ( K 6 ) tg majd ( K ) és ( K 5 ) - tel: cos tg tg cos / ( K 7 ) Most ( K 0 ) ( K 6 ) ( K 7 ) - tel:

59 59 / cos cos IO cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos tehát: cos cos cos IO ( K 8 ) Ezután a ( K 8 ) ( K ) ( K 9 ) képletekkel: ( K 9 ) cos cos cos cos IO arcsin Ez ( K 7 ) jobb oldalának első tagja A második tag a képletgyűjteménnyel is:

60 60 x S cos sin A cos cos arcsin cos cos arcsin cos cos sin cos 8 9 cos cos arcsin cos tehát: sin cos 8 xs A 9 cos cos arcsin cos Most ( K 7 ) ( K 9 ) és ( K 0 ) - nel: ( K 0 ) I da x A I x A S S O S (A) cos cos cos cos arcsin sin cos 8 9 cos arcsin cos cos tehát:

61 6 cos cos cos cos arcsin 8 9 cos cos arcsin cos ( K ) I S sin cos Végül ( K ) és ( K ) összeetéséből adódik hogy Iu I I S agyis a különböző utakon járó számítások eredménye ugyanaz Ez az eredmény lényegesen megerősíti a képleteink jóságába etett bizalmat Igaz még mindig csak részleges ellenőrzést emlegetünk hiszen például ( K ) - ből látható hogy olyan összeg állt elő ahol egymást kiejtő tagok annak Most gondoljuk el hogy hibás a számítás melynek eredményeként szintén ilyen egymást kiejtő tagok állnak elő melyekre szintén fennáll az Iu I IS egyenlőség melyet az ellenőrzés kulcsának tekintettünk Ezért mondjuk hogy ellenőrzésünk csak részleges Azonban ha gondolatban összegyűjtjük hogy képleteink már hányféle specializációt és részleges ellenőrzést kibírtak közelfekő hogy képleteinket rendben léőnek minősítsük Ezt mindenki rendezze el magában akár újabb ellenőrzési módokat is kitalála és égrehajta! Várom az eredményt! Megjegyzések: M A ( K 7 ) képlet a poláris másodrendű nyomaték transzformációját írja le esetünkben M A ábra szerinti elfajulónak neezett esetekben is hasonlóan járhatunk el mint fent A kérdés igazából az hogy megtaláljuk - e az ilyen keresztmetszet - alakok alkalmazási területeit agyis szükségünk an - e minden elképzelhető rúdkeresztmetszetre M A képleteinkre pillanta látható hogy gyakran szerepel bennük a 6 ábráról is leolasható cos cos kifejezés Akinek tetszik átírhatja a képleteket ezzel a röidítő formuláal Érdemes azonban tudatosítani hogy γ nem független paraméter Ha jobban megnézzük látjuk hogy nem lenne szerencsés ezt bemenő adatnak álasztani

62 6 Kedes Olasó! Ha idáig eljutottál a leírtakat érdemben is köete akkor fogadd gratulációmat kitartásodért! Toábbá nézd el nekem hogy helyenként a hosszadalmas és unalmas számításokat is leírtam azokra is gondola akiknek ez még nem annyira egyszerű! Ne feledd az egykori Ludas Matyi című icclaptól kölcsönzött mottót: Egy újszülöttnek minden icc új! Üd! Előző dolgozatok: [ ED ] Szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással [ ED ] Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással [ ED ] Egy oldalon szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással [ ED ] Párhuzamosan de nem szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet főbb geometriai jellemzőinek meghatározása számítással Irodalom: [ ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyaje: Matematikai zsebköny 6 kiadás Műszaki Könykiadó Budapest 987 [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könykiadó Budapest 98 Sződliget 009 augusztus 0 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár