A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak
|
|
- Zita Vinczené
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól [ 1 ] : Az ugyanazon köríven nyugvó kerületi szög fele a megfelelő középponti szögnek. Ennek közismert igazolása megtalálható pl. [ 1 ] - ben is. Ez nem igazán nehéz, bárki megértheti és sikerrel alkalmazhatja napi munkájában. Annak apropóját, hogy ezt most elővettük, az adja, hogy egy szakmai feladatban ennek alkalmazásával egysze - rűbb, elegánsabb eredményhez juthatunk. Erről majd később. Most először a tételről és annak igazolásáról beszélgessünk inkább! Szóval, emlékszem, amikor a szakközépiskolában ezt tanultuk, megtörtént, ami már sokszor azelőtt is: lemaradtam, így aztán már nem is értettem a magyarázatot, hogy az erre épülő látókörív - szerkesztésről már ne is beszéljünk. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy ez ma is megtörténhet, csak fordított szereposztásban Az ellenszer: az öntevékeny, szorgalmas újratanulás. Ennek azonban nem kell feltét - lenül követnie a régi mintát. Mi lenne, ha kitalálnánk valami mást? Most ezt kíséreljük meg. Minthogy nem vagyunk matematikusok csak tanárok, nem árt, ha először körülnézünk, hogy eredményünket nem láttuk - e már valamely ismert szakirodalmi munkában. Nos, úgy tűnik, a nagyok ezt másképp csinálják. Ettől persze a saját megoldás még jó lehet. A szakirodalom szerint [ 1 ] négy esetet kell vizsgálnunk 1. ábra. 1. ábra 1. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárai között fekszik.. eset: A kör középpontja a kerületi szög egyik szárán fekszik. 3. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárain kívül fekszik. 4. eset: A kerületi szög egyik szára érintő. Mielőtt nekifognánk, lássunk be egy segédtételt, csak úgy gyalog! Ehhez tekintsük a. ábrát is!
2 . ábra Segédtétel: A valamely befogójára mint t tengelyre tükrözött derékszögű háromszög: egyenlő szárú háromszög, melyre az előállításból fakadóan igazak az alábbi tulajdonságok: ~ az m c = a 1 = a magasság felezi a c alapot; ~ az m c magasság merőleges a c alapra; ~ az m c magasság felezi a c - vel szemközti γ szöget. Most már nekiláthatunk a címbeli tétel saját, házi használatra szánt igazolásának. 1. eset: ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az AB) ívhez tartozó λ kerületi és γ középponti szögek összefüggését vizsgáljuk. A teljes körre: ο α + β + γ = 360, α β γ ο + + = 180, ebből:
3 3 γ ο α β = 180. ( 1 ) 3. ábra Most a 3. ábra szerint: ο α ο β ο α β λ = = 180 ; ( ) majd ( 1 ) és ( ) - vel: λ = γ. ( 3 ) A ( 3 ) képlet a tétel állítását adja az 1. esetre. Természetesen hasonló eredményre jutunk a BC), ill. a CA) ívek használatával is, a megfelelő szögekkel.
4 4. eset: ehhez tekintsük a 4. ábrát! 4. ábra A B pontnál lévő ~ λ 1 szög egyenlő λ - val, mert az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek v.ö.:. ábra; ~ λ szög egyenlő λ - val, mert váltószögek; ezzel ismét a 4. ábra szerint: γ = λ 1 + λ = λ + λ = λ, λ = γ. ( 4 ) A ( 4 ) képlet a tétel állítását adja a. esetre. Megjegyezzük, hogy a. eset igazolása nem tér el jelentősen az [ 1 ] - belitől.
5 5 3. eset: ehhez tekintsük az 5. ábrát! Eszerint: ο α ο β β α λ = =, tehát: 5. ábra β α λ =. ( 5 ) Most ismét az 5. ábráról: β = α + γ,
6 6 γ = β α, ebből pedig: γ β α = ; ( 6 ) majd ( 5 ) és ( 6 ) összehasonlításából: λ = γ. ( 7 ) A ( 7 ) képlet a tétel állítását adja a 3. esetre. 4. eset: ehhez tekintsük a 6. ábrát! 6. ábra Eszerint, merőleges szárú szögek miatt: γ λ =. ( 8 )
7 7 A ( 8) képlet a tétel állítását adja a 4. esetre. Megjegyezzük, hogy a 4. eset igazolása nem tér el az [ 1 ] - belitől. Ezzel a tételt bebizonyítottuk, kicsit másként. Nyilván adja magát a kérdés, hogy miért térjünk el a pl. [ 1 ] - ben is megtalálható igazolástól. Erre több válasz is adható: ~ mert részben más, mint a szokásos; ~ mert a levezetés viszonylag egyszerű: alig kíván többet, mint ami az órán közvet - lenül elmagyarázható, és hiányos előismeretekkel is követhető; ~ mert egyszerűen példázza, hogy egy ilyen levezetés egy idő után szinte bárki számára megvalósítható, stb. Most nézzük, hogy mi vezetett a fenti tételen való elmélkedéshez! A kiváltó szakmai feladat: boltöv számítása [ ]. Mint már említettük, szerettünk volna egy egyszerű és elegáns megoldást mutatni az alábbi feladatra. Feladat: Adott az alábbi ábra szerinti szegmens - ív, a jellemző adataival. Jelölések: ~ d: húrhossz / falköz; ~ h: ívmagasság; ~ r: ívsugár; ~ α: középponti szög. Határozza meg a jellemző adatok közti összefüggéseket, képlet formájában! Részletezve: ~ fejezze ki r - et d és h függvényében; ~ fejezze ki α - t d és h függvényében! Útmutatás: alkalmazza a Pitagorász - tételt és valamely szögfüggvényt!
8 8 Megoldás: A sugár képlete Pitagorász tételével: d r = + ( r h ) ; folytatva: d r = + r r h + h, d r h = + h, d h r = +. 8 h ( a ) Ehhez tekintsük az alábbi ábrát is! A középponti szög képlete
9 9 Leolvasható róla, hogy az AC) íven nyugvó középponti szög: α /, a megfelelő kerületi szög pedig β. A fenti tétel szerint: 1 α α β = =. ( b ) 4 Most az utóbbi ábra alapján: h h tg β = =. ( c ) d / d Majd ( b ) és ( c ) szerint: α h tg =, 4 d α h = arctg, 4 d ebből pedig: h α = 4 arctg. d ( d ) Az ( a ) és ( d ) képletek a kitűzött feladat egy szép megoldását adják. Irodalom: [ 1 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, [ ] Szerényi István ~ Gazsó Anikó: Építőipari szakmai számítások Szerényi és Gazsó Bt., Pécs, 000. Sződliget, 01. május 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenAszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.
1 Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt az A és B pontok egy nyeregtető oromfali ereszpontjai, a P pont pedig a taréj pontja. Az ereszek egymástól való távolságának
RészletesebbenFa rudak forgatása II.
Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve
RészletesebbenEgy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
RészletesebbenÉrdekes geometriai számítások 10.
1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más
RészletesebbenEgy érdekes nyeregtetőről
Egy érdekes nyeregtetőről Adott egy nyeregtető, az 1 ábra szerinti adatokkal 1 ábra Végezzük el vetületi ábrázolását, az alábbi számszerű adatokkal: a = 10,00 m; b = 6,00 m; c = 3,00 m; α = 45 ; M 1:100!
RészletesebbenA manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.
A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_
RészletesebbenA gúla ~ projekthez 2. rész
1 A gúla ~ projekthez 2. rész Dolgozatunk 1. részében egy speciális esetre a négyzet alapú egyenes gúla esetére írtuk fel és alkalmaztuk képleteinket. Most a tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög alakú
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenA merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről
1 A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről Most néhány régebben már megbeszélt összefüggés újabb igazolását adjuk meg, illetve más, eddig még nem látott képlet - alakokat állítunk elő.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenA gúla ~ projekthez 1. rész
1 A gúla ~ projekthez 1. rész Megint találtunk az interneten valami érdekeset: az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] anyagokat. Úgy véljük, hogy az alábbi téma / témakör kiválóan alkalmas lehet projekt - módszerrel történő
RészletesebbenTamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei
Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenÉrdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
RészletesebbenHáromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Részletesebbenw u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;
A négysuklós mehanizmus alapfeladata másképpen Előző dolgozatunkban melynek íme: A négysuklós mehanizmus alapfeladatáról egy általunk legegyszerűbbnek gondolt megoldási módot ismertettünk. Ott megemlítet
RészletesebbenA csavarvonal axonometrikus képéről
A avarvonal axonometrikus képéről Miután egyre jobban megy a Graph ingyenes függvény - ábrázoló szoftver használata, kipróbáltuk, hogy tudunk - e vele avarvonalat ábrázolni, axonometrikusan. A válasz:
RészletesebbenEgy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.
1 Egy újabb térmértani feladat Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra. Úgy látjuk, érdekes és tanulságos lesz végigvenni. 2 A feladat Egy szabályos n - szög alapú
Részletesebbenpont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen
A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat
RészletesebbenEgy általánosabb súrlódásos alapfeladat
Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat Az előző dolgozatunkban címe: Egy súrlódásos alapfeladat, jele: ( E D ) tárgyalt probléma általánosítása az alábbi, melynek forrása [ 1 ]. Tekintsük az 1. ábrát!
RészletesebbenEgy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.
Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban
RészletesebbenSíkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya
Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya Két korábbi dolgozatunkban melyek címe és azonosítója: [KD ]: Egy érdekes feladat, [KD ]: Egy másik érdekes feladat azt vizsgáltuk, hogy egy csuklós rúdnégyszög milyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenA csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról
A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenEllipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
RészletesebbenHúrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenVonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra
1 Vonatablakon át Sokat utazom vonaton, és gyakran elnézem a vonatablakon át a légvezeték(ek) táncát. Már régóta gondolom, hogy le kellene írni ezt a látszólagos mozgást. Most erről lesz szó. Ehhez tekintsük
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenÖsszefüggések egy csonkolt hasábra
Összefüggések egy sonkolt hasábra Az idők során ár többször készítettünk hasonló dolgozatokat. Ne baj: az isétlés sose árt. Most tekintsük az. ábrát!. ábra Eszerint úgy is képzelhetjük hogy egy téglalap
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenAz elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról
1 Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról Előző dolgozatunkban melynek címe: Az ellipszisbe írható legnagyobb területű négyszögről már beharangoztuk, hogy találtunk valami érdekeset
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenEgy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.
1 Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen egy út tengelyvonalának egy pontjában tüntették
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
RészletesebbenA kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról
1 A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról Sok korábbi dolgozatunkban foglalkoztunk kötélstatikai feladatokkal. Ez a mostani azon - ban még nem került szóba. A feladat: az egyenes körhengerre feltekert,
RészletesebbenA mandala - tetőről. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! θ = 360/n. 1. ábra [ 6 ].
A mandala - tetőről Úgy tűnik, a mandala tető angol nevén: reciprocal roof egy kicsit mostoha gyermeke a magyar építészeti szakirodalomnak. Ezt abból gondoljuk, hogy alig találkoztunk magyar nyelvű anyaggal
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenA tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához
1 A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához Bevezetés Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1 Itt azt szemlélhetjük, hogy hogyan lehet el - kerülni egy épület tűzfalának eláztatását. A felső ábrarészen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenFiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenEgy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként
1 Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás
RészletesebbenEllipszis átszelése. 1. ábra
1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenIsmét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]
1 Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról Az 1. ábrával már korábban is találkozhatott az Olvasó. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen azt láthatjuk, hogy bizonyos esetekben a fűrészelt fagerenda a
RészletesebbenEgy kinematikai feladat
1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.
osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenAz elliptikus hengerre írt csavarvonalról
1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenSzabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással
Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással Előző dolgozatunkban jele: ( E ), címe: Szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenFelső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
RészletesebbenA főtengelyproblémához
1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási
RészletesebbenForogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.
1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenEllipszis rajzolásához
Ellipszis rajzolásához A szakrajz órákon általában megbeszéljük az ellipszis rajzolását, illetve szerkesztését, kétféleképpen is: ~ a két körrel való pontonkénti szerkesztést 1. ábra, valamint ~ a fonállal
RészletesebbenNéhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )
1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenTovábbi adalékok a merőleges axonometriához
1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés
RészletesebbenEgy variátor - feladat. Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Egy variátor - feladat Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! A feladat 1. ábra forrás: [ 1 ] Egy súrlódó variátor ( fokozatmentes
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Részletesebben