A gúla ~ projekthez 2. rész

Átírás

1 1 A gúla ~ projekthez 2. rész Dolgozatunk 1. részében egy speciális esetre a négyzet alapú egyenes gúla esetére írtuk fel és alkalmaztuk képleteinket. Most a tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög alakú egyenes gúla feladatával foglalkozunk. Nagyon hasonlóan járunk el, mint korábban, ámde igyekszünk más megoldási módokat is bemutatni. A szabályos sokszög n oldalú, így néha szabályos n - szögnek is hívjuk. A falemez - munka itt sem nehezebb, csak több. Most tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra

2 2 Itt tüntettük fel a legfontosabb hossz - és szög - adatokat. Ez alapján írhatjuk: ( 1 ) ( 2 ) itt ~ φ: az a sokszög - oldalhoz tartozó középponti szög; ~ ε: a sokszög két szomszédos oldala által bezárt belső szög. Most ( 1 ) - ből: ( 3 ) majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal: ( 4 ) ezután ismét a felülnézeti képről: ( 5 ) itt r: a sokszög köré írható kör sugara. Most ( 3 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 ) továbbá: ( 7 ) Mielőtt továbbmennénk, felírjuk a két Pitagorasz - tételes összefüggést is: ( 8 ) ( 9 ) A fenti a továbbiakban nem feltétlenül használt összefüggéseket azért írtuk fel, mert a gúla - feladat megoldása során különböző adott mennyiségekből lehet kiindulni. E képletekkel minden lényeges esetben megadhatjuk az adott és keresett mennyiségek közötti kapcsolatot. A további szögek: ~ α: a gúla oldallapjai és a vízszintes alapsík által bezárt szög;

3 3 ~ β: az alapél és az oldalél által bezárt szög; ~ γ: az oldallap - háromszög alapéllel szemközti szöge; ~ ϕ: a gúla oldaléle és a vízszintes alapsík által bezárt szög. Az ε, α és ϕ szögek közötti összefüggés a 2. ábráról: ( 10 ) 2. ábra Az ε, α és β szögek közötti összefüggés ugyaninnen: ( 11 ) Ezután a δ és δ szögeket határozzuk meg 3. ábra. 3. ábra forrása: [ 1 ]

4 4 Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra Innen leolvasható, hogy ( 12 ) ( 13 ) Az alapképleteket előállítottuk; ezekből számítási képleteket, illetve nomogramot állítunk elő. A 3. ábra szerint: ( 14 ) ( 15 ) Most ( 11 ) és ( 15 ) - ből: ( 16 ) ámde ( 4 ) - gyel is: ( 17 )

5 5 így ( 16 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 ) innen: ( 19 ) Ez az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] forrásokban levezetés nélkül közölt egyik képlet. Most átalakítjuk ( 12 ) - t, felhasználva ( 10 ), ( 11 ) és ( 15 ) - öt is: tehát: ( 20 ) innen: ( 21 ) Ez az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] forrásokban levezetés nélkül közölt másik képlet. Most találjuk ki, hogy hogyan készülhetett a forrásokban talált nomogram 5. ábra! ( 18 ) - ból: ( 22 ) majd a ( 20 ) - ra vezető számításokból, ( 17 ) - tel is: tehát:

6 6 5. ábra forrása: [ 1 ] ( 23 ) innen: ( 24 ) Egy rögzített n esetén ( 22 ) és ( 24 ) már csak az α paraméter függvénye, így a β = f ( δ ) függvény grafikonja a paraméteres egyenletrendszerével adott függvény

7 7 ábrázolására alkalmas szoftverrel itt a Graph - fal viszonylag egyszerűen előállítható. A 6. ábra így készült, n = 3, 4, 6 értékekkel. Itt x δ, y β veendő! 6. ábra A nomogram használatát az 5. ábra mutatja. Ezek a grafikonok első látásra negyedkörnek tűnnek; azonban ez nem igaz, ahogyan az a 7. ábráról is látható. Itt a fekete vonalak a negyedkörök, melyek görbéinkkel általában nem esnek egybe. 7. ábra

8 8 Megjegyzések: M1. Az 1. rész képletei természetesen előállnak az itteniekből, n = 4 felvételével. Most lássuk, hogyan áll elő az 1. rész ( 27 ) képlete az itteniekből! Részletezve: tehát: ( 25 ) mivel n = 4 esetén ε / 2 = 45, ezért innen: ( 26 ) a korábbi eredménnyel egyezően. M2. A 4. ábra készítésénél felhasználtuk azt a geometriai tényt, hogy két sík közbezárt szögét úgy is megkaphatjuk, hogy metszésvonalukra merőleges síkot állítunk, amely a két síkból kimetsz egy - egy egyenest, és ezek közbezárt szöge a keresett szög. M3. A β = f ( δ ) függvény közvetlenül is felírható. Ennek alakja: ( 27 ) A 7. ábra nem fekete görbéi ezzel a képlettel készültek. Az érdeklődő Olvasónak javasoljuk a ( 27 ) képlet levezetését! M4. A ( 10 ) és ( 12 ) képletekkel: ( 10 * ) ( 12* )

9 9 majd ( 4 ) - et és ( 17 ) - et is felhasználva: ( 12** ) Úgy tűnik, van, aki ezt a képlet - alakot csúnyának, horrorisztikusnak nevezné, miközben a használata már egy kicsit fejlettebb zsebszámológéppel / tudományos kalkulátorral is viszonylag egyszerű. Itt olyan számológépre gondolunk, melynek kijelzőjén megjelennek az alkalmazott funkciók. ( Az ilyen kijelzőt a Natural Display névvel is illetik. ) Eszerint nem biztos, hogy kell a sok trigonometriai átalakítás, hiszen úgyis a gép dolgozik a képletekkel: az egyszerűbbekkel is, meg az összetettebbekkel is. Minthogy trigonomet - riai azonos átalakításokkal számos eltérő alakú, ám azonos tartalmú képlet - alak állítható elő, így a köztük való választás jórészt ízlés dolga. Nekünk tetszik ( 12 ** ) is. M5. E gúlaépítési feladat arra is figyelmeztet, hogy a matematikai ismeretek gyakorlati alkalmazása nem hanyagolható. Meglehet, gyakran kímélik a tanulókat az iskolában, hogy nehogy túl sok legyen a jóból, ámde ez éppen az ellenkező hatást is kiválthatja: a tanuló számára életszerűtlen, öncélú hobbitevékenységnek fog tűnni a munkát megala - pozó matematikai / geometriai összefüggések megkeresése és alkalmazása. Látjuk ezt Köszönjük, Leopoldi! M6. Már befejeztük e dolgozat írását, amikor rátaláltunk [ 4 ] - re, ahol levezetéseket is mutatnak. Eredményeink függetlenek egymástól, eltekintve attól a körülménytől, hogy képleteinket igyekeztünk olyan alakra hozni, mint amilyeneket [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] - ban találtunk. M7. Az utólagosan talált tárgyak közé tartozik a 8. ábra is. Itt jól látható a forgácslapot megmunkáló gép, különös tekintettel a dönthető körfűrészre. A körfűrész - dőlésmérő kijelzőjéről leolvasható az 1. rész 7. ábráján is megadott érték: δ = 50,8. Továbbá az is megfigyelhető, hogy az elemeiből összeállított gúla valóban az 1. rész 5. ábrája szerint készül. Ennek alap - lemezéről nem sok szó esett, mert az ezzel kapcsola - tos tudnivalók és teendők önálló feldolgozása már rábízható az érdeklődő tanulóra. M8. A források szerzője az interneten találtak szerint Max Günther szoftverfejlesztő. Üdv Néked, MG.!

10 10 8. ábra forrása [ 5 ] Források: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár