Poncelet egy tételéről

Átírás

1 1 Poncelet egy tételéről Már régebben találkoztunk az [ 1 ] műben egy problémával, mostanában pedig a [ 2 ] műben a megoldásával. A probléma lényege: határozzuk meg a egyenletben szereplő α, β együtthatókat, úgy, hogy az elkövetett hiba valamely értelemben a lehető legkisebb legyen! Az eredeti [ 3 ] mű után [ 2 ] - ben is tárgyalják e kérdéskört, mi is eszerint indítunk. A Statikában a súrlódással kapcsolatos témáknál is felmerül a vizsgálandó kérdés: a P és Q egymásra merőleges erők R eredője nagyságának szerinti közelítő meghatározása. A számítás [ 2 ] szerint az alábbi. ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Most ( 2 ) jobb oldala ( 3 ) - mal is: ( 4 ) vagyis ( 3 ) és ( 4 ) szerint: innen: ( 1 ) adódik. Az ( 1 ) szerinti közelítés relatív hibája: ( 5 ) Az ( 5 ) függvény grafikonját az 1. ábrán mutatjuk meg, α = 0,960 és β = 0,398 értékekre. Most meghatározzuk az ( 5 ) függvény értékét annak jellegzetes A, B, S pontjaiban: ( 6 ) ( 7 ) Az y C ordináta meghatározásához kell a szélsőérték helye. Ehhez ( 5 ) - öt deriválva:

2 2 1. ábra ( 8 ) majd a ( 9 ) feltétellel ( 8 ) és ( 9 ) szerint: innen: ( 10 ) Majd ( 5 ) és ( 10 ) szerint: ( 11 ) Most felállítjuk az α és β paraméterek meghatározására szolgáló feltételi egyenleteket. Ezek kimondják, hogy a szélső eltérések nagysága egymással egyenlő legyen, azaz: ( 12 ) Az feltételből, ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

3 3. ( 13 ) Az feltételből, ( 13 ) - mal is: innen: ( 14 ) Számszerűen ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) Az 1. ábra a ( 15 ) szerinti paraméterekkel készült. Most ( 1 ) és ( 15 ) - tel: ( 16 ) Majd ( 2 ) és ( 15 ) - tel: ( 17 ) Megjegyzések: M1. Az 1. ábrán x S, y S értékei sem pontosak. Ennek valószínűleg az az oka, hogy az 1. ábra a paraméterek ( 15 ) szerinti közelítő értékével készült. M2. Jean - Victor Poncelet tételét a ( 16 ) egyenlet fogalmazza meg. Természetesen felvetődik a kérdés, hogy miért volt szükség a ( 16 ) közelítő összefüggés előállítására. A válasz az, hogy a ( 16 ) - ban található négyzetgyökös kifejezéssel való további számítások lényegesen bonyodalmasabbak, mint annak linearizált változatával. M3. A ( 16 ) egyenlet grafikus megjelenítése a 2. ábrán látható.

4 4 Ugyanis itt az 2. ábra egyenletű kört, valamint az egyenletű egyenest ábrázoltuk, ugyanabban a koordináta - rendszerben. Az eltérés valamilyen értelemben a legkisebb egy adott tartományban. [ 1 ] - ben az áll, hogy ekkor a körív az egyenes szelő - jével helyettesíthető a ( 0, π / 4 ) határok között. Ezt a helyzetet mutatja a 2. ábra. M4. A már többször említett valamilyen értelemben vett közelítésről [ 1 ] azt mondja, hogy itt Csebisev - értelemben vett közelítésről van szó. Ugyanis [ 4 ] - ben az olvasható, hogy elméletileg célszerű a legjobb közelítéstől azt megkövetelni, hogy abban az [a, b ] intervallumban, amelyben f( x ) közelítését elő kellene állítanunk egy φ( x ) közelítő függ - vénnyel, az f(x) φ(x) eltérés maximuma a φ(x) közelítő függvény más megválasz - tásához képest a lehető legkisebb legyen. Az ilyen egyenletes közelítések elméletét je - lentékeny részben P. L. Csebisev dolgozta ki. M5. A ( 17 ) közelítést indokolhatja a statikai, súrlódásos feladatokban az a tény is, hogy a súrlódási tényező értéke nagy bizonytalansággal terhelt lehet. Ez azt is jelenti, hogy kár sok energiát pazarolni a pontos számításra, ha annak bizonyos adatai igencsak pontatla - nok lehetnek, ahogyan ezzel a pontos végeredmény is. M6. A [ 4 ] műben azt olvashatjuk, hogy az egyenletes közelítés gyakorlati megvalósítása sok esetben nehéz. Ámde viszonylag egyszerű a legkisebb négyzetek módszere szerinti

5 5 közelítés. Ezt most elvégezzük a fenti feladat esetére. Annál is inkább, mert az [ 5 ] mun - kában szinte teljesen kidolgozták e feladatot. A feladat: Állítsuk elő közelítőleg az szerint a függvényt a legkisebb négyzetek módszere alakban, az x = 0 és x = 1 határok között! A megoldás: Az eljárás célja: az a és b paraméterek alkalmas megválasztásával biztosítani, hogy az ( 18 ) integrál a lehető legkisebb értéket vegye fel. A szélsőérték létezésének szükséges feltételei: ( 19 ) Részletezve: ( 20 ) ehhez: ( 21 ) ( 22 ) most ( 20 ), ( 21 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Hasonlóan eljárva: ( 24 )

6 6 Ehhez: ( 25 ) ( 26 ) Majd ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal: ( 27 ) Az a és b paramétereket a ( 23 ) és ( 27 ) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásá - ból kapjuk. Részletezve: ( 28 ) ( 29 ) Tehát: ( 28 / 1 ) ( 29 / 1 ) megoldva a Cramer - szabállyal: ( 30 ) Folytatva: ( 31 )

7 7 Most ( 28 ), ( 29 ), ( 30 ), ( 31 ) - gyel: ( 32 ) Hasonlóképpen: ( 33 ) Megemlítjük, hogy [ 5 ] - ben egy eléggé pontatlan eredmény található 3. ábra. ( Ügyeljünk az itteni és az ottani közti a ~ b paraméter - cserére! ) Most a keresett közelítő kifejezés: Írjuk ide az eredeti feladatbeli közelítés kifejezését is: ( 34 ) ( 35 ) Látjuk, hogy a legkisebb négyzetek elve szerinti ( 34 ), valamint az egyenletes közelítés elve szerinti ( 35 ) kifejezések nem egyeznek meg egymással. M7. Érdekes fejlemény, hogy [ 5 ] - ben éppen a Poncelet - tételben szereplő közelítés egy rokon feladatát hozták példaként. Ez valószínűleg nem a véletlen műve. M8. A téma szakirodalmában az olvasható, hogy Poncelet volt az első, aki először foglalkozott behatóan az ( 1 ) képlet szerinti problémakörrel. Meglehet, az alkalmazott matematika és a számítástechnika fejlődésével ma már nem annyira fontos egy függvény linearizálása, mint akkoriban, ám Poncelet idézett munkája egy lökést adhatott a kutatók - nak, a közelítések elméletének kidolgozásához. M9. Az M6. - beli számításokhoz a [ 4 ] műből vettük az integrálok kifejezéseit.

8 8 3. ábra M10. J.-V. Poncelet francia mérnök és matematikus neve jól cseng a geométerek körében is. Egy másik tételéről olvashatunk pl. [ 6 ] - ban. Források: [ 1 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki, Tom I. Sztatyika i kinyematyika 8. kiadás, Moszkva, Nauka, 1982., 87. o. [ 2 ] Julius Weisbach: Theoretical Mechanics 4. kiadás, D. Van Nostrand, Publisher, New York, 1875., 341 ~ 343. o. [ 3 ] J.-V. Poncelet: Traité de mechanique appliqué aux machines Gautier - Villars, Paris, 1874., 412. o.

9 9 [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 720. o. [ 5 ] Ja. Sz. Bjezikovics: Közelítő számítások Tankönyvkiadó, Budapest, 1952., 209 ~ 210. o. [ 6 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár