A Cassini - görbékről

Átírás

1 A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is ld: [ 1 ]! 1 ábra Az ezekkel kapcsolatos fontosabb matematikai tudnivalók megtalálhatók az interneten is ld pl: [ 1 ], [ ], [ ]! Odakattintva látható, hogy nem annyira egyszerű dolgok ezek Mégis, most éppen ezeket fogjuk tanulmányozni: megmutatjuk, hogy már egy középiskolás tanuló is érdemben foglalkozhat e témával Nem kétséges, hogy a kúpszeletek kör, ellipszis, parabola, hiperbola a legismertebb síkgörbék Gyűjtőnevüket arról kapták, hogy egy ( kettős) körkúp különböző helyzetű metszősíkkal való síkmetszeteiként is előállíthatók A Cassini - görbék a körgyűrű - felület más néven: tórusz metszetgörbéi: ~ a tórusz úgy áll elő, hogy egy r sugarú körlapot annak síkjában elhelyezkedő egyenes, mint forgástengely körül megforgatunk ábra; ~ a Cassini - görbék úgy állnak elő, hogy a tóruszt egy a forgástengellyel párhuzamos síksereggel metsszük el A tóruszfelület egy P pontjának koordinátáit egy olyan derékszögű ( Oxyz ) koordinátarendszerben írjuk fel, melynek z tengelye a forgástengely A ábra szerint: x R rsin cos ; P P P y R rsin sin ; z rcos, ahol 0 60, 0 60 ( 1 )

2 ábra ábra A és ábrák forrása: [ 4 ] Most írjuk fel a továbbiakban a P indexet elhagyva a z = z ( x, y ) függvénykapcsolatot! Ennek érdekében ( 1 ) - ből kiküszöböljük a φ és a ψ paramétereket:

3 x y R r sin cos R r sin sin R rsin cos sin R rsin, x y R r sin ( ) ( ) - ből pozitív gyököt vonva és rendezve: rsin x y R; ( ) ehhez hozzávéve ( 1 ) harmadik egyenletéből: rcos z, ( 4 ) ( ) és ( 4 ) - ből négyzetre emeléssel és összeadással: rcos rsin z x y R, vagyis r z x y R, innen z r x y R, végül, y) r x y R ( 5 ) Az ( 5 ) képlet segítségével keressük a z tengellyel párhuzamos, x = x 0 egyenletű metszősíkkal keletkező síkmetszet egyenletét Ekkor ( 5 ) - ből: 0, y) r x0 y R ( 6 ) A ( 6 ) egyenlet alapján dolgozunk a továbbiakban A térbeli helyzetet a 4 ábra szemlélteti A görbesereg két részre oszlik, az 1 és a szakasznak megfelelően: (1) ~ 1 szakasz: R r x R r; 0 () ~ szakasz: 0 x 0 R r A metszősíkok nyomvonalait piros színnel rajzoltuk meg A ( 6 ) képlet alkalmazásához meg kell határoznunk az y változó értelmezési tartományát, ill annak határait, minden metszetre Ez a Pitagorász - tétellel történik 1 szakasz: y R r x ; i(1) = 0, 1,,, 4 ( 7 ) 1 0,i Fennáll, hogy y y y ( 8 ) 1 1 1

4 4 szakasz: 0,i y R r x ; 0,i y R r x ; i() = 5, 6, 7 Fennáll, hogy bal y y y ; 4 ábra jobb y y y Az ábrázoláshoz felvett x 0,i méretek a 4 ábrán láthatók A felírt összefüggések helyessége a 4 ábrán ellenőrizhető Most írjuk fel egyenként az ábrázolandó tórusz - metszetek képleteit! ( 9 ) ( 10 ) 1 szakasz: 0 : x 0,0 R r; ( 11 ) most ( 7 ) és ( 11 ) - gyel: y 0 ( 1 ) 1,0

5 5 Majd ( 8 ) - nak megfelelően: y 0 ( 1 1,0 Most ( 6 ), ( 11 ), ( 1 ) - mal:, y ) r x y R r R r 0 R 0, 0,0 1,0 0,0 1,0 0,0, y 1,0) 0 ( 14 ) r 1: x0,1 R ; ( 15 ) most ( 7 ) és ( 15 ) - tel: r y1,1 R r x 0,1 = R r R = r R r, 4 y1,1 r R r 4 ( 16 ) Most ( 8 ) szerint: y y y, ( 17 ) 1,1 1,1 1,1 majd ( 16 ) és ( 17 ) - tel: r R r y1,1 r R r 4 4 Ezután ( 6 ) szerint: ( 18 ) 0,1, y 1,1) r x0,1 y1,1 R, ( 19 ) majd ( 15 ) - tel is: r 0,1, y 1,1) r R y1,1 R ( 0 ) : x0, R; ( 1 ) a fentiekhez hasonlóan: y R r x R r R r R r, 1, 0,

6 6 1, y r R r ; ( ) ezzel: r R r y r R r ; ( ) 1, 0,, y 1, ) r x0, y1, R, azaz 0,, y 1,) r R y1, R ( 4 ) r : x0, R ; ( 5 ) r r y1, R r x0, R r R r R, 4 r y1, r R ; 4 ezzel: r r r R y1, r R ; 4 4 0,, y 1,) r x0, y1, R, azaz ( 6 ) ( 7 ) r 0,, y 1,) r R y1, R ( 8 ) 4 : x0,4 R r; ( 9 ) 1,4 0,4 y R r x R r R r R r, y1,4 R r; ( 0 ) ezzel: R r y1,4 R r; ( 1 )

7 7 0,4, y 1,4 ) r x 0,4 y1,4 R, azaz 0,4, y 1,4 ) r R r y1,4 R ( ) szakasz: 5 : x0,5 R r ; ( ) most a ( 9 ) képletekkel: 5 y,5 R r x 0,5 R r R r R r, 5 y,5 R r ; ( 4 ) 1 y,5 R r x0,5 R r R r 5R 6R r 5r, az egyszerűbb alakkal: y,5 R r R r ; most a ( 10 ) képlet szerint: y y y, azaz bal,5,5,5 bal 5 R r R r y,5 R r ; továbbá (5 ) ( 6 ) y y y, azaz jobb,5,5,5 5 jobb R r y,5 R r R r ( 7 )

8 8 0,5, y,5) r x0,5 y,5 R, azaz 0,5, y,5) r R r y,5 R ( 8 ) 1 x R r ; ( 9 ) 6 : 0,6 1 y,6 R r x 0,6 R r R r R r, y,6 R r ; ( 40 ) 1 y,6 R r R r R 5Rr r, az egyszerűbb alakkal: 1 y,6 R r R r ; most a ( 10 ) képlet szerint: ( 41 ) y y y, azaz bal,6,6,6,6 1 bal R r R r y R r ; továbbá y y y, azaz jobb,6,6,6 jobb 1 R r y,6 R r R r ( 4 ) 0,6, y,6) r x0,6 y,6 R, azaz

9 9 1 0,6, y,6) r R r y,6 R ( 4 ) 7 : x 0,7 0; ( 44 ),7 0,7 y R r x R r 0 R r, y,7 R r; ( 45 ),7 0,7 y R r x R r 0 R r, y,7 R r; ( 46 ) most a ( 10 ) képlet szerint: y y y, azaz bal,7,7,7 bal R r y R r, ( 47 ) továbbá,7 y y y, azaz jobb,7,7,7 R r y R r ( 48 ) jobb,7 0,7, y,7 ) r x0,7 y,7 R, azaz 0,7, y,7) r y,7 R ( 49 ) A grafikonokat a Graph programmal készítettük el, R = 50 mm, r = 0 mm adatokkal Az eredményeket az 5 ábra mutatja be Az ábrák kis szépséghibája, hogy a körök ellipszissé torzulnak Ennek az az oka, hogy a képernyő koordináta - rendszerének vízszintes és függőleges tengelyén nem egyenlő nagyok a skála - egységek Az itteni eredmények szakirodalmi megfelelőinek térhatású megjelenítése a 6 ábrán látható

10 10 z Cassini - görbék y ábra ábra Az ábra forrása: [ ]

11 11 Irodalom: [ 1 ] - [ ] - [ ] - [ 4 ] Füzi János: D grafika és animáció PC - n ComputerBooks, Budapest, 1995 Sződliget, 009 június 11 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár