Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről

Átírás

1 1 Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről Egyik előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról arról elmélkedtünk, hogy ha a forgáshenger ferde síkmetszete ( ellipszis ) mentén haladó emel - tyű a henger tengelyével párhuzamos szinuszos ( vetületi ) mozgást végez, akkor milyen ez a mozgás más alkotó -, illetve meridiángörbék esetén; a hordófelület ferde, ellipszis - szerű metszete menti emeltyűmozgást részletesebben meg is vizsgáltuk. Az 1. ábrán olyan mechanizmusok képét mutatjuk meg, ahol a forgástest alkotója egye - nes; ekkor a forgáskúp és az egyköpenyű forgáshiperboloid felületek ferde síkmetszete mentén haladhat az emeltyű. 1. ábra forrása: [ 1 ] A kúpszeletek tanulmányozásából tudjuk, hogy a forgáskúp ábrázolt ferde metszetének metszeti görbéje ellipszis. De vajon milyen görbe lehet az egyköpenyű forgáshiperboloid ferde síkmetszete? Egy ilyen metszési esetet mutat a 2. ábra is. Ennek forrásánál ezt a kér - dést meg is válaszolják: itt is ellipszis a metszeti görbe. Ezt azonban még be is kell látni. Ekkor azonban már egyéb síkmetszetek vizsgálatával is foglalkozhatunk, ami egy érdekes feladatnak ígérkezik. Ezt a munkát már sokan elvégezték, így nekünk csak annyi a dol - gunk, hogy a fellelt források közül kiválasszuk a számunkra leginkább megfelelőket, majd a minket érdeklő munka eredményeként szép függvényábrázolásokat végezzünk. Az egyik ilyen mű [ 2 ], ahol viszonylag sok, számunkra érdekes részletet közölnek e kér - déskörről. Megemlítjük, hogy a [ 2 ] munkát már egy korábbi dolgozatunkban is felhasz - náltuk, tetősíkok lapszögének meghatározásához.

2 2 2. ábra forrás: 3. ábra forrása: [ 2 ] A 3. ábrán az egyköpenyű forgáshiperboloid egy axonometrikus ábráját szemlélhetjük, ahol feltüntették a matematikai leíráshoz alkalmazott térbeli derékszögű k. r. - t is. Először is megmutatjuk, hogyan keletkezik ez a felület. A matematikai könyvekben el - mondják, hogy ez a felület egy hiperbolának a képzetes tengelye körüli megforgatásával áll elő. ( Ha a hiperbolát a valós tengelye körül forgatjuk meg, akkor a kétköpenyű hiper - boloid áll elő. ) A 3. ábráról közvetlenül leolvasható, hogy az egyköpenyű hiperboloid ~ minden z - tengelyre merőleges ( mondjuk itt: vízszintes ) síkmetszete: kör; ~ minden z - tengelyt tartalmazó ( mondjuk itt: függőleges ) síkmetszete: hiperbola. Ezek a tények a felület származtatásának közvetlen következményei. Meridiángörbéjét a 4. ábra mutatja.

3 3 4. ábra Adatok: a = 4 cm; b = 3 cm. ( A ) Ennek implicit egyenlete: ( 1 ) A forgásfelület egyenleteinek felírásához tekintsük az 5. ábrát is! 5. ábra

4 4 Itt feltüntettünk egy h hiperbola - meridiánt, valamint a felület egy α hajlású síkkal való m metszetgörbéjének egy H = M pontját. A forgásfelület egy H pontjának koordinátáit megadó egyenletek: ( 2 / 1 ) ( 2 / 2 ) ( 2 / 3 ) Most ( 2 / 1 ) és ( 2 / 2 ) - ből: majd ( 1 ) és ( 3 ) - mal az egyköpenyű forgáshiperboloid egyenlete: ( 3 ) ( 4 ) A metszősík egyenlete legyen itt alakú! Ekkor az M metszéspont koordinátáira fennáll, hogy ( 5 ) ( 6 ) ekkor ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: rendezve: átalakítva: végül: ( 7 ) Bevezetve a metszet síkjában az η M koordinátát 5. ábra : így ( 7 ) és ( 8 ) szerint: ( 8 ) ( 9 ) A ( 9 ) képletből kiolvasható, hogy 3 - féle típusú metszeti görbe lehetséges: a), azaz: ( 10 )

5 5 ekkor bevezetve a tehát: ( 11 ) rövidítő jelölést, ( 9 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) tehát ( 10 ) fennállása esetén a metszetgörbe kör ( α = 0 ), ill. ellipszis ( 0 < α < α* ). Ezzel beláttuk, hogy a 2. ábra kapcsán tett állítás igaz. b) ( 13 ) ekkor ( 9 ) - ből: ( 14 ) tehát ( 13 ) fennállása esetén a metszeti görbe egyenespár, melynek egyenesei párhu - zamosak az η - tengellyel. c), azaz: ( 15 ) ekkor: azaz: ( 16 ) ekkor ( 9 ) alakja: ( 17 ) majd a

6 6 tehát a ( 18 ) új jelölés bevezetésével ( 17 ) így alakul: ( 19 ) Tehát ( 15 ) fennállása esetén a metszeti síkidom a ( 19 ) szerinti hiperbola. Eredményeinket szemlélteti a 6. ábra. 6. ábra Jól látszik, hogy ~ hogyan nyúlik meg és hasad fel a zárt metszeti görbe, a metszősík hajlásának növekedésével; ~ hogyan oszlik 2 tartományra ellipszisekre és hiperbolákra a görbesereg. Itt a kört is az ellipszisek közé soroltuk.

7 7 A forgásfelület egyenletei esetünkben, ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 20 / 1 ) ( 20/ 2 ) ( 20 / 3 ) A felület axonometrikus képe a 7. ábrán szemlélhető. 7. ábra forrása: A 7. ábra a ( 20 ) képletekkel, az ( A ) adatokkal, a z t, φ s változó - cserével, vala - mint h = 10 ( cm ) felvételével készült, ahol h a forgástest magassága. Megjegyzések: M1. A metszősík hajlásának szögtartományára a forgásszimmetria miatt elegendő az ( a ) kikötést tenni. M2. A metszősík

8 8 szerinti helyzete nem a legáltalánosabb. Ez azt eredményezi, hogy a forgáshiperboloid ilyetén síkmetszetei sem a lehető legtöbb fajtájúak. Egy általánosabb ( b ) ( 5 ) felvétel például már parabola - metszetet is adna, ( c ) esetében. Ugyanis megfigyelhetjük, hogy az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszetei ugyanolyan típusúak, mint aszimptotikus kúpjának metszetei. Az aszimptotikus kúp előáll a meridián - hiperbola aszimptotáinak z - tengely körüli megforgatásával. Ha a hiperbolát megforgatjuk, akkor vele együtt az aszimptotáit is, így e kúp együtt jár a hiperboloidjával. A 8. ábrán a kétféle forgáshiperboloidot szemlélhetjük, az azokat elválasztó aszimptotikus kúppal együtt. 8. ábra forrása:

9 9 Az itt ábrázolt két hiperboloid meridián - hiperbolái egymás konjugáltjai, melyek egyenlete ld.: [ 3 ]! : ( d ) míg az aszimptotáké A meridián - hiperbola, illetve az alkotó - egyenes megforgatása után a összefüggéssel is ~ a forgáshiperboloidok egyenlete: ~ az aszimptotikus kúpjuk egyenlete: ( e ) ( f ) ( g ) ( h ) A konjugált hiperbolákat és aszimptotáikat a 9. ábrán ábrázoltuk, a ( d ), ( e ), ( A ) kapcsolatok szerint. 9. ábra

10 10 A 9. ábrán ábrázolt grafikonok függvényei az ábra jobb felső sarkában olvashatók, esetleges nagyítás után. A 10. ábra segít áttekinteni a lehetséges síkmetszeteket. 10. ábra forrás:

11 11 M3. A metszősík legáltalánosabb alakja: ( i ) Ezt az esetet viszonylag könnyen visszavezethetjük a ( b ) szerintire. Minthogy ( b ) a metszősík esésvonalának egyenlete is, ezért ( i ) - t transzformálnunk kell; vagyis meg kell keresnünk a sík eredeti ( Ox 1 y 1 z ) k. r. - ében azt az ( Oxyz ) tengelyrendszert, melyben a sík egyenlete ( b ) alakú, majd ezzel már dolgozhatunk. Ezt a munkát sem végezzük el itt, csak megemlítjük, hogy az előbb elmondott forgatási transzformációhoz adalékot szolgál - tathat egy korábbi dolgozatunk, melynek címe: Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? M4. A ( 13 ) szerinti α* szög nem más, mint a hiperbola aszimptotái és valós tengelyük közbezárt szöge 4. ábra. Némiképpen meglepőnek tűnhet, hogy ugyanezt a szöget zárják be a ferde metszés b) esetében a metszeti egyenesek is az Oxy síkra vett vetületükkel. A meglepetés forrása az a tény lehet, hogy amíg az aszimptoták pl. az x tengellyel az xoz síkban, addig a ( 14 ) szerinti metszeti egyenesek és az Oxy síkra vett merőleges vetületük az yoz síkkal párhuzamos síkban zárják be ugyanezt a szöget 11. ábra. 11. ábra M5. Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak, hogy végezze el az itt kihagyott metszetgörbe - vizsgálatokat! M6. A ( 7 ) és ( 9 ) egyenletek alakja teljesen hasonló, ami arra a gondolatra / tételre vezet(het), hogy egy másodrendű görbe vetülete ugyanolyan típusú másodrendű görbe.

12 12 M7. A 10. ábrán talán helytakarékosság miatt nem szerepel a ferde metszés c) esete. M8. Most egy elnevezésekkel kapcsolatos kérdést hozunk szóba. Többször említettük az egyköpenyű forgáshiperboloid kapcsán az alkotó és a meridián - görbe kifejezést is. Mindkettőt jellemzi, hogy azokat egy tengely körül megforgatva előáll a forgásfelület. Az itteni felületnél: ~ az alkotó: egy a forgástengelyhez képest kitérő helyzetű egyenes 12. ábra; ~ a meridángörbe, amit a z - tengely körül forgó félsíkban értelmezünk [ 4 ] : a hiperbola ld. pl.: 3., 4., 5., 7. ábra. 12. ábra forrása:[ 5 ] Amint azt [ 4 ] - ben matematikailag kimutatják, az egyenes alkotó megforgatásával kapott felület implicit egyenlete ugyanaz, mint a hiperbola - meridián megforgatásával kapott ( 4 ) egyenlet. M9. A forgáskúp és az egyköpenyű forgáshiperboloid közeli rokonságát az is szemlélteti, hogy ha a 12. ábrán a z forgástengely és a g alkotó r távolságát a nullához tartatjuk, akkor a forgáshiperboloid tart a forgáskúphoz. Tehát nem a véletlen műve, hogy síkmetszeteik egyforma típusúak. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a forgáskúp az egyköpenyű forgáshiper - boloid speciális esete. M10. Közvetlen feladatunkat az 1. ábra jobb oldali részén a vájat síkgörbe tengelyvonala mibenlétének kiderítését elvégeztük, majd ennek kapcsán néhány más összefüggést is megbeszéltünk. Az interneten ( is ) található sok szép, számítógéppel készített szemléltető ábra segítségével ma sokkal könnyebb elképzelni / elképzeltetni a nem is annyira egyszerű térbeli viszonyokat, mint a számítógép - előtti korban. Szerencsére!

13 13 Források: [ 1 ] I. I. Artoboljevszkij: Mehanizmü v szovremennoj tyehnyike Tom IV., Nauka, Moszkva, 1975., 59. o. [ 2 ] P. Sz. Mogyenov: Analityicseszkaja geometrija Izd. Mosz. Unyiv., Moszkva, 1966., 288 ~ 291. o. [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 260. o. [ 4 ] Szerk. Gáspár Gyula: Műszaki matematika III. kötet Tankönyvkiadó, Budapest, 1969., 33. o. [ 5 ] Georg Glaeser: Der mathematische Werzeugkasten: Anwendungen in Natur und Technik 4. kiadás, Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2014., 156. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár