Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban. Bevezetés

Átírás

1 1 Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban Bevezetés Előző dolgozatainkban melyek jelölése és címe: ~ ED - 1: Ismét egy érdekes mechanizmusról; ~ ED - 2: A hordófelület síkmetszeteiről ; ~ ED - 3: Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről felmerült az eldöntendő kérdés, hogy egy forgásfelület ferde síkmetszete ellipszis - e vagy sem. Az ED - 1 és ED ben előforduló forgástest meridiángörbéje másodfokú parabola, melynek tengelye merőleges a forgástengelyre. E forgásfelület melyet hordófelületnek neveztünk el ferde síkmetszete ellipszishez hasonló görbének adódott. Minthogy para - méteres egyenletrendszere elég bonyolult, ránézésre nem nagyon lehetett eldönteni, hogy ez miféle görbe. Az ED ban hiperbola meridiángörbéjű forgásfelület ferde metszetéről kellett belát - nunk, hogy az ellipszis. Az előzőekben visszatérő kérdésre találtunk egy egyszerű, de talán nem közismert vá - laszt, amit itt most közzéteszünk. Tárgyalás Az ED ban tanulmányozott esetben könnyen be lehetett azonosítani, hogy a metszeti görbe egy M pontjának ( x M, η M ) koordinátáira vonatkozó ( a ) implicit függvénykapcsolat ellipszis, egyenespár, illetve hiperbola, az szorzója előjelé - nek függvényében. Itt tehát nem kellett kerülő utat találnunk a kérdés A metszetgörbe ellpszis - e? ( b ) eldöntéséhez. Az egyszerűbb képletek miatt az ED beli feladat mintapéldán keresztül mutatjuk meg a ( b ) kérdés megválaszolásának egy másik módját. Itt átvesszük az előző dolgozatok egyes képleteit, ábráit, hosszabb magyarázat nélkül. Az egyköpenyű forgáshiperboloid mint forgásfelület egy H pontja koordinátáit meg - adó paraméteres egyenletrendszer: ( 1 / 1 ) ( 1 / 2 ) ( 1 / 3 )

2 2 A forgásfelület hiperbola - meridiánjának egyenlete: ( 2 ) Ezt mutatja az 1. ábra, az alkalmazott jelöléseket is értelmezve. 1. ábra Az x tengelyen átmenő, az xoy síkkal α szöget bezáró metszősík egyenlete 2. ábra : ( 3 ) A 2. ábrán feltüntettünk egy h hiperbola - meridiánt, valamint a felület egy α hajlású síkkal való m metszetgörbéjének egy H = M pontját. 2. ábra

3 3 A vizsgált esetet mutatja a 3. ábra. 3. ábra forrás: Egy M metszéspont koordinátáira fennáll, hogy ( 4 ) A meridián explicit függvénye ( 2 ) - ből: ( 5 ) Most ( 1 ) és ( 5 ) - tel e forgásfelület paraméteres egyenletrendszere: ( 6 / 1 ) ( 6 / 2 ) ( 6 / 3 ) A síkmetszet pontjaira ( 3 ), ( 4 ) és ( 6 / 2 ) - vel: ( 7 ) négyzetre emeléssel: kifejtve: rendezve:

4 4 innen: majd ebből gyökvonással: ( 8 ) Most térjünk vissza egy pillanatra ( 7 ) - hez! Ebből látható, hogy z M előjele sinφ előjelé - től függ, így ( 8 ) átírható erre az alakra: ( 9 ) Ezután tekintsük a 4. ábrát! Itt bevezetjük a metszősíkbeli η M, R M és ϑ paramétereket is. 4. ábra Eszerint írhatjuk, hogy ( 10 ) most ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 )

5 5 ismét a 4. ábra alapján: ( 12 ) ezután ( 9 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) Ismét a 4. ábra szerint, Pitagorász tételével: ( 14 ) most ( 11 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: tehát: ( 15 ) figyelembe véve, hogy ( 16 ) ( 15 ) - ből pozitív gyökvonással: ( 17 ) Nekünk itt nem a φ, hanem a ϑ változóval kifejezett kapcsolatokra van szükségünk, ezért feállítjuk φ és ϑ összefüggését. A 4. ábra szerint: tehát:

6 6 ( 18 ) Innen inverz - képzéssel: ( 19 ) Ha ( 19 ) - et ( 17 ) - be helyettesítjük, akkor megkapjuk a keresett R = R( ϑ ) kapcsolatot. Ez azonban nem igazán áttekinthető, ezért inkább azonos átalakításokat végzünk; ( 18 ) - cal is: ( 20 ) Most ( 15 ) - ből: ( 21 ) majd ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: tehát: : ( 22 / 1 ) ( 22 ) Most írjuk fel az ellipszis polárkoordinátás egyenlet - alakját! A derékszögű koordinátákkal felírt implicit kapcsolat ld. 5. ábra: ( 23 )

7 7 5. ábra A derékszögű és a polárkoordináták között fennáll, hogy ( 24 ) Most ( 23 ) és ( 24 ) - gyel: ( 25 ) Ha a metszeti görbe ellipszis, akkor ( 22 / 1 ) és ( 25 ) egyezik, tehát ezzel: a két függvény jellege ugyanaz; az együtthatók összehasonlításából: ( 26 / 1 )

8 8 most ( 26 / 1 ) - gyel is: innen: ebből: ( 26 / 2 ) Most ( 25 ) és ( 26 ) - tal: tehát: ( 27 ) A ( 27 ) egyenlet a metszeti ellipszis polárkoordinátás egyenlete. A metszeti ellipszis paraméteres egyenletrendszere ( 24 ) és ( 27 ) - tel: ( 28 / 1 ) ( 28 / 2 )

9 9 Most ábrázoljuk a ( 22 ) szerinti metszeti görbét! Adatokat választunk, a korábbiak szerint: a = 4 ( cm ); b = 3 ( cm ); tgα = 1 / 2 < tgα* = 3 / 4. ( A ) A 6. ábra grafikonját ( 22 ) és ( A ) alapján a Graph ingyenes szoftverrel készítettük el. 6. ábra Az 5. és a 6. ábra görbéi megegyeznek. Ezt igen egyszerűen tudjuk igazolni : egymásra rajzoljuk a két görbét, melyek teljes egyezésük esetén egy vonalnak látszanak. Ezt látjuk a 7. ábrán. Itt a polárkoordinátás egyenletével adott metszeti görbét vastag piros, a derékszögű koordinátás implicit egyenletével adott ellipszist vékony sárga vonallal rajzoltuk meg. Jól látható pl. nagyítás után hogy teljes az egyezés. Eszerint a metszeti görbe: ellipszis. Az ilyen összerajzolás sok esetben jelenthet igen komoly segítséget. Most foglaljuk össze az eddigieket! 1.) Nem vagyunk biztosak benne, hogy a forgásfelület síkmetszete ellipszis, ezért elkészít - jük a síkmetszet polárkoordinátás egyenletét, a metszeti síkban ( 22 ) egyenlet, majd azzal ábrázoljuk eredményünket.

10 10 7. ábra 2.) A feltételezett ellipszis kis - és nagytengelyének ismeretében ( amiket az előző pontban elvégzett ábrázolás során már megkaptunk ) megrajzoljuk az ellipszist, egy az előzőtől független egyenlet pl. az ellipszis ( 23 ) kanonikus egyenlete alapján. 3. ) Összerajzoljuk a két görbét, melyek teljes ( minden pontjukban meglévő ) egyezése bizonyítja számunkra, hogy az először megrajzolt metszetgörbe is ellipszis. Persze, az egyezés már korábban is kiderülhet, amit a grafikonok vizuálisan is megerősí - tenek. Az itt elmondottak arra is jók, hogy elvi pl. számítási / számolási hibákat ki - szűrjünk. Ezt saját tapasztalatból mondhatjuk. Nem árt tudni, hogy kis változtatással a hiperbola - metszet esetére is jók lehetnek a fentebb kifejtettek. Megjegyzések: M1. Ha az egyköpenyű hiperboloid felületére vésünk egy ellipszis tengelyvonal - alakú vájatot, majd a hiperboloidot megforgatjuk, akkor egy a vájatban futó tapintó által érzékelt forgástengely - irányú w elmozdulásra azt kapjuk, hogy: ( 29 )

11 11 most ( 9 ) és ( 29 ) szerint: ( 30 ) A ( 8 ) ábra mutatja a ( 30 ) függvény képét, az ( A ) adatokkal. 8. ábra Ez bizony meglepetést okozott: a görbe egyes szakaszai igen közel állnak az egyeneshez; ezt a berajzolt érintők is mutatják. Eszerint ha ilyen mechanizmust készítenénk, akkor an - nak elmozdulása szinte egyenesen arányos lenne a szögelfordulással, a fordulók előttig. Nem vagyunk biztosak benne, hogy pontosan ilyen mechanizmus létezik; az általunk lá - tott, jobban ábrázolt esetekben a horony tengelyvonala nem sík -, hanem térgörbe kialakí - tásúnak tűnt. M2. Eddig innen hiányzott, ezért most elvégezzük az egyköpenyű forgáshiperboloid kinematikai alapon történő származtatását. Ehhez tekintsük a 9. ábrát is! Itt a z és a g egyenesek egymáshoz képest kitérő helyzetűek, távolságuk a. A g egyenest alkotónak, a z egyenest forgástengelynek nevezzük. Köztük merev kapcsolat van.

12 12 9. ábra A g egyenest z körül megforgatjuk, miközben g - n egy Q pont haladó mozgást végez. A mozgás kezdetén, a t = 0 időpillanatban, a forgó egyenesen mozgó Q pont a tér P 0 ( a, 0, 0 ) pontjában van. Majd eltelik t idő, melynek végén a vizsgált Q pont a tér P ( x, y, z ) pontjában található. Írjuk fel a Q pont koordinátáinak kifejezéseit! A 9. ábra szerint: ( 31 / 1 ) ( 31 / 2 ) ( 31 / 3 ) Az itt alkalmazott jelölések: ~ α: az g alkotó - egyenes hajlása ( az Oxy vízszintes síkhoz képest ); ~ φ: az a sugár és a vele mereven összeerősített g egyenes szögelfordulása a z - tengely körül; ~ e: a Q pont elmozdulása a g egyenes mentén. Úgy képzelhetjük el, mintha a Q pont egy a g egyenesen elmozdítható csúszka középpont - ja lenne. Először az e paramétert küszöböljük ki ( 31 ) - ből; ehhez ( 31 / 3) - ból: ( 32 ) majd ( 32 ) - t behelyettesítjük ( 31 / 1 ) és ( 31 / 2 ) - be: ( 33 / 1 ) ( 33 / 2 )

13 13 Másodszor a φ paramétert küszöböljük ki; ( 33 ) - at négyzetre emelve: ( 34 / 1 ) ( 34 / 2 ) majd ( 34 ) két egyenletét összeadva: tehát: ( 35 / 1 ) rendezve: ( 35 / 2 ) bevezetve a ( 35 / 3 ) jelölést ld.: 1. ábra!, ( 35 / 2 ) és ( 35 / 3 ) - mal adódik, hogy ( 35 / 4 ) ami az egyköpenyű forgáshiperboloid implicit egyenlete. Eszerint a Q pont egyköpenyű forgáshiperboloid felületen mozog. Érdemes végiggondolni a ( 35 ) képletek alapján az alábbi speciális eseteket is: ~ a = 0, 0 < α < π / 2 : ( kettős ) forgáskúp ; ~ a ǂ 0, α = π / 2 forgáshenger ; ~ α = 0 : ( koordináta - )sík.

14 14 Ez megerősíti azon vélekedésünket, hogy nem a véletlen műve, miszerint a forgáshenger, a forgáskúp és az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszetei rokonok. Érthető, hiszen maguk az elmetszett felületek is rokonok: a ( 35 ) egyenletek kapcsolják őket össze. A kinematikai származtatásból látszik, hogy az egyköpenyű forgáshiperboloid egyenes alkotókkal bír. Mivel az α ( α ) helyettesítéssel ( 35 / 4 ) változatlan marad, így látjuk, hogy e felület két egyenes alkotósereggel rendelkező vonalfelület 10. ábra. 10. ábra forrása: [ 1 ] Megemlítjük, hogy itt lényegtelen a z - körüli forgó mozgás ω szögsebességének és a g - menti haladó mozgás v sebességének a nagysága, illetve időfüggése. Befejezés Ebben a dolgozatban ismertettünk egy olyan gyors kerülő eljárást, melynek segítségével gyakorlatilag teljes pontosan eldönthető egy görbéről, hogy az ellipszis - e vagy sem. Ezt itt az egyköpenyű forgáshiperboloid ferde síkmetszetének példáján mutattuk be. Az igazi hasznát ezen megoldási módnak akkor tapasztaljuk meg, ha egy az ellipszisre nagyon hasonlító metszeti görbe adódik, amiről nem tudjuk, hogy az pontosan milyen görbe. Ezt az elgondolást már máshol is alkalmaztuk: a hordófelület ellipszisszerű ferde metsze - tének esetében. Ehhez ld.: ED - 1! A munka során nem mellékesen újszerű összefüggéseket írtunk fel az egyköpenyű forgáshiperboloid ellipszismetszetére, valamint átismételtük az egyköpenyű hiperboloid

15 15 kinematikai származtatását is. Tudjuk: Egy újszülöttnek minden vicc új. Felhasznált irodalom: [ 1 ] Hajós György: Bevezetés a geometriába 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 526. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár