Egy nyíllövéses feladat

Átírás

1 1 Egy nyíllövéses feladat Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 / 1 ] Igencsak tanulságos, ezért részletesen bemutatjuk a megoldását. A feladat Egy sportíjjal nyilat lövünk ki. A sportíj erő - elmozdulás / kihúzás diagramja az 1. ábrán megadott másodfokú parabola szerinti.

2 2 a) Mekkora lesz a nyílvessző sebessége a talajba való becsapódáskor, ha az íj teljes feszítési tartományát kihasználtuk? b) Egy gyakorlott íjász milyen messzire tud ellőni ezzel az íjjal? c) Határozzuk meg a nyílvessző levegőben tartózkodásának idejét, erre az esetre! d) Határozzuk meg a nyílvessző által elért legnagyobb magasságot! e) Milyen mélyen hatol be a nyílvessző a becsapódási pontban álló céltáblába, ha a nyíl - vessző és a céltábla között egy állandó F N = 500 N nagyságú normális erő lép fel, mi - közben a súrlódási tényező μ = 0,5? A megoldás Ahhoz, hogy a hajítási parabola adatait meg tudjuk határozni, szükségünk van a kilövési kezdősebesség nagyságára. Ehhez elő kell állítanunk a jelleggörbe - parabola egyenletét. A kifeszítő / felajzási erőt leíró másodfokú parabola általános egyenlete: ( 1 ) Az ( 1 ) egyenletben szereplő ( a, b, c ) állandók meghatározására ( legalább ) 3 darab feltételi egyenletet kell felírnunk. Ezek az alábbiak is lehetnek 2. ábra: 2. ábra ( 2 )

3 3 most ( 1 ) és ( 2 ) szerint: majd a P 1 [x 1, F( x 1 ) ], P 2 [ x 2, F( x 2 ) ] pontokra: ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) most ( 4 ) és ( 5 ) különbségével: ( 6 ) Ezután pl. ( 4 ) - ből, ( 6 ) - tal is: ( 7 ) A parabola adatai az 1. ábra szerint: most ( 6 ) ( A1 ), ( A2 ) - vel: ( A1 ) ( A2 ) ( E1 ) Majd ( 7 ) ( A1 ), ( A2 ) - vel:,

4 4 ( E2 ) Ezután ( 3 ), ( E1 ) és ( E2 ) - vel: ( 8 ) A ( 8 ) függvény grafikonja látható a 2. ábrán. A nyílvessző kilövési kezdősebességét energetikai megfontolással kapjuk, a veszteségeket elhanyagolva: az íj megfeszítésekor végzett munka a nyílvessző mozgási energiáját vál - toztatja meg: ( 9 ) minthogy ( 10 ) így ( 9 ) és ( 10 ) szerint: ( 11 ) innen a nyílvessző kezdősebességének nagysága: ( 12 ) Látjuk, hogy a következő teendő a W feszítési mennyiség meghatározása. Ennek képlete: ( 13 ) a Graph szoftver egy szolgáltatásával a feszítési munka nagysága mint az F( x ) függ - vény görbéje alatti terület : ( E3 ) További adatok az 1. ábráról: M nyíl = 0,04 kg ; g = 9, 81 m / s 2 ; F N = 500 N ; μ = 0,5. ( A3 ) a) A kilövési sebesség nagysága ( 12 ), ( E3 ) és ( A3 ) szerint:

5 5 3. ábra ( V1 ) A ( V1 ) végeredmény egyezik az 1. ábrán megadottal. Ennek magyarázatához annyit, hogy a kilövési és a talajba csapódási sebesség közel egyenlő nagyságú, ha eltekintünk a veszteségektől, valamint attól a ténytől, hogy a nyíl kilövése nem a talaj felszínén, hanem valamivel felette történt, az íjász testalkatának meg - felelően. A továbbiakban [ 2 ] nyomán összefoglaljuk a ferde hajítás főbb összefüggéseit, mivel úgy vesszük, hogy a nyílvessző tömegközéppontja egy másodfokú parabola mentén végzi haladó mozgását. ( Ugyanis a légellenállástól eltekintünk, az útmutatásnak megfelelően. ) A ferde hajítás ismert mozgásegyenletei: ( 14 ) A sebesség vízszintes, ill. függőleges irányú összetevői 4. ábra:

6 6 v 0 4. ábra forrása: [ 1 / 2 ] ( 15 ) A ferdén elhajított test addig emelkedik, amíg a függőleges irányú sebességkomponense zérussá nem válik, vagyis az emelkedés ideje: ( 16 ) A h legnagyobb emelkedési magasságot a t e idő alatti függőleges elmozdulás adja; ( 14 / 2 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) Az egész mozgás T idejét abból a feltételből számítjuk ki, hogy a mozgás befejezésekor a függőleges elmozdulás zérus, azaz: innen: ( 18 ) A hajítás x max távolságát a T idő alatt megtett vízszintes elmozdulás adja; ( 14 / 1 ) és ( 18 ) - cal: ( 19 )

7 7 ( 19 ) - ből látható, hogy adott v 0 esetén akkor a legnagyobb a hajítási távolság, ha ( 20 ) ekkor ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 21 ) Az összefoglalt eredmények alapján a feladat további kérdéseire a válaszok az alábbiak. b) A maximális lőtávolság ( 21 ), ( V1 ) és ( A3 ) - mal: ( V2 ) A ( V2 ) végeredmény egyezik az 1. ábrán megadottal. c) A nyíl mozgásának időtartama ( 18 ), ( 20 ), ( V1 ) és ( A3 ) - mal: ( V3 ) A ( V3 ) végeredmény egyezik az 1. ábrán megadottal. d) A nyílvessző által elért legnagyobb magasság ( 17 ), ( V1 ), ( 2 ) és ( A3 ) - mal: ( V4 ) A ( V4 ) végeredmény egyezik az 1. ábrán megadottal. e) A nyílvesszőnek a céltáblába való z behatolási mélységét munkatétellel számítjuk: a nyílvessző kilövéskori és a veszteségek elhanyagolása miatt a becsapódáskori mozgási energiáját a céltáblába behatolás során fellépő állandó, ( 22 ) nagyságú súrlódási erő munkája emészti fel; azaz közelítőleg írhatjuk, hogy

8 8. ( 23 ) Most ( E3 ), ( A3 ) és ( 23 ) szerint: ( V5 ) A ( V5 ) végeredmény egyezik az 1. ábrán megadottal. Ezzel a kitűzött feladatokat megoldottuk. Megjegyzések: M1. A fenti feladatot elvileg is, gyakorlatilag is nagyon fontosnak tartjuk. Ennek az az oka, hogy a probléma pontosabb vizsgálata egy nagyon nehéznek mondható matematikai és fizikai feladat megoldását jelenti. Ugyanis a probléma nemlineáris, ahogyan az az íj karakterisztikájáról rögtön látható: az erő és az elmozdulás nem egyenesen arányosak. Másfelől a feladat példamutató abban a tekintetben is, hogy mintegy sugallja: milyen lépésekkel, mely közelítésekkel célszerű élni a megoldás során. Nagyon jó és szép feladat! M2. Mostanában a számítógépes világban egyre több olyan problémát vesznek elő a kutatók, melyekkel korábban csak alig - alig foglalkoztak. E sorok írója először [ 3 ] - ban találkozott az íj / nyíl ~ problémával, ill. annak egy változatával. M3. A sportíjakat gyártó cégek bizonyára láttak már ilyen, vagy ehhez hasonló feladatot. Nyilván ismerik íjaik karakterisztikáját, melynek felvétele mérésekkel, majd azt követő pl. regresszió - számítással is lehetséges, viszonylag sok ( az itteni háromnál több ) mérési pont adatainak feldolgozásával. M4. További vizsgálatokról és szakirodalmi forrásokról tájékoztat a [ 4 ] dolgozat is. Források: [ 1 / 1 ] [ 1 / 2 ]

9 9 [ 2 ] Szalay Béla: Fizika 4. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] V. I. Feodosyev: Selected Problems and Questions in Strenght of Materials Mir Publishers Moscow, [ 4 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár