A tér lineáris leképezései síkra

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A tér lineáris leképezései síkra"

Átírás

1 A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása egy előre rögzített képsíkon. A háromdimenziós térben lévő alakzatokat a kétdimenziós síkon ábrázolva az alkalmazott leképezés (általában vetítés) elfajuló lesz. Ezért használunk több vetületet (pl. Mongeprojekció), vagy egy vetület mellett még más információkra is szükségünk van (pl. kótás projekció). Az ábrázoló geometriában a leképezések lineáris tulajdonsága azt jelenti: 1. pont képe pont 2. egyenes képe általában egyenes (kivételes esetben pont) 3. illeszkedéstartás A nemlineáris leképezések megkülönböztetése az alapján történik, hogy az egyenes képe nem egyenes, hanem más alakzat. 1 Például: 1. Ciklografikus leképezés: Egy térbeli ponthoz a képsíkon egy olyan irányítással ellátott kört rendelünk, melynek a középpontja a térbeli pont merőleges vetülete a síkon, a sugara egyenlő a pont képsíktól mért távolságával, és az irányítás attól függ, hogy a pont a képsík fölött, vagy alatt helyezkedett el. Ezeket az irányítással ellátott köröket ciklusoknak nevezzük. Egy egyenes képe ezek alapján ciklusok egy halmaza. 2. Netz-projekció: Adott két kitérő egyenes, és egy térbeli pontot úgy képezünk le a képsíkra, hogy vesszük a kitérő egyenesek adott pontra illeszkedő transzverzálisát, és azzal elmetsszük a képsíkot. Egy egyenes leképezésénél a három kitérő egyenes által adott egyköpenyű hiperboloidot (esetleg nyeregfelületet) metsszük a képsíkkal. Tehát egy egyenes képe általában kúpszelet. A térnek a síkra történő lineáris leképezései három csoportba sorolhatók: 1. Kétképsíkos eljárás 2. Nyomelemes eljárás 3. Axonometrikus leképezés 1 Akár az is előfordulhat, hogy egy pont képe nem pont lesz. Olyan leképezéssel, ahol pont képe nem egyenes a projektív geometriában találkozhattunk. Síkon egy nemelfajuló másodrendű görbe által indukál pólus-poláris kapcsolat ilyen volt. A sík bármely pontjához ez a leképezés a görbére vonatkozó poláris egyenest rendeli. Egy egyenes pontjaihoz ily módon egy sugársor rendelődik. Ennek a leképezésnek a térbeli megfelelője, ha a térben egy nemelfajuló másodrendű felület megadás után egy ponthoz a felületre vonatkozó polársíkot rendeljük. Az előbbi pólus-poláris, illetve pólus-polársík kapcsolatok nem képezték le a teret a síkra!!

2 Főtéralakzat Kitüntetett alakzat a térben, amely a teret felfeszíti, és meghatározza az adott leképezést, speciális koordináta-rendszerként viselkedik. Főképalakzat A képsíkon egy olyan adathalmaz, amelyből a főtéralakzatra egyértelműen tudunk következtetni, a térbeli szerkesztések síkon való elvégzését teszi lehetővé, de nem síkbeli koordinátarendszer. ( Főtéralakzat képe ) Π 1 és Π 2 síkpár, metszésvonaluk: m Mindkét síkhoz tartozik egy-egy centrum: C 1 és C 2. A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a C 1 Π 1 - től és C 2 Π 2 -től való távolságát, valamint a Π 1, Π 2 síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem a pont ábrázolása): 1. Kétképsíkos eljárás A térbeli pontokat a C 1 ponton keresztül a Π 1 síkra, és a C 2 ponton keresztül a Π 2 síkra vetítjük. P tetszőleges pont a térben. P : P képe a Π 1 síkon, PC 1 egyenes metszéspontja a Π 1 síkkal P : P képe a Π 2 síkon, PC 2 egyenes metszéspontja a Π 2 síkkal Magpontok: A C 1 C 2 egyenes elmetszi a síkokat, ezek a metszéspontok a centrumok megfelelő képei: C 2 képe a Π 1 síkon: C 2 C 1 képe a Π 2 síkon: C 1 A P és P pontok rendezetten helyezkednek el a síkokon, amely azt jelenti, hogy PC 1 és PC 2 egyenesek a síkok m metszésvonalán metszik egymást. (Ezek az egyenesek a PC 1 és PC 2 vetítősugarak síkjának a Π 1, Π 2 síkokkal vett metszésvonalai.) Ezzel az eljárással bármely térbeli ponthoz egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt. Ha megadunk egy Q és Q rendezett pontpárt a Π 1, Π 2 síkokon, akkor a QC 1 és QC 2 egyenesek metszik egymást, és keletkezett metszéspont Q. Vagyis egy rendezett pontpárhoz egyértelműen hozzátartozik egy térbeli pont. (A fenti leképezés kölcsönösen egyértelmű!)

3 Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π 1, Π 2 síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π 1, Π 2 síkokat (magpontokkal, metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. A magpontok vetületeit is magpontoknak fogjuk nevezni. A síkok m metszésvonalát és magpontok képét kell megadni. Az ábrán egy pont ábrázolását mutattam meg. Speciális esetek: 1.1. Monge-projekció 1.2. Kavalier-axonometria 1.3. Perspektíva 1.1. Monge-projekció A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1, C 2 centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A PC 1 és PC 2 vetítősugarak síkja minden esetben merőleges a Π 1, Π 2 síkokra. Mivel a C 1, C 2 centrumok a végtelenben vannak, ezért a magpontok is a végtelenben vannak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum egy 45º-os képsíkszögű (és a síkok metszésvonalára merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. A Π 1, Π 2 síkok egyesítése úgy történt, hogy a Π 1 síkot egy a metszésvonaluk körüli forgatással egyesítettünk a Π 2 -vel. Ezt a beforgatást helyettesítjük a C -ből való vetítéssel.

4 A Π képsíkon megadjuk a Π 1, Π 2 síkok metszésvonalának képét, melyet x 1,2 -vel jelölünk. Mivel a magpontok végtelentávoliak voltak, ezért a C -ből való vetítés után a képeik is végtelentávoliak lesznek, méghozzá az x 1,2 -re merőleges irány jelöli ki. Ezért a Mongeprojekcióban a rendezőegyenesek merőleges a x 1,2 - re. A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1, C 2 centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. (Ugyanaz, mint a Mongeprojekciónál.) 1.2. Kavalier-axonometria A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum egy Π-hez képest ferde (síkok metszésvonalára nem merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. Ha egy derékszögű koordinátarendszert úgy csatolunk a főtéralakzathoz, hogy az y tengely a Π 1, Π 2 síkok metszésvonala, akkor a két magpont az x és z tengelyek végtelentávoli pontja. A Π képsíkon az előbbi kooordinátarendszer vetületeit adjuk meg. Most egy pont ábrázolását bemutatva megadjuk a P és P pontok P + és P + vetületeit. Mivel a térben magpontok végtelentávoliak, ezért a vetületeik is végtelen távoliak, a képsíkon x + és z + egyenesek végtelen távoli pontjai, a rendezők az y + egyenesen megtörnek. A P + és P + pontokból előállíthatjuk a P pont C -ből való P + vetületét, melyet a P pont axonometrikus képének nevezünk.

5 A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1 a Π 1 síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont, C 2 pedig véges helyzetű Perspektíva (gyakorlati perspektíva) A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból vetítjük a megfelelő síkra. A Π 1 sík (az ún. alapsík) vízszintes helyzetű, erre helyezzük az ábrázolandó tárgyakat. A Π 2 sík függőleges helyzetű, melyen az alakzat centrális vetületét állítjuk elő. A Π 1, Π 2 síkok metszésvonala az alapvonal. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum pedig a C 2 -vel. A C-ből való vetítés során az alaprajzok, azaz az alakzat első képe a Π-re vetítődik, a második képek helyben maradnak. A Π képsíkon megadjuk az alapvonalat, a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. Az ábrán egy alapsík fölött elhelyezkedő P pont ábrázolását látjuk. Π 1 és Π 2 síkok, metszésvonaluk: m A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a Π 1, Π 2 síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem az egyenes ábrázolása): Egy egyenest a Π 1, Π 2 síkokkal alkotott metszéspontjaival (nyompontok) adjuk meg. Egy síkot a Π 1, Π 2 síkokkal alkotott 2. Nyomelemes eljárás

6 metszésvonalaival (nyomvonalak) adjuk meg. A nyomvonalak az m egyenesen metszik egymást. Pontot közvetlenül nem tudunk megadni, csak egyenesen! Ezzel az eljárással bármely egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt, és bármely síkhoz hozzárendeltünk egy metsző egyenespárt. A főtéralakzat visszaállítása után megadunk egy N 1 és N 2 nyompontpárt, akkor a rájuk illeszkedő egyenest két pontjával egyértelműen megadtuk. Egy olyan n 1, n 2 nyomvonalpár, melyek az m egyenesen metszik egymást, egyértelműen felfeszítenek egy síkot. Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π 1, Π 2 síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π 1, Π 2 síkokat (metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. A síkok m metszésvonalának képét kell megadni. Most az ábrán egy síkot ábrázoltam. Speciális esetek: 2.1. Kótás projekció 2.2. Centrális projekció 2.1. Kótás projekció Π 1, Π 2 párhuzamos síkok, m végtelen távoli egyenes. A Π 1 sík a (0)-szintsík, a Π 2 az (1)-es szintsík. Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N 1 és N 2 pontokban metszi a Π 1, Π 2 síkokat, ezek a pontok a (0)-s és (1) kótájú pontjai az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n 1 és n 2 egyenesekben metszi a Π 1, Π 2 síkokat, ezek az egyenesek a (0)-s és (1) kótájú szintvonalai az adott síknak. Ezzel az eljárással egy egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt és egy síkhoz egy párhuzamos egyenespárt. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 1 -gyel, a hozzá tartozó C centrum a merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. Mivel a Π képsíkon m képe végtelen távoli egyenes, ezért nem kell megadnunk más adatot. A képsíkon egy sík és egy rá illeszkedő egyenest ábrázoltam.

7 2.2. Centrális projekció Π 1 általános helyzetű sík Π 2 végtelen távoli sík Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N 1 és N 2 pontokban metszi a Π 1, Π 2 síkokat, nyompontja és végtelen távoli pontja az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n 1 és n 2 egyenesekben metszi a Π 1, Π 2 síkokat, nyomvonala és végtelen távoli egyenese az adott síknak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 1 -gyel, a hozzá tartozó C centrum véges helyzetű. A Π képsíkon megadjuk a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. A képsíkon egy síkot és egy rá illeszkedő egyenest adtam meg.

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás Géprajz - gépelemek AXO OMETRIKUS ábrázolás Előadó: Németh Szabolcs mérnöktanár Belső használatú jegyzet http://gepesz-learning.shp.hu 1 Egyszerű testek látszati képe Ábrázolási módok: 1. Vetületi 2. Perspektivikus

Részletesebben

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe

Részletesebben

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2015 A jegyzet bírálója: Dr. Juhász Imre egyetemi tanár A jegyzetet szerkesztette, gépelte, rajzolta: Dr. Geiger János PhD 3 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 9 BEVEZETÉS... 11

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait. ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által és ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Lineáris vetítési eljárás

Lineáris vetítési eljárás Tudományos Diákköri Konferencia Gergye Menyhért Lineáris vetítési eljárás Konzulens: dr. Szoboszlai Mihály egyetemi docens Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építészeti Ábrázolás Tanszék 2014

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Ábrázoló geometria 1.

Ábrázoló geometria 1. Ábrázoló geometria 1. keresztféléves gyakorlat 2014 tavasz Készítette: (A hiányzó feladatok megoldásai előadáson hangzottak el.) Ábrázoló geometria I. 2013-2014. tanév 2. félév 1. rajzfeladat Tusrajz,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Műszaki rajz alapjai

Műszaki rajz alapjai Műszaki rajz alapjai Definíció A műszaki rajz valamilyen információhordozón rögzített, egyezményes szabályoknak megfelelően, grafikusan ábrázolt műszaki információ, amely rendszerint méretarányos Műszaki

Részletesebben

TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK Á B R Á Z O L Ó G E O M E T R I A TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK

ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK A vizsga formája ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli. A részletes követelmények felépítése és használata A részletes vizsgakövetelmények

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Számítógépek alkalmazása 2

Számítógépek alkalmazása 2 1 BME Építészmérnöki kar Építészeti Ábrázolás Tanszék Háromdimenziós szerkesztés alapjai BMEEPAG2203 Számítógépek alkalmazása 2 2. előadás 2006. március 14. Strommer László 2 Tulajdonságok szín, vonaltípus

Részletesebben

Ábrázoló geometria kezdőknek

Ábrázoló geometria kezdőknek BANCSIK ZSOLT LAJOS SÁNDOR JUHÁSZ IMRE Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár Bancsik Zsolt, Lajos Sándor, Juhász Imre Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom)

Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom) Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által, s ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó feladatok rajzbeli

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Láthatósági kérdések

Láthatósági kérdések Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria és perspektíva Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria Jelentése: tengelyek mentén való mérés (axis: tengely, metrum: mérték) Az axonometria a koordinátarendszer tengelyein mért távolságok,

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés 1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Információ megjelenítés Műszaki rajz. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Műszaki rajz. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Műszaki rajz Dr. Iványi Péter Műszaki tevékenység Törvény Rendelet Jogszabály Szabvány Engedélyek Szabadalmak Tudományos Technikai eredmények Energia alapanyag Beüzemelés Jótállás,

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Tárgyak műszaki ábrázolása. Metszeti ábrázolás

Tárgyak műszaki ábrázolása. Metszeti ábrázolás Tárgyak műszaki ábrázolása Metszeti ábrázolás Ábrázolás metszetekkel A belső üregek, furatok, stb. szemléletes bemutatására a metszeti ábrázolás szolgál A metszeti ábrázolás elve Az üreges tárgyat egy

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Műszaki rajz. Szakma szerint csoportosítva. Építész rajz. Géprajz. Villamos rajz. Homlokzatok Alaprajzi elrendezés. Elemek rajza Kapcsolódási rajzok

Műszaki rajz. Szakma szerint csoportosítva. Építész rajz. Géprajz. Villamos rajz. Homlokzatok Alaprajzi elrendezés. Elemek rajza Kapcsolódási rajzok Műszaki rajz Szakma szerint csoportosítva Építész rajz Homlokzatok Alaprajzi elrendezés Géprajz Elemek rajza Kapcsolódási rajzok Villamos rajz Villamos hálózatok Erősáramú berendezések Műszaki rajz Cél

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET Készítette: Osztényi József Geometria Tanszék Projektív geometria 2 I. BEVEZETÉS A geometria tudománya azzal kezdődött, hogy a tapasztalati tárgyakból absztrakcióval megalkották

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Információ megjelenítés Műszaki rajz

Információ megjelenítés Műszaki rajz Információ megjelenítés Műszaki rajz Műszaki rajz Tartalom Kiemeltem a gyakorlatok miatt Érzékelés alapjai Grafikus ábrázolás Tudományos adatok megjelenítése Grafikus megjelenítés alapjai Műszaki tevékenység

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM 1 Tá voktatá si tagozat 1994 Ö sszeállította: Dr. Hant Lá szló fő iskolai docens Há romi Ferenc fő iskolai adjunkus

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése,

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, Tartalomjegyzék 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, fedélsíkok valódi méretének meghatározása... 27 3.1. Fedélidomok szerkesztése... 27 3.1.1.

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21. Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális

Részletesebben

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Síkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.

Síkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is. Síkgörbék 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.) 2. (n szirmú virág.) Legyen r(t) = sin(nt), (0 t 2π). Ábrázoljuk polár

Részletesebben

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Jegyzeteim 1. lap Fotó elmélet 2015. október 9. 14:42 Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Kardinális elemek A lencse képalkotását meghatározó geometriai elemek,

Részletesebben

Perspektíva. A perspektív kép tulajdonságai

Perspektíva. A perspektív kép tulajdonságai Persektíva A térbeli alakzatoknak, tárgyaknak a függőleges (vertikális) helyzetű késíkon való ábrázolása akkor végezhető el gyorsan, kényelmesen, ha bevezetünk ábrázolási segédeszközként egy vízszintes

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága

Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága Földrajzi koordináták Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága Topo-Karto-2 1 Földrajzi koordináták pólus egyenlítő

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Projektív geometria kiegészítés

Projektív geometria kiegészítés Projektív geometria kiegészítés Másodrendű görbék és euklideszi osztályozásuk... Másodrendű felületek és euklideszi osztályozásuk... 10 A másodrendű görbe fókuszainak projektív értelmezése... 16 A másodrendű

Részletesebben

Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K F I Z I K A Fôszerkesztô Holics Lásló S P O R T, É L E T M Ó D, E G É S Z S É G Fôszerkesztô Szatmári Zoltán F I L O Z Ó F I A Fôszerkesztô Boros

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. 3. rajz 3. feladat (2013/14. tavasz) Ábrázolja egy 3,60 m szintkülönbség áthidalására szolgáló, orsótér nélküli, 2,00 m átmérőjű csavarhengeren belüli csigalépcső (jobbra csavarodó,

Részletesebben

3. Vetülettan (3/3-5.) Unger szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék

3. Vetülettan (3/3-5.) Unger  szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék Kartográfia (GBN309E) Térképészet (GBN317E) előadás 3. Vetülettan (3/3-5.) Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA. Írta: Hajdu Endre

A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA. Írta: Hajdu Endre A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA Írta: Hajdu Endre Geometriai, kinematikai tankönyvekben gyakran találkozhatunk annak az AB szakasznak a példájával, melynek végpontjai egy derékszöget bezáró egyenes

Részletesebben

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat Másodrendű görbék a projektív síkon Matematika BSc Szakdolgozat Írta: Deli Anikó Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László egyetemi docens Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Fejezetek az euklideszi geometriából

Fejezetek az euklideszi geometriából Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

Kérdés Lista. A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál mekkora az oldalak aránya?

Kérdés Lista. A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál mekkora az oldalak aránya? Kérdés Lista információ megjelenítés :: műszaki rajz T A darabjegyzék előállítása során milyen sorrendben számozzuk a tételeket? Adjon meg legalább két módszert! T A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Vízszintes kitűzések. 1-3. gyakorlat: Vízszintes kitűzések

Vízszintes kitűzések. 1-3. gyakorlat: Vízszintes kitűzések Vízszintes kitűzések A vízszintes kitűzések végrehajtása során általában nem találkozunk bonyolult számítási feladatokkal. A kitűzési munka nehézségeit elsősorban a kedvezőtlen munkakörülmények okozzák,

Részletesebben

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA FELADATGYÜJTEMÉNY

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA FELADATGYÜJTEMÉNY - GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA FELADATGYÜJTEMÉNY 2012. Bíráló: Dr. Juhász Imre egyetemi tanár TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ I. Alapelemek ábrázolása, illeszkedése, metszése 3. 16. Alapelemek ábrázolása I.1.

Részletesebben

Tartalomjegyzék Hiba! A könyvjelző nem létezik. Hiba! A könyvjelző nem létezik.

Tartalomjegyzék Hiba! A könyvjelző nem létezik. Hiba! A könyvjelző nem létezik. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 1 Előszó... 4 1. A műszaki kommunikáció alapjai... 5 1.1. A szabványosítás szerepe... 5 1.2. Nemzetközi és európai szabványosítás... 5 1.3. Nemzeti szabványosítás...

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben