A tér lineáris leképezései síkra

Átírás

1 A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása egy előre rögzített képsíkon. A háromdimenziós térben lévő alakzatokat a kétdimenziós síkon ábrázolva az alkalmazott leképezés (általában vetítés) elfajuló lesz. Ezért használunk több vetületet (pl. Mongeprojekció), vagy egy vetület mellett még más információkra is szükségünk van (pl. kótás projekció). Az ábrázoló geometriában a leképezések lineáris tulajdonsága azt jelenti: 1. pont képe pont 2. egyenes képe általában egyenes (kivételes esetben pont) 3. illeszkedéstartás A nemlineáris leképezések megkülönböztetése az alapján történik, hogy az egyenes képe nem egyenes, hanem más alakzat. 1 Például: 1. Ciklografikus leképezés: Egy térbeli ponthoz a képsíkon egy olyan irányítással ellátott kört rendelünk, melynek a középpontja a térbeli pont merőleges vetülete a síkon, a sugara egyenlő a pont képsíktól mért távolságával, és az irányítás attól függ, hogy a pont a képsík fölött, vagy alatt helyezkedett el. Ezeket az irányítással ellátott köröket ciklusoknak nevezzük. Egy egyenes képe ezek alapján ciklusok egy halmaza. 2. Netz-projekció: Adott két kitérő egyenes, és egy térbeli pontot úgy képezünk le a képsíkra, hogy vesszük a kitérő egyenesek adott pontra illeszkedő transzverzálisát, és azzal elmetsszük a képsíkot. Egy egyenes leképezésénél a három kitérő egyenes által adott egyköpenyű hiperboloidot (esetleg nyeregfelületet) metsszük a képsíkkal. Tehát egy egyenes képe általában kúpszelet. A térnek a síkra történő lineáris leképezései három csoportba sorolhatók: 1. Kétképsíkos eljárás 2. Nyomelemes eljárás 3. Axonometrikus leképezés 1 Akár az is előfordulhat, hogy egy pont képe nem pont lesz. Olyan leképezéssel, ahol pont képe nem egyenes a projektív geometriában találkozhattunk. Síkon egy nemelfajuló másodrendű görbe által indukál pólus-poláris kapcsolat ilyen volt. A sík bármely pontjához ez a leképezés a görbére vonatkozó poláris egyenest rendeli. Egy egyenes pontjaihoz ily módon egy sugársor rendelődik. Ennek a leképezésnek a térbeli megfelelője, ha a térben egy nemelfajuló másodrendű felület megadás után egy ponthoz a felületre vonatkozó polársíkot rendeljük. Az előbbi pólus-poláris, illetve pólus-polársík kapcsolatok nem képezték le a teret a síkra!!

2 Főtéralakzat Kitüntetett alakzat a térben, amely a teret felfeszíti, és meghatározza az adott leképezést, speciális koordináta-rendszerként viselkedik. Főképalakzat A képsíkon egy olyan adathalmaz, amelyből a főtéralakzatra egyértelműen tudunk következtetni, a térbeli szerkesztések síkon való elvégzését teszi lehetővé, de nem síkbeli koordinátarendszer. ( Főtéralakzat képe ) Π 1 és Π 2 síkpár, metszésvonaluk: m Mindkét síkhoz tartozik egy-egy centrum: C 1 és C 2. A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a C 1 Π 1 - től és C 2 Π 2 -től való távolságát, valamint a Π 1, Π 2 síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem a pont ábrázolása): 1. Kétképsíkos eljárás A térbeli pontokat a C 1 ponton keresztül a Π 1 síkra, és a C 2 ponton keresztül a Π 2 síkra vetítjük. P tetszőleges pont a térben. P : P képe a Π 1 síkon, PC 1 egyenes metszéspontja a Π 1 síkkal P : P képe a Π 2 síkon, PC 2 egyenes metszéspontja a Π 2 síkkal Magpontok: A C 1 C 2 egyenes elmetszi a síkokat, ezek a metszéspontok a centrumok megfelelő képei: C 2 képe a Π 1 síkon: C 2 C 1 képe a Π 2 síkon: C 1 A P és P pontok rendezetten helyezkednek el a síkokon, amely azt jelenti, hogy PC 1 és PC 2 egyenesek a síkok m metszésvonalán metszik egymást. (Ezek az egyenesek a PC 1 és PC 2 vetítősugarak síkjának a Π 1, Π 2 síkokkal vett metszésvonalai.) Ezzel az eljárással bármely térbeli ponthoz egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt. Ha megadunk egy Q és Q rendezett pontpárt a Π 1, Π 2 síkokon, akkor a QC 1 és QC 2 egyenesek metszik egymást, és keletkezett metszéspont Q. Vagyis egy rendezett pontpárhoz egyértelműen hozzátartozik egy térbeli pont. (A fenti leképezés kölcsönösen egyértelmű!)

3 Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π 1, Π 2 síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π 1, Π 2 síkokat (magpontokkal, metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. A magpontok vetületeit is magpontoknak fogjuk nevezni. A síkok m metszésvonalát és magpontok képét kell megadni. Az ábrán egy pont ábrázolását mutattam meg. Speciális esetek: 1.1. Monge-projekció 1.2. Kavalier-axonometria 1.3. Perspektíva 1.1. Monge-projekció A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1, C 2 centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A PC 1 és PC 2 vetítősugarak síkja minden esetben merőleges a Π 1, Π 2 síkokra. Mivel a C 1, C 2 centrumok a végtelenben vannak, ezért a magpontok is a végtelenben vannak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum egy 45º-os képsíkszögű (és a síkok metszésvonalára merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. A Π 1, Π 2 síkok egyesítése úgy történt, hogy a Π 1 síkot egy a metszésvonaluk körüli forgatással egyesítettünk a Π 2 -vel. Ezt a beforgatást helyettesítjük a C -ből való vetítéssel.

4 A Π képsíkon megadjuk a Π 1, Π 2 síkok metszésvonalának képét, melyet x 1,2 -vel jelölünk. Mivel a magpontok végtelentávoliak voltak, ezért a C -ből való vetítés után a képeik is végtelentávoliak lesznek, méghozzá az x 1,2 -re merőleges irány jelöli ki. Ezért a Mongeprojekcióban a rendezőegyenesek merőleges a x 1,2 - re. A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1, C 2 centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. (Ugyanaz, mint a Mongeprojekciónál.) 1.2. Kavalier-axonometria A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum egy Π-hez képest ferde (síkok metszésvonalára nem merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. Ha egy derékszögű koordinátarendszert úgy csatolunk a főtéralakzathoz, hogy az y tengely a Π 1, Π 2 síkok metszésvonala, akkor a két magpont az x és z tengelyek végtelentávoli pontja. A Π képsíkon az előbbi kooordinátarendszer vetületeit adjuk meg. Most egy pont ábrázolását bemutatva megadjuk a P és P pontok P + és P + vetületeit. Mivel a térben magpontok végtelentávoliak, ezért a vetületeik is végtelen távoliak, a képsíkon x + és z + egyenesek végtelen távoli pontjai, a rendezők az y + egyenesen megtörnek. A P + és P + pontokból előállíthatjuk a P pont C -ből való P + vetületét, melyet a P pont axonometrikus képének nevezünk.

5 A Π 1, Π 2 síkok egymásra merőlegesek, a C 1 a Π 1 síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont, C 2 pedig véges helyzetű Perspektíva (gyakorlati perspektíva) A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C 1, C 2 centrumokból vetítjük a megfelelő síkra. A Π 1 sík (az ún. alapsík) vízszintes helyzetű, erre helyezzük az ábrázolandó tárgyakat. A Π 2 sík függőleges helyzetű, melyen az alakzat centrális vetületét állítjuk elő. A Π 1, Π 2 síkok metszésvonala az alapvonal. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 2 -vel, a hozzá tartozó C centrum pedig a C 2 -vel. A C-ből való vetítés során az alaprajzok, azaz az alakzat első képe a Π-re vetítődik, a második képek helyben maradnak. A Π képsíkon megadjuk az alapvonalat, a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. Az ábrán egy alapsík fölött elhelyezkedő P pont ábrázolását látjuk. Π 1 és Π 2 síkok, metszésvonaluk: m A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a Π 1, Π 2 síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem az egyenes ábrázolása): Egy egyenest a Π 1, Π 2 síkokkal alkotott metszéspontjaival (nyompontok) adjuk meg. Egy síkot a Π 1, Π 2 síkokkal alkotott 2. Nyomelemes eljárás

6 metszésvonalaival (nyomvonalak) adjuk meg. A nyomvonalak az m egyenesen metszik egymást. Pontot közvetlenül nem tudunk megadni, csak egyenesen! Ezzel az eljárással bármely egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt, és bármely síkhoz hozzárendeltünk egy metsző egyenespárt. A főtéralakzat visszaállítása után megadunk egy N 1 és N 2 nyompontpárt, akkor a rájuk illeszkedő egyenest két pontjával egyértelműen megadtuk. Egy olyan n 1, n 2 nyomvonalpár, melyek az m egyenesen metszik egymást, egyértelműen felfeszítenek egy síkot. Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π 1, Π 2 síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π 1, Π 2 síkokat (metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. A síkok m metszésvonalának képét kell megadni. Most az ábrán egy síkot ábrázoltam. Speciális esetek: 2.1. Kótás projekció 2.2. Centrális projekció 2.1. Kótás projekció Π 1, Π 2 párhuzamos síkok, m végtelen távoli egyenes. A Π 1 sík a (0)-szintsík, a Π 2 az (1)-es szintsík. Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N 1 és N 2 pontokban metszi a Π 1, Π 2 síkokat, ezek a pontok a (0)-s és (1) kótájú pontjai az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n 1 és n 2 egyenesekben metszi a Π 1, Π 2 síkokat, ezek az egyenesek a (0)-s és (1) kótájú szintvonalai az adott síknak. Ezzel az eljárással egy egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt és egy síkhoz egy párhuzamos egyenespárt. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 1 -gyel, a hozzá tartozó C centrum a merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. Mivel a Π képsíkon m képe végtelen távoli egyenes, ezért nem kell megadnunk más adatot. A képsíkon egy sík és egy rá illeszkedő egyenest ábrázoltam.

7 2.2. Centrális projekció Π 1 általános helyzetű sík Π 2 végtelen távoli sík Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N 1 és N 2 pontokban metszi a Π 1, Π 2 síkokat, nyompontja és végtelen távoli pontja az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n 1 és n 2 egyenesekben metszi a Π 1, Π 2 síkokat, nyomvonala és végtelen távoli egyenese az adott síknak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π 1 -gyel, a hozzá tartozó C centrum véges helyzetű. A Π képsíkon megadjuk a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. A képsíkon egy síkot és egy rá illeszkedő egyenest adtam meg.