Contents. 1.1 Axonometria... 3

Átírás

1 1 Ábrázoló geometria II 1

2 Contents 1 Ábrázoló geometria II Axonometria Térelemek ábrázolása Kör képe Távolságok Síkok kezelése Perspektíva Az alapsík képe Az alapsík képsíkba forgatása Távolságok felmérése Ferde egyenesek Ferde perspektíva Sík beforgatása Az osztópont

3 1.1 Axonometria Ebben a fejezetben egy térbeli alakzatoknak egy síkra vetett (páhuzamos vetítősugarak által előállított) képével fogunk megismerkedni, illetve, hogy a vetületi alakzatok segitségével hogyan tudunk illeszkedési, metszési, és méretfeladatokat végrehajtani. Ehhez először is felveszünk egy térbeli koordináta rendszert és egy síkot. Több eset is elképzelhető A koordináta tengelyek lehetnek egymásra merőlegesek és lehetnek általános helyzetben, a vetítés történhet a síkra merőleges vetítősugarak segítségével, illetve ferde (de párhuzamos) vetítősugarak segítségével. Mi csupán az ortogonális (merőleges) axonometriával fogunk foglalkozni, az általános (klinogonális) axonometriával nem. Aki már ismeri az ábrázoló geometria I anyagát, az sok párhuzamot ismerhet majd fel a korábbi anyagrésszel kapcsolatban. Azonban nem szükséges a korábbi anyag ismerete, attól függetlenül fogjuk felépíteni az ortogonális axonometriát. Tekintsük az 1. ábrát. A jobb oldalon a térbeli (ortogonális) koordináta rendszer látható, és benne egy P pont. A P pont merőleges vetülete K xy, K xz, K yz koordináta síkokra rendre P, P, P. Az ábrán OP x, OP y, OP z távolságok adják a P pont koordinátáit. A jobb oldalon a jelölt pontok egy téglatestet határoznak. Ezt a téglatestet és a pontokat (a koordináta féltengelyekkel együtt) merőlegesen levetíettük a K képsíkra. A vetületi pontokat (az egyszerűség kedvéért) ugyanúgy jelöltük, mint az eredeti pontokat (habár, ha igazán prcízek akartunk volna lenni, akkor ezeket meg kéne különböztetni a jelölésben is). Az ábra alapján a következő észrevételt tehetjük: a téglatest minden oldalának vetülete paralelogramma, hiszen paralelogramma vetülete (esetleg elfajuló) paralelogramma lesz; 3

4 Ez a látszólag triviális megfigyelés igen sok mindent hoz maga után: - ha ismerjük a vetületiábrán a féltengelyek vetületét és a P -s pontok közül legalább kettőt, akkor az összes többit is meg tudjuk szerkeszteni - ha ismerjük a P pont koordinátáit (az OP x, OP y, OP z távolságokat) és tudjuk a tengelyek rövidülésének arányát (azaz pl az x-tengelyen lévő minden szakasz q x -szereséresére zsugorodik), akkor a K képsíkon meg tudjuk szerkeszteni az OP x, OP y, OP z szakaszokat, és az elöbbi megjegyzés alapján P képét is. Amint azt az első megjegyzés is sugalja, nem elég magának a P képének az ismerete a térbeli P pont meghatározásához, hiszen a P -n átmenő vetítősugár minden pontja a K képsík egyazon pontjára vetül. Tegyük fel, hogy ismerjük a koordinátarendszer helyzetét a K képsíkhoz képest, és a K képsíkoan a P képén kívül az egyik vetület, pl. P képét is K-n. Az 1. ábrán nyomonkövethetjük, hogy a P képén átmenő vetítősugár egy pontban P -ben metszi a K xy síkot (általános helyzetű vetítés esetén). Ekkor a valódi (térbeli) P ponton átmenő z-tengellyel párhuzamos egyenesen lesz a térbeli P pont is. Sőt ez a P rajta van a P képén átmenő vetítősugáron is, tehát e két egyenes metszete meghatározza a térbeli P pontot egyértelműen. Megállapíthatjuk tehát, hogy ha ismert a koordinátarendszer helyzete a K képsíkhoz képest, és K-n a P pont, és annak egy vetületének (P, P, P ) a képe, akkor térbeli P pont egyértelműen meghatározható. Mint a későbbekben látni fogjuk a K-hoz képest a térbeli koordinátarendszer helyzete, majdnem egyértelműen meghatározható. (A vetítő sugárral párhuzamosan tetszőlegesen eltolható, de egy ilyen eltolás nem változtatja meg a térben rekonstruált alakzat valódi helyzetét. Összefoglalva: ha egy térbeli alakzatnak és annak valamely (K xy, K yz, K xz - síkra vett) vetületének adott a képe a K képsíkon, akkor ezek már egyértelműen meghatározzák a térbeli alakzatot Térelemek ábrázolása A fentiek alapján felejtsük el a térbeli valódi alakzatot és a térbeli koordináta rendszert, csak a papír síkján a képsíkon adott vetületekkel dolgozzunk. Ezentúl, egy A alakzaton és annak pl. a K xy síkra vett A vetületén a képsíkon lévő vetületi alakzatait fogjuk automatikusan érteni, és nem a térbeli valódi alakzatokat. A K xy, K xz, K yz síkra vett vetületeket rendre,, indexekkel fogjuk jelölni. Egy P pontot a P (képével) és egy vetületével pl. P adunk meg. A P P, P P, P P egyeneseket rendezőknek fogjuk nevezni. Vegyük észre (1. ábra), hogy a P P, P P, P P rendezők rendre párhuzamosak a z, y, x tengelyekkel. Egy e egyenest e-vel és egy vetületével adunk meg. A P pont illeszkedik az e egyenesre, akkor és csak akkor, ha a képsíkon P e és pl. P e (ebből már az is következni fog, hogy P e, P e ). Szerkesztéseknél hasznos lesz feltűntetni az e egyenesnek a K xy, Kxz, K yz síkokkal vett N 1, N 2, N 3 nyompontjait. A nyompontokból meg tudjuk szetkeszteni a vetületek képeit is, hiszen pl. N 1 N 2 N 3 = e a 2. ábráról kiolvashatóak az összefüggések. Speciális helyzetű egyenesek is vannak, ezek a vetítősugárral párhuzamos egyenesek, hiszen ezek képe K-n csupán egyetlen pont. Egy ilyen egyenesnek a vetületei az adott ponton átmenő, a tengelyekkel párhuzamos egyenesek lesznek (3. ábra). Pl. a v egyenes v vetületét úgy kapjuk meg, hogy veszünk két pontot P, Q v és ekkor P Q = v. Mivel P, Q ugyanazon a rendezőn van (a v-n, mint ábrázolt ponton átmenő z-vel párhuzamos egyenesen) ezért csak ez az egyenes lehet v, és ez is lesz ha meggondoljuk, mert v nem lehet pontként ábrázolva. Feladat 1 Szerkesszün egy P, P -vel adott ponton átmenő egyenest! Egy egyeneshez elég e, e -t megadni, és ezekre az egyenesekre az egyetlen feltétel, hogy P e, P e. Egy S síkot megadhatunk: - három nem kollineáris pontjával; - egy e egyenesével és egy P / e pontjával; - két metsző egyenesével. Könnyen látható, hogy három pont esetén a pontokat összekötve két (sőt három) metsző egyenespárt kapunk, illetve a 2. esetben az e egy tetszőleges pontját P -vel összekötve, szintén két metsző egyenespárhuz 4

5 5

6 6

7 def jutunk, ezért elég csak a harmadik megadásmódot vizsgálni. Az S síknak és a koordinátasíkoknak az n 1 = def def K xy S, n 2 = K xz S, n 3 = K yz S síkokkal vett metszetét nyomvonalaknak nevezzük. Ha sík adott két metsző egyenespárjával, akkor a megfelelő indexű (értsd 1, 2, 3) nyompontokat összekötve épp a nyonvonalakat kapjuk meg. A nyonvonalak vetülei pl.n 1 esetén n 1 = n 1, n 1 = x, n 1 = z (elfajult esetben n 1, n 1 lehetnek pontok is). Speciális helyzetű (a koordinátasíkokkal párhuzamos) síkok esetén egy nyonvonal hiányozhat is. A legelfajultabb eset, mikor S párhuzamos a K képsíkra való vetítés irányával, hiszen ekkor az egész sík egyetlen egyenesre vetül, és ez az egyenes lesz egyben mind az n 1, n 2, n 3 nyomvonal (K-ra vetett képe is). Fontos megjegyezni, hogy a nyomvonalak páronként a megfelelő tengelyeken metszik egymást, azaz n 1 n 2 x, n 1 n 3 y, n 2 n 3 z. Egy e egyenes az S síkra illeszkedik, ha az egyenes nyompontjai a sík nyomvinalaira illeszkednek. Ha csak e képe adott a képsíkon, vagy egy vetületének képe pl. e, akkor ebből a többi vetület, ill az eredeti alakzat is szerkeszthető. A Szerkesztés leolvasható a 4. ábráról, ahol csak a nyompontok és vetületeinek képei kellenek. Mikor illeszkedik egy pont a síkra? Vegyünk a P -n képén át egy e egyenest és szerkesszük meg ennek e vetületét úgy, hogy e a síkra illeszkedjék. Ekkor ha P e, akkor P e S miatt P a síkban van. Ha feladat P megtalálása volna, akkor az a P -n átmenő rendezőnek és E1-nek a metszete volna. Szerkesztésnél hasznos lehet a sík speciális egyeneseinek a fővonalaknak az ismerete. Ezek a nyomvonalakkal párhuzamos egyenesek (lásd 5. ábra). 7

8 Jegyezzük még, hogy párhuzamos síkok nyomvonalai párhuzamosak. Két sík metszésvonalát a síkok nyomvonalainak metszéspontjai határozzák meg (lásd 6. ábra). Feladat 2 Adott egy S sík és egy e egyenes axonometrikus képével és nyomvonalával. Szerkesszük meg az S e pontot! Ezt a feladatot visszavezetjük az előző példára, azaz két sík metszésvonalára. Az ötlet a következő. Veszünk egy síkot e-n át, ennek az S-sel vett metszésvonala lesz f, ekkor az f e S e def = P metszéspont már azonnal megvan. A szerkesztést a 7. ábrán végeztük el, ahol mi az e-n átmenő z-vel párhuzamos L síkot választottuk, hiszen ennek nyomvonalai épp l 1 = e, l 2 illetve l 3 pedig az e x és e y pontokon átmenő z-vel párhuzamos egyenesek (lásd 7. ábra). Feladat 3 Adott egy S síkbeli ötszög A, B, C, D, E pontjainak axonometrikus képe és az A, B, C vetületek képei. Szerkesszük meg a D, E pontokat, illetve a v irányból vetett árnyékát az átlátszatlan xy, xz koordinátasíkokra. (8. ábra) A D, E pontokat könnyen előállíthatjuk az átlók segítségével. Vegyük az AC átlónak a BE, BD átlókkal vett metszéspontjait P, Q. Ekkor P, Q rajta van a megfelelő rendezőkön, és rajta van az A C vetületen is, azaz ezek metszete adja a P, Q pontokat ábra (piros szerkesztés). Így a BE, BD egyenesek vetületei is megvannak B P, B Q, melyekből D, E rendezői kimetszik a D, E rendezőket (kék szerk.). Az árnyék készítéséhez vegyük a B pontot és nézzük meg ennek az árnyékát. A B ponton átmenő fénysugár egyenese a B-n átmenő v-vel párhuzamos egyenes lesz, vetülete pedig a B -n átmenő v -veé párhuzamos egyenes. E kettő metszéspontja pont az a pont ahol ez a fénysugár döfi az xy koordinátasíkot (Bá az ábrán, lila szerk.). Azonban a C pontnál bajban leszünk. Az előbbi szerkesztés megadja a C d pontot, de mivel az xz sík átlátszatlan, nem ez lesz a C pont árnyáka, mivel a fénysugár a CC d szakasz döfi az xz koordináta síkot (hiszen a vetületi szakasz C C d metszi az x tengelyt). Ezért megszerkesztettük a szakasz és az xz 8

9 9

10 def koordináta sík döféspontját (C N = C C d x pontban a z-vel párhuzamos egyenes metszi ki CC d szakaszból a döféspontot Cá-t, ami most a C pont árnyéka lesz az xz koordinátasíkon, lila szerk.). A többi pont árnyékát is megszerkesztettük hasonlóan. Az árnyék CDEA töröttvonalával nincsen baj, hiszen ezek az xz koordinátasíkon vannak mind, így ezeketcsak össze kell kötni. De a BC, BA élek árnyékának végpontjai különbözö síkokra esnek. Ha az xz koordinátasík átlátszó lenne, akkor a BC szakasz árnyáka BáC d lenne, de az R pontbanelakadunk. Semmi gond az árnyék az xz síkon folytatódik, és ezen van Cá is és egyenes árnyéka egy síkon egyenes, így csak össze kell kötni az R, Cá pontokat és megkaptuk, hogy a BC szakasz árnyéka a BáRCá töröttvonal lesz. Az AB szakasz árnyékát hasonlóan B-ből indulva az S pont felhasználásával szerkesztettük meg. Feladat 4 Adott egy xy síkon álló gúla és egy xz síkon álló egyenes hasáb (az alapjára merőlegesek alkotói). Szerkesszük meg a két alakzat láthatóságát és egy v irányból az átlátszatlan xy, xz síkokra vetett árnyékokat. Természetesen általános helyzetű testek esetén is képesek lennénk ezt megtenni, mivel egyenes és sík metszetété tanultuk. Ezért csak az egyik test éleinek a másik lapjaival vett metszetét kellene megsterkeszteni (és fordítva). A jelen elrendezésben azonban gyorsan megy a szerkesztés. A ábrán a két test metszéspontjait szerkesztettük ki. Kihasználva, hogy a hasáb alkotói merőlegesek az xz síkra, először visszavetítjük a gúla alkotóit merőlegesen az xz síkra (piros pöttyözött és vonalas szerkesztés), majd megkeressük a 10

11 vetületi alkotók és a hasáb alapjának metszetét (pirossal jelölt pontok). Ezután az y tengellyel párhuzamosan (ami az xz síkra vett vetítési irány) visszavetítjük a gúla alkotóira a metszéspontokat (kék pöttyözött és zöld pontok). Vigyázat ezek a pontok a hasáb oldalsíkjainak az alkotókkal vett metszéspontjai. Pl. a felső három zöld pont a hasáb felső oldallapján van, azonban ha valamelyik zöld pont nem az oldal képére (az ábrán egy paralellogrammára) esne, akkor az a pont nem az oldallapon lenne, következésképpen nem lenne metszéspont. Jelen esetben minden zöld pont a megfelelő oldallap képén van, azaz mind metszéspont. Az árnyékszerkesztést a jobb áttekinthetőség kedvéért a ábrán szemléltetjük. Először is megszerkesztjük az előző feladatok szerint külön külön a két test árnyákát, és a valódi árnyék majdnem ezek uniója lesz. A hasábnál arra kell figyelni, hogy az xy síkkal párhuzamos egyenesek árnyéka párhuzamos lesz az xy síkon az eredeti egyenesekkel (gondoljuk meg miért!). Így megszerkesztjük A, B pontok árnyékát a vetületeik segítségével (piros szaggatott szerk.) ezel Aá, Bá. Ezeken át az alkotókkal párhuzamosokat húzva kapjuk az árnyák G, T (sárga) pontjait, majd ezeket D, C-vel összekötve megkapjuk a hasáb árnyékát, ami az AáBáT CDGAá poligon belseje. A gúla árnyéka egyszerű, megszerkesztjük M, M segítségével Má-t, ami M árnyéka. Ezt kell az alap csúcsaival összekötni, akkor kapjuk meg az árnyék fő éleit, ami így a P QMá háromszög lesz (kék szaggatott szerk.). A gúla hasábra vetett árnyékához megszerkesztjük az M ponton átmenő fénysugár döféspontját az alapon. Ehhez vesszük az MMá egyenes merőleges vetületét az xz síkra, és hogy ez az egyenes hol metszi a hasáb alapját, majd ezt a pontot visszavetítjük az élre. Ez a K pont (kék szaggatott pöttyözött szerk.). A hasáb fedőlapján U V K háromszög az árnyék. A nehezebb ügy, a hasáb gúlára vett árnyéka. Mint látjuk az AB él árnyáka az xy síkra AáBá ami belemetsz a gúla alpjába, azaz az AB él árnyéka felkúszik a gúlára, megtörik rajta (ábrán JL szakasz). Mit tud az L-en átmenő fénysugár? Egyrészt rajta van az AB szaksz árnyékának útján, azaz az xy síkot az AáBá szakaszban metszi. Másrészt L MP miatt rajta lesz a sugár xy síkkal vett döféspontja MP árnyékán MáP -n. Azaz L árnyáka MáP AáBá lesz (lila W pont). Ebből a pontból visszafelé húzott 11

12 fénysugár (lila egyenes) épp az L pontot metszi ki az MP szakaszból. Így az AB szakasz árnyéka A áj, JL majd L-ből leesik a W pontba ésfolytatja útját W Bá-n. Az ábrán hasonlóan szerkesztettük meg az AáC árnyék megtörését a gúla MR élén. A kész végeredményt a láthatósággal és az önárnyékokkal a ábrán látjuk. Rövidülési arányok ortogonális axonometriánál Ha valaki figyelmes volt észrevehette, hogy az eddigi szerkesztéseknél nem használtuk ki a koordináta tengelyek merőlegességét, csak azt, hogy velük párhuzamosan vetítünk a koordinátasíkokra. Mit mondhatunk akkor, ha kihasználjuk az ortogonalitást. Tekintsük a ábrát. A képsíkunk amire vetítünk elmetszi a koordináta tengelyeket az N x, N y, N z nyompontokban pontokban. (Mindig úgy fogunk a rendszerünkre gondolni, hogy az O pont a képsík mögött van. A nyompontok N x N y N z háromszögét nyomháromszögnek nevezzük (piros az ábrán). Az O pont merőleges vetületét a képsíkra kivételesen jelölje O v hogy a térbeli O ponttól könnyebben megkülönböztessük. A koordináta tengelyek etületei, ekkor az O v N x, O v N y, O v N z (fél)egyenesek lesznek (az ábrán kék). Vegyük az O, N z, O v pontok síkját, ez a képsíkból az O v N z egyenest metsi ki és ez a sík merőleges a képsíkra, hiszen a képsíkra merőleges OO v egyenesre illeszkedik. Továbbá, ha v def = O v N z N x N y akkor N z OV = 90, hiszen ON z merőleges az xy síkra, így annak minden egyenesére, spec. OV -re is. Ami még fontos, hogy N z V N x N y, hiszen mint modntuk az OV N z sík merőleges az xy síkra és a képsíkra is, azaz e két sík metszésvonalára N x N y -ra is. De hasonló okok miatt. N y O v N x N z és N x O v N y N z azaz: Az N x N y N z nyomháromszögnek a tengelyek axonometrikusképei N x O v, N y O v, N z O v éppen a magasságvonalai. Forgassuk most be az OV N z derékszögű háromszöget a képsíkba az N z V egyenes mentén ( ábra). def Ekkor az β z = O z N z V a z tengelynek és a képsíknak a hajlásszögével lesz egyenlő, és OO v beforgatottja 12

13 13

14 14

15 O z O v pedig merőleges lesz O v N z -re. Az O z O v távolság pedig nem más, mint az O pont képsíktól mért távolsága. Hasonlóan, ha az O v pontban merőlegest állítunk az x tengelyre (az axonometrikus képre), akkor def ez kimetszi az O v körüli O z O v sugarú körből az O x pontot. Az β x = O x N x O v az x tengelynek és def a képsíknak a hajlásszöge (zöld szerkesztés). Kékkel kiszerkesztettük hasonló módon a β y = O y N y O v szöget, mely az y tengely és a képsík hajlásszöge. Mit jelentenek a def q x = O vn x def, q y = O vn y def, q z = O vn z O x N x O y N y O z N z arányok? Mivel O x N x = ON x a beforgatás miatt, és az ON x szakasz axonometrikus képe O v N x így q x a rövidülési arányszám lesz. Azaz a valódi (térbeli) x tengelyen egy t hosszúságú szakasz axonometrikus képe q x t hosszúságú lesz. Hasonlóan q y, q z az y ill. z tengellyel párhuzamos szakaszok rövidülési arányszáma lesz. Azaz pl. egy y tengellyel párhuzamos térbeli egyenesen egy t (valódi) hosszúságú axonometrikus szakasz képe q y t hosszú lesz. Mielőtt felhasználnánk ezeket a rövidülési arányszámokat szerkesztési feladatokhoz, nézzük meg hogy egy ortogonális tengelykereszt esetén milyen összefüggéseknek kell teljesülnie a q x, q y, q z értékekre. A ábrán a derékszögű háromszögek miatt q x = OvNx O xn x = cos β x hasonlóan q y = cos β y, q z = cos β z. Tekintsük most a ábrát ahol a térbeli derékszögő koordináta rendszerben felvettönk egy P = (p x, p y, p z ) koordinátájú pontot, mely az az O origótól r távolságra van és az OP szakasz x, y, z tengelyekkel bezárt szöge α x, α y, α z. Az OP P x derékszögű háromszögből cos α x = p x r. Hasonlóan cos α y = p y r, cos α z = p z r adódik. Ekkor azonban cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z = p2 x + p 2 y + p 2 z r 2 = r2 r 2 = 1, ahol felhasználtuk a térbeli Pithagorasz tételt. Válasszuk most speciálisan a P = O v pontot ( ábra). 15

16 16

17 A beforgatás után mint korábban említettük előállnak az α x, α y, α z szögek (lásd ábra), és pl. az O v O z N z derékszögű háromszögből adódik, hogy β z = 90 α z (hasonlóan β x = 90 α x, β y = 90 α y ). Ezekből pedig cos β x = sin α x, cos β y = sin α y, cos β z = sin α z. Felhasználva a sin 2 α+cos 2 α = 1 összefüggést cos 2 β x + cos 2 β y + cos 2 β z = sin 2 α x + sin 2 α y + sin 2 α z = 1 cos 2 α x + 1 cos 2 α y + 1 cos 2 α z azaz q x = cos β x... miatt = 3 1 = 2 q 2 x + q 2 y + q 2 z = 2 összefüggésnek teljesülnie kell a rövidülési arányszámolra, azaz azok nem lehetnek tetszőlegesek egy ortogonális tengelykereszt esetén. Még valamire fell hívni a figyelmet. Honnan tudjuk meg a nyomháromszöget, ha csak a tengelykereszt vetülete adott? Sehonnan! Nézzük megint a ábrát. Ha itt a képsíkot párhuzamosan eltoljuk, akkor a tengelykereszt merőleges vetülete nem fog látszani a lapon, azaz nem tudjuk meg, hogy az O pont milyen messze van valójában a képsíktól. Annyi biztos, hogy az N x N y, N x N z, N y N z egyenesek merőlegesek a z, y, x tengely (képekre). Így, ha az egyiket tetszőlegesen felvesszük, akkor a ábra szerkesztéseiből a többi már egyértelműen adódik. Viszont ez a hasonlóság a rövidüliési arányszámokat nem határozzák meg. Azaz, ha tetszőlegesen felveszünk egy egységet és a szerkesztéseket (lásd később) ezzel végezzük el, akkor a kapott kép a valóditól csak egy nagyításban, vagy kicsinyítésben tér el. Feladat 5 Szerkesszük meg a Monge féle vetületeivel adott hiányos rombododekaéder képét egy adott temgelykeresz esetén! Ezzel a feladattal az ábrázoló I.-ben már találkozhattunk. A ábrán megadtuk az alakzat felül és oldal nézetét. Minden oldal egy rombusz lesz, és az ábrán összesnek pontok a vetítésnél (ahogyan azt feltüntettük az A, B, C, D pontok vetületei esetén). Először a rövidülési arányokat szerkesztjük ki ábra. A korábban tanult módon megszerkesztjük a β x, β y, β z, majd ezeket átmétjük egy másik félegyenesre (jobb része az ábrának). Itt megmodjuk az egységszakasz hosszát, és egy ilyen sugarú körrel elmetszük az x 0, y 0, z 0 félegyeneseket. A kapott metszéspontokat levetítve adódnak az egységszakasz ábrázolt hosszai (az ábrán az egységszakasznak a ábrán lévő négyzetátlók felét vettük). Ezekután megszerkesztjük az xy síkra a vetületet és z-vel párhuzamosan felmérjük a magasságokat ábra. Az ábrán a láthatóságot is feltüntettük. Jelen esetben az árnyékszerkesztés is egyszerűbb, mint a teljesen általános esetben (ahol hihetetlenül el tudnak bonyolódni a dolgok), mivel egyes lapok föggőlegesek, így, ha rájuk esne egy csúcs árnyéka, akkor azt a korábbi 4. példa esetében is megtettük (persze ha a látható alsó lapokon is megtörik egy él árnyéka, akkor bonyolódik az ügy) Kör képe Röviden szót ejtünk körök képéről, melyek ellipszisek lesznek. Ezeket vagy sok pontjuk kiszerkesztésével nagyjából megrajzoljuk (hiszen körzőnk van, de ellipsziszőnk nincsen), vagy egy szerkesztőprogram (pl. a GeoGebra) öt pontra tud ellipszist illeszteni, így pontosan megajzolható az alakzat. Mint ismeretes egy kör merőleges tengelyes affinitásnál vett képe ellipszis lesz. A tengellyel párhuzamos átmérő képe lesz az ellipszis egyik átlója, a rá merőleges átmérő pedig a másik átlóba megy ( ábra). Az ábrán egy speciális köri pont kiszerkeszése is látható, mely azért érdekes, mert a merőleges vetítés párhuzamosság tartása miatt csak at ellipszis átlóinak ismeretében is kiszerkeszthető ez a speciális pont. Gondoljuk meg, hogy így igazából 8 db az ellipszis csúcsaitól különböző pont szerkeszthető meg. Nézzük most meg, hogy hogyan szerkeszthetjük meg egy olyan kör axonometrikus képét, mely valamelyik koordinátasíkban fekszik. Feladat 6 Legyen adva egy tengelykereszt és a nyomháromszöge, továbbá egy K pont képe, mely az xy síkban fekszik. Sezkesszük meg a K középpontú r sugarú kör axonometrikus képét! 17

18 18

19 19

20 20

21 A következót fogjuk tenni. Beforgatjuk az xy síkot az N x N y nyomvonal körül a képsíkba. Ez egy merőleges tengelyes affinitás az xy sík axonometrikus képe és a képsík között melynek tengelye az N x N y nyomvonal (ha az yz vagy xz koordinátasíkkal dolgotnánk, akkor a megfelelő N y N z illetve N x N z nyomvonalak lennének a tengelyek. Mint azt az ábrrázoló geo. I.-ben említettük Egy pont és a képe által meghatározott egyenes merőleges lesz a tengelyre, és párhuzamos egyenesek képe párhuzamos. Amit mi használunk az csak annyi, hogy a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is a tengellyel párhuzamosak lesznek. Tekintsök a ábrát. Szerkesszük meg az O leforgatottját. Ez rajta van az O-n átmenő tengelyre merőleges egyenesen. Másrészt viszont a térbeli N y ON x háromsuög derékszögű O-nál és ennek leforgatottja lesz N y O L N x, amely valódi alakjában fog látszani, azaz ez is O L -nél derékszögű lesz. Így azonban O L rajta lesz az N y N x szakasz Thalesz körén. Az ON y, ON x egyenesek képei pedig O l N y, O L N x lesznek. Vegyük a K-n átmenő tengellyel párhuzamos U T szakaszt. Az U pont leforgatottja rajta van az U-n átmenő tengelyre merőleges egyenesen és az ON y szakasz képén O L N y -n. Hasonlóan szerkeszthető meg T L is. Ezek után egyszerűen megszerkeszthető K leforgatottja K L, hiszen ez rajta van a K-n átmenő tengelyre merőleges egyenesen, és az UT szakasz képén U L T L -en. Most vesszük a K L körüli r sugarú kört és ezt visszaforgatjuk (vissza affinítjuk). A kör tetszőleges pontjának ősét, hasonlóan szerkesztjük meg mint K L -et, azaz egy rajta átmenő rengellyel párhuzamos egyenes ősét szerkesztjük meg, majd ezt metszük el a ponton átmenő tengelyre merőleges egyenessel (kék ill. lila szerkesztések). Végül jegyezzük még meg, hogy a kör hengerek kör kúpok kezelése nem egyszerű, A metszetek negyedfokú görbék is lehetnek, melyeknek sok pontját ki kell szerkeszteni, hogy látható (felismerhető) legyen a metszet Távolságok Legyen adott egy AB szakasz (és A B vetülete). Hogyan szerkeszthető ki az AB szakasz valódi hossza? Mint tdjuk, ha az ortogonális koordináta rendszerben az A, B pontok koordináta különbségei (x 0, y 0, z 0 ), akkor a Pithagorasz tétel alapján AB = x y2 0 + z2 0 lesz (itt AB = (x0, y 0, z 0 )). Az x, y, z tengelyekkel párhuzamos x 0, y 0, z 0 hosszú szakaszokat a ábra alapján szerkeszthetjük meg (piros vonalak a megfelelő tengelyekkel párhuzamosak, míg a kékek jelölik az x 0, y 0, z 0 távolságokat). 21

22 22

23 Ezek után nincs más dolgunk, mint kiszerkeszteni egy nyomháromszög alapján a rövidülési arányokat, ahogyan azt a ábrán is tettük egy korábbi feladat esetén., Itt felmérve a vízszintes egyenesre az x 0, y 0, z 0 távolságokat, megszerkesztjük ezek eredeti hosszait (láds ábra). Jelölje a valódi hosszakat x v, y v, z v majd ezek segítségével a Pithagoasz tétel alapján kiszerkesztjük a valódi hosszat ( ábra) Síkok kezelése Először nézzük meg, hogy hogyan tudunk egy síkra merőleges egyenest állítani (azaz a normálirányt meghatározni). Legyen adott az S sík, és tegyük fel, hogy egy e egyenes merőleges rá. Ekkor e merőleges a sík összes egyenesére is, azaz az n 1, n 2, n 3 nyomvonalaira is. Viszont a megfelelő síkokra való vetítéseknél ezek a nyomvonalak fixek, tehát amerőleges vetítések miatt az egyenes ortogonális vetületei merőlegesek a megfelelő nyomvonalakra (e n 1, e n 2, e n 3 ). Azonban van mégegy egyenspár, melyek merőlegesek egymásra. def Ha K a képsík és n K = K S a sík nyomvonala a képsíkon, akkor a térbeli egyenesekre e n K teljesül, de hasonlóan az előzőekhez, ha e K jelöli most az e egyenes axonometrikus képéet a képsíkon, akkor e K n K is igaz. A sík n K nyomvonalát úgy szerkeszthetjük meg, hogy vesszük a nyomháromszöget (most kiválasztunk egyet, és ezzel rögzítjük a képsíkot is egyben). Majd a nyomháromszögnek a sík nyomvonalaival vett metszei olyan pontok, melyeknek rajta kell kelliük, az n K nyomvonalon, azaz ezek egyenese lesz az n K nyomvonal (lásd ábra piros). Ha most a P ponton át szeretnénk az e egyenest fektetni, akkor p-ből merőlegest kell bocsájtani n K -ra és ez lesz e axonometrikus képe. Meg kell még szerkeszteni pl. az e vetület képét. Ehhez leforgatjuk az xy síkot a szokott módon (O beforgatásával + Thalász körrel), majd megszerkesztjük a P és az n 1 nyomvonal leforgatottját is. Ha n 1 leforgatotja n 1L és P -é P L, akkor a következőt modhatjuk. Mivel e átmegy P -n és merőleges n 1 -re, ezért az e leforgatottja e L átmegy P L -en és merőleges n 1L-re, így tehát meszerkeszthető (kék szerkesztés). Nincs más hátra, mint megszerkeszteni az eredeti (visszaforgatott e -t). 23

24 Ennek egy pontját már ismerjük egy másik pontja pedig Q def = e L N xn y hiszen ez a pont a leforgatásnál fix, mert a leforhatás tengelyén van rajta. Nézzük, hogy hogyan lehet beforgatni egy síkot a képsíkba. Ez azért hasznos, mert a síkon lévő alakkzatok valódi alakjukban fognak látszani, és egy valódi alakzatot vissza tudunk, majd forgatni a síkukba. Feladat 7 Adott egy S sík, és bene egy P pont. Szerkesszünk egy szabályos háromszöget, az S síkba, mely egyik csúcsa P! Ahogy mondtuk nincs más dolgunk, mint beforgatni az S síkon az n def = S K nyomvonala körül a képsíkba, illetve a rajta fekvő P pontot, szerkeszteni egy szabályos háromszöget P L csúccsal, majd visszaforgatni azt. 1.2 Perspektíva A következő részben a perspektív ábrázolással fogunk megismerkedni, amely életszerűbb képet ad az axonometrikus ábrázolásnál és közelebb van ahhoz, amit az emberi szem lát. Mindenki ismeri azt a hatást, amikor egy sín párhuzamos széleit nézzük, vagy egy hosszú egyenes útszakaszét és úgy tűnik, mintha a szélek a végtelenben összetertanának, ez a jelenség az axonometrikus ábrázolásban nem jelenik meg. /Itt jegyezzük meg, hogy nem szerencsés arról beszélni, hogy a párhuzamosak a végtelenben találkoznak, hiszen milyen végtelenben? Az euklideszi térben nincsen(ek) végtelen távoli pont(ok). Ehhez a modellt ki kell bővíteni és új pontokat bevezetni, amik a végtelen távoli pontok szerepét fogják betölteni valamilyen értelemben. Ez által kapjuk a projektív sík ill. tér modelljét, amiben lehet értelmet tulajdonítani olyan megjegyzéseknek is, mint a párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak./ A perspektívikus ábrázolás alapgondolata a következő. Tekintsük egy C pontot a térben, ezt a pontot centrumnak fogjuk nevezni, illetve egy K síkot, a képsíkot, melyekre C / K teljesül. Egy tetszőleges def P C pontnak a képe P K = K CP, azaz a CP egyenesnek és a K képsíknak a metszete (ezt centrális vetítésnek nevezzük). Ha meggondoljuk egy fénykép is hasonló módon áll elő a fényképezőgép lencséjén 24

25 25

26 26

27 keresztül, vagy az általunk látot kép a szemlencsén keresztül. Először tekintsük át, hogy egy sík hogyan képződik le a K képsíkra. A fejezetben először speciális eseteket nézünk, majd az egyre bonyolultabbak felé haladunk, remélhetőleg ezzel elősegítve a megértést. A fejezet végén térgyaljuk a centrális vetítést általánosan és a benne elvégezhető szerkesztéseket, előtte a valódi képalkotáshoz közelebb álló perspektív képalkotással foglalkozunk Az alapsík képe Tekintsük a ábrát Itt C a centrumpont, melyből a vetítősugarak indulnak, K a képsík és A az alapsík melyre úgy gondolhatunk, hogy ezen állunk ez a talaj vizszintes síkja. Az e egyenes képét úgy kapjuk meg a képsíkon, hogy e minden pontját összekötjük C-vel (azaz vesszük e és C síkját) és amit ez kimetsz a K képsíkból az e képe e K. Ha az e egyenes C.től egyre tévolabbi pontjait kötjük össze C-vel (azaz az ábrán a P pont kifut a végtelenbe), akkor a határegyenes amit így kapunk épp a C-n átmenő e-vel párhuzamos egyenes lesz. Azt is mondhatnánk pongyolán fogalmazva, hogy az e egyenes végtelen távoli pontjának képe (precízen az ideális pontjának képe a projektív térben) épp J e -be vetül, amit az e egyenes iránypontjának nevezünk. A C-n átmenő e-vel párhuzamos egyenes benne van a C-n átmenő, alapsíkkal párhuzamos síkban, amit horizontsíknak mondunk, az ábrán H. A h def = H K egyenes a horizont vonal, mely a képsíkon az alapsík végtelen távoli pontjainak felel meg. Vegyük észre, hogy az e egyenes egy félegyenese a h alá vetül, míg azon része, mely a C-n átmenő K-val párhuzamos sík által kettéosztott tér azon részébe esik, mely K-t nem tartalmazza, azok a h fölé vetülnek. Mivel a valóságban ezek nem jelennek meg (értsd, nem látjuk a fejünk mögötti dolgokat, ill. a feényképezőgép azt fényképezi, ami előtte van és nem azt ami mögötte, ezért ezeket nem rajzoltuk meg az ábrán, hogy ne legyen zavaró. Egy másik észrevétel, hogyha e e akkor közös az iránypontjuk. Az a def = A K egyenest alapvonalnak hívjuk, mely azért fontos, mert ezek azok a pontjai A-nak melyek a vetítésnél helyben maradnak. Így pédául az alapvonalon lévő távolságok valódi nagyságukban látszanak, míg a többi távolság a vetítés során rövidül! Még egy fontos pont van a ábrán, mégpedig a C centrum merőleges vetülete a K képsíkra F amit főpontnak nevezük, a CF távolságot pedig szemtávolságnak. Gonduljuk meg azt is, hogyha veszünk egy e-vel párhuzamos g egyenest a térben, tehát már nem szükségszerően az alapsíkban van g, akkor ennek a végtelen távoli pontjának a képe, a J g iránypont a képsíkon, meg fog egyezni J e -vel. Azért, mert a g egyenes C-től egyre távolabbi pontjait összekötve C-vel, a kapott egyenesek tartanak a C-n átmenő g-vel párhuzamos egyeneshez. Mivel e g ezért a határegyenes amit kapunk megegyezik a CJ e irányegyenessel. Összefoglalva: A térben lévő bármely két párhuzamos egyenes képeinek iránypontja egybeesik a K képsíkon. Tekintsük a ábrát, mely az ábrázolt képet mutatja. Ezen az ábrán feltüntetjük a horizontvonalat, az alapvonalat, a főpontot és a távkört, mely egy F középpontú szemtávolság ( CF ) sugarú kör. Ezekre azért van szükség, mert ezek alapján és az ábrázolt kép alapján, már vissza tudjuk nyerni a térbeli (alapsíkon fekvő) egyenes valódi helyzetét. Ehhez nincs más dolgunk, mint veszünk egy a K síkra F -ben állított merőleges félegyenest és felvesszük ezen a C pontot szempont távolságnyira F -től (szemtáv.=távkör sugara). Ezután vesszük a CJ e egyenest és egy vele párhuzamos egyenest az N e nyomponton át. Amit kaptunk épp e lesz. (Persze más képet kapunk, ha C-t a képsík másik oldalán vettük volna fel, de a kapott rekonstruált A-beli alakzatok egybevágóak /a K-ra vett tükrözésnél/, és minket csak egybevágoság ereéig érdel a rekonstrukció. Egy valódi képnél persz mindig a kép elé vesszük fel C-t, mert így kapjuk meg az eredeti alakzatok rekonstrukcióját.) A ábrán még két pont van amiről érdemes szót ejteni, a távkörnek és a horizontvonalnak a metszéspontjai R és T. Mivel CF = F T távolságok egyenlőek CF T egy egyenlő szárú háromszög, melynek F csúcsánál derékszöge van, azaz T CF = 45 (azaz a C csúcsú kúp, amit a távkör határoz meg 45 félnyílásszögű). Így a CT, CR egyenesek 45 -os szöget zárnak be az a (ill. h) egyenesekkel, ezért az 27

28 28

29 iránypont szerkesztéséről mondottak alapján R, ill. T azon egyenes iránypontja, melyek az a alapvonallal 45 -os szöget zárnak be. Hasonló okok miatt F az a-ra merőleges egyenesek iránypontja. Jegyezzük még meg, hogy az a-val párhuzamos egyenesek képei a K képsíkon a-val párhuzamosak lesznek (ez a ábra alapján könnyen látható). Azaz a fenti megjgyzések alapján könnyen szerkeszthetünk a-val párhuzamos, rá merőleges, ill. vele 45 -os szöget bezáró egyeneseket. Feladat 8 Készítsük ek egy olyan négyzetrácsnak a képét, mely az a alapvonalra illeszkedik és adott d hosszúságú a négyzetek oldalhossza. A szerkesztést a ábrán követhetjük nyomon. Mivel a rács az a alapvonalra illeszkedik, melyen a távolságok valódi nagyságukban látszanak, így erre d hosszú szakaszokat mérünk fel. A szakaszok végpontjaiból az a-ra merőleges egyenesek (szakaszok) indulnak, ezért ezeknek az F pont az iránypontjuk. A rács a-val párhuzamos szakaszai a képsíkon is párhuzamosak lesznek a-val, de nem tudjuk hol helyezzük el őket. Ehhez használjunk egy átló egyenest. Mivel az átló 45 -os szöget zár be a-val, így a korábbiak alapján R lesz (az egyik árlóirány) iránypontja. Az átló az a-ra merőleges egyeneseket épp rácspontokban metszi, ezért ezeken át kell az a-val párhuzamos egyeneseket meghúzni. Más szerkésztési feladatok is elvégezhetőek könnyedén. Egy szakasz tetszőlegesen sok egyenlő részre oszthatunk fel. Ehhez azt használjuk fel, hogyha az a-val párhuzamos egy b egyenes a képsíkon, akkor egyenlőhosszú szakaszok képeo is egyenlő hosszúak (ez az a-val nem párhuzamos egyenesekre nem igaz. Az állítás könnyen igazolható hasonlóság alapján. Ha pl. a ábrán b az egyik a-val párhuzamos egyenes, akkor az F pontból vegrehajtott hasonlóság (jelen esetben kicsinyítés) miatt az a-n egyenlő hosszú szakaszok hasonlóságnál vett képei b-n is egyenlő hosszúak. De ez az alapsíkon annak felel meg, hogy a-ra merőleges egyenesek (mivel F -en mennek át a képeik) metszik ki az a-ra merőleges valódi b-ből az ábrázolt szakaszokat ezért ezek egyenlő hosszúak kell hogy legyenek ( ábra jobb oldala). Tehát a következőt mondhatjuk: Feladat 9 Adott az AB szakasz képe osszuk fel n részre úgy, hogy a valódi szakaszok (melyek ábrázolt képét szerkesztjük meg) egyenlő hosszúak legyenek. 29

30 Vegyünk fel az a egyenessel (vagy h-val) párhuzamos egyenest az A ponton át és osszuk fel n egyenlő részre ( ábra). Ezek a fentiek alapján a valóságban is egyenlő hosszú szakaszoknak felelnek meg. Az osztópontokat kössük össze a h horizontvonal egy tetszőleges J pontjával. Az így kapott egyenesek metszéspontjai az AB szakasszal a keresett osztópontokat adják. Ez azért van így, mert a J-n átmenő egyebesek a valóságban mid párhuzamosak (lásd ábra jobb oldala). Ezért a párhuzamos szelők tétele miatt a valódi AB szakaszból kimetszett szakaszok is egyenlő hosszúak, és mi a képsíkon pont ezek képei szerkesztettük meg Az alapsík képsíkba forgatása Nézzük most meg, hogy az alapsíkon fekvő alakzatok képeit ismerve, hogyan szerkeszthetjük ki az eredeti alakzatokat, illetve, ha adott egy alaprajz (egy alakzat valódi alakja), akkor hogyan szerkeszthetjük ki ennek a prjektív képét. Tekintsük ismét a ábrát. Ezezn az A alapsíkot beforgathatjuk a körül a K képsíkba (forgatás irányát úgy választjuk meg, hogy a C alatti része az alapsíknak az ábrán lefelé forogjon). A H horizontsíkot is beforgathatjuk az képsíkba a h horizontvonal körül (ugy hogy az ábrán a C pontot tartalmazó rész lefelé forogjon). Azt fogjuk gondolni, hogy a két íkot egyszerre forgatjuk be a K képsílba és azon mindkét forgatás eredményét ábrázoljuk. Ez világos lesz a. ábra magyarázata után. Legyen adva a K képsík az a, h vonalakkal az F főponttal és a távkörrel ( ábra) továbbá e képe. Az ábrán láttuk, hogy a C ponton átmenő e-vel párhuzamos egyenes a K képsíkot a J e iránypontban döfi. Ha a H horizontsíkot leforgatjuk h körül, akkor C a távkörre esik (hiszen a kör sugara épp CF ) és az F re merőleges egyenesen lesz, azaz C leforgatottja épp C L (lásd ábra). Mivel a forgatásnál a J e iránypont fix, ezért a CJ e egyenes leforgatottja C L J e lesz. Gondoljuk meg, hogy ha a H és A síkokban veszünk egy-egy egyenest, melyek párhuzamosak, akkor ezek beforgatottjai szintén párhuzomosak lesznek. Azaz mivel a valódi e párhuzamos a CJ e egyenessel, ezért e képe e L (az A sík beforgatásánál) párhuzamos lesz CJ e beforgatottjával C L J e - vel. Az alapsík beforgatásánál az alapvonal fixen marad, ezért e nyompontja N e is fix, így a beforgatott e l párhuzamos átmegy ezen a ponton (és párhuzamos C l J e -vel ezért meg tudjuk szerkeszteni). Kérdés, hogy hova megy az e egyenes egy E pontja a beforgatásnál. Ehhez elég egy tetszőleges f egyenes képét felvenni ami átmegy E-n és ekkor a beforgatott egyenesek metszéspontja e L f L lesz E beforgatottja E L. A szerkesztés meggyorsítható, ha f-et ügyesen vesszük fel. Legyen f def = C L E, ivel ekkor f beforgatottja f L = C L J f = f (azaz f egy olyan speciális egyenes, melnek beforgatottja önmaga!). Így E L = e L f L = e L C L E alapján szerkeszthető. Persze az egész szerkesztés meg is fordítható. Azaz adott egy e egyenes beforgatottja e L és azon egy E L pont. Szerkesszük meg a perspektív képeoket! A ábra és az előző gondolatmenet alapján vegyük C L -en át e L -lel párhuzamos egyenest, mely a h horizontvonalból kimetszi a J e iránypontot. Ekkor az N e = e L a nyompont és J e egyenese lesz épp e. Az e egyenesből E L C L metszi ki az E pontot. Feladat 10 Szerkesszünk meg egy szabályos d oldalhosszú háromszög perspektív képét, mely egyik alapja 30

31 párhuzamos a-val és átmegy a képével adott P ponton! Szerkeszthetnénk úgy, hogy felveszünk egy P -n átmenő tetszőleges egyenest, majd a tanult módon megszerkesztjük a beforgatott P L pontot. Ezzel a csúcsal egy a-val párhuzamos d oldalú szabályos háromszöget szerkesztünk, és ismét tetszőleges egyenesek segítségével visszaforgatjuk a háromszög csúcspontjait. Ennel egy kicsivel rövidebb a következő szerkesztési eljárás. A szerkesztést a ábrán követhetjük. Az a-val párhuzamos alap képe a P -n átmenő a-val párhuzamos e egyenes lesz. Erre az egyenesre megtudjuk szerkeszteni egy d hosszú szakasz képét a tanult módszerrel, azaz R def = F P a ponból felmérjük a d távolságot, így kapjuk T -t. Majd Q def = F T e elsz a keresett pont. Ezzel a keresett háromszög két pontja megvan. Legyen G a P Q szakasz felezőpontja, ekkor F G a valódi P Q szakasz felezőmerőlegesének a képe f, ennek a beforhatottját f L megszerkesztjük, és a beforgatott G L pontot is. Az e beforgatottja átmegy G L -en és a-val párhuzamos (hiszen e is párhuzamos volt a-val). Az e L egyenesre megszerkesztjük a P L, Q L leforgatottakat a tanult módon, és megszerkesztjük a P L Q L oldalú szabályos háromszöget (jegyezzük meg, hogy a beforgatott háromszög valódi alakjában látszik, azaz P L Q L V L egy d oldalhosszú szabályos háromszög). Nincs más hátra már, mint a V l beforgatott háromszögcsúcspontot eredeti képét megszerkeszteni f-en Távolságok felmérése Mint azt láttuk korábban az A alapsíkban az a alapvonal az az egyenes, melynek képén a szakaszok valódi hosszukban látsznak. Ezt a tényt felhasználva a tengelyes tükrözés segítségével más egyenesekre is felmérhetünk szakaszokat (illetve azok perspektív képét meg tudjuk szerkeszteni). A ábrán láthatjuk a szerkesztést. Először tekintsük az ábra jobb oldalát, ahol az A alapsíkban fekvő e, a egyenesek vannak adva. Ha a két egyenes egyik szögfelezőjét kiválasztjuk és arra tükrözünk, akkor egy RS a szakasz tükörképe P Q e az eredetivel egyenlő hosszú lesz. A tükrözésre úgyis gondolhatunk, hogy a másik szögfelezővel 31

32 párhuzamos egyeneseket húzunk az RS pontokon át és ezek metszik ki a P Q szakaszt. Nézzük most az ábra bal oldalát. Kezdetben adva vannak az a, h, e egyenesek a távkör és az F főpont, iletve egy P pont az e-n. Ide szeretnénk egy adott RS hosszú szakaszt felmérni. Az ötletünk az, hogy megpróbáljuk a a, e valódi egyenesek egyik sögfelezőjének iránypontját megszerkeszteni, hiszen ezen mennek át a P R, QS egyenesek képei. Ezt az iránypontot pedig beforgatással fogjuk megszerkeszteni. Ha vesszük a C centrumpont leforgatottját C L -t, akkor tudjuk, hogy a J e irány ponttal összkötve C L J e párhuzamos e beforgatottjával. Mivel a beforgatottja önmaga ezért a C L J e és a szöge megegyezik a valódi e és a szögével. Ennek a szögnek egy szögfelezőjével párhuzamos BC L, ahol a B pontot a J e középpontú J e C L sugarú kör metszette ki. Ez azért van így, mert a BJ e C L egyenlőszárú háromszög J e csúcsánál van az a szög, mely szögfelezőjével párhuzamosat keresünk és az egyenlő szárúság miatt az alap BC L a J e csúcsnál lévő szögfelezőre merőleges, azaz a külső szögfelezővel párhuzamos. Tudjuk, hogy ezzel párhuzamos egyenes C L -en át adja meg a párhuzamos egyenessereg iránypontját. Szerencsére ez épp B a szerkesztés miatt. A BP egyenes kimetszi R-et a-ból. Majd ide felmérjük az RS szakaszt és BS egyenes kimetszi e-ból Q-t. Ha mégegyszer végigmegyünk a szerkesztésen láthatjuk, hogy nem is olyan hosszú: 1. a C L lefrgatottal elkörzünk J e -ből, ami adja B-t; 2. a BP egyenes kimetszi a-ból R-et, amelyből felmérjük a szerkesztendő szakasz valódi hosszát, így kapjuk S-et; 3. a BS egyenes kimetszi a keresett Q-t. Ezek után már megoldhatjuk az alábbi feladatokat: Feladat 11 Adott egy félegyenes képe és egy d távolság. Szerkesszünk d oldaltávolságú négyzetrácsot (a perspektv képét) mely a félegyenesre illeszkedik. A ábrán látjuk a szerkesztést. Az előzőek alapján az E-ből induló félegyenesre felmérünk az azonos távolságokat az O e illetve P, Q, R, S pontok segítségével. A következő lépés megszerkeszteni az 32

33 E ponton átmenő e-re merőleges félegyenest f-et. Ehhez felhasználjuk, hogy C L J e párhuzamos e beforgatottjával, azaz ha C L -en át erre merőleges egyenest veszünk fel, akkor az párhuzamos lesz a keresett f beforgatottjával, és ez fogja kimetszeni a J f iránypontot. A J f iránypontot összekötve az e félegyenesre előbb felmért szakaszok végpontjaival (zöld szerkesztés J f -ből) megkapjuk a rács e-re merőleges egyeneseit. Az f def = J f E egyenesre a tanult módszerrel felmérjük a rács oldalhosszait az O f, T, V, W pontok segítségével. A felmért szakaszok végpontjait összekötve J e -vel kapjuk a rács e-vel párhuzamos egyeneseit. Mint látjuk a beforgatás és felmérés módszerével bármely valódi alakjában adott A alapsíkban fekvő síkidom perspektív képét meg tudjuk szerkeszteni. Itt az ideje tehát, hogy kilépjünk az alapsíkből és más szakaszokat is megszerkesszünk. A követkesző speciális osztály amit könnyen tudunk szerkeszteni, az A alapsíkra merőleges egyenesek (szakaszok), hiszen ezek ábrázolt képei mind függőlegesek lesznek (azaz az a alapvonalra merőlegesek). Ezek közül is speciálisak azok, melyek a K képsíkban vannak (azaz olyan egyenesek, melyek metszik az alapvonalat), hiszen ezek valódi nagyságukban látszanak. Ahogyan azt a fejezetben megállapítottuk, ha az alapsíkban adott egy e egyenes, és egy vele párhuzamos f, mely nem feltétlenül van az alapsíkban, akkor az iránypontjaik megegyeznek. Ezek szerint, ha az alapsíkbeli e egyenesre egy d magas kerítést építünk, akkor annak a képe a ábra szerint fog kinézni. Az ábrán a P Q, SR, UT, V W szakaszok egyenlő hosszúak a valóságban, a párhuzamos egyenesek f, e iránypontja pedig közös. Fontos, hogy P Q az egyetlen szakasz ami valódi nagyságában látszik, mivel ez az alapvonalon az alapsíkra merőleges szakasz. Ezek szerint egy tetsőleges T pontban mely az alapsíkon van, az alapsíkra T -ben merőleges d hosszú szakaszt a következőképpen szerkeszthetjük meg. 1. veszünk egy tetszőleges e egyenest T -n át, mely nem párhuzamos az alapvonallal (ez az alapsíkban halad). Ez az alapvonalat P -ben metszi; 2. veszünk egy d hosszú szakaszt P -ben, ami a-ra merőleges, ennek végpontját jelölje Q; 3. a T -n átmenő a-ra merőleges egyenesből a QJ e egyenes kimetszi a keresett szakasz U végpontját. Feladat 12 Szerkesszük megy egy szabályos négyzetalapú gúlának a perspektív képét, melynek adott az oldalhossza, a magassága, egyik csúcsa illeszkedik az alapsíkon adott P pontra, és egy oldaléle α szöget zár be az alapvonallal. A szerkesztéshez először felvesszük az a oldallal α szöget bezáró oldal iránypontját J b (ez az oldal lesz b) lásd ábra fekete pöttyözött szerkesztés. Majd az N b nyompont segítségével megszerkesztjük 33

34 34

35 b ill. P beforgatottját (piros szerkesztés). A beforgatott P L pontból megszerkesztjük a d oldalhosszú négyzetet, mely egyik oldala b beforgatottja. Mivel a négyzet b oldalával szemköztes c oldal párhuzamos b-vel így iránypontjuk közös, ezért megszerkeszthetjük ennek az egyenesnek a visszaforgatottját a nyompont és iránypont segítségével, illetve az ezen (és b-n) lévő csúcspontok visszaforgatottjait (kék szerkesztés). A négyzet perspektív képén az átlók metszéspontja megadja a magasság talppontjának képét, és ezen a ponton átmenő a-ra merőleges egyenesre kell az m magasságot felszerkeszteni (lila szerkesztés) ezzel készen is vagyunk. A láthatóságról csak annyit kell tudni, hogy az egyik jelölt él nem látszik, mert az alapvonaltól távolabb van, mint az alatta levő négyzet pontok alkotói kitakarják a csúcsból induló alkotót (precízen a rajta átmenő a-ra merőleges lefelé induló félegyenes metszi a négyzet egy P -ből induló oldalát, és az ebből a metszéspontból induló alkotó eltakarja a csúcsból induló alkotót). Example 13 Adott két rendezett merőleges vetületével egy alakzat, szerkesszük ki egy perspektív képét! A rendezett vetülettel az ábrázoló I-ben foglalkoztunk. Tekintsük a ábrát. A bal oldolan adott a rendezett vetület (azaz lejjebb a felülnézet, fent az elölnézet mint egy műszaki rajzon torzítás nélkül). Az ábrán felvettünk egy tetszőleges e egyenest, megszerkesztettük ennek a beforgatott képét e L -t. Eltoltuk és elforgattuk az alaprajzot, hogy e L -re illeszkedjen az eggyik csúcs a nyomponba keruljön (fekete pöttyözött). Erre fogunk úgy gondolni, mint a valódi alapsíkon lévő alap beforgatottja, ezért ezt az ismert módszerrel vissaforgatjuk (piros szerkesztés). Ezzel megvan az alap perspektív képe (vastag piros). Most már nincsen más dolgunk, mint a magasságokat az alap fölé szerkeszteni, amit at áttekinthatőség miatt egy új ábrán mutatunk be. Az ábrán csak a szükséges részeket tüntettük fel. A P, Q pontokban mértük fel a magasságokat, és ezek segítségével szerkesztettünk (kék szerkesztések). Amit még használtunk a test e-re merőleges éleinek iránypontja J f, melyet az alap és a horizontvonal segítségével kaphatunk meg. 35

36 36

37 1.2.4 Ferde egyenesek Ha egy pillanatra a ábrára tekintünk, akkor észrevehetjük, hogy egy egyenes képsíkra vetett képéből általában nem tudjuk eldönteni, hogy hol helyezkedik el az általános helyzetű egyenes a térben. Hiszen az ábrán az e képsíkora vett vetületét nézve a valódi e lehet az ábrán feltüntett módon az alapsík egyenese, de végtelen sok más is pl. magában a képsíkban lévő vetület is, hiszen neki is ugyanaz lesz a vetülete. Sőt a C, e által meghatározott sík minden egyenese (a C-n átmenő e-vel párhuzamos kivételével) jó is lesz a valódi egyenes szerepére! Ahhoz, hogy egy egyenes valódi helyzetét meghatározzuk kell az egyenes képe, illetve az alapsíkra vetett vetülete. Tekintsük a ábrát! Adott egy térbeli egyenes e (nem megy át C-n hiszen ekkor a vetülete egy pont lenne). Az alasíkra vett merőleges vetülete e a. Ha az e, e a egyeneseket eltoljuk C-be (ezek az e C, e a C egyenesek), akkor ea C a képsíkot épp ea iránypontjában metszi, és ebben a pontban a horizontvonalra állított merőleges egyenesen lesz rajta e C -nek a képsíkkal vett döféspontja is, ami éppen e iránypontja J e. A J e aj e egyenest irányvonalnak nevezzük. Jól látszik hogy az irányvonal helyzete csak attól függ, hogy a vetület e a milyen szöget zár be az alapvonallal, és nem függ az e egyenes A alapsíkkíl bezárt szögétől. Az ábráról jól leolvesható, hogy CJ e af épp a meröleges vetület e a nak és az alapvonalnak a szöge. Ha a J e a pont körül beforgatjuk C-t a képsíkba, akkor J e eo e aj e = J e ecj e ami épp az e egyenesnek az alapsíkkal bezárt szöge. Azaz a következőket tdjuk megoldani: Feladat 14 Adott egy térbeli e egyenes perspektív képe és az A alapsíkra vett merőleges vetületének e a a perspektív képe. Szerkesszük meg e iránypontját! A feladat könnyű. Vesszük e a iránypontját J e a-t itt merőlegeset állítunk a horizontvonalra, ez lesz az irányvonal. Ahol az irányvonal metszi az e egyenes képét az lesz az iránypont. 37

38 Feladat 15 Szerkesszük meg az azon egyenesek iránypontját, melyek merőleges vetülete az alapsíkra az alapvonallal α szöget zár be, és az alapsíkot β szögben metszik! Vegyünk fel a C L ponton át egy olyan egyenest, mely α szöget zár be az alapvonallal, ez kimetszi a horizontvonalból a J e a iránypontot (itt két lehetséges megoldás is van amit a feladat megenged). Szerkesszük meg a ábrán látható C beforgatottat O e a-t (ezt másra már használtuk a fejezetben) Ide felvesszük a β szöget úgy, hogy O e aj e a az egyik szögszár és a másik szögszár a horizontvonal fölé essen (ez fontos lásd a ábrát!). Ezzel a szögszárral kimetsztük a J e a-ban h-ra állított merőlegesből a J e iránypontot. Example 16 Szerkesszük meg olyan hasábnak a perspektív képét, mely alkotói az alapsíkot adott α = 15 szögben metszik, és az alapsíkra vett vetületeik az alapvonalat β = 35 szögben metszik, alapja szabályos háromszög, magassága pedig m! Az egyszerűség kedvéért az alapvonal legyen a hasáb alapjának egyik oldalegyenese is. Erre a már tanult módszerek alapján megszerkeszthetjük a szabályos háromszöget, lásd ábra (mi ezt most a magasságvonal és az egyik oldaléllel tettük meg, ahol az alappal 60 -os szöget bezáró egyenes iránypontját szerkesztettük meg és használtuk, kék szerkestés). Ezek után az alkotók iránypontját szerkesztjük meg, melyet az alap csúcsaival összekötve megkapjuk az oldaléleket (piros szerkesztés). Végül az alkotók alapra vett merőleges vetületeinek iránypontjával megszerkesztjük a fedőlap csúcsait a következőképpen. Vesszünk egy alkotót és az őt tartalmazó függőleges síkot. Ebben meg tudjuk szerkeszteni az alkotó merőleges vetületét (ez át kell menjen az alkotó alapsíkon lévő pontján) és a vetülettel párhuzamos tőle m távol (felette lévő) egyenest, mely az előbbi síkban van megszerkesztjük a tanult módon. Ez az egyenes metszi ki az alkotóból a keresett csúcsot (lila szerkesztés, mi egy csúcsot szerkesztettünk meg a többinél iránypontokkal szerkesztettünk, kihasználva azt, hogy az alap oldaléleivel párhuzamosak a fedőlap oldalélei) Ferde perspektíva Eddig a perspektívára úgy gondoltunk, mintha a fényképezőgép az alapsíkkal párhuzamosan nézne, azaz a képsík pont merőleges volt az alapsíkra. Mi történik, ha alulról vagy felülről fotózunk. Ekkor a képsík már nem fog derékszöget bezárni az alapsíkkal. Ezt a ábrán szemléltetjük. Adott a térben a C centrum, melyből a vetítősugarak kiindulnak. A képsíkra vett merőleges vetülete C-nek a F főpont, aképsíkra berajzoltuk a CF sugarú távkört is. Az alapsík (a talaj síkja) az a alapvonalban metszi a képsíkot. Az alapsíkkal párhuzamos horizontsík a h horizontvonalat metszi ki a képsíkból. Vegyük a függőleges irányt (z-tengely, alapsíkra merőleges irány...). Hol van ennel az iránypontja (a klasszikus merőleges esetben ábra a C átmenő függőleges egyenes nem metszette a képsíkot /jobban mondva egy ideális pontban metszette/ ezért voltak a függőleges egyenesek mind párhuzamosak az ábrázolás során). Most a J f iránypontban metsz. A CF J f sík a h horizontvonalat a H pontban metszi. HCJ f derékszögű háromszög (C-nél) és könnyen 38