Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom)"

Átírás

1 Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által, s ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó feladatok rajzbeli megoldása. Ábrázoló geometria módszere: VETÍTÉS centrális vetítés Egy térbeli alakzat pontjait egy végesben fekv pontból vetítjük egy a pontra nem illeszked síkra. A síkot képsíknak (Π), a pontot a veítés centrumának (O) nevezzük. A centrális projektció egyértelm leképezés. A centrális ábrázolás egyenestartó. A centrumra illeszked egyeneseket és síkokat vetít sugaraknak illetve vetít síkoknak nevezzük. A keépsíkot használjuk a rajz síkjának. A centrális projekctó az emberi látás természetes általánosítása. Ezért ha a centrális projekciót úgy rendezzök be, hopgy az emberi látás természetes körülményeihez igazodjon képies képet nyerünk (perspektíva). párhuzamos vetítés A vetít sugarak egymással párhuzamosak. A vetít sugárnak a képsíkkal való metszéspontja adja egy pont képét. Ha a vetít sugarak a kép síkra mer legesek, akkor mer leges (ortogonális), egyebbként pedig ferde (klinogonális) vetítésr l beszélünk. Történet: Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom) XVI. század Franciaország - bizonyítás nélküli eljárások, szabályok. Desargues - általános elveket próbál felfedezni a különféle eljárásokban. Monge teremti meg az ábrázoló geometriát, mint tudományt. Fölfedezi azon általános szabályokat, melyek a különböt feladatok megoldásának közös alapját adják, s ezeket tudományos rendszerbe foglalta. Az ábrázoló geometriának alapítója, a francia matematikus, tengerészeti miniszter és haditengerészeti szakért Gaspard Monge ( ) megfogalmazásában a következ két feladatot kell szolgálnia: Az ábrázoló geometria m vészetének két f tárgya van: Az els a háromdimenziós testek szabatos ábrázolása a kétdimenziós rajzlapon úgy, hogy a rajz alapján a testek pontosan meghatározhatóak legyenek. Ebb l a szempontból ez a nyelv a szellem emberének szükségeltetik, aki kigondol egy tervet azok számára, kiknek feladata a kivitelezés irányítása, és végül a mesterembereknek, akik munkája a különböz részek megvalósítása. Az ábrázoló geometria második feladata mindannak kikövetkeztetése a testek pontos leírásából, ami szükségszer en adódik formáikból és helyzetükb l. Ebben az értelemben ez az igazság keresését jelenti; örökösen példákat nyújt az 1

2 ismertb l az ismeretlenbe történ átjárásra; és mivel ez mindig a legelemibb formájú tárgyakra alkalmazható, szükséges bevezetése a nemzeti tantervbe..." Az ábrázoló geometria önálló tudományágként Monge tevékenysége óta létezik. Érdekes módon célkit zései, alapelvei, módszerei a francia forradalom által megreformált iskolarendszerben egyre hangsúlyosabb szerepet kapó, mer ben új szemlélet tantárgy el adásanyagából származnak. E tantárgyat még jóval a forradalom el tt Ábrázoló geometria néven Monge vezette be a mérnökképzés rendszerébe. Az 1748-ban alapított mézieres-i katonai akadémia tanársegédjeként 1768 és 1789 között er dítéstant oktatott. El adásai keretében dolgozta ki önálló ábrázolási rendszerét, amelyet az általános geometriától való megkülönböztetés jeleként ábrázoló (vagy más szóval fordítva leíró) geometriának nevezett. A k faragók és ácsmesterek által alkalmazott rajzi módszerek vizsgálatával kezdte munkáját, és els ábrázoló geometriai elveit is e két területen próbálta ki. Az addigi bonyolultabb és hosszadalmas ábrázolási módszerek helyett az áttekinthet bb és egyszer bb, ma Monge-rendszerként ismert kétképsíkos ábrázolást ajánlotta. El adásai már egy kiadható könyv terjedelmére rúgtak, ám annak publikálását a hatóságok, haditoknak nyilváníttatva, megtiltották. El adásai el ször 1795-ben jelentek meg Géométrie Descriptive címmel. Az ábrázoló geometria önálló tudományággá szentelése Monge tanítványainak és közvetlen követ inek tevékenységén keresztül teljesedett be. Monge ábrázoló geometriája er sen elméleti, tudományos alapokról építkez rendszer volt, amely a francia nemzeti m szaki rajzoktatás tantárgyaként számos követ re talált: ugyanabban az id ben az esztétizáló, lozokus jelleg német természettudományos kutatás is szívesen fogadta, s t, a napóleoni id kben Egyiptomban is kiadták, Itáliában pedig már 1804-ben megjelent els fordítása. A brit rajzoktatásban azonban néhány elszigetelt kísérlet24 után sem történt meg a Monge-rendszer teljes adaptálása. A francia kétképsíkos rendszer párjaként önállóan dolgozták ki az ortograkus - úgyszintén mer leges vetületekkel operáló - projekció (vetítés) elveit, amelynek els rendszeres leírását 1857-ben William Binns adta. Újdonságértéke, miként Monge Ábrázoló geometriájáé is, abban rejlik, hogy az addig tapasztalati úton szerzett ismereteket rendszerezte és pontosította. 1. Axonometria A m szaki és az azzal összefüggésben álló építészeti rajzoknak kétféle kívánalomnak kell eleget tenniük. Képeiken az ábrázolandó tárgy rajza legyen szemléletes és olyan világos információkat nyújtson, amelyek lehet vé teszik az eredeti tárgy egyértelm rekonstrukcióját. Az els látásra értelmezhet, egynézet képek a szemléletességre (perspektíva, axonometria), a többnézet, két- 2

3 vagy többképsíkos rendszerek a rekonstrukció pontosságára törekednek (Mongerendszer, ortograkus projekció). A többnézet rajzok, bármilyen logikusan és következetesen felépített ábrázolási rendszerben legyenek is el állítva, mindig nehezen értelmezhet k els látásra. Az imént körülírt rajzolvasási igény kett sségéb l fakadóan a XIX. század els felében egy angol matematikus-tanár dolgozta ki az általa izometrikus-nak elnevezett perspektíva elveit, amely egyben az axonometria mint önálló ábrázolási rendszer történetének a kezd pontját is jelenti. William Farish 1822-ben megjelent On Isometrical Perspective cím m vében a képiesség igényének eleget téve rendszerét egy szintén a képiesség követelményét maradéktalanul kielégít hagyomány, a centrális perspektíva elméleti továbbgondolásával alakította ki. Az axonometrikus kép szemléletesség szempontjából felveheti a versenyt a centrális vetítéssel szerkesztett képpel, s t a m szaki rajzolás területén a re-konstruálhatóság követelményének megfelelve értékesebb leképezésnek min sül, mint az utóbbi. Ám a XIX. század er sen perspektíva alapú szemlélete miatt a század végéig nem válhatott sem az építészeti rajzok, sem a m alkotások alapvet képalkotási eszközévé. A XIX. századi m szaki rajzolásban el szeretettel alkalmazták az axonometriát gépek, szerkezetek bemutatására, és az építészeti rajz sem haladt túl a szerkezeti elemek ilyenfajta megjelenítésén, az ábrázolást nem terjesztette ki az épületek látképeinek el állítására. Az axonometria az építészeti rajzok egységes ábrázolási eszközeként els ként August Choisy 1870-es, 1880-as években kiadott építészettörténeti összefoglalóiban jelent meg jellegzetes szerkezeti elemek, csomópontok illusztrálására. Alapfogalmak: A geometria a térbeli alakzatok tulajdonságaival foglalkozik. térelemek: pont (A, B, C,... ), egyenes (a, b, c,... ), sík (α, β, γ,... ) 1. Két ponton keresztül egyetlen egyenes húzható. 2. Három nem kollineáris pontra egyetlen sík fektethet. 3. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra. 4. Egy ponton keresztül egy egyenessel egy és csak egy párhuzamos húzható. Térelemek kölcsönös helyzete: 1. pont-pont (a) különböz k (b) egybees k 3

4 2. pont-egyenes (a) illeszked (b) nem illeszked 3. egyenes-egyenes (a) egybees k (b) metsz k (közös síkjuk van) (c) párhuzamosak (közös síkjuk van) (d) kitér k 4. pont-sík (a) illeszked (b) nem illeszked 5. egyenes sík (a) illeszked (b) metsz (metszéspont) (c) párhuzamos 6. sík-sík (a) illeszked k (b) metsz k (metszésvonal-ha van közös pont, akkor van közös egyenes) (c) párhuzamosak Axonometrikus ábrázolás: A térbeli alakzatok képének az axonometrikus tengelykereszt segítségével való meghatározását axonometriának nevezik. Három egymásra mer leges képsík egy térbeli derékszög koordinátarendszert határos meg. A három síkot koordinátasíknak, a metszésvonalaikat koordinátatengelyeknek (x, y, z) nevezzük. A koordinátatengelyek közös pontja a koordinátarendszer kezd pontja (O). Az egységpontok E x, E y, E z. Ahoz, hogy egy pont képét a koordinátatengelyekhez képest jellemezzük a ponton keresztül a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokat fektetünk. A P pont három képe P, P, P, tengelyképei P x, P y, P z. A pont koordinátáit OP x, OP y, OP z adja. Ha felveszünk egy új képsíkot (Ā)- axonometrikus képsík- mely egyik tengellyel sem párhuzamos, megkeressük a tengelyek vetületét ( x, ȳ, z), meghatározzuk az egységpontok vetületeit (Ēx, Ēy, Ēz). Az Ō, Ēx, Ēy, Ēz kongurációt axonometrikus tengelykeresztnek nevezzük. 4

5 Theorem 1 A tér axonometrikus leképezését egy Ā síkra meghatározhatjuk a térbeli tengelykereszt Ō kezd pontjának és Ēx, Ēy, Ēz egységpontjainak megadásával. (E négy pontot tetsz legesen vehetjük fel, az egyetlen megkötés, hogy a négy pont különbözzön egymástól.) Négy tetsz legesen felvett pont a tér axonometrikus leképezését egy síkra egyértelm en meghatározza. Pont képeinek megrajzolása: az axonometrikus képet a tengelypontokból, a koordináta hasáb kiegészítésével nyerjük. A koordináta hasáb élei párhuzamosak a megfelel tengelyekkel. Theorem 2 (Az axonometria alaptétele) Egy alakzat axonometrikus képe mindíg tekinthet az alakzat parallel projekciója an megfelel jének. Theorem 3 Egy alakzat axonometrikus képe az alakzat normál projekciójának an megfelel jének tekinthet. Theorem 4 (Pohlke tétel) Egy alakzat minden axonometrikus képe hasonló az alakzat párhuzamos projekciójához. Theorem 5 Egy sík három egy O pontból kiinduló, tetsz leges irányú és hosszúságú O E x, O E y, O E z szakasza mindíg tekinthet három egymásra mer leges és egyenl távilságokból álló O(E x, E y, E z ) tengelykereszt parallel projekciójának feltéve, hogy az O, E X, E y, E z pontok közül legfeljebb csak három esik egy egyenesbe. Az axonometrikus tengelykereszt tetsz legesen felvehet. alábbi kongurációk használatosak. A gyakorlatban az isometrikus axonometria A tengelykereszt tetsz leges és O E x = O E y = O E z = 1. katona perspektíva x, y egymásra mer legesek és O E x = O E y = 1. Az alaprajz valódi nagyságban látszik. Kavalier-perspektíva y, z egymásra mer legesek és O E y = O E z = 1. Kavalier-perspektíva A képsíkot azonosítjuk az yz koordináta síkkal. Az y és z tengelyek képein a távolságok eredeti nagyságban látszanak. Az x tengelyen megadjuka rövidülést: q x = OĒx OE x. A rövidülésb l meghatározható a vetít sugár iránya. 5

6 Theorem 6 A térbeli alakzat kavalier-perspektívája az alakzat ferde parallel projekciójának tekinthet. Ahoz, hogy az alakzatok egyértelm en visszaállíthatók legyenek, a tárgyaknak a koordináta síkokon lev ortogonális vetületének a parallel projekcióját is el állítjuk a képsíkon (els, második és harmadik képek). Pont ábrázolása: Az axonometrikus ábrázolásban a pont két-két rendez je egymást a megfelel tengelyben metszi. Az axonometrikus kép bármely másik képpel együtt valamelyik tengellyel párhuzamos egyenesre illeszkedik. Pont két képe tetsz legesen felvehet. Adott koordinátájú pont ábrázolása, pont térbeli visszaállítása. Egyenes ábrázolása: 1. Két ponja segítségével. 2. Nyompontok segítégével. Egyenes két képe tetsz legesen felvehet. 6

7 Ábrázoló Geometria Feladatsor Axonometria 1. Adott egy ABC háromszög, továbbá egy sík nyomvonalaival. Szerkesszük meg a sík és a háromszög áthatását (metszésvonal)! 2. Adott egy ABC háromszög axionometrikus és els képével, továbbá egy a egyenes els és harmadik képeivel. SZerkesszük meg a háromszög és az egyenes döféspontját! 3. Adott két egyenes a, b, melyek metsz helyzet ek. Vegyünk fel olyan síkot, amely a két egyenes által meghatározott síkkal párhuzamos! 4. Adott két sík α, β nyomvonalaival. Vegyünk fel az α síkban egy a, a β síkban egy b egyenest úgy, hogy a és b a két sík metszésvonalán messék egymást! 7

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait. ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által és ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

M!szaki ábrázolás II. Ábrázolás szabályai

M!szaki ábrázolás II. Ábrázolás szabályai Palotai Katalin M!szaki ábrázolás II. Ábrázolás szabályai A követelménymodul megnevezése: Általános gépészeti technológiai feladatok I. (szerel ) A követelménymodul száma: 0111-06 A tartalomelem azonosító

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.

Részletesebben

GEOMETRIA 1, alapszint

GEOMETRIA 1, alapszint GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:

Részletesebben

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás Géprajz - gépelemek AXO OMETRIKUS ábrázolás Előadó: Németh Szabolcs mérnöktanár Belső használatú jegyzet http://gepesz-learning.shp.hu 1 Egyszerű testek látszati képe Ábrázolási módok: 1. Vetületi 2. Perspektivikus

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34.

MINTAFELADATOK. 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34. MINTAFELADATOK 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34. 2. feladat: Testábrázolás képsíktranszformációval Gúla ábrázolása (a magasságvonalának transzformálásával) Adott az m egyenes, a ráilleszkedő

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

VARIÁLHATÓ PÉLDATÁR Matematika2 (A2)

VARIÁLHATÓ PÉLDATÁR Matematika2 (A2) Szép Gabriella VARIÁLHATÓ PÉLDATÁR Matematika2 (A2) 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető, lektor Technikai szerkesztő ISBN Copyright Támogatás: Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028

Részletesebben

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2015 A jegyzet bírálója: Dr. Juhász Imre egyetemi tanár A jegyzetet szerkesztette, gépelte, rajzolta: Dr. Geiger János PhD 3 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 9 BEVEZETÉS... 11

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK A Gépészeti alapismeretek szakmai előkészítő tantárgy érettségi vizsga részletes vizsgakövetelményeinek kidolgozása a műszaki szakterület

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

- a szakmai tantárgyak alapozó ismereteinek megszerzését; - az általános műszaki műveltség folyamatos fejlesztését;

- a szakmai tantárgyak alapozó ismereteinek megszerzését; - az általános műszaki műveltség folyamatos fejlesztését; MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS A műszaki ábrázolás tantárgy tanításának általános célja a gimnáziumi képzésben, mint szabadon választott tantárgyként a szakképzést választók azt az általános vizuális kultúrát és térszemléletet,

Részletesebben

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei 1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből egyetlenegyet emelünk ki: szemléletes 1 kép készítése a síkon (képernyőn) valamely térbeli modellről. A tér síkra

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Kiegészítés a merőleges axonometriához

Kiegészítés a merőleges axonometriához 1 Kiegészítés a merőleges axonometriához Időnként találunk egy szép és könnyebben érthető levezetést, magyarázó ábrát, amit érdemesnek gondolunk a megosztásra. Most is ez történt, az [ 1 ] és [ 3 ] művek

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria és perspektíva Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria Jelentése: tengelyek mentén való mérés (axis: tengely, metrum: mérték) Az axonometria a koordinátarendszer tengelyein mért távolságok,

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Ábrázoló geometria példákon keresztül

PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Ábrázoló geometria példákon keresztül PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Ábrázoló geometria példákon keresztül 2011 1 Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK

ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK A vizsga formája ÁBRÁZOLÓ ÉS MŰVÉSZETI GEOMETRIA I. RÉSZLETES TARTALMI KÖVETELMÉNYEK Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli. A részletes követelmények felépítése és használata A részletes vizsgakövetelmények

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D

Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D Vetítések Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D Vetítések fajtái - 1 perspektívikus A párhuzamos A A' B A' B A vetítés középpontja B' Vetítési

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra Tartalomjegyzék A tér lineáris leképezései síkra... Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria... 9 Összemetszési eljárások... 5 Fotogrammetria... 0 Kinematikus geometria... 5 A tér lineáris leképezései

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Lineáris vetítési eljárás

Lineáris vetítési eljárás Tudományos Diákköri Konferencia Gergye Menyhért Lineáris vetítési eljárás Konzulens: dr. Szoboszlai Mihály egyetemi docens Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építészeti Ábrázolás Tanszék 2014

Részletesebben

TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK Á B R Á Z O L Ó G E O M E T R I A TENB 011 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

Műszaki rajz. Szakma szerint csoportosítva. Építész rajz. Géprajz. Villamos rajz. Homlokzatok Alaprajzi elrendezés. Elemek rajza Kapcsolódási rajzok

Műszaki rajz. Szakma szerint csoportosítva. Építész rajz. Géprajz. Villamos rajz. Homlokzatok Alaprajzi elrendezés. Elemek rajza Kapcsolódási rajzok Műszaki rajz Szakma szerint csoportosítva Építész rajz Homlokzatok Alaprajzi elrendezés Géprajz Elemek rajza Kapcsolódási rajzok Villamos rajz Villamos hálózatok Erősáramú berendezések Műszaki rajz Cél

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés 1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának

Részletesebben

Információ megjelenítés Műszaki rajz. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Műszaki rajz. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Műszaki rajz Dr. Iványi Péter Műszaki tevékenység Törvény Rendelet Jogszabály Szabvány Engedélyek Szabadalmak Tudományos Technikai eredmények Energia alapanyag Beüzemelés Jótállás,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Információ megjelenítés Műszaki rajz

Információ megjelenítés Műszaki rajz Információ megjelenítés Műszaki rajz Műszaki rajz Tartalom Kiemeltem a gyakorlatok miatt Érzékelés alapjai Grafikus ábrázolás Tudományos adatok megjelenítése Grafikus megjelenítés alapjai Műszaki tevékenység

Részletesebben

További adalékok a merőleges axonometriához

További adalékok a merőleges axonometriához 1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés 1 Kocka perspektivikus ábrázolása Bevezetés Előző három dolgozatunkban ~ melyek címe: 1. Sínpár perspektivikus ábrázolása, 2. Sínpár perspektivikus ábrázolása másként, 3. Sínpár perspektivikus ábrázolása

Részletesebben

Ferde kúp ellipszis metszete

Ferde kúp ellipszis metszete Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Műszaki rajz 37 óra. MŰSZAKI RAJZ 7-8. évfolyam. Pedagógia program kerettanterv. Szabadon választható óra:

Műszaki rajz 37 óra. MŰSZAKI RAJZ 7-8. évfolyam. Pedagógia program kerettanterv. Szabadon választható óra: MŰSZAKI RAJZ 7-8. évfolyam Pedagógia program kerettanterv Szabadon választható óra: Műszaki rajz 37 óra A műszaki rajz szabadon választható órák célja: hogy a szakirányban továbbtanulóknak sajátos szemléleti

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS

TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve ÉPÍTŐMÉRNÖKI ÁBRÁZOLÁS II. 1.2 Azonosító (tantárgykód) BMEEOEM AV57 1.3 A tantárgy jellege kontaktórás tanegység 1.4 Óraszámok típus előadás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Műszaki rajz alapjai

Műszaki rajz alapjai Műszaki rajz alapjai Definíció A műszaki rajz valamilyen információhordozón rögzített, egyezményes szabályoknak megfelelően, grafikusan ábrázolt műszaki információ, amely rendszerint méretarányos Műszaki

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Ábrázoló geometria kezdőknek

Ábrázoló geometria kezdőknek BANCSIK ZSOLT LAJOS SÁNDOR JUHÁSZ IMRE Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár Bancsik Zsolt, Lajos Sándor, Juhász Imre Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Contents. 1.1 Axonometria... 3

Contents. 1.1 Axonometria... 3 1 Ábrázoló geometria II 1 Contents 1 Ábrázoló geometria II 1 1.1 Axonometria............................................. 3 1.1.1 Térelemek ábrázolása.................................... 4 1.1.2 Kör képe...........................................

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Módszertani különbségek az ábrázoló geometria oktatásában matematika tanár és építészmérnök hallgatók esetén

Módszertani különbségek az ábrázoló geometria oktatásában matematika tanár és építészmérnök hallgatók esetén Módszertani különbségek az ábrázoló geometria oktatásában matematika tanár és építészmérnök hallgatók esetén Pék Johanna Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építészmérnöki Kar Építészeti Ábrázolás

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Adott egy forgáshenger: t főegyenes tengelye két vetületi képével t: 0, 110,170-től jobb felső sarokig egy felületi pontjának második vetületi

Részletesebben

Ábrázoló geometria ELTE

Ábrázoló geometria ELTE Ábrázoló geometria ELTE 1 Tartalomjegyzék 1. A Monge-féle ábrázolás 3 1.1. A 3. vetület el állítása........................................ 4 1.2. Egyenes ábrázolása..........................................

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. 3. rajz 3. feladat (2013/14. tavasz) Ábrázolja egy 3,60 m szintkülönbség áthidalására szolgáló, orsótér nélküli, 2,00 m átmérőjű csavarhengeren belüli csigalépcső (jobbra csavarodó,

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 1. heti gyakorlat Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 Szerkesztő-rajzolással kapcsolatos tudnivalók. Az ábrázoló geometria tanulásához feladatokat dolgozunk ki rajzban, azaz szerkesztéseket végzünk.

Részletesebben