Kinematikus geometria. Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria o.

Átírás

1 Kinematikus geometria Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria o. Az olyan geometriai alakzatokat, melyek pontjainak egymástól való távolsága, és így kölcsönös helyzetük mozgás (helyváltoztatás) közben változatlan, merev rendszereknek nevezzük. A merev rendszer egy-egy pontját kiválasztva, azok a mozgás során egymás után más-más helyzeteket foglalnak el. Ezen helyzetek összessége a pont pályája. Legegyszerűbb mozgások:. Egyenes vonalú haladó mozgás (transzláció): A Rendszer pontjai egymással párhuzamos egyeneseken, egyező irányban, egyenlő pályákat írnak le. 2. Tengely körüli fogás (rotáció): A rendszer két pontja és ezzel az azokat összekötő egyenes valamennyi pontja változatlan helyzetű. Ezt az egyenest tengelynek nevezzük. A rendszer többi pontja olyan körpályán mozog, melynek a síkja merőleges a tengelyre, és a kör középpontja a tengelyre esik. A merev rendszerek mozgásai során a következő eseteket vizsgáljuk:. A pontrendszer síkmozgása, amelynél a rendszer pontjai olyan pályákat írnak le, melyek egy bizonyos síkkal (a mozgás síkjával) párhuzamos síkban fekszenek. 2. A pontrendszer gömbi mozgása, amelynél a rendszer egy pontja változatlan, és a többi pontnak e ponttól mért távolsága változatlan, ezért a többi pont egy-egy meghatározott gömbfelületen mozog. Ezek a gömbfelületek koncentrikusak, és a középpontjuk a fix pont, ezért ezt a mozgást pont körüli mozgásnak is nevezik. 3. A pontrendszer általános mozgása, amelynél a rendszer mozgása semmilyen korlátozásnak sincs alávetve, csak annak, hogy a pontok egymáshoz viszonyított helyzete ne változzon meg. (Ennek a vizsgálatakor felhasználjuk a sík és gömbi mozgás eredményeit.) Síkmozgás visszavezetése síkbeli mozgásra Tekintsük a rendszernek a mozgás síkjával párhuzamos síkmetszeteit. Minden ilyen síkmetszet a mozgás során mindig a saját síkjában marad. Egy ilyen metszet helyzete és mozgása az egész rendszer helyzetét és mozgását meghatározza, ezért a merev rendszer síkmozgását visszavezethetjük síkbeli merev rendszer saját síkjában való mozgására. A síkbeli merev rendszer saját síkjában való mozgása során két pont pályájának ismerete után a többi pont pályája meghatározható. Síkbeli mozgás főtétele: A síkbeli merev rendszer két nem eltolással származtatott helyzete közötti kapcsolat mindig megadható egy pont körüli forgatással. Biz: Az ABC és ABC egy-egy pillanatban mutatja a rendszer mozgását. Azt, hogy milyen pálya mentén jutott az A az A -be, B a B -be

2 ...stb. nem tudjuk, csak azt, hogy az adott pillanatban már ott van. Az AA és BB felezőmerőlegese az O pontban metszi egymást, ezért OA = OA és OB = OB, ezért O körül az A pont A -be, a B a B -be forgatható. O körül az AB szakasz az A B szakaszba forgatható. Az AB szakaszhoz kötött C pont az A B szakaszhoz hasonlóan kötött C -be forgatható. Tétel A mozgás pillanatnyi helyzetében a pályanormálisok egy ponton haladnak át. Ezt a pontot momentán pólusnak nevezzük. Mozgassuk vissza a kiinduló helyzetbe az ABC -t a pályák mentén. Minden pillanatban az AA és BB felezőmerőlegese meghatározza az O pontot. Ha az A tart az A-hoz, akkor az AA szelő határhelyzete az A pont pályájának A-beli érintője lesz, az AA felezőmerőlegeséből a pálya normálisa lesz. Hasonlóan ehhez a BB szelőből B-beli érintő, a BB felezőmerőlegeséből pályamormális. B pont pályája A pont pályája Az O pont határhelyzete O*, amely a mozgás kezdeti állapotában a momentán pólus. A C pont pályaérintője az O*C (pályanormális) egyenesre C-ben állított merőleges. Fontos, hogy a momentán pólus ismeretében a rendszer bármely pontjának pályaérintője meghatározható az adott pillanatban. Tétel A mozgó AB egyenes a mozgás minden pillanatában haladjon át a sík egy rögzített O pontján. Az egyenes O-t fedő pontja legyen C. Ekkor az AB egyenes mozgásakor a C pályagörbéjének O-beli érintője maga az eredeti egyenes.

3 Gördülő- és siklómozgás Legyen az f és g két egymást érintő síkgörbe, az f fix, a g a mozgó görbe. Definíció Ha a g mozgása során a g-n lévő érintési pont változatlan, míg az f- n lévő folytonosan változik, akkor az ilyen mozgást siklómozgásnak (csúszómozgásnak) nevezzük. Definíció Ha a g mozgása során a g-n lévő és az f-n lévő érintési pont is folytonosan változik, és bármely két rögzített helyzet között mindkét görbén egyenlő ívek vannak, akkor az ilyen mozgást gördülő mozgásnak nevezzük. GG = FF. A g pontjainak pályáit rulettáknak nevezzük. Tétel Gördülő mozgás esetén a momentán pólus mindig a görbék érintkezési pontja. Példák: Nézzük a következő speciális síkbeli mozgást. A pályagörbe két egymásra merőleges a és b egyenes. A pályagörbéken mozog az AB szakasz két végpontja. Az AB egyenes tetszőleges P pontja ellipszist ír le, amelynek fél nagytengelye PB, fél kistengelye pedig PA. A tengelyek egyenese a és b. Az ábrán a mozgás nyolc állapota látható. Ha a P pont felezi az AB szakaszt, akkor a P által leírt alakzat egy kör, melynek a sugara az AB szakasz fele. Feladat: Igazoljuk az előbbi pályák ellipszis és kör voltát analitikusan!

4 Közönséges ciklois Ha egy kört (mint gördülő görbét) egy egyenes mentén (mint fixgörbén) végiggördítünk, a körhöz rögzített pont cikloist ír le. Ha a leíró pont a gördülő kör kerületén helyezkedik el, akkor csúcsos (vagy közönséges) cikloist kapunk. Legyen a leíró pont a B pont, amely a kiinduló helyzetben az egyenessel való érintkezési pont. A kört felosztjuk egyenlő részekre, itt 2 egyenlő részre, a kör kerületét az ívek átmérésével felmérjük az alapegyenesre. Jelöljük a kör osztáspontjait B, B, B 2,..., B gyel, az egyenesét pedig A, A, A 2,..., A gyel. Az azonos indexű pontok a későbbiekben fedésbe kerülnek. Kiinduló helyzetben a kör B pontja esik egybe az egyenes A pontjával. Megrajzoljuk a gördülő kör egyes helyzeteit, összesen itt 2-t, s ezeken a körökön a leíró pont újabb helyzeteit. Pl. vegyük azt a helyzetet, amikor a gördülés során a B 5 pont az A 5 ponttal esik össze. Ekkor a leíró pont helyzete B 5 B távolsággal a körön kijelölhető. A ciklois ezen pontjához tartozó érintőjét megrajzolhatjuk, ha a B 5 =A 5 momentán pólussal összekötjük a B pontot, a erre B-ben merőlegest emelünk. Ezzel a módszerrel meghatározhatók a leíró pont további helyzetei, s az adott helyzeteknek megfelelően a görbe érintői. Ha megfigyeljük azt, hogy a gördülés során pl. a B pont új helyzetében olyan magasra emelkedett, mint amilyen magasról például a B 5 pont lesüllyedt, akkor adódik a következő szerkesztés: A gördülő kör B, B 2, B 3,..., B pontjaiból meghúzzuk az alapgörbével párhuzamos szintvonalakat, amelyekre B pont emelkedik akkor, amikor B, B 2, B 3,..., B pontok az alapgörbe megfelelő pontjával fedésbe kerülnek. Lemérjük a kör egy osztáspontjának a leíró ponttól való távolságát, például BB 5 t, s ezzel a körzőnyílással az A 5 pontból elmetsszük a B 5 ponton át rajzolt szintvonalat. Ezzel kijelöltük B pont új helyét. Az érintőt a már ismert módon rajzoltuk. Meg kell jegyeznünk, hogy a görbe A illetve A 2 pontjában, a görbe csúcspontjában, ahol az érintési pont és a leíró pont összeesnek, az érintő merőleges az egyenesre.

5 Nyújtott ciklois Ha egy kör egyenesen való gördülése során a leíró pont a körön belül fekszik, akkor nyújtott cikloist (trochois) kapunk. Egy pont szerkesztése: A gördülő kört 2 részre osztjuk, majd az egyenesen kijelöljük azokat a pontokat, melyekkel ezek a pontok fedésbe kerülnek a mozgás során. A gördülő körrel koncentrikus rajzolunk a leíró ponton keresztül, és ezt is felosztjuk 2 egyenlő részre. Ez utóbbi osztáspontokból párhuzamos egyeneseket húzunk az egyenessel az előbb ismertetett meggondolás alapján. A szintvonalak akkor használhatók, ha (fentről kezdve): a 6-os pontok érintkeznek a 7-es vagy az 5-ös pontok érintkeznek a 8-as vagy az 4-es pontok érintkeznek a 9-es vagy az 3-ös pontok érintkeznek a 0-es vagy az 2-es pontok érintkeznek a -es vagy az -es pontok érintkeznek a 2-es pontok érintkeznek. Most a P pont azon helyzetét szerkesztjük, amikor a kör 4-es pontja és az egyenes 4-es pontja érintkezik. Lemérjük, hogy a kiinduló helyzetben a P és a kör 4-es pontjának távolságát, majd az egyenes 4-es pontjából ezzel a sugárral elmetsszük a megfelelő szintvonalat. Az egyenesen lévő 4-es pont most momentán pólus, a görbe t érintője a P4 egyenesre merőleges. Hurkolt ciklois Ha a leíró pont a gördülő körön kívül fekszik, akkor hurkolt ciklois keletkezik. Egy pont szerkesztése: Ugyanúgy szerkesztjük, mint a nyújtott ciklois egy pontját, annyi különbséggel, hogy a mozgó körön kívül helyezkedik el a P-n áthaladó, előzővel koncentrikus kör.

6 Epiciklois Ha a fixgörbe kör, és a gördülő kör az alapkör kerületén kívül gördül, akkor a gördülő körhöz rögzített pont csúcsos epicikloist ír le. Az ábráról leolvasható a görbe pontjainak szerkesztése, ami teljesen megegyezik a közönséges cikloisnál bemutatott szerkesztéssel. A gördülő kört felosztottuk 2 egyenlő részre. Az egyes ívdaraboknak megfelelő távolságokat átmértük a fixkör kerületére is. Megrajzoltuk a gördülő kört új helyzeteiben. Ha a B pont azon helyzetét szeretnénk meghatározni, amikor a 3-as pontok érintkeznek, akkor az induló helyzetben körzőnyílásba vesszük a B3 távolságot, majd a fixgörbe 3-as pontjából elmetsszük a gördülő kör megfelelő helyzetét.

7 Nyújtott epiciklois Ha a leíró pont a gördülő körben van, akkor nyújtott epicikloist kapunk. A görbe pontjainak szerkesztése az előbbi leírás alapján szerkeszthető annyi különbséggel, hogy most nem a mozgó kör helyzeteit, hanem a vele koncentrikus, B- áthaladó kör új helyzeteit rajzoljuk meg, és ezeket metsszük a megfelelő távolságokkal. Hurkolt epiciklois Ha a leíró pont a gördülő körön kívül van, akkor a kapott görbe hurkolt epiciklois. A hurkolt cikloisnál megmutatott eljáráshoz hasonlóan szerkeszthetjük meg a hurkolt epiciklois pontjait. Az ott alkalmazott szintvonalakat koncentrikus szintkörök helyettesítik.

8 Hipociklois A fixgörbe és gördülő görbe most is kör, de most a fix kör kerületén belül gördül a másik kör. A gördülő görbéhez rögzített pontok hipocikloist írnak le. A leíró pont helyzete szerint ez ismét háromféle lehet, csúcsos, nyújtott, illetve hurkolt hipociklois. Pontjainak szerkesztése hasonló módon történik, mint az eddigiek. A görbe pontjaihoz húzott érintők ugyanúgy szerkeszthetők; mint a közönséges cikloisnál. A momentán pólust (az alapkör és gördülő kör érintési pontja) összekötjük a hozzátartozó epiilletve hipociklois ponttal, s ezen összekötő egyenesre merőlegest állítva megrajzoljuk a görbe érintőjét. Mind az epicikloisnál, mind pedig a hipocikloisnál a gördülő kör egy teljes körülfordulása után a leíró pont ismét az alapkörre jut és minden további körülfordulás alatt leírt görberész az előbbiekkel egybevágó. Az egy körülfordulás alatt leírt görberészt itt is egy menetek, vagy ágnak nevezzük. Az alap- és gördülő kör kerületének aránya megegyezik a sugarak arányával, így ha az alapkör sugara, 2, 3-szorosa a gördülő kör sugarának, akkor a görlék, 2, 3 menete (ága) van. Ha a sugarak r:r aránya racionális, a kapott görbe algebrai, egyébként transzcendens. A következő ábrákon hárommenetű csúcsos, nyújtott és hurkolt hipocikloist ábrázoltunk. A görbék egy-egy pontjában a már ismertetett módon meg is szerkesztettük az érintőt.

9

10 Az egymenetű csúcsos epiciklois neve kardiois (szívvonal). A négymenetű csúcsos hipociklois neve statrois (csillaggörbe).

11 Körevolvens Ha a fixgörbe kör, gördülő görbe pedig egyenes, az egyeneshez rögzített pontok evolvenst írnak le. Körön gördített egyeneshez rögzített pontok körevolvenst, egyéb görbén gördített egyenes pontjai általános evolvenst írnak le. Maga az evolvens lefejtő görbét jelent, akár más ismert görbe lefejtését is meghatározhatjuk. A körevolvens is a leíró pont helyzetétől függően háromféle lehet: csúcsos evolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesen van; nyújtott körevolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesnek az alapkörrel ellenkező oldalán van hurkolt körevolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesnek az alapkörrel egyező oldalán van A csúcsos evolvens egyes pontjainak szerkesztése: Az fix kört egyenelő részekre osztjuk, most 24 egyenlő részre. Az osztáspontokban meghatározzuk a kör érintőjét, majd minden érintőre felmérjük az érintési pont és a B pont közötti körív hosszát. A B-vel átellenes pontban már a fél kerületet kell felmérni. A momentán pólus mindig az aktuális érintkezési pont, ezért a B pont pályájának érintője a mindig merőleges a megfelelő köréirintőre.

12 Nyújtott körevolvens Hurkolt körevolvens Az evolvens transzcendens görbe. A hurkolt körevolvens különleges esete az, amikor a leíró pont kiinduló helyzete az alapkör középpontjába esik. Az ily módon létrejött rulettát Archimedes-féle csigavonalnak nevezzük. Az evolvens görbe a műszaki gyakorlatban igen sokszor előfordul, mint fogaskerekek foggörbéje.

13 Térbeli merev rendszer mozgása Síkmozgás A merev rendszer pontjai egy adott síkkal párhuzamos síkon (síkokon) mozognak. Tekintsünk a térben két egyenlő hosszúságú szakaszt: AB-t, és ABt. Ezek mozgással fedésbe hozhatók. Mivel a pontok pályáját nem ismerjük, csak ezt a két állapotot, ezért a sok lehetséges mozgás egy síkmozgással helyettesíthető. Meghatározhatjuk azt a síkállást, amellyel párhuzamos síkokban mozognak a pontok. A síkállást az AA és BB vektorok feszítik fel, az A pont az ezzel párhuzamos Σ -val jelölt síkban, a B a A Σ síkban mozog. A B Σ A, Σ B, és minden velük párhuzamos síkban a síkbeli mozgásra vonatkozó tételek érvényesek. Az A pont az A-be forgatható minden olyan pont körül, amelyek a pontoktól egyenlő távolságra vannak. Ezeket a pontokat az AA szakasz felezőmerőleges síkja tartalmazza. Hasonló tulajdonsággal rendelkezik a BB szakasz felezőmerőleges síkja is. Mindkét sík a Σ A, körül emiatt az A pont az A-be, B a Σ B síkokra merőleges, ezért a t metszésvonaluk is. A t egyenes B -be és az AB szakasz bármely osztópontja az AB megfelelő osztópontjába forgatható. A t egyenest momentán tengelynek nevezzük, és az egyes Σ -kban lévő momentán pólusokat gyűjti össze. Gömbi mozgás Ebben az esetben egy AB szakasz úgy mozog a térben, hogy az A pontnak egy O ponttól mért távolsága nem változik, és ugyanez igaz a B pont esetén is. Ez azt jelenti, hogy az A pont egy O középpontú gömbön, és a B pont is egy ilyen gömbön mozog. Az AB szakasz a fenti mozgás során az AB helyzetbe került. Tekintsünk egy O középpontú gömböt, és a szakaszokat az O-ból a gömbre vetítjük. Ekkor az A, B, A, B pontoknak rendre az A, B, A, B pontok felelnek meg, a szakaszok vetületei AB, AB főkörívek lesznek. Az A egy főkörív mentén az A-be, egy másik főkörív mentén a B B -be forgatható. Tekintsük AA és BB főkörívek

14 felezőmerőleges síkjait. Ezek m metszésvonala áthalad az O ponton, mivel a felezőmerőleges síkok is áthaladtak az O-n. Az m egyenes körül az AB, AB főkörívek egymásba forgathatók, és ezzel az eredeti AB és A B szakaszok is egymásba forgathatók. A gömbi mozgás mindig helyettesíthető olyan tengely körüli forgatással, ahol a tengely egy rögzített ponton áthalad. Általános mozgás Párhuzamos síkokban fekvő, egybevágó és párhuzamos oldalakkal bíró háromszög megfelelő pontjait összekötő egyenesek egymással párhuzamosak. Így ezek egyetlen eltolással fedésbe hozhatók. Ezt tapasztaljuk, ha egy hasáb párhuzamos síkokkal alkotott metszeteit figyeljük. Ha két egybevágó háromszög egy megfelelő pontpárja egybeesik (vagyis ez a pont nem is mozdul el), akkor egyetlen tengely körüli forgatással a háromszögek fedésbe hozhatók. A forgástengely áthalad a fixen hagyott ponton, ezt tapasztaltuk a gömbi mozgás során. Ha két egybevágó háromszög általános helyzetű, azaz nem áll fenn az előbbi két eset egyike sem, akkor egyetlen eltolással elérhető, hogy egy megfelelő pontpár fedésbe kerüljön, és ezután egy tengely körüli forgatással maguk a háromszögek is fedésbe hozhatók. Ha az eltolás iránya megegyezik a forgástengely irányával, akkor tulajdonképpen egy csavarást hajtunk végre. Csavarás közben a pontok (például a háromszög csúcspontjainak) csavartengelytől mért távolsága és az egyenesnek (mondjuk a háromszög oldalegyeneseinek) a csavartengellyel bezárt szöge nem változik meg. A pontok pályái hengeres csavarvonalívek, melyeknek közös a tengelyük. f Határozzuk meg a csavartengelyt! Adottak az ABC és A2B2C 2 egymáshoz viszonyítva általános háromszögek. Toljuk el a háromszögeket a tér egy pontjába úgy, hogy ott egy egymásnak megfelelő pontpár fedésbe kerüljön, mondjuk az A és A 2. Ebben a helyzetben a két háromszög egy forgatással fedésbe hozható, a forgatás f tengelye áthalad az A = A2 ponton. A csavartengely párhuzamos lesz ezzel a forgástengellyel. A csavartengely pontos helyének meghatározásához az eredeti helyzetben lévő háromszögeket f-fel párhuzamosan egy f-re merőleges síkra vetítjük. Mivel ezzel a síkkal az eredeti háromszögek egyenlő szöget zárnak be, a vetületeik is egybevágóak lesznek.

15 A síkban a vetületek egy O pont körül, ϕ szöggel egymásba forgathatók. A csavarás tengelye az O ponton áthaladó, f-fel párhuzamos t egyenes. A baloldali ábrában már ehhez a t tengelyhez viszonyítva látható a két eredeti háromszög. A háromszögek síkjai a t-t a T és T 2 megfelelő pontokban metszik. Közöttük mérjük az eltolás mértékét. Ha az ABC háromszöget az eltolás mértékével elmozgatjuk, akkor egy AϕBϕC közbenső ϕ helyzetet kapunk, amely az ABC helyzetbe egy t körüli, ϕ szöggel történő forgatással vihető. Az eredő mozgás (azaz egy eltolás, és az eltolás irányával párhuzamos tengelyű forgatás együttese), a csavarás az A, B, C pontok által leírt csavarvonalakat követi, a csavarvonalak közös tengelye t, közös paramétere e ϕ. Ha a ϕ szögű forgatás helyett ϕ + 2nπ szögűt alkalmazunk, akkor az eltolás állandó mértéke mellet más és más emelkedésű csavarvonalakkal kapunk megoldást. Így a két háromszög végtelen sokféleképpen csavarható egymásba.