Egy újabb mozgásos felület - származtatási feladat

Átírás

1 1 Egy újabb mozgásos felület - származtatási feladat Egy érdekes animációra bukkantunk az interneten 1. ábra 1. ábra forrása: _cone.gif Ennek kicsit módosított változatát dolgozzuk most fel. A kiindulás: ~ veszünk két merev lemezt, és egy - egy r sugarú kört rajzolunk rájuk; ~ a körök mentén egyenlő távolságokban n darab h 0 hosszúságú fonál végeit a lemezekhez rögzítjük; ~ a lemezeket eltávolítjuk egymástól, éppen h 0 távolságra; ( Ekkor állt elő az 1. ábra helyzete. ) ~ a felső lemezt a kiindulási helyzetéhez képest felülről nézve az óra járásával ellentéte - sen elforgatjuk φ szöggel; ~ az alsó lemezt a kiindulási helyzetéhez képest felülről nézve az óra járásával mege - gyezően elforgatjuk φ szöggel. Ezzel előállt a vizsgálandó objektum. A feladat: Vizsgáljuk meg a leírt objektumot, geometriai és mechanikai szempontból egyaránt! A geometriai vizsgálathoz tekintsük a 2. ábrát! Itt a térbeli helyzet vázlatát láthatjuk. Már az elején rámutatunk, hogy a geometriai és a mechanikai helyzet összefügg, tehát a geometriai vizsgálat a mechanikai esettől függ. A 2. ábrán a két szélső esetet tüntettük fel:

2 2 2. ábra 1. eset: a fonalak húzásra tökéletesen egyformán és rugalmasan viselkednek, azaz ugyanolyan mértékben, de tetszőlegesen megnyúlhatnak; a két lezáró véglap távolsága elforgatásuk után is ugyanaz marad. 2. eset: a fonalak húzásra tökéletesen merevek, azaz nyújthatatlanok, vagyis hosszuk az eredeti hosszukkal mindvégig megegyezik; a két véglap az elforgatásuk közben elmozdul egymás felé, miközben párhuzamosak maradnak. E két határeset között számtalan átmeneti eset lehetséges, a tényleges fizikai viszonyoktól függően. I. eset Ekkor a nézeti képek a 3. ábra szerintiek. Látjuk, hogy a kiszemelt fonál a ( zöld ) kezdeti helyzetéből a tárcsák ± φ szögelfordulása után átment a ( piros ) új helyzetébe, amely egy a forgástengelytől a távolságra lévő függőleges síkban van, ahol a fonál a vízszintessel már nem derékszöget, hanem α hegyesszöget zár be. Minden egyes fonál így viselkedik, így együtt egyköpenyű forgáshiperboloidot ( EFH - t ) alkotnak.

3 3 Ugyanis az EFH éppen így ( is ) származtatható: az A 1 B 1 egyenest megforgatjuk a hozzá képest kitérő helyzetű z tengely körül. 3. ábra Az előálló forgásfelület egyenletét levezettük egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban. A felület implicit egyenlete az itteni jelölésekkel: ( 1 ) Most kiszámítjuk az ( 1 ) - ben szereplő paramétereket. A 3. ábra felülnézeti képéről: ( 2 ) Majd ismét a 3. ábrával:

4 4 ( 3 ) Látjuk, hogy ( 1 ) - ben a paraméterek számtalan sokféle értéket vehetnek fel. A határesetek: a) b) ( H1 ) ( H2 ) A geometriai vizsgálat után jöjjön a statikai vizsgálat! A fonalak a tárcsák elforgatása során megnyúlnak; ennek abszolút nagysága: ( 4 ) Egy fonál megnyúlt hosszára a 3. ábra elölnézeti képéről, Pitagorász tételével:. ( 5 ) Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: tehát egy fonál abszolút megnyúlása: ( 6 ) Egy fonál fajlagos nyúlása és minden fonálé is : ( 7 ) majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) Egy fonálban a húzófeszültség nagysága, feltételezve a Hooke - törvény érvényességét : ( 9 )

5 5 ahol E f a fonál húzó rugalmassági modulusza, ami itt állandó értékű, hiszen a fonalak viselkedéséről feltettük, hogy az tökéletesen rugalmas. Majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Egy fonálban ébredő húzóerő nagysága: ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) A tárcsák elfordítását a bevezetett erőpárok M forgatónyomatéka idézi elő, a véglapokat egy H nagyságú erő tartja a helyén, a lemezek egymástól mért t I távolságára vonatkozó t I = h 0 = konst. feltétel értelmében 4. ábra: 4. ábra A véglap egyensúlyi feltételi egyenletei: ( 13 ) ( 14 ) Most ismét a 3. ábráról, ( 3 ) - mal is: tehát: ( 15 )

6 6 majd ( 12 ), ( 13 ) és ( 15 ) - tel: tehát: ( 16 ) Ábrázoljuk a ( 12 ) és a ( 16 ) függvényeket! Ehhez adatok: Az eredmény az 5. ábrán látható. ( A ) 5. ábra Itt a fonálerő függvényét bordó, a lapokat húzó erő függvényét zöld színnel ábrázoltuk.

7 7 Meglehet, csak a görbék jellegét érdemes figyelni, a számokat nem, hiszen igen nagy alakváltozások is előállhatnak, melyeket az adott anyag esetleg már nem viselhet el, szakadás nélkül. Folytatva az ismert trigonometriai azonossággal és ( 3 ) - mal: ( 17 ) ezután ( 2 ), ( 12 ), ( 14 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 / 1 ) A ( 18 / 1 ) és ( A ) szerinti függvény grafikonját a 6. ábrán szemlélhetjük. 6. ábra Látjuk, hogy a forgatónyomatékok is meglehetősen nagyok, így itt is inkább a görbe jelle - ge, mint számszerű értékei az érdekesek. A maximum után a fogyó jelleg azzal van össze - függésben, hogy az elfordítási szög növelésével bár nőnek az N fonálerők az erők a karja zérushoz tart.

8 8 Megjegyzések: M1. A 2. és a 4. ábrán nem rajzoltunk meg több fonalat; mindegyik fonálnál ugyanaz a helyzet, mint az egyetlen ábrázolt esetében, függetlenül a fonál tényleges helyzetétől. Ehhez ld. a 7. ábrát is! 7. ábra M2. Egy valóságos megépített szerkezetben ~ az alkalmazott anyagok véges nyúlása, illetve szilárdsága egy adott φ max - nál véget vethet a folyamatnak, így itt a grafikonok is véget érnének; ~ a fellépő súrlódások is módosíthatják a szerkezet erőjátékát, viselkedését. M3. Ha a forgatás szögére φ = π / 2, akkor a fonalak O - ban a kettős kúp csúcsában összeérnek, ezért itt véget vetünk a folyamatnak. M4. A 6. ábra azt a meglepő tényt juttatja kifejezésre, hogy φ = π / 2 - nél külső forgató - nyomaték nélkül, vagyis önmagában is egyensúlyban van a szerkezet. Ez azonban bi - zonytalan egyensúlyi helyzetnek tűnik, hiszen abból való kis kitérítése után már megint kell külső forgatónyomaték az egyensúly fenntartásához. Érdemes lenne tényleg megépí - teni ezt a szerkezetet. Persze, valahol, valamikor már ez is bizonyára megtörtént. De vajon mi lehet a neve? M5. A ( 18 ) képlet azonos átalakítással nyerhető kényelmesebb alakja lehet ez: ( 18 / 2 )

9 9 II. eset Ekkor a nézeti képek a 8. ábra szerintiek. 8. ábra Eszerint: ( 19 ) ( 20 ) ( 21 ) tehát:

10 10 ( 22 ) Az EFH egyenlete most is ( 1 ) szerinti, de ( 22 ) már más alakú kifejezés, mint ( 3 ). Ismét a 8. ábráról: ( 23 ) Most ( 21 ) és ( 23 ) szerint: ( 24 ) A statikai vizsgálat itt egyszerűbb. Annak érdekében, hogy a fonalak feszesek maradjanak, pl. egy G nagyságú súlyt kötünk az alsó lemezre 9. ábra. 9. ábra Emiatt a fonalakban ébredő kezdeti húzóerő nagysága: ( 25 ) A pl. felső lemez egyensúlyi egyenletei a 4. ábra szerint: ( 13 ) ( 14 )

11 11 Most érvényesítjük, hogy a teljes szerkezetre ható erők egyensúly szerint: ( 26 ) Majd ( 13 ) (25 ) és ( 26 ) - tal: innen: ( 27 ) Ezután ( 21 ) és ( 27 ) - tel: ( 28 ) Most ( 14 ) és ( 27 ) - tel: tehát: ( 29 ) Majd ( 19 ), ( 22 ) és ( 29 ) - cel: tehát: ( 30 ) Ezután figyelembe vesszük, hogy a lemezek egymáshoz képesti elfordulása: ( 31 ) majd ( 28 ), ( 30 ) és ( 31 ) szerint: ( 32 ) ( 33 )

12 12 A ( 32 ) és ( 33 ) képletekből kiolvasható, hogy ebben az esetben a fonalakban ébredő húzóerő függ a fonalak számától, a forgatónyomaték azonban nem. Egy specializáció: a bifiláris felfüggesztés esete. Ekkor n = 2, így ( 32 ) és ( 33 ) - ból: ( 32 / 1 ) ( 33 / 1 ) Ezek megegyeznek az [ 1 ] - ben is megtalálható megoldással 10. ábra. Most ábrázoljuk a 10. ábra forrása: [ 1 ] függvényeket a ( B ) adatokkal! Az eredmény a 11. és a 12. ábrán látható.

13 ábra 12. ábra Megjegyzések: M1. A bifiláris felfüggesztésű rúd részletesebb vizsgálata megtalálható egy régebbi dolgozatunkban is, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

14 14 M2. A két vizsgált esetben a kis fi szög jelölésére két különböző betűt használtunk. Valóban, egy adott α hajlás eléréséhez nem ugyanaz a kis fi szög tartozik; ez kiolvasha - tó a ( 3 ) és ( 22 ) képletekből is, de a 2. ábra alsó részén is látszik. M3. A II. esetben az ε 0 állítást is tehetjük, főleg az I. esethez képest. M4. Első pillantásra meglepő lehet, hogy felületképző modellünk / játékunk egy másik klasszikus problémához vezetett. Ennek főként a közös geometria lehet az oka. M5. Láttuk, hogy amíg az I. esetben az alakváltozások vizsgálatára is szükség volt a meg - oldáshoz, addig a II. esetben nem. Úgy mondjuk, hogy az I. eset statikailag határozatlan, a II. eset pedig statikailag határozott probléma. M6. A 13. ábra szerint a projekt már meg is valósult, a II. esetben. 13. ábra forrása: Ez azonban ne szegje senki kedvét! Jöjjenek az újabb megoldások!

15 15 Ilyet mutat a 14. ábra is! Erről nem állíthatjuk bizonyosan, hogy az I. eset megvalósítása lenne. Valószínű, hogy egy módosulat. Meglehet, párszor elszakadtak már a fonalak. 14. ábra forrása: M7. A fenti játékot nevezhetjük az egyköpenyű hiperboloid fonál - modelljének is. Az interneten pl. String models of hyperboloids vagy Fadenhyperboloid címen is találkoz - hatunk ilyenekkel. M8. Az építészetben igencsak népszerűek az egyenes alkotókkal bíró felületek 15. ábra. Viszonylag könnyű megvalósítani ezeket, valamint igen látványosak lehetnek. Az EFH - felületek alkotó egyenesei mentén elhelyezett rudak legtöbbször már nem csak húzásra, hanem nyomásra is igénybe lehetnek véve. Sokszor elegendő lehet a kívánt esztétikai hatás eléréséhez csak az alkotókat megjeleníteni. Ez a helyzet a fonál - modell, vagy a 16. ábra haranglábja esetén is. A harangláb ferde oszlopaiban főként nyomóerők ébred - nek. Ezek nagyságának kiszámítására is alkalmasak lehetnek a ( 27 ), ( 28 ) képleteink.

16 ábra forrása: ábra forrása:

17 17 M9. A 17. ábra feltehetőleg a ( 19 ) képlet képi megjelenítése, cserével. 17. ábra forrása: Irodalom: [ 1 ] I. V. Mescserszkij: Szbornyik zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike 34. kiadás, Nauka, Moszkva, 1975., 89 ~ 90. o. Sződliget, augusztus 07. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár