Egy újabb cérnás feladat

Átírás

1 1 Egy újabb cérnás feladat Az interneten találkoztunk az [ 1 ] dolgozattal, amely csak rész - információkat adott. Ez azonban elég is volt ahhoz, hogy elkezdjünk gondolkodni róla. Erről lesz most szó. Először tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt egy olyan eszközt ábrázoltak, amely haladó mozgást forgó mozgássá alakíthat. A szürke függőleges rúd ( cséve ) felső részéhez két pontban egy - egy cérnát erősítettek, melyek alsó végét a zöld keresztrúdhoz rögzítették. A cséve átmegy a keresztrúd közepén készített nem szoros illeszkedést biztosító furaton, alján pedig megtámaszkodik vala - mely aljzaton. A csévéhez egy lendkereket is erősítettek, a forgás egyenletességének elő - segítése érdekében. A szerkezet úgy működik ld. pl. [ 2 ]!, hogy a keresztrúd forgatásával a cérnákat a csévére feltekerjük, ekkor a keresztgerenda valamennyit felemelkedik. Majd ( akár az önsúlyon kívüli többlet ) függőleges erőt fejtünk ki a keresztgerendára, amire az lesüllyed, a cséve pedig forgásba jön 2. ábra.

2 2 2. ábra forrása: [ 1 ] Itt a mozgás 3 jellegzetes pillanatképét láthatjuk: ~ az a) képen azt a pillanatot ábrázoltak, ahol is a cérnákat felcsévélték, ezáltal a kereszt - gerendát felemelték, majd a zöld nyilakkal jelölt erőket alkalmazták a keresztrúdra; ~ a b) képen a teljesen kitekeredett helyzetben ábrázolták a szerkezetet; ~ a c) képen azt a pillanatot örökítették meg, amikor a szerkezet elérte az a) szerinti helyzetét, ellentétesen felcsévélt cérnákkal. Ezek szerint a mozgás egy teljes periódusa 4 egyenlő szakaszra bontható: 1. negyed - periódus: felcsévélődés balról jobbra forogva; 2. negyed - periódus: lecsévélődés jobbról balra forogva; 3. negyed - periódus: felcsévélődés jobbról balra forogva; 4. negyed - periódus: lecsévélődés balról jobbra forogva. A mozgás fenntartásához minden, itt 2. és 4. negyed - periódus elejinek mondott pillanat - ban kézzel lefelé irányuló erőt fejtünk ki a keresztrúdra. Másodszor: derítsük ki, hogyan működik a szerkezet egy még elég egyszerűnek mondható modellje. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!

3 3 3. ábra Itt az 1., illetve a 2 / c ábra egy felülnézeti képét láthatjuk. Azt szemlélteti, hogy ahhoz, hogy a δ átmérőjű cérna elkezdjen feltekeredni az r 0 sugarú csévére, először el kell fordul - nia φ 0 szöggel, az alaphelyzetéhez képest. A fel - és letekeredési folyamatra jellemző ϕ szögre ( 1 ) ahol az 1. ábra alapján: ( 2 ) innen: ( 3 ) Ha akkor ( 4 ) Harmadszor vizsgáljuk meg a cérnák feltekeredésének geometriáját! Ehhez először tekintsük a 4. ábrát, ahol a kiinduló és az elmozdult helyzethez tartozó paramétereket is feltüntettük. A kiinduló helyzet adataival: ( 5 )

4 4 4. ábra 5. ábra Az 5. ábrán megfigyelhető, hogy a felcsévélődési szakaszon ρ = konst. Majd meghatározzuk a felcsévélés kezdeti pillanatában előálló ϑ 1 szög nagyságát.

5 5 A 4. ábra felülnézeti képét is segítségül hívva: ( 6 ) Látjuk, hogy általában: ( 7 ) A 4. ábrán ( * ) - gal jelölt szög - tartományra: ( 8 ) A ( 8 ) szerinti szögtartományban forgó keresztrúd a z - tengely ( a cséve tengelye ) mentén emelkedik is. Ennek z* nagyságára: ( 9 ) ámde ( 10 ) továbbá a 4. ábra felülnézeti képéről koszinusz - tétellel: ( 11 ) így ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel: ( 12 ) Most a jelöléssel, ( 2 ), ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 13 )

6 6 ( 14 ) A 4. ábra felülnézeti képén azt mutatjuk meg, hogy a kék zsineg függőleges síkját a kiinduló helyzetből amikor is: φ = 0, ϑ = ϑ 0 elforgatjuk 90 - kal; ezt úgy valósítjuk meg, hogy a keresztrudat elforgatjuk φ 0 - lal; ekkor tehát φ = φ 0, ϑ = ϑ 1, ϕ = 0. Ha a keresztrúd további elforgatásával φ - t növeljük, akkor ( 1 ) szerint vagyis a felcsévélésre jellemző bemenő szögadat pozitív lesz. A 4. ábra felülnézeti és a jobb oldali elölnézeti képén feltüntettük a ϕ = 90 esetet is. A felvett T érintési pont az ábrázolás szempontjából igen fontos, mert e pontban a zsineg középvonala érintőjének hajlása így a ϑ szög is valódi nagyságában jelenik meg. Most rögzítjük, hogy a zsineget tökéletesen nyújthatatlannak, hajlékonynak és súlytalan - nak tekintjük, azaz a zsineg egyenesre feszíthető, a keresztgerenda súlyával is. Ennek megfelelően a zsineg összes hossza változatlan: ( 15 ) ahol: ~ l 0 : a zsineg teljes hossza; ~ l: a zsineg egyenes darabjának hossza; ~ l cs : a zsineg felcsévélt darabjának hossza. Egy másik fontos kiindulási összefüggés is leolvasható a 4. ábráról: ( 16 ) ahol:

7 7 ~ H 1 : a zsineg két végének a cséve tengelye menti vetületi távolsága; ~ z cs : a keresztrúd emelkedésének nagysága a csévélés során; ~ h cs : a felcsévélt zsineg cséve menti hossza. A folytatáshoz tekintsük a 4. ábra jobb alsó részét! Ezek alapján írhatjuk, hogy ( 17 ) ( 18 ) Most ( 15 ) differenciálásával: ( 19 ) ámde a 4. ábra szerint: ( 20 ) így ( 20 ) - szal: ( 21) majd ( 19 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) Mivel ( 23 ) így ( 17 ), ( 22 ), ( 23 ) - mal: ( 24 ) Integrálva: ( 25 ) integráltáblázattal is:

8 8 ( 26 ) átalakítva: innen: ( 27 ) ahol: ( 27 / 1 ) Áttérve az inverz függvényre, ( 27 ) - ből: ( 28 ) most ( 6 ) és ( 21 ) - gyel: ( 29 ) Ezután a 4. ábra alapján: innen: ( 30 ) Ismét a 4. ábra alapján: ( 31 ) majd ( 18 ) és ( 24 ) alapján: ( 32 ) integrálva: ( 33 )

9 9 Most ( 30 ), ( 31 ), ( 33 ) - mal: ( 34 / 1 ) ahol: ( 34 / 2 ) Ellenőrzés, ( 34 / 1 ) - gyel: mert ( 34 / 3 ) Továbbá ( 34 / 1 ) és ( 34 / 3 ) - mal: ( 35 ) ahol ( 6 ) és ( 29 ) - cel is: ( 35 / 1 ) ( 35 / 2 ) ( 35 / 3 ) A keresztrúd teljes emelkedése a 4. ábra szerint: ( 36 ) és most ( 14 ), ( 35 ) és ( 36 ) szerint: ( 37 )

10 10 További átalakításokat már nem végzünk a ( 37 ) képleten; szükség esetén ezt a felhaszná - ló majd úgyis megteszi. Adatok: r s = 1 ( cm ) ; r c = 10 ( cm ) ; l 0 = 20 ( cm ). ( A ) A ( 35 / 1 ), ( 35 / 3 ) és ( A ) - val készült grafikon a 6. ábrán látható. 6. ábra Az ábráról is leolvasható, hogy létezi egy φ max körülfordulási szög, melynél ϑ max 90. Ez a következőképpen számítható. ( 1 ) - ből: ( 38 ) majd ( 35 / 1 ) - ből:

11 11 ( 39 ) Számpéldánkban ennek értéke, ( 39 ) és ( A ) - val: ( a ) Majd ( 3 ) és ( A ) - val: ( b ) ezután ( 38 ), ( a ), ( b ) -vel: ( c ) Megjegyezzük, hogy a 6. ábráról csak ϕ max olvasható le, közelítőleg. A nem közönséges csavarvonal változó ϑ szögértékének ábrázolása a 2. ábrán is megfi - gyelhető. Ideteszünk még egy számpéldát, mely igencsak inspiráló lehet. Tekintsük a 7. ábrát! 7. ábra forrása: [ 1 ] Alkalmazzuk képleteinket az alábbi újabb adatokkal! r s = 1 ( cm ) ; r c = 40 ( cm ) ; l 0 = 100 ( cm ). ( A1 ) Most ( 39 ) és ( A1 ) - gyel: ( d ) Ez megegyezik a 7. ábrán feltüntetett eredménnyel.

12 12 Ez azt is jelenti, hogy valószínűleg a megfelelő képleteink és adataink is megegyeznek. ( Mi e dolgozat írása idején nem ismerjük [ 1 ] képleteit; azok beszerzése eléggé körül - ményes lenne számunkra. Eszerint érdemes volt küzdeni! ) Eddig a geometriai feladat - részre koncentráltunk. Most jöjjön egy kevés az erőtani feladatokból! Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! Függőleges vetületi egyenlettel a fonálerő nagysága: ( 40 ) Függőleges tengelyre vett nyomatéki egyenlettel, ( 40 ) - nel is: ( 41 ) Látjuk, hogy statikus esetben is a fonálerő és a forgatónyomaték nemlineáris függvénye a φ szögelfordulásnak. Eszerint paraméteresen gerjesztett anharmonikus lengések leírására kell felkészülnie a kutatónak. Itt nagy szerepet kaphatnak a tényleges fizikai kísérletek és a számítógépes szimulációk. Az interneten található videókban sok érdekesség figyelhető meg a rendszer mozgásával, működésével kapcsolatban. Az egyszerű földi halandó számára furcsa lehet, hogy egy ilyen egyszerű szerkezet ilyen bonyolultságú, főként a fizikai - matematikai leírás, nem pedig az elkészítés és használat tekintetében. 8. ábra

13 13 Megemlítjük, hogy a fenti feladat közeli rokona a bifiláris felfüggesztés feladatának; azzal a különbséggel, hogy utóbbinál a fonalak feltekeredését nem szokták megengedni, illetve nem is történhet meg. Ebben a dolgozatban csak azt a célt tűztük ki és talán valósítottuk is meg, hogy tisz - tázzuk a szerkezet geometriai viselkedését. További vizsgálatokhoz fel kellene írni a szerkezet működésének / mozgásainak leírására szolgáló differenciálegyenleteket, majd azokat megoldani, a számított eredményeket pedig a kísérleti eredményekkel összehason - lítani. Ez itt nem történhet meg. Ennek vélhetőleg ugyanaz az oka, mint annak, hogy pl. az [ 1 ] dolgozatot is négyen írták. Azt gyanítjuk, hogy ez a történet nem itt ér véget. Források: [ 1 ] Zi-Long Zhao ~ Xi-Qiao Feng ~ Shiwei Zhou ~ Yi Min Xie: Pump drill: A superb device for converting translational motion into high-speed rotation onverting_translational_motion_into_highspeed_rotation?_sg=avu3d5bounapmriredfxs7rjy92caaio4uk7mu9w8p6iegcec_7 NK7Ywp4QvjWnyb6NWGlldtlImhVvns8c6sEVFUiBkOWRNbg [ 2 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár