10. Differenciálszámítás

Átírás

1 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() = f,, ha < 0 () =, ha 0 f g,, ha < f () =, ha h, f () cos, =, ha ha > i, sin ha < <, ha f () = j, f () = egyebkent, ha > k, sin, ha f () =, ha > l, f() = m, f() = +-8 +, ha 0 n, f () = +, ha 0 < 9, ha 9 < 0.. A paraméterek mely értéke esetén differenciálhatóak az alábbi függvények a megadott pontokban: tg( ), ha 0 < α a, =,, ha 0 < < f () o= b, f () =, ln c, ha o= e, ha < 0.. Számítsa ki a differenciahányados-függvény határértékeként az alábbi függvények adott pontbeli differenciálhányadosát: a, f() = +, o = b, f() = +, o =9 c, f () =, o = d, f() = 8 +, o = Határozza meg a differenciahányados-függvény határértékeként az alábbi függvények derivált függvényét: a, f() = b, f() = c, f () = d, f () = Határozza meg a következő függvények első derivált függvényét és a differenciálhányados értékét a megadott pontokban:

2 a, f() = 5 6 tg, o = b, f () = e +, o = 5 c, f () = +, o = d, f() = e - cos ln + sin e, f () = f, ctg + f () = 5e + g, f() = ( - 6 +) 6 - (7 - + ) 9, h, f() = lg(sin), o = - o =/8 i, f() = 5 sin - sin 5 (- ), o =0 j, f () = tg 6 sin + k, f () = tg l, f () = arccos + arcsin 5 m, f () = + ln, o = n, f () = ln + 5 o, f () = e + e + p, f() = cos (arctge / ) q, + + arctg f () = + r, f () =, o = + + cos s, f () = + tg 0.6. Vázolja az alábbi függvényeket és a derivált függvényeiket: a, +, ha f () = b,, ha, ha f () = c,, ha <, ha f () =, ha <, ha < 0.7. Határozza meg a következő függvények második derivált függvényét és annak értékét a megadott pontokban: a, f() = 5 -+, o = b, f() = 6 +, o = -7 c, f () = arcsin, o =0 d, f() = arcsin + arccos, o =0 e, f()= ln tg, o = f, f() = arctg(/5) +, o = 0.8. Határozza meg a következő függvények első derivált függvényét ( logaritmikus deriválás): a, f() = b, f() = ( ln) - c, f () = d, f() = ( +) e, f() = sin( +) f, f () = tg arcsin g, f () = h, + f () =

3 0.9. Határozza meg a következő függvények megadott pontbeli érintési paramétereit, görbületét, továbbá írja fel az érintő egyenes, a normális egyenes és a simulókör egyenletét: a, f() =, o = b, f() = arctg, o = c, f() = e, o= d, f() = ln (sin ), o =/ e, f () = 5, o = f, f() = ( ), o = - g, f () = sin, o = / h, f() = arcsin, o = / 0.0. Határozza meg a következő kifejezések közelítő értékét a bennük szereplő függvényeket a függvény nevezetes helyén lineárisan közelítve: a, 0, b, cos5 o c, sin 6 o d, tg 0,07 5 e, lg f, log 80 g, h, (0,0) Határozza meg a következő függvényhatárértékeket a L'Hospital-szabály alkalmazásával:. ln 0+ ln(sin ). ( e ) ctg ch cos ( ) ctg( ) 7. ln 0. cos. 6. ctg 0 sh + sin 9. 0 ln. 5. ( ctg) ln e 8. 0 sin e. e 0 sin. ( tg) 0+ tg 7. ln 0+ + sh ch 0. 0 sh. e 6. sin sin e 0 tg 6. 0 sin tg tg 9. 0 sin sin. tg tg ctg 5. 0 tg 8. sin e ( + ) ( e ). 0 cos. 0 sin arcsin arcsin ln ln( ) 0

4 . e tg. ( ) tg a. a 0 sin, (a>0) 0.. Végezzen függvényvizsgálatot és ábrázolja következő függvényeket: a, f() = + 0 b, f() = e - (+) c, f () 6 = d, f () = e, f() = e f, f() = ln g, ln f () = h, e f () = + i, f()= e - j, f () = e k, f () = e l, f() = ln ( -) m, f () o, f () = e = ln n, r, f () = ln p, f () = e f () = e s, f ( ) = + t, f ( ) = + v, f ( ) = + e u, f ( ) = Vizsgálja az alábbi függvények monotonitását és keresse meg a helyi szélsőértékeket: a, f()= (sin-cos)+sin+cos, [-,] b, f() = (sin+cos), [-,] c, f()= sin( -), [-,] d, f() = sin(e ), [-,5/] e, f()= e sin, [-5,6] f, f () = ( ) ( ) g, f () = h, f () = ln = j, f () = arctg ln( + ) i, f () cos + cos k, f () = l, f() = m, ln f () = n, e 0 () = + sin f 0.. Vizsgálja az alábbi függvények monotonitását, konveitását, keresse meg a helyi szélsőérték-helyeket és az infleiós pontokat! Periodikusak-e a megadott függvények? Ha igen, akkor adja meg a periódust is!

5 + 5 a, f () = sin e, f()= sin b, f() = sin f, f () = sin + cos c, f () = ( 7 + cos ) sin g, f () = sin + sin d, f () = cos cos h, f () = sin + cos 0.5. Határozza meg az alábbi függvények legkisebb és legnagyobb értékeit a megadott zárt intervallumban! a, f = +, [-;8] c, f ( ) = +, [0.5;.8] ( ) 6 b, f ( ) = +, [0.;] d, f ( ) 5 =, [-;] 0.6 Hol maimális az alábbi függvények görbületének nagysága, és mennyi ez az érték: a, f() = sh b, f() = c, f() = ln d, f() = / 0.7. GEOMETRIAI PROBLÉMÁK a. Írja fel az f ( ) =, függvény görbéjének az tengellyel alkotott metszéspontjaiba húzot érintőinek egyenleteit. b. Legyen f ( ) = +. Határozza meg a függvény azon pontjainak koordinátáit, ahová húzott érintők párhuzamosak az y = - egyenletű egyenessel. c. Határozza meg az f ( ) = 6 +, függvény azon érintőjének az egyenletét, amely merőleges a y = + egyenletű egyenesre. d. Mekkora területű háromszöget alkot a koordinátatengelyekkel az y()=c egyenletű hiperbola = a abszcisszájú pontjához húzott érintője? e. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az f ( ) = függvény azon pontjait köti össze, amelyekhez húzott érintők párhuzamosak az tengellyel SZÉLSŐÉRTÉK-FELADATOK a. 00 m kerítés anyaggal egy téglalap alakú folyóparti területet akarunk bekeríteni úgy, hogy a folyó felőli oldalra nem teszünk kerítést. Mekkora a legnagyobb lekeríthető terület? b. A 0 cm-es alkotójú kúpok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? c. Határozza meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú hengert! d. Az +y =8 egyenletű ellipszisnek adott két pontja: A=(5,), B=(-,). Határozza meg az ellipszis azon C pontját, melyre az ABC háromszög területe maimális! e. Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a hozzá tartozó magasság 0 cm. Mekkorára kell megválasztani a másik két oldalt, hogy a háromszög kerülete minimális legyen? f. Egy 5 cm sugarú félkörbe téglalapot írunk úgy, hogy a télalap egyik oldala illeszkedik a kör átmérőjére, két csúcsa pedig a körre. Határozza meg a legnagyobb területű beírható téglalapot! g. Egy 6 cm sugarú, 5 cm magas egyenes körkúpból legfeljebb mekkora térfogatú (a kúppal közös szimmetriatengelyű) hengert lehet kifaragni?

6 h. Egy 0 cm sugarú félkörlemezből legfeljebb mekkora területű szimmetrikus trapéz alakú lemez vágható ki? i. Egy R sugarú gömbből legfeljebb mekkora térfogatú kúp faragható ki? y j. Az + = egyenletű ellipszisbe téglalapot írunk úgy, hogy a téglalap oldalai 9 párhuzamosak az ellipszis tengelyeivel. Határozza meg a legnagyobb területű beírható téglalapot! k. Az 5 m térfogatú, szabályos háromszög alapú egyenes hasábok közül melyiknek legkisebb a felszíne? l. Határozza meg az f()= 8 parabola azon pontját, mely a (0,6) ponthoz a legközelebb van! m. Egy háromszög kerülete 0 cm, az egyik oldala 5 cm. Mekkora legyen a másik két oldal, hogy a háromszög területe maimális legyen? n. Egy 00 m -es víztároló medencét akarunk építeni. Milyenre kell választani a méreteit, hogy a megépítéséhez a legkevesebb anyagot kelljen felhasználni o. Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? p. Melyik a legnagyobb területű azon derékszögű háromszögek közül, amelynél az átfogó és az egyik befogó összege adott állandó érték?