Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok..."

Átírás

1 Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények Bevezető feladatok Határérték Függvény deriválás Taylor polinom Határérték meghatározása L Hospital szabállyal Síkbeli görbe érintője Szélsőérték számítás Függvényvizsgálat Megoldások. Valós függvények Bevezető feladatok Határérték Függvény deriválás Taylor polinomok Határérték meghatározása L Hospital szabállyal Síkgörbe érintője Szélsőérték számítás Függvényvizsgálat

2 3. fejezet Valós függvények

3 3.. Valós függvények 3... Bevezető feladatok Mivel egyenlő? ( ) 3. sin arcsin() ( ) 3.3 sin arccos() ( ) 3.5 cos arcsin() ( ) 3. sin arccos() ( ) 3.4 tg arccos() ( ) 3.6 sin arc tg (, 4) 3.7 sh() 3.8 ch(3) 3.9 ch(), ha sh() =. 3.0 arsh(4) 3. arch(5) 3. arth( 0, 6) Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát: y = + + y = y = 3 + y = y = ln( 3 + ) 3.8 y = ln y = arcsin y = arccos 9 3. y = ln y = ln (ln ) 3

4 Rajzoljuk meg a következő függvények görbéit. 3.3 y = 3.4 y = y = + y = y = y = y = 4 y = ± y = e y = e y = e y = arcsin(sin()) y = arccos(cos()) y = arctan(tg ()) 3.37 y = arctan ( ) Határozzuk meg a következő függvények inverz függvényét y = y = + 4

5 y = + ( 0) y = 3 + ( 0) y = y = y = 6 ( 0) y = y = + 4 ( ) y = Határérték Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban (3 + ) k (k N rögzített)

6 n (n Z rögzített) 3.59 ( 3 ) ( 4 ) n

7 ( + ) ( + ) 3.7 ( ) sin(m), n, m N rögzített. n sin(5) 3.8 sin(a) sin(b), a, b R, b 0 rögzített. 7

8 sin() tg () ctg () cos() cos() sin () ( sin() ) tg + sin() cos() sin() cos() ( π ) (tg ()) tg π 4 4 tg sin() 3 cos( 3 ) cos() π 6 sin () + sin() sin () 3 sin() sin() + sin(3) ( cos()) tg 3 sin 3 () 3.95 sin() sin() π 6 ( sin π ) 6 3 cos() tg () tg () π cos sin cos() 8 sin()

9 3..3. Függvény deriválás Határozzuk meg a következő függvények deriváltját f() = f() = ( 3 3) sin() 3.0 f() = ( + + ) cos() 3.0 f() = sin () 3.03 f() = sin( ) 3.04 f() = sin( 5 + 8) 3.05 f() = ( ) 6 tg 3.07 f() = tg ( ) 3.06 f() = cos(4 ) + sin f() = sin 3 ( + tg ) 3.09 f() = 0 sin(3 ) 3.0 f() = e 3. f() = π sin() 3. f() = 3.3 f() = sin( ) 3.4 f() = 3.5 f() = + tg f() = sh[ 3 ln( + 7)] 3.6 f() = lg( + sin ()) 3.8 f() = + th th 3.9 f() = 5 arcsin 3.0 f() = arcsin 3. f() = ar ch ar th + 3. f() = e 3.3 f() = 3 Határozzuk meg az alábbi implicit módon megadott (y = f()) függvények deriváltját y = 3.5 sin() cos(y) + sin(y) cos() = y 3 3ay = 0 9

10 3.7 ( ) cos(y) + cos(y) = y = y 3.9 f() = + arc tg f() 3.30 f() = ( + ) ( ) Taylor polinom Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott 0 helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját f() = ln, 0 = e, T 4 () =? f() = e, 0 =, T 4 () =? f() = tg (), 0 = π 4, T 3() =? 3.34 f() = sin(), 0 = π 4, T 3() =? 3.35 f() = sin(3), 0 =, T 4 () =? 3.36 f() = , 0 =, T 3 () =? 3.37 f() = , 0 =, T 6 () =? 3.38 f() = , 0 =, T 5 () =? 0

11 Írjuk fel az alábbi függvények 0 = 0 helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját f() = e, T 4 () =? f() = sin(3), T 6() =? f() = cos(), T 5 () =? f() = arc tg, T 3 () =? f() = ln( + ), T n () =? f() = ( + ) α, T n () =? 3.45 Mekkora hibát követünk el, ha az y = sin() függvény értékét a [0, ] intervallumon a T 5 () = 3 3! + 5 5! Taylor polinommal közelítjük? 3.46 Határozzuk meg az e szám értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! Határérték meghatározása L Hospital szabállyal 3.47 sin 3 tg tg () + cos 3 e e

12 3.49 π 4 tg () sin e e sin() 3.53 sin() e sin() e cos() 3.55 sin() cos() 3.50 e sin() 3.5 tg () sin() 3.54 ln ( + ) sin e ln 3.56 ln sin() ln (e ) ( 3.6 ctg ) sin a ( 3.60 ) sin tg () 3.6 (sin()) π (a R rögzített) tg () 3.63 (arcsin ) 3.64 (tg ()) π π ( ) tg () ( ) ( ) + ( ) ( ) ( + tg ())ctg ( + )

13 3..6. Síkbeli görbe érintője 3.7 Határozzuk meg az y = 3 parabola 0 = abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét! 3.73 Hol metszi az y = ln görbe = e abszcisszájú pontjához húzott érintője az tengelyt? 3.74 Határozzuk meg az y = tg () görbének azt a pontját, melyhez tartozó érintő párhuzamos az y = 5 egyenessel! 3.75 Határozzuk meg az y = görbének azokat a pontjait, melyekben az érintő párhuzamos az y = 6( π) egyenessel! 3.76 Bizonyítsuk be, hogy az y = a görbe (ahol a > 0 adott) bármely pontjához húzott érintője és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! 3.77 Írjuk fel az y = tg () görbe = π abszcisszájú pontjához tartozó normálisának 4 egyenletét. (A függvény görbe P pontjához tartozó normálisa az az egyenes, amely a ponthoz húzott érintőre merőleges.) 3.78 Határozzuk meg az y 3 3 4y + 3 = 0 implicit alakban adott függvény görbéjének = abszcisszájú pontjaiban az érintő és normális egyenletet Keressük meg az y = görbe azon pontjait, ahol a.) az érintő párhuzamos az tengellyel b.) az érintő az tengely pozitív irányával +45 -os szöget zár be Szélsőérték számítás 3.80 Határozzuk meg az y = 3 függvény lokális szélsőértékeit! 3.8 Határozzuk meg az y = 4 e függvény lokális szélsőértékeit! 3.8 Keressük meg az f() = függvény a) lokális szélsőértékeit, b) abszolút szélsőértékeit a [0; ] és a (0; ) intervallumokon Keressük meg az f() = + függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az [ ; ] intervallumon. 3

14 3.84 Keressük meg az f() = ln függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az (0; ] intervallumon Határozzuk meg az R sugarú körbe írt legnagyobb területű téglalapot Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszínű hengert Egyenlő szélességű három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maimális? 3.90 Határozzuk meg a h alkotójú kúpot közül azt, melynek a térfogata legnagyobb. 3.9 Egy a szélességű csatornából derékszögben kinyúlik egy b szélességű csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba. 3.9 Keressük meg az y = 8 parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponttól a legkisebb távolságra van Feltsszük, hogy a gőzhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos. Keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó c km/óra sebességű víz-sodrással szemben halad Az A és B pontok a ill. b távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út A-ból B-be a falat érintve? 3.. ábra. 4

15 m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maimális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglevő 00 m hósszú kőfalhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 3.. ábra Keressük meg a 4 + 9y = 36 ellipszisnek azt a pontját, ami a P (, 0) ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van Egy derékszögű háromszög alakú telek egymásra merőleges oldalai 00 m és 00 m. Az ábra szerint ráépített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maimális? 3.3. ábra feladat Egy r sugarú félkörbe írható téglalapok közül melyik területe maimális? Melyik területe minimális? 3.99 Egy fapados repülőgépen 300 ülőhely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 00 ülőhely foglalt. Ha 00 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek 00 Ft-tal. Hány utas esetén lesz a légitársaság bevétele maimális illetve minimális? 3.00 Adott T területű téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? 3.0 Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk belőle. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maimális? 5

16 3..8. Függvényvizsgálat 3.0 Vizsgáljuk és ábrázoljuk az f() = ln függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket f() = f() = f() = f() = f() = e 3.08 f() = e cos() 6

17 3.. Megoldások. Valós függvények 3... Bevezető feladatok sin( arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) = sin() = tg (), sin(arc tg.4) = + tg sh() = e e 3.8 ch(3) = = ch() = ch + sh = + sh = 3, ha sh =. 3.0 ar sh = ln( + + ), ezért ar sh 4 = ln(4 + 7) = ar ch = ln( ± ), ezért ar ch 5 = ln(5 ± 4) = ln =.9 = ln 0.0 =.9 3. ar th = ln + y y, ezért ar th ( 0.6) = 0.4 ln.6 = A + + kifejezés azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha + 0 és 0. Ezt az egyenlőtlenség rendszert megoldva kapjuk, hogy az értelmezési tartomány: R \ {} 3.6 R \ {0, 3} 7

18 3.7 A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. Ezért függvényünk pontosan az 3 + > 0 feltételnek eleget tevő valós számokra van értelmezve. Az egyenlőtlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: R \ [, ] A logaritmus mögött pozitív számnak kell állnia, ezért > 0. Továbbá a ( 4 ) 5 gyökjel alatti számnak nem- negatívnak kell lennie, ezért ln 0. E két 4 5 feltétel együttese pontosan akkor teljesül, ha. Ezért: , < < 3, < < 5, 8 < <. 3. < < Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás előtt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Ahol egy törtfüggvénynek a nevezője zérus, ott pólusa van. Itt függőleges aszimptotája van. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg. (a) 3.3. feladat (b) 3.4. feladat 8

19 (c) 3.5. feladat (d) 3.8. feladat (e) 3.6. feladat (f) 3.3. feladat (g) 3.9. feladat (h) 3.3. feladat 3.38 y =. 9

20 (i) 3.7. feladat (j) feladat (k) feladat (l) feladat (m) feladat 3.39 y =. 0

21 3.40 y =. 3.4 y =. 3.4 y = y = y = y = y = y = ( + ) Határérték ha k páros, balról, jobbról + ha k páratlan Az ( ) gyöktényezőt a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük, majd egyszerűsítünk: n = ( )( + 5) ( )( + ) = = = 7 3.

22 3.6 Helyettesítsük 3 + -et u-val. Ekkor 3 + = u és = u 3. Ha 0, akkor u, tehát 3 + = u u u 3 = u u (u )(u + u + ) = u u + u + = = u 5 helyettesítés alkalmazásával = + u 5 u + u = u 4 u 3 + u u + 3 u u u + n = Mivel, ezért a nevező domináns tagjával, azaz 7 0 -nel egyszerűsítjük a törtet: = ( 6) = ( 6) = = ( 6, ) = ( ) ,, ( ) A számlálót és a nevezőt egyaránt szorozva ( ) -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból eltűnik a négyzetgyök jel, és ezt követően a kifejezés egyszerűsíthető -el. Így az ismert (a + b)(a b) = a b összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. + + = = + + = ( ) = =

23 ( 4 )( + ) = = + ( )( + ) = = ( + + )( + ) + = 3. Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az előzőekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy = u helyettesítéssel oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható ( + ) ( + + ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + + ) = = = Alkalmazzuk az u = 3 + helyettesítést. Ekkor = u 3, s ezzel = u u u 3 = u sin m n ( sin m = m u (u ) (u + u + ) = u ) m n = m n = m n. u + u + = 3. 3

24 3.8 sin a sin b = a b sin a a sin b b = a b sin a a sin b b = a b = a b sin() tg () = sin() sin() cos() = (cos()) sin() sin() = = cos() = ( cos()) ( + cos()) = ( + cos()) ( ) sin() sin () ( + cos()) = cos () = ( + cos()) = + cos() = ( sin() ) ( = tg () sin() cos() ) sin() cos() = sin() = 0 = 0. cos( 3 ) cos() = cos( 3 ) ( 3 ) cos() = cos() sin() = cos( 3 ) ( cos()) ( + cos( 3 )) = 4 + cos( 3 ) = 0 = 0. = 4

25 sin() + sin 3 = sin() + sin() sin() 3 = sin sin() sin = = 4. = sin() sin() cos() 3 = sin() cos() = =. π cos sin cos() = π cos sin cos sin = π cos + sin = cos π + sin π = Függvény deriválás 3.99 f () = f () = 3 sin() + ( 3 3) cos(). 3.0 f () = 3 ( + + ) cos() ( 3 + 3)[( + ) cos() ( + + ) sin()]. ( + + ) cos () 3.0 f() = sin() sin() tehát f () = cos() sin() + sin() cos() = sin() cos() = sin(). 5

26 3.03 f () = cos( ) f () = ( 5) cos( 5 + 8) f () = 6( ) 5 (4 3 6)tg (4 6 + ) 6 cos f () = 43 sin( 4 ) ( + sin 3 ) 3 cos( 4 ) sin () cos() ( + sin 3 ()) f () = tg ( ) cos ( ) = 4tg ( ) cos ( ) f () = 3 sin ( + tg ) cos( + tg ) (tg + tg cos ) 3.09 f () = 0 sin(3) ln 0 cos( 3 ) 3 = 3(ln 0) 0 sin(3) cos( 3 ). 3.0 f () = e. 3. f () = π sin() ln π cos(). 3. f() = 7 8 tehát f () = f () = cos( ) sin( ). 3.4 f () = = ( ) f () = tg 3 f () = = 3 cos 3 ( ) ( + tg 3). ( ) 4 sin() cos() lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) = sin 4 lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) f () = ch[ 3 ln( + 7)] (3 + 7 ). 6

27 3.8 f () = ch sh. 3.9 f () = 5 5 arcsin ln. 3.0 f () =. 3. f () = ( + ) + = Mivel ar th () = ( ) + ln, ezért e ar th = e ln f () = ( 3 ) 0 + ln = e + = f () = ( ) 3 ( 3 ). 3.4 Deriváljuk mindkét oldalt: + yy = 0, innen: y = y. 3.5 Deriváljuk mindkét oldalt: ( + )( ) 3 cos() cos(y) + y sin() sin(y) cos (y) + y cos() cos(y) + sin() sin(y) cos () = 0. Innen: y = cos() sin() sin(y) + cos(y) cos () sin() sin(y) cos (y) + cos() cos(y) cos (). 3.6 Deriváljuk mindkét oldalt: Innen átrendezéssel: y = a y y a. 3.7 y = cos y sin y + ( ) sin y 3 + 3y y (3ay + 3ay ) = 0. 7

28 3.8 Vegyük mindkét oldal logaritmusát: ln f() = f() ln. Deriváljuk mindkét oldalt: ln f() + Innen azt kapjuk, hogy 3.9 f () = + f(). f() f () = f () ln + f(). f () = f() f() ln f(). f() ln 3.30 Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük: ln f() = ( ) ln( + ). Aztán mint implicit függvényt deriváljuk: Innen átrendezéssel azt kapjuk, hogy Taylor polinomok 3.3 A Taylor polinom képlete szerint: T 4 () = f(e) + f (e)! f() f () = ln( + ) + +. f () = ( + ) ( ln( + )). + ( e) + f (e)! ( e) + f (e) 3! A fenti képletbeli számítások: f(e) = ln e =. A derivált ( e) 3 + f (4) (e) ( e) 4. 4! f () =, f (e) = e. f () =, f (e) = e, Így a keresett polinom: f () = 3, f (e) = e 3, f (4) () = 3 4, f (4) (e) = 6 e 4. T 4 () = + ( e) e e ( e) + 3e ( 3 e)3 4e ( 4 e)4. 8

29 3.3 T 4 () = e [ +! ( ) +! ( ) + 3! ( )3 + 4! ( )4 ] T 3 () = +! ( π 4 ) + 4! ( π 4 ) + 6 3! ( π 4 ) f() = sin(), f( π 4 ) =. f () = cos(), f ( π 4 ) =. f () = sin(), f ( π 4 ) =. f () = cos(), f ( π 4 ) =. Tehát a keresett polinom: T 3 () = [ +! ( π4 )! ( π4 ) 3! ( π4 ] ) T 4 () = sin(3) + 3 cos(3)! 3 3 cos(3) 3! 3.36 f() = , f() =. f () = 3 +, f () = 6, f () = 0 f () = 6, f () = 6. Tehát a keresett polinom: T 3 () = f() + f ()! ( ) 3 sin(3) ( )! ( ) sin(3) ( ) 4. 4! f () = ( ) + f ()! ( ) + f () ( ) 3 = 3! =! ( ) + 6 3! ( )3 = ( ) 3 ( ) +. 9

30 3.37 Megjegyzés: Mivel az n-ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt n-edfokú Taylor polinomjával, ezért = ( ) 3 ( ) +. Természetesen ez az azonosság elemi úton is ellenőrizhető. T () = 7 + 9( ) + 76( ) + 0( ) ( ) ( ) 5 + 7( ) T 5 () = 6 + 5( ) + ( ) + 4( ) 3 + 4( ) 4 + ( ) T 4 () = f() = sin 3, f(0) = 0. f () = 3 cos 3, f (0) = 3 f () = 3 sin 3, f (0) = 0 f () = 33 cos 3, f (0) = 33 f (4) () = 34 sin 3, f (4) (0) = 0 f (5) () = 35 cos 3, f (5) (0) = 35 f (6) () = 36 sin 3, f (6) (0) = 0. Tehát a keresett polinom: T 6 () = f(0) + f (0)! 3 + f (0)! + f (0) 3! = 0 +! + 0! ! 4! 4 + = [ ]. 3.4 T 5 () = T 4 () = f (4) (0) 4! 3 5 5! ! 6 = 4 + f (5) (0) 5! 5 + f (6) (0) 6 = 6!

31 3.4 f() = arc tg, f(0) = 0 f () = +, f (0) = f () = ( + ), f (0) = f () = ( + ) 8 ( + ) ( + ) 4 = 6 ( + ) 3, f (0) =. Tehát a keresett polinom: T 3 () = 3! 3 = 3 3. T n () = n + + ( )n+ 4 n 3.44 T n () = + α α(α ) + α(α )(α ) + 3 +!! 3! α(α )... (α n + ) + + n = n! ( ) ( ) ( ) α α α = n = n n k=0 ( α k ) k A felírt polinom hatod fokúnak is tekinthető, ezért az elkövetett hiba R 6 () = f 7 (ξ) 7 = cos(ξ) 7 < 7! < 5000 < 5 0 3, mert cos(ξ) bármilyen ξ esetén, és a 0 feltevés miatt. Ha tehát a 0-tól radiánig ( 57, 3 ) terjedő szögek sinusát az előbbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb Az e szám két tizedes jegy pontossággal való megközelítése azt jelenti, hogy megkeressük a két tizedes jeggyel felírt tizedes törtek halmazából azt az elemet, amely az e számhoz legközelebb esik. Ez a halmaz: {k 0.0 k Z}. Mivel két ilyen szomszédos tizedes tört távolsága 0, 0, ezért célszerűnek tűnik, hogy az e számot először 0.0 = pontossággal közelítsük meg racionális számmal, majd ebből próbáljuk meg kikövetkeztetni, hogy az említett százados skálán melyik elem esik hozzá legközelebb. 3

32 Az e számot az f() = e ( R) függvény = helyen vett helyettesítési értéke adja. Ezért a feladat most olyan n N keresése, melyre e T n () = f() T n () < A Taylor-formulát = esetén alkalmazva kapjuk, hogy van olyan 0 < ξ < szám, melyre f() T n () = f() n k= n! = f (n+) (ξ) (n + )! n+ = A ξ <, e < 3 becsléseket alkalmazva kapjuk, hogy ezért elég megoldani a 0 < f() T n () = e ξ (n + )! > 0. e ξ (n + )! < e (n + )! < 3 (n + )!, (3.) 3 (n + )! < egyenlőtlenséget. Ez az egyenlőtlenség egyenértékű azzal, hogy (n + )! > 600, amiből kiolvasható, hogy n 5. Nézzük tehát pl. az n = 5 esetet: T 5 () = +! +! + 3! + 4! + 5! Rendezzük át az (3.) becslést: majd alkalmazzuk n = 5-re: T n () < f() < T n () + = 8, (n + )!, =, , < e <, ! =, Ebből már látható, hogy a százados skálán az e számhoz a, 7 tizedes tört esik legközelebb, tehát az e szám két tizedes jeggyel felírt közelítő értéke:, Határérték meghatározása L Hospital szabállyal 3.47 sin 3 tg 5 = 3 cos 3 5 cos 5 3 = 5 cos 3 cos 5 =

33 e e sin() = e + e cos() = e e sin() = e + e cos() = e ln ln sin() = cos() sin() = sin() cos() = cos() cos() sin() = sin a = sin a = ( a ) cos a = = a cos a = a cos 0 = a Itt felhasználtuk, hogy (sin()) tg () = e (tg ()) (ln sin()) = e 0 =. π π (tg ()) (ln sin()) = π π ln sin() ctg = ( sin() cos()) = 0. π = π cos() sin() sin = 33

34 e e e Síkgörbe érintője 3.7 Az érintő egyenlete y y( 0 ) = y ( 0 )( 0 ). Példánkban 0 =, y() =, y () =. Az érintő egyenlete y = ( ) + azaz y = Az érintő egyenlete y = Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebből = 0. e Az érintő az origón megy keresztül Az érintő iránytangense y megegyezik az egyenes meredekségével. y = cos =. Innen cos() = ±, = ± π 4 + kπ. Tehát a keresett pontok: P k ( π 4 + kπ; ), Q k( π 4 + kπ; ) (k Z) P (, 530) ; P (, 5) T = a A normális meredeksége m = π = cos π y ( 4 ) 4 =. Innen az érintő egyenlete: y = + + π Keressük meg először a jelzett pontokat. Az = értéket beírjuk a függvénybe: y 3 3 4y + 3 = 0. Innen y(y 4) = 0. Három értéket találunk: y = 0, y =, y 3 =, ezért a megfelelő pontok P (, 0), P (, ), P 3 (, ). 34

35 A derivált y 6 4y = 3y 4 Érintő egyenesek: Normális egyenesek: = 6 + 4y 3y 4, y (P ) = 3, y (P ) = 7 4, y (P 3 ) = 4. y = 3 ( ), y = 7 4 ( ), y + = ( ). 4 y = 3 ( ), y = 4 ( ), y + = 4( ) y =, ezt felhasználva: a) = 0, amiből = 0 vagy =. A keresett pontok: P (0, ), P (, 3 ). b) +45 -os bezárt szög esetén az érintő meredeksége, ezért megoldandó az = egyenlet. Ennek gyökei = +, =. Tehát a keresett pontok: Q ( +, 3 3 ), Q (, ) Szélsőérték számítás 3.80 A függvénynek lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus. Ha ezen a helyen az első el nem tűnő derivált páros rendű, akkor van lokális szélsőérték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor lokális minimum van, ha negatív, akkor lokális maimum van. y = 3, ezért y = 3 és y = 6. y = 0 ha = 4, azaz = ± y () = > 0, lokális minimum van y() = 6. y ( ) = < 0, lokális maimum van y( ) = y = (4 3 5 )e = 3 (4 )e Mivel e mindenütt pozitív, y = 0 akkor lehet, ha = 0 ill. =, 3 = y = ( )e y (0) = 0, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni. y ( ) = y ( ) = 6 < 0, tehát ezeken a helyeken a függvénynek lokális e maimuma van. 35

36 Vizsgáljuk az = 0 helyet. y = ( )e ; y (0) = 0 y (IV) = ( )e y (IV) (0) = 4 > 0, tehát a függvénynek az = 0 helyen van lokális szélsőértéke: lokális minimuma van. = 0-nál y min = 0 = és 3 = -nél y ma = 4 e. M egjegyzés: természetesen kereshetjük a lokális szélsőérték helyeket a függvény monotonitásának vizsgálatával is. 3.8 a) f monotonitását vizsgáljuk, s ebből következtetünk a keresett szélsőérték helyekre. A derivált f () = , melynek zérushelyei: =, = 5. Ennek alapján a függvény monotonitása: a (, ] intervallumon: szigorúan nő, a [, 5] intervallumon szigorúan csökken, a [5, + ] intervallumon. szigorúan nő. Emiatt az = helyen lokális maimuma van, melynek értéke: 4, és az = 5 helyen lokális minimuma van, melynek értéke: 8. b) A [0, ] intervallumon vegyük figyelembe, hogy f a [0, ] intervallumon szigorúan nő, az [, ] intervallumon pedig szigorúan csökken. Emiatt abszolút maimuma az = helyen felvett f() = 4, abszolút minimuma pedig min{f(0); f()} = f(0) = 3. A (0, ) nyílt intervallumon - a monotonitás alapján - az = helyen van abszolút maimum, abszolút minimum pedig nincs Lokális szélsőértékek: f() ma =, ha = és f() min =, ha =. Abszolút szélsőértékek [ ; ]-n: abszolút minimum = -nél, abszolút maimum = -nél és = -nél Lokális szélsőérték: f() min = e, ha = e. Abszolút szélsőérték (0; ]-en: abszolút minimum = -nél, abszolút ma- e e imum = -nél 0. 36

37 3.4. ábra feladat 3.85 Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát m-el, akkor a terület T = m. Ekkor + m = 4R, ahonnan m = 4R.Így T = 4R. A kapott függvény maimumát kell keresnünk. Egyszerűsítést jelenthet, ha a terület-függvény helyett annak négyzetét tekintjük. T -nek ugyanott van maimuma, ahol T -nek: T = (4R ). A maimális területű négyszög négyzet, és = m = R. T = R Legyen a henger sugara r, magassága m. V = r πm V ma = R3 π, ha r = R 3, m = R Legyen a kúp alapkörének a sugara r, magassága m. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhető. V = r πm ; r = R, m = R +. 3 V = π 3 (R )(R + ) V ma = 3 8 R3 π, ha m = 4 3 R, r = 3 R r = m = 3 π 37

38 3.5. ábra feladat 3.6. ábra feladat 3.89 A feladat megoldásában segít az ábra: T = ϕ = 60. a + m = (a + )m 3.90 A feladat megoldásában segít az ábra: V ma = 3 7 πh3, ha r = ( 3.9 A feladat megoldásában segít az ábra: l ma = a 3 + b 3 3 h, m = h 3. ) 3, ha tg α = 3 a b. 38

39 3.7. ábra feladat 3.8. ábra feladat 3.9 P (, ±4) Egy óra alatt a hajó v c km-nyi utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása E = av 3 (a konstans arányossági tényező). A D költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a K = a v3 v c költségfüggvény minimuma adja. A leggaz- 39

40 3.9. ábra feladat daságosabb sebesség: v = 3 c km/h Minimális távolság esetén α = α Maimális terület 5000 m, ekkor a = 00 m, b = 50 m. A minimális terület 0 (egyenes vonal) Jelölje (, y) az ellipszis egy pontját. Ekkor P és (, y) távolsága: d = ( ) + (y 0). Ennek minimumát és maimumát keressük a 4 + 9y = 36 feltétel mellett. Nyilvánvaló, hogy d és d szélsőérték-helyei ugyanott vannak, ezért d szélsőértékhelyeit fogjuk keresni. A feltételi egyenletből kifejezzük y -et, majd behelyettesítjük d képletébe: d = ( ) + y = ( ) = Keressük tehát az f() = függvény abszolút szélsőértékeit a [ 3, 3] intervallumon. A [ 3, 3] intervallumhoz úgy jutunk el, hogy a feltételi egyenlet átrendezésével 9y = 36 4, amiből , azaz 3 3 adódik. Weierstrass tétele alapján tudjuk, hogy a keresett szélsőértékek léteznek. Keressük meg a derivált zérushelyét: f () = 0 9 = 0, ennek egyetlen megoldása = 9. Ez benne van a [ 3, 3] intervallumban. Így: 5 { min f = min f ( ) } { } 9 4, f( 3), f(3) = min 5, 4, = 4 = f ( ) 9 5

41 { ma f = ma f ( ) } { } 9 4, f( 3), f(3) = ma 5, 4, = 4 = f( 3) 5 Ennek alapján a P -hez legközelebbi pontok ( ilyen van): A ( 9 5, 8 5 ) és A ( 9 5, 8 5 ), a legtávolabbi pont pedig B( 3, 0) A ház oldalainak hossza 00 m és 50 m A maimális területű téglalap oldalai a degenerált eset: egyetlen vonal. r és r. A minimális területű téglalap 3.99 Legyen f() a bevétel, ha utas van. A 00 fölöttiek száma 00, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként ( 00). Ezért az összes jegy ára: ( ) f() = ( 00) = Az f () = 0 egyenlet megoldása = 50, így a potenciális szélsőérték helyek: = 00, = 50, = 350. A megfelelő függvényértékek: f(00) = , f(50) = , f(350) = Maimális a bevétel 50 utas esetén, és minimális 350 utas esetén. csupán elméleti...) (A feladat 3.00 Négyzet. 3.0 Az egész drótból kört hajlítunk Függvényvizsgálat A függvényvizsgálat során a fő kérdések az alábbiak:. értelmezési tartomány. zérushelyek 3. a függvény viselkedése az értelmezési tartomány határain (határértékek) 4. növekvő és csökkenő szakaszok, szélsőérték 5. konve és konkáv szakaszok, infleiós pontok 6. grafikon felvázolása, értékkészlet 4

42 3.0 Értelmezési tartomány: R, > 0. A zérushelyeket az ln = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: =. Határértékek: ln = 0 (L Hospital-lal), + ln = +. Monotonitás, szélsőérték: f () = ln + zérushelye van: = e / =. e = ( ln + ). Ennek egyetlen A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ ] [ ) f a 0, intervallumon csökken, az e e, + intervallumon nő. Az = ( ) e helyen abszolút minimuma van. A minimum értéke: f = e e. Konveitás, infleiós pontok: f () = ( ln + ) + = ln + 3. Ennek egyetlen zérushelye van: = e 3/ = e e. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ ] [ ) f a 0, e intervallumon konkáv, az e e e, + intervallumon konve. Az = e helyen infleiós pontja van. e A függvény grafikonja: Értékkészlet: R f = 3.0. ábra. 3.0 feladat [ e, + ). 4

43 3.03 f( ) : maimum, f(4) : minimum, f ( ) 3 : infleió Értelmezési tartomány: D f = R, a függvény páratlan. A zérushelyek et az = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: = 0. + Határértékek: + = + + = 0. Monotonitás, szélsőérték: f () = ( + ) =. Ennek zérushelyei: =, = ( + ) ( + ). A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, ] intervallumon csökken, a [, ] intervallumon nő, az [, + ) intervallumon csökken. Az = helyen lokális minimuma, az = helyen lokális maimuma van. A lokális minimum értéke, a lokális maimum értéke. Konveitás, infleiós pontok: f () = ( 3) ( + ) 3. Ennek három zérushelye van: = 3, = 0, 3 = 3. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 3 ] és a [ 0, 3 ] intervallumokon konkáv, a [ 3, 0 ] és a [ 3, + ) intervallumokon konve. Az = 3, = 0, 3 = 3 helyeken infleiós pontja van. Aszimptota az -tengely. A függvény grafikonja: Értékkészlet: R f = helyen abszolút maimuma van. 3.. ábra feladat [, ]. Az = helyen abszolút minimuma, az = 43

44 3.05 Értelmezési tartomány: D f = R \ {0}, a függvény páratlan. A zérushelyeket az + = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. Ennek az egyenletnek azonban nincs valós gyöke, tehát a függvénynek nincs zérushelye. Határértékek: + f() = +. f() =, f() = +, + f() =, Monotonitás, szélsőérték: f () =. Ennek zérushelyei: =, =. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, ] intervallumon nő, a [, 0) intervallumon csökken, a (0, ] intervallumon csökken, az [, + ) intervallumon nő. Az = helyen lokális maimuma, az = helyen lokális minimuma van. A lokális maimum értéke, a lokális minimum értéke. Konveitás, infleiós pontok: f () =. Ennek nincs zérushelye. 3 f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 0) intervallumon konkáv, a (0, + ) intervallumon konve. Infleiós pontja nincs. Aszimptota az y = egyenes. A függvény grafikonja: 3.. ábra. f() = + Értékkészlet: R f = (, ] [, + ). Abszolút szélsőértékei nincsenek Értelmezési tartomány: D f = R, a függvény páros. Zérushely nincs, mivel bármely R esetén e > 0. Határértékek: e = + e = 0. 44

45 Monotonitás, szélsőérték: f () = e ( ). Ennek egyetlen zérushelye van: = 0. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 0] intervallumon nő, a [0, + ) intervallumon csökken. Az = 0 helyen abszolút maimuma van. A maimum értéke: f (0) =. Konveitás, infleiós pontok: f () = e ( ). Ennek két zérushelye van: =, =. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: ( f a, ] [ ) és az, + intervallumokon konve, a [, ] intervallumon konkáv. Az =, = helyeken infleiós pontja van. A függvény grafikonja: 3.3. ábra. f() = e Értékkészlete a (0, ] intervallum D f : { R/{ }} ; f(0) = 0 : minimum, f( ) = 4 : maimum, infleió nincs, aszimptotája az y = egyenes. A (, ) és (0, + ) szakaszokon növekvő, (, ) és (, 0) szakaszokon csökkenő. R f : {0 < f() 4, f() 0} 3.08 Értelmezési tartomány: D f = R. 45

46 Zérushelyek: az e cos() = 0 egyenlet megoldásával kapjuk, hogy = z k = π + kπ (k Z). Kapcsolat az eponenciális függvénnyel: az e cos() = e egyenlet megoldásával kapjuk, hogy cos() =, azaz = k = kπ (k Z). Könnyű kiszámolni, hogy az k pontokban f és e deriváltja azonos. E két összefüggés azt jelenti, hogy az k pontokban f grafikonja érinti az e függvény grafikonját. Hasonlóan, az e cos() = e egyenlet megoldásával kapjuk, hogy az y k = (k + )π (k Z) pontokban f grafikonja érinti az e függvény grafikonját. Szemléletesen: f be van szorítva e és e közé. Határértékek: Mivel e f() e, ezért f() = 0. A viszont f-nek nincs határértéke, mivel f(z k) = 0 = 0, és f( k + k k) = e kπ = +. k + k Monotonitás, szélsőérték: f () = e (cos() sin()). = π 4 + kπ (k Z). + -ben Ennek zérushelyei: A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ π f a 4 + kπ, 5π ] [ 5π 4 + kπ intervallumokon csökken, a 4 + kπ, 9π ] 4 + kπ intervallumokon nő (k Z). Az = π 4 +kπ helyeken lokális maimuma, az = 5π +kπ helyeken lokális 4 minimuma van (k Z). Konveitás, infleiós pontok: f () = e sin(). Ennek zérushelyei: = kπ (k Z). f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a [kπ, (k + )π] intervallumokon konkáv), a [(k + )π, (k + )π] intervallumokon konve, az = kπ helyeken infleiós pontja van (k Z). Vegyük észre, hogy az infleiós pontok éppen azok a helyek, ahol az f hozzáér az eponenciális függvényhez. Értékkészlete: R f = R. 46

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Matematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István

Matematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István írta Vágó, Zsuzsanna és Csörgő, István Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Vágó Zsuzsanna, Csörgő István Tartalom Matematikai Analízis Példatár... 1 1. Bevezető... 1 2.

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Matematikai Analízis I. ISBN

Matematikai Analízis I. ISBN Matematikai Analízis I. Példatár Vágó Zsuzsanna Csörgő István ISBN 978-963-84-448-0 Tartalomjegyzék Bevezető 3. Valós számok 4.. Valós számok................................. 5... Teljes indukció............................

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4 Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1. Monotonitas, konvexitas

1. Monotonitas, konvexitas 1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat

Részletesebben

4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai

4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai 69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.

f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van. 159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben