Függvényhatárérték és folytonosság

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvényhatárérték és folytonosság"

Átírás

1 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak értékkészlete (Ran f ) pedig az R- nek valamely részhalmaza. Ha az n-et nem akarjuk hangsúlyozni akkor röviden valós függvényr l speciálisan ha n = akkor egyváltozós valós függvényr l beszélünk. D 8. Az egyváltozós valós f () ( Dom f ) függvényt síkbeli derékszög koordináta-rendszerben az ( f ()) koordinátájú pontok halmazával (az y = f () egyenlet geometriai alakzattal) ábrázoljuk ezt az alakzatot a függvény grakonjának nevezzük. A kétváltozós ( y) f ( y) (( y) Dom f ) valós függvény grakonjának egyenlete: z = f ( y) amely térbeli derékszög koordináta-rendszerben ábrázolható. A grakonnak az = a síkkal való metszete az = a z = f (a y) egyenletrendszer alakzat; - nívóvonal. Ezt az -nívóvonalat mer legesen levetítve az yz-síkra az = 0 z = f (a y) egyenletrendszer görbét kapjuk. Hasonlóan származtathatók az y- és z-nívóvonalak s ezek mer leges vetületei az z- illetve y-síkra. D 8.3 Az egyetlen egyenlettel meghatározott függvényt eplicit alakban megadottnak röviden eplicitnek nevezzük ha a kiszámítandó függvényérték az egyenlet egyik oldalán magában áll azaz n-változós függvény esetén y = f (... n ) ( k R k =... n) alakú. Minden más esetben a függvényt implicit alakban megadottnak röviden implicitnek mondjuk. Feladatok. Határozzuk meg az f( ) f ha f() = ( ) ( π π f 3 3 ha < 0; tg ha 0 < π; ha π ) f(4) f(6) helyettesítési értékeket

2 8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük. Határozzuk meg az f( ) f( 8) f( log 04) helyettesítési értékeket ha f() = 3 + ha ; ha < 3; 5 ha 3 <. 3. A oldalú ABCD négyzetet messük el az AC átlóra mer leges e egyenessel. Legyen az A csúcs és az e egyenes távolsága. Írjuk fel az A csúcsot is tartalmazó lemetszett síkidom területét függvényeként. Határozzuk meg a területet ha = illetve =. ( 4. Mivel egyenl f() f( ) f( ) f( + ) f() + f() f() f ) f() f( ) (f()) ha f() = +? Az feladatokban adjuk meg azt az f függvényt amely teljesíti a felírt egyenletet: 5. f( ) = ( ) + 6. f = + 0 ( ) ( 7. f = 8. f + ) = f( ) = Adott az f() = log c függvény. Bizonyítsuk be hogy ha a b ( ) ( + ) a + b akkor f(a) + f(b) = f. + ab. Határozzuk meg az f() = a 3 + b + c + d racionális egész függvény (polinom) együtthatóit ha f( ) = 0 f(0) = f() = 3 f() = 5.. Határozzuk meg az f() = a+bc (c > 0) függvényben az a b c paraméterek értékeit ha f(0) = 5 f() = 30 f(4) = Milyen a érték mellett lesz az f() = 3 + a + függvény az = hely kivételével egyenl egy másodfokú függvénnyel? 4. Milyen a és b értékeknél lesz az f() = 3 + a + b + b függvény els fokú? + + Határozzuk meg az alábbi valós függvények értelmezési tartományát: lg(3 4). log a ( 4) 3. log log 3 log 4 4. log a ( + ) + log a ( ) 5. lg cos 8-

3 8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük 6. lg lg tg 8. lg log (3 8) 9. lg( lg( 5 + 6)) ln(3 ) 3. ln(sin(ln )) 3. ln ln( ) +. Határozzuk meg az f és f valós függvények értelmezési tartományát ha: 33. f() = f() = f() = f() = f() = 3 cos 38. f() = ctg. Határozzuk meg a következ függvények értelmezési tartományát és értékkészletét: 39. f() = cos f() = + 4. f() = lg( cos ) 4. f() = +. Mi az értelmezési tartománya a következ függvényeknek ha az f függvény értelmezési tartománya a [0; ] intervallum? 43. f( 5) 44. f(4) 45. f( ) 46. f( + ) 47. f(3 ) 48. f(tg ). Határozzuk meg az alábbi többváltozós valós f függvények értelmezési tartományát valamint azt a geometriai alakzatot amely az értelmezési tartományt a síkbeli illetve térbeli derékszög koordináta rendszerben ábrázolja: 49. y 50. y 5. ln(y) 5. sin y 53. ln(sin cos y) y z 55. ln( y z ) ( + y )(4 y ) y + y y + y y ln cos π y 6. sin π sin πy 6. z y + 4 z y 63. ln( ln(y )) 64. ln( sgn y) 65. sin π + sin πy y + c + y + c c R 8-3

4 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke 67. r y + r > s > 0. + y + z s Ábrázoljuk a következ függvényeket: 68. f() = sin 69. f() = 70. f() = sin ha π 0; ha 0 < ; 7. f() = ha < 4 lg 7. cos 3 sgn sin 73. f() = f() = cos + cos 75. f() = f() = ha < 0; ha = 0; ha 0 < 77. Milyen geometriai transzformációkkal származtathatók az f() függvény grakonjából az f(+a) f()+b f(k) lf() f() f( ) (a b k l R {0}) függvények grakonjai ha értelmezve vannak? 78. Milyen geometriai transzformációkkal származtatható az f() függvény grakonjából az lf(k(+a))+b függvény grakonja ha értelmezve van? Ezek segítségével ábrázoljuk a függvényb l kiindulva a 3 4 függvényt. 79. Ábrázoljuk transzformációval az függvényb l kiindulva a függvényt. 80. Ábrázoljuk transzformációval a cos függvényb l kiindulva a 3 cos 3 sin függvényt. Ábrázoljuk a következ függvényeket: log +. Nívóvonalakkal (vagy a függvény grakonjára jellemz más síkmetszetekkel) szemléltessük az alábbi egyenletekkel megadott ( y) z függvényeket: 84. z = + y 85. z = + y 86. z = y 87. z = ( + y) 88. z = + y 89. z = + y 90. z = + y +. Az alábbi y egyváltozós valós függvényeket paraméteres egyenletrendszerrel adtuk meg. Küszöböljük ki a t paramétert! 9. = 3t y = 6t t 9. = t t + 3 y = t t = cos t y = sin t t [0 π] 94. = a cos t y = b sin t (a b > 0) 95. = a sin 3 t y = a cos 3 t t [0 π ] 96. = tg t y = sin t + cos t a 97. = t 3 + y = t 98. = y = at + t + t 99. = a t + a t y = a t a t (a > 0). 8-4

5 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke Függvény határértéke D 8.4 (Heine) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = l. Jelölés: 0 f () = l. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = (n f ( n ) = ). Jelölés: 0 f () = ( 0 f () = ). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha f értelmezve van a valamely E környezetében és végtelenhez divergáló minden E-beli [ n ] sorozatra n f ( n ) = l. Jelölés: n f () = l. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. D 8.5 (Cauchy) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ sugarú környezetében azaz ha 0 < 0 < δ akkor az f függvény értelmezve van az helyen és f () benne van az l szám ε sugarú teljes környezetében azaz f () l < ε. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha bármely pozitív (negatív) k számhoz van olyan pozitív δ hogy ha 0 < 0 < δ akkor f () értelmezve van és f () > k (f () < k). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív k szám hogy ha > k akkor f () értelmezve van és f () l < ε. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. T 8.6 T 8.7 A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója ekvivalens. (f () ± g()) = f () ± g() f ()g() = f () g() f () 0 g() = 0 f () 0 g() ha az egyenl ségek jobb oldalán álló határértékek léteznek. ( 0 g() 0) Feladatok A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója (D 8.4 és D 8.5) alapján bizonyítsuk be a következ állításokat: = =

6 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke = ( ) = 04. log a = (0 < a < ) 05. sin π nem létezik. n Bizonyítsuk be hogy a 0 p + a p + + a p + a p q = + b q + + b q + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q és a 0 > 0; ha p > q és a 0 < 0; ahol p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a Mutassuk meg hogy a 0 p + a p + + a p q = + b q + + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 > 0; < 0; < 0; > 0; ahol k p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a Az megfelel hatványával egyszer sítve határozzuk meg a következ függvényhatárértékeket: ( + 5) 5 + ( + 6) 5 + ( + 7) ( ) 5. ( 3) 0 (3 + ) 30 ( + ) ( ) 5. ( + )( + ) ( n + ). ((n) n + ) n+ Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket (ha szükséges akkor az 0 tényez vel való egyszer sítés útján): ( ) 3. p q (p q N + ) ( ). + ( + )

7 8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok Számítsuk ki az alábbi végtelenbeli függvényhatárértékeket az alkalmas hatványával való egyszer sítése útján: Vegyes feladatok Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket a a ± b = 3 a ± 3 b = a ± b 3 a 3 ab + 3 b azonosságok alapján: ( + ) 37. ( 38. ( ) ( tg tg sin ) a b a b illetve a + ) ( + 3 ) 4. ( ( + c)( + d) ) 43. π 6 sin + sin sin 3 sin +. Az alábbi feladatokban szerepl kifejezéseket ismert trigonometriai azonosságok alkalmazásával olyan alakra hozhatjuk hogy a felírt függvényhatárértéket közvetlenül leolvashatjuk. Végezzük el a átalakítást és írjuk fel a határértéket! 44. tg sin 0 sin cos sin + π cos + sin sin ( π ) cos π 6 3 cos π 3 ( sin ) 8-7

8 8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok ( sin ) 49. ( cos ) tg 0 tg sin 50. π 4 tg cos 5. 0 tg + cos. sin Felhasználva a = határértéket vizsgáljuk meg léteznek-e az alábbi 0 határértékek; ha igen számítsuk ki azokat! 5. sin 3 0 tg sin 54. sin α 0 sin β (β 0) sin sin 6 sin cos cos cos cos(sin ) 0 sin ( + tg + sin cos π sin sin sin 6. sin 7π 63. sin π 64. sin π π 65. sin π. Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket (a feladatok és a függvényhatárérték Heine-féle deníciója (D 8.4) alapján): ( ) ( + ) ( ) + + ( ( + 3 tg ) ctg 7. ( 0 ( ) Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = a > 0 és 0 g() = b akkor 0 f() g() = a b. (Megjegyezzük hogy az 0 a -t vagy -t is jelentheti.) 74. Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = 0 g() = ) 3 ) és 0 g()(f() ) = b akkor 0 f() g() = e b. (Az el z feladathoz hasonlóan az 0 itt vagy is lehet.) A 73. és a 74. feladatok alapján számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: 8-8 )

9 8. Függvényhatárérték és folytonosság Egyoldali függvényhatárérték ( ( ( + sin π) ctg π 77. ) ( ) 8 +3 ( + tg sin 80. (sin ) tg π 8. ( + ) 0 Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: (cos ). 0 ) sin (sin + sin ) 86. cos sin 6 + sin 3 4 sin cos cos 0 sin 6 0 tg 89. ( cos 3 ) ( ) sin sin 90. a 0 a sin a 9. Bizonyítsuk be hogy f() 0 h() = α g() 0 k() ) + f() 0 = 0 g() = α h() 0 k() (α R) (ahol 0 jelentheti a -t vagy a -t is). (a kπ k Z) Egyoldali függvényhatárérték D 8.8 A v valós szám δ hosszúságú bal oldali környezetén a (v δ; v) δ hosszúságú jobb oldali környezetén a (v; v + δ) intervallumot értjük. D 8.9 Az egyváltozós valós f függvény bal oldali határértéke az 0 helyen b ha f értelmezve van 0 valamely B bal oldali környezetében és minden olyan B-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = b; vagy ami ezzel ekvivalens ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ hosszúságú bal oldali környezetében azazha 0 δ < < 0 akkor f értelmezve van az helyen és f () benne van b-nek ε sugarú teljes környezetében azaz f () b < ε. (Jelölés: 0 0 f () = b; ha 0 = 0 akkor egyszer en 0 f () = b.) Hasonlóan deniálható az 0 helyen a jobb oldali határérték ( 0 +0 f () +0 f ()) a balról (jobbról) végtelenhez divergálás. T 8.0 Egyváltozós valós függvénynek valamely helyen akkor és csak akkor van határértéke ha ezen a helyen bal oldali és jobb oldali határértéke is létezik és a két egyoldali határérték egyenl ; ebben az esetben a határérték az egyoldali határértékekkel egyenl. 8-9

10 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága Feladatok Határozzuk meg az alábbi egyváltozós valós függvények bal- és jobb oldali határértékét a megadott 0 helyen: { + 3 ha ; 9. f() = 3 5 ha < ; 0 = 93. f() = ; 0 = 94. f() = 3 + ; = cos 95. f() = ; 0 = f() = cos π ; 0 = f() = ( ) ; 3 0 = 98. f() = ( ) + 3( ) ; 0 =. Függvények folytonossága D 8. Az egyváltozós valós f függvényt folytonosnak nevezzük az 0 helyen (pontban) ha f értelmezve van az 0 helyen van határértéke az 0 helyen és f ( 0 ) = 0 f (). Hasonlóan értelmezhet az f függvény bal oldali illetve jobb oldali folytonossága. (A denícióban határérték helyett bal oldali illetve jobb oldali határértéket veszünk.) T 8. Adott pontban folytonos függvények összege különbsége és szorzata is folytonos ebben a pontban; két ilyen függvény hányadosa is folytonos ha az osztó nem zérus az adott pontban. D 8.3 Ha az f függvény az 0 helyen (pontban) folytonos akkor azt is szokás mondani hogy 0 az f folytonossági helye. Ha viszont az f függvény az 0 helyen nem folytonos de az 0 valamely környezetének minden pontjában folytonos akkor az 0 -t f szakadási helyének nevezzük. A szakadási helyek típusai: 0 hézagpont ha 0 f () létezik de az 0 helyen a függvény nincs értelmezve; az 0 pontban megszüntethet szakadása van f-nek ha 0 f () létezik f ( 0 ) is létezik de 0 f () f ( 0 ); az 0 pontban lényeges szingularitása van ha 0 f () nem létezik. A lényeges szingularitás fontos speciális esete a pólus: Akkor mondjuk hogy az 0 helyen pólusa van a függvénynek ha 0 f () =. Feladatok Vizsgáljuk meg hogy hol folytonosak az alábbi függvények. Ha a függvényeknek szakadási helyeik vannak akkor állapítsuk meg azok típusát: 8-0

11 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága 99. f() = f() = 00. f() = f() = 9 ( 3) 03. f() = f() = 05. f() = f() = f() = f() = + { ha ; ha < f() = sin 0. f() = sin cos. f() = Ent +. sgn 4 + ha 0; 3. sgn sin 4. f() = ( ) ha 0 < ; 3 ha < { 5. cos { f() = ha 0; 6. 4 ha Q; f() = 0 ha = 0 4 ha R Q 7. f() = { ha kπ; 0 ha = kπ (k Z). cos cos Határozzuk meg ha lehetséges az a és b paraméterek értékét úgy hogy a következ függvények mindenütt folytonosak legyenek: { { 8. f() = sin ha 0; + 9. f() = ha ; + a ha = 0 a 3 ha = { { 0. a + ha 0 < ; cos ha 0; f() =. f() = ha 0 a( ) ha 0 < ( ) 3 ha 0;. f() = a + b ha 0 < < ; ha { ha ; 3. f() = + a + b ha < 4. f() = 5. f() = ( ) ha ; a ha = ; b ha = cos sin ha [ π ; 3π ] 0 π; a ha = 0; b ha = π. Vizsgáljuk meg hogy az alábbi függvények szakadási helyeiken folytonosak-e balról vagy jobbról: 8-

12 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvénygörbe aszimptotája { 6. ha ; f() = 0 ha > { + ha 0; 7. f() = { ( ) 8. f() = 9. ( ) Ent( ) ha = f() = ln Ent(ln ) { ha 0; 3. f() = Ent ( ) ha 0 <. ha ; a( R) ha = Függvénygörbe aszimptotája D 8.4 Az e egyenest a végtelenbe nyúló g görbe aszimptotájának nevezzük ha a g görbén végtelenbe távolodó pontnak az e egyenest l való távolsága 0-hoz konvergál. Az f egyváltozós valós függvény görbéjének (grakonjának) aszimptotáját szokás egyszer en az f függvény aszimptotájának nevezni. T 8.5 Az y = f () egyenlet görbének az y tengellyel párhuzamos aszimptotája azaz függ leges aszimptotája csak olyan 0 helyen lehet ahol az f függvény legalább egy oldalról végtelenhez vagy mínusz végtelenhez divergál és ez esetben az = 0 egyenlet egyenes az aszimptota. T 8.6 Az y = f () egyenlet görbének akkor és csak akkor van az y tengellyel nem f () párhuzamos azaz ferde aszimptotája ha az m = és c = (f () m) vagy pedig m = f () és c = (f () m) határértékek léteznek. Ha ezek a feltételek teljesülnek akkor az y = m + c egyenlet egyenes a ferde aszimptota - ben illetve -ben. (Speciálisan ha m = 0 akkor vízszintes aszimptotáról beszélünk.) Feladatok Állapítsuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! folytonosságukat és határozzuk meg aszimptotáik egyenletét: 3. f() = 33. f() = 34. f() = f() = 6( 4) f() = 37. f() = f() = 39. f() = f() = 3 ( ) ( 3 + ) 4. f() = Vizsgáljuk meg

13 8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények 4. f() = 4 a + a 4 (a b 0) 3 3b + b { 43. f() = + sin ha 0; 0 ha = f() = Ent Ent ; 0 = n(n Z) 45. Ent 3 f() = Bizonyítsuk be hogy az f() = a 0 p + a p + a p + + a p + a p q + b q + b q + + b q + b q (a p N q N + ) függvénynek a p q+ feltétel mellett van ferde aszimptotája s ebben az esetben a ferde aszimptota egyenlete: a 0 + a a 0 b ha p = q + ; b 0 y = a 0 ha p = q; 0 ha p < q. Határozzuk meg az alábbi implicit alakban megadott y = y() függvények ferde aszimptotáinak egyenletét: 47. ( + y) ( + y) = 48. y y = ( y ) = ( 0) y 3 = = y 3 ( ) 5. y + y 4 = 4. Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények D 8.7 A valós (komple) érték f függvényt korlátosnak nevezzük ha van olyan v valós szám hogy f (P ) v a Dom f minden P elemére érvényes. Ha ez a feltétel csak az értelmezési tartomány valamely H részhalmazának P pontjaira teljesül akkor azt mondjuk hogy f a H halmazon korlátos. Megfelel módon deniálható valós függvény alulról illetve felülr l korlátossága. D 8.8 Az M metrikus térb l az M metrikus térbe viv függvényt a H( M ) halmazon folytonosnak nevezzük ha f a H minden bels pontjában folytonos továbbá a H-nak minden olyan P határpontjára amely H-hoz tartozik teljesül az hogy ha [P n ] olyan H-beli sorozat hogy n P n = P akkor n f (P n ) = f (P ). Ez azt jelenti hogy egyváltozós valós függvény valamely [a b] zárt intervallumon akkor és csak akkor folytonos ha az (a b) nyílt intervallum minden pontjában folytonos a-ban jobb oldalról b-ben pedig bal oldalról folytonos. T 8.9 Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvény korlátos is ezen a halmazon. 8-3

14 8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények T 8.0 Legyen H az R k metrikus tér korlátos zárt részhalmaza. Ha f a H halmazon folytonos valós függvény akkor vannak olyan P P H hogy f (P ) = inf{f (P ); P H} f (P ) = sup{f (P 0 ); P H} azaz az f a H-n felvett értékei halmazának inmumát és szuprémumát is felveszi a H bizonyos pontjaiban. T 8. Legyen az egyváltozós valós f függvény folytonos az [a b] zárt intervallumon. Legyenek továbbá [a b] tetsz leges olyan pontok amelyekre f ( ) f ( ). Ha f ( ) c f ( ) (c R) akkor van olyan 0 [ ] (vagy 0 [ ]) hogy f ( 0 ) = c. T 8. (Bolzano) Ha az egyváltozós valós f függvény az [a b] zárt intervallumon folytonos és az intervallum két végpontjában ellentétes el jel akkor az intervallum belsejében van zérushelye. Feladatok 53. Van-e valós megoldása a sin + = 0 egyenletnek? 54. Van-e megoldása az = 0 egyenletnek a [ ] intervallumban? 55. Bizonyítsuk be hogy az a 0 n+ + a n + + a n + a n+ = 0 (a i R i = 0... n + a 0 0) egyenletnek van legalább egy valós gyöke. 56. Felveszi-e az f() = 3 4 sin π + 3 függvény a 7 értéket a [ ] intervallumban? Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és Ran f [0 ]. Bizonyítsuk be hogy van olyan c [0 ] hogy f(c) = c. 58. Feszítsünk ki egy rugalmas szalagot a [0; ] zárt intervallumon úgy hogy a szalag kezd pontja 0 a végpontja legyen. Mozgassuk a szalag két végét egyszerre úgy hogy egy adott id pillanatban a kezd pontja a a végpontja pedig b legyen (0 a < b ). Mutassuk meg hogy van a szalagnak olyan pontja amely helyben marad. 59. Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és legyen f(0) = f() = 0. Bizonyítsuk be hogy bármely d (0 ] valós számhoz megadható a függvény grakonjának olyan húrja amely d hosszúságú. 60. Bizonyítsuk be hogy egy elhanyagolható vastagságú körgy r alakú elektromos vezet n van két olyan pont amely ugyanolyan h mérséklet. 8-4

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben