Függvényhatárérték és folytonosság

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvényhatárérték és folytonosság"

Átírás

1 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak értékkészlete (Ran f ) pedig az R- nek valamely részhalmaza. Ha az n-et nem akarjuk hangsúlyozni akkor röviden valós függvényr l speciálisan ha n = akkor egyváltozós valós függvényr l beszélünk. D 8. Az egyváltozós valós f () ( Dom f ) függvényt síkbeli derékszög koordináta-rendszerben az ( f ()) koordinátájú pontok halmazával (az y = f () egyenlet geometriai alakzattal) ábrázoljuk ezt az alakzatot a függvény grakonjának nevezzük. A kétváltozós ( y) f ( y) (( y) Dom f ) valós függvény grakonjának egyenlete: z = f ( y) amely térbeli derékszög koordináta-rendszerben ábrázolható. A grakonnak az = a síkkal való metszete az = a z = f (a y) egyenletrendszer alakzat; - nívóvonal. Ezt az -nívóvonalat mer legesen levetítve az yz-síkra az = 0 z = f (a y) egyenletrendszer görbét kapjuk. Hasonlóan származtathatók az y- és z-nívóvonalak s ezek mer leges vetületei az z- illetve y-síkra. D 8.3 Az egyetlen egyenlettel meghatározott függvényt eplicit alakban megadottnak röviden eplicitnek nevezzük ha a kiszámítandó függvényérték az egyenlet egyik oldalán magában áll azaz n-változós függvény esetén y = f (... n ) ( k R k =... n) alakú. Minden más esetben a függvényt implicit alakban megadottnak röviden implicitnek mondjuk. Feladatok. Határozzuk meg az f( ) f ha f() = ( ) ( π π f 3 3 ha < 0; tg ha 0 < π; ha π ) f(4) f(6) helyettesítési értékeket

2 8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük. Határozzuk meg az f( ) f( 8) f( log 04) helyettesítési értékeket ha f() = 3 + ha ; ha < 3; 5 ha 3 <. 3. A oldalú ABCD négyzetet messük el az AC átlóra mer leges e egyenessel. Legyen az A csúcs és az e egyenes távolsága. Írjuk fel az A csúcsot is tartalmazó lemetszett síkidom területét függvényeként. Határozzuk meg a területet ha = illetve =. ( 4. Mivel egyenl f() f( ) f( ) f( + ) f() + f() f() f ) f() f( ) (f()) ha f() = +? Az feladatokban adjuk meg azt az f függvényt amely teljesíti a felírt egyenletet: 5. f( ) = ( ) + 6. f = + 0 ( ) ( 7. f = 8. f + ) = f( ) = Adott az f() = log c függvény. Bizonyítsuk be hogy ha a b ( ) ( + ) a + b akkor f(a) + f(b) = f. + ab. Határozzuk meg az f() = a 3 + b + c + d racionális egész függvény (polinom) együtthatóit ha f( ) = 0 f(0) = f() = 3 f() = 5.. Határozzuk meg az f() = a+bc (c > 0) függvényben az a b c paraméterek értékeit ha f(0) = 5 f() = 30 f(4) = Milyen a érték mellett lesz az f() = 3 + a + függvény az = hely kivételével egyenl egy másodfokú függvénnyel? 4. Milyen a és b értékeknél lesz az f() = 3 + a + b + b függvény els fokú? + + Határozzuk meg az alábbi valós függvények értelmezési tartományát: lg(3 4). log a ( 4) 3. log log 3 log 4 4. log a ( + ) + log a ( ) 5. lg cos 8-

3 8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük 6. lg lg tg 8. lg log (3 8) 9. lg( lg( 5 + 6)) ln(3 ) 3. ln(sin(ln )) 3. ln ln( ) +. Határozzuk meg az f és f valós függvények értelmezési tartományát ha: 33. f() = f() = f() = f() = f() = 3 cos 38. f() = ctg. Határozzuk meg a következ függvények értelmezési tartományát és értékkészletét: 39. f() = cos f() = + 4. f() = lg( cos ) 4. f() = +. Mi az értelmezési tartománya a következ függvényeknek ha az f függvény értelmezési tartománya a [0; ] intervallum? 43. f( 5) 44. f(4) 45. f( ) 46. f( + ) 47. f(3 ) 48. f(tg ). Határozzuk meg az alábbi többváltozós valós f függvények értelmezési tartományát valamint azt a geometriai alakzatot amely az értelmezési tartományt a síkbeli illetve térbeli derékszög koordináta rendszerben ábrázolja: 49. y 50. y 5. ln(y) 5. sin y 53. ln(sin cos y) y z 55. ln( y z ) ( + y )(4 y ) y + y y + y y ln cos π y 6. sin π sin πy 6. z y + 4 z y 63. ln( ln(y )) 64. ln( sgn y) 65. sin π + sin πy y + c + y + c c R 8-3

4 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke 67. r y + r > s > 0. + y + z s Ábrázoljuk a következ függvényeket: 68. f() = sin 69. f() = 70. f() = sin ha π 0; ha 0 < ; 7. f() = ha < 4 lg 7. cos 3 sgn sin 73. f() = f() = cos + cos 75. f() = f() = ha < 0; ha = 0; ha 0 < 77. Milyen geometriai transzformációkkal származtathatók az f() függvény grakonjából az f(+a) f()+b f(k) lf() f() f( ) (a b k l R {0}) függvények grakonjai ha értelmezve vannak? 78. Milyen geometriai transzformációkkal származtatható az f() függvény grakonjából az lf(k(+a))+b függvény grakonja ha értelmezve van? Ezek segítségével ábrázoljuk a függvényb l kiindulva a 3 4 függvényt. 79. Ábrázoljuk transzformációval az függvényb l kiindulva a függvényt. 80. Ábrázoljuk transzformációval a cos függvényb l kiindulva a 3 cos 3 sin függvényt. Ábrázoljuk a következ függvényeket: log +. Nívóvonalakkal (vagy a függvény grakonjára jellemz más síkmetszetekkel) szemléltessük az alábbi egyenletekkel megadott ( y) z függvényeket: 84. z = + y 85. z = + y 86. z = y 87. z = ( + y) 88. z = + y 89. z = + y 90. z = + y +. Az alábbi y egyváltozós valós függvényeket paraméteres egyenletrendszerrel adtuk meg. Küszöböljük ki a t paramétert! 9. = 3t y = 6t t 9. = t t + 3 y = t t = cos t y = sin t t [0 π] 94. = a cos t y = b sin t (a b > 0) 95. = a sin 3 t y = a cos 3 t t [0 π ] 96. = tg t y = sin t + cos t a 97. = t 3 + y = t 98. = y = at + t + t 99. = a t + a t y = a t a t (a > 0). 8-4

5 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke Függvény határértéke D 8.4 (Heine) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = l. Jelölés: 0 f () = l. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = (n f ( n ) = ). Jelölés: 0 f () = ( 0 f () = ). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha f értelmezve van a valamely E környezetében és végtelenhez divergáló minden E-beli [ n ] sorozatra n f ( n ) = l. Jelölés: n f () = l. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. D 8.5 (Cauchy) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ sugarú környezetében azaz ha 0 < 0 < δ akkor az f függvény értelmezve van az helyen és f () benne van az l szám ε sugarú teljes környezetében azaz f () l < ε. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha bármely pozitív (negatív) k számhoz van olyan pozitív δ hogy ha 0 < 0 < δ akkor f () értelmezve van és f () > k (f () < k). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív k szám hogy ha > k akkor f () értelmezve van és f () l < ε. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. T 8.6 T 8.7 A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója ekvivalens. (f () ± g()) = f () ± g() f ()g() = f () g() f () 0 g() = 0 f () 0 g() ha az egyenl ségek jobb oldalán álló határértékek léteznek. ( 0 g() 0) Feladatok A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója (D 8.4 és D 8.5) alapján bizonyítsuk be a következ állításokat: = =

6 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke = ( ) = 04. log a = (0 < a < ) 05. sin π nem létezik. n Bizonyítsuk be hogy a 0 p + a p + + a p + a p q = + b q + + b q + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q és a 0 > 0; ha p > q és a 0 < 0; ahol p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a Mutassuk meg hogy a 0 p + a p + + a p q = + b q + + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 > 0; < 0; < 0; > 0; ahol k p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a Az megfelel hatványával egyszer sítve határozzuk meg a következ függvényhatárértékeket: ( + 5) 5 + ( + 6) 5 + ( + 7) ( ) 5. ( 3) 0 (3 + ) 30 ( + ) ( ) 5. ( + )( + ) ( n + ). ((n) n + ) n+ Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket (ha szükséges akkor az 0 tényez vel való egyszer sítés útján): ( ) 3. p q (p q N + ) ( ). + ( + )

7 8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok Számítsuk ki az alábbi végtelenbeli függvényhatárértékeket az alkalmas hatványával való egyszer sítése útján: Vegyes feladatok Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket a a ± b = 3 a ± 3 b = a ± b 3 a 3 ab + 3 b azonosságok alapján: ( + ) 37. ( 38. ( ) ( tg tg sin ) a b a b illetve a + ) ( + 3 ) 4. ( ( + c)( + d) ) 43. π 6 sin + sin sin 3 sin +. Az alábbi feladatokban szerepl kifejezéseket ismert trigonometriai azonosságok alkalmazásával olyan alakra hozhatjuk hogy a felírt függvényhatárértéket közvetlenül leolvashatjuk. Végezzük el a átalakítást és írjuk fel a határértéket! 44. tg sin 0 sin cos sin + π cos + sin sin ( π ) cos π 6 3 cos π 3 ( sin ) 8-7

8 8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok ( sin ) 49. ( cos ) tg 0 tg sin 50. π 4 tg cos 5. 0 tg + cos. sin Felhasználva a = határértéket vizsgáljuk meg léteznek-e az alábbi 0 határértékek; ha igen számítsuk ki azokat! 5. sin 3 0 tg sin 54. sin α 0 sin β (β 0) sin sin 6 sin cos cos cos cos(sin ) 0 sin ( + tg + sin cos π sin sin sin 6. sin 7π 63. sin π 64. sin π π 65. sin π. Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket (a feladatok és a függvényhatárérték Heine-féle deníciója (D 8.4) alapján): ( ) ( + ) ( ) + + ( ( + 3 tg ) ctg 7. ( 0 ( ) Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = a > 0 és 0 g() = b akkor 0 f() g() = a b. (Megjegyezzük hogy az 0 a -t vagy -t is jelentheti.) 74. Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = 0 g() = ) 3 ) és 0 g()(f() ) = b akkor 0 f() g() = e b. (Az el z feladathoz hasonlóan az 0 itt vagy is lehet.) A 73. és a 74. feladatok alapján számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: 8-8 )

9 8. Függvényhatárérték és folytonosság Egyoldali függvényhatárérték ( ( ( + sin π) ctg π 77. ) ( ) 8 +3 ( + tg sin 80. (sin ) tg π 8. ( + ) 0 Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: (cos ). 0 ) sin (sin + sin ) 86. cos sin 6 + sin 3 4 sin cos cos 0 sin 6 0 tg 89. ( cos 3 ) ( ) sin sin 90. a 0 a sin a 9. Bizonyítsuk be hogy f() 0 h() = α g() 0 k() ) + f() 0 = 0 g() = α h() 0 k() (α R) (ahol 0 jelentheti a -t vagy a -t is). (a kπ k Z) Egyoldali függvényhatárérték D 8.8 A v valós szám δ hosszúságú bal oldali környezetén a (v δ; v) δ hosszúságú jobb oldali környezetén a (v; v + δ) intervallumot értjük. D 8.9 Az egyváltozós valós f függvény bal oldali határértéke az 0 helyen b ha f értelmezve van 0 valamely B bal oldali környezetében és minden olyan B-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = b; vagy ami ezzel ekvivalens ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ hosszúságú bal oldali környezetében azazha 0 δ < < 0 akkor f értelmezve van az helyen és f () benne van b-nek ε sugarú teljes környezetében azaz f () b < ε. (Jelölés: 0 0 f () = b; ha 0 = 0 akkor egyszer en 0 f () = b.) Hasonlóan deniálható az 0 helyen a jobb oldali határérték ( 0 +0 f () +0 f ()) a balról (jobbról) végtelenhez divergálás. T 8.0 Egyváltozós valós függvénynek valamely helyen akkor és csak akkor van határértéke ha ezen a helyen bal oldali és jobb oldali határértéke is létezik és a két egyoldali határérték egyenl ; ebben az esetben a határérték az egyoldali határértékekkel egyenl. 8-9

10 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága Feladatok Határozzuk meg az alábbi egyváltozós valós függvények bal- és jobb oldali határértékét a megadott 0 helyen: { + 3 ha ; 9. f() = 3 5 ha < ; 0 = 93. f() = ; 0 = 94. f() = 3 + ; = cos 95. f() = ; 0 = f() = cos π ; 0 = f() = ( ) ; 3 0 = 98. f() = ( ) + 3( ) ; 0 =. Függvények folytonossága D 8. Az egyváltozós valós f függvényt folytonosnak nevezzük az 0 helyen (pontban) ha f értelmezve van az 0 helyen van határértéke az 0 helyen és f ( 0 ) = 0 f (). Hasonlóan értelmezhet az f függvény bal oldali illetve jobb oldali folytonossága. (A denícióban határérték helyett bal oldali illetve jobb oldali határértéket veszünk.) T 8. Adott pontban folytonos függvények összege különbsége és szorzata is folytonos ebben a pontban; két ilyen függvény hányadosa is folytonos ha az osztó nem zérus az adott pontban. D 8.3 Ha az f függvény az 0 helyen (pontban) folytonos akkor azt is szokás mondani hogy 0 az f folytonossági helye. Ha viszont az f függvény az 0 helyen nem folytonos de az 0 valamely környezetének minden pontjában folytonos akkor az 0 -t f szakadási helyének nevezzük. A szakadási helyek típusai: 0 hézagpont ha 0 f () létezik de az 0 helyen a függvény nincs értelmezve; az 0 pontban megszüntethet szakadása van f-nek ha 0 f () létezik f ( 0 ) is létezik de 0 f () f ( 0 ); az 0 pontban lényeges szingularitása van ha 0 f () nem létezik. A lényeges szingularitás fontos speciális esete a pólus: Akkor mondjuk hogy az 0 helyen pólusa van a függvénynek ha 0 f () =. Feladatok Vizsgáljuk meg hogy hol folytonosak az alábbi függvények. Ha a függvényeknek szakadási helyeik vannak akkor állapítsuk meg azok típusát: 8-0

11 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága 99. f() = f() = 00. f() = f() = 9 ( 3) 03. f() = f() = 05. f() = f() = f() = f() = + { ha ; ha < f() = sin 0. f() = sin cos. f() = Ent +. sgn 4 + ha 0; 3. sgn sin 4. f() = ( ) ha 0 < ; 3 ha < { 5. cos { f() = ha 0; 6. 4 ha Q; f() = 0 ha = 0 4 ha R Q 7. f() = { ha kπ; 0 ha = kπ (k Z). cos cos Határozzuk meg ha lehetséges az a és b paraméterek értékét úgy hogy a következ függvények mindenütt folytonosak legyenek: { { 8. f() = sin ha 0; + 9. f() = ha ; + a ha = 0 a 3 ha = { { 0. a + ha 0 < ; cos ha 0; f() =. f() = ha 0 a( ) ha 0 < ( ) 3 ha 0;. f() = a + b ha 0 < < ; ha { ha ; 3. f() = + a + b ha < 4. f() = 5. f() = ( ) ha ; a ha = ; b ha = cos sin ha [ π ; 3π ] 0 π; a ha = 0; b ha = π. Vizsgáljuk meg hogy az alábbi függvények szakadási helyeiken folytonosak-e balról vagy jobbról: 8-

12 8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvénygörbe aszimptotája { 6. ha ; f() = 0 ha > { + ha 0; 7. f() = { ( ) 8. f() = 9. ( ) Ent( ) ha = f() = ln Ent(ln ) { ha 0; 3. f() = Ent ( ) ha 0 <. ha ; a( R) ha = Függvénygörbe aszimptotája D 8.4 Az e egyenest a végtelenbe nyúló g görbe aszimptotájának nevezzük ha a g görbén végtelenbe távolodó pontnak az e egyenest l való távolsága 0-hoz konvergál. Az f egyváltozós valós függvény görbéjének (grakonjának) aszimptotáját szokás egyszer en az f függvény aszimptotájának nevezni. T 8.5 Az y = f () egyenlet görbének az y tengellyel párhuzamos aszimptotája azaz függ leges aszimptotája csak olyan 0 helyen lehet ahol az f függvény legalább egy oldalról végtelenhez vagy mínusz végtelenhez divergál és ez esetben az = 0 egyenlet egyenes az aszimptota. T 8.6 Az y = f () egyenlet görbének akkor és csak akkor van az y tengellyel nem f () párhuzamos azaz ferde aszimptotája ha az m = és c = (f () m) vagy pedig m = f () és c = (f () m) határértékek léteznek. Ha ezek a feltételek teljesülnek akkor az y = m + c egyenlet egyenes a ferde aszimptota - ben illetve -ben. (Speciálisan ha m = 0 akkor vízszintes aszimptotáról beszélünk.) Feladatok Állapítsuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! folytonosságukat és határozzuk meg aszimptotáik egyenletét: 3. f() = 33. f() = 34. f() = f() = 6( 4) f() = 37. f() = f() = 39. f() = f() = 3 ( ) ( 3 + ) 4. f() = Vizsgáljuk meg

13 8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények 4. f() = 4 a + a 4 (a b 0) 3 3b + b { 43. f() = + sin ha 0; 0 ha = f() = Ent Ent ; 0 = n(n Z) 45. Ent 3 f() = Bizonyítsuk be hogy az f() = a 0 p + a p + a p + + a p + a p q + b q + b q + + b q + b q (a p N q N + ) függvénynek a p q+ feltétel mellett van ferde aszimptotája s ebben az esetben a ferde aszimptota egyenlete: a 0 + a a 0 b ha p = q + ; b 0 y = a 0 ha p = q; 0 ha p < q. Határozzuk meg az alábbi implicit alakban megadott y = y() függvények ferde aszimptotáinak egyenletét: 47. ( + y) ( + y) = 48. y y = ( y ) = ( 0) y 3 = = y 3 ( ) 5. y + y 4 = 4. Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények D 8.7 A valós (komple) érték f függvényt korlátosnak nevezzük ha van olyan v valós szám hogy f (P ) v a Dom f minden P elemére érvényes. Ha ez a feltétel csak az értelmezési tartomány valamely H részhalmazának P pontjaira teljesül akkor azt mondjuk hogy f a H halmazon korlátos. Megfelel módon deniálható valós függvény alulról illetve felülr l korlátossága. D 8.8 Az M metrikus térb l az M metrikus térbe viv függvényt a H( M ) halmazon folytonosnak nevezzük ha f a H minden bels pontjában folytonos továbbá a H-nak minden olyan P határpontjára amely H-hoz tartozik teljesül az hogy ha [P n ] olyan H-beli sorozat hogy n P n = P akkor n f (P n ) = f (P ). Ez azt jelenti hogy egyváltozós valós függvény valamely [a b] zárt intervallumon akkor és csak akkor folytonos ha az (a b) nyílt intervallum minden pontjában folytonos a-ban jobb oldalról b-ben pedig bal oldalról folytonos. T 8.9 Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvény korlátos is ezen a halmazon. 8-3

14 8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények T 8.0 Legyen H az R k metrikus tér korlátos zárt részhalmaza. Ha f a H halmazon folytonos valós függvény akkor vannak olyan P P H hogy f (P ) = inf{f (P ); P H} f (P ) = sup{f (P 0 ); P H} azaz az f a H-n felvett értékei halmazának inmumát és szuprémumát is felveszi a H bizonyos pontjaiban. T 8. Legyen az egyváltozós valós f függvény folytonos az [a b] zárt intervallumon. Legyenek továbbá [a b] tetsz leges olyan pontok amelyekre f ( ) f ( ). Ha f ( ) c f ( ) (c R) akkor van olyan 0 [ ] (vagy 0 [ ]) hogy f ( 0 ) = c. T 8. (Bolzano) Ha az egyváltozós valós f függvény az [a b] zárt intervallumon folytonos és az intervallum két végpontjában ellentétes el jel akkor az intervallum belsejében van zérushelye. Feladatok 53. Van-e valós megoldása a sin + = 0 egyenletnek? 54. Van-e megoldása az = 0 egyenletnek a [ ] intervallumban? 55. Bizonyítsuk be hogy az a 0 n+ + a n + + a n + a n+ = 0 (a i R i = 0... n + a 0 0) egyenletnek van legalább egy valós gyöke. 56. Felveszi-e az f() = 3 4 sin π + 3 függvény a 7 értéket a [ ] intervallumban? Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és Ran f [0 ]. Bizonyítsuk be hogy van olyan c [0 ] hogy f(c) = c. 58. Feszítsünk ki egy rugalmas szalagot a [0; ] zárt intervallumon úgy hogy a szalag kezd pontja 0 a végpontja legyen. Mozgassuk a szalag két végét egyszerre úgy hogy egy adott id pillanatban a kezd pontja a a végpontja pedig b legyen (0 a < b ). Mutassuk meg hogy van a szalagnak olyan pontja amely helyben marad. 59. Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és legyen f(0) = f() = 0. Bizonyítsuk be hogy bármely d (0 ] valós számhoz megadható a függvény grakonjának olyan húrja amely d hosszúságú. 60. Bizonyítsuk be hogy egy elhanyagolható vastagságú körgy r alakú elektromos vezet n van két olyan pont amely ugyanolyan h mérséklet. 8-4

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

MATEK-INFO UBB verseny április 6. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4 Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben