8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

Átírás

1 Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y + 4 sin b) cos y sin( y) c) cos y d) (,y) (0,3) e) arctan(y) sin f) g) h) i) j) y k) (,y) (, ) l) y + y 3y 3 + y y + 3y 3 + 5y + y + y + y y + y y + y + y + y Megoldás. a) A megadott függvény kétváltozós racionális törtfüggvény, tehát az egész értelmezési tartományán folytonos. A (0, 0) pont benne van az értelmezési tartományban, tehát ott a határérték egyenlő a helyettesítési értékkel, azaz 3 4 b) A függvény két folytonos függvény hányadosa, tehát a nevező zérushelyein kívül folytonos. A (0, 0) pontban a nevező, így ott a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel, vagyis 0. c) A nevezőben cos y határértéke, ez nem befolyásolja a határértéket. sin( y) y = y miatt sin( y) y, így a rendőr-elv miatt a határérték 0. d) A t 0 sin t = nevezetes határérték felhasználásával t (,y) (0,3) = y (,y) (0,3) y = 3. e) Az első tényező folytonos, határértéke 0, míg a második tényező korlátos, így a szorzat határértéke is 0.

2 f) Ez a határérték nem létezik. Például az y = m egyenes mentén haladva 0 m = m, ami függ a meredekségtől, ha létezne határéték, akkor ez nem fordulhatna elő. g) Az y = m egyenes mentén számoljuk ki a határértéket: 0 m + m = m + m, ez függ a meredekségtől, tehát nem létezik határérték. h) A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint y + y, emiatt 3y 3 + y 3 4 y, így a rendőr-elv miatt a határérték a (0, 0) pontban 0. i) 6 y + 3y felhasználásával y + 3y 6 y, tehát a rendőr-elv miatt a határérték 0. (Valamivel gyengébb, de a célnak megfelelő korlátot egyszerűbben is kaphatunk: y y + y + 3y.) j) Az y = m egyenes mentén számoljuk ki a határértéket: k) 3 + 5m 0 + m = 3 + 5m + m. Ez függ a meredekségtől, tehát nem létezik határérték. + y + y ( + y) = (,y) (, ) y (,y) (, ) ( + y)( y) = + y (,y) (, ) y = 0. l) Az y = m egyenes mentén számoljuk a határértéket: + m m 0 + m + m = m + m, ami függ a meredekségtől, tehát nincs határérték.. Mely pontokban folytonos az 3 y ha (, y) (0, 0) 4 f(, y) = 4 +7y 4 0 egyébként függvény? Megoldás. Ha (, y) (0, 0), akkor a függvény egy olyan racionális törtfüggvénnyel egyezik meg, aminek a nevezője nem 0, tehát folytonos. A (0, 0) pontban ki kell számolni a határértéket. y = m egyenes mentén haladva f(, m) = 0 0 3m m 4 4 = 3m 4 + 7m 4, ami függ a meredekségtől, a határérték nem létezik, tehát f nem folytonos az origóban.

3 3. Adjuk meg c értékét úgy, hogy az arctan ha (, y) (0, 0) f(, y) = +y c egyébként függvény minden pontban folytonos legyen. Megoldás. Ha (, y) (0, 0), akkor a függvény egy olyan racionális törtfüggvénnyel egyezik meg, aminek a nevezője nem 0, tehát folytonos. Az origóban akkor lesz folytonos, ha c az ottani határértékkel egyezik meg. + y =, hiszen ha K > 0 és δ = K, akkor + y δ esetén K. Másrészt arctan +y végtelenbeli határértéke π, tehát f határértéke is ennyi az origóban. A folytonosság feltétele c = π. További gyakorló feladatok 4. Számoljuk ki a következő határértékeket: y a) 3 y b) y( + y) c) (,y) (,) d) (,y) (,) e) e 3y + + 3y y 4 + 3y + 8y f) (3 + 4y ) arctan y sin y g) + y sin y h) + 5y 5 y 3 i) 8 + y 8 Megoldás. a) Az y = m egyenes mentén haladva 0 m 3 m = m m, ez függ a meredekségtől, tehát nem létezik a határérték. b) Az y = m egyenes mentén a határérték 0 m( + m) = m( + m), ami függ a meredekségtől, így nem létezik határérték. 3

4 c) A függvény folytonos függvények hányadosa, a nevező a (, ) pontban nem 0, tehát létezik ott határérték, és megegyezik a helyettesítési értékkel: (,y) (,) e 3y + + 3y = e. d) A számláló, a nevező a megadott pontban 0 és folytonos, tehát az abszolútérték végtelenhez tart. Viszont az < y félsíkban negatív, az > y félsíkban pozitív, tehát a két félsík határán lévő (, ) pont bármely környezetében találunk nagy abszolútértékű pozitív és negatív függvényértékeket. Tehát nem létezik határérték. e) Számoljuk ki az y = m egyenesek mentén a határértéket: 4 + 3m 0 + 8m = 4 + 3m + 8m, ez nem független a meredekségtől, tehát nincs határérték. f) Az első tényező folytonos, helyettesítési értéke 0, míg a második tényező korlátos, így a szorzat határtértéke is 0. g) Ha (, y) 0, akkor sin y + y y + y. A rendőr-elv alapján a határérték 0. h) Ha (, y) 0, akkor sin y + 5y sin y + y y + y. A rendőr-elv alapján a határérték 0. i) Az y = m egyenes mentén haladva 5. Legyen 0 m m 8 8 = m3 + m 8 a határérték, ez függ a meredekségtől, tehát a kétváltozós függvénynek nincs határértéke az origóban. 4 + y + y ha (, y) (0, 0) f(, y) = 4 + y 0 egyébként. Mutassuk meg, hogy az origón átmenő bármely egyenes mentén felvéve egy origóhoz tartó pontsorozatot, az ezekhez tartozó függvényértékek sorozatának mindig ugyanaz a határértéke. Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatának határértékét akkor is, ha az y = egyenletű parabolán közelítünk az origóhoz. Van-e a függvénynek határértéke az origóban? Megoldás. Tekintsük a függvényt az y = m egyenes mentén: 4 + m 3 + m f(, m) = = 0 t m +m+m 0 = m +m m = ha m = 4 ha m = 0. 4

5 Meg kell még vizsgálni a függőleges egyenest: y f(0, y) = y 0 y 0 y =, tehát minden egyenes mentén a határérték. Ugyanakkor a megadott y = parabola mentén haladva f(, ) = 0 = 3 4, tehát nem létezik az origóban f határértéke. 5