Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Átírás

1 Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja elő f Fourier-sora a függvéyt? Megoldás. A Fourier-sor ahol a + a cos x + b si x, = a = =, π π fx cos x = π fx si x = π cos x = π si x = π [ si x = [ ] cos x π = π. Mivel fx szakaszokét folytoos, a folytoossági potokba előállítja a Fourier-sora. A π potokba a függvéy em folytoos, ott a jobb- baloldali határérték számtai közepéhez, azaz -hez kovergál a Fourier-sor. Ezekbe a potokba az összegfüggvéy em egyelő f értékével.. Legye f :, π] R, fx = x, terjesszük ki ezt a függvéyt periodikusa R-re. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja elő a Fourier-sor a függvéyt? A sorfejtt k felhaszálva számoljuk ki k + értékét. Megoldás. A Fourier-sor ahol k= a + a cos x + b si x, = a = fx = x = π π π π fx cos x = x cos x π = [ ] si x π x π [ ] π = π cos x = si x = π,

2 fx si x = x si x π = [ ] cos x π cos x x π = [ ] cos x π [ ] si x π x + = π. A függvéy Fourier-sora π = si x. Mivel fx szakaszokét folytoos, a folytoossági potokba előállítja a Fourier-sora. A potba a függvéy em folytoos, ott a jobb- baloldali határérték számtai közepéhez, azaz π-hez kovergál a Fourier-sor. Mivel si π = ha páros k ha = k +, k Z, A Fourier-sor x = π/ helye felvett értékével kifejezhetjük a keresett sorösszeget. Itt f folytoos, k k + = si π = π f π = π π = π 4. k= = 3. Legye fx = ha x, ], fx = x/ ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja elő f Fourier-sora a függvéyt? Megoldás. Az együtthatók a = π x π = π π 4 = π 8, a = fx cos x π = x cos x π = [ ] x si x π π = [ ] cos x π π fx si x = π = x si x π = [ x ] cos x π π = [ x ] cos x π [ + π si x cos x ] si x π = +.

3 A függvéy Fourier-sora π 8 + cos x + + si x. = π f a π potba em folytoos, itt a bal- jobboldali határértékek számtai közepéhez kovegál a Fourier-sor, ami em egyezik meg a függvéyértékkel. Midehol máshol folytoos, ott előállítja a Fourier-sora. 4. Jelöljük f-fel az abszolútérték-függvéy periodikus kiterjesztét a [, π itervallumról a számegyeesre. Írjuk fel a Fourier-sorát. Megoldás. Az együtthatók a = π π x = π π = π, fx cos x = π x cos x = [ ] si x π si x x π = [ ] cos x π = π π b =, mivel f páros függvéy. A függvéy Fourier-sora π + cos x = π = π + 4 cosk + x. k= π k + További gyakorló feladatok 5. Írjuk fel a következő függvéyek Fourier-együtthatóit: a fx = 3 b fx = si x c fx = cos 4x mit π szerit periodikus függvéy d fx = x ha x, π], π szerit periodikusa kiterjesztve Megoldás. a a = fx = 3 = 3, π π a = fx cos x = 3 cos x = 3 [ si x π π π b =, mivel f páros. Tehát a Fourier-sor fx = 3. b A megadott függvéy páratla, a = mide N mellett. = π = π = π fx si x si x si x cosx x cosx + x [ ] π si x si + x + = + ] π = 3

4 ha, b = π cos x =. Tehát a Fourier-sor fx = si x. c A függvéy páros, b =, a = cos 4x = π π [ si 4x 4 ] π = ha 4, = π = π a 4 = π cos 4x cos x cosx + 4x + cosx 4x [ ] π si + 4x si 4x + = cos 8x = [ x + π A Fourier-sor fx = cos 4x. d A függvéy páratla, a =. = π = π fx si x x si x = x si x π = [ ] cos x π x π [ x a Fourier-sor cos x + si x. = [ si x ] si 8x π =. 8 cos x = +, 6. Az fx = sgx x, π] függvéy Fourier-sora segítségével határozzuk meg a k= sor összegét. sik + k + Megoldás. A függvéy páratla, a =, fx si x = π si x = [ ] cos x π =, π π 4

5 a Fourier-sor si x = = π k= 4 π sik + x. k + f folytoos az x = potba, a Fourier-sora itt előálítja: = f = k= k= sik + k + 4 sik +, π k + = π Az fx = x x, π] függvéy Fourier-sora segítségével határozzuk meg a = si sor összegét. Megoldás. A függvéy páratla, a =, = π = π = π = π [ x [ x fx si x x si x x si x cos x cos x [ si x cos x = +. f folytoos az x = π potba, a Fourier-sora ott előállítja: π = f π + = si π = + = si = si =, = si = = π. 8. Az fx = x gx = x 4 x, π] függvéyek Fourier-sorai segítségével határozzuk meg a = sorok összegeit. = 4 5

6 Megoldás. Midkét függvéy páros folytoos, így a Fourier-soraik tisztá kosziusz sorok mide potba előállítják a függvéyeket. f Fourier-együtthatói a = x = [ ] x 3 π = π π π π 3 3 fx cos x = x cos x π = [ ] si x π x π = [ si x x + x π cos x x = π cos x = si x x si x 3 ha x [, π]. Hasolóa g Fourier-együtthatói a = x 4 = [ x 5 π π π 5 fx cos x = x 4 cos x π = [ ] 4 si x π x π = [ 4 si x 3 cos x x + 4x π = 8π 48 4, 3 si x 4x = 4, = π4 5 si x x 4x 3 x 4 = π π 48 cos x 4 = cos x ] si x π 5 ha x [, π]. Midkét sort értékeljük ki az x = π potba, ekkor cos x = cos π =, amiből π = π = π 4 = π π = = = π 6 = 48 = 4 = π4 9. 4, 6