Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár"

Átírás

1 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár

2

3 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár

4 mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá

5 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus hallgatókak mobidiák köyvtár

6 Copyright c Lajkó Károly Copyright c elektroikus közlés mobidiák köyvtár mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Iformatikai Itézet 400 Debrece, Pf. A mű egyéi taulmáyozás céljára szabado letölthető. Mide egyéb felhaszálás csak a szerző előzetes írásbeli egedélyével törtéhet. A mű a A mobidiák öszervező mobil portál IKTA, OMFB-00373/003) és a GNU Iterátor, a legújabb geerációs portál szoftver ITEM, 50/003) projektek keretébe készült.

7 Tartalomjegyzék I. Halmazok, relációk, függvéyek Halmazok Relációk leképezések) Függvéyek Gyakorló feladatok II. Számok A valós számtest Redezés egyelőtleségek) R-be R teljessége R topológiája Gyakorló feladatok III. Sorozatok Alapfogalmak és kapcsolatuk Sorozatok és műveletek, illetve redezés Részsorozatok, Cauchy-sorozatok Nevezetes sorozatok Gyakorló feladatok IV. Sorok Alapfogalmak és alaptételek Kovergeciakritériumok Műveletek sorokkal Tizedes törtek Gyakorló feladatok V. Függvéyek folytoossága Alapfogalmak Folytoosság, egyeletes folytoosság Gyakorló feladatok

8 8 TARTALOMJEGYZÉK VI. Függvéyek határértéke Alapfogalmak és tételek Határérték és műveletek, illetve egyelőtleségek Szakadási helyek, mooto függvéyek Gyakorló feladatok VII. Függvéysorozatok, függvéysorok, elemi függvéyek.. 3 Gyakorló feladatok VIII. Differeciálszámítás Differeciaháyados, differeciálhatóság, differeciálháyados, éritő Differeciálhatóság és műveletek Differeciálhatóság, differeciálhatóság és műveletek további elemi függvéyekkel) Magasabbredű deriváltak Középértéktételek, Taylor-poliom, Taylor-sor A L Hospital-szabály Differeciálható függvéyek vizsgálata Gyakorló feladatok Irodalomjegyzék

9 I. fejezet Halmazok, relációk, függvéyek Halmazok.. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B tetszőleges halmazok, úgy A B A B és B A. Megoldás. Ha A B, akkor A és B elemei megegyezek, ami adja, hogy x A eseté x B és y B eseté y A következik, melyekből defiíció szerit következik, hogy A B és B A teljesül. Ha A B és B A teljesül és feltesszük, hogy A B az A és B elemi em azoosak), akkor vagy x A, hogy x / B, így A B, vagy y B, hogy y / A, ezért B A következe, elletétbe a feltevéssel. Tehát A B... feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B, C tetszőleges halmazok, akkor kommutativitás), A B B A, A B B A A B) C A B C), A B) C A B C) asszociativitás), A B C) A B) A C), A B C) A B) A C) disztributivitás), A\B A\A B), A\B C) A\B) A\C), A\B) C A C)\B, A\B C) A\B) A\C), A B B A B, A B B A B, A\B A B. 9

10 0 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. x A B x A vagy x B x B vagy x A x B A, ezért az A B és B A halmazok elemi azoosak, így defiíció szerit A B B A. x A B x A és x B x B és x A x B A, azaz az A B és B A halmazok elemei megegyezek, így A B B A. x A B) C x A B vagy x C x A vagy x B) vagy x C x A vagy x B vagy x C) x A vagy x B C x A B C), így az A B) C és A B C) halmazok elemei megegyezek, tehát A B) C A B C). x A B) C x A B és x C x A és x B) és x C x A és x B és x C) x A és x B C x A B C), így az A B) C és A B C) halmazok elemei megegyezek, ezért A B) C A B C). x A B C) x A vagy x B C x A vagy x B és x C) x A vagy x B) és x A vagy x C) x A B és x A C x A B) A C), tehát az A B C) és A B) A C) halmazok elemei megegyezek, így A B C) A B) A C). x A B C) x A és x B C x A és x B vagy x C) x A és x B) vagy x A és x C) x A B vagy x A C x A B) A C), így az A B C) és A B) A C) halmazok elemei megegyezek, ezért A B C) A B) A C). x A \ B x A és x / B x A és x / A B x A \ A B, ami adja, hogy A \ B A \ A B; y A\A B y A és y / A B y A és y / B y A\B, így A \ A B A \ B. A két tartalmazás teljesülése pedig ekvivales azzal, hogy A \ B A \ A B. x A \ B) C x A \ B és x C x A és x / B) és x C x A és x C) és x / B x A C és x / B x A C) \ B, így az A \ B) C és A C \ B) halmazok elemei azoosak, ezért A \ B) C A C) \ B. x A \ B C) x A és x / B C x A és x / B vagy x / C) x A és x / B) vagy x A és x / C) x A \ B vagy x A \ C x A \ B) A \ C), ami azoal adja, hogy A \ B C) A \ B) A \ C).

11 HALMAZOK x A \ B C) x A és x / B C x A és x / B és x / C) x A és x / B) és x A és x / C) x A \ B és x A\C x A\B) A\C) A\B C) A\B) A\C). Ha A B B, akkor x A, hogy x / B mert akkor x A B és x / B miatt A B B lee) x A eseté x B, azaz A B. Ha A B és x A B, akkor x B A B B, másrészt x B yilvá adja, hogy x A B B A B, melyek adják, hogy A B B. Az utolsó két állítás bizoyítását az olvasóra bízzuk..3. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B X, akkor A A X, A A, X, X, A A, A B A B, A B A B. Megoldás. x X x A vagy x / A és persze x X) x A vagy x A x A A, ezért A A és X elemei azoosak, így A A X. Tegyük fel, hogy x X, hogy x A A x A és x X \ A x A és x / A, ami elletmodás, így az A A halmazak ics eleme, így A A. X, X, A A állítások yilvávalóak. x A B x X és x / A B x X és x / A és x / B) x X és x / A) és x X és x / B) x A és x B x A B, s ez adja, hogy A B A B. x A B x X és x / A B x X és x / A vagy x / B) x X és x / A) vagy x X és x / B) x A vagy x B x A B, így A B A B..4. feladat. Mutassa meg, hogy ha {A i i I} egy X halmaz részhalmazaiból álló halmazredszer, úgy teljesülek a ) C X A i ) C X A i ; C X A i C X A i i I i I i I i I De Morga-féle azoosságok.

12 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. x C X i I A i ) x X és x / A i i I x X és x / A i bármely i I) x X és x A i ) i I x C X A i bármely i I x C X A i, ami adja az első halmazegyelőséget. i I x C X A i ) x X és x / A i x X és i, i I i I x / A i i I, x C X A i x C X A i, ami adja a második De Morga-féle azoosságot. i I Relációk leképezések).5. feladat. Mutassa meg, hogy ha A, B és C tetszőleges halmazok, akkor a) A B A vagy B, b) A B) C A C) B C), c) A B C) A B) A C), d) A B) C A C) B C), e) A B C) A B) A C), f) A\B) C A C)\B C), g) A B\C) A B)\A C), h) B C A B A C. Megoldás. a) A B x, y) A B x A vagy y B A vagy B. b) x, y) A B) C x A B és y C x A vagy x B) és y C x A és y C) vagy x B és y C) x, y) A C vagy x, y) B C x, y) A C) B C), ami adja az állítást. c) x, y) A B C) x A és y B C x A és y B vagy y C) x A és y B) vagy x A és y C) x, y) A B vagy x, y) A C x, y) A B) A C), s ez adja az állítást. d) x, y) A B) C x A B és y C x A és x B) és y C x A és y C) és x B és y C) x, y) A C és x, y) B C x, y) A C) B C), ez pedig adja az állítást. e) A bizoyítás az előbbivel aalóg.

13 RELÁCIÓK LEKÉPEZÉSEK) 3 f) x, y) A \ B) C x A \ B és y C x A és x / B) és y C x A és y C) és x / B és y C) x, y) A C és x, y) / B C x, y) A C) \ B C), ami adja az állítást. g) A bizoyítás az előbbivel azoos". h) A feltétel miatt y B adja, hogy y C. Másrészt: x, y) A B x A és y B x A és y C x, y) A C, ami adja az állítást..6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha F A B egy reláció, akkor D F R F, R F D F, F ) F, F B) D F. Megoldás. F, F, D F és R F defiíciója miatt y B-re: y D F x A, y, x) F x A, x, y) F y R F, ami adja, hogy a D F és R F halmazok elemei azoosak, tehát D F R F. A második egyelőség bizoyítása teljese hasoló. F és F ) defiíciója szerit: x, y) F ) y, x) F x, y) F, ami adja a harmadik halmazegyelőséget. F B), F és D F defiíciója miatt: F B) { x A y B, y, x) F } amit bizoyítai kellett. {x A y B, x, y) F } D F,.7. feladat. Legyeek A, B, C adott halmazok, F A B és G B C relációk. Bizoyítsa be, hogy G F ) F G. Megoldás. G F és az iverz relációk defiíciói miatt: z, x) G F ) x, z) F G y B, x, y) F, y, z) G y B, y, x) F, z, y) G z, x) F G, ami adja az állítást..8. feladat. Legyeek x, y, z külöböző elemek, A {x, y, z}. Adjuk meg az összes parciális redezést az A halmazo, majd válasszuk ki ezek közül a redezési relációkat. Megoldás. Az A parciális redezési, illetve redezési relációi A A bizoyos R részhalmazai. A A-t a következő táblázat elempárjai alkotják: x y z x x, x) x, y) x, z) y y, x) y, y) y, z) z z, x) z, y) z, z)

14 4 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Defiíció szerit R A A parciális redezési ill. redezési) relációra x, x), y, y), z, z) R teljesül ld. Kalkulus I. I/. fejezet 9. defiíció a)) és R 0 {x, x), y, y), z, z)} parciális redezés A-. Ha e három redezett párhoz a táblázat femaradó elempárjai közül bármelyiket hozzávesszük, úgy az R {x, x), y, y), z, z), x, y)}, R {x, x), y, y), z, z), y, x)}, R 3 {x, x), y, y), z, z), x, z)}, R 4 {x, x), y, y), z, z), z, x)}, R 5 {x, x), y, y), z, z), y, z)}, R 6 {x, x), y, y), z, z), z, y)} relációk yilvávalóa parciális redezést adak A-. Ha az R i i,..., 6) relációk midegyikét kiegészítjük az utolsó elempárjukkal egy sorba vagy oszlopba lévő még hiáyzó elempárral a táblázatból és a kapott relációból elhagyjuk az egyelők egyikét, úgy az R 7 R x, z); R 8 R y, z); R 9 R 3 y, z); R 0 R z, y); R R z, x); R R 3 y, z) relációk is parciális redezést adak A-. Végül, ha az R k k 7,..., ) relációkat úgy egészítjük ki a táblázat egy elempárjával, hogy ügyelük arra, hogy a trazitív tulajdoság teljesüljö és a kapott relációból most is elhagyjuk az egyelők egyikét), úgy az R 3 R 7 y, z); R 4 R 8 x, z); R 5 R 7 z, y); R 6 R 9 x, y); R 7 R 9 y, x); R 8 R 4 z, x) relációk is parciális redezést adak A-. Az utolsó hat reláció redezés is A-. Függvéyek.9. feladat. Bizoyítsa be, hogy az f : A B függvéy akkor és csak akkor ivertálható, ha mide x, y A, x y eseté fx) fy) vagy x, y A eseté fx) fy) x y).

15 FÜGGVÉNYEK 5 Megoldás. a) Legye f ivertálható. Az állítással elletétbe tegyük fel, hogy x, y A, x y, hogy fx) fy), úgy a z. fx) fy) B eseté z, x) f és z, y) f, ami elletmod aak, hogy f függvéy. b) Tegyük fel, hogy x, y A, x y eseté fx) fy). Ha z, x ) f és z, x ) f, akkor x, z) f és x, z) f, azaz fx ) fx ), így a feltétel miatt x x, tehát f is függvéy, tehát f ivertálható..0. feladat. Legyeek f A B és g B C függvéyek. Ekkor g f is függvéy, és x D g f -re g f)x) gfx)). Megoldás. Ha x, z ) g f és x, z ) g f, akkor y, y B C, hogy x, y ) f, y, z ) g és x, y ) f, y, z ) g. f függvéy, így y y, de g is függvéy, így z z következik, tehát g f függvéy. Ha z g f)x), úgy x, z) g f y, x, y) f és y, z) g y, y fx), z gy) z gfx)), ami adja a feladat állításáak második részét... feladat. Igazolja, hogy ha f : A B, g : B C ivertálható függvéyek és R f B, R g C, akkor g f ivertálható és g f) f g. Megoldás. A feltételek mellett D g f D f, R g f C. Ha x, y A és g f)x) g f)y), akkor az.0. feladat miatt gfx)) gfy)), ami g ivertálhatósága miatt ld..8. feladat) adja, hogy fx) fy), s ebből f ivertálhatósága miatt következik, hogy x y, így az.8. feladat miatt a g f függvéy ivertálható. A feladat második része következik az.7. feladatból, hisze f A B, g B C relációk... feladat. Legye f : A B függvéy, C, D A. Bizoyítsa be, hogy fc D) fc) fd), fc D) fc) fd). Adjo meg olya f függvéyt és C, D D f halmazokat, hogy fc D) valódi része fc) fd)-ek. Megoldás. A képhalmaz az és defiíciója alapjá: y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) vagy x D, y fx)) y fc) vagy y fd) y fc) fd), s ez adja az első halmazegyelőséget. y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) és x D, y fx)) y fc) és y fd) y fc) fd), amiből következik a második egyelőtleség.

16 6 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Legye C {a, a }, D {a, a 3 }, B {b, b }, f {a, b ), a, b ), a 3, b )} f : A C D B), akkor fc) {b, b }, fd) {b, b } fc) fd) {b, b }, ugyaakkor C D {a } miatt fc D) {b }. Ekkor fc D) fc) fd), de fc D) fc) fd)..3. feladat. Legye f : A B függvéy és C, D B. Bizoyítsa be, hogy f C D) f C) f D) ; f C D) f C) f D). Megoldás. x f C D) fx) C D) fx) C vagy fx) D x f C) vagy x f D) x f C) f D), ami adja az első egyelőséget. x f C D) fx) C D) fx) C és fx) D x f C) és x f D) x f C) f D), ami defiíció szerit adja a második egyelőséget..4. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha f : A B egy függvéy, akkor f id A f, id B f f. Megoldás. f, id A, id B, defiíciója és az.0. feladat miatt: R ida A D f, ezért D f ida D f, másrészt f id A )x) fid A x)) fx), vagyis az f id A és f függvéyeket meghatározó redezett elempárok halmaza egyelő, így igaz az első egyelőség. A második egyelőség hasolóa bizoyítható..5. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha f : A B ivertálható függvéy, akkor a) f f id A ; b) f f )y) y y R f azaz ha R f B, úgy f f id B ) ; c) f ivertálható és iverze f.

17 GYAKORLÓ FELADATOK 7 Megoldás. Az ismert defiíciókat és az.0. feladatot felhaszálva: a) R f D f miatt D f f A D ida. Legye x A és y. fx), ekkor x f y), így f f)x) f fx)) f y) x id A x). Ezek adják az egyelőséget. b) Legye y R f és x. f y). f ivertálható, így fx) y. Ekkor f f )y) ff y)) fx) y, amiből yilvá következik a b) állítás másik része is. c) Az.6 feladat harmadik egyelősége miatt f ) f, ami adja, hogy egyrészt f ivertálható mert iverze az f függvéy), másrészt f iverze f. Gyakorló feladatok. Legye X egy adott halmaz és A, B, C X. Bizoyítsa be, hogy a) A A A, A A A idempotecia) ; b) A A B) A, A A B) A ; c) A A és A ; d) A B C X A C X B ; e) A A B és A B A ; f) A B C X B C X A ; g) A \ B A C X B ; h) A B) \ C A \ C) B \ C) ; i) A B) \ C A \ C) B \ C) ; j) A \ B) C A C) \ B C) C.. Legyeek A és B emüres halmazok. Mutassa meg, hogy A B B A A B. 3. Legyeek A, B, C, D adott halmazok, F A B, G B C és H C D. Bizoyítsa be, hogy H G F ) H G) F. 4. Legye A egy halmaz, f A A reláció. Bizoyítsa be, hogy f f f f. 5. Legyeek f A B és g B C függvéyek. Bizoyítsa be, hogy a) D g f D f, b) D g f D f R f D g, c) g f R f D g. 6. Legye f : A B függvéy és C, D A. Igazolja, hogy fc) \ fd) fc \ D).

18 8 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 7. Legye f : A B függvéy és C, D B. Bizoyítsa be, hogy f C \ D) f C) \ f D). 8. Legye f : X Y függvéy, A, B X és C, D Y. Bizoyítsa be, hogy a) A B fa) fb), b) C D f C) f D). 9. Legye f : X Y függvéy, A X és B Y. Bizoyítsa be, hogy a) A f fa)), b) ff B)) B. Adjuk szükséges és elegedő feltételt arra, hogy egyelőség teljesüljö A X, illetve B Y halmazra. 0. Legye f : X Y függvéy, {A γ X γ Γ} emüres halmazredszer. Igazolja, hogy a) f A γ ) fa γ ), γ Γ γ Γ b) f A γ ) fa γ ). γ Γ γ Γ. Legye f : X Y függvéy, {A γ Y γ Γ} emüres halmazredszer. Mutassa meg, hogy a) f A γ ) f A γ ), γ Γ γ Γ b) f A γ ) f A γ ). γ Γ γ Γ

19 II. fejezet Számok A valós számtest.. feladat. Legye x, y R. Mutassa meg, hogy: xy 0 x 0 vagy y 0. Megoldás. a) Ha x 0, akkor a testaxiómákat és az egyszerűsítési szabályt felhaszálva: 0 y y 0 + 0)y 0 y + 0 y 0 y 0. y 0-ra hasolóa kapjuk, hogy x 0 0. Tehát xy 0, ha x 0 vagy y 0. b) Tegyük fel, hogy x 0, y 0-ra xy 0, akkor a testaxiómák és a most bizoyítottak szerit 0 x xy) x x)y y y következe, ami elletmodás. Így xy 0, ha x 0 és y 0 teljesül... feladat. Bizoyítsa be, hogy x R eseté x )x. Megoldás. A testaxiómák és a.. feladat miatt: x + x) 0 és x + )x x + )x + ))x 0 x 0, ami adja, hogy x + x) x + )x, s ebből az egyszerűsítési szabály miatt következik a feladat állítása..3. feladat. Legye x, y R. Bizoyítsa be, hogy x + y) x) + y) x y, xy) x)y x y), x) y) xy 9

20 0 II. SZÁMOK speciálisa ) ) ). Megoldás. A testaxiómákat, a kivoás defiícióját és az előző két feladatot felhaszálva: x + y) )x + y) )x + )y x) + y) x y, ami adja az első egyelőséget. x)y + xy x + x)y 0 y 0 mutatja felhaszálva az iverz egyértelműségét is), hogy xy additív iverzére xy) x)y következik. A xy) x y) egyelőség ugyaígy bizoyítható. Az előbbiek és a x) x egyelőség miatt: x) y) x y)) xy)) xy, ami adja a harmadik egyelőséget, melyből x, y eseté kapjuk, hogy ) )..4. feladat. Legye x, y, u, v R. Bizoyítsa be, hogy x + y) + u + v) x + u) + y + v) x + v) + y + u). Megoldás. A + művelet asszociativitását és kommutativitását felhaszálva x + y) + u + v) x + y) + u) + v x + y + u)) + v ami adja az állítást. x + u + y)) + v x + u) + y) + v x + u) + y + v) x + u) + v + y) x + u) + v) + y x + u + v)) + y x + v + u)) + y x + v) + u) + y x + v) + u + y) x + v) + y + u),.5. feladat. Legye x, y, u, v R. Bizoyítsa be, hogy xy)uv) xu)yv) xv)yu). Megoldás. A szorzás asszociativitását és kommutativitását felhaszálva xy)uv) xy)u)v xyu))v xuy))v xu)y)v xu)yv), xy)uv) xy)vu) xy)v)u xyv))u xvy))u s ezek adják az állítást. xv)y)u xv)yu),

21 A VALÓS SZÁMTEST.6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha x, y, u, v R, akkor x y) + u v) x + u) y + v) x v) + u y). Megoldás. Ha a.4. feladatba elvégezzük az y y, v v helyettesítéseket, s haszáljuk a kivoás tulajdoságát, valamit a.3. feladatot, akkor például x y) + u v) x + y)) + u + v)) x + u) + y) + v)) x + u) + y + v)) x + u) y + v) következik. A másik egyelőség hasolóa bizoyítható..7. feladat. Ha x, y R, x 0, y 0, akkor bizoyítsa be, hogy xy) x )y ), azaz x y xy. Megoldás. A feltételek miatt xy). A testaxiómákat és a.5. feladatot felhaszálva kapjuk, hogy xy)xy) x x )y y ) xy)x y ), ami az egyszerűsítési szabály miatt adja az állítást. A második egyelőség az iverz és a reciprok egyelőségéből jö..8. feladat. Ha x, y, u, v R és u 0, v 0, úgy lássa be a törtet törttel szorzás szabályát, hogy x u y v xy uv. Megoldás. A háyados tulajdoságát, a.5. és.7. feladtokat felhaszálva x u y v xu )yv ) xy)u v ) xy)uv) xy uv, ami adja az állítást..9. feladat. Legye x, y, u, v R, y 0, v 0. Bizoyítsa be a törtek összeadásáak szabályát, hogy x y + u xv + yu. v yv Megoldás. Az axiómákat, a.5. és.7. feladatokat és a háyados defiícióját haszálva xv + yu xv + yu)yv) xv + yu)y v ) yv xv)y v ) + yu)y v ) xy )vv ) + yy )uv ) x y + u v x y + u v,

22 II. SZÁMOK ami adja az állítást..0. feladat. Bizoyítsa be, hogy, m N eseté +m N és m N. Megoldás. m-re voatkozó teljes idukció, a testaxiómák és N defiíciója segítségével bizoyítjuk a két állítást. N eseté, ha m, úgy + N. Tegyük fel, hogy N eseté + m N, akkor + m + ) + m) + N. Így a teljes idukció elve alapjá rögzített N eseté m N-re + m N. A most bizoyított állítást is felhaszálva, hasolóa mit előbb: N-re, ha m, akkor N. Tegyük fel, hogy m N-re m N, akkor m+) m+ N teljesül, ami adja a feladat másik állítását... feladat. Mutassa meg, hogy x, y Z eseté x + y, x y, xy Z. Megoldás. Z defiícióját, a.3.,.6.,.0. feladat állításait és a testaxiómákat felhaszálva bizoyítuk. Ha x, y Z, akkor m, N és m, N, hogy x m, y m, akkor x + y m ) + m ) m + m ) + ) Z ; x y m ) m ) m + ) m + ) Z ; xy m )m ) [m + )] [m + )] [m m + ))] + [ )m + ))] [m m + m )] + [ )m + ) )] [m m + ] + [ m + m )] m m + ) m + m ) Z, melyek adják a feladat állításait... feladat. Legye x, y Q. Bizoyítsa be, hogy x + y, x y, xy Q és ha y 0, akkor x y Q teljesül. Megoldás. Q defiícióját, korábbi feladatokat és a testaxiómákat haszáljuk a bizoyításba. Ha x, y Q, akkor defiíció szerit) p, p, q, q Z, q 0, q 0, hogy x p, y p, így q q x + y p + p p q + p q Q hisze p q + p q Z, q q q q q q Z, q q 0) ; a további állítások hasolóa bizoyíthatók.

23 A VALÓS SZÁMTEST 3.3. feladat. Legye x, y R ;, m N. Bizoyítsa be, hogy xy) x y, ) x x y y ha y 0), x x m x +m, x ) m x m. Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk, x defiícióját és a.5. feladatot is felhaszálva: -re xy).. xy x y miatt igaz az első egyelőség. Tegyük fel, hogy xy) x y, akkor xy) +. xy) xy) x y )xy) x x)y y) x + y +, s ezek a teljes idukció elve alapjá adják az első azoosságot N eseté. A második azoosság hasolóa bizoyítható. A harmadik azoosság bizoyításához legye N tetszőlegese rögzített. Akkor m eseté x x x x x + adja az állítást. Ha x x m x +m, akkor x x m+ x x m x) x x m )x x +m x x +m)+ x +m+). Ezek pedig, a teljes idukció elve szerit adják a harmadik azoosságot, m N eseté. A egyedik azoosság bizoyítása az előbbihez hasoló..4. feladat. Legye k, N, k. Bizoyítsa be, hogy ) ) ) ) ) ) ) +,, +. 0 k k k k k Megoldás. ) defiícióját felhaszálva az első két állítás yilvávaló. k Az ) )! + k k k )! k ))! +! k! k)!!k +! k + )! + ) k! k ))! k! + ) k)! ) + )! + k! + ) k)! k egyelőségsor adja a harmadik azoosságot.

24 4 II. SZÁMOK.5. feladat. Legye x, y R, N. Bizoyítsa be, hogy ) x + y) x i y i biomiális tétel). i i0 Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk, a testaxiómákat, az azokból származtatott számolási szabályokat és a.4. feladatot felhaszálva. -re az x + y) x + y és i0 i) x i y i x + y x + y egyelőségek összehasolítása adja az állítást. Ha az állítás igaz valamilye N-re, úgy [ ] x + y) + x + y) x + y) )x i y i x + y) i i0 ) x i+ y i + i ) x + + i0 ) + x k k i i0 i0 ) x i y + i i ) x i+ y i + i i ) x k y +) k + k k ) + x k y +) k + ) + [ ) x k k ) + + y k k + ) + x i y +) i, i i0 0 ) x i y +) i + ) y + )] x k y +) k + k + ) x k y +) k + 0 ) y ) x + az állítás tehát + -re is igaz, s akkor mide N eseté is igaz. ) y +

25 RENDEZÉS EGYENLŐTLENSÉGEK) R-BEN 5 Redezés egyelőtleségek) R-be.6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha x, y, z, u, v R, akkor a) x < y x + z < y + z ; b) 0 < x x < 0 ; x < 0 0 < x ; c) 0 < x 0 < y 0 < xy ; d) 0 < x x 0 ; 0 < ; e) 0 < x y < 0 xy < 0 ; x < 0 y < 0 0 < xy ; f) 0 < xy 0 < x 0 < y ; 0 < x ; g) x y z u x + z y + u ; x < y z u x + z < y + u ; 0 x 0 y 0 x + y; 0 < x 0 y 0 < x + y); h) x < y 0 < z xz < yz; x < y z < 0 yz < xz; i) 0 < y < x 0 < z < v yz < xv ; j) 0 < x < y N 0 < x < y ; k) 0 < x < y 0 < y < x ; l) N ; m) k Z eseté l Z, hogy k < l < k +. Megoldás. a) x < y x y x + z y + z. Ha x + z y + z vola, úgy x y adóda, ami elletmodás, így x + z < y + z. b) a)-t felhaszálva pl. 0 < x 0 + x) < x + x) x < 0. c) 0 < x 0 < y 0 x 0 y 0 xy. Ha 0 xy, akkor 0 x 0 y, ami elletmodás, így 0 < xy. d) Ha x 0 x 0; ha 0 < x, akkor 0 0 < x x, azaz 0 < x + ; x < 0 0 < x 0 0 < x) x) x, azaz 0 < x. Ha x 0 <. e) 0 < x y < 0 0 < x 0 < y 0 < xy) xy < 0; a másik állítás hasolóa igazolható. f) Ha y 0 lee, úgy xy 0 xy < 0 jöe, ami elletmodás. Ha y x, úgy 0 < x x 0 < x adja, hogy 0 < x. g) Ha z u, akkor az i) axióma, illetve az a) állítás adaja a bizoyítadó állítást. Ha z < u, akkor x + z < y + z y + z < y + u adja az állítást. A speciális esetek ebből yilvávalóak.)

26 6 II. SZÁMOK h) Ha x < y, akkor 0 x + x < x + y, így 0 < z miatt 0 < x + y)z xz + yz xz < xz + xz)) + yz xz < yz. Az állítás másik része is hasoló, hisze z < 0 0 < z. i) y < x 0 < z yz < xz és z < v 0 < x xz < xv-ből következik, hogy yz < xv. j) -re az előző állítás miatt) x x x < y y y, ha N-re x < y, úgy x < y miatt pedig x + x x < y y y +, ami adja az állítást. k) 0 < x < y 0 < x, 0 < y. Tegyük fel, hogy 0 < x y, akkor 0 < x < y miatt) x x < y y, ami elletmodás, így 0 < y < x igaz. l) Ha, akkor igaz. Tegyük fel, hogy k-ra k, akkor > 0 miatt k + is igaz, ami az idukciós axióma miatt adja az állítást. m) Ha léteze k, l Z, k < l < k +, akkor l k Z 0 < l k l k N l k l + k, ami elletmodás..7. feladat. Legye x, y R. Bizoyítsa be, hogy a) x y y x y, b) x < y y < x < y. Megoldás. Az abszolútérték defiícióját és az egyelőtleségek eddig megismert tulajdoságait felhaszálva: a) Ha x y, akkor x x és x x adja, hogy x y és x y, azaz y x, a ezekből y x y következik. Ha y x y, akkor 0 x-re: x y és x x x y, x < 0-ra: a y x-ből kapott x y egyelőtleség és az x x adja, hogy x y, így x R eseté x y. b) Hasolóa bizoyítható helyett <-et íruk)..8. feladat. Bizoyítsa be, hogy az R-beli dx, y). x y x, y R) távolságra dx, y) 0, dx, y) dy, x), dx, y) dx, z)+dy, z) teljesül. Megoldás. Az abszolútérték tulajdoságait és a testaxiómákkal kapcsolatos feladatokat felhaszálva: dx, y) x y 0, dx, y) x y y x) y x dy, x), dx, y) x y x z)+z y) x z + z y x z + y z dx, z) + dy, z) adják állításaikat.

27 RENDEZÉS EGYENLŐTLENSÉGEK) R-BEN 7.9. feladat. Bizoyítsa be, hogy az R-beli Kx 0, r) köryezetre teljesülek a következők: a) ha x 0 R és r > 0, akkor x 0 Kx 0, r), b) ha x 0 R, r > 0 és x Kx 0, r), akkor ε > 0, hogy Kx, ε) Kx 0, r), c) ha x, y R, x y, akkor r > 0, hogy Kx, r) Ky, r), d) ha x 0 R, r > 0, akkor Kx 0, r) ]x 0 r, x 0 + r[. Megoldás. a) dx 0, x 0 ) x 0 x < r adja az állítást. b) Legye ε r dx, x 0 ). Ha y Kx, ε), azaz dy, x) < ε, akkor a.8. feladat harmadik állítása miatt háromszög egyelőtleség): dy, x 0 ) dy, x) + dx, x 0 ) < ε + dx, x 0 ) r, tehát y Kx 0, r), így Kx, ε) Kx 0, r). c) Legye r dx, y). Ha léteze y Kx, r) Ky, r), úgy a háromszögegyelőtleséget felhaszálva) dx, y) dx, z) + dz, y) < r dx, y) következe, ami elletmodás, ezért Kx, r) Ky, r). d) A köryezet defiíciója, a.6. és.7. feladatok alapjá: x Kx 0, r) x x 0 < r r < x x 0 < r x 0 r < x < x 0 + r x ]x 0 r, x 0 + r[ adja az állítást..0. feladat Beroulli-egyelőtleség). Bizoyítsa be, hogy ha N, x R és x, akkor + x) + x. Egyelőség teljesül, ha vagy x 0. Megoldás. Teljes idukcióval. -re az állítás yilvá igaz. Ha -re igaz, akkor + x 0 miatt +x) + +x) +x) +x)+x) +x+x+x ++)x, így az állítás mide természetes számra igaz. Az egyelőségre voatkozó állítás egyszerű... feladat Cauchy-egyelőtleség). Bizoyítsa be, hogy ha N és a,..., a R +, akkor. G a... a a a egyelőség teljesül, ha a a a.. A,

28 8 II. SZÁMOK Megoldás. Teljes idukcióval. eseté az állítás yilvá igaz. Tegyük fel, hogy G A és, ha a a a. Mivel A [ ] [ )A + a ] A + a A a A [ + )] A és a > így a Beroulli-egyelőtleség felhaszálásával A A ) A ) [ a + )] A A ) + a ) A ) a A G ) a a... a a G ), a ami adja, hogy G A és egyelőség va, ha 0. A a a -et felhaszálva ez azt jeleti, hogy a a a a ). Az idukciós axióma miatt az állítás igaz... feladat Chauchy-Buyakovszkij-Schwarz-egyelőtleség). Legyeek x,..., x, y,..., y R, akkor bizoyítsa be, hogy ) x i y i i i x i ) Megoldás. Legye f : R R, ft) x i t+y i ), akkor ft) 0 t R és i ) ) ) ft) x i t + x i y i t+ y i. Ha x i 0 azaz x i 0), i i i i akkor az állítás yilvá igaz. Legye x i > 0. Ha x i a, x i y i b és yi c, akkor i i i i ft) at + bt + c a t + b ) b 4ac. ft) 0 t R eseté a 4a ha b 4ac 0, ami az előbbi jelölések felhaszálásával adja az állítást. i y i ).

29 R TELJESSÉGE 9 R teljessége.3. feladat. Bizoyítsa be, hogy A R emüres, felülről korlátos halmazra sup A egyértelmű. Megoldás. Ha α, β R, hogy α supa, β supa, akkor supa defiíciója miatt α β és β α is teljesül, ami csak α β eseté teljesülhet hisze pl. α < β eseté α < α következe)..4. feladat. Bizoyítsa be, hogy A ) R felülről korlátos halmazak β akkor és csak akkor potos felső korlátja, ha felső korlát és ε > 0-ra x A, hogy x > β ε azaz ε > 0-ra β ε em felső korlát). Megoldás. A potos felső korlát defiícióját felhaszálva. Legye β supa, akkor β felső korlátja A-ak és ε > 0-ra β ε< β) em felső korlát, ami adja, hogy x A, hogy x > β ε. Ha β felső korlátja A-ak és ε > 0 eseté x A, x > β ε, akkor tegyük fel, hogy γ R, hogy γ felső korlátja A-ak és γ < β. Ha ε. β γ > 0, úgy a feltétel miatt x A, hogy x > β ε γ, elletmodásba azzal, hogy γ felső korlát. Így A bármely γ felső korlátjára γ β kell, hogy teljesüljö. Tehát β potos felső korlátja A-ak..5. feladat. Legye A, B R olya, hogy A B. Bizoyítsa be, hogy ha sup A és sup B, akkor sup A sup B. Megoldás. Ha α sup A, β sup B és az állítással elletétbe feltesszük, hogy β < α, akkor ε. α β > 0 mellett az előző feladat miatt α sup A) x A, hogy x > α ε β. Ugyaakkor A B miatt x B is teljesül, ezért x > β, ami elletmod aak, hogy β sup B. Tehát α β kell, hogy teljesüljö, amit bizoyítai kellett..6. feladat. Ha az A R halmazra sup A, akkor a A. {x x A} halmazak létezik potos alsó korlátja és if A) sup A. Megoldás. Ha β sup A, akkor x A-ra x β. Ha x A, akkor x A, így x β, azaz β x teljesül, tehát β alsó korlátja A-ak. Ha α tetszőleges alsó korlátja A-ak, akkor yilvá α felső korlátja A- ak és rá α β, azaz α β teljesül. Ezek defiíció szerit) adják, hogy if A) β sup A..7. feladat. Ha A, B R és A + B {x + y x A, y B}, akkor bizoyítsa be, hogy ha sup A és sup B, akkor supa + B) és supa + B) sup A + sup B.

30 30 II. SZÁMOK Megoldás. sup A és sup B defiíciója miatt x A, y B eseté x sup A, y sup B, így x + y sup A + sup B, tehát sup A + sup B felső korlátja A + B-ek, ami R teljessége miatt) adja, hogy supa + B). Ha ε > 0 adott a.4. feladatot is felhaszálva x 0 A, y 0 B, hogy x 0 > sup A ε, y 0 > sup B ε, azaz x 0 + y 0 > sup A + sup B ε, amiből újra haszálva a.4. feladat állítását) kapjuk, hogy sup A + sup B potos felső korlátja A + B-ek..8. feladat. Határozza meg a H { N} és H ]0, [ {} halmazok supremumát és ifimumát. Megoldás. A defiíciókat és az egyelőtleségek tulajdoságait haszálva: Ha N, úgy 0 <, így 0 alsó korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges valós szám, úgy mivel N felülről em korlátos N, hogy 0 < ε <, azaz < ε ε 0. Ezek a.4. feladat miatt) adják, hogy if H 0. Ha N, akkor, azaz, így felső korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges, akkor x H -re > ε hisze ez ekvivales a 0 > ε, illetve ε > 0 egyelőtleséggel). S ezek együtt a.4. feladat szerit) adják, hogy sup H. 0 alsó korlátja H -ek, mert x ]0, [-re 0 < x teljesül és 0 < is igaz hisze 0 < ismert, amiből jö < +, majd ezekből, hogy 0 < ). Ha ε > 0 valós szám, úgy - mivel ]0, ε[ ]0, [ emüres - x H, hogy x < ε, azaz ε em alsó korlát, így H bármely alsó korlátja kisebb, vagy egyelő 0-val. Tehát 0 potos alsó korlát. Nyilvá x H -re x, ezért felső korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges, akkor H és ε < ami igaz, mert ε < ε < 0 ε > 0) miatt felhaszálva a.4. feladatot, kapjuk, hogy sup H..9. feladat. Igazolja, hogy x, y R + ;, m N és k Z-re xy x y, x y x m x m x, x k x) k és x y x y teljesül. y, Megoldás. Az -edik gyök defiícióját és a hatváyozás azoosságait felhaszálva: x. a, y. b x a, y b xy a b ab) ab xy, s ezek adják az első azoosságot.

31 A további azoosságok hasolóa bizoyíthatók. R TOPOLÓGIÁJA 3 Ha x y, akkor az egyelőtleségek.6. feladatba) bizoyított tulajdosága miatt x) y) x y. Ha x y, akkor az állítással elletétbe tegyük fel, hogy x > y. Ebből pedig x) > y) x > y következik, ami elletmodás, így csak x y teljesülhet. Ezzel bizoyítottuk a feladat utolsó állítását is. R topológiája.30. feladat. Legye a, b R, a < b. Bizoyítsa be, hogy a) ]a, b[, ]a, + [ és ], a[ yílt és em zárt, b) [a, b], [a, + [ és ], a] zárt és em yílt, c) ]a, b] és [a, b[ em yílt és em zárt. Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy x 0 ]a, b[ eseté r > 0, Kx 0, r) ]a, b[. Legye r if {x 0 a, b x 0 }, akkor a.9. feladat d) része miatt x Kx 0, r) eseté x < x 0 + r x 0 + b x 0 ) b és x > x 0 r x 0 x 0 a) a, azaz x ]a, b[, így Kx 0, r) ]a, b[. Ha x 0 ]a, + [ vagy x 0 ], a[, akkor r. a x 0 eseté Kx 0, r) ]a, + [, illetve Kx 0, r) ], a[, ami adja, hogy eze itervallumok is yíltak. Az a R valós szám yilvá torlódási potja midegyik itervallumak hisze pl. r > 0-ra Ka, r) ]a, b[ Ka, r), ha r b, illetve Ka, r) ]a, b[]a, b[, ha a < r), de a em eleme egyik itervallumak sem, így va olya torlódási potja, mely em eleme a halmazak, ezért em zártak. b) C R ]a, b[], a[ ]b, + [, C R [a, + [], a[ és C R ], a] ]a, + [, így a zárt halmaz defiíciója és a feladat a) része miatt az itt szereplő itervallumok zárt halmazok. Egyik itervallum sem yílt halmaz, mert a em belső potjuk mert pl. r > 0 Ka, r)-ből ]a r, a[ vagy ]a, a + r[ em része a megfelelő itervallumak). c) ]a, b] em yílt, mert b em belső potja és em is zárt, mert az a torlódási potja, de em potja a halmazak. Hasolóa bizoyíthatjuk az [a, b[-re voatkozó állítást is..3. feladat. Határozza meg a H ], ] {3} ]4, 5[ [7, 8] halmaz belső, határ, külső, torlódási és izolált potjaiak halmazát.

32 3 II. SZÁMOK Megoldás. H belső potjaiak halmaza a H 0 ], [ ]4, 5[ ]7, 8[ halmaz. x H 0 -ra x ], [ vagy x ]4, 5[ vagy x ]7, 8[ teljesül, de eze itervallumok yílt halmazok, így r, Kx, r) része valamelyikek, és így Kx, r) H. Más belső pot em lehet: az {, 7, 8} halmaz elemei, ahogy ezt a korábbiakba bizoyított módo beláthatjuk, em belső potjai H-ak. H határpotjaiak halmaza a H {,, 3, 4, 5, 7, 8} halmaz. Például H, mert K, r) eseté K, r) ], [ és K, r) CH. A H többi elemére hasoló a bizoyítás. H külső potjaiak halmaza a H ], [ ], 3[ ]3, 4[ ]5, 7[ ]8, + [ halmaz. H elemei valóba külső potok, mert belső potjai CH-ak hisze x H a H -ot defiiáló valamelyik yílt halmaz eleme). R \ H elemei pedig a már vizsgált H 0 és H elemei. H torlódási potjaiak halmaza a H [, ] [4, 5] [7, 8] halmaz. H elemei valóba torlódási potok mert belső, vagy határpotjai H- ak). Egyszerűe belátható, hogy R \ H elemei em torlódási potjai H-ak. H-ak egyetle izolált potja va: a 3 valós szám. 3 izolált pot, ugyais 3 H és 3 / H, mert K3, ) H {3}, így K3, )-be ics a 3-tól külöböző potja H-ak. H más eleme em lehet izolált pot, mert azok torlódási potok..3. feladat. Határozza meg Q R belső, határ, külső, torlódási és izolált potjait. Megoldás. Q-ak ics belső potja, mert x 0 Q és r > 0-ra Kx 0, r)-be va irracioális szám, így Kx 0, r) Q. Q R, mert x R és r > 0-ra Kx, r)-be va Q-beli, illetve CQ-beli irracioális) szám is. Q-ak ics külső potja, mert Kx 0, r)-be va Q-ak eleme. Q R, mert x 0 R és r > 0 eseté Kx 0, r)-be va Q-beli elem. Q-ak ics izolált potja, mert az előbbiek szerit x 0 Q torlódási potja Q-ak.

33 R TOPOLÓGIÁJA feladat. Bizoyítsa be, hogy Z zárt és em yílt, Q em yílt és em zárt. Megoldás. Ha x 0 R \ Z, akkor z Z, hogy x 0 ]z, z + [, ami yílt halmaz, így Kx 0, r) ]z, z + [ R \ Z, azaz x 0 belső potja R \ Z-ek, ezért R \ Z C R Z yílt és akkor defiíció szerit Z zárt halmaz. Z em yílt, mert Kz, r)-be va irracioális szám, így Kz, r) Z. Ha x 0 Q és r > 0 tetszőleges, úgy Kx 0, r)-be va irracioális szám, ezért Kx 0, r) Q, így x 0 em belső potja Q-ak. Q R miatt Q em tartalmazza az irracioális torlódási potjait, így em zárt..34. feladat. Bizoyítsa be, hogy a H { N} {0} halmaz kompakt. Megoldás. Egy H R halmaz kompakt, ha korlátos és zárt Heie- Borel tétel). H korlátos, mert 0 < és miatt tehát alulról és felülről is korlátos). H zárt, ha mide torlódási potját tartalmazza. 0 torlódási potja H-ak, mert ha r > 0, úgy 0 N, hogy 0 > r hisze N felülről em korlátos halmaz), ezért 0 < 0 < r miatt K0, r). H-ak ics más torlódási potja. Ha ugyais x 0 0 R, x 0 < 0, illetve x 0 >, akkor r. x 0, illetve r. x 0 választással Kx 0, r) H. Ha pedig x 0 / H, 0 < x 0 <, akkor N, + < x 0 <, azaz x 0 ] +, [ yílt itervallum és így Kx 0, r) ] +, [, melybe ics H-beli { elem, így } x 0 em torlódási pot. Végül az N H halmaz elemei izolált potjai H-ak, mert egyszerűe belátható, hogy r > 0, hogy K, r ) H K, r ) em tartalmaz -től külöböző H-beli elemet. { }, azaz

34 34 II. SZÁMOK Gyakorló feladatok. Legye x, y R, y 0. Bizoyítsa be, hogy x y x y x y.. Legye x, y, u, v R, y 0, v 0. Igazolja, hogy x y u xv yu. v yv 3. Bizoyítsa be, hogy ha N, akkor / N, továbbá, m N, m eseté m N, vagy m N. ) x 4. Bizoyítsa be, hogy x, y R és, m Z eseté xy) x y, y x y ha y 0 ; x x m x +m ; x ) m x m. 5. Legyeek x,..., x, y,..., y R. Bizoyítsa be, a x i + y i ) x i + i Mikovszki-egyelőtleséget. 6. Bizoyítsa be, hogy ha az A R halmazak létezik potos alsó és potos felső korlátja, akkor if A sup A. 7. Legye A, B R, hogy A B. Bizoyítsa be, hogy ha if A és if B, akkor if A if B. 8. Ha az A R halmazra if A, akkor a A {x x A} halmazak létezik potos felső korlátja és sup A) if A. 9. Ha A, B R és elemeik emegatív számok, hogy sup A és sup B, akkor az AB {xy x A, y B} halmazra supab) sup A)sup B). 0. Határozza meg a H i { ) ) halmaz potos felső és potos alsó korlátját. i } N. Ha A, B R és sup A, sup B, if A, if B, akkor A B-ek is létezik potos felső és potos alsó korlátja és supa B) max {sup A, sup B} ; ifa B) mi {if A, if B}.. Igazolja, hogy x, y R + és r, s Q eseté ) x r xy) r x r y r ; xr y y r ; xr+s x r x s ; x r ) s x rs. y i

35 GYAKORLÓ FELADATOK Határozza meg N a természetes számok halmaza) belső, határ, külső, torlódási és izolált potjaiak halmazát. 4. Adjo meg R-be végtele sok olya yílt halmazt, melyek metszete em yílt, illetve végtele sok olya zárt halmazt, melyek egyesítése em zárt. 5. Bizoyítsa be, hogy mide H R véges halmaz kompakt. 6. Bizoyítsa be, hogy ]0, [ R em kompakt.

36

37 III. fejezet Sorozatok Alapfogalmak és kapcsolatuk 3.. feladat. Bizoyítsa be, hogy az mooto övekedő és koverges. sorozat korlátos, szigorúa + Megoldás. A korlátossághoz azt kell megmutati, hogy K R +, hogy + < K N). + < < + 0 < ami igaz, tehát K + választással defiíció szerit kapjuk a sorozat korlátosságát. + < < < miatt, defiíció szerit következik a sorozat szigorú mooto övekedése. Megmutatjuk, hogy a sorozat kovergál az valós számhoz. Legye ε > 0 tetszőleges valós szám, akkor R-hez mivel N felülről em ε korlátos) ε) N, hogy ε) > ε, így ε)-ra > ε + > ε + < ε + + ) + + < ε, azaz ε > 0 ε), ε) + < ε, ami defiíció szerit azt jeleti, hogy az sorozat koverges és határértéke. + A kovergecia abból is adódik, hogy a sorozat mooto övekedő és felülről korlátos. 37

38 38 III. SOROZATOK ) feladat. Bizoyítsa be, hogy a sorozat korlátos, em mooto és + koverges. Megoldás. ) + + < < + 0 < ami igaz) adja, hogy + K mellett sorozatuk teljesíti a sorozat korlátosságáak defiícióját. a, a 3, a 3 4, ezért sem a a +, sem a a + em teljesül N eseté, így a sorozat em mooto. Megmutatjuk, hogy a sorozat koverges és határértéke 0. ) miatt, mivel ε > 0-ra az előbbi feladattal + azoos godolat szerit) ε -hez ε) N, hogy ε) >, így ε ε)-ra > ε + > < ε, kapjuk, ε + hogy ) < ε, ami adja az állítást a kovergecia defiíciója szerit feladat. Bizoyítsa be, hogy az sorozat korlátos, szigorúa mo-! oto csökkeő és koverges. Megoldás. Az!... egyelőtleségsor adja, hogy! N-re, ez pedig defiíció szerit a sorozat korlátosságát jeleti. >! <! + ) < + 0 <! + )! ami yilvá igaz N-re) adja, hogy a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Megmutatjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Ha ε > 0 tetszőleges, úgy az! 0! < egyelőtleséget és azt felhaszálva, hogy N felülről em korlátos, ε) N, ε) > ε, ezért

39 ε)-ra > ε jeleti, hogy! 0. ALAPFOGALMAK ÉS KAPCSOLATUK 39 < ε! 0 < ε, ami éppe azt A kovergecia abból is következik, hogy a sorozat mooto csökkeő és alulról korlátos feladat. Bizoyítsa be, hogy a ) sorozat em korlátos, em mooto és em koverges. Megoldás. Ha léteze K R, hogy ) < K N-re, akkor N felülről korlátos lee, ami elletmodás, így a sorozat em korlátos. a, a, a 3 3 adja, hogy em teljesülhet N-re a a + és a a + sem, így a sorozat em mooto. Ha a sorozat koverges lee, úgy az ismert tétel miatt korlátos lee, ami elletmodás, így a sorozat em koverges feladat. Bizoyítsa be, hogy az csökkeő és koverges. sorozat korlátos, mooto Megoldás. ami igaz) miatt a korlátosság defiíciója adja az első állítást. N-re > > 0 0 < < + < < ami igaz) adja, hogy a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Az első két állítás igaz volta{ adja} a sorozat kovergeciáját. Ha megmutatjuk, hogy if 0, azt is kapjuk, hogy 0. N-re 0 < 0 < hisze > 0), ami igaz, adja, hogy { } 0 alsó korlátja az halmazak. Ha ε > 0 alsó korlát lee, úgy -re 0 < ε < teljesüle, ami ekvivales a 0 < < ε illetve az

40 40 III. SOROZATOK < ε egyelőtleséggel N eseté, elletmodásba azzal, hogy N felülről em korlátos feladat. Bizoyítsa be, hogy K N rögzített számra k +, k. Megoldás. Be kell láti, hogy K R + -ra K), K)-ra k > K. Utóbbi egyelőtleség ekvivales az > k K egyelőtleséggel. N felülről em korlátos, így K R + -ra K) N, hogy K) > k K, így K)-ra > k K, azaz k > K, s ezt kellett bizoyítai. A másik állítás teljese hasolóa bizoyítható feladat. Bizoyítsa be, hogy k N rögzített számra k +. Megoldás. Azt kell most beláti, hogy K R + -ra K), hogy K)-ra k > K. Az utóbbi egyelőtleség ekvivales az > K k egyelőtleséggel. Az, hogy N felülről em korlátos adja, hogy K R + -ra K), hogy K) > K k, így K)-ra > K k k > K, s ez adja az állítást. Sorozatok és műveletek, illetve redezés feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. A egyelőséget, azt, hogy 3 3, ), műveleti tulajdoságokat felhaszálva: ) és a )

41 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS feladat. Bizoyítsa be, hogy + 0. Megoldás. A egyelőséget, azt, hogy és a műveleti tulajdoságo- kat felhaszálva: feladat. Számítsa ki az sorozat határértékét , ) Megoldás. Ismeretes, hogy ), így az ) egyelőségsor, az ismert határértékek és a műveleti tulajdoságok miatt: ) 3.. feladat. Számítsa ki az sorozat ha- + ) tárértékét.. Megoldás. Az kk + ) k k +

42 4 III. SOROZATOK egyelőség miatt + ami adja, hogy ) ) + 3 ) ) ) ), ). 3.. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha k N tetszőlegese rögzített és a a,..., a k a k, akkor a + + a k ) a + + a k, a a k ) a a k. Megoldás. A bizoyítást k-ra voatkozó teljes idukcióval végezzük. Az összeadásra: k -re az állítás igaz ahogy ezt az elméletbe taultuk). Tegyük fel, hogy k -re igaz, hogy akkor a + + a k ) ) a + + a k a + + a k ) [a + + a k ) ) + a k ] a + + a k ) ) + a k a + + a k ) + a k a + + a k. A szorzásra a bizoyítás hasoló feladat. Legye k N rögzített, a olya sorozat, hogy a a, akkor bizoyítsa be, hogy a k ak. Ha a 0 és a a 0, akkor bizoyítsa be, hogy k a k a. Ha k Z rögzített, a olya sorozat, hogy a > 0 és a a > 0, akkor bizoyítsa be, hogy a k ak. Ha r Q tetszőleges, a olya sorozat, hogy a > 0 és a a > 0, akkor bizoyítsa be, hogy a r a r. Megoldás. Ha k N, úgy a k a a, így felhaszálva, hogy a a és a 3.. feladatot a a k a mellett kapjuk a feladat első állítását: ak a ) a k.

43 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS 43 Ha a 0 és a 0, akkor k a 0. Ehhez megmutatjuk, hogy ε > 0 ε), ε)-ra k a 0 k a < ε. Ha ε > 0 adott, úgy k a < ε a < ε k. a 0 miatt ε k -hoz ε), hogy ε)-ra a < ε k k a < ε k a 0 < ε, s ezt kellett bizoyítai. Ha a 0 és a a > 0, akkor k a k a. Hogy ez teljesüljö, azt kell megmutati, hogy ε > 0 ε), ε)-ra k a k a < ε. a a > 0 miatt ε a > 0-hoz így k a k a a ), a k a k a) k a ) k + k a ) k k a + + k a) k ) k a ) k + + k a) k a a k a ) k + k a ) k k a + + k a) k < a a k k a )k ) -ra a > a, Ugyacsak a a > 0 miatt ε > 0-ra ε k a )k > 0-hoz ε k a )k ), hogy ε k a )k )-re a a < ε k a )k. Ha ε). sup {, }, akkor a két egyelőtleséget összevetve kapjuk, hogy ε)-ra k a k a < ε, tehát k a k a. Ha a > 0, a a > 0 és k Z, úgy a k a k. Ha k N, úgy ez jö a feladat első részéből. Ha k 0, akkor a 0 a 0 miatt igaz. Ha k Z és k N, akkor a k a k a k ak adja az állítást. A egyedik rész feltételei miatt p Z és q N, hogy r p q, így a r a p q q a ) p q a) p a p q a r miatt igaz az állítás feladat. Bizoyítsa be, hogy + 3 ) Megoldás. Az a + 3 sorozatra a > 0 és a teljesül, így az előző feladat 4. állításába r 5 -et véve kapjuk az állítást feladat. Ha a és b olya sorozatok, hogy a + illetve a ) és b b, akkor a + b + illetve ).

44 44 III. SOROZATOK Megoldás. Az a + b + bizoyításához az kell belátuk, hogy K R-re K) N, hogy N, K) eseté a + b > K. b b miatt b korlátos, így alulról is korlátos, ezért k R, hogy b > k N. K R-re K k-hoz a + miatt K k) N, hogy N, K k)-ra a > K k. Ezeket felhaszálva K R-ra legye K) K k), úgy K) eseté a + b > K k) + k K, amit bizoyítai kellett. A másik állítás hasolóa bizoyítható feladat. Ha a és b olya sorozatok, hogy a + illetve a ) és b + illetve b ), akkor bizoyítsa be, hogy a) a + b + illetve a + b ), b) a b +, c) c a + illetve c a ), ha c > 0, d) c a illetve c a + ), ha c < 0. Megoldás. a) Azt kell beláti, hogy K R-hez K), K) eseté a +b > K ill. a + b < K). Adott K R eseté, a feltételek miatt K), hogy K)-ra a > K ill. a < K ), K), hogy K)-ra b > K ill. b < K ), így ha K) sup {, }, akkor K)-ra a + b > K ill. a + b < K) teljesül, amit bizoyítai kellett. b) és c) és d) hasolóa bizoyítható.. megjegyzés. A tétel a) és b) állítása többtagú véges) összegre, illetve több véges) téyezős szorzatra is igaz. Ez teljes idukcióval bizoyítható feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. Egyszerűe bizoyítható, hogy + és 5 + +, így az előző példa adja feladatuk állítását feladat. Legyeek a, b adott sorozatok. a) Ha c R +, hogy b c véges sok N kivételével és a + illetve a ), akkor bizoyítsa be, hogy a b + ill. a b ). b) Ha c R, c < 0, hogy b c véges sok N kivételével és a + ill. a ), akkor a b ill. a b + ).

45 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS 45 Megoldás. a) Legye K R adott és a +. a + miatt K c ), hogy > K c )-re a > K c, továbbá a másik feltétel miatt) 0 N, hogy b c 0 eseté. Ezeket felhaszálva, ha K) sup {, 0 }, úgy N, K)-ra a b > K c b > K, ami adja, hogy a b +. Az állítás második része hasolóa bizoyítható. b) Bizoyítása hasoló.. megjegyzés. A feladatból speciális esetkét adódik a 3.5. feladat b), c) és d) állítása feladat. Bizoyítsa be, hogy ) +, és 3 ) 3. Megoldás. Legye a, úgy 3 + k + miatt), ha b + + 5, úgy egyszerűe belátható, hogy b >, így az előző feladat miatt kapjuk az első állítást. Ha a + és b 3 3, úgy az előző feladat adja a másik állítást is feladat. Legye P, Q: R R olya, hogy P x) a k x k + a k x k + + a 0, Qx) b l x l + b l x l + + b 0 ahol a j, b j R és a k b l 0), tehát P k-ad fokú, Q l-ed fokú poliom, továbbá Q) 0 N-re. Határozza meg az P ) ak k + + a 0 R Q) b l l + + b 0 sorozat határértékét. Megoldás. N-re R k a k + a k + + a 0 k ) l b l + b l + + b 0 l ) a k + a k k l + + a 0 k b l + b l + + b 0 l

46 46 III. SOROZATOK Legye a k + a k c k l, d + + a 0 k b l + b l + + b N). 0 l A határérték és a műveletek, illetve redezés kapcsolatára voatkozó tételek, a 3.6. és 3.. feladatok felhaszálásával kapjuk, hogy d a k és b c l, ha k l, 0, ha k < l, +, ha k > l. Így a korábbi feladatokat és elméleti tételeket felhaszálva a következőket kapjuk: R a k, ha k l b l R 0, ha k < l R +, ha k > l és sig a k sig b k R, ha k > l és sig a k sig b k. 3.. feladat. Számítsa ki a , határértékeket , , Megoldás. Az előző tételt alkalmazva , hisze k l, a k 5 b l 5, , mert k 3 < l 4, , mert k > l, sig sig ), , mert k 3 > l, sig 5) sig ), +,

47 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS , mert k > l, sig 5) sig feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. +, s akkor az ismert tételek miatt következik miatt feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. 0, 0, így elméletbe tault tétel alapjá adja, hogy ) +, , ill ) feladat. Bizoyítsa be, hogy , s ez az. megoldás. A feladat szerit k, l, így a 3.0. feladat miatt az állítás igaz.. megoldás. Egyszerűe belátható, az egyelőtleségek ismert tulajdoságait felhaszálva, hogy 0 eseté igaz a következő egyelőtleségsor: 0 < < + 0 <, + 0 azaz 0 eseté 0 < <, így az a 0, b + 0 és c sorozatok teljesítik a redőr-tétel feltételeit, tehát a < c < b 0), a 0, b 0, ami adja a feladat állítását feladat. Bizoyítsa be, hogy + 0.

48 48 III. SOROZATOK. megoldás. +, +, így + ) megoldás. Egyszerűe belátható, hogy 3 + N, s ez 0, 3 0 miatt adja, hogy az,, + sorozatok teljesítik a redőr-tétel feltételeit, s ebből következik a feladat állítása. Részsorozatok, Cauchy-sorozatok 3.6. feladat. Vizsgálja az,, + 3!, +, ko- sorozatok kovergeciáját. Megoldás. Az,, + 3! sorozatok az a + verges sorozat részsorozatai, és pedig: a +3, a!, + 3! a + + A ϕ) + 3, ϕ)!, ϕ) + N) függvéyek szigorúa mooto övekedőek és ϕ: N N.). Az első három sorozat tehát koverges és határértékük 0, hisze 0. Az és sorozatok az a koverges sorozat részsorozatai most ϕ: N N a ϕ) +, illetve ϕ) + 3 szerit defiiált szigorúa mooto övekedő függvéy): a +, a , ezért kovergesek. Továbbá 0 miatt a határértékük 0.

49 RÉSZSOROZATOK, CAUCHY-SOROZATOK feladat. Vizsgálja meg, hogy koverges-e az a sorozat. Megoldás. A Cauchy-féle kovergecia kritérium segítségével bizoyítuk. Egy a sorozat Cauchy-tulajdoságú, ha: ε > 0-hoz ε) N,, m ε), m N) eseté a a m < ε. Egy sorozat pedig koverges, ha Cauchy-tulajdoságú. Belátjuk, hogy sorozatuk em Cauchy-tulajdoságú. Legye m, akkor a a m > + +, így ε, hogy ε)-ra és m, hogy a a >, azaz sorozatuk em Cauchy-sorozat. S ez adja a kritérium miatt), hogy em koverges feladat. Cauchy-sorozat-e az a sorozat? + Megoldás. A korábbiak szerit lásd például 3.0. feladat) kapjuk, hogy a 3 sorozat koverges határértéke 0), így a Cauchy-féle kovergecia kritérium szerit + Cauchy-sorozat feladat. Bizoyítsa be, hogy ha a olya sorozat, hogy a + illetve a ), akkor b részsorozatára b + illetve b ) teljesül. Megoldás. Ha b a ϕ), ϕ: N N szigorúa mooto övekedő, akkor ϕ) N). Ha a +, akkor K R-hez K) N, hogy N, K)- ra a > K, ami ϕ) N) miatt adja, hogy K) eseté ϕ) K) miatt b a ϕ) > K teljesül, s ez defiíció szerit azt jeleti, hogy b +. A tétel másik állítása hasolóa bizoyítható feladat. Vizsgálja az + ) 5, + + 3) 0, + és + sorozatok kovergeciáját.

50 50 III. SOROZATOK Megoldás. Az első két sorozat az 5, illetve a 0 sorozatok részsorozata ϕ) +, illetve ϕ) ++3 N), ϕ: N N szigorúa mooto övekvő), továbbá ismeretes, hogy 5 +, illetve 0, így az előző feladat miatt + ) 5 +, + + 3) 0. A másik két sorozat a sorozat részsorozata ϕ) +, illetve ϕ) + N), ϕ: N N szigorúa mooto övekvő), továbbá +, így hasolóa mit előbb kapjuk, hogy + +, feladat. Vizsgálja a + sorozat határértékét. Megoldás. + és + +, továbbá + + ) + + ) és + + ) + miatt felhaszálva az ismert tételt) kapjuk, hogy sorozatuk koverges és + 0. Nevezetes sorozatok 3.3. feladat. Legye a R, a a. Bizoyítsa be, hogy ) a < eseté a 0 ; ) a > eseté a diverges, a > -re a + ; 3) a eseté a, a eseté a diverges. Megoldás. 3) Nyilvávaló. ) Ha a >, akkor a Cauchy-egyelőtleség miatt N-re a ) + a ) a < a, így a ) < a. Ebből jö, hogy M-re, ha M) > M a a > a ) > M, azaz a +. Ha a <, akkor az a sorozat a és a + részsorozatai két külöböző értékhez tartaak, így a em koverges.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS III. Folytonosság

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS III. Folytonosság GRUBER TIBOR ANALÍZIS III. Folytoosság 3 Tartalom A. A RENDEZETT SZÁM N-ESEK TERE I. K N TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 1. K N struktúrája........................ 7 2. Nyílt halmazok és zárt halmazok...............

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

harmadik, javított kiadás

harmadik, javított kiadás Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Analízis feladatokban I.

Analízis feladatokban I. Szili László Aalízis feladatokba I. Egyel tleségek, függvéyek, számsorozatok, számsorok A köyvet a szerz ajálotta fel a mideki számára igyees letölthet ség feltételével. Írta: Szili László egyetemi doces

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben