Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Átírás

1 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár

2

3 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár

4 mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá

5 Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus hallgatókak mobidiák köyvtár

6 Copyright c Lajkó Károly Copyright c elektroikus közlés mobidiák köyvtár mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Iformatikai Itézet 400 Debrece, Pf. A mű egyéi taulmáyozás céljára szabado letölthető. Mide egyéb felhaszálás csak a szerző előzetes írásbeli egedélyével törtéhet. A mű a A mobidiák öszervező mobil portál IKTA, OMFB-00373/003) és a GNU Iterátor, a legújabb geerációs portál szoftver ITEM, 50/003) projektek keretébe készült.

7 Tartalomjegyzék I. Halmazok, relációk, függvéyek Halmazok Relációk leképezések) Függvéyek Gyakorló feladatok II. Számok A valós számtest Redezés egyelőtleségek) R-be R teljessége R topológiája Gyakorló feladatok III. Sorozatok Alapfogalmak és kapcsolatuk Sorozatok és műveletek, illetve redezés Részsorozatok, Cauchy-sorozatok Nevezetes sorozatok Gyakorló feladatok IV. Sorok Alapfogalmak és alaptételek Kovergeciakritériumok Műveletek sorokkal Tizedes törtek Gyakorló feladatok V. Függvéyek folytoossága Alapfogalmak Folytoosság, egyeletes folytoosság Gyakorló feladatok

8 8 TARTALOMJEGYZÉK VI. Függvéyek határértéke Alapfogalmak és tételek Határérték és műveletek, illetve egyelőtleségek Szakadási helyek, mooto függvéyek Gyakorló feladatok VII. Függvéysorozatok, függvéysorok, elemi függvéyek.. 3 Gyakorló feladatok VIII. Differeciálszámítás Differeciaháyados, differeciálhatóság, differeciálháyados, éritő Differeciálhatóság és műveletek Differeciálhatóság, differeciálhatóság és műveletek további elemi függvéyekkel) Magasabbredű deriváltak Középértéktételek, Taylor-poliom, Taylor-sor A L Hospital-szabály Differeciálható függvéyek vizsgálata Gyakorló feladatok Irodalomjegyzék

9 I. fejezet Halmazok, relációk, függvéyek Halmazok.. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B tetszőleges halmazok, úgy A B A B és B A. Megoldás. Ha A B, akkor A és B elemei megegyezek, ami adja, hogy x A eseté x B és y B eseté y A következik, melyekből defiíció szerit következik, hogy A B és B A teljesül. Ha A B és B A teljesül és feltesszük, hogy A B az A és B elemi em azoosak), akkor vagy x A, hogy x / B, így A B, vagy y B, hogy y / A, ezért B A következe, elletétbe a feltevéssel. Tehát A B... feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B, C tetszőleges halmazok, akkor kommutativitás), A B B A, A B B A A B) C A B C), A B) C A B C) asszociativitás), A B C) A B) A C), A B C) A B) A C) disztributivitás), A\B A\A B), A\B C) A\B) A\C), A\B) C A C)\B, A\B C) A\B) A\C), A B B A B, A B B A B, A\B A B. 9

10 0 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. x A B x A vagy x B x B vagy x A x B A, ezért az A B és B A halmazok elemi azoosak, így defiíció szerit A B B A. x A B x A és x B x B és x A x B A, azaz az A B és B A halmazok elemei megegyezek, így A B B A. x A B) C x A B vagy x C x A vagy x B) vagy x C x A vagy x B vagy x C) x A vagy x B C x A B C), így az A B) C és A B C) halmazok elemei megegyezek, tehát A B) C A B C). x A B) C x A B és x C x A és x B) és x C x A és x B és x C) x A és x B C x A B C), így az A B) C és A B C) halmazok elemei megegyezek, ezért A B) C A B C). x A B C) x A vagy x B C x A vagy x B és x C) x A vagy x B) és x A vagy x C) x A B és x A C x A B) A C), tehát az A B C) és A B) A C) halmazok elemei megegyezek, így A B C) A B) A C). x A B C) x A és x B C x A és x B vagy x C) x A és x B) vagy x A és x C) x A B vagy x A C x A B) A C), így az A B C) és A B) A C) halmazok elemei megegyezek, ezért A B C) A B) A C). x A \ B x A és x / B x A és x / A B x A \ A B, ami adja, hogy A \ B A \ A B; y A\A B y A és y / A B y A és y / B y A\B, így A \ A B A \ B. A két tartalmazás teljesülése pedig ekvivales azzal, hogy A \ B A \ A B. x A \ B) C x A \ B és x C x A és x / B) és x C x A és x C) és x / B x A C és x / B x A C) \ B, így az A \ B) C és A C \ B) halmazok elemei azoosak, ezért A \ B) C A C) \ B. x A \ B C) x A és x / B C x A és x / B vagy x / C) x A és x / B) vagy x A és x / C) x A \ B vagy x A \ C x A \ B) A \ C), ami azoal adja, hogy A \ B C) A \ B) A \ C).

11 HALMAZOK x A \ B C) x A és x / B C x A és x / B és x / C) x A és x / B) és x A és x / C) x A \ B és x A\C x A\B) A\C) A\B C) A\B) A\C). Ha A B B, akkor x A, hogy x / B mert akkor x A B és x / B miatt A B B lee) x A eseté x B, azaz A B. Ha A B és x A B, akkor x B A B B, másrészt x B yilvá adja, hogy x A B B A B, melyek adják, hogy A B B. Az utolsó két állítás bizoyítását az olvasóra bízzuk..3. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha A, B X, akkor A A X, A A, X, X, A A, A B A B, A B A B. Megoldás. x X x A vagy x / A és persze x X) x A vagy x A x A A, ezért A A és X elemei azoosak, így A A X. Tegyük fel, hogy x X, hogy x A A x A és x X \ A x A és x / A, ami elletmodás, így az A A halmazak ics eleme, így A A. X, X, A A állítások yilvávalóak. x A B x X és x / A B x X és x / A és x / B) x X és x / A) és x X és x / B) x A és x B x A B, s ez adja, hogy A B A B. x A B x X és x / A B x X és x / A vagy x / B) x X és x / A) vagy x X és x / B) x A vagy x B x A B, így A B A B..4. feladat. Mutassa meg, hogy ha {A i i I} egy X halmaz részhalmazaiból álló halmazredszer, úgy teljesülek a ) C X A i ) C X A i ; C X A i C X A i i I i I i I i I De Morga-féle azoosságok.

12 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. x C X i I A i ) x X és x / A i i I x X és x / A i bármely i I) x X és x A i ) i I x C X A i bármely i I x C X A i, ami adja az első halmazegyelőséget. i I x C X A i ) x X és x / A i x X és i, i I i I x / A i i I, x C X A i x C X A i, ami adja a második De Morga-féle azoosságot. i I Relációk leképezések).5. feladat. Mutassa meg, hogy ha A, B és C tetszőleges halmazok, akkor a) A B A vagy B, b) A B) C A C) B C), c) A B C) A B) A C), d) A B) C A C) B C), e) A B C) A B) A C), f) A\B) C A C)\B C), g) A B\C) A B)\A C), h) B C A B A C. Megoldás. a) A B x, y) A B x A vagy y B A vagy B. b) x, y) A B) C x A B és y C x A vagy x B) és y C x A és y C) vagy x B és y C) x, y) A C vagy x, y) B C x, y) A C) B C), ami adja az állítást. c) x, y) A B C) x A és y B C x A és y B vagy y C) x A és y B) vagy x A és y C) x, y) A B vagy x, y) A C x, y) A B) A C), s ez adja az állítást. d) x, y) A B) C x A B és y C x A és x B) és y C x A és y C) és x B és y C) x, y) A C és x, y) B C x, y) A C) B C), ez pedig adja az állítást. e) A bizoyítás az előbbivel aalóg.

13 RELÁCIÓK LEKÉPEZÉSEK) 3 f) x, y) A \ B) C x A \ B és y C x A és x / B) és y C x A és y C) és x / B és y C) x, y) A C és x, y) / B C x, y) A C) \ B C), ami adja az állítást. g) A bizoyítás az előbbivel azoos". h) A feltétel miatt y B adja, hogy y C. Másrészt: x, y) A B x A és y B x A és y C x, y) A C, ami adja az állítást..6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha F A B egy reláció, akkor D F R F, R F D F, F ) F, F B) D F. Megoldás. F, F, D F és R F defiíciója miatt y B-re: y D F x A, y, x) F x A, x, y) F y R F, ami adja, hogy a D F és R F halmazok elemei azoosak, tehát D F R F. A második egyelőség bizoyítása teljese hasoló. F és F ) defiíciója szerit: x, y) F ) y, x) F x, y) F, ami adja a harmadik halmazegyelőséget. F B), F és D F defiíciója miatt: F B) { x A y B, y, x) F } amit bizoyítai kellett. {x A y B, x, y) F } D F,.7. feladat. Legyeek A, B, C adott halmazok, F A B és G B C relációk. Bizoyítsa be, hogy G F ) F G. Megoldás. G F és az iverz relációk defiíciói miatt: z, x) G F ) x, z) F G y B, x, y) F, y, z) G y B, y, x) F, z, y) G z, x) F G, ami adja az állítást..8. feladat. Legyeek x, y, z külöböző elemek, A {x, y, z}. Adjuk meg az összes parciális redezést az A halmazo, majd válasszuk ki ezek közül a redezési relációkat. Megoldás. Az A parciális redezési, illetve redezési relációi A A bizoyos R részhalmazai. A A-t a következő táblázat elempárjai alkotják: x y z x x, x) x, y) x, z) y y, x) y, y) y, z) z z, x) z, y) z, z)

14 4 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Defiíció szerit R A A parciális redezési ill. redezési) relációra x, x), y, y), z, z) R teljesül ld. Kalkulus I. I/. fejezet 9. defiíció a)) és R 0 {x, x), y, y), z, z)} parciális redezés A-. Ha e három redezett párhoz a táblázat femaradó elempárjai közül bármelyiket hozzávesszük, úgy az R {x, x), y, y), z, z), x, y)}, R {x, x), y, y), z, z), y, x)}, R 3 {x, x), y, y), z, z), x, z)}, R 4 {x, x), y, y), z, z), z, x)}, R 5 {x, x), y, y), z, z), y, z)}, R 6 {x, x), y, y), z, z), z, y)} relációk yilvávalóa parciális redezést adak A-. Ha az R i i,..., 6) relációk midegyikét kiegészítjük az utolsó elempárjukkal egy sorba vagy oszlopba lévő még hiáyzó elempárral a táblázatból és a kapott relációból elhagyjuk az egyelők egyikét, úgy az R 7 R x, z); R 8 R y, z); R 9 R 3 y, z); R 0 R z, y); R R z, x); R R 3 y, z) relációk is parciális redezést adak A-. Végül, ha az R k k 7,..., ) relációkat úgy egészítjük ki a táblázat egy elempárjával, hogy ügyelük arra, hogy a trazitív tulajdoság teljesüljö és a kapott relációból most is elhagyjuk az egyelők egyikét), úgy az R 3 R 7 y, z); R 4 R 8 x, z); R 5 R 7 z, y); R 6 R 9 x, y); R 7 R 9 y, x); R 8 R 4 z, x) relációk is parciális redezést adak A-. Az utolsó hat reláció redezés is A-. Függvéyek.9. feladat. Bizoyítsa be, hogy az f : A B függvéy akkor és csak akkor ivertálható, ha mide x, y A, x y eseté fx) fy) vagy x, y A eseté fx) fy) x y).

15 FÜGGVÉNYEK 5 Megoldás. a) Legye f ivertálható. Az állítással elletétbe tegyük fel, hogy x, y A, x y, hogy fx) fy), úgy a z. fx) fy) B eseté z, x) f és z, y) f, ami elletmod aak, hogy f függvéy. b) Tegyük fel, hogy x, y A, x y eseté fx) fy). Ha z, x ) f és z, x ) f, akkor x, z) f és x, z) f, azaz fx ) fx ), így a feltétel miatt x x, tehát f is függvéy, tehát f ivertálható..0. feladat. Legyeek f A B és g B C függvéyek. Ekkor g f is függvéy, és x D g f -re g f)x) gfx)). Megoldás. Ha x, z ) g f és x, z ) g f, akkor y, y B C, hogy x, y ) f, y, z ) g és x, y ) f, y, z ) g. f függvéy, így y y, de g is függvéy, így z z következik, tehát g f függvéy. Ha z g f)x), úgy x, z) g f y, x, y) f és y, z) g y, y fx), z gy) z gfx)), ami adja a feladat állításáak második részét... feladat. Igazolja, hogy ha f : A B, g : B C ivertálható függvéyek és R f B, R g C, akkor g f ivertálható és g f) f g. Megoldás. A feltételek mellett D g f D f, R g f C. Ha x, y A és g f)x) g f)y), akkor az.0. feladat miatt gfx)) gfy)), ami g ivertálhatósága miatt ld..8. feladat) adja, hogy fx) fy), s ebből f ivertálhatósága miatt következik, hogy x y, így az.8. feladat miatt a g f függvéy ivertálható. A feladat második része következik az.7. feladatból, hisze f A B, g B C relációk... feladat. Legye f : A B függvéy, C, D A. Bizoyítsa be, hogy fc D) fc) fd), fc D) fc) fd). Adjo meg olya f függvéyt és C, D D f halmazokat, hogy fc D) valódi része fc) fd)-ek. Megoldás. A képhalmaz az és defiíciója alapjá: y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) vagy x D, y fx)) y fc) vagy y fd) y fc) fd), s ez adja az első halmazegyelőséget. y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) és x D, y fx)) y fc) és y fd) y fc) fd), amiből következik a második egyelőtleség.

16 6 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Legye C {a, a }, D {a, a 3 }, B {b, b }, f {a, b ), a, b ), a 3, b )} f : A C D B), akkor fc) {b, b }, fd) {b, b } fc) fd) {b, b }, ugyaakkor C D {a } miatt fc D) {b }. Ekkor fc D) fc) fd), de fc D) fc) fd)..3. feladat. Legye f : A B függvéy és C, D B. Bizoyítsa be, hogy f C D) f C) f D) ; f C D) f C) f D). Megoldás. x f C D) fx) C D) fx) C vagy fx) D x f C) vagy x f D) x f C) f D), ami adja az első egyelőséget. x f C D) fx) C D) fx) C és fx) D x f C) és x f D) x f C) f D), ami defiíció szerit adja a második egyelőséget..4. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha f : A B egy függvéy, akkor f id A f, id B f f. Megoldás. f, id A, id B, defiíciója és az.0. feladat miatt: R ida A D f, ezért D f ida D f, másrészt f id A )x) fid A x)) fx), vagyis az f id A és f függvéyeket meghatározó redezett elempárok halmaza egyelő, így igaz az első egyelőség. A második egyelőség hasolóa bizoyítható..5. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha f : A B ivertálható függvéy, akkor a) f f id A ; b) f f )y) y y R f azaz ha R f B, úgy f f id B ) ; c) f ivertálható és iverze f.

17 GYAKORLÓ FELADATOK 7 Megoldás. Az ismert defiíciókat és az.0. feladatot felhaszálva: a) R f D f miatt D f f A D ida. Legye x A és y. fx), ekkor x f y), így f f)x) f fx)) f y) x id A x). Ezek adják az egyelőséget. b) Legye y R f és x. f y). f ivertálható, így fx) y. Ekkor f f )y) ff y)) fx) y, amiből yilvá következik a b) állítás másik része is. c) Az.6 feladat harmadik egyelősége miatt f ) f, ami adja, hogy egyrészt f ivertálható mert iverze az f függvéy), másrészt f iverze f. Gyakorló feladatok. Legye X egy adott halmaz és A, B, C X. Bizoyítsa be, hogy a) A A A, A A A idempotecia) ; b) A A B) A, A A B) A ; c) A A és A ; d) A B C X A C X B ; e) A A B és A B A ; f) A B C X B C X A ; g) A \ B A C X B ; h) A B) \ C A \ C) B \ C) ; i) A B) \ C A \ C) B \ C) ; j) A \ B) C A C) \ B C) C.. Legyeek A és B emüres halmazok. Mutassa meg, hogy A B B A A B. 3. Legyeek A, B, C, D adott halmazok, F A B, G B C és H C D. Bizoyítsa be, hogy H G F ) H G) F. 4. Legye A egy halmaz, f A A reláció. Bizoyítsa be, hogy f f f f. 5. Legyeek f A B és g B C függvéyek. Bizoyítsa be, hogy a) D g f D f, b) D g f D f R f D g, c) g f R f D g. 6. Legye f : A B függvéy és C, D A. Igazolja, hogy fc) \ fd) fc \ D).

18 8 I. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 7. Legye f : A B függvéy és C, D B. Bizoyítsa be, hogy f C \ D) f C) \ f D). 8. Legye f : X Y függvéy, A, B X és C, D Y. Bizoyítsa be, hogy a) A B fa) fb), b) C D f C) f D). 9. Legye f : X Y függvéy, A X és B Y. Bizoyítsa be, hogy a) A f fa)), b) ff B)) B. Adjuk szükséges és elegedő feltételt arra, hogy egyelőség teljesüljö A X, illetve B Y halmazra. 0. Legye f : X Y függvéy, {A γ X γ Γ} emüres halmazredszer. Igazolja, hogy a) f A γ ) fa γ ), γ Γ γ Γ b) f A γ ) fa γ ). γ Γ γ Γ. Legye f : X Y függvéy, {A γ Y γ Γ} emüres halmazredszer. Mutassa meg, hogy a) f A γ ) f A γ ), γ Γ γ Γ b) f A γ ) f A γ ). γ Γ γ Γ

19 II. fejezet Számok A valós számtest.. feladat. Legye x, y R. Mutassa meg, hogy: xy 0 x 0 vagy y 0. Megoldás. a) Ha x 0, akkor a testaxiómákat és az egyszerűsítési szabályt felhaszálva: 0 y y 0 + 0)y 0 y + 0 y 0 y 0. y 0-ra hasolóa kapjuk, hogy x 0 0. Tehát xy 0, ha x 0 vagy y 0. b) Tegyük fel, hogy x 0, y 0-ra xy 0, akkor a testaxiómák és a most bizoyítottak szerit 0 x xy) x x)y y y következe, ami elletmodás. Így xy 0, ha x 0 és y 0 teljesül... feladat. Bizoyítsa be, hogy x R eseté x )x. Megoldás. A testaxiómák és a.. feladat miatt: x + x) 0 és x + )x x + )x + ))x 0 x 0, ami adja, hogy x + x) x + )x, s ebből az egyszerűsítési szabály miatt következik a feladat állítása..3. feladat. Legye x, y R. Bizoyítsa be, hogy x + y) x) + y) x y, xy) x)y x y), x) y) xy 9

20 0 II. SZÁMOK speciálisa ) ) ). Megoldás. A testaxiómákat, a kivoás defiícióját és az előző két feladatot felhaszálva: x + y) )x + y) )x + )y x) + y) x y, ami adja az első egyelőséget. x)y + xy x + x)y 0 y 0 mutatja felhaszálva az iverz egyértelműségét is), hogy xy additív iverzére xy) x)y következik. A xy) x y) egyelőség ugyaígy bizoyítható. Az előbbiek és a x) x egyelőség miatt: x) y) x y)) xy)) xy, ami adja a harmadik egyelőséget, melyből x, y eseté kapjuk, hogy ) )..4. feladat. Legye x, y, u, v R. Bizoyítsa be, hogy x + y) + u + v) x + u) + y + v) x + v) + y + u). Megoldás. A + művelet asszociativitását és kommutativitását felhaszálva x + y) + u + v) x + y) + u) + v x + y + u)) + v ami adja az állítást. x + u + y)) + v x + u) + y) + v x + u) + y + v) x + u) + v + y) x + u) + v) + y x + u + v)) + y x + v + u)) + y x + v) + u) + y x + v) + u + y) x + v) + y + u),.5. feladat. Legye x, y, u, v R. Bizoyítsa be, hogy xy)uv) xu)yv) xv)yu). Megoldás. A szorzás asszociativitását és kommutativitását felhaszálva xy)uv) xy)u)v xyu))v xuy))v xu)y)v xu)yv), xy)uv) xy)vu) xy)v)u xyv))u xvy))u s ezek adják az állítást. xv)y)u xv)yu),

21 A VALÓS SZÁMTEST.6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha x, y, u, v R, akkor x y) + u v) x + u) y + v) x v) + u y). Megoldás. Ha a.4. feladatba elvégezzük az y y, v v helyettesítéseket, s haszáljuk a kivoás tulajdoságát, valamit a.3. feladatot, akkor például x y) + u v) x + y)) + u + v)) x + u) + y) + v)) x + u) + y + v)) x + u) y + v) következik. A másik egyelőség hasolóa bizoyítható..7. feladat. Ha x, y R, x 0, y 0, akkor bizoyítsa be, hogy xy) x )y ), azaz x y xy. Megoldás. A feltételek miatt xy). A testaxiómákat és a.5. feladatot felhaszálva kapjuk, hogy xy)xy) x x )y y ) xy)x y ), ami az egyszerűsítési szabály miatt adja az állítást. A második egyelőség az iverz és a reciprok egyelőségéből jö..8. feladat. Ha x, y, u, v R és u 0, v 0, úgy lássa be a törtet törttel szorzás szabályát, hogy x u y v xy uv. Megoldás. A háyados tulajdoságát, a.5. és.7. feladtokat felhaszálva x u y v xu )yv ) xy)u v ) xy)uv) xy uv, ami adja az állítást..9. feladat. Legye x, y, u, v R, y 0, v 0. Bizoyítsa be a törtek összeadásáak szabályát, hogy x y + u xv + yu. v yv Megoldás. Az axiómákat, a.5. és.7. feladatokat és a háyados defiícióját haszálva xv + yu xv + yu)yv) xv + yu)y v ) yv xv)y v ) + yu)y v ) xy )vv ) + yy )uv ) x y + u v x y + u v,

22 II. SZÁMOK ami adja az állítást..0. feladat. Bizoyítsa be, hogy, m N eseté +m N és m N. Megoldás. m-re voatkozó teljes idukció, a testaxiómák és N defiíciója segítségével bizoyítjuk a két állítást. N eseté, ha m, úgy + N. Tegyük fel, hogy N eseté + m N, akkor + m + ) + m) + N. Így a teljes idukció elve alapjá rögzített N eseté m N-re + m N. A most bizoyított állítást is felhaszálva, hasolóa mit előbb: N-re, ha m, akkor N. Tegyük fel, hogy m N-re m N, akkor m+) m+ N teljesül, ami adja a feladat másik állítását... feladat. Mutassa meg, hogy x, y Z eseté x + y, x y, xy Z. Megoldás. Z defiícióját, a.3.,.6.,.0. feladat állításait és a testaxiómákat felhaszálva bizoyítuk. Ha x, y Z, akkor m, N és m, N, hogy x m, y m, akkor x + y m ) + m ) m + m ) + ) Z ; x y m ) m ) m + ) m + ) Z ; xy m )m ) [m + )] [m + )] [m m + ))] + [ )m + ))] [m m + m )] + [ )m + ) )] [m m + ] + [ m + m )] m m + ) m + m ) Z, melyek adják a feladat állításait... feladat. Legye x, y Q. Bizoyítsa be, hogy x + y, x y, xy Q és ha y 0, akkor x y Q teljesül. Megoldás. Q defiícióját, korábbi feladatokat és a testaxiómákat haszáljuk a bizoyításba. Ha x, y Q, akkor defiíció szerit) p, p, q, q Z, q 0, q 0, hogy x p, y p, így q q x + y p + p p q + p q Q hisze p q + p q Z, q q q q q q Z, q q 0) ; a további állítások hasolóa bizoyíthatók.

23 A VALÓS SZÁMTEST 3.3. feladat. Legye x, y R ;, m N. Bizoyítsa be, hogy xy) x y, ) x x y y ha y 0), x x m x +m, x ) m x m. Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk, x defiícióját és a.5. feladatot is felhaszálva: -re xy).. xy x y miatt igaz az első egyelőség. Tegyük fel, hogy xy) x y, akkor xy) +. xy) xy) x y )xy) x x)y y) x + y +, s ezek a teljes idukció elve alapjá adják az első azoosságot N eseté. A második azoosság hasolóa bizoyítható. A harmadik azoosság bizoyításához legye N tetszőlegese rögzített. Akkor m eseté x x x x x + adja az állítást. Ha x x m x +m, akkor x x m+ x x m x) x x m )x x +m x x +m)+ x +m+). Ezek pedig, a teljes idukció elve szerit adják a harmadik azoosságot, m N eseté. A egyedik azoosság bizoyítása az előbbihez hasoló..4. feladat. Legye k, N, k. Bizoyítsa be, hogy ) ) ) ) ) ) ) +,, +. 0 k k k k k Megoldás. ) defiícióját felhaszálva az első két állítás yilvávaló. k Az ) )! + k k k )! k ))! +! k! k)!!k +! k + )! + ) k! k ))! k! + ) k)! ) + )! + k! + ) k)! k egyelőségsor adja a harmadik azoosságot.

24 4 II. SZÁMOK.5. feladat. Legye x, y R, N. Bizoyítsa be, hogy ) x + y) x i y i biomiális tétel). i i0 Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk, a testaxiómákat, az azokból származtatott számolási szabályokat és a.4. feladatot felhaszálva. -re az x + y) x + y és i0 i) x i y i x + y x + y egyelőségek összehasolítása adja az állítást. Ha az állítás igaz valamilye N-re, úgy [ ] x + y) + x + y) x + y) )x i y i x + y) i i0 ) x i+ y i + i ) x + + i0 ) + x k k i i0 i0 ) x i y + i i ) x i+ y i + i i ) x k y +) k + k k ) + x k y +) k + ) + [ ) x k k ) + + y k k + ) + x i y +) i, i i0 0 ) x i y +) i + ) y + )] x k y +) k + k + ) x k y +) k + 0 ) y ) x + az állítás tehát + -re is igaz, s akkor mide N eseté is igaz. ) y +

25 RENDEZÉS EGYENLŐTLENSÉGEK) R-BEN 5 Redezés egyelőtleségek) R-be.6. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha x, y, z, u, v R, akkor a) x < y x + z < y + z ; b) 0 < x x < 0 ; x < 0 0 < x ; c) 0 < x 0 < y 0 < xy ; d) 0 < x x 0 ; 0 < ; e) 0 < x y < 0 xy < 0 ; x < 0 y < 0 0 < xy ; f) 0 < xy 0 < x 0 < y ; 0 < x ; g) x y z u x + z y + u ; x < y z u x + z < y + u ; 0 x 0 y 0 x + y; 0 < x 0 y 0 < x + y); h) x < y 0 < z xz < yz; x < y z < 0 yz < xz; i) 0 < y < x 0 < z < v yz < xv ; j) 0 < x < y N 0 < x < y ; k) 0 < x < y 0 < y < x ; l) N ; m) k Z eseté l Z, hogy k < l < k +. Megoldás. a) x < y x y x + z y + z. Ha x + z y + z vola, úgy x y adóda, ami elletmodás, így x + z < y + z. b) a)-t felhaszálva pl. 0 < x 0 + x) < x + x) x < 0. c) 0 < x 0 < y 0 x 0 y 0 xy. Ha 0 xy, akkor 0 x 0 y, ami elletmodás, így 0 < xy. d) Ha x 0 x 0; ha 0 < x, akkor 0 0 < x x, azaz 0 < x + ; x < 0 0 < x 0 0 < x) x) x, azaz 0 < x. Ha x 0 <. e) 0 < x y < 0 0 < x 0 < y 0 < xy) xy < 0; a másik állítás hasolóa igazolható. f) Ha y 0 lee, úgy xy 0 xy < 0 jöe, ami elletmodás. Ha y x, úgy 0 < x x 0 < x adja, hogy 0 < x. g) Ha z u, akkor az i) axióma, illetve az a) állítás adaja a bizoyítadó állítást. Ha z < u, akkor x + z < y + z y + z < y + u adja az állítást. A speciális esetek ebből yilvávalóak.)

26 6 II. SZÁMOK h) Ha x < y, akkor 0 x + x < x + y, így 0 < z miatt 0 < x + y)z xz + yz xz < xz + xz)) + yz xz < yz. Az állítás másik része is hasoló, hisze z < 0 0 < z. i) y < x 0 < z yz < xz és z < v 0 < x xz < xv-ből következik, hogy yz < xv. j) -re az előző állítás miatt) x x x < y y y, ha N-re x < y, úgy x < y miatt pedig x + x x < y y y +, ami adja az állítást. k) 0 < x < y 0 < x, 0 < y. Tegyük fel, hogy 0 < x y, akkor 0 < x < y miatt) x x < y y, ami elletmodás, így 0 < y < x igaz. l) Ha, akkor igaz. Tegyük fel, hogy k-ra k, akkor > 0 miatt k + is igaz, ami az idukciós axióma miatt adja az állítást. m) Ha léteze k, l Z, k < l < k +, akkor l k Z 0 < l k l k N l k l + k, ami elletmodás..7. feladat. Legye x, y R. Bizoyítsa be, hogy a) x y y x y, b) x < y y < x < y. Megoldás. Az abszolútérték defiícióját és az egyelőtleségek eddig megismert tulajdoságait felhaszálva: a) Ha x y, akkor x x és x x adja, hogy x y és x y, azaz y x, a ezekből y x y következik. Ha y x y, akkor 0 x-re: x y és x x x y, x < 0-ra: a y x-ből kapott x y egyelőtleség és az x x adja, hogy x y, így x R eseté x y. b) Hasolóa bizoyítható helyett <-et íruk)..8. feladat. Bizoyítsa be, hogy az R-beli dx, y). x y x, y R) távolságra dx, y) 0, dx, y) dy, x), dx, y) dx, z)+dy, z) teljesül. Megoldás. Az abszolútérték tulajdoságait és a testaxiómákkal kapcsolatos feladatokat felhaszálva: dx, y) x y 0, dx, y) x y y x) y x dy, x), dx, y) x y x z)+z y) x z + z y x z + y z dx, z) + dy, z) adják állításaikat.

27 RENDEZÉS EGYENLŐTLENSÉGEK) R-BEN 7.9. feladat. Bizoyítsa be, hogy az R-beli Kx 0, r) köryezetre teljesülek a következők: a) ha x 0 R és r > 0, akkor x 0 Kx 0, r), b) ha x 0 R, r > 0 és x Kx 0, r), akkor ε > 0, hogy Kx, ε) Kx 0, r), c) ha x, y R, x y, akkor r > 0, hogy Kx, r) Ky, r), d) ha x 0 R, r > 0, akkor Kx 0, r) ]x 0 r, x 0 + r[. Megoldás. a) dx 0, x 0 ) x 0 x < r adja az állítást. b) Legye ε r dx, x 0 ). Ha y Kx, ε), azaz dy, x) < ε, akkor a.8. feladat harmadik állítása miatt háromszög egyelőtleség): dy, x 0 ) dy, x) + dx, x 0 ) < ε + dx, x 0 ) r, tehát y Kx 0, r), így Kx, ε) Kx 0, r). c) Legye r dx, y). Ha léteze y Kx, r) Ky, r), úgy a háromszögegyelőtleséget felhaszálva) dx, y) dx, z) + dz, y) < r dx, y) következe, ami elletmodás, ezért Kx, r) Ky, r). d) A köryezet defiíciója, a.6. és.7. feladatok alapjá: x Kx 0, r) x x 0 < r r < x x 0 < r x 0 r < x < x 0 + r x ]x 0 r, x 0 + r[ adja az állítást..0. feladat Beroulli-egyelőtleség). Bizoyítsa be, hogy ha N, x R és x, akkor + x) + x. Egyelőség teljesül, ha vagy x 0. Megoldás. Teljes idukcióval. -re az állítás yilvá igaz. Ha -re igaz, akkor + x 0 miatt +x) + +x) +x) +x)+x) +x+x+x ++)x, így az állítás mide természetes számra igaz. Az egyelőségre voatkozó állítás egyszerű... feladat Cauchy-egyelőtleség). Bizoyítsa be, hogy ha N és a,..., a R +, akkor. G a... a a a egyelőség teljesül, ha a a a.. A,

28 8 II. SZÁMOK Megoldás. Teljes idukcióval. eseté az állítás yilvá igaz. Tegyük fel, hogy G A és, ha a a a. Mivel A [ ] [ )A + a ] A + a A a A [ + )] A és a > így a Beroulli-egyelőtleség felhaszálásával A A ) A ) [ a + )] A A ) + a ) A ) a A G ) a a... a a G ), a ami adja, hogy G A és egyelőség va, ha 0. A a a -et felhaszálva ez azt jeleti, hogy a a a a ). Az idukciós axióma miatt az állítás igaz... feladat Chauchy-Buyakovszkij-Schwarz-egyelőtleség). Legyeek x,..., x, y,..., y R, akkor bizoyítsa be, hogy ) x i y i i i x i ) Megoldás. Legye f : R R, ft) x i t+y i ), akkor ft) 0 t R és i ) ) ) ft) x i t + x i y i t+ y i. Ha x i 0 azaz x i 0), i i i i akkor az állítás yilvá igaz. Legye x i > 0. Ha x i a, x i y i b és yi c, akkor i i i i ft) at + bt + c a t + b ) b 4ac. ft) 0 t R eseté a 4a ha b 4ac 0, ami az előbbi jelölések felhaszálásával adja az állítást. i y i ).

29 R TELJESSÉGE 9 R teljessége.3. feladat. Bizoyítsa be, hogy A R emüres, felülről korlátos halmazra sup A egyértelmű. Megoldás. Ha α, β R, hogy α supa, β supa, akkor supa defiíciója miatt α β és β α is teljesül, ami csak α β eseté teljesülhet hisze pl. α < β eseté α < α következe)..4. feladat. Bizoyítsa be, hogy A ) R felülről korlátos halmazak β akkor és csak akkor potos felső korlátja, ha felső korlát és ε > 0-ra x A, hogy x > β ε azaz ε > 0-ra β ε em felső korlát). Megoldás. A potos felső korlát defiícióját felhaszálva. Legye β supa, akkor β felső korlátja A-ak és ε > 0-ra β ε< β) em felső korlát, ami adja, hogy x A, hogy x > β ε. Ha β felső korlátja A-ak és ε > 0 eseté x A, x > β ε, akkor tegyük fel, hogy γ R, hogy γ felső korlátja A-ak és γ < β. Ha ε. β γ > 0, úgy a feltétel miatt x A, hogy x > β ε γ, elletmodásba azzal, hogy γ felső korlát. Így A bármely γ felső korlátjára γ β kell, hogy teljesüljö. Tehát β potos felső korlátja A-ak..5. feladat. Legye A, B R olya, hogy A B. Bizoyítsa be, hogy ha sup A és sup B, akkor sup A sup B. Megoldás. Ha α sup A, β sup B és az állítással elletétbe feltesszük, hogy β < α, akkor ε. α β > 0 mellett az előző feladat miatt α sup A) x A, hogy x > α ε β. Ugyaakkor A B miatt x B is teljesül, ezért x > β, ami elletmod aak, hogy β sup B. Tehát α β kell, hogy teljesüljö, amit bizoyítai kellett..6. feladat. Ha az A R halmazra sup A, akkor a A. {x x A} halmazak létezik potos alsó korlátja és if A) sup A. Megoldás. Ha β sup A, akkor x A-ra x β. Ha x A, akkor x A, így x β, azaz β x teljesül, tehát β alsó korlátja A-ak. Ha α tetszőleges alsó korlátja A-ak, akkor yilvá α felső korlátja A- ak és rá α β, azaz α β teljesül. Ezek defiíció szerit) adják, hogy if A) β sup A..7. feladat. Ha A, B R és A + B {x + y x A, y B}, akkor bizoyítsa be, hogy ha sup A és sup B, akkor supa + B) és supa + B) sup A + sup B.

30 30 II. SZÁMOK Megoldás. sup A és sup B defiíciója miatt x A, y B eseté x sup A, y sup B, így x + y sup A + sup B, tehát sup A + sup B felső korlátja A + B-ek, ami R teljessége miatt) adja, hogy supa + B). Ha ε > 0 adott a.4. feladatot is felhaszálva x 0 A, y 0 B, hogy x 0 > sup A ε, y 0 > sup B ε, azaz x 0 + y 0 > sup A + sup B ε, amiből újra haszálva a.4. feladat állítását) kapjuk, hogy sup A + sup B potos felső korlátja A + B-ek..8. feladat. Határozza meg a H { N} és H ]0, [ {} halmazok supremumát és ifimumát. Megoldás. A defiíciókat és az egyelőtleségek tulajdoságait haszálva: Ha N, úgy 0 <, így 0 alsó korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges valós szám, úgy mivel N felülről em korlátos N, hogy 0 < ε <, azaz < ε ε 0. Ezek a.4. feladat miatt) adják, hogy if H 0. Ha N, akkor, azaz, így felső korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges, akkor x H -re > ε hisze ez ekvivales a 0 > ε, illetve ε > 0 egyelőtleséggel). S ezek együtt a.4. feladat szerit) adják, hogy sup H. 0 alsó korlátja H -ek, mert x ]0, [-re 0 < x teljesül és 0 < is igaz hisze 0 < ismert, amiből jö < +, majd ezekből, hogy 0 < ). Ha ε > 0 valós szám, úgy - mivel ]0, ε[ ]0, [ emüres - x H, hogy x < ε, azaz ε em alsó korlát, így H bármely alsó korlátja kisebb, vagy egyelő 0-val. Tehát 0 potos alsó korlát. Nyilvá x H -re x, ezért felső korlátja H -ek. Ha ε > 0 tetszőleges, akkor H és ε < ami igaz, mert ε < ε < 0 ε > 0) miatt felhaszálva a.4. feladatot, kapjuk, hogy sup H..9. feladat. Igazolja, hogy x, y R + ;, m N és k Z-re xy x y, x y x m x m x, x k x) k és x y x y teljesül. y, Megoldás. Az -edik gyök defiícióját és a hatváyozás azoosságait felhaszálva: x. a, y. b x a, y b xy a b ab) ab xy, s ezek adják az első azoosságot.

31 A további azoosságok hasolóa bizoyíthatók. R TOPOLÓGIÁJA 3 Ha x y, akkor az egyelőtleségek.6. feladatba) bizoyított tulajdosága miatt x) y) x y. Ha x y, akkor az állítással elletétbe tegyük fel, hogy x > y. Ebből pedig x) > y) x > y következik, ami elletmodás, így csak x y teljesülhet. Ezzel bizoyítottuk a feladat utolsó állítását is. R topológiája.30. feladat. Legye a, b R, a < b. Bizoyítsa be, hogy a) ]a, b[, ]a, + [ és ], a[ yílt és em zárt, b) [a, b], [a, + [ és ], a] zárt és em yílt, c) ]a, b] és [a, b[ em yílt és em zárt. Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy x 0 ]a, b[ eseté r > 0, Kx 0, r) ]a, b[. Legye r if {x 0 a, b x 0 }, akkor a.9. feladat d) része miatt x Kx 0, r) eseté x < x 0 + r x 0 + b x 0 ) b és x > x 0 r x 0 x 0 a) a, azaz x ]a, b[, így Kx 0, r) ]a, b[. Ha x 0 ]a, + [ vagy x 0 ], a[, akkor r. a x 0 eseté Kx 0, r) ]a, + [, illetve Kx 0, r) ], a[, ami adja, hogy eze itervallumok is yíltak. Az a R valós szám yilvá torlódási potja midegyik itervallumak hisze pl. r > 0-ra Ka, r) ]a, b[ Ka, r), ha r b, illetve Ka, r) ]a, b[]a, b[, ha a < r), de a em eleme egyik itervallumak sem, így va olya torlódási potja, mely em eleme a halmazak, ezért em zártak. b) C R ]a, b[], a[ ]b, + [, C R [a, + [], a[ és C R ], a] ]a, + [, így a zárt halmaz defiíciója és a feladat a) része miatt az itt szereplő itervallumok zárt halmazok. Egyik itervallum sem yílt halmaz, mert a em belső potjuk mert pl. r > 0 Ka, r)-ből ]a r, a[ vagy ]a, a + r[ em része a megfelelő itervallumak). c) ]a, b] em yílt, mert b em belső potja és em is zárt, mert az a torlódási potja, de em potja a halmazak. Hasolóa bizoyíthatjuk az [a, b[-re voatkozó állítást is..3. feladat. Határozza meg a H ], ] {3} ]4, 5[ [7, 8] halmaz belső, határ, külső, torlódási és izolált potjaiak halmazát.

32 3 II. SZÁMOK Megoldás. H belső potjaiak halmaza a H 0 ], [ ]4, 5[ ]7, 8[ halmaz. x H 0 -ra x ], [ vagy x ]4, 5[ vagy x ]7, 8[ teljesül, de eze itervallumok yílt halmazok, így r, Kx, r) része valamelyikek, és így Kx, r) H. Más belső pot em lehet: az {, 7, 8} halmaz elemei, ahogy ezt a korábbiakba bizoyított módo beláthatjuk, em belső potjai H-ak. H határpotjaiak halmaza a H {,, 3, 4, 5, 7, 8} halmaz. Például H, mert K, r) eseté K, r) ], [ és K, r) CH. A H többi elemére hasoló a bizoyítás. H külső potjaiak halmaza a H ], [ ], 3[ ]3, 4[ ]5, 7[ ]8, + [ halmaz. H elemei valóba külső potok, mert belső potjai CH-ak hisze x H a H -ot defiiáló valamelyik yílt halmaz eleme). R \ H elemei pedig a már vizsgált H 0 és H elemei. H torlódási potjaiak halmaza a H [, ] [4, 5] [7, 8] halmaz. H elemei valóba torlódási potok mert belső, vagy határpotjai H- ak). Egyszerűe belátható, hogy R \ H elemei em torlódási potjai H-ak. H-ak egyetle izolált potja va: a 3 valós szám. 3 izolált pot, ugyais 3 H és 3 / H, mert K3, ) H {3}, így K3, )-be ics a 3-tól külöböző potja H-ak. H más eleme em lehet izolált pot, mert azok torlódási potok..3. feladat. Határozza meg Q R belső, határ, külső, torlódási és izolált potjait. Megoldás. Q-ak ics belső potja, mert x 0 Q és r > 0-ra Kx 0, r)-be va irracioális szám, így Kx 0, r) Q. Q R, mert x R és r > 0-ra Kx, r)-be va Q-beli, illetve CQ-beli irracioális) szám is. Q-ak ics külső potja, mert Kx 0, r)-be va Q-ak eleme. Q R, mert x 0 R és r > 0 eseté Kx 0, r)-be va Q-beli elem. Q-ak ics izolált potja, mert az előbbiek szerit x 0 Q torlódási potja Q-ak.

33 R TOPOLÓGIÁJA feladat. Bizoyítsa be, hogy Z zárt és em yílt, Q em yílt és em zárt. Megoldás. Ha x 0 R \ Z, akkor z Z, hogy x 0 ]z, z + [, ami yílt halmaz, így Kx 0, r) ]z, z + [ R \ Z, azaz x 0 belső potja R \ Z-ek, ezért R \ Z C R Z yílt és akkor defiíció szerit Z zárt halmaz. Z em yílt, mert Kz, r)-be va irracioális szám, így Kz, r) Z. Ha x 0 Q és r > 0 tetszőleges, úgy Kx 0, r)-be va irracioális szám, ezért Kx 0, r) Q, így x 0 em belső potja Q-ak. Q R miatt Q em tartalmazza az irracioális torlódási potjait, így em zárt..34. feladat. Bizoyítsa be, hogy a H { N} {0} halmaz kompakt. Megoldás. Egy H R halmaz kompakt, ha korlátos és zárt Heie- Borel tétel). H korlátos, mert 0 < és miatt tehát alulról és felülről is korlátos). H zárt, ha mide torlódási potját tartalmazza. 0 torlódási potja H-ak, mert ha r > 0, úgy 0 N, hogy 0 > r hisze N felülről em korlátos halmaz), ezért 0 < 0 < r miatt K0, r). H-ak ics más torlódási potja. Ha ugyais x 0 0 R, x 0 < 0, illetve x 0 >, akkor r. x 0, illetve r. x 0 választással Kx 0, r) H. Ha pedig x 0 / H, 0 < x 0 <, akkor N, + < x 0 <, azaz x 0 ] +, [ yílt itervallum és így Kx 0, r) ] +, [, melybe ics H-beli { elem, így } x 0 em torlódási pot. Végül az N H halmaz elemei izolált potjai H-ak, mert egyszerűe belátható, hogy r > 0, hogy K, r ) H K, r ) em tartalmaz -től külöböző H-beli elemet. { }, azaz

34 34 II. SZÁMOK Gyakorló feladatok. Legye x, y R, y 0. Bizoyítsa be, hogy x y x y x y.. Legye x, y, u, v R, y 0, v 0. Igazolja, hogy x y u xv yu. v yv 3. Bizoyítsa be, hogy ha N, akkor / N, továbbá, m N, m eseté m N, vagy m N. ) x 4. Bizoyítsa be, hogy x, y R és, m Z eseté xy) x y, y x y ha y 0 ; x x m x +m ; x ) m x m. 5. Legyeek x,..., x, y,..., y R. Bizoyítsa be, a x i + y i ) x i + i Mikovszki-egyelőtleséget. 6. Bizoyítsa be, hogy ha az A R halmazak létezik potos alsó és potos felső korlátja, akkor if A sup A. 7. Legye A, B R, hogy A B. Bizoyítsa be, hogy ha if A és if B, akkor if A if B. 8. Ha az A R halmazra if A, akkor a A {x x A} halmazak létezik potos felső korlátja és sup A) if A. 9. Ha A, B R és elemeik emegatív számok, hogy sup A és sup B, akkor az AB {xy x A, y B} halmazra supab) sup A)sup B). 0. Határozza meg a H i { ) ) halmaz potos felső és potos alsó korlátját. i } N. Ha A, B R és sup A, sup B, if A, if B, akkor A B-ek is létezik potos felső és potos alsó korlátja és supa B) max {sup A, sup B} ; ifa B) mi {if A, if B}.. Igazolja, hogy x, y R + és r, s Q eseté ) x r xy) r x r y r ; xr y y r ; xr+s x r x s ; x r ) s x rs. y i

35 GYAKORLÓ FELADATOK Határozza meg N a természetes számok halmaza) belső, határ, külső, torlódási és izolált potjaiak halmazát. 4. Adjo meg R-be végtele sok olya yílt halmazt, melyek metszete em yílt, illetve végtele sok olya zárt halmazt, melyek egyesítése em zárt. 5. Bizoyítsa be, hogy mide H R véges halmaz kompakt. 6. Bizoyítsa be, hogy ]0, [ R em kompakt.

36

37 III. fejezet Sorozatok Alapfogalmak és kapcsolatuk 3.. feladat. Bizoyítsa be, hogy az mooto övekedő és koverges. sorozat korlátos, szigorúa + Megoldás. A korlátossághoz azt kell megmutati, hogy K R +, hogy + < K N). + < < + 0 < ami igaz, tehát K + választással defiíció szerit kapjuk a sorozat korlátosságát. + < < < miatt, defiíció szerit következik a sorozat szigorú mooto övekedése. Megmutatjuk, hogy a sorozat kovergál az valós számhoz. Legye ε > 0 tetszőleges valós szám, akkor R-hez mivel N felülről em ε korlátos) ε) N, hogy ε) > ε, így ε)-ra > ε + > ε + < ε + + ) + + < ε, azaz ε > 0 ε), ε) + < ε, ami defiíció szerit azt jeleti, hogy az sorozat koverges és határértéke. + A kovergecia abból is adódik, hogy a sorozat mooto övekedő és felülről korlátos. 37

38 38 III. SOROZATOK ) feladat. Bizoyítsa be, hogy a sorozat korlátos, em mooto és + koverges. Megoldás. ) + + < < + 0 < ami igaz) adja, hogy + K mellett sorozatuk teljesíti a sorozat korlátosságáak defiícióját. a, a 3, a 3 4, ezért sem a a +, sem a a + em teljesül N eseté, így a sorozat em mooto. Megmutatjuk, hogy a sorozat koverges és határértéke 0. ) miatt, mivel ε > 0-ra az előbbi feladattal + azoos godolat szerit) ε -hez ε) N, hogy ε) >, így ε ε)-ra > ε + > < ε, kapjuk, ε + hogy ) < ε, ami adja az állítást a kovergecia defiíciója szerit feladat. Bizoyítsa be, hogy az sorozat korlátos, szigorúa mo-! oto csökkeő és koverges. Megoldás. Az!... egyelőtleségsor adja, hogy! N-re, ez pedig defiíció szerit a sorozat korlátosságát jeleti. >! <! + ) < + 0 <! + )! ami yilvá igaz N-re) adja, hogy a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Megmutatjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Ha ε > 0 tetszőleges, úgy az! 0! < egyelőtleséget és azt felhaszálva, hogy N felülről em korlátos, ε) N, ε) > ε, ezért

39 ε)-ra > ε jeleti, hogy! 0. ALAPFOGALMAK ÉS KAPCSOLATUK 39 < ε! 0 < ε, ami éppe azt A kovergecia abból is következik, hogy a sorozat mooto csökkeő és alulról korlátos feladat. Bizoyítsa be, hogy a ) sorozat em korlátos, em mooto és em koverges. Megoldás. Ha léteze K R, hogy ) < K N-re, akkor N felülről korlátos lee, ami elletmodás, így a sorozat em korlátos. a, a, a 3 3 adja, hogy em teljesülhet N-re a a + és a a + sem, így a sorozat em mooto. Ha a sorozat koverges lee, úgy az ismert tétel miatt korlátos lee, ami elletmodás, így a sorozat em koverges feladat. Bizoyítsa be, hogy az csökkeő és koverges. sorozat korlátos, mooto Megoldás. ami igaz) miatt a korlátosság defiíciója adja az első állítást. N-re > > 0 0 < < + < < ami igaz) adja, hogy a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Az első két állítás igaz volta{ adja} a sorozat kovergeciáját. Ha megmutatjuk, hogy if 0, azt is kapjuk, hogy 0. N-re 0 < 0 < hisze > 0), ami igaz, adja, hogy { } 0 alsó korlátja az halmazak. Ha ε > 0 alsó korlát lee, úgy -re 0 < ε < teljesüle, ami ekvivales a 0 < < ε illetve az

40 40 III. SOROZATOK < ε egyelőtleséggel N eseté, elletmodásba azzal, hogy N felülről em korlátos feladat. Bizoyítsa be, hogy K N rögzített számra k +, k. Megoldás. Be kell láti, hogy K R + -ra K), K)-ra k > K. Utóbbi egyelőtleség ekvivales az > k K egyelőtleséggel. N felülről em korlátos, így K R + -ra K) N, hogy K) > k K, így K)-ra > k K, azaz k > K, s ezt kellett bizoyítai. A másik állítás teljese hasolóa bizoyítható feladat. Bizoyítsa be, hogy k N rögzített számra k +. Megoldás. Azt kell most beláti, hogy K R + -ra K), hogy K)-ra k > K. Az utóbbi egyelőtleség ekvivales az > K k egyelőtleséggel. Az, hogy N felülről em korlátos adja, hogy K R + -ra K), hogy K) > K k, így K)-ra > K k k > K, s ez adja az állítást. Sorozatok és műveletek, illetve redezés feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. A egyelőséget, azt, hogy 3 3, ), műveleti tulajdoságokat felhaszálva: ) és a )

41 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS feladat. Bizoyítsa be, hogy + 0. Megoldás. A egyelőséget, azt, hogy és a műveleti tulajdoságo- kat felhaszálva: feladat. Számítsa ki az sorozat határértékét , ) Megoldás. Ismeretes, hogy ), így az ) egyelőségsor, az ismert határértékek és a műveleti tulajdoságok miatt: ) 3.. feladat. Számítsa ki az sorozat ha- + ) tárértékét.. Megoldás. Az kk + ) k k +

42 4 III. SOROZATOK egyelőség miatt + ami adja, hogy ) ) + 3 ) ) ) ), ). 3.. feladat. Bizoyítsa be, hogy ha k N tetszőlegese rögzített és a a,..., a k a k, akkor a + + a k ) a + + a k, a a k ) a a k. Megoldás. A bizoyítást k-ra voatkozó teljes idukcióval végezzük. Az összeadásra: k -re az állítás igaz ahogy ezt az elméletbe taultuk). Tegyük fel, hogy k -re igaz, hogy akkor a + + a k ) ) a + + a k a + + a k ) [a + + a k ) ) + a k ] a + + a k ) ) + a k a + + a k ) + a k a + + a k. A szorzásra a bizoyítás hasoló feladat. Legye k N rögzített, a olya sorozat, hogy a a, akkor bizoyítsa be, hogy a k ak. Ha a 0 és a a 0, akkor bizoyítsa be, hogy k a k a. Ha k Z rögzített, a olya sorozat, hogy a > 0 és a a > 0, akkor bizoyítsa be, hogy a k ak. Ha r Q tetszőleges, a olya sorozat, hogy a > 0 és a a > 0, akkor bizoyítsa be, hogy a r a r. Megoldás. Ha k N, úgy a k a a, így felhaszálva, hogy a a és a 3.. feladatot a a k a mellett kapjuk a feladat első állítását: ak a ) a k.

43 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS 43 Ha a 0 és a 0, akkor k a 0. Ehhez megmutatjuk, hogy ε > 0 ε), ε)-ra k a 0 k a < ε. Ha ε > 0 adott, úgy k a < ε a < ε k. a 0 miatt ε k -hoz ε), hogy ε)-ra a < ε k k a < ε k a 0 < ε, s ezt kellett bizoyítai. Ha a 0 és a a > 0, akkor k a k a. Hogy ez teljesüljö, azt kell megmutati, hogy ε > 0 ε), ε)-ra k a k a < ε. a a > 0 miatt ε a > 0-hoz így k a k a a ), a k a k a) k a ) k + k a ) k k a + + k a) k ) k a ) k + + k a) k a a k a ) k + k a ) k k a + + k a) k < a a k k a )k ) -ra a > a, Ugyacsak a a > 0 miatt ε > 0-ra ε k a )k > 0-hoz ε k a )k ), hogy ε k a )k )-re a a < ε k a )k. Ha ε). sup {, }, akkor a két egyelőtleséget összevetve kapjuk, hogy ε)-ra k a k a < ε, tehát k a k a. Ha a > 0, a a > 0 és k Z, úgy a k a k. Ha k N, úgy ez jö a feladat első részéből. Ha k 0, akkor a 0 a 0 miatt igaz. Ha k Z és k N, akkor a k a k a k ak adja az állítást. A egyedik rész feltételei miatt p Z és q N, hogy r p q, így a r a p q q a ) p q a) p a p q a r miatt igaz az állítás feladat. Bizoyítsa be, hogy + 3 ) Megoldás. Az a + 3 sorozatra a > 0 és a teljesül, így az előző feladat 4. állításába r 5 -et véve kapjuk az állítást feladat. Ha a és b olya sorozatok, hogy a + illetve a ) és b b, akkor a + b + illetve ).

44 44 III. SOROZATOK Megoldás. Az a + b + bizoyításához az kell belátuk, hogy K R-re K) N, hogy N, K) eseté a + b > K. b b miatt b korlátos, így alulról is korlátos, ezért k R, hogy b > k N. K R-re K k-hoz a + miatt K k) N, hogy N, K k)-ra a > K k. Ezeket felhaszálva K R-ra legye K) K k), úgy K) eseté a + b > K k) + k K, amit bizoyítai kellett. A másik állítás hasolóa bizoyítható feladat. Ha a és b olya sorozatok, hogy a + illetve a ) és b + illetve b ), akkor bizoyítsa be, hogy a) a + b + illetve a + b ), b) a b +, c) c a + illetve c a ), ha c > 0, d) c a illetve c a + ), ha c < 0. Megoldás. a) Azt kell beláti, hogy K R-hez K), K) eseté a +b > K ill. a + b < K). Adott K R eseté, a feltételek miatt K), hogy K)-ra a > K ill. a < K ), K), hogy K)-ra b > K ill. b < K ), így ha K) sup {, }, akkor K)-ra a + b > K ill. a + b < K) teljesül, amit bizoyítai kellett. b) és c) és d) hasolóa bizoyítható.. megjegyzés. A tétel a) és b) állítása többtagú véges) összegre, illetve több véges) téyezős szorzatra is igaz. Ez teljes idukcióval bizoyítható feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. Egyszerűe bizoyítható, hogy + és 5 + +, így az előző példa adja feladatuk állítását feladat. Legyeek a, b adott sorozatok. a) Ha c R +, hogy b c véges sok N kivételével és a + illetve a ), akkor bizoyítsa be, hogy a b + ill. a b ). b) Ha c R, c < 0, hogy b c véges sok N kivételével és a + ill. a ), akkor a b ill. a b + ).

45 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS 45 Megoldás. a) Legye K R adott és a +. a + miatt K c ), hogy > K c )-re a > K c, továbbá a másik feltétel miatt) 0 N, hogy b c 0 eseté. Ezeket felhaszálva, ha K) sup {, 0 }, úgy N, K)-ra a b > K c b > K, ami adja, hogy a b +. Az állítás második része hasolóa bizoyítható. b) Bizoyítása hasoló.. megjegyzés. A feladatból speciális esetkét adódik a 3.5. feladat b), c) és d) állítása feladat. Bizoyítsa be, hogy ) +, és 3 ) 3. Megoldás. Legye a, úgy 3 + k + miatt), ha b + + 5, úgy egyszerűe belátható, hogy b >, így az előző feladat miatt kapjuk az első állítást. Ha a + és b 3 3, úgy az előző feladat adja a másik állítást is feladat. Legye P, Q: R R olya, hogy P x) a k x k + a k x k + + a 0, Qx) b l x l + b l x l + + b 0 ahol a j, b j R és a k b l 0), tehát P k-ad fokú, Q l-ed fokú poliom, továbbá Q) 0 N-re. Határozza meg az P ) ak k + + a 0 R Q) b l l + + b 0 sorozat határértékét. Megoldás. N-re R k a k + a k + + a 0 k ) l b l + b l + + b 0 l ) a k + a k k l + + a 0 k b l + b l + + b 0 l

46 46 III. SOROZATOK Legye a k + a k c k l, d + + a 0 k b l + b l + + b N). 0 l A határérték és a műveletek, illetve redezés kapcsolatára voatkozó tételek, a 3.6. és 3.. feladatok felhaszálásával kapjuk, hogy d a k és b c l, ha k l, 0, ha k < l, +, ha k > l. Így a korábbi feladatokat és elméleti tételeket felhaszálva a következőket kapjuk: R a k, ha k l b l R 0, ha k < l R +, ha k > l és sig a k sig b k R, ha k > l és sig a k sig b k. 3.. feladat. Számítsa ki a , határértékeket , , Megoldás. Az előző tételt alkalmazva , hisze k l, a k 5 b l 5, , mert k 3 < l 4, , mert k > l, sig sig ), , mert k 3 > l, sig 5) sig ), +,

47 SOROZATOK ÉS MŰVELETEK, ILLETVE RENDEZÉS , mert k > l, sig 5) sig feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. +, s akkor az ismert tételek miatt következik miatt feladat. Bizoyítsa be, hogy Megoldás. 0, 0, így elméletbe tault tétel alapjá adja, hogy ) +, , ill ) feladat. Bizoyítsa be, hogy , s ez az. megoldás. A feladat szerit k, l, így a 3.0. feladat miatt az állítás igaz.. megoldás. Egyszerűe belátható, az egyelőtleségek ismert tulajdoságait felhaszálva, hogy 0 eseté igaz a következő egyelőtleségsor: 0 < < + 0 <, + 0 azaz 0 eseté 0 < <, így az a 0, b + 0 és c sorozatok teljesítik a redőr-tétel feltételeit, tehát a < c < b 0), a 0, b 0, ami adja a feladat állítását feladat. Bizoyítsa be, hogy + 0.

48 48 III. SOROZATOK. megoldás. +, +, így + ) megoldás. Egyszerűe belátható, hogy 3 + N, s ez 0, 3 0 miatt adja, hogy az,, + sorozatok teljesítik a redőr-tétel feltételeit, s ebből következik a feladat állítása. Részsorozatok, Cauchy-sorozatok 3.6. feladat. Vizsgálja az,, + 3!, +, ko- sorozatok kovergeciáját. Megoldás. Az,, + 3! sorozatok az a + verges sorozat részsorozatai, és pedig: a +3, a!, + 3! a + + A ϕ) + 3, ϕ)!, ϕ) + N) függvéyek szigorúa mooto övekedőek és ϕ: N N.). Az első három sorozat tehát koverges és határértékük 0, hisze 0. Az és sorozatok az a koverges sorozat részsorozatai most ϕ: N N a ϕ) +, illetve ϕ) + 3 szerit defiiált szigorúa mooto övekedő függvéy): a +, a , ezért kovergesek. Továbbá 0 miatt a határértékük 0.

49 RÉSZSOROZATOK, CAUCHY-SOROZATOK feladat. Vizsgálja meg, hogy koverges-e az a sorozat. Megoldás. A Cauchy-féle kovergecia kritérium segítségével bizoyítuk. Egy a sorozat Cauchy-tulajdoságú, ha: ε > 0-hoz ε) N,, m ε), m N) eseté a a m < ε. Egy sorozat pedig koverges, ha Cauchy-tulajdoságú. Belátjuk, hogy sorozatuk em Cauchy-tulajdoságú. Legye m, akkor a a m > + +, így ε, hogy ε)-ra és m, hogy a a >, azaz sorozatuk em Cauchy-sorozat. S ez adja a kritérium miatt), hogy em koverges feladat. Cauchy-sorozat-e az a sorozat? + Megoldás. A korábbiak szerit lásd például 3.0. feladat) kapjuk, hogy a 3 sorozat koverges határértéke 0), így a Cauchy-féle kovergecia kritérium szerit + Cauchy-sorozat feladat. Bizoyítsa be, hogy ha a olya sorozat, hogy a + illetve a ), akkor b részsorozatára b + illetve b ) teljesül. Megoldás. Ha b a ϕ), ϕ: N N szigorúa mooto övekedő, akkor ϕ) N). Ha a +, akkor K R-hez K) N, hogy N, K)- ra a > K, ami ϕ) N) miatt adja, hogy K) eseté ϕ) K) miatt b a ϕ) > K teljesül, s ez defiíció szerit azt jeleti, hogy b +. A tétel másik állítása hasolóa bizoyítható feladat. Vizsgálja az + ) 5, + + 3) 0, + és + sorozatok kovergeciáját.

50 50 III. SOROZATOK Megoldás. Az első két sorozat az 5, illetve a 0 sorozatok részsorozata ϕ) +, illetve ϕ) ++3 N), ϕ: N N szigorúa mooto övekvő), továbbá ismeretes, hogy 5 +, illetve 0, így az előző feladat miatt + ) 5 +, + + 3) 0. A másik két sorozat a sorozat részsorozata ϕ) +, illetve ϕ) + N), ϕ: N N szigorúa mooto övekvő), továbbá +, így hasolóa mit előbb kapjuk, hogy + +, feladat. Vizsgálja a + sorozat határértékét. Megoldás. + és + +, továbbá + + ) + + ) és + + ) + miatt felhaszálva az ismert tételt) kapjuk, hogy sorozatuk koverges és + 0. Nevezetes sorozatok 3.3. feladat. Legye a R, a a. Bizoyítsa be, hogy ) a < eseté a 0 ; ) a > eseté a diverges, a > -re a + ; 3) a eseté a, a eseté a diverges. Megoldás. 3) Nyilvávaló. ) Ha a >, akkor a Cauchy-egyelőtleség miatt N-re a ) + a ) a < a, így a ) < a. Ebből jö, hogy M-re, ha M) > M a a > a ) > M, azaz a +. Ha a <, akkor az a sorozat a és a + részsorozatai két külöböző értékhez tartaak, így a em koverges.