Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal"

Átírás

1 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy célja a valós számsorozatokkal és sorokkal kapcsolatos legfotosabb feladattípusok megoldási módszereiek bemutatása. Mide feladattípus esté megoldott feladtoko keresztül mutatjuk be az eljárást, melyeket gyakorlásra szát hasoló típusú feladatok követek. Ezekek csak az eredméye található meg eze segédayagba, a megoldásokhoz jó mukát kíváuk. A sorozat defiíciója: A természetes számok halmazá értelmezett valós függvéyeket, azaz az f : N R függvéyeket valós számsorozatak evezzük. Az f helyett legtöbbször f a -et íruk, amelyet a sorozat általáos tagjáak -edik tagjáak evezük, és a sorozatot az a, N módo jelöljük. Ahogya a természetes számok defiíciója em egységes a klöböző szakirodalmakba, és ezáltal a 0-ak a természetes számok halmazához tartozása megegyezése alapul, úgy a sorzatok értelmezési tartomáya is eltérő lehet a külöböző szakirodalmakba. Mi a 0-t természetes számak tekitjük, és jelezzük ha más taggal kezdődik a sorozat. A továbbiakba találkozi foguk 0-dik taggal iduló sorozattal Pl., N ; de a pozitív egészeke értelmezett sorozattal is Pl. a, N, itt az első taggal idul a sorozat. De például az a 5, 5 sorozat az ötödik taggal kezdődik. Korlátosság: Azt modjuk, hogy az a, N sorozat felülről korlátos, ha létezik olya K R szám, hogy a K bármely N eseté teljesül. Ha va olya k R szám úgy, hogy a k bármely N eseté teljesül, akkor a sorozatot alulról korlátosak modjuk. A sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. Egy felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határáak vagy szuprémumáak evezzük, míg egy alulról korlátos sorozat legagyobb alsó korlátját a

2 sorozat alsó határáak vagy ifimumáak hívjuk. Ha egy sorozat felülről em korlátos, akkor azt modjuk, hogy felső határa +, alulról em korlátos soroztat eseté az alsó határ. Akkor modjuk, hogy a sorozatak va legkisebb eleme más szóval: miimuma, ha va olya α a k eleme a sorozatak, hogy α a bármely N eseté teljesül, illetve va legagyobb eleme más szóval: maximuma, ha va olya β a k eleme a sorozatak, hogy a β bármely N eseté teljesül. Ha egy sorozatak va maximuma, akkor ez egybe szuprémuma is, továbbá a miimumérték egybe imfimum is. Nem midig va maximuma, ill. miimuma egy sorozatak, de midig redelkezik szuprémummal és imfimummal. Mootoitás: Az a, N sorozat mooto övekvő, ha a a + N teljesül a + a 0 mide N esté. Az a, N sorozat mooto csökkeő vagy fogyó, ha a a + N a + a 0 mide N esté. Tehát a mootoitás vizsgálata az a + a előjelvizsgálatával zajlik. Ha az a + a 0 mide -re, akkor a sorozat mooto övekvő, a + a 0 N eseté pedig mooto csökkeő a vizsgált sorozat. A pozitív tagú sorozatok a > 0 N eseté a mootoitásvizsgálatot végezhetjük a az a + tört -hez való viszoyításával is. Ha a a + bármely N eseté teljesül, akkor mooto övekvő sorozatról va szó, ha pedig bármely N eseté a a + teljesül, akkor mooto csökkeő sorozatról beszélük. Mooto övekvő sorozat esté a sorozat első tagja, a alsó korlátja a sorozatak. Ekkor a mi a if a. Mooto csökkeő sorozat esté pedig a max a sup a. Részsorozat: Ha k : N N szigorúa mooto övekvő sorozat, akkor az a k, N sorozat az a, N sorozat egy részsorozata. Határozzuk meg az alábbi sorozatok alsó és felső határát, valamit a legkisebb és legagyobb elemét a miimumát és maximumát ameyibe felveszi azokat! a a, N b b 4, N c c 4, N d d + 4, N e e, N f f cos π 4, N g g, N h,, 4, 4,...,, i, N j, N,... Megoldások: a Észrevesszük, hogy a. Mivel N, és

3 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal egyszerű számolással látható, hogy bármely -él agyobb szám em alsó korlát, ezért if a. Mivel az -et fel is veszi a sorozat, mi a. Továbbá a sorozatak N N felső korlátja a és bármely -él kisebb szám em felső korlátja a sorozatak, ezért a. De mivel ezt az értéket em veszi fel a sorozat, ezért a sorozatak ics sup N maximuma, tehát max a em létezik. N e e 0 0, e, e 0, e, e a sorozat elemei váltakozva a 0 és az értékek leszek, ezért alsó határa 0 és mivel ezt az értéket a sorozat fel is veszi, a legkisebb eleme is 0, felső határa és legagyobb eleme. Tehát sup N míg if N e mi N e 0. e max N e, f Kiszámítjuk a sorozat éháy tagját: f,, 0,,,, 0,,,... Mivel a cos függvéy periódikus, s periódusa π, ezért a sorozat első 8 eleme periódikusa ismétlődik, és látjuk, hogy f N. Eél jobb alsó és felső korlátot em adhatuk, hisze ezeket az értékeket fel is veszi a sorozat. Ezért if f, N f. Mivel eze értékeket a sorozat felveszi, va legkisebb és legagyobb eleme is sup N a sorozatak: mi N f és max N f. g g 0 0, g, g, g, g 4 4, g 5 5, g 6 6,... látjuk, hogy a sorozat páratla tagjaiból álló részsorozat az -től a 0-hoz közeledik g + N, + míg a páros sorszámú tagok alkotta részsorozat g N felülről em korlátos, ezért a sorozat felső határa: sup g +, s ics legagyobb eleme. Alsó határa: N if g 0, hisze 0 < és 0 < N továbbá bármely pozitív szám em alsó N + korlát. Ám g 0 0 miatt va legkisebb eleme, mi g 0. N h Itt újra két részsorozatról érdemes beszéli: míg a páratla tagok mooto övekvőe az -hez közelíteek, addig a párosak mooto csökkeőe a 0-hoz h, h N Ezért if h + 0, sup h, a sorozatak legkisebb és legagyobb N N eleme icse, mert a 0-t, illetve az -et em veszik fel a sorozat elemei. Vizsgáljuk az alábbi sorozatok korlátosságát és mootoitását; határozzuk meg alsó és felső korlátait- ameyibe létezek ezek! a a, N b b +, N c c 8 4, N d d + 4, N e e +, N f f + +, N

4 4 g g!, N h h + +, N i i, N j j, N k k + k + + k N, k 0 < k Megoldások: a a + a + + > 0 N, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A 0 < N egyelőtleség miatt a sorozat alulról és felülről is korlátos, alsó korlátak megfelel az a 0, de bármely eél kisebb szám is, felső korlát pl. az, hisze < mivel az < igaz mide -re. + e Mivel e + e < 0 N, szigorúa mooto csökkeő sorozatot kaptuk, melyek felső korlátja az első tagja, e, alsó korlátja is va: pl. a 0, hisze ha a számláló is, a evező is pozitív, akkor az e > 0. A sorozat tehát korlátos. + f A sorozat szigorúa mooto övekvő, alsó korlátja: f 0, felső korlát pl., mert ha vizsgáljuk az f + < egyelőtleség igaz voltát, látjuk, hogy a + + < + igaz, emiatt feltevésük valóba teljesül. Tehát korlátos sorozatról beszélük. g g + g + +! 0 N, de pozitív, ha 0! +! ezért mooto csökeő az első tagtól kezdve, de a ulladik tag miatt ezt a sorozatról áltálaba em állíthatjuk. Felső korlátja a sorozat első eleme: d, alsó korlát a 0, hisze mid a, mid az! pozitív. Így újra korlátos sorozatot kaptuk. h h + h A szorzat második tagja mide N-re pozitív, míg az első váltakozva pozitív illetve egatív, ezért a sorozat em mooto. A alsó korlátja, a, 5 felső korlátja sorozatukak. Ez a sorozat tehát korlátos, de em mooto. A páratla tagokból álló részsorozat mooto övekvőe tart a 0-hoz, mivel h + + N, a párosak által alkotott részsorozat pedig a h + N, mely a -höz mooto csökkeőe tart. i i + i > 0 N, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. Alsó korlátja pl. a 0, mivel N eseté >, így i > 0, ám felülről em korlátos, ezért a sorozat em korlátos. Idirekt úto

5 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 lássuk be, hogy felülről em korlátos: tegyük fel, hogy a K valós szám felső korlátja a sorozatak: < K N. Ekkor K < 0 mide N -ra. Az K < 0, -be másodfokú egyelőtleség megoldásai a pozitív természetes számok N halmazá a K K +4, K+ K +4 itervallumba eső természetes számok. A feti megoldáshalmaz em egyezik meg a pozitív természetes számok N halmazával. Ez azt jeleti, hogy em létezik olya K valós szám, amelyre a K mide N -ra teljesüle. Tehát egy mooto övekvő, felülről em korlátos sorozatot kaptuk. j A sorozat em mooto, de korlátos. Az alábbi sorozatok közül melyek az, N sorozat részsorozatai? a,,, 4,... b, 4, 6,... c,, 4,, 6, 5,... d,,,,,, 4, 5, 4, 5,... 4 Adjuk meg az alábbi sorozatok egy mooto részsorozatát: a, N b, N c 5+4, N Kovergecia: Az a, N sorozatot kovergesek evezzük, ha va olya α R szám, hogy ε > 0 eseté N N ú. küszöbidex, hogy a α < ε teljesül N eseté. Belátható, hogy α egyértelmű. Jelölés: a α. A sorozatot divergesek evezzük, ha em koverges. Azt modjuk, hogy a sorozat tart a + -be, ha M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N eseté a M teljesül. Jelölés: a +. Azt modjuk, hogy a sorozat -hez tart, ha M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N eseté a M teljesül. Jelölés: a. A kovergecia szükséges feltétele: Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. De em mide korlátos sorozat koverges pl. a, N, ezért a korlátosság a kovergecia szükséges, de em elégséges feltétele. Koverges sorozat bármely részsorozata is koverges és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyelő. Tehát ha valamely sorozat redelkezik két olya részsorozattal, melyek határértéke külöbözik, akkor a sorozat diverges. Mooto sorozatok kovergeciatétele: Ha az a, N sorozat mooto és korlátos, akkor koverges.

6 6 Egy a, N sorozatot Cauchy-sorozatak evezük, ha ε > 0 eseté N N, hogy, m N eseté a a m < ε teljesül. Cauchy-kritérium: Egy valós számsorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. 5 A határérték ε-os értelmezését felhaszálva bizoyítsuk be, hogy a + b + c d e f g h i + + és mide esetbe az ε 0, 0-re adjuk meg a megfelelő küszöbszámot. Megoldás: a Legye ε > 0 tetszőleges. A defiíció alapjá be kell látuk, hogy létezik olya N természetes szám küszöbidex, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a < ε. Keressük tehát egy olya küszöbidexet, melyél agyobb idexű tagokra feáll, hogy: + < ε. Az N küszöbidex keresése a gyakorlatba úgy törtéik, hogy a feti egyelőtleséget megoldjuk -re ézve. A feti egyelőtleség ekvivales a következőkkel: < ε > ε, tehát létezik olya N N küszöbidex N. [ ε ] +, hogy a sorozat N-edik tagjától kezdve mide tagja ε-ál kisebb távolságra va a -tól. Pl. ε 0, 0-re N 0, azaz a sorozat tagjai a 0-ik tagtól kezdve a -ak 0, 0 sugarú köryezetébe vaak. b Legye ε > 0 tetszőleges. A defiíció alapjá keresedő egy olya N természetes szám, az ú. küszöbidex, hogy bármely N-re a < ε, azaz bármely N-re + < ε.

7 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 A feti egyelőtleséget a következő ekvivales formákba írjuk át: + < ε + < ε 9 + > ε ε >. 9 [ ] ε Tehát ha N 9 +, és N, akkor teljesül, hogy a < ε, így létezik olya N küszöbidex, hogy a sorozat N-edik tagjától kezdve mide tagja ε-ál kisebb távolságra va a -tól. Ezért a sorozat koverges és tart a -hoz. Pl. ε 0, 0-re N, azaz a sorozat tagjai a. tagtól kezdve legfeljebb 0, 0 távolságra lehetek a -tól. c N ε + 6 +, d N [ ] [ ] 9 4ε +, e N ε +, ami az ε 0, 0-re [ ] N 0, h N +. ε f Azt a téyt, hogy a sorozat -hez tart, a defiíció alapjá látjuk be: igazoljuk, hogy M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a < M. Legye M R tetszőleges. Itt M tetszőlegese kicsi egatív szám lehet, pl < M + A feti egyelőtleség ekvivales az alábbiakkal: M + M < 0 + M + M < 0. A M + M 0 egyelet gyökei, M± M +8 M 4. Mivel a másodfokú kifejezés előjele gyökökö kívül megegyezik az -es tag előjelével, ezért M + M < 0, ha, ] [, +. Figyelembe véve, hogy N, ezért > M M + 8 M M < 0 eseté, tehát 4 [ M M ] + 8 M N +. 4

8 8 Például M 00 választással kapjuk, hogy az N 5. tagtól kezdve a sorozat értékei 00-ál kisebbek. g Azt, hogy a sorozat + -hez tart, a defiíció alapjá úgy látjuk be, hogy megmutatjuk, hogy M R-hez létezik N N úgy, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a > M. A c potba látottakhoz hasoló godolatmeettel kapjuk, hogy [ N M+ M 4 ] +. 6 Igazoljuk, hogy az alábbi sorozatok divergesek: a +, N b, N c , N Útmutatás: Az a és b ptokba a páros és páratla tagokból álló részsorozatok a, N és a +, N határértéke külöbözik, tehát a sorozatok divergesek. c Az a a > miatt em teljesül a Cauchy-kritérium, tehát a sorozat diverges. 7 Alkalmazva a mooto sorozatok kovergeciatételét igazoljuk, hogy a következő sorozatok kovergesek: a!, N b , N c , N d d +, N e e 8 4, N f f + 4, N. Megoldás: a Itt felhaszáljuk azt a tételt, amely szerit ha egy valós számsorozat mooto és korlátos, akkor koverges. a + a + +!! +!, ami egatív, ha >, tehát a sorozat a. tagtól kezdve szigorúa mooto csökkeő. A kovergecia szempotjábol viszot véges sok tag viselkedése em számottevő. Mivel > 0 és! > 0, ezért! > 0, a ulla alsó korlátja lesz a sorozatak. A tárgyalt sorozat a harmadik tagtól kezdve mooto csökkeő és alulról korlátos, következésképpe koverges. Megjegyezzük, hogy egy mooto csökkeő sorozat felülről midig korlátos, hisze a ulladik vagy az első tagjáál mide tagja kisebb vagy egyelő értékekkel redelkezik. b b , ez a sorozat szigorúa mooto övekvő, mivel b + b > 0. Felülről korlátos is, mivel

9 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal <. Így a sorozat mooto övekvő és felülről korlátos, tehát koverges. c Hasolóa kapjuk, hogy c + c + > 0 N, ezért a vizsgált sorozat + + <, szigorúa mooto övekvő és 0 < < + + becslés miatt felülről korlátos, tehát koverges. A d és f-beli sorozat mooto csökkeő, az e-be szereplő pedig mooto övekvő, s midegyik korlátos, következésképpe koverges. 8 Igazoljuk, hogy a következő sorozatok mootook és korlátosak, majd számítsuk ki a határértéküket! a a b a q q 0, c a! d a, a,, p R rögzített ap e a! f a α, α >, α R.! Alaphatárértékek: a c c; b c q k 0, 0, ha < q <, ha q +, ha q >, illetve ha q akkor d ha e k + k > 0; + e; a, akkor ; f g a! k 0 a R; q em létezik; e ; + 0 k R, a > ; a k h 0 k R;!! i 0. a a e; a a > 0, > 0; a a e ;

10 0.Tétel: 0 Ha a +, akkor a 0..Tétel: Sorozatok határértékére voatkozó műveleti szabályok / Határátmeeti szabályok Legyeek a, N és b, N koverges sorozatok és λ R. Ekkor az a + b, N, λa, N, a b, N sorozatok is, és a b 0 N és b 0 eseté az a b, N sorozat is koverges és a + b a + b ; λa λ a ; a b a b ; a a. b b Érvéyes a feti tétel akkor is, ha a és/vagy b, ameyibe a művelet értelmezett. Értelmezettek a következő műveletek: + + ; ; + + a + ; + a ; a R { +, ha α > 0 α+, ha α < 0, {, ha α > 0 α +, ha α < 0, + ; + ;. Nem értelmezettek a,, 0, 0 0, 0, és az 0 0 műveletek, eze határozatlasági estekbe megfelelő átalakításokat végzük, amelyekkel visszavezetjük a határérték kiszámítását úgyevezett értelmezett műveletekre. Ezeket a módszereket a következő feladatcsoportokál részletese bemutatjuk. Következméy: Legyeek a, N és b, N koverges sorozatok, a A, b B, és k R +, α R, β R +, c R + \ {}. Ekkor az a α, N, β a, N, k a, N, a b, N és az log c a, N sorozatok is kovergesek és aα A α ; βa β A ; k a k A; ab A B ; log c a log c A.

11 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: a, N b, N c, N d + 5, N + e +, N f 4 7 +, N. Megoldás: Az a, b és c potokba felhaszáljuk, hogy egy végtelebe divergáló sorozat tagjaiak reciprokából képzett sorozat ullához kovergál.tétel, a d, e és f potokba pedig a sorozatok határértékére voatkozó műveleti szabályok, az úgyevezett határatmeeti szabályok alkalmazásával.tétel: d 0; e ; f Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: a + + b + c + d + 4 e Megoldások: a végeztük el , itt a műveletet b +, itt a műveletet végeztük el. c A határozatlaság miatt alkalmas átalakításokkal a sorozatok határértékeire voatkozó értelmes műveletekre vezetjük vissza. Ez esetbe ki kell emelük a legmagasabb fokszámú tagot, és így a következőt kapjuk: d, e.

12 Elvégezve a megfelelő átalakításokat, számítsuk ki az alábbi határértékeket: + a + j a , N b k c l d m e f g 4 + o p h q i a, N + Megoldások: a Mid a számlálóba, mid a evezőbe levő kifejezés a + -be tart, ami az ú. határozatlasági esetet eredméyezi. Ez esetbe az általáos eljárás, amellyel a sorozatok határértékére voatkozó ú. értelmes műveletekre jutuk az, hogy mid a számlálóból, mid pedig a evezőből kiemeljük az evezőbe található legagyobb hatváyát, hogy egyszerűsítéssel eltütessük a határozatlaságot, s így + a következőt kapjuk: + +. b Hasolóa, a számlálóba és evezőbe is -et kiemelve majd egyszerűsítve kapjuk, hogy. + + c d ; e 5 ; f 0; g + ; h. + i + j Hasolóa, + k

13 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal l m , ahol felhaszál- tuk, hogy k kk+ k k +k o ; p ; q. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a + 0, 05, N b 5, N c +, N d e 7 f + 5 g h a , N i a , N j a , N k a , N l a , N m a α + β α +, α > 0, β > 0, N + β+ Megoldások: a Mivel az és a 0, 05 számok abszolút értéke -él kisebb, ezért -edik +0, hatváyuk a 0-hoz tart, s így +0, b A < miatt c 0 0. d , s így 5 5. e Most a határozatlaságot úgy szütetjük meg, hogy kiemeljük a legagyobb alapú tagot: f +, g h A határozatlaságot látva mid a számlálóba, mid a evezőbe ki kell emelük a evező legagyobb alapú tagját, hogy egyszerűsítéssel eltütessük a

14 4 határozatlaságot: teljesül , hisze 7 < és 7 < 7 i A számlálót is, evezőt is 5 -el osztva, a következőt kapjuk: j k l 4 m α + β α + + β + α + β α α β + β α α+β β α α +β β, ha α < β α β + α β α, ha β < α +β. α+β, ha α β. Számítsuk ki! a b 5 c d e f g 5 h i Eredméyek: a +, b, c 0, d 5, e 5, f 0, g, h +, i +. 4 Számítsuk ki a következő határértékeket, ha a, b > 0 valós számok: a a a + b c a a a + a a + b a + + b + a + d e a f a b.

15 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 Megoldások: c a +b a + +b + a a a + a + a, ha a >, ha a, ha a <. a + a a b + a b + a, ha a > b a d a b a b + b a b + + b + 0, ha b a. +, ha a > 5, ha a 5 0, ha a < 5. 5 A sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályokat alkalmazva számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a +, N b +, N 4 + c, N 5 + d 7, e a + +, N f a lg 0 +, N + g a 8 +, N π h a, N + i a 5, N j a 7, N Megoldások: a + 8. b Godoljuk a határérték és a műveletek kapcsolatára: c 5 d e Mivel a határérték létezik és véges, ezért + +

16 6 0 f Mivel a + 0 lg 0. lg + g ; h π ; i 5 j határérték létezik és véges, ezért lg Határozzuk meg a R értékét úgy, hogy a a a legye; a b + legye. a Megoldások: a a a egyelet megoldása: a. a b + keressük: a ±. a 7 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! q a a a a. Az a a, így a a egyelet megoldását a a +, N b a + +, c a +, N d a + +, N e a +, N f a g a +, 8, N Megoldás: a A típusú határozatlaság azo esetébe, amikor a b határértékét keressük, a a + b-vel, az ú. kojugálttal való bővítéssel vezetjük vissza értelmezett műveletekre. Így tehát a a b a + b a b azoosság miatt a számlálóba eltűik a gyökös kifejezés, a evezőbe keletkező a + b már + + határértékű lesz

17 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 b Hasolóa, a kojugálttal való bővítéssel: c d e Alkalmazzuk, hogy a b a ba + ab + b, vagyis a b a b a + ab + b, így a a + ab + b -val bővítve a számlálóból eltűik a gyökös kifejezés: f g Alkalmazzuk, hogy a b a ba + ab + b, így a következő határértékhez 8 jutuk: + +.

18 8 8 Számítsuk ki az alábbi határértékeket! a + + b 9 c d + e + 5 f + g + h 4 + i + j k + + Megoldások: a + + b 9 9 c A d és e potokba hasolóa kapjuk, hogy + + és f g h i + j k

19 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 9 Számítsuk ki: + a b c + d e f g h i + + j + k + l m + + k + 5, k N. Eredméyek: a ; b ; c ; d 0; e 5 4 ; f + ; g + ; h -; 0 Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok a a, N b a +, N c a + +, N d a 5 + 4, N + e a f a 5 + +, N 5, N g a 0,, N h a , N i a + 5, N j a , N k a +, N l a , N m a , N a +, N o a + 7, N p a +, N q a +, N r a lg , N s a, N +

20 0 Eredméyek: a b 0 c d e 8 f + g + h + i 0 j + k 0 l m 5 + o p q + r lg s. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok a + i 4 b 4 [0, ] + j + c + 4 k 7 d + l e + m + f g o p + h 5 + Eredméyek: a 0, b 4, c 4, d +, e +, f +, g, h, i +, j, k 0, l +, m 0, +, o, p 0. Számítsuk ki: a + b c +, ha a a ; b ; és c vagy b a ; b ; és c vagy c a ; b ; és c vagy d a ; b ; és c Számítsuk ki: a a + b +, ha a R, b > 0; b + a + +, ahol a > 0; c a + +, ahol a > 0; d a +, ahol a > 0; e a + b + c, ahol a > 0; f + + a, ahol a R; g + + a, ahol a R; h + a, ahol a R; i + a, ahol a R.

21 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 4 Számítsuk ki: + 5 a + 8 b + a + a + + a + b + b ha a, b 0,,. + + b 5 Határozzuk meg az a, b,és c valós számok értékét úgy, hogy a + + b + c legye. Eredméy: a, b 0, c. 6 Határozzuk meg a, b R értékeit úgy, hogy feálljo a következő egyelőség: a a b 0; b a b c a b 9. 7 Ha a 0, a, a,..., a k valós számok és a 0 + a + a + + a k 0, akkor számítsuk ki a következő határértéket rögzített k R eseté: a 0 + a + + a a k + k. 4.Tétel Redőr-szabály / Közrefogási elv / fogó tétel: Legyeek a, N, b, N és c, N valós számsorozatok, melyekre a b c teljesül N eseté. Ha a, N és c, N koverges és határértékük azoos, akkor b, N is koverges és b a c. A redőr-elv akkor is igaz, ha a a b c egyelőtleség csak véges sok -re em teljesül.

22 8 Számítsuk ki az alábbi általáos taggal redelkező sorozatok határértékét! a a 45, N b a 5, N c d e + f g + h i + + j si π. Megoldások és útmutatások: Az a és b potokba haszálva az a > 0, > 0 alaphatárértéket, kapjuk, hogy a keresett határérték. c. a d A sorozatelemeket alulról és felülről olya sorozatokkal becsüljük, melyek határértéke megegyezik: < < 5 + < 5 + 6, így a redőrtétel értelmébe a vizsgált sorozat határértéke is. Hasolóa a e és f esetbe lesz az eredméy. g < + < +, így a redőr tétel miatt +. h Hasolóa, 7 7 < < , így a redőr tétel miatt i Itt az első tag az -hez tart, a második is, melyet vagy azzal a meggodolással kapuk, hogy a b A B 0 a A, b B, vagy pedig a redőr-tétellel: a + becslésből kapjuk, hogy +. Így a keresett határérték: + +. j Felhaszálva, hogy a si függvéy értékkészlete a [, ] itervallum, kapjuk az alkalmas becslést: si π. Mivel ullsorozattal majoráltuk és mioráltuk a sorozatot, ezért a redőr szabály értelmébe a vizsgált sorozat is ullsorozat: si π 0.

23 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 A redőr-elv alkalmazásával határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: a a +, N b a + 5, N c a +, N d a N + e a N 9 + f a N Útmutatások és eredméyek: a ; b ; c ; d + + k + + a k {,,,..., }, ezért b + c. Mid a b, N sorozat, mid pedig a c, N a 0-hoz tart, így a redőr-elv alapjá az a, N is. e b k a k {,,,..., }, ezért 9 + c N. Mid a b, N, mid pedig a c, N az -hoz tart, így a redőr-elv alapjá az a, N is. f Hasolóa kapjuk, hogy a határérték +. 0 A redőr-elv alkalmazásával határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: a a N b a c a e a + p p + + p p p p + d a cos π + cos π cos π + f a N + g a p, N

24 4 Számítsuk ki az alábbi határértékeket: + a b + c + d e f g h i 5 + j + + k l + l + m o Megoldások: Ha az alap az -hez tart, a kitevő pedig a + -hez, akkor az ú. típusú határozatlasági esettel va dolguk. Ilyekor midig a következő alaphatárértékek valamelyikét haszáljuk: + e ; e, vagy ezek általáosításait: a a + eseté + a a e; s a a e. a + + e. b [ ] e e vagy a sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályok között szereplő ab a b alapjá eljárva: + + [ + ] e. c + + [ ] + e e. d e e 4 vagy + +5 e 4 e [ ] +5

25 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 e e 0 f e g e h e 7 i e 6 5 j [ k l + l e vagy ] + e. és l felcserélhető, tehát a határérték l le. [ l + + ] e 0.. Felhaszálva az l függvéy folytoosságát, a [ + ] l + m + [ + ] +. Az és o potokat a redőr-tétellel oldjuk meg: 0, 9 + 0, hisze az alap egy adott idextől a 0.-tól kezdve kisebb mit 0, 95; így -él kisebb abszolút értékű alapú hatváyokból álló sorozatról va szó, ezért a határéréke kisebb mit 0, ám agyobb is mit 0, hisze a sorozat tagjai pozitívak. 0 < < 0, 9 + 0, 95 0 o Hasoló godolatmeettel:. + >, + Így. + +.

26 6 Számítsuk ki! a b c + d + e + f g + h i j + [ k ] l Eredméyek: a e 7, b e, c e + +, d e, e e 0, f e, g e, h e, i e 5, j +, k e e e 5, l e 5. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: a b + c 4 d e f g Megoldások: a 0 0.

27 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 b A határérték és a műveletek kapcsolata miatt: c d 0, mert az alap egy 4 4-hez tartó sorozat, ezért a redőr-elv segítségével látható, hogy kisebb és agyobb, mit egy -él kisebb alapú, tehát 0-hoz tartó sorozat. 0 < + < 4 A feti megoldás helyett követhetjük az alábbi módszert: a számlálóból -et, a evezőből pedig 4-et kiemelve, e [ ] e 4 4 e + +. f Mivel az alap egy 0-hoz, a kitevő pedig -höz tartó sorozat, ezért +4 g Számítsuk ki az alábbi határértékeket: + 5 a b c + d + e f g + +4

28 8 Eredméyek: a 0, b 4, c 0, d + 0, e , f + + +, g 4 5 Állapítsuk meg az alábbi sorozat határértékét! + 7 a b. [ + 7 Megoldások: a 7 0 e 7 e 0. ] + [ ] b Adjuk meg az alábbi sorozatok határértékét! + a +! b 5 +.! Megoldások: a + +!! b 5 +! Számítsuk ki a 00 határértéket! Megoldás: Mivel a 00 sorozat a 5. tagtól kezdve mide tagja agyobb, mit, így összehasolítással adódik az eredméy: a 00 > b. A b sorozattal mioráltuk az a sorozatot: a > b 5, tehát 00.

29 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 8 Határozzuk meg a határértékekét az alábbi sorozatokak: + a +, N 4 + b + + +, N c, N d , N e 4..., N f + Eredméyek, útmutatások: a 0; b 0; c ; d ; e + ; f Vegyük észre, hogy 0 típusú határozatlaságot kell megoldauk alkalmas [ ] átalakítással: Rekurziós sorozatok: Egy x, N sorozatot k-ad redű rekurziós sorozatak evezük, ha a sorozat -edik tagja az őt megelőző k tag segítségével va megadva: { a0, a,..., a k adott és k-ra a tagokat az a fa, a,..., a k alapjá képezzük. A rekurziót lieárisak evezzük, ha f egy lieáris függvéy. Egy lieáris rekurziót álladó együtthatósak evezük, ha fa, a,..., a k -be az a, a,..., a k együtthatói em függek -től. Akkor hívjuk homogéek, ha ics kostas tag, ellekező esetbe ihomogéek evezzük. Álladó együtthatós elsőredű lieáris rekurzióa 0 adott, a a a +b a 0, a, b R, eseté az a a a + b a a a + b.. a a a 0 + b egyeletekbe egyelő együtthatókat alakítuk ki, majd összeadjuk őket. Az a eseté az + q + q q q+ q felhaszálásával adódik az eredméy.

30 0 Például az a a +,, a 0 sorozat eseté a a + a a + / a a + /.. a a 0 + / a a + a a + a a +.. a a 0 + Majd az egyeleteket összeadva kapjuk a kívát eredméyt: a a N. Másodredű homogé lieáris rekurzió a a a + b a a 0, a, b R,, a 0, a adott eseté megoldjuk az úgyevezett karakterisztikus egyeletet: x ax b 0. Két külöböző x, x valós gyök eseté a sorozat általáos tagját az a α x +β x alakba keressük. Az α, β együtthatókat az adott elemekből számítjuk ki: { a0 α x 0 + β x 0 a α x + β x. Az x x R eseté a sorozat általáos tagját az a α x + β x alakba keressük. Az α, β együtthatókat az a 0, a elemekből számítjuk ki. Komplex gyökök eseté a α x + β x. Esetleg trigoometrikus alakba írhatjuk a gyököket: x, rcos ϕ ± i si ϕ. A sorozat általáos tagját az a r α cos ϕ + β si ϕ alakba keresve az α, β együtthatókat az a 0, a elemekből számíthatjuk ki. Példák: Az a 0 0, a, a a + 6a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x x 6 0, melyek gyökei és -. Az általáos tag a α + β alakú lesz. { 0 α + β α β, melyre α 5, β 5 adódik. A keresett sorozat tehát: a 5, N. Az a 0, a, a 4a 4a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x 4x + 4 0, melyek egyetle gyöke a. Az általáos tag a α + β alakú lesz. { β α + β,

31 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal melyre α, β adódik. A keresett sorozat tehát: a +, N. Az a 0, a, a a a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x x + 0, melyek komplex gyökei vaak: x, ± i. Az általáos tag a α + i + β i alakú lesz. { α + β α + i + β i, melyre α i, β + i adódik. A keresett sorozat tehát: a i + i + + i i, N. Másodredű emhomogé lieáris rekurzió eseté a d a a külöbségsorozat midig homogé másodredű rekurzió lesz. A d, N explicit alakja az előző módszerrel határozható meg, ebből összegzéssel kapjuk meg a sorozat általáos tagját. Például az a 0 0, a, a a + 6a + alapjá értelmezett sorozat eseté a d a a külöbségsorozat karakterisztikus egyelete: x x 6 0, melyek gyökei és -. Az általáos tag d α + β alakú lesz. { 0 α + β α β, melyre α 5, β 5 adódik, majd: d 5, N. Az a a 0 d a a d. a a d egyeleteket összeadva: a a 0 d i, így az eredméy is adódik: a 0 i 5 [ ] N. A feti módszerek gyakra működek emálladó együttható eseté is. Azoba a femaradó esetekbe alkalmazhatjuk a következő godolatmeteket is: Ameyibe csak a határértéket keressük és em az általáos tag explicit alakját, úgy célravezető lehet beláti a sorozatról, hogy koverges. Ezt tehetjük aak belátásával, hogy mooto és korlátos. Ez általába teljes idukcióval törtéik. Ezutá a x α jelöléssel a.tétel és következméye alapjá egy egyeletet kapuk α-ra, melyek a megoldásait meg kell vizsgáljuk, hogy valóba a keresett sorozat határértékeie. Felírva az első éháy tagot megsejtjük a sorozat -edik tagjáak explicit alakját. Eek belátására a teljes idukció módszerét alkalmazzuk. Magasabbredű lieáris rekurzió eseté magasabbredű karakterisztikus egyeletet íruk fel.

32 Nemlieáris rekurziót visszavezethetük lieáris rekurzóra, ha a b l a sorozatot vizsgáljuk. Példák: A a + a, a sorozatról belátjuk, hogy koverges. Teljes idukcióval azoal látható, hogy a > 0 N. A feti rekurzió tehát ekvivales az a + a alakúval. Ugyacsak teljes idukcióval belátjuk, hogy a < a + N. Az -re < + következik abból, hogy a < + a és a > 0 mide N-re teljesül. Tegyük fel, hogy -re teljesül az egyelőtleség, lássuk be + -re. Bizoyítadó, hogy a + < a +. Igaz, hogy a + < a + +, így a + a + < a+ + a +, tehát a teljes idukcióval beláttuk, hogy a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat korlátossága következik a 0 < a a + a a < a + becslésből. A sorozat mooto övekvő és korlátos, tehát koverges, alkalmazzuk a a α jelölést, így az összeg és szorzat folytoossága alapjá a α, + a + α, így a sorozat határértéke csak az α + α egyelet gyökei közül kerülhet ki. A gyökök α, ± 5 közül a egatív gyök em jö tekitetbe, hisze a sorozat tagjai pozitívak. Így a + 5. Az a a 6 a a,, a 0 a sorozat eseté bevezetve a b l a sorozatot, a 6b 7b + b 0 rekurzióval már jobba boldoguluk, s kapjuk, hogy b l [ ] N, s így a e b N. 9 Határozzuk meg az alábbi sorozat explicit alakját! a a a +, a ; b a a +, a ; c a a +, a 0 ; d a a +!, a 0 ; e a + a + + a + a 0, a 0 0, a, a ; Eredméyek: a a N. b a +++ N c a N. d a + +! N. e Az x x x + 0 egyelet gyökei:,,-. a, N

33 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 40 Igazoljuk, hogy a következő sorozatok kovergesek: a x x +,, x b y y +,, y 0 0 c z z +,, z d t α + t,, t 0 0 e u u + α,, u 0 u, f,,... g α, α + α, α + α + α,... h v v + v, v 0, v Fiboacci-sorozat. 4 Koverges-e az alábbi sorozat? a a + a + 0 0, a 0; 9 b b + b + 0 0, b 5; 9 Eredméy: Az a potbeli sorozat koverges, míg a b potbeli diverges. Változó tagszámú sorozatok: Ha az általáos tag összeg segítségével va megadva, akkor megpróbáljuk az összeget kiszámítai, ú. zárt alakra hozi. Ha ez em sikerl, akkor becsléssel a redőr tétel alkalmazásával oldjuk meg a feladatot. A leggyakrabba a következő összegképleteket haszáljuk a zárt alakra hozáskor: ; ; ;

34 4 4 Számítsuk ki: a b c d e f g ; ; ; ;! +! + +! ; +! ; [ x + a + C + x + a + + x + ] a a, x R rögzített. 4 Számítsuk ki az a, sorozat határértékét, ha: a a ; b a kk + ; c a d a e a k k k k kk + ; k k + ; k + k k + ; f a g a h a i a j a k a k k +! ; k +! + k! ; k + k! + k +! + k +! ; kk + k + ; k + k kk ; k + k + + k. k k k k k k Útmutatás: Előbb hozzuk midig egyszerűbb alakra a sorozat -edik tagját, elvégezve az összegzéseket: Pl: d a k k k+ k+ k k k k+ k k k+ +.

35 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 k a k k + k + + k + + +, ahol az utóbbi két tagot a kojugáltjával beszorozva kapjuk, hogy a Tétel Cesaro-Stolz: Ha az x x, N és y y, N olya sorozatok, melyekre feáll, hogy y > 0 N, y, N egy em korlátos, mooto övekvő sorozat, továbbá létezik a l határérték, akkor létezik a x + x y + y x y x határérték is, és l. y 6.Tétel: Ha az x, N sorozat pozitív tagú, és és x l. x + x l, akkor x 44 A Cesaro-Stolz tétel segítségével számítsuk ki a következő határértékeket! a b c k + k + k + + k d k+ k N + e + + l Megoldások: a Mivel az y , N sorozat mooto x + x övekvőe tart a + -hez, ezért a Cesaro-Stolz-tételt alkalmazzuk: y + y + + x + x b y + y +, ezért , ezért +. x + x c y + y + + 0, ezért a 0. x + x d y + y P, P -be k -edfokú poliomok. + k + k+ k+ Így a k +. k + P k + k + P k +, ahol

36 6 x + x e y + y l e. Tehát a. 45 Számítsuk ki: + l + + l a b c d e l + l + + l l + l + + l l + + Eredméyek, útmutatások: a ; b + ; c ; d 0; e 0. x + x + a y + y + + A evezőbe levő határozatlaság miatt bővítsük a evező kojugáltjával. d a Lássuk be, hogy ha az x, N egy mooto sorozat, akkor a sorozat is mooto; b ha x l, akkor σ l. σ x + x + + x, N 47 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a a! b a + c a + d a cos cos... cos e a +

37 Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 Megoldások: a Az x! sorozatra alkalmazható a 6.Tétel: +, ezért! +. b Az x + sorozatra alkalmazható a 6.Tétel: sorozat határértéke tehát. c Az x + sorozattal határértéke tehát. d Az x cos cos... cos a sorozat határértéke tehát. e. x + x x + sorozattal x 48 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! x + x x + x + +, a , a sorozat cos + cos 0, a x b x! c x ! d x! e x!! f x + +!! g x + l a + a +... a + h x! i x k0 C k j x a + k a > 0. k a > 0 Eredméyek, útmutatások: a ; b ; c 4; d 4; e... A b és c potokba alkalmazása javasolt. Sorozatok alsó és felső határértéke: Legye H az a, N részsorozatai határértékeiek halmaza. A H legkisebb elemét a sorozat alsó határértékéek vagy es iferiorjáak evezzük, a legagyobb elemét pedig a sorozat felső határértékéek vagy es superiorjáak evezzük. Jelölés: if a, a, illetve sup a, a. Az a, N sorozatak akkor és csak akkor va határértéke, ha a H halmaz egyelemű: a l if a sup a l.

38 8 49 Adjuk meg az alábbi sorozatok alsó és felső határértékét! a x, N b y +, N

39 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 9. Feladatok valós számsorokkal Legye x, N egy valós számsorozat. Az x 0 + x + x +... k0 x k formális. összeget végtele sorak evezzük. Itt x a sor -edik tagja, S x0 +x +...+x N a sor -edik részletösszege. A k0 x k sort kovergesek evezzük, ha az S, N részletösszegsorozat koverges. A részletösszegsorozat határértékét, az α S számot a sor összegéek evezzük. Jele: k0 x k α Egy végtele sort divergesek evezük, ha em koverges. Tétel: A kovergecia szükséges feltétele Ha a k0 x k sor koverges, akkor x 0. A feti tétel em ad elégséges feltételt a sor kovergeciájára, pl. a k sor diverges, bár a 0 feltétel teljesül. Mégis, haszos a tétel a x 0 esetbe, ekkor ugyais a sor divergeciája következik. Tétel Cauchy-féle kovergeciakritérium sorokra: A k0 x k sor akkor és csak akkor koverges, ha ε eseté N N úgy, hogy m N idexre x m + x m x < ε teljesül. A geometriai sor összegképlete: { a q a + a q + a q a q q ha q a ha q aq k a ha q <. q k0 A részletösszegek sorozatáak vizsgálatával igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek és határozzuk meg az összegüket! a 00 0, 9 k k0 b k k k0 c k + 5 k k0 k d 7 k

40 40 Megoldás: a A geometriai sorok összegképlete alapjá 00 0, 9 k k0 00 0,9 000; továbbá k k0 k k k0 4 ; és k0 k + 5 k k + k k0 k A d potba meglátjuk, hogy a szummációs idex k -től megy, ezért hozzádva és k kivova az -et, a következőhöz jutuk: k k A részletösszegek sorozatáak vizsgálatával dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergeseke és határozzuk meg az összegeiket! Megoldás: e f g a b c k k kk + k + d h i j + A defiíció alapjá a a k sor akkor és csak akkor koverges, ha az k0 -edik részletösszegek S k0 a k a 0 + a + + a, 0 sorozata koverges. Ekkor defiíció szerit a k S. A feti sorok kovergeciáját tehát a defiíció k0 alapjá vizsgálva arra törekszük, hogy az S kifejezést a lehető legrövidebb, ú. zárt alakba írjuk, és ily módo számoljuk az S határértékét.

41 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 4 a Elemi törtek összegére botjuk a sor -edik tagját: ahoa S S + + +, + +. Ezért +, következésképe a sor koverges és összege. b Hasoló godolatmeettel: Így a +, ezért a sor koverges és összege. + c A k-adik tagot elemi törtek összegére botjuk:, ezért S kk + k + A k + B k + + C k + Ak + k + + Bk + k + Ck + k, kk + k + tehát A, B, C következik, s így kk + k + A részletösszegsorozat -edik tagja: S k + k + kk + k + k + k + 4. k k+ + k+., eképpe d A átalakítást elvégezve S Ebből a következő összegre jutuk: e, f 90, g 8, h, i s 8 Bizoyítsuk be, hogy divergesek! +, így + 8. a b c 0, d e + + f +

42 4 Útmutatás: Az a, b, d és f potokat a kovergecia szükséges feltételével, a c potot a Cauchy-féle kovergeciakritériummal S S >. Az e esetbe S +. d sszehasolító kritériummal Ha a sor -edik részletösszegsorozatát, S, N-et em tudjuk zárt alakra hozi, akkor a kovergeciáját a Leibiz-szabály, a gyökkritérium, a háyadoskritérium, vagy az összehasolítási majorálási kritérium valamelyikével tudjuk vizsgáli. Ilyekor általába em tudjuk megadi a sor összegét, de el tudjuk dötei, hogy koverges-e. Ha az x, N sorozat olya, hogy x 0 N, akkor a k0 x k sort pozitív tagú sorak evezzük. Tétel Összehasolító- kritérium a Tegyük fel, hogy 0 x y N. Ha 0 y koverges, akkor 0 x is koverges. b Tegyük fel, hogy 0 x y N. Ha 0 x diverges, akkor 0 y is diverges. Következméy: α { koverges, ha α > diverges, ha α α eseté: α < eseté az összehasolító kritérium alapjá: is diverges. α diverges, az előző feladat c pootjába vázoltak alapjá. α és diverges, tehát a α > eseté <, így α 0. Ezért α S + S + < α α < ε elegedőe agy -re. α + α + + α Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek az abszolút és melyek a feltételese koverges sorok! a b c log log + log 4... d e si α + si α 4 + si α f g

43 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 4 Eredméyek: a abszolút koverges: a <. e abszolút koverges: a g a + <. si α. 5 Az összehasolító kritérium alapjá dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergeseke: a b c d e f g h i j k e cos e log + + log Megoldások: a < és felhaszáljuk, hogy egy adott tagtól kezdve a második tagtól teljesül, hogy <, tehát <. Tehát a koverges sor majorálja a vizsgált sort, mely emiatt koverges kell legye. b Soruk miorása egy diverges sor, ezért diverges sort kaptuk: 0 + >, igy + sor koverges, így adódik a szóba forgó sor kover- c + 0 < es a geciája. d es a 0 + > sor diverges, így soruk is az. e koverges f + < miatt koverges a sor.

44 44 g A + sor diverges, ezt úgy látjuk be, hogy megadjuk egy diverges miorását. Aképpe becsüljuk a sor -edik tagját, hogy + + -el + + bővítjük a törtet: > + + > > A sor tehát egy + diverges miorása a vizsgált sorak, mely ezalapjá diverges kell legye. h A < <. A 0 sor koverges, így a kezdeti soruk is koverges. i 000 e cos 000 e A 000 e sor kovergeciáját beláthatjuk háyadoskritériummal: e e e e + < Így a majorás e sor kovergeciája biztosítja a vizsgált sor kovergeciáját. j a e l + e l +, ám + < e miatt l + < l e, igy a e l + < e A e sor kovergeciáját lássuk be a háyadoskritériummal: koverges. a + a + e + + e e e <. A szóba forgó sor tehát + k log + + log < + log log Folytassuk tovább a becslést: log, ezért egy bizoyos -től kezdve log <, tehát log <. A sor pedig koverges, mely majorálja sorukat. 6 Az összehasolítókritérium alapjá dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergesek-

45 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 45 e: + a + + b c d e Legye x, N egy emegatív tagú, mooto csökkeő sorozat. Ekkor a 0 x sort Leibiz-típusú sorak evezzük. Tétel: A 0 x Leibiz-típusú sor akkor és csak akkor koverges, ha x 0. 7 Dötse el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek! a b c d e f g Útmutatás: A Leibiz-kritériummal egyszerű számolás eredméyezi a válaszokat. A 0 x sort abszolút kovergesek evezzük, ha a 0 x sor koverges. A 0 x sort feltételese kovergesek evezzük, ha koverges, de em abszolút koverges. Cauchy-féle gyökkritérium: Legye 0 x egy sor. Ha sup x <, akkor 0 x abszolút koverges. Ha sup x >, akkor 0 x diverges.

46 46 D Alambert-féle háyadoskritérium: Legye 0 x egy sor, melyek egyik tagja sem ulla. x Ha sup + x <, akkor 0 x abszolút koverges. x Ha sup + x >, akkor 0 x diverges. 8 A gyökkritérium vagy a háyadoskritérium alapjá igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek: x a d g 0 + h + 0 +! i!! j log k + b c 0! 5 l m o e f 0 x!! ! Megoldások: a A gyökkritérium alapjá a <, miszerit a sor koverges. j A log log 0 <. k A l a sor koverges a gyökkritérium alapjá, mivel a a a + < miatt adódik a vizsgált sor kovergeciája m a + 7 <. <.

47 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 47 Alkalmazzuk a háyadoskritériumot: + o Hasolóa, a + a + <. A vizsgált sor tehát koverges. e a + a < Dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergesek-e!! + + +! a b c d e 000!!!.5!!! f g h cos x + i + j k si π + 4 si π si π +... l x + x + x + x x 5 7 m x + x + 5 x + + x + x4 + x9 + + x +...!... o p e +...!... x +... Eredméyek: a, b és c kovergesek; d diverges; e, f, g, h, i, j, k koverges, l x < eseté koverges, m x < eseté koverges, x eseté koverges, o koverges, háyadoskritériummal, p koverges, háyadoskritériummal. 0 Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek az abszolút és melyek a feltételese koverges sorok!

48 48 a b c log d α e + q + q + + q +... f + q + q + + q +... g h si x si x + si x i log log + + log +... Megoldások: c A log log log + log 4 4 váltakozó előjelű sor kovergeciájához elegedő megmutati, hogy a a +,,... és a 0, azaz hogy tagjaiak abszolut értékéből álló sorozat mooto csökkeőe tart a ullához. A log + log ekvivales azzal, hogy log + + log, ami a log függvéy + mooto övekvő volta miatt az + + egyelőtleséggel egyeértékű. Ez mide N számra igaz, hisze a + + > fordított egyelőtleségből +- edik hatváyra emeléssel elletmodáshoz jutuk. Tehát a, sorozat mooto log csökkeő, és log log 0. A sor tehát feltételese koverges, mivelhogy em abszolut koverges: N N, hogy a log > N d A sor α > eseté abszolut koverges, hisze ekkor a sor koverges. α Ha 0 < α, akkor a sor a váltakozó előjelű sorokra voatkozó kritérium Leibizkritérium alapjá koverges. A kovergecia itt feltételes, hisze a sor diverges erre az α α -ra. e Ha q <, akkor a sor abszolut koverges. f A háyadoskritérium alapjá a +q +q + +q +... sor abszolut koverges, hisze +q + q alkalmazhattuk a háyadoskritériumot. q <, ezért a sor tagjaiak abszolut értékeiből alkotott sorra g Mivel a sor koverges, ezért a si x h Láthatjuk, hogy, továbbá a így a vizsgáladó sor abszolut koverges. i A sor koverges, hisze az a log sor abszolut koverges. sor koverges, sorozat mooto csökkeőe tart a ullához, ám em abszolut koverges, hisze log >. Ekkor tehát feltételese koverges.

49 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 49 Mutassuk meg, hogy az alábbi sorok divergesek: a b + + l Műveletek sorokkal Legyeek x, N és y, N valós számsorozatok és λ R. A 0 x + y sort a 0 x és 0 y sorok összegéek evezzük. A 0 λx sor a λ szám és a 0 x sor szorzata. Tétel: a Ha a 0 x és 0 y sorok kovergesek, akkor a 0 x + y is koverges és összege: 0 x + y 0 x + 0 y. b Ha a 0 x sor koverges és λ R, akkor a 0 λx is koverges és összege: 0 λx λ 0 x. A 0 x és 0 y sorok tégláyszorzata: 0 max{k,l} x ky l ; Cauchy-szorzata: 0 k+l x ky l ; Tétel: Ha a 0 x és 0 y sorok abszolút kovergesek, akkor a Cauchyszorzatuk és a tégláyszorzatuk is abszolút koverges, és midkét szorzatsor összege 0 x 0 y. Tétel: Ha a két koverges sor Cauchy-szorzata is koverges, akkor összege egyelő a két sor összegéek szorzatával. Számítsuk ki az alábbi sorok összegét: a b Igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek és határozzuk meg az összegüket: a b c d e f 0 4!

50 50 4 Igazolja, hogy a 0 és a 0 sorok abszolút kovergesek és képezze a Cauchy-szorzatukat! 5 Igazolja, hogy a és a sorok közül az egyik abszolút koverges és képezze a Cauchy-szorzatukat! 6 Az alábbi sorok közül melyek kovergesek? a b c d e f g 0 0 0, 0!! + +! h i 0 j l k! l! m + 7 Igazoljuk, hogy: a q + q ha q < b q q ha q <

51 Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 5 8 Az x szám mely értékeire kovergesek az alábbi sorok? a b c d e f x x + 4! x!x 0! x + l + + x

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben