Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Átírás

1 Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét változójú differeciaegyeletet ahol x +1 = (1 a )x +b x p (1.1) {a } {b } valós számsorozatok 0 < a < 1 (1.2) {p } természetes számok sorozata (1.3) p és lim p =. (1.4) Legye N a természetes számok halmaza R pedig a valós számok halmaza. Legye 0 egy pozitív egész szám és legye 1 = mi{p l : l 0 }. Ha akkor mide j természetes szám eseté j = mi{l : p l > j 1 } j = j j 1 +1 lim j j = és 1 p < j j < j+1. Megfelelő számú adott x 1 x x 0 R (1.5) kezdetiértékekesetéaz{x }sorozataz(1.1)(1.5)kezdetiértékproblémaegyértelmű megoldása. Speciális késleltetést okozó {p } sorozatok esetébe mit a p = p kostas késleltetés vagy a p = [ ] p illetve a p = [ p ] patográf késleltetés ahol p > 1 természetes szám becslés adható a megoldássorozat aszimptotikus viselkedésére potosabba a megoldássorozat ullhoz tartásáak sebességére. A mukába bemutatjuk hogy adott késleltetéssorozatra a kezdeti értékek változtatása em hat ki a megoldássorozat aszimptotikus viselkedésére viszot külöböző típusú késleltéssorozatok esetébe a megoldássorozat gyorsabba vagy lassabba tarthat ullához. A számítógépes kísérletezés sorá és a szemléltető példák ábrázolásáál a Mathematica szoftver yújtott segítséget. 1

2 2. A számítógépes kísérletezés sorá felhaszált tételek A következő eredméyek becslést adak arra hogy az(1.1)(1.5) kezdetiérték probléma megoldása milye gyorsa tart ullához Tétel. Tegyük fel hogy érvéyesek a (1.2)(1.3)(1.4) feltételek va olya {ρ } pozitív számsorozat amely az = értékekre értelmezett és igaz rá hogy b ρ a ρ p 0 valamit va olya R valós szám amelyre l (1+R j ) R j=0 mide l pozitív egész számra ahol 1 R j := max j < j+1 ρ ρ i i= j 1 ρ i ρ i+1 1 l=i+1 (1 a l ) j = Legye {x } az (1.1) (1.5) kezdetiérték probléma megoldása és legye Ekkor érvéyes hogy M 0 = max 1 < 0 ρ x. x M 0R ρ 0. A következő három állítás a 2.1. Tételből következik melyeket speciális késleltetést okozó {p } sorozatok esetére fogalmazuk meg. [ ] 2.1. Következméy. Legye az (1.1) egyeletbe p = ahol p > 1 természetes p szám. Tegyük fel hogy érvéyes az (1.2) feltétel valamit létezik olya Q és α valós szám hogy 0 < Q 1 0 < α < 1 és b a Q valamit α a ha p 0. Legye {x } az (1.1) (1.5) kezdetiérték probléma megoldása. Ekkor x C k ha p 0 ahol { C = max k x } ( 1+ k(pj+1 0 ) k ) 1 < 0 j=0 α(p j 0 1) k+1 és k = logq log(p+1). 2

3 2.2. Következméy. Legye az (1.1)egyeletbep = [ p ] aholp > 1 természetes szám. Tegyük fel hogy érvéyes az (1.2) feltétel valamit létezik olya Q és α valós szám hogy 0 < Q 1 0 < α < 1 és b a Q valamit α a ha p 0. Legye {x } az (1.1) (1.5) kezdetiérték probléma megoldása. Ekkor ahol x C log k ha p 0 { C = max log k x } ( 1+ 1 < 0 j=0 és k = logq log(p+1). kp k(j+1) log k 0 α( pj 0 1)log k+1 ( pj 0 1) 2.3. Következméy. Legye az (1.1) egyeletbe p = p ahol p 1 természetes szám. Tegyük fel hogy érvéyesaz (1.2) feltétel valamitva olya λ > 1 valós szám hogy b 1 λ+λa λ p+1 ha 0. Legye {x } az (1.1) (1.5) kezdetiérték probléma megoldása. Ekkor x C λ ha 0 ) ahol { } C = max x λ 0. 1 < 0 3. A számítógépes kísérletezés példái A számítógépes kísérletezés igazolja hogy megfelelő módo választott együttható sorozatok és késleltetéssorozat eseté teljesülek a feti következméyek feltételei és hogy a kezdeti értékek választása em hat ki a megoldássorozat aszimptotikus viselkedésére Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 3 ( ) (+1) 3 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthajuk hogy x i = i 2 π i = kezdeti értékekre a 10 ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C =

4 Külöböző típusú késleltés sorozatok esetébe a megoldás sorozat gyorsabba vagy lassabba tarthat ullához vagyis ha a kostas késleltetés helyett patográf késleltetést alkalmazuk a következő példába megfigyelhetjük hogy a 2.2. Következméy feltételeire a megoldás sorozat lassabba kovergál a ulla felé mit a 2.1. Következméy feltételeire Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 ( ) (+1) 3 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 π i = kezdeti értékekre a 10 ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C = Az ábráko látható hogy a 3.2. Példa burkoló sorozata lassabba közelít a ulla felé mit a 3.1. Példa burkoló sorozata. 4

5 Ha az (1.5) kezdeti értékeket változatjuk változik a megoldás sorozat de mide esetbe a két megadott sorozat között va. A következő példába a kezdőértékek legyeek egy mooto övekvő sorozat elemei Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 3 ( ) (+1) 3 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C = Összehasolítva a 3.1. Példa és a 3.3. Példa ábráit arra a következtetésre jutuk hogy a kezdeti értékek változtatásával változott a megoldás sorozat de továbbra is a két megadott sorozat között helyezkedik el. A következő példába vizsgáljuk mi törtéik ha a 3.3. Példa kezdeti értékeire a 2.2. Következméyt alkalmazzuk Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 3 ( ) (+1) 3 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C =

6 Megfigyelhető hogy a 3.4. Példa megoldás sorozata sokkal lassabba kovergál a ulla felé mit a 3.3. Példa megoldsás sorozata. Legyeek a kezdeti értékek mooto csökkeő sorozat elemei: 3.5. Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 ( ) (+1) 3 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 +1 ii = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek elahol C = Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 ( ) (+1) 3 6

7 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 +1 ii = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C = A 3.5. Példa és 3.6. Példa összehasolításáál arra a következtetésre jutuk hogy ugyaazo mooto csökkeeő kezdeti érték sorozatra külöböző típusú késleltés sorozatok esetébe a 3.5. Példa megoldás sorozata gyorsabba tart a ullához mit a 3.6. Példa megoldás sorozata. Legye a kezdeti érték sorozat egy oszcilláló sorozat elemei: 3.7. Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 ( ) (+1) 3 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = ( 1) i i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C =

8 3.8. Példa. Legye a = (+1) 3b = 1 ( ) (+1) 3 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = ( 1) i i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C = Oszcilláló kezdeti értékre is kostas késleltetés eseté a megoldás sorozat gyorsabba kovergál a ulla felé mit a patográf késleltetéskor. A következő példákba vizsgáljuk hogya hat ki a megoldás sorozatra ha változtatjuk az a b sorozatokat az előző példákhoz viszoyítva. 8

9 3.9. Példa. Legye a = b = ) 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 π i = kezdeti értékekre a 10 ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C = A 3.1. Példa és a 3.9. Példa összehasolításakor láthatjuk hogy külöböző késleltetett diszkrét változójú differeciaegyeletre alkalmazva a 2.1. Következméyt a megoldások eltérő gyorsasággal kovergálak a ulla felé Példa. Legye a = b = ) 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 π i = kezdeti értékekre a 10 ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C =

10 3.11. Példa. Legye a = b = ) 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C = Példa. Legye a = b = ) 10

11 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthajuk hogy x i = i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C = Példa. Legye a = b = ) 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 +1 ii = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C =

12 3.14. Példa. Legye a = b = ) 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = i 2 +1 ii = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C = Példa. Legye a = b = ) 12

13 0 = 2 és p = 2. Ekkor k = 1 és ρ = választással teljesülek a 2.1. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = ( 1) i i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... sorozatok között helyezkedek el ahol C = Példa. Legye a = b = ) 0 = 2ésp = 2. Ekkork = 1ésρ = választássalteljesüleka2.2. Következméy feltételei. Az ábrá azt láthatjuk hogy x i = ( 1) i i 2 i = kezdeti értékekre a ± C = 2... log sorozatok között helyezkedek el ahol C =

14 Refereces [1] Szili L. Tóth J. Matematika s Mathematica ELTE Eötvös Kiadó Budapest [2] Z. Stojaković M. Stojaković Vodič za LaTex Uiverzitet u Novom Sadu PMF Departma za matematiku i iformatiku (1996) [3] H. Péics O the Asymptotic Behaviour of a Patograph-type Differece Equatio Joural of Differece Equatios ad Applicatios 6 (2000) [4] H. Péics A. Rožjik Asymptotic Behavior of Solutios of a Scalar Delay Differece Equatios with Cotiuous Time Novi Sad Joural of Mathematics 38 No. 3 (2008)