Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova"

Átírás

1 Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok stratégiáitól Feladat. Legye m pot adott a síko! Két játékos egymásutá összeköt bármely két még összekötetle potot egy ívvel úgy, hogy ez az ív egyetle korábbi ívet se metssze el. Az a játékos yer, aki behúzza az utolsó ívet. m = Megoldás. Ha, akkor a kezdő játékos a yerő. Legye m >. Ebbe az esetbe a következőt fogjuk felhaszáli: Euler-tétele. Legye m pot adott a síko és darab egymást em metsző ív, amelyek mid valamely két potot kötik össze, de em haladak át a visszamaradó m poto. Legye az így megadott sík l részre osztva. Ha bármely potból lehetséges eljuti bármely másik potba a megadott ívek meté, akkor következik, hogy m + l =. A játék végé ( m > ) egy olya térképet kapuk, amelye bármely két pot ívekből álló láccal va összekötve. A térkép mide része 3 ívvel va határolva, azaz = 3l. Eulertétele alapjá következik, hogy az szám, az ívek száma egy ilye térképe a következővel egyelő: 3( m ). De az ívek száma egy ilye térképe megegyezik a lépések számával a játékba. Így, ha m egy páratla (páros) szám és, akkor az első (második) játékos a yerő. m >. Rész SZIMMETRIA Itt olya matematikai játékokat foguk megézi, ahol a yerő játékos alapvetőe a szimmetria ötletét haszálja fel..1. Feladat. Egy kupacba 199 darab kő va. Két játékos vesz részt a következő játékba: egy lépésbe midkettejük csak olya számú követ vehet el, ami osztója az előző játékos által elvett kövek számáak. A kezdő játékos első lépésbe bármeyi követ elvehet, de em az összeset. Az a játékos yer, aki elveszi az utolsó követ. Megoldás. A kezdő játékos a yerő. Az első lépésébe 8 követ vesz el, és így 1984 = kő marad vissza. Ezutá megismétli a második játékos mide lépését. A második játékos csak 1,, 4 vagy 8 követ vehet el. Az is igaz, hogy 16 osztja az 1984-et. Ezért a lépések száma egy páros szám lesz (az első lépést leszámítva). Így a kezdő játékos fogja megtei az utolsó lépést.

2 1,,...,.. Feladat. Egy körö pot va beszámozva a következő módo:. Két játékos egymás utá összeköt két, azoos paritású potot egy húrral. Egyik húrak sicse közös potja egy már létező másik húrral (még a csúcspotjuk sem). Az a játékos veszít, akiek ics több lépése. Megoldás. A második játékos a yerő, ha = 4 k +. A kezdő játékos a yerő mide más esetbe. Tekitsük úgy, hogy a megadott potok egy szabályos -szög csúcsai. 1. Eset Legye = 4k. A kezdő játékos először berajzolja az első lépésébe a kör átmérőjét, és ezutá mide lépésébe az átmérőre szimmetrikusa követi a második játékos lépéseit.. Eset Legye = 4 k +. Ekkor a második játékos az első játékos mide lépését a kör középpotjára szimmetrikusa követi. Itt azt a legfotosabb felismeri, hogy az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak. 3. Eset Legye = 4 k + 1. Ekkor a körö va két szomszédos páratla pot: az 1 és az. A kezdő játékos első lépésébe összeköti az 1 és 3 számozású potokat, és így tulajdoképpe átalakítja a játékot az ( 1) = 4 k + esetre, ahol a kezdő játékos a vesztes. 4. Eset Legye = 4 k + 3. A kezdő játékos az első lépésébe összeköti a k + 1 és k + 3 számozású potokat. Ezutá ha megpróbáljuk képzeletbe a visszamaradó 4 +1 k potot úgy mozgati, hogy egy szabályos ( 4 k +1) szöget alkosso, akkor az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak leszek, és ebbe a játékba a második játékos a vesztes.

3 m.3. Feladat. Adott egy kiterjedésű, egységégyzetekből álló mező. A játékosok egy lépésbe egy tetszőleges egységégyzetet szíezhetek be a következő szabály szerit: em lehet kettőél több égyzetet beszíezi akármelyik olya égy darab égyzetből, amelyek két tetszőleges sor és két tetszőleges oszlop metszésébe helyezkedek el. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) 4 6 ; ii) 5 5 ; iii) ; iv). 4 7 m Megoldás. Az ii) esetbe, és mide egyéb esetbe, ahol az m és számok páratla számok, ott a kezdő játékos fog yeri. A következő szimmetrikus stratégiát kell követie: az elejé beszíezi a középpotba elhelyezkedő egységégyzetet, és ezutá a második játékos lépéseit követi szimmetrikusa. Amikor a mezőek legalább az egyik oldala páros oldal, akkor forgassuk el godolatba a mezőt úgy, hogy a sorok száma páros legye. A kezdő játékos mide lépése utá a második játékosak ugyaabba az oszlopba kell beszíezie egy egységégyzetet. A két sor, ahol a játékosok már beszíeztek, most már zárt. A második játékosak ezutá egy új fog kell beszíezie, a második játékos erre szité egy ugyaabba az oszlopba törtéő beszíezéssel válaszol, és további két sor zárt lett. De a sorok száma páros, és így a kezdő játékos em fog tudi többször lépi. A második játékos fog yeri. 3. Rész JÁTÉKOK POLINOMOKKAL Az ilye típusú játékokra az jellemző, hogy a poliomok együtthatóit kell speciálisa úgy megválasztauk, hogy aztá a poliom gyökei megfelelő tulajdoságúak legyeek. Ehhez a következő tételt szükséges felhaszáluk. Tétel. Ha az f ( x) függvéy folytoos az [ a,b] itervallumo és f( a) f( b) < 0 akkor létezik egy olya c pot, hogy f c =. () Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3 = 0. Két játékos játssza a következő játékot az első játékos egy valós számot ír az egyelet egyik együtthatójáak a helyére, aztá a második játékos ugyaezt elvégzi egy másik együtthatóval. Végül a kezdő játékos ugyaeze módo megváltoztatja az utolsó együtthatót. A kezdő játékos a yerő, ha az egyeletek három külöböző valós gyöke va. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékos yerheti meg a játékot a következő stratégiával: Az első lépése az, hogy úgy változtassa meg az a együtthatót, hogy 1+ a < 0 legye. Továbbá, a

4 második játékos lépése utá úgy választja meg az utolsó visszamaradó együtthatót, hogy a1 + a3 = 0 legye. Ekkor f () 1 = 1+ a1 + a + a3 < 0 és f ( 1) = 1+ a1 a + a3 > 0. A Tételt felhaszálva arra a következtetésre jutuk, hogy az f ( x) függvéyek három valós, 1, 1, 1, 1, itervallumoko. gyöke va redre a ( ) ( ) ( ) 3.. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: x + x + = 0 amibe mide csillag egy valós együttható jelet. Két játékos a következő játékot játssza: A kezdő játékos kiválaszthat bármely három valós számot, és a második játékos elhelyezi őket a csillagok helyére, olya sorredbe, ahogy akarja. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek két külöböző racioális gyöke va. Megoldás. A kezdő játékos lesz midig a yerő, ha úgy választ három külöböző a, b, c egész számot az együtthatókak, hogy a + b + c = 0. Ekkor az egyelet gyökei a következők leszek: c x 1 = 1, x =, ( c a ). a 3.3. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 ( x) = x + a x + a x + a = 0 f 1 3. Két játékos egymás utá felcseréli az egyelet együtthatóit (em feltétleül az a1, a, a3 sorredbe) em ulla egész számokkal. A kezdő játékos a yerő, ha az f ( x) függvéyek va legalább két külöböző egész gyöke. A második játékos a yerő bármely más esetbe. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha az első lépése a = 1 és a második lépése (harmadik lépés a játékba) a második játékos lépéséek elletettje. Így az f ( x) függvéy a következő kétféle módo fejezhető ki: 3 x + ax x a = ( x + x vagy 3 x ax x + a = ( x a)( x 1). f x függvéyek lesz két külöböző egész gyöke: + 1 és 1. Ezért az így kapott ( ) 3.4. Feladat. Adott az 4 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3x + a4 = 0 egyelet. A játék a következő: az első játékos az egyik együtthatót lecseréli egy em ulla egész számra, aztá a második játékos választ em ulla egész számokat a maradék három együttható helyére. Ha az függvéyek va legalább kettő külöböző egész gyöke, f ( x) akkor a második játékos a yerő, ellekező esetbe a kezdő játékos fog yeri. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha a4 = 1-t választja. Ekkor az 4 3 x + a1x + ax + a3x 1 = 0 egyelet egész gyökei már csak (+1)-gyel vagy (-1)-gyel lehetek egyelők. De ha ezek az függvéy gyökei, akkor f ( x)

5 ahoa a = 0 a és a, 1 + a + a3 = a a3 = 0, ami lehetetle a játék szabályai alapjá Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + x + x + = 0. A kezdő játékos mod egy valós számot és a második játékos elhelyezi ezt bármelyik csillag helyére. Ezutá a kezdő játékos megit mod egy valós számot, amit a második játékos elhelyez a visszamaradó két csillag egyikére. Végezetül a kezdő játékos az utolsó csillag helyére elhelyez egy valós számot. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek három külöböző egész gyöke va. Bármely más esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékosak va yerő stratégiája. Az első számak, amit mod, a 0-ak kell leie. 1. Eset Ha a második játékos a 0-t az utolsó csillag helyére teszi, akkor 3. Ezutá a kezdő játékos a -es számot választja, majd végül a -3- f ( x) = x + x + x at. Ekkor f ( x) = x( x 1)( x ) vagy f ( x) = x( x 1 )( x + 3).. Eset Ha a második játékos a 0-t az első csillag helyére teszi, akkor következik, hogy ( x) x + bx c. Ezutá a kezdő játékos a f = 3 + ( 345) c = = f() x = x x+ 345 x 345 és számot modja. Ha a második játékos ezt a számot b helyére teszi, akkor 0, és ha c helyére teszi, akkor a kezdő játékos a b számot választja. Így redre ( )( ) ( x) = ( x + 3 )( x + 4 )( x 5 ) f. 3. Eset Ha a második játékos a 0-t a második csillag helyére teszi, akkor következik, 3 3 hogy. Ezutá a kezdő játékos a következő számot modja: és ( x) = x + ax c f + ezutá a következő lépést választja: a = 7 vagy c f( x) = x+ 7 x 3 7 x 6 7 és ( )( )( ) = 6 ( )( )( ) f( x) = x 67 x+ 367 x Így redre Feladat. Két játékos egymás utá megváltoztatja a következő poliom együtthatóit egész számokra: ( ) 1000 P x = a0 + a1x + ax... + a1000x. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliom midig ugyaayi maradékot ad 6-tal osztva mide egész x számra. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. Vegyük észre, hogy bármely k egész szám eseté a 6 osztja a következő 3 kifejezéseket: és k 4 k = k k 1 k k+ 1. Ezért, hogy a következő poliom k k = ( k 1) k( k + 1) ( ) ( ) 3 4 ( x) = ax + bx + cx dx Q +

6 mide k egész szám eseté osztható legye 6-tal, elegedő, hogy a következő feltételek teljesüljeek: a + c = 0 és b + d = 0. Egyesítsük a P( x) poliomba a tagokat az első hatváytól a egyedik hatváyig, az ötödik hatváytól a yolcadik hatváyig és így tovább. A végé azt kapjuk, hogy k ( ) = 49 4k P x = a0 + x fk ( x), k= 0 az f k ( x) függvéyekek általáos alakja ugyaaz, mit a Q ( x) függvéyé. Így a kezdő játékos a következő stratégiát választhatja: a 0 helyére a kívát maradékot teszi, és ezutá pedig mikor a második játékos kiválasztja az f k ( x) függvéy egyik együtthatóját, úgy kell válaszolia, hogy az együtthatók kielégítsék a megfelelő egyelőségeket: a + c = 0 és. b + d = 0 Az így kapott egész együtthatójú ( x) kiválasztott a 0 maradékot fogja adi 6-tal osztva. P poliom bármely x egész szám eseté a 3.7. Feladat. Adott a P ( x) = x + *x + *x *x + * x + 1 poliom. Két játékos egymás utá lecseréli a poliom csillagait egész számokra (általáosa - 9 lépés). A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliomak icse valós gyöke. Ha a poliomak va legalább egy valós gyöke, akkor a második játékos yer. Lehetséges-e, hogy midig a második játékos yerje a kezdő játékos lépéseitől függetleül? Megoldás. A válasz: Ige, eki va yerő stratégiája, bárhogya is játszik a kezdő játékos! 9 csillagot kell megváltoztati 5 páratla hatváyhoz és 4 páros hatváyhoz tartozót. Ha a kezdő játékos egy páros (páratla) hatváy melletti kitevőt változtat meg, akkor a második játékosak egy páratla (páros) hatváy melletti együtthatót kell megváltoztatia. Így 7 lépés k utá két csillag marad hátra az x és legalább az egyike páratla szám, és a második játékos lépése következik. A hét lépés utá legye a következő a poliom: Két eset létezik: P P k l ( x) Q( x) + αx + βx =. i) k - páros szám, l - páratla szám. Ekkor: l x hatváyok mellett, ahol a k és l számokak () = Q() 1 + α + β, P( 1) = Q( 1) + α β, P( 1) + P( 1) = Q( 1) + Q( 1) + α. 1 A 1 [ 1 P 1 + P 1 = második játékosak a következőt kell választaia: α = Q () 1 + Q( ) játékos lépéseitől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: ( ) ( ) 0 P () 1 = P( 1) = 0 és a P( x) P () 1 = P( 1), azaz P(1) P( 1) < 0 és ekkor a ( x) 1,1] ]. Ezért a kezdő. Így, vagy poliomak már va két valós gyöke: (+1) és (-1), vagy P poliomak legalább egy valós gyöke lesz a [ itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé).

7 ii) k és l - páratla számok. Ekkor: P( 1) = Q( 1) α β, () () k l P = Q + α + β, l l k l ahoa: P( 1) P() Q( 1) Q() ( ) + = + + α. l Q( 1) + Q() A második játékosak ekkor a következőt kell választaia: α = k l. Ezért l a kezdő játékos utolsó lépésétől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: P( 1) + P() = 0. Így, vagy P ( 1 ) = P( ) = 0 és a P ( x) poliomak va két valós gyöke: (-1) és (+), l vagy P( 1) = P() azaz P( 1) P() < 0 és a P ( x) poliomak lesz legalább egy valós gyöke a [ 1, itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé). 4. Rész MINIMAX ] Ebbe a részbe olya játékokat foguk megézi, amibe mide játékos yereméye változtatható bizoyos számokkal, és ezek a számok a játékosok lépéseitől függeek, és midkét játékos öveli szereté a yereméyét. A játékokba a két játékos által megszerezhető yereméy összege kostas lesz, függetle a játékosoktól. A játékosok érdekei elletétesek, mivel ha az egyik játékos jutalma megő, akkor a másiké csökke Feladat. Egy fiú és egy láy eloszt egymás között 10 csomagot a következő módo: a fiú szétosztja őket két halomba és láy elviszi az egyik kupacot. Meyi csomagot vihet el a láy, illetve a fiú? Megoldás. Midkette potosa 5 csomagot fogak elvii. Ugyais a fiú em fogja őket két eltérő kupacba osztai, mert akkor a láy a agyobbat fogja elvii. A fiú érdeke az, hogy a láy részét olya kicsire állítsa be, ameyire csak lehet. Az ilye típusú stratégiákat hívjuk miimax stratégiáak. ( ) 1,, 3,..., Feladat. Az számokat felírtuk egy táblára. Két játékos egymás utá + ) a vagy ( jelet teszi mide szám elé. Mide még szabad szám elé rakható jel. A kezdő játékos a végé a lehető legkisebb abszolútértékű összeget akarja kapja, de a második játékos a lehető legagyobb abszolút értékű összeget akarja eléri. Mekkora értéket érhet el a második játékos? Megoldás. A második játékos által elérhető legagyobb összeg a 30. Most tekitsük a második játékos stratégiáját, hogy elérje a lehető legagyobb összeget. A számokat 10 párra osztjuk: ( 1, ), ( 3, 4),...,( 19, 0). A kezdő játékos mide lépésébe valamilye jelet fog tei mide párba a agyobb szám elé, a második játékos erre az elletétes jellel fog válaszoli a számpár másik tagjáál. Csak egyetle esetbe, mikor a kezdő játékos egy jelet tesz az utolsó számpár egyik tagja elé, akkor kell a második játékosak ugyaazt a jelet teie ugyaaak a számpárak a másik tagja elé. Nyilvávaló, hogy az így kapott összeg abszolútértéke em kevesebb, mit: = 30.

8 Most be fogjuk bizoyítai, hogy a kezdő játékosak megva a lehetősége, hogy a második játékos összegét em többre, mit 30-re korlátozza. A visszamaradó számok közül a legagyobb elé elletétes előjelet kell teie, mit ami az összeg előjele abba a pillaatba (ha az összeg 0, akkor a kezdő játékos ( + ) jelet tesz). Tekitsük a játék egyik példáját és legye a k-lépés az utolsó lépés, amikor az összeg előjelet cserél (beleértve azokat a lépéseket is, amikor az összeg 0). Az első k 1 lépésbe yilvávalóa fel leszek haszálva a 0, 19, 18,..., 0 ( k 1) számok. Ekkor a lehetséges legagyobb abszolútértékű összeg a k-lépés utá: 0 ( k 1) + 0 k = 41 k. Ezutá a következő mide 10 k lépésbe az összeg miimum eggyel csökke, mivel az első játékos mide lépésbe az összeg abszolútértékét a visszamaradó számok közül a legagyobbal, m -mel csökketi, és a második játékos ezt em többel, mit m 1-gyel tudja öveli. Így a végső eredméy em lehet több, mit 41 k 10 k = 31 k. ( ) ( ) Rész NYERŐ STRATÉGIÁK Az alább következő feladatokba a játékosok egyikéek va yerő stratégiája Feladat. Adott egy 3 3 -as kiterjedésű táblázat és 9 egységyi kiterjedésű kártya. Mide kártyára a következő számok egyike va felírva: a 1 < a <... < a9. Két játékos egymás utá a még felhaszálatla kártyák egyikét a táblázat egyik még szabado lévő mezőjére helyezi. Miutá felhaszálták az összes kártyát, a kezdő játékos összeadja a legfelső és legalsó sorba lévő 6 számot, és a második játékos pedig összeadja a jobb és bal oldalo lévő oszlopokba található 6 számot. Az a játékos yer, akiek agyobb az összege. Megoldás. Vagy az első játékos yer, vagy dötetle a játszma. Ha a 1 + a9 > a + a8, akkor a kezdő játékos az a9 -et helyezi az 1-es mezőre, és a második lépésbe a -t vagy a1 -t tesz a -es vagy 3-as mezők egyikére. Ha a 1 + a9 < a + a8, akkor a kezdő játékos a1 -t tesz a -es mezőre és a második lépésbe a 9 -t vagy a8 -t tesz az 1-es vagy 4-es mezők valamelyikére. Ha a 1 + a9 = a + a8, akkor a kezdő játékos a fetebb leírt stratégiák egyikét haszálhatja. 1 3

9 Feladat. Adott egy oldalú kovex poliéder. A poliéder mide csúcsából potosa 3 darab él idul. Két játékos egymás utá felírja a evét az egyik szabad oldalra. Az a játékos yer, aki először írja fel a evét három olya oldalra, amik egy csúcsba találkozak. Megoldás. A kezdő játékos yer. Szükséges, hogy bebizoyítsuk az elejé, hogy létezik egy olya csúcs, ami em egy 3 háromszög. Legye mide oldal egy háromszög! Ekkor a poliéderek éle va, mivel mide csúcsból három él idul és mide él egyszerre két csúcshoz is tartozik. Csúcsok száma + Oldalak száma Élek száma =, azt Felhaszálva Euler tételét ( ) 3 kapjuk, hogy = +, azaz = 4, ami elletmodásba áll a játék feltételeivel. Így va egy olya oldal, hívjuk ezt A 1 -ek, ami em egy háromszög. Az első játékosak fel kell íria a evét A 1 -re. A kezdő játékosak a második lépésébe fel kell íria a evét az A oldalra, ami az A1 oldallal határos, valamit szité va közös éle az A3 és A4 szabad oldalakkal, amik szité A 1 mellett fekszeek (ez biztosa lehetséges, mivel a második játékos csak egy A 1 mellett elhelyezkedő oldalt tud felhaszáli). A harmadik lépése végé a kezdő játékos felhaszálhatja az A3 vagy A4 oldalak egyikét, azt, amelyiket a második játékos még em haszált fel. Így a kezdő játékos yer. 6. Rész SZÁMELMÉLET 6.1. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel az 1,, 3, 4, 5 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első jegyet, a második írja fel a második jegyet, a kezdő játékos írja fel a harmadik jegyet és így tovább Ha a kapott szám osztható 9-cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe az első játékos yer. Megoldás. Jelöljük a kezdő játékos által felírt számjegyeket a következőkkel - a1, a,...,a p, a második játékos által felírt jegyeket pedig a b1,b,...,bp számokkal és legye S a + a a + b + b = 1 p 1 b p. 1. Eset Ha p = 3m, akkor a második játékos a yerő a következő stratégiával: bi = 6 a i, ekkor az összeg S = ( a1 + b1 ) + ( a + b ) ( a p + bp ) = 6 p = 18m, ami osztható 9-cel, azaz a kapott szám osztható 9-cel.. Eset Ha p = 3 m + 1 vagy p = 3 m +, akkor a kezdő játékos a yerő a következő stratégiával: a 1 = 3 és ezutá a i = 6 bi 1, ekkor az összeg S = a1 + ( a + b1 ) + ( a3 + b ) ( a p + bp 1) + bp = 3 + 6( p 1) + bp Ha p = 3 m + 1, akkor az S = 18 m + ( 3 + b p ) összeg em osztható 9-cel, mivel 3 + b p 4 és 8 között va.

10 Aalóg módo, ha p = 3 m +, akkor az S = 18 m bp összeg em osztható 9-cel, mivel b p 1 és 5 között va. 6.. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel a 6, 7, 8, 9 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első számjegyet, a második játékos a másodikat, a kezdő játékos a harmadikat, és így tovább Ha az így kapott szám osztható 9- cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe a kezdő játékos yer. Megoldás. 1. Eset Hap = 3, akkor a második játékos yer. A kezdő játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír, ami a kezdő játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. (6 utá a második játékos 9-et ír, a további ilye számpárok pedig:,, ) p = 3 +. Eset Legye 1. Ekkor a kezdő játékos yer. A kezdő játékos lépése bármi lehet 9 kivételével. Ezutá a második játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír fel, ami a második játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. A kezdő játékos ilye stratégiája eseté a számjegyek összege az első és utolsó számjegy kivételével osztható lesz 9-cel. De az első számjegy em 9, és így az összes számjegy összege em osztható 9-cel. 3. Eset Ha p = 3 +, akkor a kezdő játékosak va yerő stratégiája a következő módo: a kezdő játékos első lépése a 9-es számjegy. Ezutá a második játékos mide lépését az utolsó kivételével hasoló módo válaszolja meg, mit a. Esetbe. Ha a második játékos lépése, ami az utolsó előtt va, em 9, akkor a kezdő játékos a 9-et választja. Ezzel a stratégiával a számjegyek összege az első élkül és az utolsó 3 élkül osztható 9-cel. A égy redkívüli számjegy között pedig legalább egy va, ami külöböző 9-től. Így eze 4 számjegy összege em osztható 9-cel és ugyaez igaz az összes számjegyre is Feladat. Néháy játékos, akik egy kör alakú asztal mellett ülek, az óramutató járásával megegyező iráyba vaak számozva. Az első játékosak eggyel több eurója va, mit a másodikak, a másodikak eggyel több, mit a harmadikak, és így tovább, mide játékosak eggyel több eurója va, mit a rákövetkezőek. Az első játékos egy eurót ad a második játékosak, a második játékos eurót ad a harmadikak, és így tovább, mide játékos eggyel több eurót ad a rákövetkezőek, mit ameyit ő kapott. A játék addig folytatódik, amíg lehetséges. A játék végé kiderül, hogy az egyik játékosak égyszer ayi eurója va, mit a szomszédjai egyikéek. Háya vaak a játékosok, és háy eurója volt a játék elejé a legszegéyebbek? Megoldás. Legye a játékosok száma és legye közülük a legszegéyebbek (például az. játékosak) x eurója a legelejé. A játék szabályai szerit az első kör utá a játékosokak (a számozásuk szerit) x +, x + 3,..., x + 1, x, x 1 eurója va. Ezutá a játék x körö keresztül folytatódik, amíg az. játékosak elfogy az x eurója. Ekkor a játék végé a játékosokak redre x + ( x + 1 )( 1),, 3,...,, 1, 0 eurója va. Mivel az 0, 1,,..., számok egymást követő természetes számok, ezért csak az első játékosak lehet 4-szer ayi péze, mit az egyik szomszédjáak. De a szomszédjai a. és. játékosok. Mivel az utolsó játékosak 0 eurója va a játék végé, ezért a feltételek alapjá a következő egyeletet kapjuk: x + ( x + 1)( 1) = 4( ), azaz x = = 3.

11 Ezért a 7 osztója, és így csak 1 vagy 7 lehet. De ha = 1, akkor azt kapjuk, hogy x < 0, ami lehetetle. Így = 7 és x =, azaz 7 játékos va az asztal körül és közülük a legszegéyebbek eurója volt a játék elejé. Megjegyzés. A feti érvelés azzal a feltételezéssel készült, hogy x 0, de köye látható, hogyha x = 0, akkor a feladatba leírt szituáció lehetetle lee. motoros 6.4. Feladat. k motorosak ( k 1) ( i 1,,..., k = ) a teljes távolság A-ból B -be kell utazia. Az első apo az M i 1 részét tette meg, ahol i egy pozitív egész i szám. A második apo a visszamaradó út 1 részét tette meg, ahol m i egy pozitív egész m i szám. A harmadik apo a második ap utá visszamaradó távolság 1 részét tette meg, a i 1 egyedik apo pedig a harmadik ap utá visszamaradó távolság részét tette meg. Az m i ( m i, i ) ( ) és m j, j természetes számokból álló számpárok külöbözők, ha i j,( i, j =1,,..., k ). A egyedik ap végé kiderült, hogy az összes M i motoros potosa az út m 3 részét tette meg A és B között. 4 i) Keressük meg a legagyobb lehetséges pozitív k számot; ii) Melyik M i motoros lesz a győztes a feti feltételek szeriti verseybe, ha az i, i számok m i i szorzatáak a lehető legagyobbak kell leie? Megoldás. Jelöljük az S -sel az A és B közötti távolságot. Az első apo az M i motoros 1 i S A második apo utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1 1 S S = S 1 i. i 1 1 S m 1 i i S S S i m 1 = i 1 i 1 i m i utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1. Hasolóa folytatva arra jutuk, hogy a egyedik ap végé visszamaradó távolság: Így a következő egyeletet kapjuk: S i mi.

12 m 1 S = S i m i 1 i 1 1 = 0 i 4 mii ( mi 1)( i 1) 1 1 =+ vagy = m i i. mi 1, i 1 ezért következik, hogy ( mi 1)( i 1) 1 = +, azaz m i = +. mii i mi egy egész szám, ezért i, azaz ( )( ) Mivel De mivel, ahoa -ek osztójáak kell leie. Felhaszálva, hogy az i számok szité pozitív egészek, azt kapjuk, hogy i vagy 3 vagy 4. Ekkor i vagy 4, vagy 3 redre. Így csak két megoldást kapuk: az M 1 motorost az ( m 1,1 ) = ( 3, 4) számokkal és az M motorost az ( m, ) = ( 4, 3) számokkal. Így i) a legagyobb lehetséges pozitív k szám a k =. ii) ilye verseybe icse győztes, mivel: m 1 1= m = 34 = 43 = 1. m 1,, 3,..., Feladat. Adottak az számok. Két játékos egymásutá letöröl egy számot, amíg két szám marad. Ha ezek összege osztható 5-tel, akkor a kezdő játékos yer. Ellekező esetbe a második játékos yer. Ki fog yeri becsületes játék eseté? Megoldás. Sokkal megfelelőbb, ha em a megadott számokkal, haem az 5-tel való osztási maradékaikkal dolgozuk. Ezek a maradékok: 5 darab 0, 5 darab 4-es, 5 darab 3-as, 6 darab 1-es és 6 darab -es. A kezdő játékos a yerő. A kezdő játékos első lépése az, hogy letörölje az 1-es számot. Ezutá olya maradékú számokat kell letörölie, hogy második játékos által letörölt és az általa letörölt számok maradékaiak összege együtt 5-öt adjaak. Még potosabba: i) ha a második játékos lépései a következők: 1,, 3, 4, akkor az első játékos lépései 4, 3,, 1; ii) ha a második játékos lépése 0, akkor a kezdő játékos lépése, és ezutá a második játékos mide 0 lépése utá szité 0 lesz a válaszlépése. Ezt a stratégiát haszálva a játék végé visszamaradó két szám maradékai a következők lehetek: 0, 0 vagy, 3 vagy 1, Feladat. Adott egy körö doboz. A dobozok egyikébe két kő va egy fehér és egy fekete. A többi doboz üres. Két játékos egymás utá mozgatja a köveket az első az óramutató járásával megegyező iráyba mozgatja a fehér követ egy vagy két dobozo keresztül, a második játékos a fekete követ mozgatja elletétes iráyba szité egy vagy két dobozo keresztül. Az a játékos yer, aki a saját kövét a másik játékos kövét is tartalmazó dobozba teszi. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) =13; ii) = 14 ; iii) = 15 ; iv) egy tetszőleges természetes szám. Ötlet. Fotos, hogy észrevegyük, hogy: a) ha 4 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy csapda az a játékos, akiek lépie ekkor, az fog veszítei; b) ha 3 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy átjáró a kövek át fogak haladi a következő lépésbe

13 egymáso, aélkül, hogy harcoláak. Haszáljuk a következőt: = 5 k + s, ( s = 0, 1,, 3, 4) Feladat. Egy termék ára euró. Két áruház-igazgató játszik. Midegyikük megöveli a termék árát egy lépésébe -kal, ahol egy természetes szám, [ ) m 1,100, de úgy, hogy a övekedés egész számú euró legye. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Melyik igazgató fog veszítei? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) ; ii) ; iii) természetes szám. m % =1000 = 880 = 600 ; iv) m k = ; v) egy tetszőleges k s Válasz. A második játékos fog yeri, ha = m 5, ahol m 10 p q,, = + (1, 3, 7,9) p egy tetszőleges természetes szám, és a k és s természetes számok oszthatók 3-mal. Mide egyéb esetbe a kezdő játékos a yerő. 7. Rész APPENDIX 7.1. Feladat. Egy keguru ugrál az x 0, y 0 iráyba az Oxy koordiáta-síko a következő módo: az ( x, y) potból a keguru az ( x + 1, y 1) vagy ( x 5, y + 7) potba ugorhat, de em ugorhat olya potra, amiek va egatív előjelű koordiátája. Mely kezdőpotokból em juthat el a keguru olya potba, amiek az Ox ( x, y) y koordiátasík O középpottól való távolsága agyobb, mit 1000 egység. Rajzoljuk meg az ilye x, y potok T halmazát és számítsuk ki a T halmaz F területét! Válasz.. A halmaz a következő: egy lépcső-szerű háromszög a lépcső potjai élkül: T ( x, y) F =15 T ( x, y) {( x = k + α, 0 y < 5 k, k = 0, 1,, 3, 4; 0 α 1)\ [] x + [] y 4, x 0, y 0 }, ( ) \ ( x = k, 5 k < y < 6 k, k = 1,, 3, 4, 5 )} { x az egészrész-függvéy, azaz ha a feti esetbe ha x =,...,egy emegatív tizedes x = egy természetes szám. [] tört alakú számjegy, akkor [] 7.. Feladat. Egy játékautomata a következő módo működik: miutá bedobuk 5 cetet, az automata megszorozza 3-mal az adott számot, és miutá bedobuk cetet, az automata 4-et ad az adott számhoz. i) Miimálisa háy cet szükséges ahhoz, hogy eljussuk az 1-es számtól az =1979 -ig a megadott automata segítségével? ii) Háy cet szükséges miimálisa, ha = 005? Ötlet. Hátulról kell eliduluk -től 1-ig! ahol

14 i) A miimálisa szükséges cetek száma: 37 = Lásd az alábbi sorozatot! Feladat. Válasszuk ki darab külöböző természetes számot az 1 és 3 számok között (ezeket is beleértve) úgy, hogy bármely két kiválasztott szám átlaga e legye bee a kiválasztott számok halmazába! Ötlet. Haszáljuk matematikai idukciót -re! A kiválasztott számok halmaza: a = 1, a =, a = 7, a = 8,..., a, a = a a = a + 3,..., a = a

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Nyerni

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23.

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23. Algebra 11 1. évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3. Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs,

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1)

= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1) MATEMATIKAI INDUKCIÓ Michael Lambrou. Fejezet. Matematikatörtéeti bevezető A filozófiába és az alkalmazott tudomáyokba az idukció fogalma azt jeleti, hogy egyedi esetekből általáos következtetésre jutuk.

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

A figurális számokról (II.)

A figurális számokról (II.) A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS Eddig nehezebb típusú feladatokkal dolgoztunk. Most, hogy közeledik a tavaszi szünet, játékra hívunk benneteket! Kétszemélyes játékokat fogunk játszani és elemezni.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi Szoldatics József: MEMO MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi A feladatmegoldó szemináriumon első részében egy rövid beszámolót fognak hallani a 010. szeptember 9. és

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben