Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova"

Átírás

1 Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok stratégiáitól Feladat. Legye m pot adott a síko! Két játékos egymásutá összeköt bármely két még összekötetle potot egy ívvel úgy, hogy ez az ív egyetle korábbi ívet se metssze el. Az a játékos yer, aki behúzza az utolsó ívet. m = Megoldás. Ha, akkor a kezdő játékos a yerő. Legye m >. Ebbe az esetbe a következőt fogjuk felhaszáli: Euler-tétele. Legye m pot adott a síko és darab egymást em metsző ív, amelyek mid valamely két potot kötik össze, de em haladak át a visszamaradó m poto. Legye az így megadott sík l részre osztva. Ha bármely potból lehetséges eljuti bármely másik potba a megadott ívek meté, akkor következik, hogy m + l =. A játék végé ( m > ) egy olya térképet kapuk, amelye bármely két pot ívekből álló láccal va összekötve. A térkép mide része 3 ívvel va határolva, azaz = 3l. Eulertétele alapjá következik, hogy az szám, az ívek száma egy ilye térképe a következővel egyelő: 3( m ). De az ívek száma egy ilye térképe megegyezik a lépések számával a játékba. Így, ha m egy páratla (páros) szám és, akkor az első (második) játékos a yerő. m >. Rész SZIMMETRIA Itt olya matematikai játékokat foguk megézi, ahol a yerő játékos alapvetőe a szimmetria ötletét haszálja fel..1. Feladat. Egy kupacba 199 darab kő va. Két játékos vesz részt a következő játékba: egy lépésbe midkettejük csak olya számú követ vehet el, ami osztója az előző játékos által elvett kövek számáak. A kezdő játékos első lépésbe bármeyi követ elvehet, de em az összeset. Az a játékos yer, aki elveszi az utolsó követ. Megoldás. A kezdő játékos a yerő. Az első lépésébe 8 követ vesz el, és így 1984 = kő marad vissza. Ezutá megismétli a második játékos mide lépését. A második játékos csak 1,, 4 vagy 8 követ vehet el. Az is igaz, hogy 16 osztja az 1984-et. Ezért a lépések száma egy páros szám lesz (az első lépést leszámítva). Így a kezdő játékos fogja megtei az utolsó lépést.

2 1,,...,.. Feladat. Egy körö pot va beszámozva a következő módo:. Két játékos egymás utá összeköt két, azoos paritású potot egy húrral. Egyik húrak sicse közös potja egy már létező másik húrral (még a csúcspotjuk sem). Az a játékos veszít, akiek ics több lépése. Megoldás. A második játékos a yerő, ha = 4 k +. A kezdő játékos a yerő mide más esetbe. Tekitsük úgy, hogy a megadott potok egy szabályos -szög csúcsai. 1. Eset Legye = 4k. A kezdő játékos először berajzolja az első lépésébe a kör átmérőjét, és ezutá mide lépésébe az átmérőre szimmetrikusa követi a második játékos lépéseit.. Eset Legye = 4 k +. Ekkor a második játékos az első játékos mide lépését a kör középpotjára szimmetrikusa követi. Itt azt a legfotosabb felismeri, hogy az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak. 3. Eset Legye = 4 k + 1. Ekkor a körö va két szomszédos páratla pot: az 1 és az. A kezdő játékos első lépésébe összeköti az 1 és 3 számozású potokat, és így tulajdoképpe átalakítja a játékot az ( 1) = 4 k + esetre, ahol a kezdő játékos a vesztes. 4. Eset Legye = 4 k + 3. A kezdő játékos az első lépésébe összeköti a k + 1 és k + 3 számozású potokat. Ezutá ha megpróbáljuk képzeletbe a visszamaradó 4 +1 k potot úgy mozgati, hogy egy szabályos ( 4 k +1) szöget alkosso, akkor az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak leszek, és ebbe a játékba a második játékos a vesztes.

3 m.3. Feladat. Adott egy kiterjedésű, egységégyzetekből álló mező. A játékosok egy lépésbe egy tetszőleges egységégyzetet szíezhetek be a következő szabály szerit: em lehet kettőél több égyzetet beszíezi akármelyik olya égy darab égyzetből, amelyek két tetszőleges sor és két tetszőleges oszlop metszésébe helyezkedek el. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) 4 6 ; ii) 5 5 ; iii) ; iv). 4 7 m Megoldás. Az ii) esetbe, és mide egyéb esetbe, ahol az m és számok páratla számok, ott a kezdő játékos fog yeri. A következő szimmetrikus stratégiát kell követie: az elejé beszíezi a középpotba elhelyezkedő egységégyzetet, és ezutá a második játékos lépéseit követi szimmetrikusa. Amikor a mezőek legalább az egyik oldala páros oldal, akkor forgassuk el godolatba a mezőt úgy, hogy a sorok száma páros legye. A kezdő játékos mide lépése utá a második játékosak ugyaabba az oszlopba kell beszíezie egy egységégyzetet. A két sor, ahol a játékosok már beszíeztek, most már zárt. A második játékosak ezutá egy új fog kell beszíezie, a második játékos erre szité egy ugyaabba az oszlopba törtéő beszíezéssel válaszol, és további két sor zárt lett. De a sorok száma páros, és így a kezdő játékos em fog tudi többször lépi. A második játékos fog yeri. 3. Rész JÁTÉKOK POLINOMOKKAL Az ilye típusú játékokra az jellemző, hogy a poliomok együtthatóit kell speciálisa úgy megválasztauk, hogy aztá a poliom gyökei megfelelő tulajdoságúak legyeek. Ehhez a következő tételt szükséges felhaszáluk. Tétel. Ha az f ( x) függvéy folytoos az [ a,b] itervallumo és f( a) f( b) < 0 akkor létezik egy olya c pot, hogy f c =. () Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3 = 0. Két játékos játssza a következő játékot az első játékos egy valós számot ír az egyelet egyik együtthatójáak a helyére, aztá a második játékos ugyaezt elvégzi egy másik együtthatóval. Végül a kezdő játékos ugyaeze módo megváltoztatja az utolsó együtthatót. A kezdő játékos a yerő, ha az egyeletek három külöböző valós gyöke va. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékos yerheti meg a játékot a következő stratégiával: Az első lépése az, hogy úgy változtassa meg az a együtthatót, hogy 1+ a < 0 legye. Továbbá, a

4 második játékos lépése utá úgy választja meg az utolsó visszamaradó együtthatót, hogy a1 + a3 = 0 legye. Ekkor f () 1 = 1+ a1 + a + a3 < 0 és f ( 1) = 1+ a1 a + a3 > 0. A Tételt felhaszálva arra a következtetésre jutuk, hogy az f ( x) függvéyek három valós, 1, 1, 1, 1, itervallumoko. gyöke va redre a ( ) ( ) ( ) 3.. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: x + x + = 0 amibe mide csillag egy valós együttható jelet. Két játékos a következő játékot játssza: A kezdő játékos kiválaszthat bármely három valós számot, és a második játékos elhelyezi őket a csillagok helyére, olya sorredbe, ahogy akarja. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek két külöböző racioális gyöke va. Megoldás. A kezdő játékos lesz midig a yerő, ha úgy választ három külöböző a, b, c egész számot az együtthatókak, hogy a + b + c = 0. Ekkor az egyelet gyökei a következők leszek: c x 1 = 1, x =, ( c a ). a 3.3. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 ( x) = x + a x + a x + a = 0 f 1 3. Két játékos egymás utá felcseréli az egyelet együtthatóit (em feltétleül az a1, a, a3 sorredbe) em ulla egész számokkal. A kezdő játékos a yerő, ha az f ( x) függvéyek va legalább két külöböző egész gyöke. A második játékos a yerő bármely más esetbe. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha az első lépése a = 1 és a második lépése (harmadik lépés a játékba) a második játékos lépéséek elletettje. Így az f ( x) függvéy a következő kétféle módo fejezhető ki: 3 x + ax x a = ( x + x vagy 3 x ax x + a = ( x a)( x 1). f x függvéyek lesz két külöböző egész gyöke: + 1 és 1. Ezért az így kapott ( ) 3.4. Feladat. Adott az 4 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3x + a4 = 0 egyelet. A játék a következő: az első játékos az egyik együtthatót lecseréli egy em ulla egész számra, aztá a második játékos választ em ulla egész számokat a maradék három együttható helyére. Ha az függvéyek va legalább kettő külöböző egész gyöke, f ( x) akkor a második játékos a yerő, ellekező esetbe a kezdő játékos fog yeri. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha a4 = 1-t választja. Ekkor az 4 3 x + a1x + ax + a3x 1 = 0 egyelet egész gyökei már csak (+1)-gyel vagy (-1)-gyel lehetek egyelők. De ha ezek az függvéy gyökei, akkor f ( x)

5 ahoa a = 0 a és a, 1 + a + a3 = a a3 = 0, ami lehetetle a játék szabályai alapjá Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + x + x + = 0. A kezdő játékos mod egy valós számot és a második játékos elhelyezi ezt bármelyik csillag helyére. Ezutá a kezdő játékos megit mod egy valós számot, amit a második játékos elhelyez a visszamaradó két csillag egyikére. Végezetül a kezdő játékos az utolsó csillag helyére elhelyez egy valós számot. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek három külöböző egész gyöke va. Bármely más esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékosak va yerő stratégiája. Az első számak, amit mod, a 0-ak kell leie. 1. Eset Ha a második játékos a 0-t az utolsó csillag helyére teszi, akkor 3. Ezutá a kezdő játékos a -es számot választja, majd végül a -3- f ( x) = x + x + x at. Ekkor f ( x) = x( x 1)( x ) vagy f ( x) = x( x 1 )( x + 3).. Eset Ha a második játékos a 0-t az első csillag helyére teszi, akkor következik, hogy ( x) x + bx c. Ezutá a kezdő játékos a f = 3 + ( 345) c = = f() x = x x+ 345 x 345 és számot modja. Ha a második játékos ezt a számot b helyére teszi, akkor 0, és ha c helyére teszi, akkor a kezdő játékos a b számot választja. Így redre ( )( ) ( x) = ( x + 3 )( x + 4 )( x 5 ) f. 3. Eset Ha a második játékos a 0-t a második csillag helyére teszi, akkor következik, 3 3 hogy. Ezutá a kezdő játékos a következő számot modja: és ( x) = x + ax c f + ezutá a következő lépést választja: a = 7 vagy c f( x) = x+ 7 x 3 7 x 6 7 és ( )( )( ) = 6 ( )( )( ) f( x) = x 67 x+ 367 x Így redre Feladat. Két játékos egymás utá megváltoztatja a következő poliom együtthatóit egész számokra: ( ) 1000 P x = a0 + a1x + ax... + a1000x. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliom midig ugyaayi maradékot ad 6-tal osztva mide egész x számra. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. Vegyük észre, hogy bármely k egész szám eseté a 6 osztja a következő 3 kifejezéseket: és k 4 k = k k 1 k k+ 1. Ezért, hogy a következő poliom k k = ( k 1) k( k + 1) ( ) ( ) 3 4 ( x) = ax + bx + cx dx Q +

6 mide k egész szám eseté osztható legye 6-tal, elegedő, hogy a következő feltételek teljesüljeek: a + c = 0 és b + d = 0. Egyesítsük a P( x) poliomba a tagokat az első hatváytól a egyedik hatváyig, az ötödik hatváytól a yolcadik hatváyig és így tovább. A végé azt kapjuk, hogy k ( ) = 49 4k P x = a0 + x fk ( x), k= 0 az f k ( x) függvéyekek általáos alakja ugyaaz, mit a Q ( x) függvéyé. Így a kezdő játékos a következő stratégiát választhatja: a 0 helyére a kívát maradékot teszi, és ezutá pedig mikor a második játékos kiválasztja az f k ( x) függvéy egyik együtthatóját, úgy kell válaszolia, hogy az együtthatók kielégítsék a megfelelő egyelőségeket: a + c = 0 és. b + d = 0 Az így kapott egész együtthatójú ( x) kiválasztott a 0 maradékot fogja adi 6-tal osztva. P poliom bármely x egész szám eseté a 3.7. Feladat. Adott a P ( x) = x + *x + *x *x + * x + 1 poliom. Két játékos egymás utá lecseréli a poliom csillagait egész számokra (általáosa - 9 lépés). A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliomak icse valós gyöke. Ha a poliomak va legalább egy valós gyöke, akkor a második játékos yer. Lehetséges-e, hogy midig a második játékos yerje a kezdő játékos lépéseitől függetleül? Megoldás. A válasz: Ige, eki va yerő stratégiája, bárhogya is játszik a kezdő játékos! 9 csillagot kell megváltoztati 5 páratla hatváyhoz és 4 páros hatváyhoz tartozót. Ha a kezdő játékos egy páros (páratla) hatváy melletti kitevőt változtat meg, akkor a második játékosak egy páratla (páros) hatváy melletti együtthatót kell megváltoztatia. Így 7 lépés k utá két csillag marad hátra az x és legalább az egyike páratla szám, és a második játékos lépése következik. A hét lépés utá legye a következő a poliom: Két eset létezik: P P k l ( x) Q( x) + αx + βx =. i) k - páros szám, l - páratla szám. Ekkor: l x hatváyok mellett, ahol a k és l számokak () = Q() 1 + α + β, P( 1) = Q( 1) + α β, P( 1) + P( 1) = Q( 1) + Q( 1) + α. 1 A 1 [ 1 P 1 + P 1 = második játékosak a következőt kell választaia: α = Q () 1 + Q( ) játékos lépéseitől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: ( ) ( ) 0 P () 1 = P( 1) = 0 és a P( x) P () 1 = P( 1), azaz P(1) P( 1) < 0 és ekkor a ( x) 1,1] ]. Ezért a kezdő. Így, vagy poliomak már va két valós gyöke: (+1) és (-1), vagy P poliomak legalább egy valós gyöke lesz a [ itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé).

7 ii) k és l - páratla számok. Ekkor: P( 1) = Q( 1) α β, () () k l P = Q + α + β, l l k l ahoa: P( 1) P() Q( 1) Q() ( ) + = + + α. l Q( 1) + Q() A második játékosak ekkor a következőt kell választaia: α = k l. Ezért l a kezdő játékos utolsó lépésétől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: P( 1) + P() = 0. Így, vagy P ( 1 ) = P( ) = 0 és a P ( x) poliomak va két valós gyöke: (-1) és (+), l vagy P( 1) = P() azaz P( 1) P() < 0 és a P ( x) poliomak lesz legalább egy valós gyöke a [ 1, itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé). 4. Rész MINIMAX ] Ebbe a részbe olya játékokat foguk megézi, amibe mide játékos yereméye változtatható bizoyos számokkal, és ezek a számok a játékosok lépéseitől függeek, és midkét játékos öveli szereté a yereméyét. A játékokba a két játékos által megszerezhető yereméy összege kostas lesz, függetle a játékosoktól. A játékosok érdekei elletétesek, mivel ha az egyik játékos jutalma megő, akkor a másiké csökke Feladat. Egy fiú és egy láy eloszt egymás között 10 csomagot a következő módo: a fiú szétosztja őket két halomba és láy elviszi az egyik kupacot. Meyi csomagot vihet el a láy, illetve a fiú? Megoldás. Midkette potosa 5 csomagot fogak elvii. Ugyais a fiú em fogja őket két eltérő kupacba osztai, mert akkor a láy a agyobbat fogja elvii. A fiú érdeke az, hogy a láy részét olya kicsire állítsa be, ameyire csak lehet. Az ilye típusú stratégiákat hívjuk miimax stratégiáak. ( ) 1,, 3,..., Feladat. Az számokat felírtuk egy táblára. Két játékos egymás utá + ) a vagy ( jelet teszi mide szám elé. Mide még szabad szám elé rakható jel. A kezdő játékos a végé a lehető legkisebb abszolútértékű összeget akarja kapja, de a második játékos a lehető legagyobb abszolút értékű összeget akarja eléri. Mekkora értéket érhet el a második játékos? Megoldás. A második játékos által elérhető legagyobb összeg a 30. Most tekitsük a második játékos stratégiáját, hogy elérje a lehető legagyobb összeget. A számokat 10 párra osztjuk: ( 1, ), ( 3, 4),...,( 19, 0). A kezdő játékos mide lépésébe valamilye jelet fog tei mide párba a agyobb szám elé, a második játékos erre az elletétes jellel fog válaszoli a számpár másik tagjáál. Csak egyetle esetbe, mikor a kezdő játékos egy jelet tesz az utolsó számpár egyik tagja elé, akkor kell a második játékosak ugyaazt a jelet teie ugyaaak a számpárak a másik tagja elé. Nyilvávaló, hogy az így kapott összeg abszolútértéke em kevesebb, mit: = 30.

8 Most be fogjuk bizoyítai, hogy a kezdő játékosak megva a lehetősége, hogy a második játékos összegét em többre, mit 30-re korlátozza. A visszamaradó számok közül a legagyobb elé elletétes előjelet kell teie, mit ami az összeg előjele abba a pillaatba (ha az összeg 0, akkor a kezdő játékos ( + ) jelet tesz). Tekitsük a játék egyik példáját és legye a k-lépés az utolsó lépés, amikor az összeg előjelet cserél (beleértve azokat a lépéseket is, amikor az összeg 0). Az első k 1 lépésbe yilvávalóa fel leszek haszálva a 0, 19, 18,..., 0 ( k 1) számok. Ekkor a lehetséges legagyobb abszolútértékű összeg a k-lépés utá: 0 ( k 1) + 0 k = 41 k. Ezutá a következő mide 10 k lépésbe az összeg miimum eggyel csökke, mivel az első játékos mide lépésbe az összeg abszolútértékét a visszamaradó számok közül a legagyobbal, m -mel csökketi, és a második játékos ezt em többel, mit m 1-gyel tudja öveli. Így a végső eredméy em lehet több, mit 41 k 10 k = 31 k. ( ) ( ) Rész NYERŐ STRATÉGIÁK Az alább következő feladatokba a játékosok egyikéek va yerő stratégiája Feladat. Adott egy 3 3 -as kiterjedésű táblázat és 9 egységyi kiterjedésű kártya. Mide kártyára a következő számok egyike va felírva: a 1 < a <... < a9. Két játékos egymás utá a még felhaszálatla kártyák egyikét a táblázat egyik még szabado lévő mezőjére helyezi. Miutá felhaszálták az összes kártyát, a kezdő játékos összeadja a legfelső és legalsó sorba lévő 6 számot, és a második játékos pedig összeadja a jobb és bal oldalo lévő oszlopokba található 6 számot. Az a játékos yer, akiek agyobb az összege. Megoldás. Vagy az első játékos yer, vagy dötetle a játszma. Ha a 1 + a9 > a + a8, akkor a kezdő játékos az a9 -et helyezi az 1-es mezőre, és a második lépésbe a -t vagy a1 -t tesz a -es vagy 3-as mezők egyikére. Ha a 1 + a9 < a + a8, akkor a kezdő játékos a1 -t tesz a -es mezőre és a második lépésbe a 9 -t vagy a8 -t tesz az 1-es vagy 4-es mezők valamelyikére. Ha a 1 + a9 = a + a8, akkor a kezdő játékos a fetebb leírt stratégiák egyikét haszálhatja. 1 3

9 Feladat. Adott egy oldalú kovex poliéder. A poliéder mide csúcsából potosa 3 darab él idul. Két játékos egymás utá felírja a evét az egyik szabad oldalra. Az a játékos yer, aki először írja fel a evét három olya oldalra, amik egy csúcsba találkozak. Megoldás. A kezdő játékos yer. Szükséges, hogy bebizoyítsuk az elejé, hogy létezik egy olya csúcs, ami em egy 3 háromszög. Legye mide oldal egy háromszög! Ekkor a poliéderek éle va, mivel mide csúcsból három él idul és mide él egyszerre két csúcshoz is tartozik. Csúcsok száma + Oldalak száma Élek száma =, azt Felhaszálva Euler tételét ( ) 3 kapjuk, hogy = +, azaz = 4, ami elletmodásba áll a játék feltételeivel. Így va egy olya oldal, hívjuk ezt A 1 -ek, ami em egy háromszög. Az első játékosak fel kell íria a evét A 1 -re. A kezdő játékosak a második lépésébe fel kell íria a evét az A oldalra, ami az A1 oldallal határos, valamit szité va közös éle az A3 és A4 szabad oldalakkal, amik szité A 1 mellett fekszeek (ez biztosa lehetséges, mivel a második játékos csak egy A 1 mellett elhelyezkedő oldalt tud felhaszáli). A harmadik lépése végé a kezdő játékos felhaszálhatja az A3 vagy A4 oldalak egyikét, azt, amelyiket a második játékos még em haszált fel. Így a kezdő játékos yer. 6. Rész SZÁMELMÉLET 6.1. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel az 1,, 3, 4, 5 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első jegyet, a második írja fel a második jegyet, a kezdő játékos írja fel a harmadik jegyet és így tovább Ha a kapott szám osztható 9-cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe az első játékos yer. Megoldás. Jelöljük a kezdő játékos által felírt számjegyeket a következőkkel - a1, a,...,a p, a második játékos által felírt jegyeket pedig a b1,b,...,bp számokkal és legye S a + a a + b + b = 1 p 1 b p. 1. Eset Ha p = 3m, akkor a második játékos a yerő a következő stratégiával: bi = 6 a i, ekkor az összeg S = ( a1 + b1 ) + ( a + b ) ( a p + bp ) = 6 p = 18m, ami osztható 9-cel, azaz a kapott szám osztható 9-cel.. Eset Ha p = 3 m + 1 vagy p = 3 m +, akkor a kezdő játékos a yerő a következő stratégiával: a 1 = 3 és ezutá a i = 6 bi 1, ekkor az összeg S = a1 + ( a + b1 ) + ( a3 + b ) ( a p + bp 1) + bp = 3 + 6( p 1) + bp Ha p = 3 m + 1, akkor az S = 18 m + ( 3 + b p ) összeg em osztható 9-cel, mivel 3 + b p 4 és 8 között va.

10 Aalóg módo, ha p = 3 m +, akkor az S = 18 m bp összeg em osztható 9-cel, mivel b p 1 és 5 között va. 6.. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel a 6, 7, 8, 9 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első számjegyet, a második játékos a másodikat, a kezdő játékos a harmadikat, és így tovább Ha az így kapott szám osztható 9- cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe a kezdő játékos yer. Megoldás. 1. Eset Hap = 3, akkor a második játékos yer. A kezdő játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír, ami a kezdő játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. (6 utá a második játékos 9-et ír, a további ilye számpárok pedig:,, ) p = 3 +. Eset Legye 1. Ekkor a kezdő játékos yer. A kezdő játékos lépése bármi lehet 9 kivételével. Ezutá a második játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír fel, ami a második játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. A kezdő játékos ilye stratégiája eseté a számjegyek összege az első és utolsó számjegy kivételével osztható lesz 9-cel. De az első számjegy em 9, és így az összes számjegy összege em osztható 9-cel. 3. Eset Ha p = 3 +, akkor a kezdő játékosak va yerő stratégiája a következő módo: a kezdő játékos első lépése a 9-es számjegy. Ezutá a második játékos mide lépését az utolsó kivételével hasoló módo válaszolja meg, mit a. Esetbe. Ha a második játékos lépése, ami az utolsó előtt va, em 9, akkor a kezdő játékos a 9-et választja. Ezzel a stratégiával a számjegyek összege az első élkül és az utolsó 3 élkül osztható 9-cel. A égy redkívüli számjegy között pedig legalább egy va, ami külöböző 9-től. Így eze 4 számjegy összege em osztható 9-cel és ugyaez igaz az összes számjegyre is Feladat. Néháy játékos, akik egy kör alakú asztal mellett ülek, az óramutató járásával megegyező iráyba vaak számozva. Az első játékosak eggyel több eurója va, mit a másodikak, a másodikak eggyel több, mit a harmadikak, és így tovább, mide játékosak eggyel több eurója va, mit a rákövetkezőek. Az első játékos egy eurót ad a második játékosak, a második játékos eurót ad a harmadikak, és így tovább, mide játékos eggyel több eurót ad a rákövetkezőek, mit ameyit ő kapott. A játék addig folytatódik, amíg lehetséges. A játék végé kiderül, hogy az egyik játékosak égyszer ayi eurója va, mit a szomszédjai egyikéek. Háya vaak a játékosok, és háy eurója volt a játék elejé a legszegéyebbek? Megoldás. Legye a játékosok száma és legye közülük a legszegéyebbek (például az. játékosak) x eurója a legelejé. A játék szabályai szerit az első kör utá a játékosokak (a számozásuk szerit) x +, x + 3,..., x + 1, x, x 1 eurója va. Ezutá a játék x körö keresztül folytatódik, amíg az. játékosak elfogy az x eurója. Ekkor a játék végé a játékosokak redre x + ( x + 1 )( 1),, 3,...,, 1, 0 eurója va. Mivel az 0, 1,,..., számok egymást követő természetes számok, ezért csak az első játékosak lehet 4-szer ayi péze, mit az egyik szomszédjáak. De a szomszédjai a. és. játékosok. Mivel az utolsó játékosak 0 eurója va a játék végé, ezért a feltételek alapjá a következő egyeletet kapjuk: x + ( x + 1)( 1) = 4( ), azaz x = = 3.

11 Ezért a 7 osztója, és így csak 1 vagy 7 lehet. De ha = 1, akkor azt kapjuk, hogy x < 0, ami lehetetle. Így = 7 és x =, azaz 7 játékos va az asztal körül és közülük a legszegéyebbek eurója volt a játék elejé. Megjegyzés. A feti érvelés azzal a feltételezéssel készült, hogy x 0, de köye látható, hogyha x = 0, akkor a feladatba leírt szituáció lehetetle lee. motoros 6.4. Feladat. k motorosak ( k 1) ( i 1,,..., k = ) a teljes távolság A-ból B -be kell utazia. Az első apo az M i 1 részét tette meg, ahol i egy pozitív egész i szám. A második apo a visszamaradó út 1 részét tette meg, ahol m i egy pozitív egész m i szám. A harmadik apo a második ap utá visszamaradó távolság 1 részét tette meg, a i 1 egyedik apo pedig a harmadik ap utá visszamaradó távolság részét tette meg. Az m i ( m i, i ) ( ) és m j, j természetes számokból álló számpárok külöbözők, ha i j,( i, j =1,,..., k ). A egyedik ap végé kiderült, hogy az összes M i motoros potosa az út m 3 részét tette meg A és B között. 4 i) Keressük meg a legagyobb lehetséges pozitív k számot; ii) Melyik M i motoros lesz a győztes a feti feltételek szeriti verseybe, ha az i, i számok m i i szorzatáak a lehető legagyobbak kell leie? Megoldás. Jelöljük az S -sel az A és B közötti távolságot. Az első apo az M i motoros 1 i S A második apo utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1 1 S S = S 1 i. i 1 1 S m 1 i i S S S i m 1 = i 1 i 1 i m i utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1. Hasolóa folytatva arra jutuk, hogy a egyedik ap végé visszamaradó távolság: Így a következő egyeletet kapjuk: S i mi.

12 m 1 S = S i m i 1 i 1 1 = 0 i 4 mii ( mi 1)( i 1) 1 1 =+ vagy = m i i. mi 1, i 1 ezért következik, hogy ( mi 1)( i 1) 1 = +, azaz m i = +. mii i mi egy egész szám, ezért i, azaz ( )( ) Mivel De mivel, ahoa -ek osztójáak kell leie. Felhaszálva, hogy az i számok szité pozitív egészek, azt kapjuk, hogy i vagy 3 vagy 4. Ekkor i vagy 4, vagy 3 redre. Így csak két megoldást kapuk: az M 1 motorost az ( m 1,1 ) = ( 3, 4) számokkal és az M motorost az ( m, ) = ( 4, 3) számokkal. Így i) a legagyobb lehetséges pozitív k szám a k =. ii) ilye verseybe icse győztes, mivel: m 1 1= m = 34 = 43 = 1. m 1,, 3,..., Feladat. Adottak az számok. Két játékos egymásutá letöröl egy számot, amíg két szám marad. Ha ezek összege osztható 5-tel, akkor a kezdő játékos yer. Ellekező esetbe a második játékos yer. Ki fog yeri becsületes játék eseté? Megoldás. Sokkal megfelelőbb, ha em a megadott számokkal, haem az 5-tel való osztási maradékaikkal dolgozuk. Ezek a maradékok: 5 darab 0, 5 darab 4-es, 5 darab 3-as, 6 darab 1-es és 6 darab -es. A kezdő játékos a yerő. A kezdő játékos első lépése az, hogy letörölje az 1-es számot. Ezutá olya maradékú számokat kell letörölie, hogy második játékos által letörölt és az általa letörölt számok maradékaiak összege együtt 5-öt adjaak. Még potosabba: i) ha a második játékos lépései a következők: 1,, 3, 4, akkor az első játékos lépései 4, 3,, 1; ii) ha a második játékos lépése 0, akkor a kezdő játékos lépése, és ezutá a második játékos mide 0 lépése utá szité 0 lesz a válaszlépése. Ezt a stratégiát haszálva a játék végé visszamaradó két szám maradékai a következők lehetek: 0, 0 vagy, 3 vagy 1, Feladat. Adott egy körö doboz. A dobozok egyikébe két kő va egy fehér és egy fekete. A többi doboz üres. Két játékos egymás utá mozgatja a köveket az első az óramutató járásával megegyező iráyba mozgatja a fehér követ egy vagy két dobozo keresztül, a második játékos a fekete követ mozgatja elletétes iráyba szité egy vagy két dobozo keresztül. Az a játékos yer, aki a saját kövét a másik játékos kövét is tartalmazó dobozba teszi. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) =13; ii) = 14 ; iii) = 15 ; iv) egy tetszőleges természetes szám. Ötlet. Fotos, hogy észrevegyük, hogy: a) ha 4 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy csapda az a játékos, akiek lépie ekkor, az fog veszítei; b) ha 3 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy átjáró a kövek át fogak haladi a következő lépésbe

13 egymáso, aélkül, hogy harcoláak. Haszáljuk a következőt: = 5 k + s, ( s = 0, 1,, 3, 4) Feladat. Egy termék ára euró. Két áruház-igazgató játszik. Midegyikük megöveli a termék árát egy lépésébe -kal, ahol egy természetes szám, [ ) m 1,100, de úgy, hogy a övekedés egész számú euró legye. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Melyik igazgató fog veszítei? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) ; ii) ; iii) természetes szám. m % =1000 = 880 = 600 ; iv) m k = ; v) egy tetszőleges k s Válasz. A második játékos fog yeri, ha = m 5, ahol m 10 p q,, = + (1, 3, 7,9) p egy tetszőleges természetes szám, és a k és s természetes számok oszthatók 3-mal. Mide egyéb esetbe a kezdő játékos a yerő. 7. Rész APPENDIX 7.1. Feladat. Egy keguru ugrál az x 0, y 0 iráyba az Oxy koordiáta-síko a következő módo: az ( x, y) potból a keguru az ( x + 1, y 1) vagy ( x 5, y + 7) potba ugorhat, de em ugorhat olya potra, amiek va egatív előjelű koordiátája. Mely kezdőpotokból em juthat el a keguru olya potba, amiek az Ox ( x, y) y koordiátasík O középpottól való távolsága agyobb, mit 1000 egység. Rajzoljuk meg az ilye x, y potok T halmazát és számítsuk ki a T halmaz F területét! Válasz.. A halmaz a következő: egy lépcső-szerű háromszög a lépcső potjai élkül: T ( x, y) F =15 T ( x, y) {( x = k + α, 0 y < 5 k, k = 0, 1,, 3, 4; 0 α 1)\ [] x + [] y 4, x 0, y 0 }, ( ) \ ( x = k, 5 k < y < 6 k, k = 1,, 3, 4, 5 )} { x az egészrész-függvéy, azaz ha a feti esetbe ha x =,...,egy emegatív tizedes x = egy természetes szám. [] tört alakú számjegy, akkor [] 7.. Feladat. Egy játékautomata a következő módo működik: miutá bedobuk 5 cetet, az automata megszorozza 3-mal az adott számot, és miutá bedobuk cetet, az automata 4-et ad az adott számhoz. i) Miimálisa háy cet szükséges ahhoz, hogy eljussuk az 1-es számtól az =1979 -ig a megadott automata segítségével? ii) Háy cet szükséges miimálisa, ha = 005? Ötlet. Hátulról kell eliduluk -től 1-ig! ahol

14 i) A miimálisa szükséges cetek száma: 37 = Lásd az alábbi sorozatot! Feladat. Válasszuk ki darab külöböző természetes számot az 1 és 3 számok között (ezeket is beleértve) úgy, hogy bármely két kiválasztott szám átlaga e legye bee a kiválasztott számok halmazába! Ötlet. Haszáljuk matematikai idukciót -re! A kiválasztott számok halmaza: a = 1, a =, a = 7, a = 8,..., a, a = a a = a + 3,..., a = a

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev SKATULYA-ELV Sava Grozdev Ha 3 apró labdát akarunk elhelyezni a nadrágunk 2 zsebébe, akkor kétség sem férhet hozzá, hogy legalább 2 labda azonos zsebbe fog kerülni. Hasonlóan, ha 4 kicsi dobozt akarunk

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáyi Kar Matematikataítási és Módszertai Közpot ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Készítette: Varga Viktória Matematika Bsc taári szakiráy Témavezető: Fried

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton Nukleáris kölcsöhatás: az atommagba számú proto, és N = számú eutro va, és stabil képződméy Mi tartja össze az atommagot? Heiseberg-féle határozatlasági reláció alapjá egy ukleo becsült kietikus eergiája

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE DR. BENKŐ JÁNOS * A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE ÁTTEKINTÉS Az ayag- és készletgazdálkodás fotos feladata a termelés üteméek megfelelő ayagszükséglet folyamatos kielégítése. A termelési program és az

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai............................... Kísérletek....................................

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAMÚ MOTOR MECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE

KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAMÚ MOTOR MECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAÚ OTOR ECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE A mérés célja: az egyik leggyakraa alkalmazott egyeáramú géptípus =f() jelleggöréiek megismerése és méréssel törtéő felvétele: A felkészüléshez

Részletesebben

Szerzô: Wolfgang Kramer. Ki lesz az ökörkör elnöke?

Szerzô: Wolfgang Kramer. Ki lesz az ökörkör elnöke? Szerzô: Wolfgang Kramer Ki lesz az ökörkör elnöke? Játékosok száma: 2-10 fô Ajánlott: 10 éves kor felett Tartalom:104 db játékkártya, 1 db játékismertetô A JÁTÉK CÉLJA: A játékos célja az, hogy a játékos

Részletesebben

A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül.

A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül. WASABI Játékszabály A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül. A JÁTÉK ELŐKÉSZÜLETEI A játék kezdetén minden játékos kap 4 kockát,

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály 40 rózsát el lehet-e osztani 5 lány között úgy, hogy mindegyik lánynak páratlan számú rózsa jusson? Nem lehet.(1 pont) Öt darab páratlan szám összege páratlan, a 40 páros (1 pont). Hogyan tudnátok

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

JÁTÉKSZABÁLY KEZDŐ JÁTSZMA

JÁTÉKSZABÁLY KEZDŐ JÁTSZMA Marsha J. Falco JÁTÉKSZABÁLY A játék célja hogy 3 kártyából álló SET-eket találjunk meg az asztalra lehelyezett 12 kártyából. Minden kártyának 4 tulajdonsága van, amik a következők: FORMA: ovális, hullámos,

Részletesebben

6. Moduláris programtervezés

6. Moduláris programtervezés A visszavezetés techikájáak megértése, elsajátítása ömagába köyű feladat. Alkalmazása akkor válik ehézzé, amikor egy összetett probléma megoldásához egyszerre több programozási tételt is fel kell haszáli.

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Felkészülés a Versenyvizsgára

Felkészülés a Versenyvizsgára Felkészülés a Versenyvizsgára Feladatok 6. osztályosoknak 1. Ha egy tégla 2 kg meg egy fél tégla, akkor hány kg két tégla? 2. Elköltöttem a pénzem felét, maradt 100 Ft-om. Mennyi pénzem volt eredetileg?

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

S A M U R A I. by Reiner Knizia

S A M U R A I. by Reiner Knizia S A M U R A I 2-4 játékos számára 10 év felett by Reiner Knizia Tartozékok: 3 x 13 db figura - Sisak, Buddha, Rizsmező 80 db jelzőlapka 20 db mind a négy színben 4 db japán karakteres paraván Játéktábla

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Tervező: Thomas Lewandowicz. Grafika: Ewa Kotowska BEVEZETŐ ÉS A JÁTÉK CÉLJA

Tervező: Thomas Lewandowicz. Grafika: Ewa Kotowska BEVEZETŐ ÉS A JÁTÉK CÉLJA Tervező: Thomas Lewandowicz Grafika: Ewa Kotowska BEVEZETŐ ÉS A JÁTÉK CÉLJA A királyság elvette ezt a tengerparti területet és átadta az új báróknak. A bárók hamar felfedezték, hogy ezen vidék igazi értéke

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben