SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
|
|
- Amanda Mariska Hegedüs
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p prímsám, akkor φ(p) = p... Tétel (Euler). Ha a a egés sám relatív prím a -he, akkor a φ() ostható -el: a φ().. Tétel (Fermat). Ha a a egés sám em ostható a p prímsámmal, akkor a p ostható p-vel: p a p..3. Tétel (Wilso). Ha p prímsám, akkor (p )!+ ostható p-vel: p (p )! +.4. Tétel (Kíai Maradéktétel). Ha a a, a,..., a és r, r,..., r egésekre lko(a i, a j ) = mide i < j eseté, akkor léteik olya b egés sám, amelyre a a i b r i osthatóság teljesül mide i eseté..5. Példa. Bioyítsuk be, hogy 5 k teljesül a k = 5 5 esetbe és 5 k, ha k < 5 5. Megoldás. Mivel φ(5 ) = 5 5 = 4 5, Euler tételéek alkalmaásával kapjuk, hogy A továbbiakba teljes idukciót alkalmauk. Ha = és k = = 4, akkor 5 4 = 5 és a k < = 4 egésekre köye látható, hogy 5 k. Tegyük fel, hogy állításuk iga -re, de em teljesül + -re. Legye k < a legkisebb k, amelyre 5 + k. Most 4 5 =5 + 5 = kq + r, ahol 0 r k a ostási maradék a k-val törtétő maradékos ostásál. Ha r, akkor kq+ r k q r r 5 = = (( ) ) + ( ) és így k ( k ) q miatt 5 + r adóda elletétbe k válastásával. Tehát r = 0, aa 4 5 = kq. At állítjuk, hogy 4 5 ostója k-ak. Legye k = 4 5 t + m, ahol 0 m < 4 5 = 5 5 a ostási maradék a 4 5 -el való ostáskor. Ha m, akkor 5 = = (( t ) ) + ( + k t+ m m m t és így ( ) miatt 5 m adóda elletétbe a -re voatkoó feltevésükel. Tehát m = 0, aa k = 4 5 t. A 4 5 = kq = 4 5 tq egyelőségre való tekitettel kapjuk, hogy t = vagy t = 5. A t = eset lehetetle, hise 5 + k =. A t = 5 eset sité lehetetle, mert k < = 4 5. Már csak ayit kell beláti, hogy valóba teljesül. Most 5 = és a -re voatkoó feltevésük követkeméye. Így at kapjuk, hogy ) = 5 s, ahol
2 5 s. Tehát = (5 s) em ostható 5 + -el (5 s) 4 + 0(5 = (5 s) 3 s + ) + 0(5 5 = s) + 5(5 s) = 5 p.6. Példa. Igaoljuk, hogy p! +, ahol p = 4k+ prímsám. + w + 5 Megoldás. Wilso tétele serit p (p-)! += (k) (k+) (p ) + és (k) (k+) (p ) + = (k) (p k) (p (k )) (p )+= = [(k)!] + pw +, valamilye w egés sámra, ahoa a kívát osthatóság adódik..7. Példa. Igaoljuk, hogy a p = x + y egyeletek léteik (x, y) egés sámokból álló megoldása, ahol p = 4k + prímsám. Megoldás. Ha mp = x + y megoldható valamilye m < p egésre (a.6 példa serit e iga), akkor belátjuk, hogy p = x + y is megoldható valamilye m egésre. Ha s m páros, akkor x + y ahol és x y m x + y p = x y +, egés sámok. Ha m páratla, akkor x = mr + x ad y = ms + y valamilye x < m és y < m egésekre. alapjá x y = m + mp = x + y = ( mr + x ) + ( ms + y) = mw + x + y adódik valamilye egésre ( = 0 em lehetséges, mert mp = x +y em ostható m -el). A x < m és y < m egyelőtleségekből m m m m = x + y < + = kapható, ahoa < m adódik. A p = x +y megoldhatósága a m p = ( mp)( m) = ( x + y )( x + y ) = ( xx + yy ) + ( xy x y) + yy = ( mr + x ) x + ( ms + y) y = mrx + msy + x + y = m( rx + sy xy x y = ( mr + x ) y x ( ms + y) = m( ry xs) p = ( rx + sy + ) + ( ry xs). xx + egyeletekből követkeik. A feti ú. lesálló lépés ismételt alkalmaása (a m helyett a a előbbieket) végül at adja, hogy p = x +y.8. Feladat. Igaoljuk a követkeőket. () 00 0 megoldható. ) m egésre megismételve
3 () (3) (4) (5) (6) m(m ) (7) k + (8) Útmutatás. () 0 = ( )( ) () 3 követkeméye 3 60 és követkeméye Így Másrést követkeméye és (3) 5 + és követkeméye 0 5 és követkeméye , ahoa adódik követkeméye és felhasálásával kapjuk, hogy (4) =( ) + ( ) ( ), = 4 ( ), =64 és 7 + 4, , (5) és (6) = és hasáljuk Fermat tételét. Alkalmauk teljes idukciót: (3 3(+)+3 6(+) 7) ( ) = 6(3 3+3 ) és k = 8t = ) k+ 4 követkeméye és ( 8t.9. Feladat. Egy égyetsám utolsó égy sámjegye aoos. Melyik e a sámjegy? Útmutatás. Egy égyet utolsó sámjegye 0,, 4, 5, 6 és 9 lehet. A utolsó két sámjegy em lehet, 55, 66 és 99 (et a 4-el való ostás mutatja). A megmaradt lehetőségek köül 4444 em lehetséges (et a 6-al való ostás mutatja). A egyetle eset a 0000, amelyet a 00 megvalósít..0. Feladat. Igaoljuk, hogy (!) (-)! ostója (!)!-ak. Útmutatás. Hasáljuk fel, hogy! (t + )(t + ) (t + )... Feladat. Legye m egés sám. Bioyítsuk be, hogy mide páros sám felírható két m-he relatív prím egés külöbségekét. Útmutatás. Legye k a adott páros sám és legyeek p, p,, p r a m prímtéyeői. Mide i r idex eseté léteik olya x i egés, amelyre f(x i ) = x i (x i + k) em ostható p i -vel. A Kíai Maradéktétel bitosítja a léteését olya x egések, amelyre p i x x i mide i eseté. Így kapjuk, hogy p i f(x) f(x i ) és p i f(x) mide i-re (itt f(x) = x(x + k) ). Tehát k = (x + k) x a kívát felírás.
4 . AZ ax + by = c LINEÁRIS EGYENLET.. Tétel. Legyeek a,b,c em ulla egés sámok, ekkor a alábbi állítások ekvivalesek: () Léteek olya x és y egések, amelyekre ax + by = c teljesül. () A a és b legagyobb köös ostója c-ek ostója, aa lko(a, b) c. Ha (x 0,y 0 ) egy tetsőleges megoldása a ax + by = c egyeletek, akkor bármely más (x, y) megoldás a alábbi x = x 0 + b 0 t és y = y 0 a 0 t, alakba kapható, ahol t valamilye egés sám és a 0 = a/lko(a,b), valamit b 0 = b/lko(a, b). Bioyítás. Legye d = lko(a, b). ()() d a és d b alapjá d ax és d by adódik, ahoa d ax + by kapható. Így d c is teljesül. ()() Most c 0 = c/d egés sám és ax + by = c helyett írható, hogy a 0 x + b 0 y = c 0, ahol lko(a 0, b 0 ) =. Ahogya at már egy lemmába láttuk (a Euklidési algoritmussal kapcsolatba) lko(a 0,b 0 ) = garatálja, hogy a 0 x + b 0 y = teljesül alkalmas (x,y ) egésekre. Nyilvávaló, hogy (x,y ) megoldása a ax + by = d egyeletek és a is, hogy (c 0 x,c 0 y ) megoldása a ax + by = c egyeletek. A ax + by = c össes (x, y) megoldását a ax 0 + by 0 = c egyeletből úgy kapjuk, hogy a alábbi ax + by = ax 0 + by 0 egyelőséget tekitjük. Ie előbb a(x x 0 ) = b(y 0 y) majd a 0 (x x 0 ) = b 0 (y 0 y) kapható. Mivel lko(a 0, b 0 ) =, eért b 0 x x 0 aa x x 0 = b 0 t teljesül valamilye t-re. A a 0 b 0 t = b 0 (y 0 y) követkeméyekét kapjuk, hogy y 0 y = a 0 t. Tehát x = x 0 + b 0 t és y = y 0 a 0 t. Köye elleőríhető, hogy bármely t-re a (x 0 + b 0 t, y 0 a 0 t) pár megoldása a ax + by = c egyeletek... Példa. Keressük meg a 354x + 38y = egyelet megoldásait a egés sámok körébe. Megoldás. Most lko(354, 38) = 6 és 354 = 6 59, 38 = 6 3, = 6. Mivel 6, a egyelet megoldható. Elegedő a 59x + 3y = egyelettel foglalkoi, ahol lko(59, 3) =. Előbb a 59x + 3y = egyeletet oldjuk meg a Euklidési algoritmusak a (59, 3) sámpárra való alkalmaásával. A követkeő lépéseket tessük: 59 = 3 + 3, 3 = 3 + 0, 3 = 0 + 3, 0 = 3 3 +, 3 = Így a alábbi kifejeéseket kapjuk a egymást követő maradékokra: 3 = 59 3 = ( ), 0 = 3 3 = 3 ( ( )) = 59 ( ) + 3 3, 3 = 3 0 = ( ( )) (59 ( ) + 3 3) = ( 5) = = (59 ( ) + 3 3) ( ( 5)) 3 = 59 ( 7) Tehát x = 7 és y = 8 megoldása a 59x + 3y = egyeletek. Nyilvávalóa x 0 = ( 7) = 4 és y 0 = 8 = 36 megoldása a 59x + 3y = egyeletek. A. Tételt hasálva kapjuk a 59x + 3y = össes megoldását: ahol t tetsőleges egés sám. ( 4 + 3t, 36 59t),.3. Példa. Keressük meg a 35x + 5y + = 8 egyelet megoldásait a egés sámok körébe.
5 Megoldás. A egyelet 5(7x + 3y) + = 8 alakba is írható. Előbb a 5u + = 8 egyeletet oldjuk meg. A u = 4 és = egések megoldását adják a 5u + = egyeletek, eért ( 3, 8) megoldása a 5u + = 8 egyeletek. A tételük serit a 5u + = 8 egyelet megoldásait a ( 3 + t, 8 5t), t Z párok solgáltatják. Így 5(7x + 3y) + = 8 potosa akkor teljesül a x, y, egésekre, ha 7x + 3y = 3 + t és = 8 5t teljesül valamilye t egésre. Csupá a 7x + 3y = 3 + t egyelet megoldásait kell megtaláli tetsőleges t eseté. A (, ) pár megoldása a 7x + 3y = egyeletek, eért ( 3 + t, 64 4t) megoldása a 7x + 3y = 3 + t egyeletek. A. Tétel serit a általáos megoldást a alábbiak solgáltatják x = 3 + t + 3s és y = 64 4t 7s, ahol s tetsőleges egés sám. Követkeésképpe (x, y, ) potosa akkor megoldása a 35x + 5y + = 8 egyeletek, ha találhatóak olya t és s egések, amelyekre (x, y, ) = ( 3 + t + 3s, 64 4t - 7s, 8 5t)..4. Feladat. Keressük meg a alábbi egyelet redser megoldásait a egés sámok körébe. 3x + y 7 = 5, x 5y + 9 =. 3. NEM LINEÁRIS DIOFANTOSZI EGYENLETEK 3.. Tétel. Legyeekt x, y, poitív (em ulla) egés sámok és x = dx,y = dy, = d, ahol d = lko(x, y, ) > 0. Ekkor x + y = potosa akkor teljesül, ha () vagy () teljesül. () x = u v, y = uv és = u + v valamilye u > v egésekre, ahol lko(u, v) =. () x = uv, y = u v és = u + v valamilye u > v egésekre, ahol lko(u, v) =. Bioyítás. x + y = átírható d x + d y = d alakba, így egyserűsíthetük d el. Most lko(x, y ) =, lko(x, ) =, lko(y, ) =. At állítjuk, hogy x és y potosa egyike páros. Valóba lko(x, y ) = miatt x és y midegyike em lehet páros. Másrést ha x és y midegyike páros lee, akkor x = k + és y = l + at eredméyeé, hogy 4( k + k + l + ) (*) = x + y = l + aa, hogy és így is páros. De 4, elletmodaa (*)-ak. Tegyük fel, hogy y = l páros, ekkor x és eel együtt is páratla. Most ( + x )( x = x = y követketébe )
6 + x x y =. Mivel + x x = x + x + x =, és lko(x, y ) =, eért + x x = lko, A egymásho relatív prím égyetsám, ha + x és x sámok sorata csak úgy lehet + x = u és x = v teljesül valamilye u > v egésekre, ahol lko(u, v) =. A fetiek serit és így u v = x ad u + v = ( u + v ) ( u v ) u y = = x = 4 v a y = uv egyelőséghe veet. A a eset, amikor x a páros hasolóa tárgyalható és a ()-be látható egyelőséghe veet. Végül megjegyeük, hogy a aoosság midíg teljesül. ( u v ) + ( uv) = ( u + v ) 3.. Példa. Keressük meg a x + y = egyelet egés megoldásait. Megoldás. Csak a em egatív megoldásokkal foglalkouk. Egyserűsítsük d -el, ahol d = lko(x, y, ), a erdméyt x + y = alakba írjuk. Most y és aoos paritásúak, továbbá lko(x, y, ) =. Nyilvávaló, hogy x + y = + y y legye lko(, ) = δ. Ekkor vagy y 3
7 + y = 3 u δ és y = v δ vagy pedig + y = v δ és y = 3 u δ teljesül alkalmas relatív prím u 0 és v 0 egésekre. A első illetve a második esetbe a alábbiakat kapjuk illetve = ( 3u + v )δ, y = ( 3u v )δ, x = uvδ = ( 3u + v )δ, y = ( v 3u )δ, x = uvδ Mivel δ x, δ y ad δ midkét esetbe, eért δ =. A em egatív megoldások a követkeők x = uv, y = 3u v, = 3u + v Tétel. Ha (x, y, ) megoldása a x 4 + y 4 = egyeletek, akkor x = 0 vagy y = 0. Bioyítás. Legye x, y, és (x, y, ) olya megoldás, amelybe a lehető legkisebb. A általáosság rovására em megy ha feltételeük, hogy lko(x, y) =. A 3. Tételt alkalmava kapjuk, hogy x = uv, y = u v ad = u + v alkalmas u > v, lko(u, v) = egésekre. x = uv miatt u és v valamelyike páros (a másik páratla). Ha u = k és v = l +, akkor y = u v = 4(k l l) elletmodás. Tehát v = l és x = 4ul, ahoa x = ul adódik. Mivel lko(u, l) =, eért u = és l = teljesül bioyos és v egésekre. Most v = v és páratla. A y = u v egyeletből v ( v ) y = ( ) +, követkeik, ahol lko( v, y ) =. A 3. Tétel ismételt alkalmaásával kapjuk, hogy v = u v, y = u v, + = u v a u > v, lko(u, v ) = egésekre. A v = u követkeméye, hogy u = és v v = teljesül bioyos x és y relatív prím egésekre. A = u + felírható y v x
8 x = y alakba. Tehát (x, y, ) olya megoldás, amelyre elletmodásba a válastásával. = u < u + v = teljesül 3.4. Példa. Keressük meg a x 6 + 3y 6 = 6 egyelet egés megoldásait. Megoldás. Legye (x,y) (0,0). Feltehető, hogy x és y valamelyike em ostható 7-el (ellekeő esetbe egyserűsíthetük 7 6 -al). Három esetet visgáluk. - Ha 7 x és 7 y, akkor Fermat tétele serit 7 (x 6 ) + 3(y 6 ) = 6 5. Mivel 7 vagy 7 6, eért 6 5 em ostható 7-el, e elletmodás. - Ha 7 x és 7 y, akkor 7 x 6 + 3(y 6 ) = 6 3. Mivel 7 vagy 7 6, eért 6 3 em ostható 7-el, e elletmodás. - Ha 7 x és 7 y, akkor 7 (x 6 ) + 3y 6 = 6. Mivel 7 vagy 7 6, eért 6 em ostható 7-el, e elletmodás. Tehát a egyetle megoldás x = y = = 0. A Diofatosi egyeletek általáos elméletébe a egyik legfotosabb eredméy a követkeő Tétel (Roth, 955). Legyeek a 0, a,,a, b ij Z (0 i, j) olya egés sámok, amelyekre a f(x) = a 0 + a x + + a x poliom irreducibilis a Z felett. Ha 3, akkor a alábbi egyeletek csak véges sok megoldása va a egés sámok körébe a x + a x y axy + a0 y = bij i+ j 3 i x y j 3.6. Példa. Véges sok olya (x, y) egés sámokból álló pár va, amelyre x + 3x y 3x y + 6y = x y + xy + 7x + 5y + teljesül. Megoldás. Mivel f(x) = x 5 + 3x 3 3x + 6 irreducibilis felett (pl. Eiestei kritériuma serit), a 3.5 Tétel alkalmaható Feladat. Keressük meg a alábbi egyelet egés megoldásait x + 3y + 4 = u Útmutatás. Hasáljuk Fermat tételét: 3 vagy 3 mide egésre Feladat. Keressük meg aokat a (x, y) egésekből álló párokat, amelyekre x + 3xy ( x + y) = 0. Útmutatás. Írjuk fel a egyeletet a 003 9y = 3x x alakba és hasáljuk, hogy 003 prím Feladat. Keressük aokat a (x, y, ) egéseket, amelyekre
9 x + y + = 3 és x 3 + y = 3. Útmutatás. (x + y + ) 3 (x 3 + y ) = 3(x + y)(x + )(y + ) Feladat. Legye egés és p prím. Igaoljuk, hogy x(x + ) = p y(y + ) em oldható meg a x és y egésekre. Útmutatás. x + p és p = [p (y + ) + (x + )][p (y + ) (x + )]. 3.. Feladat. Legye D = m + valamilye m egésre. Igaoljuk, hogy a x Dy = egyeletek végtele sok megoldása va a egés sámok körébe. Útmutatás. x = m + és y = m megoldás. A biomiális tétel serit mide kitevőre ( x + y D ) = x + y D és ( x y D ) = x y D alkalmas (x, y ) egésekből álló párra. Továbbá ( x Dy ) = ( x + y D ) ( x y D ) = x Dy =.
26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév
Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Részletesebben2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}
2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben2.2. A z-transzformált
22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenValós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok
Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való
RészletesebbenMegjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok
1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenEUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei
Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenFerde hatásvonalú csuklóval megtámasztott rúd stabilitási vizsgálata
MISKOCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOGOZAT Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egyel Ákos Jósef I. éves gépésméröki MSc sakos hallgató Koules:
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenLineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete
Lieáris egyelet algebrai egyelet kostasok és első fokú ismeretleek pl.: egyees egyelete Lieáris egyeletredser y a b lieáris egyeletek csoportja ugya ao a váltoó halmao Lieáris egyeletredser B b B b B b
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenÖ ü ö ü Ö Ö ü ú ó ü ö ö Ö ó Ö ö ú ö ó ö ö ó ö ö ö í í ö ö ü ü ö í ü ö ö í ö í ó ü ö ö í ü í ö í ü ú ü ö Ö ü ö ű ó í ó ó ó ö í ü ó ó ó ö ö ó ö í ó ü ó ó ö ö ü ó ö ö ó ó ó ü ü ó ó ö ö ü í ö ű ö ű ö ö ű í
Részletesebbení ö í í ú ű í í í ú í ű í Ü ö ö ö ü ö ö ö í ö ö ö ö Ö Á ö ö É ö ö ú ú ö ö ú ö í Á Á ö Ü Ú í ÁÁ ö í ö í í ú ű í ö ö í ú É í ű í ö ö É í í ű í ű í É í í ü ű ü ű í Á Á í ü í ü í ü ö ű ö É ü É ú Á Ó í í í
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenVIII. FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK
Össefoglaló feladato 7 VIII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII Verseyre előésítő feladato Két samitás, 6060 illetve 8080-cm agyságú sőyegdarab (mide meő 00 cm agyságú) segítségével le ell fedi egy 0000
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Részletesebben