Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

Átírás

1 1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy magáus) éséek Jelölésük: Re x és Im y A x y komplex sámak két geometa epeetácója s va, a egyk a xy-sík Px, y potja, míg a másk ugyaebbe a síkba a ogóból a Px, y potba mutató OP x y j vekto Mdkét esetbe a x -tegelyt valós, a y -tegelyt pedg képetes tegelyek eveük, Re, lletve Im -vel jelöljük A komplex sámok geometa epeetácóját gyaka Agaddagamkét s emlegetjük A ábá seeplő söge vssatéük később, mko a komplex sámok más alakjával s megsmekedük 1 Példák: 1 4,, 4, 4 4, 5 5, Megjegyés: Amt má előbb s említettük, a komplex sámok : x y x, y, 1 halmaa és a sík potja köött kölcsööse egyételmű kapcsolat létesíthető, aa mde x y komplex sámho egyételműe hoáedelhető a sík egy Px, y potja és fodítva, a sík bámely, x y komplex sámot P x y potjáho egyételműe hoáedelhetjük a 14 Defícók: A x y komplex sám elletettje em más, mt x y, aa tulajdoképpe a ogóa vett smmetkus les A x y komplex sám absolút étéke (akácsak a valós sámok eseté) em más, mt a ogótól vett távolság, aa x y A

2 x y komplex sám kojugáltja a x y, aa em más, mt a x -tegelye vett smmetkus ( eek set ) 1 Műveletek algeba alakba Mvel a valós sámok specáls komplex sámok, eét úgy kell a -bel sámoka a műveleteket defáluk, hogy mde eddg defícó, tétel, tulajdoság, am a valós sámokkal végett műveleteke voatkok, évéybe maadjo 11 Defícók: Két, algeba alakba megadott komplex sámot úgy aduk össe (és vouk k egymásból), hogy a valós- és képetes ésekkel külö-külö elvégeük a össeadást (kvoást) A kvoás tt s elletettel való össeadást jelet Tehát ha 1 x1 y1 és x y, akko : x x y y : x x y y x y x y, aa két algeba alakba Továbbá megadott komplex sámot úgy souk össe, mt két áójelet, mde tagot besouk mde taggal, fgyelembe véve, hogy 1 x y x y x y x y 1 Megjegyés:, 1 Megjegyés: Ostásko pedg mdg bővítük a eveő kojugáltjával, aa x x y y x y x y x y ( x y )( x y ) x x y y x y x y x y x y x y x y x y x y ( )( ) 14 Megjegyés: Melőtt a hatváyoásól sót ejteék, éük meg a képetes egység hatváyat: és így tovább, eét tetsőleges hatváyáak eedméyét mdg a hatváyktevő 4-gyel való maadékos ostása hatáoa meg Példa: Sámítsuk k: 1 étékét 4 Megoldás: A 18 megjegyés matt 0, így megy e végg , met 008 ostható 4-gyel ( ) 1, ematt a két éték 1 16 Megjegyés: Nem tuduk tetsőleges komplex sámot algeba alakba hatváyo, ematt s sükséges egy másk alak beveetése Ugyae a helyet a komplex -edk gyökvoás eseté s Aét agyo specáls komplex sámok eseté algeba alakba s köyű a hatváyoás, mt például:

3 a x -tegelye va a komplex sámuk, aa valós sám, pl a y -tegelye va a komplex sámuk, pl , 0 ( 0 ), valamelyk sögfeleő helyekedk el, aa x és y köött csak előjel eltéés lehet, pl Ameybe máshol helyekedk el, algeba alakba csak agyo ks hatváyt édemes elvége Sükségük a komplex sámok más alakjáa s 14 A komplex sámok tgoometkus és expoecáls alakja Tektsük a x y komplex sámot Eek egyételműe megfeleltethetük egy síkbel Px, y potot és egy OP vektot A Agad-dagamot megéve, ameybe -val jelöljük a x - tegely és a OP vekto által beát söget (a x -tegelytől óamutató jáásával elletétes áyba haladva), a követkeőket állapíthatjuk meg: ha csak a étéket ögítjük, egy félegyeest kapuk a síkba, ha csak a : x y absolút étéket ögítjük, akko egy ogó köéppotú, sugaú köt kapák a síkba, ha mdkét étéket ögítjük, akko egy egyételműe meghatáoott, a komplex sámsíkba (a kö és félegyees egyelemű metsetét) Felíhatjuk, hogy cos x, s y, ahol P x y potot kapuk x y Ematt x cos, y s A algeba alakból kdulva kapjuk, hogy x y cos s cos s 141 Defícó: A komplex sám tgoometkus alakja cos s absolút éték, 0, pedg a főagumetum, ahol 0 a 14 Megjegyés: A fet bekeeteett képletek btosítják a átmeetet a algeba és a tgoometkus alak köött 14 Példák: Legye cos s Íjuk fel a algeba alakot Megoldás: 1 cos s cos s 1 Legye Íjuk fel a tgoometkus alakot

4 Megoldás: x y 1, cos x, 1 s y Mvel mdkét 7 éték egatív, eét a hamadk egyedbe va a agumetum, aa Így cos s Tétel (Eule-fomula): e cos s 145 Defícó: A fetek alapjá felíhatjuk a komplex sám expoecáls alakját: 0 0, és e, ahol 15 Műveletek expoecáls és tgoometkus alakba Össeadást, kvoást csak algeba alakba édemes elvége Soás: Legye 1 1 1e és e Ekko a két sám soata: e Ostás: A 1 1 1e és e komplex sámok háyadosa: 1 1 e 1 Hatváyoás: tetsőleges 1,,, és tetsőleges e ( 0 e, am aoal követkek a hatváyok tulajdoságaból és 0, ) eseté 151 Megjegyés: Bámlye műveletől s legye só, a végé ügyeljük aa, hogy 0, 15 Defícó: A komplex sám -edk gyöke 1,,, aok a w komplex sámok, melyeke w Specáls eset: 0 0 Mde más esetbe a külöböő komplex sámot taka -edk komplex gyökök: 15 Tétel: Legye tetsőleges 1,,, és tetsőleges k e, ahol k 0,1,,, 1 e ( 0 Boyítás: A fet sámot -edk hatváya emelve kapjuk, hogy k e cos k s k cos s e és 0, ) Ekko Előbb sámításba a Eule-fomulát és a tgoometkus függvéyek peodctását hasáltuk Eek a komplex -edk gyökök a síkba egy ogó köéppotú, sugaú köbe íható sabályos -sög csúcsaak felelek meg 4

5 Tgoometkus alakba átíva a eddgeket kapjuk a követkeőket: Össeadást, soást csak algeba alakba édemes elvége cos s cos s Ekko Soás: Legye és cos( ) s( ) (ebből látsk, hogy a soás egy yújtva fogatást jelet a síkba) cos s Ostás: Legye és cos s cos( 1 ) s( 1 ) Ekko Hatváyoás: Hatváyoás: tetsőleges 1,,, és tetsőleges cos s ( 0 és 0, ) eseté cos( ) s( ) 154 Megjegyés: Bámlye műveletől s legye só, a végé ügyeljük aa tt s, hogy 0, Továbbá, ameybe a tgoometkus alakba végett hatváyoás képletéek at a specáls esetét tektjük, mko 1, a cos s cos( ) s( ) képletet De Move tételéek eveük 155 Tétel: Legye tetsőleges 1,,, és tetsőleges cos s ( 0 és 0, ) Ekko cos k s k, ahol 0,1,,, 1 k Boyítás: A fet sámot -edk hatváya emelve kapjuk, hogy cos k s k cos s 16 A algeba alaptétele 161 Tétel (A algeba alaptétele): A komplex sámok köébe mde -edfokú 1,,, a a a a 0 alakú egyeletek ( a, a 0 ) potosa daab gyöke va, ameybe a m -sees gyököket m -se (aa multplctással) sámoluk 16 Példa: Oldjuk meg a algeba alakba kéjük 1 0 egyeletet a komplex sámok halmaá A megoldásokat Megoldás: A algeba alaptétele matt tudjuk, háom komplex megoldásuk les Eekből egyk a eddg smet 1 1, a másk két megoldást még k kell sámoluk Kétféleképpe kedhetük hoá Dolgohatuk algeba alakba (A) és tgoometkus alakba (B), a komplex köbgyökök képletet hasálva 5

6 A) Ematt 1 1 és a másk két gyököt a 1 0 másodfokú b b 4ac egyelet komplex megoldásából kapjuk A megoldó képlet maad,, aal a a külöbséggel, hogy tt komplex égyetgyök seepel a megoldó képletbe, így e eleve két sámot jelet (tt jö be a, met a komplex sámok halmaába, ahol tt má valós seepel a jobb oldalo) Tehát, B) A 1-gyet tgoometkus alakba felíva kapjuk, hogy a 0 k 0 k 1 1(cos 0 s 0) cos s a gyökök, ahol k 0,1, Így 0 cos0 s 0 1, 1 1 cos s, cos s 6