y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, z x iy x

Átírás

1 SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM LKLMZO MECHNIK NSZÉK MECHNIK-REZGÉSN GYKORL (kdolgota: Fehér Lajos, tas m; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek Komle meségek tulajdosága, művelete Komle meség komle sám komle vektor a) Komle meség algebra alakja:, - a komle sám valós (reáls) rése, - a komle sám kéetes (magárus) rése, - a kéetes (magárus) egségvektor kéetes egségvektor tulajdosága: -, absolút értéke eg, -, ömagával vett sorata míus eg komle sám -vel törtéő sorása a vektor -os elforgatását eredmée a óramutató forgásával elletétes rába: ( ) b) Komle meség trgoometrkus alakja: r(cos s ), r - a komle sám absolút értéke (agsága), - a komle sám tegellel beárt söge, r Re( ) r cos - a komle sám valós r s (reáls) rése, r cos Im( ) r s - a komle sám kéetes (magárus) rése c) Komle meség eoecáls alakja: r e, ahol e,788 a termésetes sám és r a komle sám absolút értéke (agsága) Megjegés: 9 o - eoecáls alak a e e függvé sorfejtésével veethető be - trgoometrkus és a eoecáls alak egbevetéséből követkek, hog a komle meség a tegellel söget beáró komle egségvektor: e e Regésta Gakorlat /7

2 d) Komle meség absolút értéke: r cos s r absolút érték tulajdosága:, - -, - a esetbe e) Komle meség kojugáltja: r(cos s ) re komle sám kojugáltja: r(cos s ) re Műveletek a kojugálttal: - ( ) ( ), - ( ) ( ), - ( )( ) r, ( ) ( ) ( ) ( ), - - f) Komle meségek sorása: - Sorás algebra alak eseté: ( a b )( a b ) aa bb ( ab ab ) - Sorás trgoometrkus alak eseté: r (cos s ) r (cos s ) r r cos( ) s( ) - Sorás eoecáls alak eseté: ( ) r r e e r r e Megjegés: -, e e ( ) és e ( ) egségvektorok: e e e a tegellel, és ( ) söget beáró - sorás komle eredmévektora a komle vektorho kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával elletétes rába g) Komle meségek ostása: - Ostás algebra alak eseté: ( a b ) a b ( a b ) ( a b ) ( a b ) a ( a b ) b ( a b ) aa bb ba ba a b a b a b a b - Ostás trgoometrkus alak eseté: Regésta Gakorlat /7

3 r (cos s ) r cos( ) s( ) r (cos s ) r - Ostás eoecáls alak eseté: r e r ( ) e r e r Megjegés: - e, e ( ) és e a tegellel, és ( ) söget beáró ( ) egségvektorok: e e e - ostás / komle eredmévektora a kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával megegeő rába komle vektorho h) Komle meségek sög sert dfferecálása: - Dfferecálás eoecáls alak eseté: d d d( r e ) d r e d d sög sert dfferecálás a komle meséget -kal elforgatja a óramutató járásával elletétes rába - Dfferecálás trgoometrkus alak eseté: d d r(cos s ) r( s cos ) d d 9 o Herbolkus és a Krülov függvéek a) eoecáls függvé: Értelmeése: e lm! Kejtés: egelő é ad faktoráls ( faktoráls):! termésetes sám: e e e lm,788! e Regésta Gakorlat /7

4 b) herbolkus függvéek: Értelmeések: e e sh Kejtés: egelő sus herbolkus e e ch Kejtés: egelő kosus herbolkus ch sh c) Krülov-függvéek: Értelmeés: a Krülov függvéeket herbolkus és trgoometrkus függvéek leárs kombácója solgáltatja: S( k) ch k cos k ahol k valós álladó ( k) sh k s k,, U( k) ch k cos k V ( k) sh k s k,, függvéek sert első derváltja: ds k sh k s k kv ( k ) d, d k ch k cos k ks ( k ) d, du sh k s k k ( k ) d, dv ch k cos k ku ( k ) d függvéek másodk és harmadk derváltja: d S k U ( k) d, d du dv k V ( k), ( ) k S k, k ( k) d d d ds k ( k) d, d k U ( k) d, du dv ( ) k V k, k S( k) d d a) Mátr értelmeése, jelölése: Mátralgebra össefoglaló Mátr: Skalárs meségekek, sámokak megadott sabál sert tábláatba redeett halmaa Mátr jelölése: a a a a a a mátrokat kétser aláhúott betűvel, a mátrok elemet (koordátát) alsó dees betűvel jelöljük Pl a, és a, a stb a mátrelem a mátr első sorába és harmadk osloába áll Mátr mérete: Például a fet ()-as méretű mátrak két sora és három osloa va Regésta Gakorlat /7

5 a mátr elem jelölés kejtése (kolvasása): á eg három a Oslomátr: a a, sormátr: a a a a a oslomátrak eg osloa, a sormátrak eg sora va sormátr ugaaak a oslomátrak a trasoáltja sormátrot a mátr betűjeléek felső deébe írt betű jelöl b) Mátrműveletek: műveleteket ( ) -es, ()-es és ()-es mátrokra mutatjuk be - Mátr trasoáltja (tükröés a főátlóra): mátr főátlóját a aoos deű elemek alkotják a a a a a a a a ( ) ( ) trasoálás művelet jele: (a mátr felső deébe) trasoálás oslomátrból sormátrot, sormátrból edg oslomátrot ho létre jelölés kejtése (kolvasása): á trasoált - Mátrok össeadása, kvoása: Csak aoos méretű mátrok adhatók össe, vohatók k egmásból B C, a a b b ( a b ) ( a b ) c c a a b b ( ab) ( ab) c c ( ) ( ) ( ) () - Mátrsorás (sor-oslo kombácó): Csak ola mátrok sorohatók össe, amelek teljesítk at a feltételt, hog a első sorótéeő osloaak sáma megegek a másodk sorótéeő soraak sámával B C, a a b b ( a b a b ) ( a b a b ) a a b b ( a ba b) ( a ba b) ( ) ( ) ( ) b c, a a b ( a b a b ) c a a b ( a b a b ) c a () () () () B d, b b a a ( a b a b) ( a ba b) d d b b ( ) ( ) ( ) ( ) Regésta Gakorlat 5/7

6 c) Külöleges mátrok: - Egségmátr: E ulajdosága: E E egségmátr a főátlójába -es koordátákat, a főátlójá kívül elemeket tartalma egségmátrsal törtéő sorás em váltotatja meg a megsorott mátrot - Iver mátr (recrok mátr): mátr a E mátr vere, vag recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a elemeből kéeett determás em ulla - Smmetrkus mátr: mátr eleme megegeek a főátlóra vett tükörkéükkel Például 9 smmetrkus mátr - Ferdesmmetrkus mátr: mátr mátr bármelk eleme megegek a főátlóra vett tükörkééek míus egseresével Ebből a követkek, hog a főátlóba csak érus elemek lehetek Például ferdesmmetrkus mátr - Iver mátr (recrok mátr): mátr a E mátr vere, vag más éve recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a kéeett determás em ulla adj a j j ver mátr ksámítása: a j det a det j mátr elemeből Mátr sajátértéke és sajátvektora - sajátérték feladat ktűése: Létek-e ola oslomátr, amellel a oslomátr valahásorosát kajuk: Ha létek le oslomátr, akkor et a meséget edg a mátr sajátértékéek eveük égetes mátrot megsorova, a, ahol a skalárs meség? égetes mátr sajátvektoráak, a skalárs - sajátérték feladat megoldása: sajátérték feladat megoldását eg ()-es mátro mutatjuk be előő egeletet résletese kírva és bal oldalra redeve: a a a a a a, a a, és a sorásokat elvégeve, a, smeretlere homogé leárs algebra egeletredsert kauk: Regésta Gakorlat 6/7

7 ( a ) a, a ( a ) egeletredser emtrváls (ullától külöböő) megoldásáak feltétele a, hog a redser mátrából kéeett determásak el kell tűe: ( a ) a a ( a ) determást kfejtve kajuk a karakterstkus egeletet: ( a a ) ( aa a a) karakterstkus egelet megoldása a mátr sajátértéke: ( a a) ( a a) aa, homogé leárs algebra egeletredserek csak és eseté va emtrváls megoldása mátr sajátértéket övekvő sorredbe sokás sorsámo Ha a eges (=,) sajátértékeket behelettesítjük a homogé leárs algebra egeletredserbe, akkor a egeletredser megoldható a, smeretlere: ( a ) a, a ( a ) (=,) sajátértékek behelettesítése eseté aoba a egeletredser egelete egmástól em leársa függetleek, eért a egk egeletet el lehet hag és a másk egeletből csak a /, vag / (=,) háados határoható meg és értékét akkor kajuk meg egértelműe, ha a megköveteljük, hog egségvektorok legeek:, =, sajátvektoroktól Vektorok skalárs sorata skalárs sorás értelmeése: a b a b cos ( a vektorok köött beárt sög, ) a b művelet kolvasása: á skalársa sorova bével, vag á skalár bé skalárs sorás ksámítása mátrsorással: b a b a a a b ab ab ab b első soró téeő koordátát sormátrba, a másodk soró téeő koordátát oslomátrba redeük és a sorást a mátrsorás sabála sert (soroslo kombácó) végeük el sorás eredmée eg skalárs meség Regésta Gakorlat 7/7

8 Példa (Mátr műveletek) dott: 7, B 6 Feladat: a) és B trasoált mátrok meghatároása b) B össegmátr és a B külöbségmátr meghatároása c) B soratmátr meghatároása Kdolgoás: a) és B trasoált mátrok meghatároása: 7, 6 B b) B össegmátr és a B B 7 6 6, 8 B 7 6 c) B soratmátr meghatároása B 7 6 ( ) ( )( 6) ( ) 8 7( ) ( 6) 7 7 külöbségmátr meghatároása: Példa (Skalárs és mátr sorás gakorlása) dott: a 6j k m, b j k m Feladat: a b skalárs sorat meghatároása Kdolgoás: Regésta Gakorlat 8/7

9 a b sorat meghatároása: ab 6 ( ) 6 ( ) ( ) 5 m Példa (Mátr veréek előállítása) dott: Feladat: mátr veréek meghatároása Kdolgoás: - mátr determása: det ( ) ( ) (6 6) 5 - adjugált mátr eleme: adja 5, adj a ( ), adja 6 6, adj a ( ) 5, adja, adj a ( ) 6, adja 6 5, adj a ( 6), adja adjugált mátr: j adja j ver (recrok) mátr: adj a j j a j det a det 5 j Elleőrés: 5 E b) Példa (Mátr veréek előállítása) dott: Feladat: mátr veréek meghatároása Kdolgoás: Regésta Gakorlat 9/7

10 - mátr determása: det ( ) 7 - adjugált mátr eleme: adja, adj a (),, adj a (), adja,, - adjugált mátr: j adja j - ver (recrok) mátr: adj a adj, 857,9 j a j a j det a det a 7, 86, Elleőrés: j j, 857,9 E, 86, 857 Példa (Mátr sajátértékeek és sajátvektoraak meghatároása) dott: 9 Feladat: mátr sajátértékeek és sajátvektoraak a meghatároása Kdolgoás: - megoldadó homogé leárs algebra egeletredser: ( ) ( ), vag (9 ) ( ) ( ) (9 ) ( ) - karakterstkus egelet: ( ), (9 ) ( ) ( )(9 ), - karakterstkus egelet megoldása, a mátr sajátértéke: ( ), ( ), ( )( ) Regésta Gakorlat /7

11 mátr sajátvektora, a sajátértékek behelettesítése a leárs algebra egeletredserbe: sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) és egeletből: egeletből: tetsőleges érték Lege a sajátvektor egségvektor, íg: sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) egeletből:, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor:, ehát a -hö tartoó sajátvektor: 5 5 sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) egeletből:, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor: ehát a -ho tartoó sajátvektor:, Példa (Vektor adott ráal árhuamos össetevőjéek meghatároása) dott: b ( j k) m, ea (,8 j, 6 k ) b O Feladat: b b b vektor e a egségvektorral árhuamos b össetevőjéek meghatároása Kdolgoás: e a 5 5 Regésta Gakorlat /7

12 b árhuamos össetevő meghatároása: b ( e b) e,8, 6 e ( 8) e 5 e a a a a a b 5 e 5(,8 j,6 k) ( j k) m a Dfferecál egeletek (rövd áttektés) Dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg vag több váltoós smeretle függvé és derváltja köött kacsolatot írja le Fotosabb tíusok: kööséges dfferecálegeletek, arcáls dfferecálegeletek, (stochastkus dfferecálegeletek, késleltetett dfferecálegeletek) Kööséges dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg függetle váltoójú függvé és derváltja köött össefüggést adja meg d Pl m F, ahol t (Newto II dt törvée) Parcáls dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel a smeretle többváltoós függvé és a arcáls derváltja köött kacsolatot írja le u, Pl ; és a megoldás u, f Secáls eset: Leárs álladó egütthatós kööséges homogé dfferecálegelet d d r, ahol a avaró függvé d d Megoldás: ahol h, h d h d h a h homogé dfferecálegelet d d általáos megoldása, d d r a r homogé d d dfferecál-egelet eg artkulárs megoldása homogé dfferecálegelet általáos megoldása: d h d h h d d Megoldást e alakba keressük h Regésta Gakorlat /7

13 e Karakterstkus egelet: (-ed redű olom) Megoldása: sámú gök:,,, dfferecálegeletek sámú alamegoldása va: e,e,,e alamegoldások leárs kombácója s megoldása dfferecál- C e C e,, C e egeletek: h smeretle C,,, kostasok a erem-, lletve kedet feltételekből meghatárohatóak homogé dfferecálegelet eg artkulárs megoldása: d d r d d megoldást célserű a avaró vag más éve forrás függvé alakjába keres, mert e többre eredmére veet: C r Behelettesítés utá a C kostas meghatároható Derváltak jelölése: d ' d, d '',, stb (hel sert derváltak) d d, dt, d,, stb (dő sert derváltak) dt 6 Példa h dott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecál egelet megoldásáak előállítása Megoldás: e h Homogé megoldás: homogé de ", megoldás keresése e karakterstkus egelet ; ;, Regésta Gakorlat /7

14 homogé ált megoldás: C e C e h alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácója s megoldás e e e e h ch( ) sh( ) aa ch sh h Partkulárs megoldás: C (a avaró függvé alakjába keressük) '' behelettesítés utá C C Peremfeltételek fgelembevétele: h ch sh ch ' ' sh ch 9 ch 8 8 Végül: = h 9 ch sh 8 7 Példa dott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecálegelet megoldásáak előállítása Megoldás: Homogé megoldás: h Regésta Gakorlat /7

15 h e megoldás homogé de h" h, megoldás keresése karakterstkus egelet e ; homogé általáos megoldás C e C e, h ahol e cos s ; e cos s ;, aa C cos s C cos s h alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s e e e e h cos( ) s( ) Behelettesítés utá: cos s h keressük) Partkulárs megoldás: '' behelettesítés utá C ; C ; Peremfeltételek fgelembevétele: h C (alakba ' cos s cos ' s cos cos 8 Végül: h = cos s 8 Regésta Gakorlat 5/7

16 8 Példa dott eg kedet érték feladat dfferecálegelete és a t= dőotba a függvéérték és első derváltja: 9 cos t ; és Feladat a adott kedet érték feladat megoldásáak előállítása Megoldás: t t t h h Homogé megoldás: homogé de h9h, megoldás keresése t e, 9 utá karakterstkus egelet t 9 e 9 ; 9 t t homogé általáos megoldás t C e C e, h ahol t e cos t st ; t e cos t st aa ; t C cos t s t C cos t s t h t t t t e e e e cos t cos t t t t t e e e e st st a alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s megoldás e t e t e t e t h t behelettesítés utá t cos t st h Partkulárs megoldás: 9 cos t a derváltak: ; ; t C s t cos( t ) s( t ) t C cos t (alakba keressük) t C cos t behelettesítése C cos t 9C cos t cos t 5C ; C ; t cos t 5 5 Peremfeltételek fgelembevétele: t t t h cos s cos 5 Regésta Gakorlat 6/7

17 cos s cos cos 5 cos cos t s t cos t 5 5 Végül: t t t = h Eg regéssé alakítások (addcós tételek): átalakítás I c cost c st a cos t a cos t a cos cost a s st c c c c a cos a s a a c c c a s c tg arctg c a cos c átalakítás II c cost c st a st a st a s cost a cos st c c c c a s a cos a a c c c a s c tg arctg c a cos c rgoometrkus aoosságok cos cos mert áros függvé s s mert áratla függvé a) e cos s ( ) e cos s b) e cos s e e (a+b) e e cos cos Regésta Gakorlat 7/7

18 e e (a-b) e e s s c h c h mert áros függvé s h s h mert áratla függvé e e c h e e sh e e c h cos e e e e sh s Regésta Gakorlat 8/7