FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

Átírás

1 FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket, ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be a sükséges ismereteket, a alapfogalmak és a alapvető össefüggések felsorolásának tekinthető csak Elsősorban arra kívánja felhívni a figelmet, hog melek aok a témakörök, ameleket célserű a korábbi tanulmánokból átismételni F1 Mátrialgebra Mátri: Skaláris menniségeknek, sámoknak megaott sabál serint tábláatba reneett halmaa a a a n a1 a a n A ( m n) am 1 a m amn Et a tábláatot m n típusú (méretű) mátrinak neveük A mátriokat a követkeőkben kétser aláhúott betűvel jelöljük Mátriok össege: Aonos típusú (méretű) mátriok össegén olan mátriot értünk, amelnek elemei egenlők a eges mátriok megfelelő (aonos ineű, aonos helen álló) elemeinek össegével: A B C a a b b ( a b ) ( a b ) ( ) ( ) a1 a b1 b a1 b1 a b () () () Mátriok sorata: A m p méretű A mátri és a p n méretű B mátri soratán at a m n méretű mátriot értjük, amelnek ij ineű elemét a A mátri i -eik sorának és a B mátri j - eik oslopának kombinációja 1 aja Ha a A mátri elemeit aij -vel és a B mátri elemeit b ij a alábbiak serint sámíthatók ki: Péla: ()-es mátriok sorata: A B C c 1 A a1 a an és b1 b bn sám n -esek kombinációján a a1b 1 ab anbn soratösseget értjük Főátló: ahol a mátriban a aonos ineű elemek állnak 140 p a b ij ik kj k a1 a b1 b a1b11 ab1 a1b1 ab () () () -vel jelöljük, akkor a A B C mátri cij a a b b ( a b a b ) ( a b a b ) ( ) ( ) Péla: ()-es mátri és oslopmátri sorata: A b c a a b a b a b a1 a b a1b 1ab () (1) (1) A mátriok sorása nem kommutatív művelet: A B B A Oslopmátri: olan mátri, amelnek csak eg oslopa van: b b b 1 elemei Mátri transponáltja: olan művelet, amel a mátri elemeit tükröi a főátlóra, vag felcseréli a sorokat és a oslopokat

2 a a a a A A a1 a a1 a Sormátri: olan mátri, amelnek csak eg sora van: a a1 a A sormátriot minig eg oslopmátri transponáltjának tekintjük Péla: sormátri és ()-es mátri sorata: a B c b b 11 1 a1 a a1b 11 ab1 a1b 1 ab (1 ) b1 b (1 ) () ( ) ( ) Simmetrikus mátri: A A Ferén simmetrikus mátri: Egségmátri: A E E A A Mátri eterminánsa: A A a11 a1 a13 a a a a et a et a a a a A a A a A a a ij a a a a3 a 33 a3 a 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a31 a3 Mátri ajungáltja: Jelölés: ij a ajungált mátri ij ineű eleme a ereeti mátri ji eleméhe tartoó előjeles aletermináns aj a A ( i 1 n j 1 n) ij Inver mátri: 1 1 A A A A E 1 1 aja ji A aij et a ij Péla: a a A c b mátri invere: A 1 ineáris algebrai egenletrenser: A b Résletesen kiírva: A mátri sorást elvégeve: A egenletrenser megolása: Singuláris mátri: et aij 0 b a bc a bc c a a bc a bc a a a b a1 a a 3 b a31 a3 a 33 3 b 3 a a a b, a a a b, a a a b A A A b A b E 141

3 ma Rossul konicionált mátri: A 1, ahol ma és min a mátri legnagobb és a legkisebb sajátértékét jelentik A a mátri koníció sáma min Rossul konicionált mátriok lineáris egenletrenserek megolása során okonak problémát, ekkor uganis a b (oslop)mátriban bekövetkeett kis váltoás nag váltoást oko a ismeretleneket tartalmaó (oslop)mátriban F Vektoralgebra Skaláris menniség: olan fiikai menniség, amelet nagsága, előjele és mértékegsége jelleme Vektormenniség: iránított fiikai menniség, amelet nagsága, irána és mértékegsége jelleme Vektor megaására annak koorinátáit hasnáljuk A a síkbeli vektor koorinátái: a, a A a -t koorinátái és a e, e egségvektorok ( e 1, e 1, e e a a e a e a cos e a sin e a (cos e sin e ) a e a a a a e cos sin 1 a ) segítségével egértelműen meghatárohatjuk: e a a e e a a Vektorok össeaása: a b c ae ae be be a b e a b e c c Vektorok kivonása: a b a b a e a e b e b e a b e a b e Vektormenniségek köött többféle sorási művelet is efiniálható: Vektorok skaláris sorása (a eremén skaláris menniség): Értelmeés: a b a b cos Kisámítás: a b ab ab ab A egségvektorok skaláris sorata: e e 1, e e 1, e e 1, e e 0, e e 0, e e 0 Követkemén: a a a a b 0 a b Vektorok vektoriális sorata (a eremén vektor): 14

4 Értelmeés: Kisámítás: a b a b sin e e e a b a a a b b b e a b b a e a b b a e a b b a A ereménvektor iránát a ún jobbké sabállal kapjuk meg: ha jobb kéel a a vektort a b vektorba forgatjuk, akkor a jobb ké hüvelkujja aja meg a ereménvektor iránát A egségvektorok vektoriális sorata: e e 0, e e 0, e e 0, Követkemén: Ha a 0 és b 0, akkor a b 0 a b Vektorok veges sorata (a eremén skalár menniség): Értelmeés: a b c a b c a b c a a a a b c Kisámítás: a b c b b b a b c c c c a b c ulajonság: a b c c a b b c a c b a a c b b a c Követkemén: Ha a 0, b 0 és c 0 A három vektor eg síkban van e e e, e e e, e e e, e e e, e e e, e e e, és 0 a b c Vektorok kétseres vektoriális sorata (a eremén vektor menniség): Értelmeés: a b c vag a b c Kisámítás: a értelmeés alapján, kifejtési tétellel Kifejtési tétel: a b c b a c ab c a b c b a c c a b ulajonság: A vektoriális sorások sorrenje nem cserélhető fel A vektorok sorrenje nem cserélhető fel Reciprok vektorhármas: egen a 1, a, a 3 három tetsőleges, nem eg síkba eső vektor: a a a 1 3 v 0 143

5 A a 1, a, a 3 vektorhármasho tartoó reciprok vektorhármas: a a a a a a a a a a a a a a a a a a A íg efiniált vektorok sorra merőlegesek a aa 3, a aa, 3 1 és a aa 1 vektorok által kifesített síkokra 1 a a3 a3 a1 a1 a Iga a is, hog aaa 1 3 valamint a1 a a3 v a a a a a a a a a A előbbi össefüggések simmetriája, valamint 1 v megjelenése miatt a két rensert egmás reciprok vektorhármasának neveük F3 enoralgebra F31 enor értelmeése és előállítása enor értelmeése: homogén lineáris vektor-vektor függvén által megvalósított leképeés (hoárenelés) w f ( v) v A tenor a tetsőleges v vektorho eg w vektort renel hoá ulajonság: - f v f v - f v v f v f v ahol eg skaláris egüttható, 1 1 Eel a két tulajonsággal ekvivalens: - w f v v f v f v w w, w w 1 ahol 1, skaláris egütthatók Követkemén: 0 f (0) (ha v 0, akkor w 0 ) étel: a tenort három értékpárja egértelműen meghatároa, feltéve, hog v 1, v, v 3 vektorok nem esnek köös síkba: v v v v1 w1 f ( v1 ) v w f ( v ), ahol w1, w, w3 képvektorok v3 w3 f ( v3 ) A tétel at jelenti, hog ha ismerem a v 1, v, v3 -ho tartoó w 1, w, w 3 képvektorokat, akkor tetsőleges v 144

6 vektorho meg tuom határoni a w képvektort Diá vektorok iaikus sorata: Két vektor iaikus soratának ereméne eg speciális tenor, amit iának neveünk Jelölés: a b Értelmeés: olan sorás, amelre fennállnak a alábbi össefüggések: Diá (speciális tenor) kisámítása mátrisorással: enor megaása: enor elemeinek formális jelölése: a b c a b c c a b c a b a b c a a b a b a b (13) a ab ab ab (31) (33) a b a b b b a b a b a b tenor mátria (sámkilences) és koorináta renser étel: minen tenor előállítható három iá össegeként: egen ismert három értékpár: v1 w1, v w, v w f ( v) v w 3 3 A tenor iaikus előállítása: w1 v1 w v w3 v3 A tenor transponáltjának iaikus előállítása: v1 w1 v w v3 w3 Simmetrikus tenor: Ferén simmetrikus (antisimmetrikus) tenor: Egségtenor: v E v I v E I v v v v v v v v v v v v E I étel: minen tenor felbontható eg simmetrikus és eg ferén simmetrikus tenor össegére 1 1 F3 enor előállítása eréksögű escartesi koorináta-renserben eképeés: e a f e, e b f e, e c f e s 145 fs

7 Kapcsolat a előő jelölésekkel: v1 e v e v3 e w a w b w c 1 3 1, 3 v e v e v e enor iaikus előállítása Descartes-féle eréksögű koorinátarenserben (DDKR): a e b e c e e v c e b Ov Ow w e a A tenor mátriát résletesen kiírva: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c A tenor mátria eréksögű escartesi koorináta-renserben a oslopaiban tartalmaa a e, e, e - he tartoó a, b, c képvektorok koorinátáit F33 enorok kétseres skaláris sorata A kétseres skaláris sorás értelmeését a egserűség kevéért két iáal (speciális tenor) mutatjuk be Általános, nem simmetrikus esetben a kétseres skaláris sorás elvégése több váltoatban lehetséges: 1 váltoat: a b c a c b váltoat: a b c a b c A kétseres skaláris sorás ereméne skaláris menniség A eges váltoatok ereméne nem aonos érték Ha a soró téneők simmetrikus tenorok, akkor minen váltoatnál uganat a eremént kapjuk Pl: a fajlagos alakváltoási energia előállítása: 1 1 u F A e e e e e e 1 F4 Koorináta-renserek Mechanikai mogásokról minig valamihe képest, valamire vonatkotatva besélhetünk A mogás leírásánál a vonatkotatási alapot a koorináta-renser (KR) képei F41 Deréksögű escartesi koorináta-renser (DDKR) e e e P,, e e O e 146

8 Független váltoó (helkoorináta): Koorináta vonalak: PP állanó egenes, PP állanó egenes, PP állanó egenes Báisvektorok: a koorináta vonalak érintő egségvektorai e áll, e áll, e áll, e e e 1, e e e e e e 0 Descartes 3 (ékárt)-féle báisvektorok nem függenek a heltől és minen pontban merőlegesek egmásra A DDKR egenesvonalú, egségbáisú, eréksögű koorináta-renser F4 Henger koorináta-renser (HKR) R P( R,, ) e e e R Független váltoó (helkoorináta): R Koorináta vonalak: PP állanó egenes, RPP állanó kör, RPP állanó egenes Báisvektorok: a koorináta vonalak érintő egségvektorai e ( ) R er, e e( ), e áll, er e e 1 er e e e e er 0 A e R és e báisvektorok nem függetlenek a heltől (függenek a helkoorinátától) aonban minen pontban merőlegesek egmásra A HKR görbevonalú, egségbáisú, eréksögű koorináta-renser A báisvektorok hel serinti eriváltja: A báisvektorok hel serinti váltoását a ábra semlélteti e R e e er F5 Koorináta transformáció egen ( ) és ( ) két, egmásho képest elforgatott, aonos keőpontú eréksögű escartesi koorináta-renser 3 René Descartes ( ) francia matematikus és filoófus 147

9 e e e O e e Koorináta transformáció: uganat a menniséget (vektort, tenort) különböő koorináta-renserekben akarjuk felírni Vektorok transformációja: Jelölés: v tetsőleges vektor, a koorináta-renserben felírva, v ugana a vektor a koorináta-renserben felírva v K v (31) (33) (31) e e e e e e e e e e e e e K e e e e e e A K transformációs mátriban a egségvektorok köötti skaláris sorásokat elvégeve: cos cos cos K cos cos cos cos cos cos 1 A transformációs mátri tulajonsága: v K v K v 1 K K ortogonális mátri 1 1 K K K K K K K K E enorok transformációja: w v w v A első (bal olali) egenlet vektorait transformálva: K K w K v A egenlet minkét olalát besorova a transformációs mátrisal: w K K v K K étel: Csak olan sámkilences (pl 3 3 -as mátri) alkothat valamel koorináta-renserben tenort, amel eg másik koorináta-renserbe való áttérésnél a fenti sabál serint transformálóik 148

10 F6 Hel serinti ifferenciálás F61 Vektor hel serinti eriváltja DDKR-ben Vektor DDKR-ben: a ae ae ae A vektor helkoorináták serinti eriváltja: a a a a e e e a a a a e e e a a a a e e e Csak a koorinátákat kell eriválni, a báisvektorok nem függenek a heltől F6 Vektor hel serinti eriváltja HKR-ben Vektor HKR-ben: a arer ae ae a a a R a A vektor helkoorináták serinti eriváltja: er e e R R R R a ar e a e R a er ar e a e ( arer) ( ae) a a a a R er e e A e R és e báisvektorok is függenek a helkoorinátától F7 A Hamilton-féle ifferenciál operátor (nabla) A Hamilton 4 -féle vag (nabla 5 ) ifferenciál operátor: DDKR-ben: e e e, HKR-ben: 1 er e e R R F71 Divergencia (skaláris sorás) a) Vektor ivergenciája: a a a a a e a e a e e e e 1 a 1 R e a R a a arer a e ae er e e ar e R R R R Felhasnálva, hog er e és e e 1, végül at kapjuk, hog ar 1 a a a ar R R ulajonság: a a A vektor jobb olali ivergenciája megegeik vektor bal olali ivergenciájával 4 William Rowan Hamilton ( ) ír matematikus, fiikus és csillagás 5 Hárfáho hasonló sió hangser görög nevéből sármaó elneveés 149

11 b) enor jobb olali ivergenciája: A a1 e a e a3 e e e e a1 a a3 a1 a a3 e e e e e e A tenor jobb olali ivergenciája általában nem egenlő a tenor bal olali ivergenciájával: A A Menniségek renje (ineeinek sáma): skalár 0 ( a ) vektor 1 a i másorenű tenor harmarenű tenor 3 a ij a ijk ulajonság: A nablával történő skaláris sorás a menniség renjét eggel csökkenti Pélául a vektor ivergenciája skaláris, a tenor ivergenciája vektor menniség F7 Rotáció (vektoriális sorás) a) Vektor jobbolali rotációja: a ae ae ae e e e a a a a a a e e e e e e e e e e e e e e e e e e a a a a a a e e e A vektor jobb olali rotációja általában nem egenlő a vektor bal olali rotációjával: a a b) enor jobb olali rotációja: A a1 e a e a3 e e e e a a3 a1 a3 a1 a e e e e e e e e e e e e e e e e e e a a3 a3 a1 a1 a e e e A tenor jobb olali rotációja általában nem egenlő a tenor bal olali rotációjával: A A ulajonság: a nablával történő vektoriális sorás a menniség renjét nem váltotatja meg Pélául a vektor rotációja vektor, a tenor rotációja tenor menniség F73 Graiens (iaikus sorás) a a a a) Skalár graiense: a a e e e a ae ae ae e e e b) Vektor graiense: 150

12 a a a e e e e e e a a a e e e e e e a a a e e e e e e A vektor jobb olali graiense egenlő a vektor bal olali graiensének transponáltjával: a a a a a a a a a a A graiens tenor mátria: [ a ] a a a ulajonság: A nablával történő iaikus sorás a menniség renjét eggel megnöveli, pélául vektor nablával történő iaikus sorásának ereméne tenor F8 A variációsámítás alapgonolata A f( ) a f( ) függvén variációja f( ) eltérés a f( ) függvéntől A variáció jelentése: eltérés, megváltoás Feltételeük, hog a a és a b helen nincs eltérés: f ( ) f ( ) 0 a b Funkcionál: olan leképeés, amelnél A funkcionál jele: J[ f ] a J[ f ] értelmeési tartomána a f( ) függvének halmaa, a J[ f ] értékkéslete a valós sámok halmaa A funkcionál: b J[ f ] F f f, ahol F(, f, f ) aott (ismert) kifejeés a A funkcionál variációja: A J[ f ] funkcionálban lévő f( ) függvén helére helettesítsünk be a f ( ) f ( ) függvént, ahol eg valós paraméter Íg a különböő értékeire különböő, a J funkcionálba helettesített függvéneket kapunk Fejtsük alor-sorba a J[ f ( ) f ( )] funkcionált a f( ) körül úg, mintha a f( ) eg váltoó lenne, a f peig a f( ) eg kis megváltoása, ahol f konstans: J f f J f f J f f J f f A sorfejtésben sereplő eriváltakat sokás n -e renű Gâteau-féle 6 (gátó) vag iránmenti eriváltnak is neveni 6 René Gâteau ( ) francia matematikus 151

13 n n n Jele: D J f, f J f f 0 A J[ f ] funkcionál első renű Gâteau-féle eriváltját a funkcionál A másoik variáció Gâteau serinti értelmeése: Cél: funkcionálok sélső értékének megkeresése Peremfeltétel: J[ f f] J[ f ] DJ[ f, f ] J[ f f ] lim 0 f ( a) fa f ( b) fb 0 [, ] [ ] D J f f J f f aott Felaat: a f( ) függvénhalmaból annak a ( ) 0 sélsőértéket solgáltat A variációsámítás serint funkcionálok sélsőértékének feltétele: J 0 és f serinti első variációjának is neveük 0 f függvénnek a kikeresése, amelre a minimum esetén J 0, maimum esetén J 0 A variációt (variálási műveletet) formálisan a eriválásho hasonlóan kell képeni, e a variáció nem a hel, hanem különböő paraméterek serinti ifferenciál, a variáció (váltotatás) során a peremfeltételt minig ki kell elégíteni Pélául a elmoulásmeő u u u ifferenciálja: u, variációja: u u u c1 c c c A f( ) függvén ifferenciálja: f 1 f, variációja: f f f c1 c c c 1 Péla funkcionál első és másoik variációjának előállítására: J f funkcionál u ( ) p AE, Aott: a ábrán látható, p állanó megosló erőrenserrel húott, befalaott tartó hossa, A kerestmetsete és E rugalmassági moulusa Felaat: a tartó teljes potenciális energiájának, (mint a [ u] funkcionálnak) a első és másoik variációjának előállítása A teljes pontenciális energia értelmeése a 43 pontban megtalálható A u ( ) függvén a rú pontjainak aiális iránú elmoulása 15

14 A húott rú teljes potenciális energiája: A teljes potenciális energia első variációja: [ uu] [ u u] 0 1 u AE u pu 0 0 [ ] ( ) 1 AE( u u ) p ( u u) AE( u u) u p u AEuu p u 0 0 A teljes potenciális energia másoik variációja: [ u u] [ u u] 0 AE ( u) AE ( u) ( ) ( ) AE u u p u u

15 SZAKIRODAOM [1] Pácelt I: Végeselem-móser a mérnöki gakorlatban, Miskolci Egetemi Kiaó, 1999 [] Bojtár I, Gáspár Zs: Végeselem-móser építőmérnököknek, erc Kft, Buapest, 003 [3] Bathe K J: Finite element proceures, Prentice Hall, Inc 1996 [4] Sabó B, Babuška I: Finite element analsis, John Wile & Sons, Inc 1991 [5] Altenbach J, Fischer U: Finite-element Prais, Fachbuchverlag eipig, 1991 [6] Matthews F, Davies G A O, Hitchings D, Soutis C: Finite Element moelling of composite materials an structures, Woohea t, 000 [7] Bunas R G: Avance Strength an Applie Stress Analsis, Mc Graw-Hill, 1999 [8] M Csimaia B, Nánori E: Mechanika Mérnököknek Silárságtan, Nemeti ankönvkiaó, 1999 [9] Kleiber M: Hanbook of Computational Soli Mechanics, Springer Verlag, 1998 [10] Argiris J, Mleinek H P: Computernamik er ragwerke, Die Methoe er Finiten Elemente, Ban III, Vieweg Verlag, 1997 [11] Krätig W B, Basar Y: ragwerke 3, heorie un Anwenung er Methoe er Finiten Elemente, Springer Verlag, 1997 [1] Béa G, Koák I, Verhás J: Kontinuummechnika, Műsaki Könvkiaó, 1986 [13] Béa G, Koák I: Rugalmas testek mechanikája, Műsaki Könvkiaó 1987 [14] Richter W: Numerische ösung partieller Differentialgleichungen mit er Finite-Elemente-Methoe, Vieweg Verlag, 1986 [15] Simmons J G: enoranalíis ióhéjban, Műsaki Könvkiaó, 1985 [16] Papastavriis J G: ensor calculus an analtical namics, CRC Press, 1999 [17] imoshenko S, Woinowsk-Krieger S: emeek és héjak elmélete, Műsaki Könvkiaó, Buapest, 1999 [18] Re J N : Mechanics of laminate composite plates an shells heor an Analsis, CRC Press, 004 [19] Barbero EJ: Finite Element Analsis of Composite Materials, CRC Press, 008 [0] Berlio A, rompette Ph: Soli Mechanics using the Finite Element Metho, John Wile & Sons Inc, 010 [1] Smith I M, Griffiths D V: Programming the Finite Element Metho, John Wile & Sons Inc, 004 [] Zienkiewic O C, alor R: he Finite Element Metho, Vol 1: he Basis, Butterworth Heinemann, 000 [3] Zienkiewic O C, alor R: he Finite Element Metho, Vol : Soli Mechanics, Butterworth Heinemann, 000 [4] Beltschko iu W K Moran B: Nonlinear Finite Elements for Continua an Structures, John Wile & Sons t, 001 [5] ewis R W - Morgan K homas H R Setharamu K N: he Finite Element Metho in Heat ransfer Analsis, John Wile & Sons t, 1996 [6] Re J N Gartling D K: he Finite Element Metho in Heat ransfer an Flui Dnamics, CRC Press,