1. Algebra x. x + értéke? x

Átírás

1 Alger I Feldtok Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o) 66 h) p) ( ) ( ) ( ) ) H, kkor menni értéke? ) Tudjuk, hog Menni értéke? Áltlános megjegés A ) feldtn (hsonló helet tö más feldtn is fennáll) t állítjuk, hog sámr eg feltétel teljesül, és rákérdeünk eg másik kifejeés értékére A váls megdás mellett feldt teljes megoldásáho hoátrtoik is, hog megvisgáljuk, léteik-e oln sám, mel teljesíti feltételt Et visgáltot most nem végeük el (és töi feldtn sem) A sámról tudjuk, hog Sámíts ki értékét (Oln formán megdott érték sámít teljes értékű megoldásnk, miől kiderül, hog sám r- ionális-e vg nem, és is, hog melik hoá legköelei egés) Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 007/00; hldók, I ktegóri, forduló és értéke? Menni ( )

2 6 ) H, kkor menni ) H, kkor menni értéke? értéke? 7 ) A, vlós sámokr és 7 teljesül Menni ) A,, vlós sámokr 6 és Menni értéke? értéke? Menni értéke, h és 76? 6 H d d 6 és d, kkor menni les d értéke? 0 A,,, d poitív egés sámokr d, d, d Menni d értéke? A,, vlós sámokr ( ) ( ) ( ) 0 sort értéke? Menni ( d ) ( d) és Menni lehetséges legkise értéke, h,, és d nég különöő egés sám? Igoljuk sesámológép hsnált nélkül, hog négetsám Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; ostál, megei forduló Igoljuk, hog 7, h, tetsőleges vlós sámok Menni 6 0 Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; ostál, orságos döntő értéke? 6 Tudjuk, hog Menni értéke? 7 Tudjuk, hog d és d Mivel egenlő d? Menni értéke, h, és?

3 H r 0 r 0, kkor menni r értéke? r 0 Legenek,, három páronként különöő nem null vlós sám! Htárouk meg sort értékét, h tudjuk, hog Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I ktegóri, forduló Mutss meg, h 0,, kkor A,, egés sámokr teljesül, hog Tudjuk, hog össeg eg prímsám reiprokávl egenlő Melik e prímsám? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, II-III ktegóri, forduló Bioníts e, h 0, kkor 0 ( ) ( ) ( ) Bioníts e, hog KöML, 0 novemer, C Menni 0 ( 0 0 ) kifejeés értéke egésre kerekítve? (A) 0 (B) (C) (D) (E) Gordius Mtemtik Testversen 00; ostálos, orságos döntő 6 Mutss meg, hog ) < ) < 6 6 K K 6 <, hol mind négetgök, mind kögökjelek sám 00 KöML, jnuár, G ) 00 K < KöML, októer, F0 7 Htárouk meg A sám poitív egés ostóink sámát, hol: A Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; hldók, II ktegóri, forduló

4 A és nullától különöő vlós sámokr teljesül lái össefüggés: ( ) ( ) 0 Menni lehet hándos értéke? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I-II ktegóri, forduló Mel és poitív egés sámokr ig 6 0 egenlőség? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I-II ktegóri, forduló 0 Hán oln poitív egés n érték vn, melre n n n értéke prímsám? Hán oln n poitív egés sám vn, melre n n n értéke kösám? Hán oln n egés sám vn, melre n 6n< 6n n teljesül? Mutss meg, hog ) 7000? ) K K 66 K 6? n n n 7 < < 6 0 ) 7070 K 07 K 00 K 0? 0 0 Milen sámjegekől áll K 666 K 66 sort eredméne? 00 dr 00 dr Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 00/00; hldók, I ktegóri, forduló k dr k dr 6 Legen A 77 K 76 és B K k, illetve k jegű termésetes sám Bionítsuk e, hog A B is termésetes sám, és htárouk meg A B jegeinek sámát Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; hldók, II ktegóri, forduló 7 Eg háromsög oldli, és, melekre meg, hog háromsög sálos háromsög teljesül Mutss Eg háromsög,, oldlir 0 Mit állíthtunk háromsög sögeiről? KöML, 6 novemer, G70

5 Eg háromsög oldli sokásos jelölésekkel, és, velük semköti sögek rendre α, β és γ Mekkorák lehetnek háromsög sögei, h tudjuk, hog β kétserese α sögnek, és oldlk köött fennáll össefüggés? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I ktegóri, forduló 0 Mutss meg, h ) és, kkor,, sámok vlmelike -gel egenlő ) és >, kkor,, sámok egike -nél ngo, másik kettő pedig -nél kise ) 0 K? 0 ) 0? K 0 )? 7 7 d)? 0 0 e) K? 6 Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; 6 ostál, orságos döntő f) K? n( n ) Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; 7 ostál, megei forduló g) Melik ngo: K vg 0 K? 0 Klmár Lásló Mtemtik Versen 00; 7 ostál, orságos döntő 6 7 h)?!!!! 6! 7!!! 6 i)? 6

6 II Megoldások Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Megoldás: ) 00 ( 00 ) 0 ) 00 ( 00 ) 0 ) 00 ( 00 ) 0 d) 000 ( 000 ) 00 e) ( ) 00 f) 0 ( 0 ) g) 0 ( 0 ) h) 00 0 ( 00 0 ) i) 00 ( 00 ) 0 j) 000 ( 000 ) 00 k) ( ) 0000 Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o) 66 p) ( ) ( ) ( ) h) Megoldás: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6

7 7 d) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) e) ( ) ( ) ( )( ) f) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) [ ]( )( ) [ ] g) ( ) ( ) ( ) ( )( ) h) ( ) ( ) ( ) ( )( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 7 k) ( ) ( ) ( ) ( ) l) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 6 m) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) o) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 66 ( )( ) ( ) ( )( ) 6 p) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ) H, kkor menni értéke? ) Tudjuk, hog Menni értéke? Megoldás: ) H, kkor,, 7 ), íg 0

8 A sámról tudjuk, hog Sámíts ki értékét (Oln formán megdott érték sámít teljes értékű megoldásnk, miől kiderül, hog sám r- ionális-e vg nem, és is, hog melik hoá legköelei egés) Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 007/00; hldók, I ktegóri, forduló Megoldás:,, íg és Menni ( ) értéke? Megoldás: ( ) ( ) 0 6 ) H, kkor menni értéke? ) H, kkor menni értéke? 7 Eért 7 Megoldás: ), ( ), 6,, ) H, kkor, és 7 ) A, vlós sámokr és 7 teljesül Menni ) A,, vlós sámokr 6 és Menni értéke? értéke? Megoldás: ) ( ) mitt 7, íg ) A megdott két egenlőség sort egenlő keresett kifejeés és Tehát váls: össegével

9 Menni értéke, h és 76? 6 Megoldás: Legen, ekkor,, 6 Helettesítsük eeket ki- 6 fejeéseket 76 kifejeése: 76 ( ) ( ) ( 6) 7,, 6,,, 6 Tehát H d d 6 és d, kkor menni les d értéke? d d d d d innen Megoldás: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6, 7 Íg d 7 0 A,,, d poitív egés sámokr d, d, d Menni d értéke? Megoldás: A második és hrmdik egenlőség össege: d d d 77 7, eért és d értékei 7 és ( ) ( ) ( )( ) d 7 A,, vlós sámokr ( ) ( ) ( ) 0 sort értéke? és Menni Megoldás: 0 teljesül minden vlós sámr Eért első egenlőségől követkeik Figelemmel egenlőségre,, 7 Menni ( d ) ( d) lehetséges legkise értéke, h,, és d nég különöő egés sám? Megoldás: A Q ( d ) ( d) kifejeés felírhtó kéttgú különségek négetössegeként: Q ( ) ( ) ( d) ( ) ( d) ( d ) Tegük fel, hog > > d > Ekkor ( ), ( ), ( d) ( ), ( d), és ( d) Tehát Q 0 Q 0 teljesül, h például sámok,,,, továá

10 Igoljuk sesámológép hsnált nélkül, hog négetsám Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; ostál, megei forduló Megoldás: Írjuk fel sámok helett áltlánosn et sortot, párosítsuk ügesen téne- őket: ( k ) ( k) ( k ) ( k ) 6 ( k ) ( k ) 6 6k 0k E kifejeés teljes néget: ( ) k Eel áltlános eseten is igoltuk, hog eg ilen műveletsor eredméne négetsám Igoljuk, hog 7, h, tetsőleges vlós sámok Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; ostál, orságos döntő Megoldás: Alkítsunk ki kifejeésen össedndóként teljes négeteket: ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 Menni 6 0 Megoldás: H, 6 értéke? kkor Ugníg és 0 Eek össege ( ) 7, ( ) 7, 6 6 Tudjuk, hog Menni értéke? Megoldás: ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Tudjuk, hog d és d Mivel egenlő d? Megoldás: A ( ) ( d ) ( d) ( d ) mitt d 0 Menni értéke, h, és? Megoldás: ( ) ( ) Mivel, eért,, vgis, ( ) ( ), 7 6 0

11 H r 0 r 0, kkor menni r értéke? r Megoldás: H r 0 r 0, kkor r 0 r Ossuk el egenlőség mindkét oldlát r-rel: r 0 r 0 Legenek,, három páronként különöő nem null vlós sám! Htárouk meg sort értékét, h tudjuk, hog Megoldás: Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I ktegóri, forduló,,, elvégehető, hisen,, páronként különöő sámok Ugníg kpjuk, hog, ( ) ( ) ( ), ( ) Mindkét eset előfordulht:, esetén, és utói ostás, íg vg, esetén ;,, Mutss meg, h 0,, kkor Megoldás: H 0, kkor töi neveő sem lehet null 0,, hisen ( ), mert ( ) és 0

12 A,, egés sámokr teljesül, hog Tudjuk, hog össeg eg prímsám reiprokávl egenlő Melik e prímsám? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, II-III ktegóri, forduló Megoldás: Mivel, íg E lpján ( )( ) Hsonlón kpjuk, hog ( )( ), ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) Legen prímsám q, ekkor ( )( )( ) q E sk úg lehetséges, h három téneőől egik q, másik kettő és ; vg egik q, két másik sám ; vg egik q, és két másik sám A,, sámok vlmilen sorrenden q,, 0; vg q,, ; vg q, 0, 0 A egenlőségre tekintettel rendre q, q és ismét q dódik Tehát keresett prímsám sk q lehet, és e megvlósul, h,, Bioníts e, h 0, kkor ( ) ( ) ( ) 0 Megoldás: Elegendő elátni, hog ( ) ( ) ( ) A egenlőség vlón teljesül, mert ( )( )( ), ( )( )( ), ( )( )( ), és eek össege null

13 Bioníts e, hog KöML, 0 novemer, C0 Megoldás: A négetgök ltti össegeket, különségeket lkítsuk teljes négetté ( ) és ( ) onosságokkl Például, h 60 lkú, hol és 60, kkor legutói egenlőség d fogódót rr, hog milen értéket jelölhetnek és etűk 60 Ennek eg megoldás, Ekkor is teljesül Tehát 60 ( ) Hsonlón kpjuk 7 0 ( ) egenlőséget A átlkítások során hsnáltuk onosságot is 60 ( ), ( ) 7 0 Eeket hsnálv egenlőség másképp írhtó: ( ) ( ) ( ) ( ), és innen onos egenlőséget kpjuk Aonos átlkításokt végetünk, tehát ig feldtn sereplő egenlőség Menni ( ) kifejeés értéke egésre kerekítve? (A) 0 (B) (C) (D) (E) Megoldás: A heles váls: (E) 0 0 Gordius Mtemtik Testversen 00; ostálos, orságos döntő ( 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 0 Megjegés: Gkori tpstlt, hog sokn elemi sámolási feldtokho is sámológépet hsnálnk H et sámolást sámológéppel végik el, legtö gép hiás 0 eredmént dj Tnulságos lehet diákokkl megesélni et feldtot 6 Mutss meg, hog ) < ) < 6 6 K K 6 <, hol mind négetgök, mind kögökjelek sám 00 KöML, jnuár, G ) 00 K < KöML, októer, F0

14 Megoldás: ) 6 <, íg 6 6 < 6, < 6, és láthtón kárhán gökjel esetén is teljesül 6 6 K 6 < egenlőtlenség < 6, íg <, <, és hsonlón folttv, kárhán gökjel esetén teljesül K < egenlőtlenség 0 <, íg 0 0 < 0, < 0, íg folttv, kárhán gökjel esetén teljesül 0 0 K 0 < egenlőtlenség A háromtgú össeg tgji rendre kiseek,mint,, illetve Tehát össeg kise -nél ) A elő láttuk, hog 6 6 K 6 < 6 <, íg 6 6 < 6, < 6, és et íg folttv kárhán gökjel esetén is teljesül 6 6 K 6 < egenlőtlenség Eek mitt 6 6 K K 6 < Másrést < 6 6 és 6 6 < 6 6 K K 6, eért K < 6 6 K ) 00 K < K 0 7 Htárouk meg A sám poitív egés ostóink sámát, hol: A Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; hldók, II ktegóri, forduló onosságot: Megoldás: Hsnáljuk ( )( ) 0 06 A ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 A elői gondoltmenet serint 0 0 ( 0 ) 0 Eért A , emitt, íg 0 0 ( 0 ) 0 0 A A sám ostóink sám ( ) ( ) 6 A

15 A és nullától különöő vlós sámokr teljesül lái össefüggés: ( ) ( ) 0 Menni lehet hándos értéke? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I-II ktegóri, forduló Megoldás: Rendeve és sorttá lkítv: 0, ( ) 0 ( )( ), ( ) 0 Mivel második téneő poitív, sk 0 esetén lehet sort null Innen pedig keresett hándos Mel és poitív egés sámokr ig 6 0 egenlőség? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I-II ktegóri, forduló Mindkét té- Megoldás: Alkítsuk át kifejeést: ( ) ( ) 7 Hsnáljuk ( )( ) onosságot: ( )( ) 7 neő egés sám, ( ) itosn poitív és ngo másik téneőnél Íg 7-nek sk egetlen sorttá ontás jön só: 7 és Et egenletrendsert megoldv és feldt megoldás 0 Hán oln poitív egés n érték vn, melre n n n értéke prímsám? Megoldás: n n n n ( n) ( n) ( n )( n) H e sort prímsám, k- kor két téneőől kiseik értéke Tehát n, ekkor n n n értéke vlón prímsám, e érték Hán oln n poitív egés sám vn, melre n n n értéke kösám? Megoldás: Mivel n < n n n < ( n ), íg n n ( n ) n kell le- gen n 6n 7, n 7

16 Hán oln n egés sám vn, melre 6n< 6n n teljesül? n Megoldás: A 6n< 6n n egenlőtlenség átrendeés után: n 6n n 6n< 0, n n ( n 6) n( n 6) < 0, n ( n )( n 6) < 0 eges téneők előjelét A árán sámegenes mellett jelöltük Eg sort kkor negtív, h negtív téneők sám pártln Íg egenlőtlenség megoldás: < n < 0 vg < n < 6 A megoldást egés sámok köött keressük, eért n,,, lehet Mutss meg, hog 7 < < 6 0 Megoldás: Oln ionítást keresünk, mel kár 00-téneős sort esetén is működik Vegünk sort téneői helett ngokt, illetve kiseeket, és tekintsük eek sortát: A, B, C, eekre C < A< B teljesül (A téneők köött páronként teljesülnek megfelelő egenlőtlenségek Például A< B, mert <, <, mivel <, <,, mert l oldlon egésől tö hiánik, mint jo oldlon) A B és A < A B <, tehát A < A C és A > A C >, tehát A > 0 0 ) 7000? ) K K 66 K 6? n n n ) 7070 K 07 K 00 K 0? 0 0 Megoldás: ) ( 0 ) ( 0 ) 0 6

17 ) K K K K K K n n n n n n n n n n n n ( 0 ) ( 0 ) 6( 0 ) 0 0 ( 0 ) K K n n ) ( 0 0 K 0 ) K K K K ( 0 ) K 0 Milen sámjegekől áll K 666 K 66 sort eredméne? 00 dr 00 dr Megoldás: Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 00/00; hldók, I ktegóri, forduló ( ) K K, és K dr 00 dr ( 0 ) A sort dr 00 7 Elvégeve össevonást 07 dr 00 dr 00 dr 00 dr K00 000K00 K6000K00 sámlálón: A ostás eredméne, mivel mrdék htosig, illetve utolsó heliértéken álló kettesig 00 dr 00 dr dr 00 dr K6000K ismétlődik: K777K77 Tehát sort,, 7, sámjegeket trtlm k dr 6 Legen A 77 K 76 és B K k, illetve k jegű termésetes sám Bionítsuk e, hog sámát k dr A B is termésetes sám, és htárouk meg A B jegeinek Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; hldók, II ktegóri, forduló k 7 Megoldás: 0 7 K k A K, k k dr 6 ( 0 k ) 0 6 ( 0 ) k 7 k A 0 dr 7

18 Hsonlón kpjuk, hog k ( 0 ) A B 6 B ( ) ( ) ( ) ( ) k k 6 k k k k ( 0 ) A B K K K k k k dr dr dr, eért, mi k jegű sám 7 Eg háromsög oldli, és, melekre meg, hog háromsög sálos háromsög teljesül Mutss Megoldás: Miől követkeik, hog ( ) ( ) ( ) 0, és egmássl egenlők? E követkeik például egenlőségől Jó voln ehhe eljutni A egenlőséget sorouk -vel, hog köele kerüljünk teljes négetekhe: Átrendeések után: ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 Mivel 0, íg elői össeg sk úg lehet null, h 0, háromsög egenlő oldlú háromsög, Eg háromsög,, oldlir 0 Mit állíthtunk háromsög sögeiről? KöML, 6 novemer, G70 Megoldás: 0 sorttá! ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ) 0, ( )( ) 0,, ( ) ( ( ) ( ) ) 0 ( )( )( ) 0,, ( ) ( ) ( ) 0 A sort pontosn kkor null, h vlmel téneője null, vgis, egenlőségek köül leglá eg teljesül, háromsög egenlő sárú Alkítsuk et, Eg háromsög oldli sokásos jelölésekkel, és, velük semköti sögek rendre α, β és γ Mekkorák lehetnek háromsög sögei, h tudjuk, hog β kétserese α sögnek, és oldlk köött fennáll össefüggés? Arn Dániel Mtemtiki Tnulóversen 0/0; kedők, I ktegóri, forduló

19 Megoldás: Átrendeés után előő feldtól megismert 0 össefüggést kpjuk Beláttuk, e t jelenti, hog háromsög egenlő sárú A sögekre kirótt feltétel mitt háromsög sögei α, α, α ; vg α, α, α A sögek össege 0, íg három sögeinek ngság,, 0 ; vg 6, 7, 7 0 Mutss meg, h ) és, kkor,, sámok vlmelike -gel egenlő ) és >, kkor,, sámok egike -nél ngo, másik kettő pedig -nél kise Megoldás: ) A ( )( )( ) 0,, sámok vlmelike -gel egenlő állítás követkeik egenlőségől Jó voln ehhe eljutni Mivel, íg ( ) A feltétel mitt, illetve,, tehát ( )( )( ) 0 ( ) ( ) 0 ) >, > (hisen ), eért > > ( ) ( ) 0, tehát ( )( )( ) 0 Itt vg mind három téneő poitív (mi mitt nem lehet), vg eg téneő poitív, másik kettő negtív E utói teljesül,,, sámok egike -nél ngo, másik kettő pedig -nél kise ) 0 K? 0 ) 0? K 0 )? 7 7 d)? 0 0 e) K? 6 Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; 6 ostál, orságos döntő f) K? n( n ) Klmár Lásló Mtemtik Versen 0; 7 ostál, megei forduló

20 0 g) Melik ngo: 0 K vg 0 K? Klmár Lásló Mtemtik Versen 00; 7 ostál, orságos döntő h)?!! 7 7! 6 6!!!!! i)? 6 6 Megoldás: ) Végeük el kivonásokt árójeleken, eután sort K lkn írhtó Látunk eg teleskopikus sortot (h kéenfekvő egserűsítéseket elvégeük, sokténeős sort mint eg teleskóp, össetolhtó): K Íg visgált sort értéke: 0 0 ) 0 0 K K K K ) Vegük neveőken levő téneők reiprokánk különségét! Például: Íg össeg értéke: K d) K 7 7 K

21 e) Emeljünk ki össeg mindegik tgjáól -ot: K K 6 6 A felontást hsnálv átlkítjuk árójelen sereplő össeget: n n n n f) ( ) K K Íg kérdeett össeg értéke: k ( k ) k K ( k ) k k k( k ) k( k ) ( n ) n( n ) ( k ) k( k ) Et hsnálv sort átlkíthtó: Láthtjuk, hog sámlálón minden négetsám ig kiesik, hisen két somsédos neveő trtlm megfelelő téneőt A -től n - és ( n ) esetén sk eg somséd vn, íg egserűsítés után eekől megmrd eg-eg téneő, vgis sámláló ( n ) les Íg visont neveően is sinte minden eltűnik, kivéve két ( n ) sélső téneőt Eért sort egserű lkj: n g) K K Tehát első össeg kise, mint Belátjuk, hog második össeg ngo -nél, és eel megtláltuk válst K > 0, 0 0 K > 0, 0 0 K > 0, íg 0 0 K > > 0 h)!!,!!!!,!!! K K!!!!!!!!!!, mitt!!!!!!

22 i) Sorounk -del és hsnáljuk ( )( ) onosságot Et eredmént -del vló sorás után kptuk, íg 6 6