Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL"

Átírás

1 Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0

2 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális tenorok 7.5. Tenorok és mátriok 0.6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata.7. Tenorok transformációja 6.8. Ortogonális tenorok 9.9. Mintafeladatok Gakorlatok 5. fejeet. Silárdságtani alapfogalmak 7.. Mi a silárdságtan 7.. Elmodulási és alakváltoási állapot 3... elmodulásmeő Derivált tenor Forgató tenor, alakváltoási tenor Jelölések és sámítási képletek Geometriai semléltetés alakváltoás geometriai tartalma I alakváltoás geometriai tartalma II alakváltoás geometriai tartalma III alakváltoási tenor főtengelproblémája Fesültségi állapot, belső erőrendser Fesültségvektor fesültségvektor felbontása, normálfesültség, nírófesültség Cauch tétele, fesültségtenor fesültségi tenor főtengelproblémája Fesültségi eredők Egensúli egenletek Energetikai állapot belső ER munkája lakváltoási energia elemi körneet silárdságtani állapota Test silárdságtani állapota Mintafeladatok 60 Gakorlatok fejeet. silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása alapkísérletek célja Primatikus rúd húása, ömök rúd nomása húókísérlet leírása és eredménei. silárdságtani állapot homogenitása Kapcsolat a iránú fajlagos núlás és fesültség köött. Sakítódiagram Ideális testek sakítódiagramjai Primatikus rúd nomása, nomódiagram Hooke törvén egtengelű fesültségi állapotra lakváltoási energia. 77 i

3 3..7. Ellenőrés, méreteés, bitonsági téneő Váltoó kerestmetsetű rúd Sakasonként állandó kerestmetset Foltonosan váltoó kerestmetset Statikailag határoatlan feladatok hőmérsékletváltoás hatása Mintafeladatok 83 Gakorlatok fejeet. silárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgűrű selvénű rudak csavarása Vékonfalú körgűrű kerestmetsetű rúd csavarása kísérlet leírása és eredménei Csavaródiagram. Hooke törvén nírófesültségekre fesültségi állapot semléltetése. Résleges Mohr-féle kördiagram serkestés lépéseinek össegeése serkestés két alkalmaása. Össefüggés a rugalmassági állandók köött csavart vékonfalú cső alakváltoási energiája Kör- és körgűrű kerestmetsetű rudak csavarása Elmodulási és alakváltoási állapot Fesültségi és energetikai állapot Ellenőrés, méreteés Váltoó kerestmetsetű rúd Sakasonként állandó kerestmetset Foltonosan váltoó kerestmetset Statikailag határoatlan feladatok 4.5. Vékonfalú, árt selvénű primatikus rudak sabad csavarása Mintafeladatok 6 Gakorlatok 4 5. fejeet. silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása Beveető megjegések Tista egenes hajlításra igénbevett rúd silárdságtani állapota Ellenőrés, méreteés Síkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomatékai Beveető megjegések Másodrendű nomatékok értelmeése koordinátarendser eltolásának hatása. Steiner tétele Primatikus rúd tista ferde hajlítása. Tehetetlenségi tenor Általánosítás kerestmetset tehetetlenségi tenorai súlponti tehetetlenségi tenor főtengelproblémája jelű főtengel és a tengel által beárt sög sámítása normálfesültség sámítása a igénbevételekkel ferde hajlítás esetén Síkgörbe rúd feladat megfogalmaása, feltevések, jelölésbeli megállapodások fesültségek sámítása. Grashof képlete köépvonal eg alakváltoási jellemője: a görbület megváltoása lakváltoási energia Általánosítás nem érus rúderő esetére Heterogén anagú egenes primatikus rúd tista hajlítása feladat megfogalmaása és egenletei kerestmetset E-vel súloott tehetetlenségi tenora Steiner tétele a E-vel súloott tehetetlenségi tenorra E-vel súloott tehetetlenségi tenor főtengelproblémája normálfesültség sámítása a hajlítóigénbevétel ismeretében. 67 ii

4 5.6. Mintafeladatok 7 Gakorlatok fejeet. silárdságtan általános egenletei Beveetés Egenletek fesültségekre Fesültségi tenormeő: a egensúl lokális feltételei Mohr-féle teljes fesültségi kördiagram: a serkestés Mohr-féle teljes fesültségi kördiagram: a τ n irána teljes fesültségi kördiagram serkestése, ha ismert eg fesültségi főirán lakváltoási állapot Kinematikai egenletek Mohr-féle alakváltoási kördiagram Általános Hooke törvén Egtengelű fesültségi állapotok Általános Hooke törvén: leveetés a superpoíció elv felhasnálásával Egesített Mohr-féle fesültségi és alakváltoási kördiagram Energetikai állapot Rugalmas test fajlagos alakváltoási energiája Fajlagos torítási-, és térfogatváltoási energia Fajlagos alakváltoási energia rudak egserű igénbevételeire rugalmasságtan alapegenlet-rendsere Mintafeladatok 4 Gakorlatok 7. fejeet. ellenőrés és méreteés eges kérdései Beveetés ellenőrés és méreteés fogalma ellenőrés és méreteés célja Méreteés statikus terhelésre Méreteési semléletek Méreteés, ellenőrés fesültségcsúcsra: a redukált fesültség és serepe Mohr-, és Huber-Mises-Henck-féle redukált fesültség össehasonlítása fejeet. Igénbevételi ábrák Beveetés össetett igénbevétel fogalma fejeet. Össetett igénbevételek primatikus rudakban Beveetés össetett igénbevétel fogalma superpoíció elve Húás (vag nomás) és egenes hajlítás Ferde hajlítás Zömök rúd ecentrikus húása (nomása) Igénbevételek és fesültségek kerestmetset belső magidomja. támastóidom Húás (nomás) és csavarás Hajlítás és csavarás Húás, hajlítás és csavarás Hajlítás és nírás Beveető megjegeések Fesültségi állapot Téglalapkerestmetsetű rúd Körkerestmetsetű rúd Hajlított és nírt körkerestmetsetű rúd ellenőrése, méreteése Mintafeladatok 57 függelék. Kulcsok a gakorlatokho 7 iii

5 .. Megoldások a. fejeethe 7.. Megoldások a 3. fejeethe 7.3. Megoldások a 5. fejeethe Megoldások a 6. fejeethe 77 Irodalomjegék 79 iv

6 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát, hog a jelenségeket leíró egenletek, követkeőleg a egenletekben sereplő menniségek maguk is, függetlenek a megfigelő által válastott koordináta-rendsertől (továbbiakban KR). Másként fogalmava a egenletek és a bennük sereplő menniségek váltoatlanok, idegen sóval invariánsok, maradnak a KR megváltotatása során. KR megváltotatásán tágabb értelemben a KR eltolását és elforgatását, sűkebb értelemben elforgatását értjük.... okat a menniségeket, ameleket a klassikus fiika törvéneit alkotó egenletek tartalmanak és amelek, a fentiek serint véve, invariáns menniségek, általában tenoroknak neveük. Matematikai terminológiával élve a skalárokat nulladrendű, a vektorokat elsőrendű tenoroknak fogjuk neveni és megkülönbötetünk másodrendű, harmadrendű, illetve magasabbrendű tenorokat. másodrendű tenorokkal kapcsolatos kérdések beveető jellegű ismertetése a jelen fejeet fő feladata. mint a később ki fog derülni, mechanikai néőpontból véve at mondhatjuk mindig (másodrendű) tenorra van sükség, ha valamilen vektormenniség (elsőrendű tenor) nemcsak a helkoordináták függvéne, hanem eg adott pontban függ a ottani iránoktól is. E okból, hacsak nem neveük meg külön a rendűséget, a tenor són másodrendű tenort fogunk érteni... Függvének... mi a alkalmaott jelöléseket illeti a alábbiakat emeljük ki: skalár menniségeket latin vag görög kurív (dőlt) betű jelöli. E kis- és nagbetű egaránt lehet. Íg például ρ jelöli a sűrűséget. rugalmas testben terhelés során felhalmoódott rugalmas energiát (más néven alakváltoási energiát) pedig a nag U-val jelöljük. vektorokat álló félkövér kis vag nagbetű, a másodrendű tenorokat pedig félkövér kurív nagbetű jelöli. Eel össhangban a elmodulásvektor jele például u, a un. fesültségi tenor jele pedig T. harmad- és magasabbrendű tenorokat félkövér sans serif típusú betűvel sedjük: pl. C. skalársorásnak, a vektoriális sorásnak, a később beveetésre kerülő diádikus sorásnak pedig a műveleti jele. mátriokat illetően abban állapodunk meg, hog a mátri betűjele egser aláhúott félkövér álló betű. Ha sükséges, erre többnire a mátri értelmeésekor van igén, akkor megadjuk a mátri méretét is. T = T (3 3) mátri például a fesültségi tenor 3 3 méretű mátria valamilen KR-ben. mátriok köött értelmeett sorásra nem hasnálunk külön műveleti jelet.

7 .. Függvének e R e e O e e R O e.. ábra. mi a KR-eket illeti, kartéiusi KR-t fogunk alkalmani itt a koordinátákat rendre, és, a vonatkoó egségvektorokat pedig e, e és e jelöli vag pedig hengerkr-t itt R a sugár, ϕ a polársög, és a harmadik koordináta, a vonatkoó egségvektorokat pedig rendre e R, e ϕ és e jelöli eek a koordinátavonalak érintői. Fennállnak a e R = e ϕ e, e ϕ = e e R, valamint a e = e R e ϕ össefüggések, aa a hengerkr, akárcsak a kartéiusi KR, ortogonális és jobbsodratú. említett két KR-t a.. ábra semlélteti. Ha valamel mátriot eg adott KR-he kötötten tekintünk, akkor sükség lehet arra, hog e a jelölésből is kitűnjön. Íg például T = T (R,ϕ,) a fesültségi tenor mátria a polárkoordináta-rendser eg adott pontjában. Megjegeük, hog 3 3 mátriok esetén a mátriok elemeinek indeelésére vag sámokat, illetve gakorta különösen akkor, ha a mátri oslopai háromméretű vektoroknak tekinthetők a illetve a Rϕ KR-ben betűket alkalmaunk ol módon, hog a, és 3 sámoknak rendre, és vag R, ϕ és felel meg. Íg például a W mátri elemeit vag a megsokott módon a W = w w w 3 w w w 3, (.a) w 3 w 3 w 33 vagpedig a W = w w w w w w w w w, illetve a W = w RR w Rϕ w R w ϕr w ϕϕ w ϕ w R w ϕ w (.b) módon is írhatjuk.... mi a függvének ostáloását illeti besélhetünk skalár-skalár függvénekről, skalárvektor függvénekről illetve vektor-vektor függvénekről. Skalár-skalár függvénre példaként vehető a = f () egváltoós függvén, e görbe egenlete; a = f(, ) kétváltoós függvén, e felület egenlete; illetve a ϑ = ϑ(,, ) háromváltoós függvén, ami mondjuk eg test hőmérsékletmeejét adja meg. = m függvént homogén lineáris függvénnek neveük, hisen nilvánvalóan lineáris és mivel = 0-ra = 0 aért homogén is. = f () egváltoós függvént általában akkor neveük homogén lineáris függvénnek, ha fennáll a f(λ +λ ) = λ f( )+λ f( ) (.)

8 . tenorsámítás elemei 3 egenlet. (λ +λ ) = m(λ +λ ) = λ (m )+λ (m ) = λ ( )+λ ( ) átalakításból aonnal követkeik, hog a =m függvén a utóbbi kritérium serint is homogén lineáris. (.) egenlettel adott definíciónak a a előne, amint at a későbbiekben látni fogjuk, hog können általánosítható. skalár-vektor függvén például a f(r) módon jelölhető, ahol r=e +e +e a helvektor. Skalár-vektor függvénnek tekinthetjük pl. a helvektor adott iránú vetületének sámítását... ábra jelöléseivel d = f(r) = a r = a T r = [ a a ] a ; a =, (.3) O d r a ahol a a iránvektor. mátri betűjele mellett jobbra fenn álló T a mátri transponáltját jelöli. fenti példa jól illustrálja, hog a KR-ben bármel vektor, íg a a vag mondjuk a v vektor is megadható a, illetve a iránú egségvektorok segítségével felírt össetevőivel:.. ábra. a = a e +a e +a e, v = v e +v e +v e (.4) illetve a vektor koordinátáival képett oslopmátri segítségével: Innen a a illetve v vektorok ismeretében a T = [ a a a ], v T = [ v v v ]. (.5) a = a e a = a e a = a e (.6a) v = v e v = v e v = v e (.6b) a e, e és e -re vonatkotatott (iránú) koordináták. Kitűnik a (.3) egenletből, hog a vektorok köötti skalársorás a KR-ben vag a tengeliránú össetevők köötti műveletekkel vag a vonatkoó mátriok köötti műveletekkel, neveetesen aok sorásával végehető el. E a tulajdonsága a skalársorásnak más vektorok, illetve tenorok köötti értelmeett műveletekre is érvénben marad, ami at jelenti, hog eek a műveletek is elvégehetők vag a vektorok illetve tenorok össetevőivel, vagpedig a hoájuk rendelt mátriok segítségével. tenor össetevőire lásd pl. a (.9) képletet. Vektor-vektor függvénről besélünk ha a f függő váltoó et a menniséget fiikai problémák esetén többnire a menniség fiikai jelentésére utaló betű jelöli vektormenniség, uganúg mint a független váltoó. Példaként említhetjük a origóban működő F erő térpontokra vett nomatékát: M P (r) = F r = e e e F F F = (F F )e +(F F )e +(F F )e (.7)

9 4.. Függvének O r F.3. ábra. M P P Vegük ésre, hog a fenti sorat mátriok segítségével is felírható: M P = 0 F F F 0 F = F F F F. (.8) F F 0 F F utóbbi mátrisorat első soróténeője eg ferdesimmetrikus 3 3 mátri, melben a, és indeű elemek a vektorsorat első soróténeőjének koordinátái, míg a, és indeű elemek eek ellentettjei. második soróténeő a vektorsorat második soróténeőjéből képett oslopmátri. Legen Ψ = 0 ψ ψ ψ 0 ψ ψ ψ 0 (.9) ferdesimmetrikus mátri, aa ψ = ψ, ψ = ψ és ψ = ψ. Legen továbbá r T = [ ] (.0) a helvektor megváltoása. Nilvánvaló a (.7) és (.8) képletek alapján, hog a Ψ r (.) mátrisoratnak a vektorsorat felel meg, ahol ϕ r (.) ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e és ϕ = ψ, ϕ = ψ, illetve ϕ = ψ. (.3) mondottak serint bármel ferdesimmetrikus mátri és eg oslopmátri soratának vektoriális sorás feleltethető meg, és perse megfordítva is, amint at a (.7) és (.8) képletek kapcsán résletesen láttuk...3. Fentebb rámutattunk arra, hog a KR-ben bármel vektor megadható a e, e és e egségvektorok segítségével. továbbiakban megmutatjuk, hog bármel vektor, mondjuk a v vektor, megadható három nem komplanáris vektor felhasnálásával. a, a és a 3 un. báisvektorokra néve a báis só, mint jelő arra utal, hog e három vektor segítségével, bármel más vektor előállítható kikötjük, hog (a a ) a 3 = [a a a 3 ] = a o 0, (.4) aa nem komplanárisok. a, a és a 3 vektorokho tartoó un. reciprok báisvektorokat a a = a a 3, a = a 3 a a o a o képletek értelmeik. Egserű sámítással ellenőrihető, hog a i a j = δ ij, ahol δ ij = fentiek alapján a v vektor valóban megadható a alakban, ahol és { ha i = j 0 ha i j a 3 = a a a o (.5) i, j =,,3. (.6) v = v a +v a +v 3 a 3 (.7) v = v a, v = v a és v 3 = v a 3 (.8) a v vektor a, a és a 3 báisvektorokra vonatkotatott koordinátái. Uganilen módon látható be, hog a v vektor a v = v a + v a + v 3 a3 (.9)

10 . tenorsámítás elemei 5 alakban is megadható, ahol v = v a, v = v a a v vektor v, v és v 3 reciprok báisvektorokra vonatkotatott koordinátái. és v 3 = v a 3 (.0).3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése.3.. másodrendű tenor fogalmának beveetéseként megvisgáljuk a homogén lineáris vektor-vektor függvének tulajdonságait. Vissaidéve a egváltoós homogén lineáris függvéneket értelmeő (.) egenlet serkeetét at mondjuk, hog homogén lineáris a vektor-vektor függvén, ha teljesül a w = f(v) (.) f (v e +v e +v e ) = v f(e )+v f(e )+v f(e ) (.) egenlet. Geometriailag a fenti egenlet olan függvénnek tekinthető, amel a tetsőleges O v pontból felmért v vektorok háromméretű terét leképei a ugancsak tetsőleges O w pontból felmért w vektorok háromméretű terére.4. ábra. v vektorokat tárgvektoroknak, a w vektorokat képvektoroknak neveük. Röviden a mondható, hog a w a v képe. t mondjuk, hog nem elfajuló a leképeés, ha a v vektorok teljes háromméretű terét a w vektorok teljes háromméretű terére képeük le. w v O w O v ahol.4. ábra. Jelölje a e, e és e vektorok képét rendre Nilvánvaló a (.) alapján, hog w = f(e ), w = f(e ) és w = f(e ), (.3) w = w e +w e +w e, w = w e +w e +w e, (.4) w = w e +w e +w e. w = f(v) = v w +v w +v w = w (e v) +w } {{ } (e v) +w (e v), (.5) } {{ } } {{ } v v v aa a leképeést egértelműen meghatároa a e, e és e vektorok w, w és w képe, vagis kilenc skalármenniség..3.. További tartalom adható a (.5) képlet jobboldalának ha értelmeük két vektor diádikus soratát. Jelölje a a és b vektorok diádikus soratát, más néven diádot a b. sorat a rajta végett műveletek kapcsán kap mélebb értelmet. Ha a diádikus soratot jobbról, vag balról sorouk skalárisan a v vektorral, akkor a lenti értelmeés serinti vektorok a eredmén: (a b) v = a (b v), v (a b) = (v a) b, (.6a) (.6b)

11 6.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése ahonnan aonnal látsik, hog általában (a b) v v (a b). Ha a diádikus soratot jobbról, vag balról sorouk vektoriálisan a v vektorral, akkor a lenti értelmeés serint a eredmén továbbra is diád: (a b) v = a (b v), v (a b) = (v a) b (.7a) (.7b) és a is látsik, hog (a b) v v (a b). Megemlítjük, hog a a, b, c és d vektorokból képett a b és c d diádok skaláris soratát a (a b) (c d) = a b c d = a d (b c) = (b c) a d (.8) egenlet értelmei. fentiek serint két diád skaláris sorata ugancsak diád. (.6a) képlet alapján a w (e v) } {{ } = (w e ) v, w (e v) = (w e ) v } {{ } és w (e v) } {{ } v v össefüggések írhatók fel, amelekkel (.5)-ből a eredmén követkeik. utóbbi képletben álló w = f(v) = (w e +w e +w e ) v v = (w e ) v W = w e +w e +w e (.9) diádösseget másodrendű tenornak neveük. W tenor segítségével a leképeést adó f(v) homogén lineáris függvén a w = f(v) = W v (.30) alakban írható fel. E a előállítás uganolan jellegű mint a egváltoós homogén lineáris függvének = m alakja (-nak w, m-nek W, -nek v felel meg). Mivel maga a leképeés KR független, a W tenor, uganúg mint valamel vektor, KR független menniség. (.9) diádösseg aonban már KR-he kötött, a KR-ben adja meg a invariáns W tenort. Más savakkal a diádok soróténeői, a tárgvektorok (egségvektorok) és a hoájuk tartoó képvektorok már eg adott KR-ben lettek véve. W tenor ismeretében a w = W e, w = W e, w = W e (.3) soratok adják a e, e és e egségvektorokho tartoó és a tenort a KR-ben meghatároó w, w és w képvektorokat. w, w és w képvektorok w, w, etc. w koordinátái pedig a vektorok koordinátáinak sámítására solgáló (.6a,b) és a (.4) képletek alapján a w mn = e m W e n m, n =,, (.3) össefüggésekkel határohatók meg.

12 . tenorsámítás elemei 7 e R e e P e e P e R e e e R e e O e e e e R O e e e e R e e.5. ábra. test pontjaiho kötött vektorokat és tenorokat a test pontjaiho kötött, un. lokális KRekben állítjuk elő, hisen aok a tekintett pont valamilen fiikai állapotát adják meg kvantitatíve. KR-ben a minden pontban aonos lokális KR báisvektorai (egségvektorai) megegenek a koordinátatengelek egségvektoraival. Rϕ KR-ben aonban pontról pontra váltonak a lokális KR-ek illetve a báisvektorok. E annak a követkeméne, hog e a KR görbevonalú..5. ábra mindkét esetet semlélteti leképeés során a a, a, a 3, [a a a 3 ]=a 0 0 vektorhármas is vehető báisnak. Ha ismerjük a a, a és a 3 vektorok w = f(a ), w = f(a ) és w 3 = f(a 3 ) (.33) képeit, akkor a leképőfüggvén homogén lineáris voltát, valamint a (.8) képletet kihasnálva kapjuk, hog w = f(v) = f(v a +v a +v 3 a 3 ) = v w +v w +v 3 w 3 = w ( a v) +w ( a v) +w 3 ( a 3 v) } {{ } } {{ } } {{ } v v diádokkal kapcsolatos (.6a) műveleti sabál alapján kiemelhetjük innen a v vektort ) w = f(v) = (w a +w a +w 3 a 3 v, } {{ } W ahol a egüttható ismét a W tenort adja. v 3. W = w a +w a +w 3 a 3 (.34).4. Speciális tenorok.4.. W tenor transponáltját kapjuk, ha felcseréljük (.9)-ban a diádikus soratok soróténeőinek sorrendjét: Vegük ésre, hog W T = e w +e w +e w. (.35)

13 8.4. Speciális tenorok v W T = v (e w +e w +e w ) = (v e ) w } {{ } +(v e ) w +(v e ) w } {{ } } {{ } = v v v vag tömören = w (e v) +w } {{ } (e v) +w (e v) = (w } {{ } } {{ } e +w e +w e ) v = W v, v v v v W T = W v, (.36) ahonnan v W T u = u W v (.37) bármilen legen is a u és v vektor. W tenor simmetrikus, ha Ha a W tenor simmetrikus, akkor (.36) és (.37) alapján bármilen legen is a u és v. W tenor ferdesimmetrikus, ha W = W T. (.38) v W = W v illetve v W u = u W v (.39) Ha a W tenor ferdesimmetrikus, akkor (.36) és (.37) alapján bármilen legen is a u és v. W tenor W = W T. (.40) v W = W v illetve v W u = u W v (.4) poitív definit poitív semidefinit negatív semidefinit negatív definit ha bármel u ra E egségtenor önmagára képei le a v vektorok terét. u W u > 0 u W u 0 u W u 0 u W u < 0. v = v e +v e +v e = e (e v) +e } {{ } (e v) +e (e v) = } {{ } } {{ } v v v átalakítás alapján aonnal kapjuk, hog = (e e +e e +e e ) v } {{ } E E = E T = e e +e e +e e (.4) ahonnan a is látsik, hog simmetrikus a E egségtenor. W = ( W +W T ) + ( W W T ) (.43) átalakítás alapján adódik a követketetés, hog bármel W tenor felbontható eg simmetrikus W s és eg ferdesimmetrikus W as tenor össegére: W = W s +W as, (.44)

14 . tenorsámítás elemei 9 ahol W s = ( W +W T ) illetve W as = ( W W T ). (.45) E a eredmén a additív felbontási tétel néven ismeretes..4.. Visgáljuk meg milen a W tenor ferdesimmetrikus réséhe tartoó leképeés. ferdesimmetrikus rést adó (.45), továbbá a (.35) képlet felhasnálásával kihasnálva egúttal a diádokon végett skaláris sorás műveleti sabálait és a kétseres vektorsoratokkal kapcsolatos kifejtési tételt írható, hog W as v = ( W W T ) v = = (w e +w e +w e ) v (e w +e w +e w ) v = = [w (e v) e (w v)] + } {{ } [w (e v) e (w v)] + } {{ } [w (e v) e (w v)] = } {{ } (w e ) v (w e ) v (w e ) v vag, elhagva a köbülső átalakítás lépéseit ahol, össhangban a fentiekkel = [w e +w e +w e ] } {{ } v (.46) w a W as v = w a v (.47) w a = [w e +w e +w e ]. (.48) w a vektor a W tenor un. vektorinvariánsa. Mivel a (.46) baloldalán álló leképeés KR független, a jobboldal w a vektora is KR független kell, hog legen. Maga a invariáns só erre a körülménre utal. Vegük ésre, hog a (.48) képlet können megjegehető, hisen csak annit kell tenni a memoriáláskor, hog a W tenort megadó (.9) képletben a diádikus sorás műveleti jelét a vektoriális sorás műveleti jelére cseréljük, majd megsorouk a eredmént /-el. (.4) képvektorokat felhasnálva w e = w e w e, w e = w e w e és w e = w e w e, amelekkel w a = w a e +w a e +w a e, (.49a) ahol w a = (w w ), w a = (w w ) és w a = (w w ). (.49b) Ha a W tenor simmetrikus, akkor a (.47) és (.46) első sora alapján figelembevéve a W = W T simmetriafeltételt írható, hog w a v = ( W W T ) v = 0. Mivel e a egenlet bármel v-re fennáll, követkeik, hog w a = 0, aa, hog simmetrikus tenorok esetén a KR e, e és e egségvektoraiho rendelt w, w és w képvektorok koordinátái eleget tesnek a w = w, w = w és w = w. (.50)

15 0.5. Tenorok és mátriok feltételeknek. Ha a W tenor ferdesimmetrikus, akkor a w mn -t adó (.3) és a (.4) képletek serint, a utóbbiban rendre e m és e n -t gondolunk u és v helére, kapjuk, hog e m W e n = e n W e m m n, m, n =,, e m W e m = e m W e m m =,, aa, hog ferdesimmetrikus tenorok esetén a KR e, e és e egségvektoraiho rendelt w, w és w képvektorok koordinátái eleget tesnek a w = w, w = w és w = w, továbbá a w = w = w = 0 (.5) feltételeknek W = w e +w e +w e másodrendű tenor inverét a W módon jelöljük és a W W = W W = E (.5) egenlettel értelmeük. Eserint a tenor és inverének skalársorata függetlenül a sorás sorrendjétől a egségtenort eredménei. Tegük fel a továbbiakban, hog nem elfajuló a W tenorral kapcsolatos leképeés (aa nincs köös síkja a w, w és w képvektoroknak). E esetben a (.5) és (.4) képletek alapján a w = w w w o, w = w w w o, w = w w w o, w o = (w w ) w = [w w w ] 0 (.53) módon sámíthatjuk a w, w és w képvektorokho rendelt reciprok vektorokat. is nilvánvaló vissaidéve a (.6) képletet, hog w m w { ha m = n n = 0 ha m n m, n =,,. (.54) Felhasnálva a (.53) képletekkel értelmeett w, w és w reciprok vektorokat a W tenor invere a W = e w +e w +e w (.55) alakban írható fel. Valóban a fenti inver és a tenor W W skalársorata tekintetében kihasnálva a (.8) és (.54) össefüggéseket fennáll, hog ) W W = (e w +e w +e w (w e +w e +w e ) = ( w ) ( w ) ( w ) = e e w +e e w +e e w + } {{ } } {{ } } {{ } = = = ( w ) ( w ) +e e w + +e e w = e e +e e +e e = E, } {{ } =0 } {{ } =0 ami at jelenti, hog teljesül a inverel kapcsolatos W W = E össefüggés. W W = E egenlet igaolását gakorlatra hagjuk..5. Tenorok és mátriok.5.. v vektor w képvektoráho, valamint a egségvektorok w, w és w képvektoraiho rendelt v, w, w, w és w oslopvektorok (oslopmátriok) segítségével mátri jelölésekkel is felírható a leképeéssel kapcsolatos (.5) képlet: w = f(v) = w v +w v +w v.

16 . tenorsámítás elemei Kirésleteve w w w } {{ } w = w w Ebben a egenletben w } {{ } w W (3 3) v + w w w } {{ } w v + w w w } {{ } w = w w w = v = w w w w w w w w w } {{ }} {{ } W w w w w w w w w w v. v v v (.56) a W tenor mátria a KR-ben és a is kiolvasható a fenti képletekből, hog a v leképeésével kapcsolatos (.30) egenletnek a w = W (3 ) v (3 3) (3 ) (.57) össefüggés felel meg. Figeljük meg, hog a W tenor KR-beni W mátriának oslopait rendre a e, e és e vektorokho tartoó w, w és w képvektorok mátriai, aa a w, w és w oslopvektorok alkotják. Megjegeük, hog a képvektorok mátriokkal történő felírása során a vonatkoó mátriok méreteit a továbbiakban csak akkor írjuk ki, ha et valamilen okból hangsúloni kívánjuk..5.. W tenort adó diádösseg lásd a W -t adó (.9) képlet jobboldalát minden eges tagja külön külön tenor, a alábbi leképeésekkel: a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a w, érus, érus vektorokat, a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a érus, w, érus vektorokat, a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a érus, érus, w vektorokat rendeli. Vissaidéve, hog a W tenor (.56) serinti mátriában a első oslop a e -he, a második oslop a e -ho, a harmadik oslop a e -he rendelt képvektor mátria at kapjuk, hog a w e diádnak, mint tenornak w 0 0 w 0 0 w 0 0 = w w w a w e diádnak, mint tenornak 0 w 0 0 w 0 = w w 0 w 0 w [ 0 0 ] = w [ 0 0 ] = w a w e diádnak, mint tenornak pedig 0 0 w 0 0 w = w w [ 0 0 ] = w 0 0 w w e T (3 ) ( 3) e T (3 ) ( 3) e T (3 ) ( 3) a mátria, ahol e, e és e a egségvektorok oslopmátriai. T = a b = a (b e +b e +b e ) = ab }{{} e + ab e + ab e }{{} }{{} t t t diád mint tenor mátriára hasonló gondolatmenettel a T = t t t = ab ab ab = ; ;

17 .6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata = a b a b a b a b a b a b a b a b a b = a a a [ b b b ] = a b T (3 ) ( 3) eredmén követkeik. fenti képletek serint két vektor diádikus soratának mátria a első vektor oslopmátriának és a második vektor oslopmátria transponáltjának sorata. Et a soratot is diádikus soratnak neveük W tenor transponáltjának mátria a transponált tenort értelmeő (.35) képlet és a előőek serint adódik: e w T + e w T + e w T = w w w w w w = W T, (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) w w w aa a tenor transponáltjának mátria megegeik a tenor mátriának transponáltjával. Nilvánvaló, hog a E egségtenornak a E egségmátri a mátria: E = e e T + e e T + e e T = (.58) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) 0 0 simmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.50) össefüggés serint a simmetrikus tenorok mátria is simmetrikus: W = W T. (.59) ferdesimmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.5) össefüggés serint a ferdesimmetrikus tenorok mátria is ferdesimmetrikus: (.44) és (.45) egenletekkel adott felbontási tételnek a egenlet, ahol W s = W = W T. (.60) W = W s +W as (.6) ( W +W T ) és W as = ( W W T ), (.6) a mátri alakja. W másodrendű tenor determinánsát a det (W ) módon jelöljük. E értelmeés serint a tenor W mátriának determinánsa: det (W )) = det (W) (.63) Igaolható, hog a másodrendű tenor inverének mátria megegeik a tenor mátriának inverével. igaolást a.9. Gakorlatra hagjuk..6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata.6.. Legen a W tenor simmetrikus. Keressük aokat a n iránokat eeket főiránoknak neveük majd amelekre néve fennáll, hog a iránt kijelölő n = n e +n e +n e ; n +n +n = (.64) egségvektor és a hoátartoó w n képvektor egmással párhuamos a.6. ábra et a esetet semlélteti. Ha párhuamos a w n és n akkor fennáll a

18 . tenorsámítás elemei 3 w n n O w =O v.6. ábra. w n = W n = λn (.65) össefüggés, ahol a λ, hasonlóan a n, n és n -he, egelőre ismeretlen paraméter. Mivel a E egségtenor minden vektort önmagára képe le a fenti egenlet átírható a vag ami ugana a W n λe n = 0, (W λe) n = 0 (.66) alakba. W és E tenorok, valamint a n vektor mátriait felhasnálva innen a w λ w w w w λ w n n = 0 (.67) w w w λ n } {{ }} {{ } W λe homogén lineáris egenletrendser követkeik. Legen P 3 (λ)= det (W λe). E a függvén λ köbös polinomja, a karakteristikus polinom. Triviálistól különböő megoldás csak akkor léteik, ha a fenti egenletrendser determinánsa eltűnik, aa ha P 3 (λ) = w λ w w w w λ w w w w λ = λ3 W I λ +W II λ W III = 0. (.68) determinánsokkal kapcsolatos kifejtési tétel felhasnálásával és némi kéi sámolással et nem résleteük belátható, hog itt és W II = w w W I = w +w +w, w + w w + w w W III = w w w w w w w w w w w. w w w n (.69a) (.69b) (.69c) W I, W II és W III egütthatókat a W tenor első, második és harmadik skalárinvariánsainak neveük. elneveést a indokolja, hog a W simmetrikus tenorral kapcsolatos és a (.66) egenlettel definiált sajátértékfeladat megoldása a tenorho tartoó leképeés eg geometriai sajátosságát tükröi és mint ilen KR független. Követkeőleg a megoldás első lépésében kiadódó (.68) karakteristikus egenlet gökei is KR függetlenek kell, hog legenek. E visont csak akkor lehetséges, ha a karakteristikus egenlet (karakteristikus polinom) W I, W II és W III egütthatói függetlenek a KR válastásától. fentebb mondottak akkor is érvénesek, ha nem simmetrikus a W tenor. továbbiakban aonban kihasnáljuk majd a simmetriát..6.. Legen λ és λ a (.68) karakteristikus egenlet két különböő göke, aa a sajátértékfeladat két különböő sajátértéke. Jelölje n és n a vonatkoó egségvektorokat. Ekkor (W λ E) n = 0 és (W λ E) n = 0. (.70) Innen, első esetben a n -vel, második esetben pedig a n -el történő skaláris sorással aonnal adódik, hog n W n = λ n n és n W n = λ n n. (.7) simmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.39) képlet serint n W n = n W n.

19 4.6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata utóbbi egenlet figelembevételével képeve a (.7)-öt alkotó egenletek különbségét a (λ λ ) n n = 0, aa a n n = 0 eredmén követkeik vagis a különböő sajátértékekhe tartoó főiránok merőlegesek egmásra. Tegük fel, hog komple sám a λ sajátérték. Ekkor a vonatkoó főiránt adó W n = λ n (.7) egenlet jobboldala komple, a baloldal pedig a W valós volta miatt csak akkor lehet komple, ha a n is komple. Követkeésképp a n felírható a n = n Re +in Im alakban. Nilvánvaló a is, hog a λ = λ λ a felülvonás a komple konjugáltat jelöli ugancsak sajátérték, a vonatkoó főirán pedig a (.7) egenlet konjugálásával írható W n = λ n, aa a W n = λ n képlet serint n = n = n Re in Im. Mivel λ λ fenn kell állnia a n n = 0 egenletnek. Uganakkor a n és n -t adó fenti képletek felhasnálásával n n = (n Re +in Im ) (n Re in Im ) = n Re n Re +n Im n Im = n 0, aa nem érus a n n skalársorat. a feltevés tehát, hog a λ komple ellentmondásra veet. Követkeésképp valósak a λ k (k =,,3) sajátértékek alábbiakban a főiránok sámítását tekintjük át, ha ismertek a P 3 (λ) karakteristikus polinom gökei. gökök nagságát tekintve három jellegetes esetet különbötethetünk meg: a gökök különbönek egmástól (minden gök egseres multiplicitású), van két egbeeső gök (eg gök kétseres, eg gök egseres multiplicitású), mindhárom gök egbeesik (eg háromsoros multiplicitású gök van). P 3 () P 3 () P 3 () 3 3 = = = 3 (a) (b) (c).7. ábra..7. ábra eekre a esetekre külön-külön semlélteti a karakteristikus polinomot. eges eseteket a alábbiakban vessük sorra.. Legenek különböőek a P 3 (λ) = 0 karakteristikus egenlet gökei: λ > λ > λ 3. Jelölje mn a n, n és n -t adó (.67) lineáris egenletrendser W λe = w λ w w w w λ w w w w λ egütthatómátria nm-ik (m, n =,, ) eleméhe tartoó előjeles aldeterminánst. determinánsok kifejtési tételével ellenőrihető magát a ellenőrést a.6. Gakorlatra hagjuk, hog P 3(λ k ) = dp 3(λ) dλ = d det (W λe) λk dλ = (λ k )+ (λ k )+ (λ k ). (.73) λk Mivel a három gök különböő, eért egseres, vagis adott λ k esetén legalább a egike a mm (λ k ) determinánsoknak, mondjuk a (λ k ), különböik érustól. Ha uganis nem íg lenne,

20 . tenorsámítás elemei 5 eltűnne a P 3(λ k ) derivált, követkeőleg nem lenne egseres a λ k gök példaként lásd a.7.(b) ábra λ = λ kettős gökét, ahol vísintes a érintő. Ha mondjuk a (λ k ) különböik érustól, akkor a (.67) lineáris egenletrendser első két egenlete, n és n -t ismeretlennek, n -t pedig paraméternek véve, független egmástól a megoldás pedig k n = (λ k ) k k n, n = (λ k ) k n (.74) (λ k ) (λ k ) alakú. n k -t a utóbbi megoldás (.64) normálási feltételbe történő helettesítésével kapjuk meg: k n = (λ k ) D ; D = (λ k )+ (λ k )+ (λ k ). n k (.74)-ba történő vissahelettesítése serint egséges formula érvénes mindhárom ismeretlenre: k n m = m(λ k ) ; m =,,. (.75) D Vegük ésre, hog e a megoldás a harmadik egenletet is kielégíti, hisen a behelettesítés serint D [w (λ k )+w (λ k )+(w λ k ) m (λ k )] = P 3(λ k ) D = 0, ahol a sögletes árójelben álló kifejeés det (W λe) λk, ha a utolsó sor serint végeük el a determináns kifejtését. fentebb mondottaknak megfelelően eljárva minden eges λ k (k =,,3) gökhö meghatároható olan iránvektor, hog n k = k n e + k n e + k n e ; n k = w k = W n k = λ k n k. (.76) n k vektorok előjelét sabadon lehet megválastani. Követkeésképp mindig lehetséges olan válastás, hog a n, n és n 3 vektorokho tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. E a KR a főtengelek KR-e, a vonatkoó koordinátasíkok pedig a un. fősíkok. n, n és n 3 egségvektorok által kifesített kartéiusi KR-ben aa a főtengelek KR-ében felhasnálva a képvektorokat adó (.76) képletet W = w n +w n +w 3 n 3 = λ n n +λ n n +λ 3 n 3 n 3 (.77) a tenor diádikus alakja. Vissaidéve, hog adott KR-ben a egségvektorokho tartoó képvektorok alkotják a tenor mátriának oslopait írhatjuk, hog λ 0 0 W = w w w 3 = λ n λ n λ 3 n 3 = 0 λ 0, (.78) (3 3) 0 0 λ 3 ahonnan jól látsik, hog diagonális a tenor mátria.. Legen λ = λ λ 3. előőekben áttekintett gondolatmenet és eredmének váltoatlanul érvénesek maradnak a n 3 -ra néve, aa mi a kettős gököt illeti n n 3 = 0 és n n 3 = 0. (.79) P 3(λ k ) = 0; k =, és, amint a a (.73) jobboldalának felhasnálásával és némi sámolással ellenőrihető, fennáll, hog P 3 (λ k ) = (w λ k )+(w λ k )+(w λ k ) ; k =, ahol a jobboldalon álló össeg legalább eg össeadandója, mondjuk a első, nem érus, ellenkeő esetben uganis három lenne a λ k gök multiplicitása. n, n és n ismeretlenek meghatároására két egenlet, a (.67) lineáris egenletrendser első egenlete, valamint a (.64) normálási feltétel hasnálható fel. íg kapott megoldással

21 6.7. Tenorok transformációja identikusan teljesül a (.67) lineáris egenletrendser második és harmadik egenlete e annak a követkeméne, hog P 3(λ ) = 0 és P 3 (λ ) = 0. n vektort úg érdemes megválastani, hog teljesüljön a n n = 0 ortogonalitási feltétel. Kettős gök esetén tehát csak a n 3 főirán egértelműen meghatároott, a másik kettő elvben sabadon felvehető a n 3 -ra merőleges síkban, célserű aonban betartani a említett ortogonalitási feltételt. W tenor diádikus előállítását annak figelembevételével kapjuk, hog most λ = λ : aa W = λ (n n +n n )+λ 3 n 3 n 3 = = λ (n n +n n +n 3 n 3 ) +(λ 3 λ ) n 3 n 3 } {{ } E W = λ E +(λ 3 λ ) n 3 n 3 (.80) utóbbi egenlet sépen mutatja, hog egedül n 3 igai tenorjellemő. Figelemmel arra, hog a főiránokat kijelölő n, n és n 3 előjele megváltotatható, mindig bitosíthatjuk, hog a n, n és n 3 vektorokho tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. 3. Háromsoros gök esetén λ = λ = λ 3 és W = λ E, (.8) követkeőleg bármel irán főirán. ilen tenort iotróp vag gömbi tenornak neveük. utóbbi elneveést a indokolja, hog a vonatkoó geometriai leképeés gömböt rendel gömbhö. is nilvánvaló, hog a n, n és n 3 vektorokat mindig megválasthatjuk ol módon, hog a hoájuk tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak simmetrikus tenorok sajátértékfeladatával kapcsolatos eredméneket illetően össegeésserűen a alábbiakat emeljük ki. sajátértékfeladatnak legalább három megoldása van a főiránokra néve. Ha csak három a megoldások sáma, akkor eek a iránok kölcsönösen merőlegesek egmásra. Ha aonban több mint három a megoldások sáma, akkor végtelen sok megoldás van, de mindig kiválastható eek köül három egmásra kölcsönösen merőleges megoldás. λ k (k =,,3) sajátértékeket nagság serint rendeettnek tekintjük, vagis úg válastjuk meg a indeüket, hog fennálljon a λ λ λ 3 reláció. vonatkoó n, n és n 3 iránvektorokat pedig úg érdemes megválastani, hog aok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. E a válastás mindig lehetséges. O.8. ábra..7. Tenorok transformációja.7.. Legen és ξηζ két, uganaon pontho kötött de egmástól különböő kartéiusi KR.8. ábra. vonatkoó egségvektorokat (báisvektorokat) a sokásos módon jelöljük: e, e, e illetve e ξ, e η, e ζ. Mindkét KR egségvektorai megadhatók a másik KR-ben is, erre jelölésben, ha a sükséges a egértelműség miatt, a e, e, e (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) illetve a e ξ, e η, e ζ (,,) (,,) (,,) módon, aa a KR-t aonosító betűhármasnak a váltoót adó betű alatti kisedésével utalunk. Kétseres gök esetén a (W λe) λk egütthatómátri rangja, aa mn=0; m, n=,,. Követkeésképp valóban identikusan teljesülnek a n -re vonatkoó [ ] n = w n +w n w λ megoldás második és harmadik egenletbe történő vissahelettesítésével kapott n n = 0 és n + n = 0 egenletek.

22 . tenorsámítás elemei 7 E a megfogalmaás általános érvénű, aa más vektorok, illetve tenorok esetén is hasonlóan írjuk ki, ha sükséges, hog melik KR-ben tekintjük a adott menniséget, vektort vag tenort. tetsőleges v vektor mind a mind pedig a ξηζ KR-ben megadható: v = v e +v e +v e, (,,) v = v ξe ξ +v η e η +v ζ e ζ. (.8) (ξ,η,ζ) Ha ismerjük a vektort a egik KR-ben, és ismerjük uganebben a KR-ben a másik KR egségvektorait, akkor a vektor másik KR-ben vett koordinátáit a vonatkoó egségvektorral való skaláris sorással kapjuk: v m = v (,,) (ξ,η,ζ) e m, v µ = v (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (,,) e µ. (,,) m=,, µ=ξ,η,ζ Kirésleteve a v µ sámításával kapcsolatos képleteket írhatjuk, hog v µ = e µ v = v e µ e +v e µ e +v e µ e = [ ] e µ e e µ e e µ e v v. v E a három egenlet eg egenletbe tömöríthető: v ξ v η = e ξ e e ξ e e ξ e e η e e η e e η e vag ami ugana v ζ } {{ } v (ξ,η,ζ) e ζ e e ζ e e ζ e v } {{ }} {{ } Q v, v v (,,) (.83) µ=ξ,η,ζ v = Q v, (.84) (ξ,η,ζ) (,,) ahol Q = e ξ e e ξ e e ξ e e η e e η e e η e e ζ e e ζ e e ζ e = cos(ξ, ) cos(ξ, ) cos(ξ, ) cos(η, ) cos(η, ) cos(η, ) cos(ζ, ) cos(ζ, ) cos(ζ, ). (.85a) későbbiek kedvéért kiírjuk a Q mátri transponáltját is: Q T = e e ξ e e η e e ζ e e ξ e e η e e ζ e e ξ e e η e e ζ = cos(, ξ) cos(, η) cos(, ζ) cos(, ξ) cos(, η) cos(, ζ) cos(, ξ) cos(, η) cos(, ζ) (.85b) Vegük ésre, hog a Q mátri oslopait a e, e és e egségvektorok ξηζ KR-ben vett koordinátái, sorait pedig a e ξ, e η és e ζ egségvektorok KR-ben vett koordinátái alkotják. Innen követkeik a Q mátri alábbi két tulajdonsága:. eg-eg sorban illetve eg-eg oslopban álló elemek négetössege, hisen e a össeg eg-eg egségvektor absolutértéke a második oslop esetén például e a vonatkoó egségvektor.. Zérus a össege a különböő indeű sorban illetve oslopban aonos helen álló elemek soratának, hisen e a össeg valójában két egmásra merőleges egségvektor skalársorata a második és harmadik sor íg képett sorata például e η e ζ.

23 8.8. Tenorok transformációja két idéett tulajdonság kihasnálásával nem nehé belátni, hog Q Q T = Q T Q = E aa, hog Q T = Q. (.86) ahol Q a Q mátri invere. olan mátriokat, melekre néve a mátri transponáltja és invere megegeik ortogonális mátrioknak neveük. fentiek serint ortogonális a (.84) transformáció Q mátria. Követkeőleg a v = Q T v (,,) (ξ,η,ζ) (.87) egenlet a említett transformáció megfordítása..7.. másodrendű W tenorral kapcsolatosan at a kérdést visgáljuk, (a) hogan sámítható a tenor W (,,) mátria a KR-ben, ha ismerjük a tenor mátriát a ξηζ KR-ben, illetve megfordítva, (b) hogan sámítható W, ha ismert W. (ξ,η,ζ) (,,) W (ξ,η,ζ) Vegük ésre, hog a (.3) képlet a W tenor mátriának elemeit adja (R-ben. Ennek a képletnek a w µν = e µ W e ν, µ, ν = ξ, η, ζ (.88) egenlet a párja a ξηζ KR-ben. említett két össefüggés felhasnálásával aonnal megkapjuk a mátriok elemeivel kapcsolatos transformációs képleteket: w mn = e m W e n, w µν = e µ W e ν. (,,) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (,,) (,,) (,,) m,n=,, µ,ν=ξ,η,ζ (.89) További és a teljes mátriokkal kapcsolatos sabálho úg juthatunk, ha felírjuk a v vektor w képét megadó egenletet mindkét KR-ben: w = W (,,) v (,,) (,,), w = W (ξ,η,ζ) v (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ). (.90) (.87) és (.84) első és második egenletbe történő helettesítésével a w = W (,,) (,,) Q T v (ξ,η,ζ) és w = W (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) Q v (,,) képleteket kapjuk. Ha a első egenletet Q-val a másodikat Q T -vel sorouk, és figelembe vessük a vektorokkal kapcsolatos (.84) és (.87) transformációs sabálokat, akkora w (ξ,η,ζ) = Q w (,,) = Q W (,,) } {{ } W (ξ,η,ζ) Q T v (ξ,η,ζ) w = Q T w = Q T W Q (,,) (ξ,η,ζ) } (ξ,η,ζ) {{ } W (,,) v (,,) (.9) eredménre jutunk, ahonnan aonnal kiolvashatók a első egenletet (.90) -vel, a másodikat (.90) -el kell egbevetni a W tenor mátriaival kapcsolatos transformációs sabálok. W = Q W Q T és W = Q T W Q (.9) (ξ,η,ζ) (,,) (,,) (ξ,η,ζ)

24 . tenorsámítás elemei 9.8. Ortogonális tenorok.8.. ortogonális tenor fogalma. tenorok transformációja kapcsán megismerkedtünk a előő sakasban a Q ortogonális mátriokkal. jelen sakasban általánosabban tekintjük át et a kérdést. Legen a Q invertálható másodrendű tenor. Jelölje rendre p és s a v és w vektorok képeit: Ha fennáll a p = Q v, s = Q w. (.93) p s = (Q v) (Q w) = v Q T Q w = v w (.94) egenlet a tetsőleges v és w (valamint a hoájuk tartoó p és s) esetére, aa ha ( ) v Q T Q w v w = v Q T Q E w = 0, (.95) akkor értelmeés serint ortogonális a Q tenor. Mivel tetsőleges a v és w követkeik, hog a Q tenor ortogonalitásának a Q T Q = E (.96) egenlet teljesülése a feltétele. Innen a tenor Q inverével jobbról történő átsorással a vag tömören a Q T Q Q = Q T E } {{ } } {{ } E Q T = E Q } {{ } Q Q T = Q (.97) össefüggés adódik. utóbbi képlet serint a ortogonális tenorok transponáltja megegeik a tenor inverével. Megjegeük, hog a fenti egenlet és e a megállapítás teljesen össhangban van a ortogonális mátriokkal kapcsolatos (.86) egenlettel és a at követő söveges megállapítással..8.. ortogonális tenorho tartoó leképeés. továbbiakban a ortogonális tenorokkal kapcsolatos leképeés geometriai jellegét kíséreljük meg tistáni. Tegük fel, hog v = w és íg p = s. Ekkor a (.94) képlet serint p s = s = w Q T Q w = w, ami at jelenti, hog megegeik a w tárgvektor és a hoátartoó s képvektor hossa: távolságtartó a leképeés. Jelölje rendre ϑ és ϕ a v és w, valamint a p és s vektorok által beárt söget ϑ, ϕ [0, π]. skaláris sorás értelmeése alapján a p s cos ϕ = v w cos ϑ egenlet követkeik a (.94) képletből. Uganakkor a leképeés távolságtartó volta miatt vagis végső soron pedig p = v és s = w, cos ϕ = cos ϑ, ϕ = ϑ, (.98) ami at jelenti, hog a leképeés nemcsak távolságtartó, hanem sögtartó is. Tekintsük a Q T Q = Q Q T = E sorat determinánsát. determinánsok sorástételét kihasnálva írható, hog ( ) ( ) det Q T Q = det Q T det (Q) = [det (Q)] = det (I) =, ahonnan det (Q) = ±. (.99) továbbiakban visgáljuk meg, hog ismeretlennek tekintve a s vektort van-e a feladatnak megoldása. Ha van, akkor fennáll a Q s = ±s (.00) Q T s = ±Q T Q s = ±s (.0) } {{ } E (.97) képlet alapján sokásos a ortogonális tenorokat a követkeő módon is értelmeni: Ortogonális a Q másodrendű tenor, ha Q T transponáltja megegeik a tenor Q inverével.

25 0.8. Ortogonális tenorok egenlet is. Vonjuk ki a utóbbi, aa a (.0) egenletet a at megelőő (.00) egenletből majd ossuk el a eredmént kettővel. Tekintettel a másodrendű tenorok ferdesimmetrikus rését értelmeő (.45) képletre kapjuk, hog ( ) s Q Q T = Q as s = 0. Jelölje q a a Q tenor vektorinvariánsát. vektorinvariáns birtokában átírható a (.47) össefüggés serint a fenti képlet: Q as s = q a s = 0. (.0) E a eredmén at jelenti, hog a (.00) képlettel felvetett feladat s megoldása párhuamos a Q tenor q a vektorinvariánsával. Tekintsük a továbbiakban a Q ortogonális tenorral kapcsolatos Q s = λs, s = [λ a det (Q λe) = 0 polinom göke.] (.03) sajátértékfeladatot, amel λ = ± esetén megegeik formailag a (.00) képlethe tartoó fentebb felvetett feladattal. Ha a s sajátvektor és a λ sajátérték, akkor λ = λ s s = λs λs = (Q s) (Q s) = s Q Q s = s s =, (.04) } {{ } E ahonnan valóban λ = ±. Visgáljuk meg a továbbiakban a előjelek serepét. Tételeük elősör fel, hog det (Q) =. alábbi és a visonok tistáását céló átalakításban (a) felhasnáljuk, hog a tenor determinánsa megegeik a transponáltja determinánsával, (b) helettesítjük, ahol sükséges a (.96) képletet, és (d) alkalmauk a determinánsok sorástételét: [ ] ( ) ( ) det (Q E) = det (Q E) T = det Q T E = det Q T Q T Q = = det (Q ) T det (E Q) = det (Q E). } {{ } det (Q)= Mivel eg valós sám akkor egeik meg a ellentettjével, ha a sám érus fennáll a det (Q λe) λ= = det (Q E) = 0 (.05a) egenlet. Tételeük fel másodsorra, hog det (Q) =. fenti gondolatmenet ismétlésével kapjuk, hog [ ] ( ) ( ) det (Q+E) = det (Q+E) T = det Q T +E = det Q T +Q T Q = = det (Q ) T det (E +Q) = det (Q+E) } {{ } det (Q)= aa, hog det (Q λe) λ= = det (Q+E) = 0. kapott eredmének a követkeő módon foglalhatók össe: Q q a = q a, ha det (Q) = [ekkor uganis λ = ] és Q q a = q a, ha det (Q) = [ekkor uganis λ = ]. Vegük ésre, hog a (.0) képlet serint fennáll (.05b) (.06) Q T q a = ±q a (.07) egenlet is. (.06) és (.07) alatti képletek segítségével teljes egésében tistáni tudjuk a leképeés geometriai jellegét. Tekintsük a v tárgvektor q a -val párhuamos és arra merőleges össetevőkre történő felbontását: v = v +v ( v q a = 0, v q a = 0 ), majd visgáljuk meg, résletesebben a leképeést. p = Q v = Q v +Q v

26 . tenorsámítás elemei q a v =p q a v p v v p p = v.9. ábra. (a) Forgatás (b) Forgatás és tükröés Mivel a v párhuamos a q a -val, és mivel a leképeés távolságtartó a v képe p = v aa önmaga, ha det (Q) = + p = v aa önmaga tükörképe, ha det (Q) = q a -ra merőleges v össetevő képe, aa p is merőleges a q a -ra. Valóban, a (.07) felhasnálásával írhatjuk, hog q a p = q a Q v = v Q T q } {{ a = ±q } a v = 0. ±q a Geometriailag e at jelenti, hog a v megtartja a saját síkját a v támadáspontján átmenő és a q a -ra merőleges síkra gondolunk ehelütt és termésetesen hossát is a leképeés során. Ha p = v, akkor a v helben marad a leképeés során. E egben at is jelenti, hog a det (Q) = esetben, amint a a előőekből nilvánvaló, a Q tenor önmagára képei le a v vektort, aa Q = E, (.08) a det (Q) = esetben pedig a v -t önmagára, a v -t pedig önmaga tükörképére képei le a Q tenor, követkeőleg a egmásra kölcsönösen merőleges ˆ, ŷ és ẑ tengelek által kifesített lokális báisban a résleteket illetően a (b) ábrára utalunk a képlet adódik a tenor mátriára Q = (.09) Ha p v, akkor a v elfordul a v a támadáspontján átmenő és a q a -ra merőleges síkban. elfordulás ψ söge minden v -re végigfutva gondolatban a tárgvektorok teljes halmaát ugana kell, hog legen, ellenkeő esetben ui. nem volna sögtartó a leképeés. Maga a leképeés pedig míg a det (Q)= esetben a v vektor támadáspontjáho kötött q a mint tengel körüli forgatás, hisen a tengelre eső v képe önmaga, a v pedig a forgatás ψ sögével elfordul a q a -ra merőleges és a v támadáspontján átmenő síkban, a det (Q) = esetben fentiekhe a v fenti síkra történő tükröése járul forgatás + tükröés, hisen a v tükörképe önmaga. kapott geometriai kép alapján a det (Q) = esetben a Q ortogonális tenort forgatásnak, vag forgató tenornak neveik és R-el jelölik. R forgató tenorok a ortogonális tenorok eg alcsoportját alkotják..9. Mintafeladatok.. Visgálja meg elfajuló esetben a leképeést adó tenor jellegét. Nem elfajuló esetben a w, w és w képvektorok nem fekhetnek eg síkban követkeőleg a tenor három diádikus sorat segítségével adható meg. Elfajuló esetben a három képvektor vag eg síkban feksik, vag eg egenesre esik, vag mindegik érusvektor.

27 .9. Mintafeladatok Ha a három képvektor egsíkú, akkor mondjuk a harmadik képvektor előállítható a első és második képvektor eg lineáris kombinációjaként, aa w = λ w +λ w, ahol λ és λ alkalmasan válastott skalár. utóbbi előállítás (.9)-be történő helettesítésével W = w (e +λ e )+w (e +λ e ) a tenor alakja, ami at jelenti, hog a tenor két diád össegeként adható meg. Ha a három képvektor eg egenesre esik, akkor mondjuk a második és harmadik képvektor mindig felírható a w = λ w, w = λ w alakban, amivel (.9)-ből W = w (e +λ e +λ e ) a tenor, aa eg diád alkotja a tenort... Tegük fel, hog a merev test eg rögített és a KR O origójával egbeeső pontja körül forog. Tegük fel továbbá, hog kicsi a merev test elfordulása és jelölje ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e a forgásvektort. Ismeretes, hog kicsin ϕ -re u = ϕ r a merev test r helvektorral aonosított pontjának elmodulása. Homogén lineáris-e e a vektor-vektor függvén? Legen r = λ r +λ r, ahol λ és λ tetsőleges skalár és r illetve r egmástól különböő vektorok. vektoriális sorás jól ismert tulajdonságai alapján u = f(r) = f (λ r +λ r ) = ϕ (λ r +λ r ) = = (ϕ r ) λ +(ϕ r ) λ = f(r )λ +f(r )λ = λ u +λ u, } {{ } } {{ } u u aa a függvén homogén lineáris. Vegük ésre at is, hog a fenti vektor-vektor függvén elfajuló. Geometriailag e abból követkeik, hog a vektoriális sorás u eredméne (a képvektorok halmaa) benne van a O w origón átmenő és a ϕ vektorra merőleges síkban. Jelölje Ψ a u = ϕ r homogén lineáris függvénhe tartoó másodrendű tenort. Nilvánvaló, hog ahol Ψ = ψ e +ψ e +ψ e, ψ = ϕ e, ψ = ϕ e illetve ψ = ϕ e. Ha a ψ, ψ és ψ képvektorok komplanárisok, és a ϕ-re merőleges síkban feksenek, akkor aa Ψ ϕ = ψ (e ϕ)+ψ (e ϕ)+ψ (e ϕ) = ψ ϕ +ψ ϕ +ψ ϕ = ψ ϕ +ψ ϕ +ψ ϕ = 0, ahonnan ϕ 0 esetén a képvektorok komplanaritását kifejeő ψ = ψ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ = ϕ e ϕ +ϕ e ϕ +ϕ e ϕ = ϕ ϕ = 0 képlet követkeik. Et a eredmént felhasnálva a Ψ tenor, a elfajuló tenorokra jellemő módon, két diád segítségével írható fel: ( Ψ = ψ e ϕ ) ( e +ψ ϕ e ϕ ) e. ϕ

28 . tenorsámítás elemei 3.3. Határouk meg a helvektorokat a tengel körül ϕ = ϕ söggel elforgató Q = a e +b e +c e c e a e O e =b tenort..0. ábráról leolvasható, hog a = e cos ϕ e sin ϕ, Ennek alapján Q = (e cos ϕ e sin ϕ) e + b = e, c = e sin ϕ+e cos ϕ. +e e +(e sin ϕ+e cos ϕ) e.0. ábra. a tenor diádikus alakja. tenor mátriának felírásakor at kell figelembe venni, hog annak oslopait a a, b és c képvektorok alkotják: cos ϕ 0 sin ϕ Q = a b c = 0 0. sin ϕ 0 cos ϕ tetsőleges r = e +e +e vektort a tenor a cos ϕ 0 sin ϕ r = Q r = 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ = cos ϕ+ sin ϕ sin ϕ+ cos ϕ, vagis a r = ( cos ϕ+ sin ϕ) e +e +( sin ϕ+ cos ϕ) e vektorba forgatja. tenor simmetrikus és ferdesimmetrikus rése: Q s = cos ϕ sin ϕ 0 0, Q as = cos ϕ sin ϕ 0 0 Kis sögekre cos ϕ és sin ϕ ϕ. Eeknek a képleteknek felhasnálásával lineariálhatók kis sögekkel történő forgatásra a fenti tenorok: Q = 0 ϕ 0 0, Q s = E = , Q as = Ψ = 0 0 ϕ ϕ ϕ 0 0 utóbbi képletekkel kis söggel történő forgatásra r = Q r = (Q s +Q as ) r = E r+ψ r = r+(ϕe ) r a képvektor, ahol at is kihasnáltuk, hog a tenor ferdesimmetrikus réséhe tartoó leképeés a (.46) képlet serint a vektorinvariánssal e most ϕe = ϕ e való sorással képehető. eredmént általánosítva at mondhatjuk, hog a ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e ; ϕ vektor által leírt forgatás, amel a r rádiusvektorokat a e = ϕ ϕ ; ϕ = ϕ +ϕ +ϕ tengel körül a ϕ = ϕ kis söggel fordítja el a képlettel sámítható, ahol ϕ ϕ Q = ϕ ϕ = ϕ ϕ r = Q r = (Q s +Q as ) r = E r+ψ r = r+ϕ r (.0) ϕ ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ 0. = E+Ψ. (.)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév) STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát,

Részletesebben

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30 Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

Az összetett hajlítás képleteiről

Az összetett hajlítás képleteiről A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

3. Szerkezeti elemek méretezése

3. Szerkezeti elemek méretezése . Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete. zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott

Részletesebben

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Műszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)

Műszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév) Műsaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépésmérnöki kar mérnök menedser hallgatói résére (2008/2009 ősi félév) Műsaki Mechanika I. Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás

A szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás 5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása 5.1.1. Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait. 9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön

Részletesebben

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

A ferde hajlítás alapképleteiről

A ferde hajlítás alapképleteiről ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,

Részletesebben

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot

Részletesebben

A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI

Részletesebben

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt

Részletesebben

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók

Részletesebben

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31 Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során

Részletesebben

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti

Részletesebben

12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit. 2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni

Részletesebben

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert. SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan

Részletesebben

l = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )

l = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 ) 5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C

Részletesebben

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium

Részletesebben

Statika gyakorló teszt I.

Statika gyakorló teszt I. Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől.

Részletesebben

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás

Részletesebben

Kvadratikus alakok gyakorlás.

Kvadratikus alakok gyakorlás. Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,

Részletesebben

TARTÓSZERKETETEK III.

TARTÓSZERKETETEK III. TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.

Részletesebben

Fizika A2E, 1. feladatsor

Fizika A2E, 1. feladatsor Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora

Részletesebben

Az F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol

Az F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek)

Részletesebben

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 003 006 Tartalomjegyzék 1. fejezet tenzorszámítás elemei 1 1.1. Bevezető megjegyzések 1 1.. Függvények 1 1.3. másodrendű tenzor fogalmának geometriai

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ZÉCHENYI ITVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖKI, INFRTIKI É VILLÉRNÖKI KR E C H N I K LKLZTT ECHNIK TNZÉK Elméleti kérdések és válasok mesterképésben (c) réstvevő mérnökhallgatók sámára 1 dja meg vektorok skaláris sorásának

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Aélserkeetek méreteése Euroode serint Gakorlati útmutató rásos tartó síkja h t t r h t Serők: Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovás auika, Verői Béla, Vigh L. Gergel Verió: 9.9.. Tartalomjegék. Beveetés....

Részletesebben

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) . Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 8 MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltán g adjunktus; Bojtár Grgl g Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 8 Fsültségi állapot smlélttés Adott: Ismrt g silárd tst pontjában a fsültségi állapot

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

Feladatok Oktatási segédanyag

Feladatok Oktatási segédanyag VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)

Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére) iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc,

Részletesebben

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban gakt követketetés pol-fa Baes-hálókban Outlne Tpes of nference B method: exact, stochastc B purpose: dagnostc sngle-step, sequental DSS, explanaton generaton Hardness of exact nference xact nference n

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége. 4. modul: Rudak igénbevételei, igénbevételi ábrái 4.2. lecke: Igénbevételi ábrák, igénbevételi függvének lecke célja: tananag felhanálója megimerje: a rudak igénbevételi ábráit, megrajoláuk gondolatmenetét;

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

Statika gyakorló teszt II.

Statika gyakorló teszt II. Statika gakorló teszt II. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) Egszerű szerkezetek síkbeli statikai feladatai (II) Megoszló terhelésekkel kapcsolatos számítások (III) Összetett szerkezetek síkbeli statikai

Részletesebben

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér

Részletesebben

5. Szerkezetek méretezése

5. Szerkezetek méretezése . Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások

Részletesebben

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér

Részletesebben

= és a kínálati függvény pedig p = 60

= és a kínálati függvény pedig p = 60 GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q

Részletesebben

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti.

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti. 06.07.0. Fiikai kémia.. A kvantummechanika alajai Dr. Berkesi Ottó SZTE Fiikai Kémiai és Anagtudománi Tanséke 05 A newtoni fiika alafeltevései I. Minden test megtartja mogásállaotát amíg valamilen erő

Részletesebben

Számítógépes grafika

Számítógépes grafika Halotán: a alkén-alogenidek caládjába tartoik: CF 3 CHCIBr. intéie a triklór-etilénből können megvalóítató, idrogén-flouriddal katalitiku körülmének köött, majd brómmal való evítéel. obaőmérékleten,868g/cm

Részletesebben

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010)

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

2.2. A z-transzformált

2.2. A z-transzformált 22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI 9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a)

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

A statika és dinamika alapjai 11,0

A statika és dinamika alapjai 11,0 FA Házi feladatok (A. gakorlat) Adottak az alábbi vektorok: a=[ 2,0 6,0,2] [ 5,2,b= 8,5 3,9] [ 4,2,c= 0,9 4,8] [,0 ],d= 3,0 5,2 Számítsa ki az alábbi vektorokat! e=a+b+d, f =b+c d Számítsa ki az e f vektort

Részletesebben

Terhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe.

Terhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe. 71 Síkbeli rácsos tartó Adott: A serkeet geometriai méretei A rudak átmérője: d = 4 mm A anag acél: 5 N E =,1 1, ν =,3 mm A terhelés: F1 = F = kn, F 3 = 4 kn F 1 A 6 5m F F 3 1 m B Feladat: a) A serkeet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket, ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008)

MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008) MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

ÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK

ÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK ÍVHÍDODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, UERIKUS ÉS SZABVÁYOS EREDÉYEK Dunai Lásló * - Joó Attila Lásló ** RÖVID KIVOAT A Dunaújvárosi Duna-híd terveése kapcsán a BE Hidak és Serkeetek Tansékén végrehajtottunk

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben