Kényszereknek alávetett rendszerek

Átírás

1 Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások agyo boyolultak lehetek, ezért egyszerűbb, ha a eltételeket mt egyeleteket vesszük gyelembe.) Példák: 1. Nyugvó lejtő: x =tg y kéyszereltétel: x tg y=0 z-re cs kkötés sebességekre: ẋ tg ẏ=0 l =1, tg, 0 l r=0 tt l =kostas, vagys em ügg a koordátáktól és az dőtől x, y, z, t= x y tg l x = x =1 ; l y= y = tg ; l z= z =0 t =0= D dőtől üggetle geometra kéyszer (holoom szkleroom redszer) 2. Matematka ga: kéyszereltétel: x 2 y 2 l 2 =0 sebességekre: 2 x ẋ2 y ẏ=0 dőüggetle geometra kéyszer 3. Tszta gördülés: x= R ẋ= R ẋ R =0 ha a mozgás leárs, akkor geometra kéyszer (lásd: 6. példa) 4. Kettős csga: l=r z 1 a z a z=d z 1 d=álladó l ' =R' z 2 zz 3 z z 2 z 3 2 z=d ' d '=álladó 2 z 1 z 2 z 3 =c 1

2 geometra kéyszer 2 ż 1 ż 2 ż 3 =0 l 1 =0,0,2 l 2 =0,0,1 l 3 =0,0,1 D=0 5. Mozgó lejtő: x ' =tg y ' x=x ' y' = y u t x tg ytg u t=0 ẋ tg ẏtg u=0 geometra kéyszer, de dőüggő 6. Függőleges síkú korog gördülése vízsztes síko: a korog középpotja: x, y, a orgásszög: a korog tegelyéek és az x-tegelyek a hajlásszöge: v=a a gördülés eltétele (cs csúszás) ẋ=v s ẏ= v cos ẋ a s =0 kéyszereltételek: ẏa cos=0 kematka kéyszer Nem küszöbölhető k a eltételekből a sebesség, vagys em tudjuk csupá a koordátákkal elír. D=0 aholoom mechaka redszer, a több példa holoom 7. Merev test: olya test, melybe bármely két pot távolsága a mozgás olyamá álladó adott db tömegpot: m 1, m 2,, m tömegek r 1,, r helyvektorok kössük össze őket súlytala rudakkal tegyük el, hogy r r j =d j =álladó, j=1,2,, x x j 2 y 2 z 2 eltétel, ey egyelet va 2 Egy merev test megadásához általába elegedő 6 adat, ha a test leárs, akkor elég 5 adat. geometra kéyszer 2

3 8. Kettős ga: geometra kéyszer Kéyszereltétel: sebességbe leárs egyelet mechaka redszer: m 1, m 2,, m koordáták: r 1,, r sebességek: r 1, r 2,, r elírása: l 1 r 1 l 2 r 2 l r D=0, ahol D, l -k üggvéye a koordátákak, esetleg az dőek: l r 1,, r, t és Dr 1,, r, t a kéyszereltétel: l v D=0 A kéyszereltételek osztályozása: geometra vagy tegrálható, ha va olya r 1,, r, t, hogy l = r D= t r r t =0 = d dt r, 1 r,, 2 r, t r 1,, r, t =álladó r r t dt= r, r,, r, t=álladó 1 2 kematka, ha cs lye üggvéy Időüggés szempotjából: dőüggetle vagy stacoárus kéyszerek dőüggő vagy em stacoárus kéyszerek Mechaka redszer: tömegpotok: m 1, m 2,, m koordáták (3 db): r 1,, r sebességek: r 1, r 2,, r belső és külső erők: F 1, F 2,, F kéyszereltételek (r db): l v D =0,, r szabadság ok: =3 r Ha mde kéyszer geometra, akkor a mechaka redszer holoom redszer, egyébkét aholoom. Ha mde kéyszer dőüggetle, akkor a mechaka redszer szkleroom redszer, egyébkét reoom. Legegyszerűbb redszerek a szkleroom, holoom redszerek. Vrtuáls elmozdulás: r 1,, r (3 koordáta), ha kelégítk a l r =0,,r egyeletredszert. Magyarázat: és 3

4 l v D =0 / dt l v dt D dt=0 d r Ha d r kelégít a et egyeletredszert, akkor ez valód elmozdulás. Észrevétel: két valód elmozdulás külöbsége vrtuáls elmozdulás (ha dt közös, vagys az dőtartamok megegyezek) l d r D dt=0 1 / l d r ' D dt=0 l d r d r ' =0 r Ha a redszer szkleroom, akkor a valód és vrtuáls elmozdulások azoosak. Például: 1. Álló lejtő: l r=0, ahol l =1, tg,0 l merőleges a lejtőre a lejtő egyelete: x, y, z= x tg y=0 ívóelület l = x, y, z merőleges a lejtőre r a lejtő síkjába esk 2. Mozgó lejtő: r olya (em valód) elmozdulás, mtha a lejtő mozgása beagyott vola. Azaz az elmozdulás végtele gyorsa (dő élkül) következe be. 4

5 A damka általáos egyelete m 1, m 2,, m r 1,, r F 1, F 2,, F szabaderők Az -edk tömegpot mozgásegyelete: általába m r F m r = F K de. K = m r F kéyszererők Elv: K r =0 alapelv A tapasztalat szert a kéyszererők mukája vrtuáls elmozdulás sorá ulla. Egy üggvéy ívóelülete legye: x, y, z=0 r merőleges a elülethez tartozó l -ra l = merőleges a elületre r l r=0 Ha K r =0 K l K = r Ez az elv csak súrlódásmetese érvéyes, vagys a kéyszererők közé em tartozhat a súrlódás, ezért a szabaderők közé soroljuk. S= K A kéyszererők vrtuáls mukája ulla: F m r r =0 a damka általáos egyelete (DÁE) 5

6 Lagrage-éle elsőajú mozgásegyeletek A mozgás olyamá teljesüle kell a kéyszereltételekek. A kéyszereltételeket -val szorozva és összeadva, ezt az összeget a damka általáos egyeletéhez hozzáadva egy 3 tagú kejezést kapuk, amely ullával egyelő: r l r =0,, r ; r3 r l r =0 F r DÁE l m r r =0 3 tag A x 1, y 1, z 1, x 2,, z 3 kompoes közül csak 3 r üggetle koordáta lehet. A 3 tagot csoportosítsuk: 3 r üggetle kompoesre r üggő kompoesre Válasszuk meg 1,, r -eket úgy, hogy a üggő tagok md kesseek. r F l m r r üggetleek 3 r tag r F l m r r =0 üggőek r tag legye ulla A üggetle koordáták együtthatóak ekkor szükséges ulláak le. Ezzel mdg elérhető: m r = F l r,, r 3 egyelet r 1 t r t 1 r 3 r db smeretle, 3 r db egyelet l r D =0,,r r db egyelet A et 3 r db bekeretezett egyeletet Lagrage-éle elsőajú mozgásegyeletekek evezzük. Példa: mozgás yugvó lejtő: x =tg y ẋ tg ẏ=0 l =1, tg,0 m r=m g l l r=0 Lagrage-éle elsőajú mozgásegyeletek 6

7 Kompoesekbe: m ẍ=m g 1=m g m ÿ=m 0 tg = tg m z=m 0 0=0 ẋ tg ẏ=0 Derecáljuk a kéyszert még egyszer: ẍ tg ÿ=0 ẍ= ÿ tg m ẍ=m ÿ tg m ÿ= m ẍ tg = tg m ẍ= tg 2 =m g = m g 1tg 2 = m g cos2 m ẍ=m g m g cos 2 =m g 1 cos 2 =m g s 2 ÿ= ẍ tg = g s 2 =g s cos tg ẍ= g s s ÿ=g s cos z=0 K x = 1== m g cos 2 K y = tg=m g s cos K z = 0=0 Megjegyzés: jobb koordátázás, ha az x-tegely a lejtővel párhuzamos, az y-tegely pedg a lejtőre merőleges. 7

8 Lagrage-éle másodajú mozgásegyeletek A redszer legye holoom! Példa: matematka ga x 2 y 2 l 2 =0 2 x ẋ2 y ẏ=0 l r=0 l = x, y,0 x=l cos y=l s x 2 y 2 l 2 0 mert: l 2 cos 2 l 2 s 2 l 2 =l 2 cos 2 s 2 1 Tegyük el, hogy va olya q 1, q 2,,q koordáta (ú. általáos koordáták), hogy ezekkel kejezve az r 1,, r derékszögű koordátákat a kéyszereltételek azoossággá válak. q 1, q 2,, q r 1 =r 1 q 1, q 2,,q, t =3 r r =r q 1, q 2,, q, t,, l 2 1 r 1,, r, t=0 r 1,, r, t=0,, r r 1 q 1, q 2,, q, t,, r q 1, q 2,,q, t,, t 0 a q-k változása közbe s ulla marad q q q 0= = r 1 q r 1 q 1 r 1 q 1 q r 2 0= l r q q r egy vrtuáls elmozdulás r = d dt r q, q,, q r 1 2, t= q q r t r q = r q A sebességek általáos sebességek szert derecálháyadosa egyelő a koordáták általáos koordáták szert derecálháyadosával. A q-k az általáos koordáták, ha a üggvéyek elegedőe smák (többször olytoosa derecálhatóak), q -ok az általáos sebességek. Egyszerűe belátható a következő egyelőség s: d dt r q = r q 8

9 A et összeüggések segítségével a damka általáos egyeletéből megkaphatjuk az általáos koordáták dőüggését meghatározó derecálegyeleteket, az ú. Lagrage-éle másodajú mozgásegyeleteket: DÁE: bal oldal: F r = m r r =1 F r q Q általáos erő q = Q q jobb oldal (a et bekeretezett összeüggések elhaszálásával): r m r q q = m r r q q ={ d m r r dt q = { d 1 dt q 2 m r 2 1 q 2 m r 2} q = d T T dt q q q = m r r q } q = Q q Mvel az általáos koordáták üggetleek, ezért mde koordátára külö e kell álla az utóbb egyeletek d T T =Q dt q q,, db másodredű derecálegyelet Ezek az ú. Lagrage-éle másodajú mozgásegyeletek. A T mozgás eerga és a Q általáos erő kejezhető az általáos koordáták és az általáos sebességek segítségével. 9