5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-"

József Nemes
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- FÉLE RELATIVITÁSI ELV m, m,,m r, r,,r r, r,, r 6 db oordáta és sebességompoes 5.. Dama Mozgásegyelete: m r = F F, ahol F jelöl a ülső erő eredőjét és F az m részéről az m re fejtett erőt (belső erő). Egy potszerű test em gyaorol erőt saját magára, ezért. m r = F F =,, 6 -redű özöséges dfferecálegyelet-redszer 5.. A belső erő tulajdosága (posztulátumo). a belső erőe megva a hatás-ellehatás tulajdoságu: F = F. a tömegpoto özt ölcsöhatás cetráls: r j = def. r r j r j = r j =r j F j r j 3. a ölcsöhatás szgorúa cetráls: F j = agysága csa a távolságutól függ f j r j szgorúa r j r j cetráls f j x= f j x szmmetrus Ez a posztulátum magába foglalja az előző ettőt s.

2 5.3. Követezméye Defícó: r def. m t = r m r m m tömegözéppot = m r m a tömegeel súlyozott átlaghelyzet; r t = m r m r t = m r m a tömegözéppot sebessége a tömegözéppot gyorsulása Tömegözéppot tétel m r = F = = = m r t = F összes ülső 0 F Ha a belső erőet egy potba tolju, aor ott az összegü ulla, mert F F =0 Tétel: a tömegözéppot úgy mozog, mtha az összes ülső erő erre a potra hata és a redszer teljes tömege ebbe a potba lee egyesítve. (Ez az első posztulátumból övetez.) Impulzustétel Vezessü be a p = def. m r meységet, am a -ad részecse mpulzusa, és a P = def. p = meységet, am a mechaa redszer összmpulzusa. Tétel: P= p = m r = F összesülső A mechaa redszer összmpulzusáa dőderváltja egyelő a redszerre ható összes ülső erővel.

3 Impulzusyomaté-tétel Defícó: a -ad tömegpot orgóra voatoztatott mpulzusyomatéa: r p = l L = def. l a mechaa redszer mpulzusyomatéa (mpulzusmometuma) = m r Tétel: L = def. = r F Az mpulzusyomaté dőderváltja egyelő a ülső erő forgatóyomatéaa összegével. Bzoyítás: L= = d dt r m r = r m r 0 r m r = F F r F Be ell lát, hogy a belső erő forgatóyomatéaa összege ulla: A= A= r F r F A= r F r F = F r r F =0 A=0 r r A F Muatétel (eergatétel) F j = f j r j r j r j def. U j x= f x j dx potecáls eerga Emléeztető: egatív grades: r U j r j = F j x U j x x j y y j z z j f j r j x x x j y y j z z j = f j r j r j x r j x x j F j x x x j y y j z z j 3

4 A belső eergából származó potecáls eerga: U b r,r,r = def. j= U j r j = j = j U j r j A belső erő összege (az -ed részecsére ható erő összege): E=T U b, ahol T a redszer etus eergája U b = r j= j F j T = = m r Tegyü fel, hogy smert a redszer mozgása: r t,,r t, r t,, r t du b = U b r dt r U b r r U b r r = de dt =Ṫ U b = m r r de dt = F j= j F j j = j j = j F j r F j r = j= F r teljesítméy F j r = = j= j F j r Muatétel: (eergatétel, eergamérleg-tétel) A mozgás és a belső potecáls eerga összegée dőderváltja egyelő a ülső erő összes teljesítméyével. de dt dt= E=T U = b ülső F r dt=w Eergatétel: ülső T U b =W A mozgás és a belső potecáls eerga összegée megváltozása egyelő a ülső erő összes muájával. 4

5 5.4. -testprobléma m,m,,m egymás hatása alatt mozog (csee ülső erő) A ölcsöhatáso szgorúa cetrálsa és szmmetrusa. m r = F =,, 6-redű özöséges dfferecálegyelet-redszer Tétel: () a tömegözéppot egyees voalú egyeletes mozgást végez () a redszer mpulzusa a mozgás folyamá álladó (3) a teljes mpulzusyomaté a mozgás folyamá álladó (4) E=T U b álladó A mozgásegyelete 0 első tegrálja: Matemata probléma: eressü olya f r,,r, r,, r,t függvéyeet, amelye a mozgás folyamá álladó: f r t,,r t, r t,, r t,t =álladó (mozgásálladó, első tegrálo), ahol r t,,r t elégít a mozgásegyeleteet. Tétel: -testprobléma eseté a mozgásegyeletee va 0 első tegrálja, evezetese: () m r három első tegrál () m r r t három első tegrál (3) m r r három első tegrál (4) m r U b r,,r egy első tegrál 5

6 5.5. Galle-féle relatvtás elv, Galle-csoport Galle-féle relatvtás elv: A mechaa törvéye azoosa az egymáshoz épest egyees voalú egyeletes mozgást végző voatoztatás redszerebe. Jeletése: a mozgásegyelet varás az r r '=r V t úgyevezett Galletraszformácóval szembe. Ee az a övetezméye (ez amatt gaz), hogy az erőtörvéy csa a relatív helyzettől és a relatív sebességtől (a öryezethez vszoyított sebesség) függ. A lasszus, em relatvsztus mechaa térdő szmmetrá: 0 paraméteres csoport: G Galle-csoport ) r r '=ra: a ezdőpot térbel eltolása (3 adat) a a tér homogé ) r r '=r V t : áttérés az egyeletese haladó K'-re (3 adat) V Galle-traszformácó 3) r r '= R r : áttérés az elforgatott K'-re (3 adat), hossz és szögtartó traszformácó x y x' y' z ' = R j 3 3 z r ' =R j r j R R l = l R R T = R T R=E ; det R= ; SO 3 SO3={R R T R=R R T =E, det R=} specáls ortogoáls csoport forgatás: tegely adat; forgatás szöge adat R SO 3 megadható, -vel a fza törvéye forgásvarása, a tér zotrop 4) t t '=ts: dőeltolás ( adat) s a fza törvéye dőeltolás varása, az dő homogé Csoport: va egy csoportművelet: (ú. szorzás) R, R R R r=r R r, mátrx-szorzás E R R T R R =R T R T R R =R T R T R R =E det R R =det R det R = R R SO3 R létez, mert det R 0 SO3 csoport 6

7 Forgatás térbe: 3 R j R = j R T j 6 egyelet, 9 ompoes 3 függetle ompoes lehet Atív traszformácó: a fza redszert traszformálju Passzív traszformácó: a oordátaredszert traszformálju Kombált művelete: térdő traszformácó: g G r g r ' =R r V ta t t ' = ts R SO 3, det R=, = g R, V, a, s 0 adat Értelmezzü g g -t g 3 g g R R, R V V, R a s V a, s s R 3 V 3 a 3 s 3 A szorzás asszocatív. Va egység: r r '=r R= E, V =0, a=0, s=0 Va verz: g R T, R T V, s R T V R T a, s (Bzoyítás Hf.) A Galle-csoport egy 0 paraméteres csoport. Bzoyítsu a szorzást: g { r '=R r V ta t '=ts } g g { r ' '= R R r V ta V ts a t ' '=ts s } r ' '= R R rr V t R a V t V s a = = R R r R V V tr a V s a V 3 R 3 t ' '=ts s s 3 a 3 g g =g g = E, 0, 0, 0=g 0 Galle-féle relatvtás elv: a mechaa törvéye varása a Galle-csoporttal szembe. 7

8 5.6. Feladato Azt találju, hogy egy ettőscsllagba a ét égtest egymástól mért távolsága álladó. a) Mlye pályá mozog a ét csllag? b) Meora a ergés peródusdeje? Egy yugvó M tömegű test felé u sebességű m tömegű test özeled, majd rugalmasa ütöze. Határozzu meg az ütözés utá sebességeet, feltételezve, hogy az ütözés cetráls! Vzsgálju az m M, az M m és az M =m esteet! Egy részecse rugalmasa ütöz egy más, yugvó részecsével. Az ütözés utá pályája szöget zár be a becsapódás ráyal; az eredetleg yugvó részecse pályája pedg szöget (az elleező ráyba). Mutassu meg, hogy e ét öye mérhető adat smerete elegedő az tömeg- és sebességaráyo meghatározásához. Adju s meg ezeet az aráyoat! Meora lehet az előző feladatba a becsapódó részecse maxmáls eltérülés szöge, ha a yugvó részecse tömege sebb a becsapódóéál? 8

Hasonló dokumentumok

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),