LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Átírás

1 LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar

2 Iformációelméleti alaok összefoglalása

3 A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció átadási folyamat legfotosabb roblémája a kódolás és dekódolás művelete Forrás-ABC Közleméy Kód-ABC Csatora-ABC Kódközleméy A forrás által szolgáltatott iformáció az úgyevezett forrás-abc betűiek egymásutá írásával adódó sorozatok formájába jeleik meg. Ezeket közleméyekek evezzük. A csatorá a csatora-abc jeliből alkotott külöböző hosszúságú sorozatok formájába lehet iformációt átvii. Ezeket a sorozatokat evezzük kódközleméyek.

4 Jelkészlet Az előállítható kódféleségek számát meghatározza: A kód-abc jeleiek száma A kód hossza A kód-abc és meghatározott hosszúságú jelsorozat mellett továbbítható kód féleségek számát jelkészletek evezzük. Az m jelű kód-abc eseté milye hosszúságú jelsorozatot kell a csatorá továbbítai, hogy a redszer mide lehetséges állaotát kifejezhessük? V = m, log m V=log m m, =log m V/log m m, azaz =log m V. Általáosságba: V = m, ahol V - jelkészlet m - a kód-abc jeleiek száma - a kód hossza Ha a kód-abc biáris, akkor a jelkészlet: Bitek száma Jelkészlet = = 4 3 = 8

5 Jelkészlet Legye d f az adott kódredszerbe előforduló forrás- ABC jelek száma. Biáris csatora eseté: sz - a szükséges bitek száma sz = log d f [ bit ], ahol d f - a forrás-abc jeleiek száma. Egy jel átlagos iformáció tartalma így: I= sz /= log d f / = / log d f [bit/bit], ahol: - a kód téyleges hossza d f - a forrás-abc jeleiek száma

6 Etróia Valós redszerekbe az egyes szimbólumok előfordulási valószíűsége általába em azoos, így iformáció tartalmuk sem azoos. Az iformáció tartalom és az előfordulás valószíűsége fordított aráyba va egymással. Az egyes szimbólumok i valószíűséggel jeleek meg, ahol: i. Az átlagos iformáció tartalom az etróia d i i d i i H i log i bit / jel. Az etróia a redszerbe lévő határozatlaság redezetleség mértéke. Maimális értékét akkor veszi fel, ha mide állaot bekövetkezési valószíűsége azoos, vagyis ha i =/d f.

7 Etróia A d f jelű forrás-abc kódolásához szükséges kód-abc jelek száma: di di H log = log i i i idf df log log log df df df df d log log log log df. d d d f f f f Az etróia a valós redszerekbe előforduló szimbólumok átlagos iformáció tartalma. Az etróia egatív értéket em vehet fel. A kétállaotú redszer etróia változása a valószíűség függvéyébe: Ekkor mide állaot bekövetkezési valószíűsége azoos, így i =/d f.

8

9 Etróia Az a i szimbólumok megjeleéséek valószíűsége i a a a k k a K K Pr a k k Pr Példa: a b c d Pr / / 4 / 8 / 8

10 Meghatározása: k k k H log log a k k Pr Pr K k K k a a a a Etróia

11 Példa: Az egyes szimbólumok megjeleéséek valószíűségei legyeek: Pr a / b / 4 c / 8 d / 8 H k k log k log H log log log log

12 Etróia a a a k k a K K Pr a k k Pr H k k log k log H E[ log ] ahol E[ f ] f

13 Példa 3 3 log /8 / 8 4 / / Pr d c b a H ] log [ H E Etróia

14 Etróia Az egyeletes eloszlásra : ~ Uif[ A] A Az A halmaz elemszáma Az egyes valószíűségek ekkor azoosak: H E[ log ] E[ log/ A ] log A Hogya változik az etróia, ha az eloszlás em egyeletes?,,..., ~ Egymástól függetleül,,...,... Meyire A véletleszerűség is álladó! véletleszerű?

15 ...,...,, ] [log log,..., log H i i E i i f f f ] [ E Mivel, ] log [ H E Ie: Etróia

16 Etróia Így: log,..., H log,..., H H,...,, ahol H E[ log ], továbbá E[ f ] f. H,...,. ~ Uif[ A] eseté / A így,..., ~ Uif[ A] esetébe kostas, A H

17 Tiikus sorozatok Egy iformációforrás blokkjaiak létezik egy közel valószíűségű halmaza úgy, hogy ezekek a blokkokak a valószíűsége közel egyforma. Eze blokkokat hívjuk tiikus sorozatokak.,,...,, ahol H H,,..., : aforrásbetűkéti gyakoriság : tetszőleges ozitív szám, :üzeet hossza H : a sorozat etróiája.

18 Tiikus sorozatok ~ Uif[ A] eseté / A kostas, Ha elegedőe agy és e kicsi, akkor az e-tiikus sorozatok száma,..., ~ Uif[ A] egyeletes eloszlás mellett: A H Az.., hosszúságú sorozat valószíűsége edig:,..., H

19 Tiikus halmaz a a a k k a K K H,...,,..., ~ Uif[ A],ahol A H A tiikus halmaz megadása: A, A,

20 Tiikus halmaz H,...,,..., ~ Uif[ A], ahol A H A, : Olya sorozatok halmaza, amelyre:,,...,,,..., H H H H A, A,

21 Példa: Pézfeldobás Pézfeldobás {Fej, Írás} Dobjuk fel egy ézérmét kétszer egymás utá: {FF, FÍ, ÍF, ÍÍ} Dobjuk fel egy ézérmét alkalommal lehetséges kimeetel. Az etróiát a feldobások számával adhatjuk meg.

22 Példa: Pézfeldobás Példa a b c d Pr /4 /4 /4 /4 ki HH HT TH TT Az érmefeldobás lehetséges kimeetelei, illetve a kimeetek valószíűségei kétszeri feldobásra

23 Példa: Pézfeldobás a a a k k a K K A, H,...,,..., ~ Uif[ A],ahol A H,..., : hossza H feldobás ~ : hossza H feldobás

24 Kódolás Példa A a b c d Pr / 4 / 4 / 4 / 4 kód hossz log4 log/ 4

25 Kódolás a a a k k a K K H,..., A,,..., ~ Uif[ A],ahol A H Háy bit szükséges az A halmaz elemeiek kódolásához? H bit

26 Tiikus sorozatok: élda Legye =0, az üzeetsorozatok: A 0 előfordulásáak valószíűsége legye P=0=3/4. Az előfordulásáak valószíűsége legye PY==/4. A feti sorozatok megjeleéséek valószíűségei:. /40. 3/44/ /40 Legagyobb valószíűség ehhez tartozik. Azoba eze sorozat em jellemzi a 0 és statisztikai tulajdoságait. A. sorozat azoba tiikus, hisze megfelel 0 és forráselemek megjeleési valószíűségeiek.

27 Tiikus sorozatok: élda Hogya határozhatjuk meg a tiikus sorozatokat? Nagy számok törvéye: véletle eseméyt egymástól függetleül sokszor megismételve, egy valószíűségű elemi eseméy relatív gyakorisága agy valószíűséggel a értékhez közelít Nézzük a 0-k megjeleési statisztikáit az egyes sorozatokba:. 0/0 << ¾. 4/0 ¾ a legtiikusabb sorozat 3. 0/0 >> ¾. Az E-tiikus sorozatokra,,...,. H H

28 Tiikus sorozatok: élda Az előző három sorozat E-tiikusságáak vizsgálata sorá tegyük fel, hogy E=/3. Az E-tiikusságra voatkozó egyelőtleség alajá:,,...,. Legye / 3. H H H H A, /33/4 0 4/33/4 = : : 0 /3/4 0 4/3/ =

29 Tiikus sorozatok: élda. sorozat : 0 k vizsgálata: sorozat : esek vizsgálata: sorozat : 0 k vizsgálata: sorozat : esek vizsgálata: sorozat : 0 k vizsgálata: sorozat : esek vizsgálata: Csak a második sorozatba teljesül az egyelőtleség! A sorozatok küzül így csak a második sorozat tiikus.

30 , y y y y Y Y Y, Y H H Y H,...,,..., i i i H H Lácszabály

31 ], [log, ; Y Y y y D Y I E y y y y Y I,, log, ; ; Y H H Y I, ; Y H Y H H Y I Kölcsöös iformáció

32 Forráskódolás A forrást a szimbólumok kimeeti valószíűségeikkel jellemezzük. Az egyes szimbólumok előfordulási valószíűsége egymástól függetle. Példa: Pézfeldobás sorozat: valószíűséggel fej, - valószíűséggel írás. A szimbólumok eloszlása ekkor 0,,,.

33 Kvatum-adattömörítés

34 Adattömörítés abcde R bit abcde bit tömörítés kitömörítés Cél: Azo legkisebb R meghatározása, amely eseté az eredeti üzeet még visszaállítható Shao: Az R értéke forrásetróiáál em lehet alacsoyabb: o H H l g.

35 Biáris etróia Az etróiafüggvéy értékei em-egatívak, értékeit a 0 és log d között veheti fel. A biáris etróia: H H, log 0log0 0 H H

36 Tiikus sorozatok A ézfeldobás eredméye valószíűséggel legye FEJ, illetve ÍRÁS - valószíűséggel. Így, feldobást követőe agy valószíűséggel FEJ, illetve - ÍRÁS kimeetet számolhatuk össze. összes üzeet A kimeetek száma hibavalószíűséggel közelíthető azok tiikus sorozataival: Tiikus sorozatok: FEJ kimeetek száma ÍRÁS kimeetek száma

37 Tiikus sorozatok Pr Pr log log, H A, tiikus sorozatok száma H összes üzeet A tiikus sorozatok előfordulási valószíűsége - hez tart. Tiikus sorozatok: FEJ kimeetek száma ÍRÁS kimeetek száma A kimeetek száma hibavalószíűséggel közelíthető azok tiikus sorozataival:

38 Tiikus sorozatok tömörítése Foglaljuk ideelt listába az összes lehetséges A forrás kimeete legye Y Ha Y em tiikus sorozat, akkor küldjük egy 0 bitet, majd a teljes Y üzeetet. Összese + bit. H, tiikus sorozatot: Ha az üzeet Összese: tiikus, küldjük egy -est, majd az Y üzeethez tartozó sorszám értékét a táblázatból. H, bit Azaz, átlagosa csak H,- bit szükséges egy tömörített üzeet elküldéséhez.

39 Tiikus sorozatok tömörítése A táblázatos tömörítési módszerrel agyméretű üzeetek eseté a kimeetek változó hosszúságúak. A kimeetek átlagos mérete azoba megfelel a Shao etróiáak. Az algoritmussal az üzeetek kitömörítése hibátlaul végrehajtható. Azoba a kisebb üzeeteket milye algoritmussal tömöríthetjük? Megoldás: RögzR gzített hosszúságú tömörítés A forrás kimeete legye Y. Ha Y em tiikus, akkor H, darab 0-t küldük. Összese: H, Ha az üzeet tiikus, egy -est, valamit az Y üzeet táblázatbeli ideéek értékét küldjük. Összese: H, bit bit A rögzített hosszúság miatt leszek hibák,azoba a hibák száma elhayagolható.

40 Miért em érhető el az Shao-korlát alatti tömörítés? Legye R H, R Ekkor rögzített hosszúság eseté legfeljebb sorozat RH, tömöríthető hibametese, így Pr 0. Atiikus sorozatok Tiikus sorozatok Pr 0 Pr R H,, RH

41 Kvatum-tömörítés

42 A kvatum-iformációforrás A klasszikus értelmezésű ézfeldobás : A kvatum-éfeldobás kvatumállaotot állítja elő, valószíűséggel 0 kimeet, valószíűséggel kimeet. valószíűséggel 0 kimeet, valószíűséggel 0 kimeet. Általáosa: A kvatum-iformációforrás a kimeeti j valószíűséggel. j

43 Kvatum adattömörítés j j j3 tömörítés visszaállítás J j4 0 j5 0 J j,..., j... J j j... J j j F J F, J J J ahol F. F J J J

44 Mi az elérhető legjobb kvatum-tömörítés? Klasszikus ézfeldobás valószíűséggel 0 kimeet, valószíűséggel kimeet. Kvatum ézfeldobás valószíűséggel 0 kimeet, valószíűséggel 0 kimeet. A zaz: H. H? / H A Shao-féle H j korlátál jobb eredméy!

45 A kvatum etróia Legye adott az sűrűségmátri. j j j j A sajátértékeket tartalmazó diagoális mátri segítségével megadhatjuk a sűrűségmátri sektrális felbotását is: Neuma etróia: k k k k e e tr log. S k k log k. H Shumacher zajmetes csatorakódolási tétele: Az R tömörítés aráya em lehet kisebb az S Neuma-etróia értékéé. l k

46 Neuma etróia tulajdoságai S d 0 S log H,ahol a sajátértékei k k A B AB. S S S A B A B Szub-additivitás: S S S AB A B.

47 A tiikus halmaz Példa: 0 0, S H. Atiikus sorozatok Tiikus sorozato k:,..., S A tiikus részhalmaz:,...,, P. S j j j

48 A Schumacher-féle adattömörítés Az állaot bemérése. Az állaot j eleme a P tiikus részhalmazak? P, Q I P P Q j j S Küldés: 0. Küldés: j. Kiegészítés 0 -val: j Iverz traszformáció: j j. Cél: F.

49 Klasszikus és kvatumfüggvéyek külöbsége klasszikus f f kvatum U f 0 f

50 Hogya állaítható meg az állaotról aak tíusa? klasszikus áramkör T 0 ha tiikus h a atiikus U T 0 T Mé rés. Az első regiszter állaotáak alakulása a mérés utá: P valószíűséggel: P P Q valószíűséggel: Q. Q

51 Az uitér j j traszformáció végrehajtása j klasszikus táblázat j j klasszikus iverz táblázat j j 0 3 kvatum táblázat j j iverz kvatum táblázat j 0 j j

52 Az uitér j j traszformáció végrehajtása Az állaot tömörítése, egyszerűsített jelölésmóddal: j U 0 j 0

53 A Schumacher-féle adattömörítés Az állaot bemérése. Az állaot j eleme a P tiikus részhalmazak? P, Q I P P Q j j S Küldés: 0. Küldés: j. Kiegészítés 0 -val: j Iverz traszformáció: j j. Cél: F.

54 A Schumacher-féle tömörítés Tiikus/atiikus állaot? Tömörítés, továbbítás Dekódolás j U T U 0 0 U 0 mérés: 0 Ha az állaot tiikus, az első regiszter tartalma J P J J P J valószíűséggel lesz. P J J

55 A J visszaállíthatósága A J sűrűségmátrira: F F, J J J J J J J J P Q J J P J valószíűséggel, P valószíűséggel hibás. P J J P J J P J J Q J hibás hibás P P P P Q J J J J J J J J hibás hibás F P P J J J J J J P J. J J

56 Cél : F F F, P J J J J J J J J tr P J J J J Azoba.... Legye Ekkor J J J J 0 0 ; ;. 0 0 y y y y P tiikus F tr P y tr y y tiikus, y. tiikus, y y y tiikus

57 LOGO Köszööm a figyelmet! Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar