7. Dinamikus programozás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. Dinamikus programozás"

Átírás

1 7. Diamikus rogramozás 7.1. Rekurzió memorizálással. Láttuk, hogy a artíció robléma rekurzív algoritmusa Ω(2 ) eljáráshívást végez, edig a lehetséges részroblémák száma csak 2 (vagy ( + 1)/2, ha csak az k eseteket vesszük.) Eek az az oka, hogy ugyaazo részrobléma megoldása több más részrobléma megoldásához kell, és az algoritmus ezeket midig újra kiszámítja. Tehát egyerűe gyorsíthatjuk a számítást, ha mide részrobléma (azaz P2(, k)) megoldását tároljuk egy tömbbe. Ha hivatkozuk egy részrobléma megoldására, akkor először elleőrizzük, hogy kiszámítottuk-e már, és ha ige, akkor kiolvassuk az értéket a táblázatból, egyebkét rekurzíva számítuk, és utáa tároljuk az értéket a táblázatba. A táblázat iicializálásához válasszuk egy olya értéket, amely em lehet egyetle részrobléma megoldása sem. Esetükbe ez lehet a 0. ublic class ParticioRM{ rivate static log[][] T2; ublic static log P(it ){ T2=ew log[+1][+1]; retur P2(,); //P rivate static log P2(it, it k){ if (T2[][k]=0) //P2(,k)-t már kiszámítottuk retur T2[][k]; //értéke a T2 táblázatba log Pk; if (k==1 ==1) //rekurzív számítás Pk=1; else if (k>=) Pk=P2(,-1)+1; else Pk=P2(, k-1)+p2(-k, k); T2[][k]=Pk; //memorizálás retur Pk; //P2 Nyilvávaló, hogy az algoritmus futási ideje Θ( 2 ), és a tárigéye is Θ( 2 ) lesz, ha csak 2 méretű táblázatak foglaluk memóriát diamikusa az aktuális araméter függvéyébe A artíció robléma megoldása táblázat-kitöltéssel. A rekurziót teljese kiküszöbölhetjük táblázat-kitöltéssel. Az 1. árá szemléltetett táblázatot haszáljuk a részroblémák megoldásaiak tárolására. Tehát a T 2[, k] táblázatelem tartalmazza a P2(, k) részrobléma megoldását. A táblázat első sora azoal kitölthető, mert P2(, 1) = 1. Olya kitöltési sorredet keresük, hogy mide (, k), k > 1 részrobléma kiszámítása eseté azok a részroblémák, amelyek szükségesek P2(, k) kiszámításához, már korábba kiszámítottak legyeek. Általáosa, rekurzív összefüggéssel defiiált roblémamegoldás eseté egy r (rész)robléma összetevői azok a részroblémák, amelyek megoldásától r megoldása függ. Tehát a táblázat-kitöltéssel alkalmazásához meg kell állaítai a részroblémákak egy olya sorredjét, hogy mide r részrobléma mide összetevője előbb álljo a sorredbe, mit r. A 1. P2(1,k) = 1, P2(,1) = 1, 2. P2(,) = 1 + P2(, 1), 3. P2(,k) = P2(,) ha < k, 4. P2(,k) = P2(,k 1) + P2( k,k) ha k <. rekurzív összefüggések megadják az összetevőket: 1

2 k N T2[,k]=P2(,k)? k?? k k N 1. ábra. Táblázat a Partíció robléma megoldásához. 1. P2(1, k)-ak és P2(, 1)-ek ics összetevője, 2. P2(, ) összetevője P2(, 1), 3. P2(, k) összetevője P2(, ), ha ( < k), 4. P2(,k) összetevői: P2(,k 1) és P2( k,k), ha (k < ). Tehát a táblázat kitöltése (k-szerit) sorokét balról jobbra haladó lehet. Az algoritmus futási ideje és tárigéye is Θ( 2 ). ublic static log P(it ){ log[][] T2=ew log[+1][+1]; for (it ; i<=; i++) T2[i][1]=1; //az első sor kitöltése for (it ki=2; ki<=; ki++){ //az ki. sor kitöltése T2[ki][ki]=T2[ki][ki-1]+1; //P2(,)=P2(,-1)+1 for (it i=ki+1; i<=; i++){ //P2(i,ki)=T2[i,ki] számítása it 1=(i-ki<ki)? i-ki : ki; //P2(,k)=P2(,), ha k> T2[i][ki]=T2[i][ki-1]+T2[i-ki][1];//P2(,k)=P2(,k-1)+P2(-k,k) retur T2[][]; 7.3. A artíció robléma megoldása lieáris táblázat-kitöltéssel. Látható, hogy elegedő lee a táblázatak csak két sorát tároli, mert mide (, k) részrobléma összetevői vagy a k-adik, vagy a k 1-edik sorba vaak. Sőt, elég egy sort tároli balról-jobbra (övekvő -szerit) haladó kitöltésél, mert amelyik részroblémát felülírjuk (( k, k)), aak később ée az új értéke kell összetevőkét. 2

3 ublic static log P(it ){ log[] T=ew log[+1]; for (it ; i<=; i++) //az első sor kitöltése T[i]=1; for (it ki=2; ki<=; ki++){ //az ki. sor kitöltése ++T[ki]; //P2(,)=P2(,-1)+1 for (it i=ki+1; i<=; i++){ // T[i]=T[i]+T[i-ki]; //P2(,k)=P2(,k-1)+P2(-k,k) retur T[]; P(405)= A ézváltás robléma. Probléma: Pézváltás Bemeet: P = { 1,..., ozitív egészek halmaza, és E ozitív egész szám. Kimeet: Olya S P, hogy S = E. Megjegyzés: A ézek tetszőleges címletek lehetek, em csak a szokásos 1, 2, 5 10, 20, stb., és mide éz csak egyszer haszálható a felváltásba. Először azt határozzuk meg, hogy va-e megoldás. A megoldás szerkezetéek elemzése. Tegyük fel, hogy E = i ik, i 1 <... < i k egy megoldása a feladatak. Ekkor E ik = i ik 1 megoldása lesz aak a feladatak, amelyek bemeete a felváltadó E ik érték, és a felváltáshoz legfeljebb a első i k 1 ( 1,..., ik 1) ézeket haszálhatjuk. Részroblémákra botás. Botsuk részroblémákra a kiidulási roblémát: Mide (X, i)(1 X E, 1 i N) számárra vegyük azt a részroblémát, hogy az X érték felváltható-e legfeljebb az első 1,..., i ézzel. Jelölje V (X,i) az (X,i) részrobléma megoldását, ami logikai érték; V (X, i) = Igaz, ha az X összeg előállítható legfeljebb az első i ézzel, egyébkét Hamis. Összefüggések a részroblémák és megoldásaik között. Nyilvávaló, hogy az alábbi összefüggések teljesülek a részroblémák megoldásaira: 1. V (X,i) = (X = i ), ha i = 1 2. V (X,i) = V (X,i 1) (X > i ) V (X i,i 1) ha i > 1 Rekurzív megoldás. Mivel a megoldás kifejezhető egy V(X,i) logikai értékű függvéyel, ezért a felírt összefüggések alajá azoal tuduk adi egy rekurzív függvéyeljárást, amely a ézváltás robléma megoldását adja. ublic boolea V(it X, it i){ // Globális:P // Módszer: Rekurzív megoldás retur (X==P[i]) (i>1) && V(X,i-1) (i>1) && (X>P[i]) && V(X-P[i],i-1); Ez a megoldás azoba ige lassú, legrosszabb esetbe a futási idő Ω(2 ). Megoldás a részroblémák megoldásaiak táblázatos tárolásával. Vegyük egy V T táblázatot, amelybe mide lehetséges részrobléma megoldását tároljuk. Mivel mide részroblémát két érték határoz meg, X és i, ezért téglala alakú táblázat kell. V T [X, i] az (X, i) részrobléma megoldását tartalmazza. A 3

4 N i? i X-P[i] X E 2. ábra. A ézváltás táblázata részroblémák kiszámítási sorredje. Olya kiszámítási sorredet kell megállaítai, amelyre teljesül, hogy amikor az (X, i) részroblémát számítjuk, akkor eek összetevőit már korábba kiszámítottuk. Mivel az (X, 1) részroblémákak ics összetevőjük, ezért közvetleül kiszámíthatóak, azaz a táblázat első sorát számíthatjuk először. Ha i > 1, akkor az (X,i) részrobléma összetevői az (X,i 1) és (X i,i 1), ezért az i-edik sor bármely elemét ki tudjuk számítai, ha már kiszámítottuk az i 1-edik sor mide elemét. Tehát a táblázatkitöltés sorredje: sorokét (alulról felfelé), balról-jobbra haladó lehet. Egy megoldás előállítása a megoldás visszafejtésével. Akkor és csak akkor va megoldása a roblémáak, ha a V T táblázat kitöltése utá V T [E,N] értéke igaz. Ekkor az (1-2.) kéletek szerit a legagyobb i idexű i éz, amely szereelhet E előállításába, az a legagyobb idex, amelyre V T [E,i] = True (V T [E,i 1] = False) De ekkor V T [E P[i],i 1] igaz, tehát E i előállítható az első i 1 éz felhaszálásával. Tehát a feti eljárást folytati kell E := E i,i := i 1-re midaddig, amíg E 0 lesz. ublic class PezValt1{ ublic static it[] Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; it MaxE=1000; boolea VT[][]=ew boolea[e+1][+1]; it i,x; for (x=1; x<=e; x++) //iicializálás VT[x][0]=false; VT[0][0]=true; VT[P[0]][0]=true; for (; i<; i++) for (x=1; x<=e; x++) VT[x][i]=P[i]==x VT[x][i-1] x>=p[i] && VT[x-P[i]][i-1]; it db=0; x=e; i=-1; if (VT[E][-1]) retur ull; it C[]=ew it[]; do{ //megoldás visszafejtés while (i>=0 && VT[x][i]) i--; C[db++]=++i; x-=p[i]; 4

5 while(x>0); for (i=db; i<; i++) C[i]=0; retur C; Ha csak arra kell válaszoli, hogy létezi-e megoldása a roblémáak, akkor elég a táblázat egy sorát tároli, mert sorokét visszafelé (x-szerit csökkeő sorredbe) haladó kitöltést alkalmazhatuk. ublic class PezValt1L{ ublic static boolea Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; boolea VT[]=ew boolea[e+1]; it i,x; for (x=1; x<=e; x++) VT[x]=false; VT[0]=true; if (P[0]<=E) VT[P[0]]=true; for (; i<; i++) for (x=e; x>0; x--) VT[x]=P[i]==x VT[x] x>=p[i] && VT[x-P[i]]; retur VT[E]; 7.5. Az otimális ézváltás robléma. Probléma: Otimális ézváltás Bemeet: P = { 1,..., ozitív egészek halmaza, és E ozitív egész szám. Kimeet: Olya S P, hogy S = E és S miimális Először is lássuk be, hogy az a mohó stratégia, amely midig a lehető legagyobb ézt választja, em vezet otimális megoldáshoz. Legye E = 8 és a ézek halmaza legye {5,4,4,1,1,1. A mohó módszer a 8 = megoldást adja, míg az otimális a 8 = Az otimális megoldás szerkezetéek elemzése. Tegyük fel, hogy E = i ik, i 1 <... < i k egy otimális megoldása a feladatak. Ekkor E ik = i ik 1 otimális megoldása lesz aak a feladatak, amelyek bemeete a felváltadó E ik érték, és a felváltáshoz legfeljebb a első i k 1 ( 1,..., ik 1) ézeket haszálhatjuk. Ugyais, ha lee kevesebb ézből álló felváltása E ik -ak, akkor E-ek is lee k-ál kevesebb ézből álló felváltása. Részroblémákra és összetevőkre botás. A részroblémák legyeek ugyaazok, mit az előző esetbe. Mide (X,i) (1 X E,1 i N) számárra vegyük azt a részroblémát, hogy legkevesebb háy éz összegekét lehet az X értéket előállítai legfeljebb az első i { 1,..., i éz felhaszálásával. Ha ics megoldás, akkor legye ez az érték N +1. Jelölje az (X,i) részrobléma otimális megoldásáak értékét Ot(X,i). Defiiáljuk az otimális megoldás értékét X = 0-ra és i = 0-ra is, azaz legye Ot(X,0) = N + 1 és Ot(0,i) = 0. Így Ot(X, i)-re az alábbi rekurzív összefüggés írható fel. A részroblémák otimális megoldásáak kifejezése az összetevők otimális megoldásaival. 5

6 N + 1 ha i = 0 X > 0 0 ha X = 0 Ot(X,i) = Ot(X,i 1) ha X < i mi(ot(x,i 1),1 + Ot(X i,i 1)) ha X i (1) ublic class OtPezValt { ublic static it[] Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; it [] Ot=ew it[e+1]; it V[][]=ew it[e+1][+1]; it i,x,rot; for (x=1; x<=e; x++){ Ot[x]=+1; V[x][0]=+1; Ot[0]=0; if (P[0]<=E){ Ot[P[0]]=1; V[P[0]][0]=0; for (; i<; i++) for (x=e; x>0; x--){ if (x>=p[i]) rot=ot[x-p[i]]+1; else rot=+1; if (rot<ot[x]) { Ot[x]=rot; V[x][i]=i; else V[x][i]=V[x][i-1]; it db=0; x=e; i=-1; if (Ot[E]>) retur ull; do{ i=v[x][i]; db++; x-=p[i]; --i; while(x>0); it C[]=ew it[db]; db=0; x=e; i=-1; do{ i=v[x][i]; C[db++]=i; x-=p[i]; --i; while(x>0); retur C; 6

7 A diamikus rogramozás stratégiája. A diamikus rogramozás, mit robléma-megoldási stratégia az alábbi öt léés végrehajtását jeleti. 1. Az [otimális] megoldás szerkezetéek elemzése. 2. Részroblémákra és összetevőkre botás úgy, hogy: a) Az összetevőktől való függés körmetes legye. b) Mide részrobléma [otimális] megoldása kifejezhető legye (rekurzíva) az összetevők [otimális] megoldásaival. 3. Részroblémák [otimális] megoldásáak kifejezése (rekurzíva) az összetevők [otimális] megoldásaiból. 4. Részroblémák [otimális] megoldásáak kiszámítása alulról-felfelé haladva: a) A részroblémák kiszámítási sorredjéek meghatározása. Olya sorba kell raki a részroblémákat, hogy mide részrobléma mide összetevője (ha va) előbb szereelje a felsorolásba, mit. b) A részroblémák kiszámítása alulról-felfelé haladva, azaz táblázat-kitöltéssel. 5. Egy [otimális] megoldás előállítása a 4. léésbe kiszámított (és tárolt) iformációkból Otimális biáris keresőfa előállítása A F = (M, R, Adat) absztrakt adatszerkezetet biáris keresőfáak evezzük, ha 1. F biáris fa, 2. Adat : M Elemti és Elemti-o értelmezett egy lieáris redezési reláció, 3. ( x M)( F bal(x) )( q F jobb(x) )(Adat() Adat(x) Adat(q)) A BINKERFAKERES függvéyeljárás egy yilvávaló megoldása a fába keresés feladatak. x a 2 a 1 q a 3 3. ábra. Biáris keresőfa ublic BiFa<E> BiKerFaKeres(E a, BiFA F){ while (F=ull) && (a=f.elem) if (a<f.elem) F=F.bal else F=F.jobb; retur F; Tegyük fel, hogy ismerjük mide k i kulcs keresési gyakoriságát, ami i (i = 1,...,) Továbbá ismert azo k kulcsok (sikertele) keresési gyakorisága, amelyre k i < k < k i+1, ami q i (,...,), és q 0 a k < k 1 kulcsok keresési gyakorisága. 7

8 x 5 k5 x 3 k 3 x 10 k 10 k 1 x 1 x 4 k 4 x 6 k 6 x 2 k 2 x 8 k 8 x 7 k 7 x9 k9 4. ábra. 10 adatot (kulcsot) tartalmazó biáris keresőfa x 5 k 5 x 3 k 3 x 10 k 10 x 1 k 1 x 4 k 4 x 6 k 6 y 10 y 0 x 2 k 2 y 3 y 4 y 5 x 8 k 8 y 1 y 2 x 7 k 7 x9 k9 y 6 y 7 y 8 y 9 5. ábra. Biáris keresőfa kiegészítve sikertele keresési otokkal 8

9 Átlagos keresési idő (költség): V (F) = i d F (x i ) + q i d F (y i ), ahol d F () a ot mélysége az F fába. Probléma: Otimális biáris keresőfa előállítása. Bemeet: P = 1,..., sikeres és Q = q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságok. Kimeet: Olya F biáris keresőfa, amelyek a V (F) költsége miimális. Az otimális megoldás szerkezete. Tegyük fel, hogy a k 1,...,k kulcsokat tartalmazó F biáris keresőfa otimális, azaz V (F) miimális. Jelölje x r a fa gyökerét. Ekkor az F 1 = F bal(xr ) fa a k 1,...,k kulcsokat, az F 2 = F jobb(xr ) fa edig a k r+1,...,k kulcsokat tartalmazza. Mivel k r F 1 F 2 iorder(f 1 ) = k 1,...k iorder(f 2 ) = k r+1,...,k 6. ábra. Ha az otimális fa gyökerébe a k r kulcs va. d F (x) = d F1 (x) + 1 és d F (x) = d F2 (x) + 1. V (F) = = = + = + = i=r+1 i=r+1 i d F (x i ) + i d F (x i ) + q i d F (y i ) i (d F1 (x i ) + 1) + i + i + q i d F (y i ) + r + i (d F2 (x i ) + 1) + i=r+1 i=r+1 q i (d F1 (y i ) + 1) + r q i (d F2 (y i ) + 1) q i + i d F1 (x i ) + q i d F1 (y i ) i d F2 (x i ) + i=r q i d F2 (y i ) q i +V (F 1 ) +V (F 2 ) i d F (x i ) + i=r q i d F (y i ) Tehát V (F) = i + q i +V (F 1 ) +V (F 2 ) (2) Az F 1 fa a k 1,...,k kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, az F 2 fa edig k r+1,...,k kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa a r+1,..., sikeres és q r,...,q sikertele keresési gyakoriságokra. A bizoyítás a kivágás-és-beillesztés módszerrel végezhető. Ha lee olya F 1 biáris keresőfa a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, hogy V (F 1 ) < V (F 1 ), akkor az F fába F 1 helyett az F 1 részfát véve olya fát kaák a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, amelyek költsége i + q i + V (F 1 ) + V (F 2 ) < V (F). Ugyaígy bizoyítható, hogy F 2 is otimális fa a k r+1,...,k kulcsokra a r+1,..., sikeres és q r,...,q sikertele keresési gyakoriságokra. Részroblémákra botás. 9

10 Mide (i, j) idexárra 0 i j tekitsük azt a részroblémát hogy mi az otimális biáris keresőfa az i+1,..., j sikeres és q i,...,q j sikertele keresési gyakoriságokra. Jelölje Ot(i, j) az otimális fa költségét az (i, j) részroblémára. Az otimális megoldás értékéek rekurzív kiszámítása. Vezessük be a j j W(i, j) = u + q u u=i+1 u=i jelölést. Mide (i, j)-re a (2) kélet miatt biztosa létezik olya i < r j, hogy Ot(i, j) = W(i, j) + Ot(i,r 1) + Ot(r, j), csak azt em tudjuk, hogy melyik r-re. Tehát azt az r-et keressük, amelyre a feti összeg miimális lesz. Tehát Ot(i, j) a következő rekurzív összefüggéssel számítható. { qi ha i = j Ot(i, j) = W(i, j) + mi (Ot(i,r 1) + Ot(r, j)) ha i < j (3) i<r j Az összetevők és a kiszámítási sorred meghatározása. Az (i,i) részroblémákak ics összetevőjük, mert Ot(i,i) = q i. Az (i, j), i < j részrobléma összetevői az (i,r 1) és (r, j), r = i + 1,..., j részroblémák. Tehát a táblázatot ki tudjuk töltei átlósa haladva, a m-edik átlóba m = 1,..., azo (i, j)részroblémákat számítjuk, amelyekre j i = m. Kiszámítás alulról-felfelé haladva (táblázat-kitöltés). N q j? qj qi 0 q0 q1 0 i N 7. ábra. Táblázat-kitöltési sorred Ahhoz, hogy egy otimális megoldást elő tudjuk állítai, mide (i, j) részroblémára tároljuk egy G táblázat G[i, j]-elemébe azt az r értéket, amelyre a (3) kéletbe az miimum előáll. Ez az r lesz a k i+1,...,k j kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa gyökere. A G[i, j] értékeket felhaszálva a FASIT rekurzív eljárás állítja elő téylegese az algoritmus kimeetét jelető keresőfát. ublic class OtBiKerFa { ublic class BiFaot{ it bal, jobb; rivate void Fasit(it Aa, it i, it j){ // Előallítja az i+1..j elemek OB keresőfáját a G értékekből 10

11 // Globális: G, F if (Aa=0){ F[Aa].bal = G[i][Aa-1]; F[Aa].jobb = G[Aa][j]; Fasit(G[i][Aa-1], i, Aa-1); Fasit(G[Aa][j], Aa, j); rivate it[][] G; rivate BiFaot[] F; ublic BiFaot[] Eit(float[] P, float[] Q){ it =P.legth-1; F=ew BiFaot[+1]; float[][] Ot=ew float[+1][+1]; float[][] W=ew float[+1][+1]; G=ew it[+1][+1]; it otr; float V, otv; for (it ; i<=; i++){ W[i][i]=Q[i]; G[i][i]=0; Ot[i][i]=Q[i]; F[i]=ew BiFaot(); //iicializálás for (it m=1; m<=; m++) for (it ; i<=-m; i++){ it j=i+m; W[i][j]=W[i][j-1]+P[j]+Q[j]; otr=j; otv=ot[i][j-1]+q[j]; //=Ot[j,j] for (it r=i+1; r<=j-1; r++){ V = Ot[i][r-1]+Ot[r][j]; if (V < otv){ otv=v; otr=r; ; Ot[i][j]=W[i][j]+otV; G[i][j]=otr; Fasit(G[0][], 0, ); F[0].bal=G[0][]; retur F; A OPTBINKERFA algoritmus futási ideje Θ( 3 ). Bizoyítás élkül megjegyezzük, hogy a for (it r=i+1; r<=j-1; r++) ciklusba elegedő lee az r ciklusváltozót G[i,j-1]+1 -től G[i+1,j]-ig futtati, és ezzel az algoritmus futási ideje Θ( 2 ) lee. 11

7. Dinamikus programozás

7. Dinamikus programozás 7. Diamikus rogramozás 7.1. Rekurzió memorizálással. Láttuk, hogy a artíció robléma rekurzív algoritmusa Ω(2 ) eljáráshívást végez. edig a lehetséges részroblémák száma csak 2 (vagy ( + 1)/2, ha csak az

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A MAXIMUM-KUPACOL eljárás helyreállítja az A[i] elemre a kupactulajdonságot. Az elemet süllyeszti cserékkel mindaddig, amíg a tulajdonság sérül.

A MAXIMUM-KUPACOL eljárás helyreállítja az A[i] elemre a kupactulajdonságot. Az elemet süllyeszti cserékkel mindaddig, amíg a tulajdonság sérül. Kiválasztás kupaccal A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Bináris keresőfák. Adat : M Elemtip és Elemtip-on értelmezett egy lineáris rendezési reláció,

Bináris keresőfák. Adat : M Elemtip és Elemtip-on értelmezett egy lineáris rendezési reláció, Bináris keresőfák Az F = (M,R,Adat) absztrakt adatszerkezetet bináris keresőfának nevezzük, ha F bináris fa, R = {bal, jobb, apa}, bal, jobb, apa : M M, Adat : M Elemtip és Elemtip-on értelmezett egy lineáris

Részletesebben

Algoritmusok és adatszerkezetek II.

Algoritmusok és adatszerkezetek II. Algoritmusok és adatszerkezetek II. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 3. Kiegyensúlyozott keresőfák A T tulajdonság magasság-egyensúlyozó

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Dinamukus programozás

Dinamukus programozás Dinamukus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Számláló rendezés. Példa

Számláló rendezés. Példa Alsó korlát rendezési algoritmusokra Minden olyan rendezési algoritmusnak a futását, amely elempárok egymással való összehasonlítása alapján működik leírja egy bináris döntési fa. Az algoritmus által a

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!

Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c

Részletesebben

Adatszerkezetek 7a. Dr. IványiPéter

Adatszerkezetek 7a. Dr. IványiPéter Adatszerkezetek 7a. Dr. IványiPéter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér () Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat a

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

2. Visszalépéses stratégia

2. Visszalépéses stratégia 2. Visszalépéses stratégia A visszalépéses keres rendszer olyan KR, amely globális munkaterülete: út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (ezen kívül a még ki nem próbált élek nyilvántartása) keresés szabályai:

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

10. tétel. Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 28.

10. tétel. Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 28. 10. tétel Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 28. 2-3 fák Hatékony keresőfa-konstrukció. Ez is fa, de a binárisnál annyival bonyolultabb hogy egy nem-levél csúcsnak 2 vagy 3 fia

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Kupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1]

Kupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1] Kupac adatszerkezet A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.

Részletesebben

17. Tördelőtáblák (Hasítótáblák)

17. Tördelőtáblák (Hasítótáblák) 7. Tördelőtáblák (Hasítótáblák) Legye U az Elemtip, uiverzum, H = {a,,a } U Vegyük egy T:Array[0..M-] of Elemtip tömbböt, amelybe a H halmazt tároli akarjuk. Válasszuk egy h : U {0,,M } függvéyt, amely

Részletesebben

A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány

Részletesebben

4.2. Rendezés. 1. Példa: A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az aρb reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés.

4.2. Rendezés. 1. Példa: A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az aρb reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés. 4.. Redezés Defiíció: A reláció Valamely A halmaz eseté a ρ A A részhalmazt az A halmazo értelmezett relációak evezzük. Azt modjuk, hogy az A halmaz a és b eleme a ρ relációba va, ha (a,b) ρ. Rövide ezt

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Dinamikus programozás

Dinamikus programozás Dinamikus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

... fi. ... fk. 6. Fabejáró algoritmusok Rekurzív preorder bejárás (elsőfiú-testvér ábrázolásra)

... fi. ... fk. 6. Fabejáró algoritmusok Rekurzív preorder bejárás (elsőfiú-testvér ábrázolásra) 6. Fabejáró algoritmusok Fa bejárásán olyan algoritmust értünk, amelynek bemenete egy F fa és egy M művelet, és az algoritmus adott sorrendben pontosan egyszer végrehajtja az M műveletet a fa pontjaiban

Részletesebben

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése A dinamikus programozás minden egyes részfeladatot és annak minden részfeladatát pontosan egyszer oldja meg, az eredményt egy táblázatban tárolja, és ezáltal

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Programozás alapjai II. (7. ea) C++

Programozás alapjai II. (7. ea) C++ Programozás alapjai II. (7. ea) C++ Kiegészítő anyag: speciális adatszerkezetek Szeberényi Imre BME IIT M Ű E G Y E T E M 1 7 8 2 C++ programozási nyelv BME-IIT Sz.I. 2016.04.05. - 1

Részletesebben

Rendezés. 1. Példa: Legyen A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az a b reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés.

Rendezés. 1. Példa: Legyen A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az a b reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés. Redezés Defiíció: A reláció Valamely A halmaz eseté a AA részhalmazt az A halmazo értelmezett relációak evezzük. Azt modjuk, hogy az A halmaz a és b eleme a relációba va, ha (a,b). Rövide ezt így írjuk:

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: Járattípusok Kapcsolatok szerit: Sugaras, igaárat: Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determiisztikus, a beszállítási és kiszállítási időpot em kötött a

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A C# programozási nyelv alapjai

A C# programozási nyelv alapjai A C# programozási nyelv alapjai Tisztán objektum-orientált Kis- és nagybetűket megkülönbözteti Ötvözi a C++, Delphi, Java programozási nyelvek pozitívumait.net futtatókörnyezet Visual Studio fejlesztőkörnyezet

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Fordítás Kódoptimalizálás

Fordítás Kódoptimalizálás Fordítás Kódoptimalizálás Kód visszafejtés. Izsó Tamás 2016. október 20. Izsó Tamás Fordítás Kódoptimalizálás / 1 Aktív változók Angol irodalomban a Live Variables kifejezést használják, míg az azt felhasználó

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.

B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás.  Szénási Sándor. B-fa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar B-fa Felépítése Beszúrás művelete Törlés

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Mohó algoritmusok. Példa:

Mohó algoritmusok. Példa: Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Hierarchikus adatszerkezetek

Hierarchikus adatszerkezetek 5. előadás Hierarchikus adatszerkezetek A hierarchikus adatszerkezet olyan < A, R > rendezett pár, amelynél van egy kitüntetett r A gyökérelem úgy, hogy: 1. r nem lehet végpont, azaz a A esetén R(a,r)

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 4. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Webprogramozás szakkör

Webprogramozás szakkör Webprogramozás szakkör Előadás 5 (2012.04.09) Programozás alapok Eddig amit láttunk: Programozás lépései o Feladat leírása (specifikáció) o Algoritmizálás, tervezés (folyamatábra, pszeudokód) o Programozás

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Neumann János Tehetséggondozó Program Gráfalgoritmusok II.

Neumann János Tehetséggondozó Program Gráfalgoritmusok II. Neumann János Tehetséggondozó Program Gráfalgoritmusok II. Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 1. A szélességi bejárás alkalmazásai. Nyilvánvaló, hogy S(0) = {r}. Jelölés: D(p) = δ(r, p) Nyilvánvaló, hogy

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

BACKTRACKING Visszalépéses keresés

BACKTRACKING Visszalépéses keresés BACKTRACKING Visszalépéses keresés I. rész A wiki.prog.hu weboldal az alábbi leírással vezeti fel a visszalépéses keresés algoritmus bemutatását: A visszalépéses keresés (Backtracking) olyan esetekben

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 2. Rekurzió 2.1. Feladat: Sorbaállítások száma Hány féleképpen lehet sorbaállítani az

Részletesebben

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3) Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index

Részletesebben

1. Jelölje meg az összes igaz állítást a következők közül!

1. Jelölje meg az összes igaz állítást a következők közül! 1. Jelölje meg az összes igaz állítást a következők közül! a) A while ciklusban a feltétel teljesülése esetén végrehajtódik a ciklusmag. b) A do while ciklusban a ciklusmag után egy kilépési feltétel van.

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben