7. Dinamikus programozás
|
|
- Klaudia Bognár
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 7. Diamikus rogramozás 7.1. Rekurzió memorizálással. Láttuk, hogy a artíció robléma rekurzív algoritmusa Ω(2 ) eljáráshívást végez, edig a lehetséges részroblémák száma csak 2 (vagy ( + 1)/2, ha csak az k eseteket vesszük.) Eek az az oka, hogy ugyaazo részrobléma megoldása több más részrobléma megoldásához kell, és az algoritmus ezeket midig újra kiszámítja. Tehát egyerűe gyorsíthatjuk a számítást, ha mide részrobléma (azaz P2(, k)) megoldását tároljuk egy tömbbe. Ha hivatkozuk egy részrobléma megoldására, akkor először elleőrizzük, hogy kiszámítottuk-e már, és ha ige, akkor kiolvassuk az értéket a táblázatból, egyebkét rekurzíva számítuk, és utáa tároljuk az értéket a táblázatba. A táblázat iicializálásához válasszuk egy olya értéket, amely em lehet egyetle részrobléma megoldása sem. Esetükbe ez lehet a 0. ublic class ParticioRM{ rivate static log[][] T2; ublic static log P(it ){ T2=ew log[+1][+1]; retur P2(,); //P rivate static log P2(it, it k){ if (T2[][k]=0) //P2(,k)-t már kiszámítottuk retur T2[][k]; //értéke a T2 táblázatba log Pk; if (k==1 ==1) //rekurzív számítás Pk=1; else if (k>=) Pk=P2(,-1)+1; else Pk=P2(, k-1)+p2(-k, k); T2[][k]=Pk; //memorizálás retur Pk; //P2 Nyilvávaló, hogy az algoritmus futási ideje Θ( 2 ), és a tárigéye is Θ( 2 ) lesz, ha csak 2 méretű táblázatak foglaluk memóriát diamikusa az aktuális araméter függvéyébe A artíció robléma megoldása táblázat-kitöltéssel. A rekurziót teljese kiküszöbölhetjük táblázat-kitöltéssel. Az 1. árá szemléltetett táblázatot haszáljuk a részroblémák megoldásaiak tárolására. Tehát a T 2[, k] táblázatelem tartalmazza a P2(, k) részrobléma megoldását. A táblázat első sora azoal kitölthető, mert P2(, 1) = 1. Olya kitöltési sorredet keresük, hogy mide (, k), k > 1 részrobléma kiszámítása eseté azok a részroblémák, amelyek szükségesek P2(, k) kiszámításához, már korábba kiszámítottak legyeek. Általáosa, rekurzív összefüggéssel defiiált roblémamegoldás eseté egy r (rész)robléma összetevői azok a részroblémák, amelyek megoldásától r megoldása függ. Tehát a táblázat-kitöltéssel alkalmazásához meg kell állaítai a részroblémákak egy olya sorredjét, hogy mide r részrobléma mide összetevője előbb álljo a sorredbe, mit r. A 1. P2(1,k) = 1, P2(,1) = 1, 2. P2(,) = 1 + P2(, 1), 3. P2(,k) = P2(,) ha < k, 4. P2(,k) = P2(,k 1) + P2( k,k) ha k <. rekurzív összefüggések megadják az összetevőket: 1
2 k N T2[,k]=P2(,k)? k?? k k N 1. ábra. Táblázat a Partíció robléma megoldásához. 1. P2(1, k)-ak és P2(, 1)-ek ics összetevője, 2. P2(, ) összetevője P2(, 1), 3. P2(, k) összetevője P2(, ), ha ( < k), 4. P2(,k) összetevői: P2(,k 1) és P2( k,k), ha (k < ). Tehát a táblázat kitöltése (k-szerit) sorokét balról jobbra haladó lehet. Az algoritmus futási ideje és tárigéye is Θ( 2 ). ublic static log P(it ){ log[][] T2=ew log[+1][+1]; for (it ; i<=; i++) T2[i][1]=1; //az első sor kitöltése for (it ki=2; ki<=; ki++){ //az ki. sor kitöltése T2[ki][ki]=T2[ki][ki-1]+1; //P2(,)=P2(,-1)+1 for (it i=ki+1; i<=; i++){ //P2(i,ki)=T2[i,ki] számítása it 1=(i-ki<ki)? i-ki : ki; //P2(,k)=P2(,), ha k> T2[i][ki]=T2[i][ki-1]+T2[i-ki][1];//P2(,k)=P2(,k-1)+P2(-k,k) retur T2[][]; 7.3. A artíció robléma megoldása lieáris táblázat-kitöltéssel. Látható, hogy elegedő lee a táblázatak csak két sorát tároli, mert mide (, k) részrobléma összetevői vagy a k-adik, vagy a k 1-edik sorba vaak. Sőt, elég egy sort tároli balról-jobbra (övekvő -szerit) haladó kitöltésél, mert amelyik részroblémát felülírjuk (( k, k)), aak később ée az új értéke kell összetevőkét. 2
3 ublic static log P(it ){ log[] T=ew log[+1]; for (it ; i<=; i++) //az első sor kitöltése T[i]=1; for (it ki=2; ki<=; ki++){ //az ki. sor kitöltése ++T[ki]; //P2(,)=P2(,-1)+1 for (it i=ki+1; i<=; i++){ // T[i]=T[i]+T[i-ki]; //P2(,k)=P2(,k-1)+P2(-k,k) retur T[]; P(405)= A ézváltás robléma. Probléma: Pézváltás Bemeet: P = { 1,..., ozitív egészek halmaza, és E ozitív egész szám. Kimeet: Olya S P, hogy S = E. Megjegyzés: A ézek tetszőleges címletek lehetek, em csak a szokásos 1, 2, 5 10, 20, stb., és mide éz csak egyszer haszálható a felváltásba. Először azt határozzuk meg, hogy va-e megoldás. A megoldás szerkezetéek elemzése. Tegyük fel, hogy E = i ik, i 1 <... < i k egy megoldása a feladatak. Ekkor E ik = i ik 1 megoldása lesz aak a feladatak, amelyek bemeete a felváltadó E ik érték, és a felváltáshoz legfeljebb a első i k 1 ( 1,..., ik 1) ézeket haszálhatjuk. Részroblémákra botás. Botsuk részroblémákra a kiidulási roblémát: Mide (X, i)(1 X E, 1 i N) számárra vegyük azt a részroblémát, hogy az X érték felváltható-e legfeljebb az első 1,..., i ézzel. Jelölje V (X,i) az (X,i) részrobléma megoldását, ami logikai érték; V (X, i) = Igaz, ha az X összeg előállítható legfeljebb az első i ézzel, egyébkét Hamis. Összefüggések a részroblémák és megoldásaik között. Nyilvávaló, hogy az alábbi összefüggések teljesülek a részroblémák megoldásaira: 1. V (X,i) = (X = i ), ha i = 1 2. V (X,i) = V (X,i 1) (X > i ) V (X i,i 1) ha i > 1 Rekurzív megoldás. Mivel a megoldás kifejezhető egy V(X,i) logikai értékű függvéyel, ezért a felírt összefüggések alajá azoal tuduk adi egy rekurzív függvéyeljárást, amely a ézváltás robléma megoldását adja. ublic boolea V(it X, it i){ // Globális:P // Módszer: Rekurzív megoldás retur (X==P[i]) (i>1) && V(X,i-1) (i>1) && (X>P[i]) && V(X-P[i],i-1); Ez a megoldás azoba ige lassú, legrosszabb esetbe a futási idő Ω(2 ). Megoldás a részroblémák megoldásaiak táblázatos tárolásával. Vegyük egy V T táblázatot, amelybe mide lehetséges részrobléma megoldását tároljuk. Mivel mide részroblémát két érték határoz meg, X és i, ezért téglala alakú táblázat kell. V T [X, i] az (X, i) részrobléma megoldását tartalmazza. A 3
4 N i? i X-P[i] X E 2. ábra. A ézváltás táblázata részroblémák kiszámítási sorredje. Olya kiszámítási sorredet kell megállaítai, amelyre teljesül, hogy amikor az (X, i) részroblémát számítjuk, akkor eek összetevőit már korábba kiszámítottuk. Mivel az (X, 1) részroblémákak ics összetevőjük, ezért közvetleül kiszámíthatóak, azaz a táblázat első sorát számíthatjuk először. Ha i > 1, akkor az (X,i) részrobléma összetevői az (X,i 1) és (X i,i 1), ezért az i-edik sor bármely elemét ki tudjuk számítai, ha már kiszámítottuk az i 1-edik sor mide elemét. Tehát a táblázatkitöltés sorredje: sorokét (alulról felfelé), balról-jobbra haladó lehet. Egy megoldás előállítása a megoldás visszafejtésével. Akkor és csak akkor va megoldása a roblémáak, ha a V T táblázat kitöltése utá V T [E,N] értéke igaz. Ekkor az (1-2.) kéletek szerit a legagyobb i idexű i éz, amely szereelhet E előállításába, az a legagyobb idex, amelyre V T [E,i] = True (V T [E,i 1] = False) De ekkor V T [E P[i],i 1] igaz, tehát E i előállítható az első i 1 éz felhaszálásával. Tehát a feti eljárást folytati kell E := E i,i := i 1-re midaddig, amíg E 0 lesz. ublic class PezValt1{ ublic static it[] Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; it MaxE=1000; boolea VT[][]=ew boolea[e+1][+1]; it i,x; for (x=1; x<=e; x++) //iicializálás VT[x][0]=false; VT[0][0]=true; VT[P[0]][0]=true; for (; i<; i++) for (x=1; x<=e; x++) VT[x][i]=P[i]==x VT[x][i-1] x>=p[i] && VT[x-P[i]][i-1]; it db=0; x=e; i=-1; if (VT[E][-1]) retur ull; it C[]=ew it[]; do{ //megoldás visszafejtés while (i>=0 && VT[x][i]) i--; C[db++]=++i; x-=p[i]; 4
5 while(x>0); for (i=db; i<; i++) C[i]=0; retur C; Ha csak arra kell válaszoli, hogy létezi-e megoldása a roblémáak, akkor elég a táblázat egy sorát tároli, mert sorokét visszafelé (x-szerit csökkeő sorredbe) haladó kitöltést alkalmazhatuk. ublic class PezValt1L{ ublic static boolea Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; boolea VT[]=ew boolea[e+1]; it i,x; for (x=1; x<=e; x++) VT[x]=false; VT[0]=true; if (P[0]<=E) VT[P[0]]=true; for (; i<; i++) for (x=e; x>0; x--) VT[x]=P[i]==x VT[x] x>=p[i] && VT[x-P[i]]; retur VT[E]; 7.5. Az otimális ézváltás robléma. Probléma: Otimális ézváltás Bemeet: P = { 1,..., ozitív egészek halmaza, és E ozitív egész szám. Kimeet: Olya S P, hogy S = E és S miimális Először is lássuk be, hogy az a mohó stratégia, amely midig a lehető legagyobb ézt választja, em vezet otimális megoldáshoz. Legye E = 8 és a ézek halmaza legye {5,4,4,1,1,1. A mohó módszer a 8 = megoldást adja, míg az otimális a 8 = Az otimális megoldás szerkezetéek elemzése. Tegyük fel, hogy E = i ik, i 1 <... < i k egy otimális megoldása a feladatak. Ekkor E ik = i ik 1 otimális megoldása lesz aak a feladatak, amelyek bemeete a felváltadó E ik érték, és a felváltáshoz legfeljebb a első i k 1 ( 1,..., ik 1) ézeket haszálhatjuk. Ugyais, ha lee kevesebb ézből álló felváltása E ik -ak, akkor E-ek is lee k-ál kevesebb ézből álló felváltása. Részroblémákra és összetevőkre botás. A részroblémák legyeek ugyaazok, mit az előző esetbe. Mide (X,i) (1 X E,1 i N) számárra vegyük azt a részroblémát, hogy legkevesebb háy éz összegekét lehet az X értéket előállítai legfeljebb az első i { 1,..., i éz felhaszálásával. Ha ics megoldás, akkor legye ez az érték N +1. Jelölje az (X,i) részrobléma otimális megoldásáak értékét Ot(X,i). Defiiáljuk az otimális megoldás értékét X = 0-ra és i = 0-ra is, azaz legye Ot(X,0) = N + 1 és Ot(0,i) = 0. Így Ot(X, i)-re az alábbi rekurzív összefüggés írható fel. A részroblémák otimális megoldásáak kifejezése az összetevők otimális megoldásaival. 5
6 N + 1 ha i = 0 X > 0 0 ha X = 0 Ot(X,i) = Ot(X,i 1) ha X < i mi(ot(x,i 1),1 + Ot(X i,i 1)) ha X i (1) ublic class OtPezValt { ublic static it[] Valto(it E, it[] P){ it =P.legth; it [] Ot=ew it[e+1]; it V[][]=ew it[e+1][+1]; it i,x,rot; for (x=1; x<=e; x++){ Ot[x]=+1; V[x][0]=+1; Ot[0]=0; if (P[0]<=E){ Ot[P[0]]=1; V[P[0]][0]=0; for (; i<; i++) for (x=e; x>0; x--){ if (x>=p[i]) rot=ot[x-p[i]]+1; else rot=+1; if (rot<ot[x]) { Ot[x]=rot; V[x][i]=i; else V[x][i]=V[x][i-1]; it db=0; x=e; i=-1; if (Ot[E]>) retur ull; do{ i=v[x][i]; db++; x-=p[i]; --i; while(x>0); it C[]=ew it[db]; db=0; x=e; i=-1; do{ i=v[x][i]; C[db++]=i; x-=p[i]; --i; while(x>0); retur C; 6
7 A diamikus rogramozás stratégiája. A diamikus rogramozás, mit robléma-megoldási stratégia az alábbi öt léés végrehajtását jeleti. 1. Az [otimális] megoldás szerkezetéek elemzése. 2. Részroblémákra és összetevőkre botás úgy, hogy: a) Az összetevőktől való függés körmetes legye. b) Mide részrobléma [otimális] megoldása kifejezhető legye (rekurzíva) az összetevők [otimális] megoldásaival. 3. Részroblémák [otimális] megoldásáak kifejezése (rekurzíva) az összetevők [otimális] megoldásaiból. 4. Részroblémák [otimális] megoldásáak kiszámítása alulról-felfelé haladva: a) A részroblémák kiszámítási sorredjéek meghatározása. Olya sorba kell raki a részroblémákat, hogy mide részrobléma mide összetevője (ha va) előbb szereelje a felsorolásba, mit. b) A részroblémák kiszámítása alulról-felfelé haladva, azaz táblázat-kitöltéssel. 5. Egy [otimális] megoldás előállítása a 4. léésbe kiszámított (és tárolt) iformációkból Otimális biáris keresőfa előállítása A F = (M, R, Adat) absztrakt adatszerkezetet biáris keresőfáak evezzük, ha 1. F biáris fa, 2. Adat : M Elemti és Elemti-o értelmezett egy lieáris redezési reláció, 3. ( x M)( F bal(x) )( q F jobb(x) )(Adat() Adat(x) Adat(q)) A BINKERFAKERES függvéyeljárás egy yilvávaló megoldása a fába keresés feladatak. x a 2 a 1 q a 3 3. ábra. Biáris keresőfa ublic BiFa<E> BiKerFaKeres(E a, BiFA F){ while (F=ull) && (a=f.elem) if (a<f.elem) F=F.bal else F=F.jobb; retur F; Tegyük fel, hogy ismerjük mide k i kulcs keresési gyakoriságát, ami i (i = 1,...,) Továbbá ismert azo k kulcsok (sikertele) keresési gyakorisága, amelyre k i < k < k i+1, ami q i (,...,), és q 0 a k < k 1 kulcsok keresési gyakorisága. 7
8 x 5 k5 x 3 k 3 x 10 k 10 k 1 x 1 x 4 k 4 x 6 k 6 x 2 k 2 x 8 k 8 x 7 k 7 x9 k9 4. ábra. 10 adatot (kulcsot) tartalmazó biáris keresőfa x 5 k 5 x 3 k 3 x 10 k 10 x 1 k 1 x 4 k 4 x 6 k 6 y 10 y 0 x 2 k 2 y 3 y 4 y 5 x 8 k 8 y 1 y 2 x 7 k 7 x9 k9 y 6 y 7 y 8 y 9 5. ábra. Biáris keresőfa kiegészítve sikertele keresési otokkal 8
9 Átlagos keresési idő (költség): V (F) = i d F (x i ) + q i d F (y i ), ahol d F () a ot mélysége az F fába. Probléma: Otimális biáris keresőfa előállítása. Bemeet: P = 1,..., sikeres és Q = q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságok. Kimeet: Olya F biáris keresőfa, amelyek a V (F) költsége miimális. Az otimális megoldás szerkezete. Tegyük fel, hogy a k 1,...,k kulcsokat tartalmazó F biáris keresőfa otimális, azaz V (F) miimális. Jelölje x r a fa gyökerét. Ekkor az F 1 = F bal(xr ) fa a k 1,...,k kulcsokat, az F 2 = F jobb(xr ) fa edig a k r+1,...,k kulcsokat tartalmazza. Mivel k r F 1 F 2 iorder(f 1 ) = k 1,...k iorder(f 2 ) = k r+1,...,k 6. ábra. Ha az otimális fa gyökerébe a k r kulcs va. d F (x) = d F1 (x) + 1 és d F (x) = d F2 (x) + 1. V (F) = = = + = + = i=r+1 i=r+1 i d F (x i ) + i d F (x i ) + q i d F (y i ) i (d F1 (x i ) + 1) + i + i + q i d F (y i ) + r + i (d F2 (x i ) + 1) + i=r+1 i=r+1 q i (d F1 (y i ) + 1) + r q i (d F2 (y i ) + 1) q i + i d F1 (x i ) + q i d F1 (y i ) i d F2 (x i ) + i=r q i d F2 (y i ) q i +V (F 1 ) +V (F 2 ) i d F (x i ) + i=r q i d F (y i ) Tehát V (F) = i + q i +V (F 1 ) +V (F 2 ) (2) Az F 1 fa a k 1,...,k kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, az F 2 fa edig k r+1,...,k kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa a r+1,..., sikeres és q r,...,q sikertele keresési gyakoriságokra. A bizoyítás a kivágás-és-beillesztés módszerrel végezhető. Ha lee olya F 1 biáris keresőfa a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, hogy V (F 1 ) < V (F 1 ), akkor az F fába F 1 helyett az F 1 részfát véve olya fát kaák a 1,..., sikeres és q 0,...,q sikertele keresési gyakoriságokra, amelyek költsége i + q i + V (F 1 ) + V (F 2 ) < V (F). Ugyaígy bizoyítható, hogy F 2 is otimális fa a k r+1,...,k kulcsokra a r+1,..., sikeres és q r,...,q sikertele keresési gyakoriságokra. Részroblémákra botás. 9
10 Mide (i, j) idexárra 0 i j tekitsük azt a részroblémát hogy mi az otimális biáris keresőfa az i+1,..., j sikeres és q i,...,q j sikertele keresési gyakoriságokra. Jelölje Ot(i, j) az otimális fa költségét az (i, j) részroblémára. Az otimális megoldás értékéek rekurzív kiszámítása. Vezessük be a j j W(i, j) = u + q u u=i+1 u=i jelölést. Mide (i, j)-re a (2) kélet miatt biztosa létezik olya i < r j, hogy Ot(i, j) = W(i, j) + Ot(i,r 1) + Ot(r, j), csak azt em tudjuk, hogy melyik r-re. Tehát azt az r-et keressük, amelyre a feti összeg miimális lesz. Tehát Ot(i, j) a következő rekurzív összefüggéssel számítható. { qi ha i = j Ot(i, j) = W(i, j) + mi (Ot(i,r 1) + Ot(r, j)) ha i < j (3) i<r j Az összetevők és a kiszámítási sorred meghatározása. Az (i,i) részroblémákak ics összetevőjük, mert Ot(i,i) = q i. Az (i, j), i < j részrobléma összetevői az (i,r 1) és (r, j), r = i + 1,..., j részroblémák. Tehát a táblázatot ki tudjuk töltei átlósa haladva, a m-edik átlóba m = 1,..., azo (i, j)részroblémákat számítjuk, amelyekre j i = m. Kiszámítás alulról-felfelé haladva (táblázat-kitöltés). N q j? qj qi 0 q0 q1 0 i N 7. ábra. Táblázat-kitöltési sorred Ahhoz, hogy egy otimális megoldást elő tudjuk állítai, mide (i, j) részroblémára tároljuk egy G táblázat G[i, j]-elemébe azt az r értéket, amelyre a (3) kéletbe az miimum előáll. Ez az r lesz a k i+1,...,k j kulcsokat tartalmazó otimális biáris keresőfa gyökere. A G[i, j] értékeket felhaszálva a FASIT rekurzív eljárás állítja elő téylegese az algoritmus kimeetét jelető keresőfát. ublic class OtBiKerFa { ublic class BiFaot{ it bal, jobb; rivate void Fasit(it Aa, it i, it j){ // Előallítja az i+1..j elemek OB keresőfáját a G értékekből 10
11 // Globális: G, F if (Aa=0){ F[Aa].bal = G[i][Aa-1]; F[Aa].jobb = G[Aa][j]; Fasit(G[i][Aa-1], i, Aa-1); Fasit(G[Aa][j], Aa, j); rivate it[][] G; rivate BiFaot[] F; ublic BiFaot[] Eit(float[] P, float[] Q){ it =P.legth-1; F=ew BiFaot[+1]; float[][] Ot=ew float[+1][+1]; float[][] W=ew float[+1][+1]; G=ew it[+1][+1]; it otr; float V, otv; for (it ; i<=; i++){ W[i][i]=Q[i]; G[i][i]=0; Ot[i][i]=Q[i]; F[i]=ew BiFaot(); //iicializálás for (it m=1; m<=; m++) for (it ; i<=-m; i++){ it j=i+m; W[i][j]=W[i][j-1]+P[j]+Q[j]; otr=j; otv=ot[i][j-1]+q[j]; //=Ot[j,j] for (it r=i+1; r<=j-1; r++){ V = Ot[i][r-1]+Ot[r][j]; if (V < otv){ otv=v; otr=r; ; Ot[i][j]=W[i][j]+otV; G[i][j]=otr; Fasit(G[0][], 0, ); F[0].bal=G[0][]; retur F; A OPTBINKERFA algoritmus futási ideje Θ( 3 ). Bizoyítás élkül megjegyezzük, hogy a for (it r=i+1; r<=j-1; r++) ciklusba elegedő lee az r ciklusváltozót G[i,j-1]+1 -től G[i+1,j]-ig futtati, és ezzel az algoritmus futási ideje Θ( 2 ) lee. 11
7. Dinamikus programozás
7. Diamikus rogramozás 7.1. Rekurzió memorizálással. Láttuk, hogy a artíció robléma rekurzív algoritmusa Ω(2 ) eljáráshívást végez. edig a lehetséges részroblémák száma csak 2 (vagy ( + 1)/2, ha csak az
Fibonacci számok. Dinamikus programozással
Fibonacci számok Fibonacci 1202-ben vetette fel a kérdést: hány nyúlpár születik n év múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; minden nyúlpár, amikor szaporodik
Partíció probléma rekurzíómemorizálással
Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Elsőbbségi (prioritásos) sor
Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe
A MAXIMUM-KUPACOL eljárás helyreállítja az A[i] elemre a kupactulajdonságot. Az elemet süllyeszti cserékkel mindaddig, amíg a tulajdonság sérül.
Kiválasztás kupaccal A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.
7 7, ,22 13,22 13, ,28
Általános keresőfák 7 7,13 13 13 7 20 7 20,22 13,22 13,22 7 20 25 7 20 25,28 Általános keresőfa Az általános keresőfa olyan absztrakt adatszerkezet, amely fa és minden cellájában nem csak egy (adat), hanem
VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:
6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú
A figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 07
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 0 Keresőfák Fák Fa: összefüggő, körmentes gráf, melyre igaz, hogy: - (Általában) egy gyökér csúcsa van, melynek 0 vagy több részfája van - Pontosan egy út vezet
f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
Dinamikus programozás II.
Dinamikus programozás II. Dinamikus programozás stratégiája A dinamikus programozás stratégiája 1. Az [optimális] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy:
Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Algoritmusok és adatszerkezetek II.
Algoritmusok és adatszerkezetek II. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 3. Kiegyensúlyozott keresőfák A T tulajdonság magasság-egyensúlyozó
Sorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
A félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
Bináris keresőfák. Adat : M Elemtip és Elemtip-on értelmezett egy lineáris rendezési reláció,
Bináris keresőfák Az F = (M,R,Adat) absztrakt adatszerkezetet bináris keresőfának nevezzük, ha F bináris fa, R = {bal, jobb, apa}, bal, jobb, apa : M M, Adat : M Elemtip és Elemtip-on értelmezett egy lineáris
2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1
2. Rekurzió Egy objektum definícióját rekurzívnak nevezünk, ha a definíció tartalmazza a definiálandó objektumot. Egy P eljárást (vagy függvényt) rekurzívnak nevezünk, ha P utasításrészében előfordul magának
1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Matematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus
LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,
Nevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.
Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat
= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Dinamukus programozás
Dinamukus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy
V. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
6. Elsőbbségi (prioritásos) sor
6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe
Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 0.1. Az algoritmikus tudás szintjei Ismeri (a megoldó algoritmust) Érti Le tudja pontosan
Algoritmusok és adatszerkezetek II.
Algoritmusok és adatszerkezetek II. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 5. Vágható-egyesíthető Halmaz adattípus megvalósítása önszervező
Specifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
1. ALGORITMUSOK MŰVELETIGÉNYE
1 ALGORITMUSOK MŰVELETIGÉNYE Az ismertetésre kerülő adatszerkezeteket és algoritmusokat midig jellemezzük majd a hatékoyság szempotjából Az adatszerkezetek egyes ábrázolásairól megállapítjuk a helyfoglalásukat,
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Számláló rendezés. Példa
Alsó korlát rendezési algoritmusokra Minden olyan rendezési algoritmusnak a futását, amely elempárok egymással való összehasonlítása alapján működik leírja egy bináris döntési fa. Az algoritmus által a
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Specifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Algoritmusok és adatszerkezetek I. 10. előadás
Algortmusok és adatszerkezetek I. 10. előadás Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P... P... m! 1 2 m 1 Ekkor F P P P P......,
Önszervező bináris keresőfák
Önszervező bináris keresőfák Vágható-egyesíthető halmaz adattípus H={2,5,7,11,23,45,75} Vag(H,23) Egyesit(H1,H2) H1= {2,5,7,11} H2= {23,45,75} Vágás A keresési útvonal mentén feldaraboljuk a fát, majd
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Prímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció
Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!
Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
14. Mediánok és rendezett minták
14. Mediánok és rendezett minták Kiválasztási probléma Bemenet: Azonos típusú (különböző) elemek H = {a 1,...,a n } halmaza, amelyeken értelmezett egy lineáris rendezési reláció és egy i (1 i n) index.
Függvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Tuesday, March 6, 12. Hasító táblázatok
Hasító táblázatok Halmaz adattípus U (kulcsuniverzum) K (aktuális kulcsok) Függvény adattípus U (univerzum) ÉT (értelmezési tartomány) ÉK (érték készlet) Milyen az univerzum? Közvetlen címzésű táblázatok
2. Visszalépéses stratégia
2. Visszalépéses stratégia A visszalépéses keres rendszer olyan KR, amely globális munkaterülete: út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (ezen kívül a még ki nem próbált élek nyilvántartása) keresés szabályai:
2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.
2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.
Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
Programok értelmezése
Programok értelmezése Kód visszafejtés. Izsó Tamás 2016. szeptember 22. Izsó Tamás Programok értelmezése/ 1 Section 1 Programok értelmezése Izsó Tamás Programok értelmezése/ 2 programok szemantika értelmezése
Bevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
Matematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Programozási módszertan. Mohó algoritmusok
PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás
Adatszerkezetek 7a. Dr. IványiPéter
Adatszerkezetek 7a. Dr. IványiPéter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér () Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat a
angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy
Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város
BABEŞ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR BBTE Matek-Infó verseny 1. tételsor INFORMATIKA írásbeli. A versenyzők figyelmébe:
BABEŞ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR BBTE Matek-Infó verseny 1. tételsor INFORMATIKA írásbeli A versenyzők figyelmébe: 1. A tömböket 1-től kezdődően indexeljük. 2. A rácstesztekre
Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás. Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok. Alprogramok. Alprogramok.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto
Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
Kupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1]
Kupac adatszerkezet A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
Edényrendezés. Futási idő: Tegyük fel, hogy m = n, ekkor: legjobb eset Θ(n), legrosszabb eset Θ(n 2 ), átlagos eset Θ(n).
Edényrendezés Tegyük fel, hogy a rendezendő H = {a 1,...,a n } halmaz elemei a [0,1) intervallumba eső valós számok. Vegyünk m db vödröt, V [0],...,V [m 1] és osszuk szét a rendezendő halmaz elemeit a
NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
Lineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete
Lieáris egyelet algebrai egyelet kostasok és első fokú ismeretleek pl.: egyees egyelete Lieáris egyeletredser y a b lieáris egyeletek csoportja ugya ao a váltoó halmao Lieáris egyeletredser B b B b B b
1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
17. Tördelőtáblák (Hasítótáblák)
7. Tördelőtáblák (Hasítótáblák) Legye U az Elemtip, uiverzum, H = {a,,a } U Vegyük egy T:Array[0..M-] of Elemtip tömbböt, amelybe a H halmazt tároli akarjuk. Válasszuk egy h : U {0,,M } függvéyt, amely
10. tétel. Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 28.
10. tétel Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 28. 2-3 fák Hatékony keresőfa-konstrukció. Ez is fa, de a binárisnál annyival bonyolultabb hogy egy nem-levél csúcsnak 2 vagy 3 fia
Amortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Matematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása
Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra
Dinamikus programozás
Dinamikus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy
Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika
Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia
Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga 1. (5p) Egy x biten tárolt egész adattípus (x szigorúan pozitív