1. ALGORITMUSOK MŰVELETIGÉNYE
|
|
- Enikő Fülöpné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 ALGORITMUSOK MŰVELETIGÉNYE Az ismertetésre kerülő adatszerkezeteket és algoritmusokat midig jellemezzük majd a hatékoyság szempotjából Az adatszerkezetek egyes ábrázolásairól megállapítjuk a helyfoglalásukat, az algoritmusokál pedig a műveletigéyt becsüljük, midkettőt az iput adatok méretéek függvéyébe Általába megelégszük midkét adat agyságredbe közelítő értékével A agyságredi értékek közelítő ereje aál agyobb, miél agyobb méretű adatokra értelmezzük azokat Amit látjuk majd, egy sajátos matematikai határértékfogalmat vezetük be és alkalmazuk a hatékoyságra iráyuló számításaikba A műveletigéy számításakor eleve azzal a közelítéssel élük, hogy csak az algoritmus meghatározó műveleteit vesszük számításba Egy műveletet meghatározóak (domiásak) moduk, ha a többihez képest jeletős a végrehajtási ideje, valamit a végrehajtásaiak száma Általába kijelölhető egyetle meghatározó művelet, amelyre a számítást elvégezzük A műveletigéyt a kiszemelt művelet végrehajtásaiak számával adjuk meg, mivel az egyes műveletek végrehajtási ideje gépről-gépre változhat A lépésszám közelítéssel kiszámolt agyságredje gyakorlati tapasztalatok szerit is jól jellemzi az algoritmus téyleges futási idejét 11 A buborékredezés műveletigéye A redezés általáos feladata jól ismert A tömbökre megfogalmazott változat egyik legkorábbi (kevéssé hatékoy) megoldása a buborékredezés Az eljárás működéséek alapja a szomszédos elemek cseréje, ameyibe az elől álló agyobb, mit az utáa következő Az első meetbe a szomszédos elemek cseréjével felbuborékoltatjuk a legagyobb elemet a tömb végére A következő iterációs lépésbe ugyaezt tesszük az eggyel rövidebb tömbbe, és így tovább Utoljára még a tömb első két elemét is megcseréljük, ha szükséges Az ( 1)- edik iteráció végére elérjük, hogy az elemek agyság szerit övekvő sorba követik egymást A redezés algoritmusa az 11 ábrá látható (Az egyszerűség kedvéért a Csere műveletét em botottuk három értékadásra) 11 ábra A buborékredezés algoritmusa 1
2 Az algoritmus műveleteit két kategóriába sorolhatjuk Az egyikbe tartozak a ciklusváltozókra voatkozó műveletek, a másikba pedig az A[1] tömb szomszédos elemeiek összehasolítása és cseréje Nyilvávaló, hogy az utóbbiak a meghatározó műveletek Egyrészt végrehajtásuk léyegese agyobb időt vesz igéybe, mit a ciklust admiisztráló utasításoké (külööse, ha a tömb elemeiek mérete jeletős), másrészt midkét utasítás a belső ciklusba va (még ha a csere feltételhez kötött is), így végrehajtásukra mide iterációs lépésbe sor kerülhet Ezért az összehasolítások, illetve a cserék számát fogjuk számoli Ha ezt a dötést meghoztuk, érdemes az algoritmusba szereplő ciklusokat tömörebb, áttekithetőbb formába, for-cikluskét újra felíri Ez a változat látható az 1 ábrá 1 ábra Buborékredezés (for-ciklusokkal) A számolást az egyszerűség kedvéért külö-külö végezzük Nézzük először az összehasolítások Ö(-el jelölt számát A külső ciklus magja ( 1)-szer hajtódik végre, a belső ciklus eek megfelelőe redre 1,,, 1 iterációt eredméyez Mivel a két szomszédos elem összehasolítása a belső ciklusak olya utasítása, amely midig végrehajtódik, ezért Ö( ( 1) ( ) 1 ( 1) Az 13 potba precíze bevezetjük majd azokat az aszimptotikus fogalmakat és jelöléseket, amelyekkel a műveletigéy agyságredjét jellemezzük Most elégedjük meg ayival, hogy általába elegedő az, ha csak a kifejezés domiás agyságredű tagját tartjuk meg, az együttható elhagyásával Az összehasolítások számára eek megfelelőe azt modjuk majd, hogy értéke agyságredbe és ezt így jelöljük: Ö( Megjegyezzük, hogy az összehasolítások száma a bemeő adatok bármely permutációjára ugyaayi Az elemzett műveletek végrehajtási száma a legtöbbször azoba változó az adatok függvéyébe Ilyekor elsősorba a végrehajtások maximális és átlagos számára vagyuk kívácsiak, de a miimális végrehajtási számot is gyakra meghatározzuk, bár eek általába ics jeletősége Ha T(-el jelöljük a műveletigéyt, akkor aak miimális, maximális és átlagos értékét redre mt(, MT( és AT( jelöli Vizsgáljuk meg most a cserék Cs(-el jelölt számát Ez a szám már em álladó, haem a bemeő adatok függvéye Nevezetese, a cserék száma megegyezik az A[1] tömb elemei között feálló iverziók számával: ) Cs( iv( A) Valóba, mide csere potosa egy iverziót szütet meg a két szomszédos elem között, újat viszot em hoz létre A redezett tömbbe pedig ics iverzió Ha a tömb eleve redezett,
3 akkor egyetle cserét sem kell végrehajtai, így a cserék száma a legkedvezőbb esetbe ulla, azaz mcs ( 0 A legtöbb cserét akkor kell végrehajtai, ha mide szomszédos elempár iverzióba áll, azaz akkor, ha a tömb éppe fordítva, agyság szerit csökkeő módo redezett Ekkor MCs( ( 1) ) A cserék átlagos számáak meghatározásához először is feltesszük, hogy a redezedő számok mide permutációja egyformá valószíű (Az átlagos műveletigéy számításához midig ismeri kell a bemeő adatok valószíűségi eloszlását, vagy legalább is feltételezéssel kell éli arra ézve!) Az általáosság megszorítása élkül vehetjük úgy, hogy az 1,,, számokat kell redezük, ha elfogadjuk azt a szokásos egyszerűsítést, hogy a redezedő értékek mid külöbözők A cserék számáak átlagát yilvávalóa úgy kapjuk, hogy az 1,,, elemek mide permutációjáak iverziószámát összeadjuk és osztjuk a permutációk számával: 1 ACs (! pperm ( iv( p), ahol Perm( az elem összes permutációiak halmazát jelöli Az összeg meghatározásáál ehézségbe ütközük, ha megpróbáljuk azt megmodai, hogy adott -re háy olya permutáció va, amelybe i számú iverzió található ( 0 i ( 1) ) Ehelyett célszerű párosítai a permutációkat úgy, hogy midegyikkel párba állítjuk az iverzét, pl az p = 143 és a p R = 341 alkot egy ilye párt Egy ilye párba az iverziók száma együtt éppe a -t teszi ki, pl iv ( 143) iv(341) 4 6 Az állítás igazolására godoljuk lehetséges meg, hogy egy permutációba két elem potosa akkor áll iverzióba, hogy ha az iverz permutációba ics közöttük iverzió Írjuk le godolatba mid az! permutációt kétszer egymás mellé egy-egy oszlopba, a modott párosításak megfelelőe Ekkor mide sorba a, így két permutáció iverzióiak száma együtt iv( p) iv( p ACs(! R! )! ( 1) 4 A cserék számáak átlaga tehát a legagyobb érték fele, de agyságredbe ez így is -es Az elemzés eredméye az, hogy a buborékredezés a legrosszabb és az átlagos esetbe is midkét meghatározó művelete szerit agyságredbe -es algoritmus 1 A Haoi toryai probléma megoldásáak műveletigéye A következő algoritmus, amelyet elemzük, a Haoi toryai probléma megoldása A probléma régről ismert Adott három rúd és az első darab, felfelé egyre csökkeő méretű korog, ahogya az 13 ábrá látható = 4 esetére A feladat az, hogy a korogokat át kell helyezi az A rúdról a B-re, a C rúd felhaszálásával, oly módo, hogy egyszerre csak egy korogot szabad mozgati és csak ála agyobb korogra, vagy üres rúdra lehet áthelyezi ) 3
4 A feladatak több külöböző megoldása va, köztük olya (iteratív) heurisztikus algoritmusok, amelyek a mesterséges itelligecia területére tartozak Itt a szokásos rekurzív algoritmust ismertetjük 13 ábra Haoi toryai probléma Számítógépes programok, algoritmusok eseté akkor beszélük rekurzióról, hogyha az adott eljárás a működése sorá meghívja ömagát, vagyis a számítás egyik lépésekét ömagát hajtja végre, más bemeeti adatokkal, paraméterekkel Sok haszos algoritmus rekurzív szerkezetű, és többyire az ú oszd meg és uralkodj elv alapjá működek Eek a léyege az, hogy a feladatot több részfeladatra botjuk, amelyek egyekét az eredetihez agyo hasolóak, de kisebb méretűek, így köyebbe megoldhatók A defiiált működések az lesz a hatása, hogy a részfeladatokat hasolóa, további egyre kisebb és kisebb részekre osztja az eljárás, amíg el em éri az elemei feladatok megadott méretét A már kellőe kicsi részfeladatokat közvetle módo megoldjuk Ez az elemi lépés gyakra egésze egyszerű Ezutá a rekurzív hívások redszerébe visszafelé haladva mide lépésbe összegezzük, összevojuk a részfeladatok megoldását Az utolsó lépésbe, amikor a működés visszaér a kiiduló szitre, megkapjuk az eredeti feladat megoldását A módszer általáos elevezése oa ered, hogy a rekurzió mide szitjé három alapvető lépést hajt végre: felosztja a feladatot több részfeladatra, uralkodik a részfeladatoko, rekurzív módo való megoldásukkal; ameyibe a feladat mérete kellőe kicsiy, közvetleül megoldja, összevoja a részfeladatok megoldását az eredeti feladat megoldásává Eek az általáos elvek megfelelőe a Haoi toryai probléma rekurzív megoldási elve a következő: 1 A felső 1 korogot helyezzük át az A rúdról a C-re a megegedett lépésekkel úgy, hogy a B rudat vesszük segítségül (Ez az eredetihez hasoló, de kisebb méretű feladat) Az egyedül maradt alsó korogot tegyük át az A rúdról az üres B-re (Ez az elemi méretű feladat közvetle megoldása) 3 Vigyük át a C rúdo található 1 korogot a B-re az A rúd igéybe vételével, hasolóa ahhoz, ahogya az 1 potba eljártuk A rekurzív eljárás működése 1 és 3 lépésbe szereplő 1 korogot hasoló szemlélettel korog kétszeri mozgatására, valamit egy korog áthelyezésére botja, és így tovább 4
5 A rekurzióból való "kijárat" megfogalmazása természetes módo egyetle korogra adóda: ha = 1, akkor egyszerűe tegyük át a korogot a redeltetési helyére Egyszerűbb formájú algoritmust kapuk, amelyet elemezi is köyebb, ha "még lejjebb" adjuk meg a kijáratot a rekurzióból: ha = 0, akkor em kell semmit sem teük Erre az ad lehetőséget, hogy így az = 1 eset is kezelhető a feti három lépéssel: az 1 és a 3 lépés üressé válik, a lépés pedig tartalmazza az elemi áthelyezés műveletét Általáos szabálykét jegyezzük meg azt, hogy a rekurzióból való kijáratot egedjük miél lejjebb, azaz a szóba forgó változó miél kisebb értékére próbáljuk azt megadi (pl a kíálkozó = 1 helyett az = 0 esetre) Arra törekszük tehát, hogy miél kisebb legye az a részfeladat, amelyet már közvetleül olduk meg Írjuk meg ezutá az eljárást! A Haoi (, i, j, k) rekurzív eljárás számú korogot átvisz az i-edik rúdról a j-edikre, a k-adik rúd felhaszálásával Az eljárást "kívülről" a kokrét feladatak megfelelő paraméterekkel kell meghívi, pl az ábrá látható esetbe így: Haoi (4, 1,, 3) Az eljárás struktogramja a 14 ábrá látható A rekurzív eljárás ömagát hívja egésze addig, amíg agyobb ulláál Amikor = 1, akkor is ez törtéik, de a rekurzív hívások végrehajtása az = 0 ágo már egy-egy üres utasítást eredméyez Az Átrak (i, j) utasítás jelöli azt az elemi műveletet, amellyel egyetle korogot átteszük az i- edik rúdról a j-edikre 14ábra A Haoi toryai probléma megoldása Meghatározzuk az korog átpakolásához szükséges lépésszámot Az algoritmus rekurzív megfogalmazása szite kíálja az átrakások számára voatkozó rekurzív egyeletet: T ( 1) 1, ha 1, T( 0, ha 0 Ha kiszámítjuk T( értékét éháy -re, akkor azt sejthetjük, hogy T ( 1 Ezt teljes idukcióval köye bebizoyíthatjuk Azt kaptuk, hogy a Haoi toryai egy expoeciális műveletigéyű probléma: T( ) (A legeda szerit Idiába, egy ősi város templomába a szerzetesek ezt a feladatot 64 korogra kezdték el valamikor megoldai azzal, hogy amikor a rakosgatás végére érek, elkövetkezik a világ vége Ha mide korogot 1 mp alatt helyezek át, akkor a 64 korog 6 teljes átpakolása agyságredbe 600 milliárd évet vee igéybe Ha 10 mp-cel számoluk, ami már a számítógépek sebessége, akkor is em egésze 600 ezer évre lee szükség a korogok átredezéséhez A agyságredek érzékeltetésére: az uiverzumról úgy tudjuk, hogy kevesebb, mit 14 milliárd éves, a másodikak kiszámolt időtartam pedig a homo sapies megjeleése óta eltelt idővel egyezik meg agyságredbe) 5
6 13 Függvéyek aszimptotikus viselkedése* (Azt javasoljuk, hogy az olvasó e tekitse befejezettek alapszitű taulmáyait az algoritmusok témakörébe, amíg ezzel az alfejezettel meg em ismerkedett! Célszerű most átolvasi ezt a *-gal jelölt 13 részt, majd később talá többször is visszatéri ide a mélyebb megértés céljával) Kiszámítottuk két algoritmus műveletigéyét a bemeő adatok méretéek függvéyébe Szereték potosabb matematikai fogalmakra támaszkodva beszéli az algoritmusok hatékoyságáról Ebbe a potba eek megalapozása törtéik Először is alkalmasa megválasztjuk az algoritmusok műveletigéyét, illetve lépésszámát jelető függvéyek értelmezési tartomáyát és értékkészletét A továbbiakba legye f olya függvéy, amelyet a természetes számok halmazá értelmezük és em-egatív valós értékeket vesz fel: ahol N { 0,1,, } f : N, R 0 Defiiáljuk egy adott g függvéy eseté azo függvéyek osztályait, amelyek agyságredbe redre em agyobbak, kisebbek, em kisebbek, agyobbak, mit g, illetve g-vel azoos agyságredűek Az osztályok jelölései és evei: O agy ordó vagy ordó, kis ordó, agy omega, kis omega és theta 131 Defiíciók 1 Egy adott g függvéy eseté O(g)-vel jelöljük függvéyekek azt a halmazát, amelyre O( g) { f : létezik c 0és 0 úgy, hogy mide 0 eseté f ( c 0 teljesül Ha f O(g), akkor azt modjuk, hogy g aszimptotikus felső korlátja f-ek Ebbe az esetbe szokásos módo ikább az f O(g) jelölést alkalmazzuk Valamit, haszáljuk a következő függvéyhalmazt is: ( g) { f : mide c 0eseté létezik 0,hogy mide 0 )} eseté f ( c 0 )} Hasolóa, jelölje (g) azo függvéyek halmazát, amelyekre ( g) { f : létezik c 0és 0 úgy, hogy mide 0 eseté f ( c 0 áll fe Ha f g) szokásos jelöléssel f g), akkor azt modjuk, hogy g aszimptotikus alsó korlátja f-ek Az itt megjeleő másik függvéyhalmaz pedig: ( g) { f :mide c 0eseté létezik 0,hogy mide 0 )} eseté f ( c 0 )} 3 Végül, (g) jelöli azt a függvéyosztályt, amelyet a ( g) { f :létezik c1, c 0és 0 0,hogy mide 0 eseté c1 f ( c } összefüggés ír le Ha f g) szokásos jelöléssel f g), akkor azt modjuk, hogy g aszimptotikusa éles korlátja f-ek A defiíciók alapjá teljesül a következő egyelőség: ( g) g) ( g) 6
7 Ha egy tetszőleges, rögzített g függvéyt tekitük, akkor a többi függvéy általába besorolható a most defiiált osztályok émelyikébe (Megjegyezzük, hogy vaak em összehasolítható függvéyek is, pl és f ( (1 si, ill és f ( 1 1si mide -re Köye belátható ezekre, hogy sem f g) f O(g), sem pedig em teljesül) A agyságredi viszoyokról az 15 ábra ad szemléletes képet 15 ábra A függvéyosztályok egymáshoz való viszoya A függvéyek aszimptotikus viszoyaiak jele vizsgálatához az szolgál alapul, hogy kellőe agyméretű bemeet eseté egy algoritmus futási idejéek (ill az azt leíró függvéyek) csak a agyságredje léyeges Viszoylag kisméretű bemeeteket leszámítva tehát az aszimptotikusa leghatékoyabb algoritmus lesz a téylegese leggyorsabb! 13 Visszavezetés határértékekre Valamely adott f és g függvéy aszimptotikus viszoyát a ameyibe létezik a következőképpe határozza meg: f ( 0, vagy f ( 1 Ha lim, akkor f g) lim 0 c 0 f (, vagy f ( Ha lim, akkor f g) lim c 0 g ( ) f ( 3 Ha lim c 0, akkor f g) Megjegyzés: A f ( lim határérték általába létezik, de pl ha g ( ) 1, ha 1(mod ) f (, ha 0(mod ) f ( lim g ( ) határérték eseté f g) eseté f g) és g ( 1 mide -re, akkor em létezik a határérték, de a két függvéy aszimptotikus viszoya mégis megállapítható, ebbe az esetbe f g) 7
8 133 L Hospital szabály alkalmazása Ha az adott f és g függvéyekre lim f ( és lim, és midkét függvéy valós kiterjesztése differeciálható, akkor gyakra alkalmazzuk a L Hospital szabályt a f ( lim g ( ) határérték meghatározására: 134 Tulajdoságok f ( f '( lim lim g'( A,,,, jelöléseket függvéyek közötti biáris relációkét is felfoghatjuk (pl {( f, g) : f g)} ) Így a relációkra voatkozó ismert defiíciók értelmezhetők rájuk, és beláthatók a következő állítások: 1,,,, mid trazitív: f, g, h függvéyekre pl: f g) g f 3 4,, midegyike reflexív: pl f f szimmetrikus: f g) g f ) ) és, valamit és felcserélte szimmetrikusak: pl f g) g f ) 5 Rögzített h függvéy mellett (, (, (, (, ( halmazok zártak az összeadásra és a (pozitív) számmal való szorzásra ézve: pl f g f g ; és f c 0 cf 6 Összegbe a agyobb függvéy határozza meg az aszimptotikát: max{ f, g} f g) (Itt a max jelölés az aszimptotikusa agyobb függvéyt jeleti) Ha ezt a szokásos alakot átírjuk az f g max{ f, g}) formába, akkor köye kiolvasható belőle az, hogy egy szekvecia műveletigéyéek agyságredjét a agyobb műveletigéyű tag határozza meg 135 Függvéyosztályok A feti 1, és 3 tulajdoságok miatt mit biáris reláció ekvivaleciareláció a függvéyek halmazá, tehát osztályokra botja azt Az egyes osztályok reprezetálhatók a legegyszerűbb függvéyükkel, pl: (1), (, ( ), (, Megjegyzés: A gyakorlatba ameyibe em okoz félreértést az egyszerűség kedvéért a g, (g), (g), (g), (g), (g) jelölések helyett gyakra a g (, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) jelöléseket haszáljuk Így pl a 3 7 ) jeletése: f, ahol f ( 3 7 és h( mide -re Néháy további köye belátható tulajdoság: Poliom eseté a legagyobb fokú tag a meghatározó (lásd: feti 6 tulajdoság): a k k a k1 k1 a a 1 0 k ) 8
9 Bármely két (1-él agyobb) alapszámú logaritmikus függvéy aszimptotikusa egyeértékű: log a log b (a>1 és b>1) Ezért az alap feltütetése em szükséges: log log a Hatváyfüggvéyek eseté külöböző kitevők külöböző függvéyosztályokat jelölek ki: és eseté a a ) és a a ), vagyis a a ( ) a Az aszimptotikus jelölések haszálata Az aszimptotikus jelölések haszálatába elterjedt éháy gyakori hiba Ezek általába em zavarók, mégis fel kell hívi a figyelmet rájuk A kritikával azoba már csak azért is óvatosa kell bái, mert a szerzők egy része kizárólag az -t haszálja 1 Leggyakoribb hiba az, hogy algoritmusok műveletigéyéek jellemzésekor -t haszálak, de -t érteek alatta Az így leírt egyelőség általába igaz, de mást (kevesebbet) fejez ki, mit amit általába közöli szeretéek általa Pl a buborékredezésre igaz, hogy MT( ), de többet mod az, hogy MT( ) A jelölés haszálata is hibát rejthet az összes lehetséges futási időt magába foglalja, amelyek agyságredbe külöbözőek lehetek Pl ahogy korábba láttuk, a buborékredezésre igaz (Cs helyett T-vel), hogy: MT( ) és AT( ) A legkedvezőbb esetbe azoba ics csere, vagyis mt ( 0 Ekkor a T( ) (felületes) kijeletés em igaz, helyette a T( ) írásmódot kellee haszáli, mely az összes esetre helyes lesz Ez azoba kevesebb iformációt tartalmaz, mit a feti két egyelőség, ezért ajálatos MT( -t és AT( -t haszáli T( 3 Néháy tipikus haszálat: T( a) 3 1 ( ), 3 1 ( ), de 3 1 ( ) b) 3 1 ) c) A logaritmikus keresés futási idejére feáll a következő (közelítő) rekurzív egyelet: T ( T 1) 14 Algoritmusok műveletigéyéek tipikus agyságredjei Néháy jellegzetes, és a gyakorlatba gyakra előforduló függvéy meetét és egymáshoz viszoyított aszimptotikus agyságredjét szemlélteti az 16 ábra (em mérethűe, főleg em az origó közelébe Ezek a függvéyek aszimptotikusa mid külöböző agyságredűek A hatváyfüggvéyek az ábrá is látható egyik fotos tulajdosága, hogy bármely 1 kitevő eseté az log és az a ( a 1) közé, míg ha 0 1, akkor a log és az közé esik aszimptotikusa 9
10 16 ábra A gyakra előforduló agyságredek grafikoja Megaduk éháy példát az algoritmusok aszimptotikus futási idejére Verem vagy sor bármely művelete Logaritmikus (=biáris) keresés (1) (log Prímszámteszt ( 1/ -ig) ( 1/ ) Lieáris keresés ( Kupacredezés ( log Shell redezés 3/ ( ) Buborékredezés ( ) Mátrixszorzás ( 3 ) Haoi toryai ( ) Utazó ügyök probléma (!) A műveletigéyek gyakra előforduló agyságredjeiek értékeit az 17 ábrá látható tartalmazza éháy jellegzetes értékre, midössze 104-ig Az =1 evezetes érték az! függvéy esetébe A 1! még egészkét ábrázolható, a 13! már csak lebegőpotos számkét, és egy! műveletigéyű probléma egzakt teljes körű megoldása általába az =1 értékre még kivárható egy erős asztali gépe, de agyobb értékekre már em Ezt a 10 8 agyságredű határt a függvéy 9-él éri el, az 3 -ös műveletigéyű algoritmusok pedig 500 felett em sokkal Figyelemre méltó még az is, hogy az és az lo értékek =104 eseté (ami a gyakorlatba csekély adatmeyiség) már két agyságredbe térek el (Néháy olya értéket, amely a Matlab programba túlcsordulást okozott, em helyettesítettük kiszámolt értékekkel, hisze ezekek a agyságredekek ics valós értelmük; em csak az algoritmusok világába, de a földi tér-idő meyiségek szempotjából sem) Látszik, miért modják az iformatikusok, hogy legfeljebb az 3 -ös algoritmusokak vesszük haszát a gyakorlatba Az is yilvávaló, hogy agyobb -ekre miért érdemes lo műveletigéyű redezéseket haszáli az -es eljárásokkal szembe, illetve miért érdemes a gráfos algoritmusokat gyorsítai például miimumválasztó kupac adatszerkezet alkalmazásával, hisze ott is ez a két utóbbi agyságred állítható egymással szembe 10
11 17 ábra A gyakra előforduló agyságredek értékeiek táblázata A táblázat valós értékei jól érzékeltetik azt, hogy meyire fotos az algoritmusok műveletigéyével tisztába lei, és azt a lehetőség szerit miél alacsoyabbra választai 11
Elsőbbségi (prioritásos) sor
Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe
Részletesebben6. Elsőbbségi (prioritásos) sor
6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenKétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenKvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus
LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:
6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,
Részletesebben2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.
2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.
Részletesebben2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenRendezés. 1. Példa: Legyen A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az a b reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés.
Redezés Defiíció: A reláció Valamely A halmaz eseté a AA részhalmazt az A halmazo értelmezett relációak evezzük. Azt modjuk, hogy az A halmaz a és b eleme a relációba va, ha (a,b). Rövide ezt így írjuk:
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenA FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1
A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebbenf(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenHosszmérés finomtapintóval 2.
Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu
RészletesebbenAlgoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot
RészletesebbenRendezések. A rendezési probléma: Bemenet: Kimenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat
9. Előadás Rendezések A rendezési probléma: Bemenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat Kimenet: a bemenő sorozat olyan (a 1, a 2,,a n ) permutációja, hogy a 1 a 2 a n 2 Rendezések Általánosabban:
Részletesebben