2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.5. A lineáris kongruencia egyenlet."

Átírás

1 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod. 1. Tétel: A kogrueciáko végezhető műveletek tétele Legye a bmod és c d mod! Akkor igazak az alábbi állítások: ( a b) 1. a c b d mod, 2. a c bd mod, b 3. mod, k k 4. a b modm, a ha k a, k b és l ko k, 1 ha m (1) (2) (3) (4) A tétel bizoyítását az olvasóra bízzuk. Defiíció: A lieáris kogruecia egyelet Az a x bmod, a, b Z, Z (5) egyeletet, melybe evezzük. x Z az ismeretle, lieáris kogruecia egyeletek Tétel: A lieáris kogruecia egyelet megoldhatósági tétele Legye az (5) egyeletre d lkoa, a x y. Az (5) lieáris kogruecia egyeletek akkor és csak akkor va megoldása, ha d b. Ha va megoldás, akkor végtele sok va, de ezeket egy számú megoldást tartalmazó úgyevezett megoldás alapredszerből megkaphatjuk az egész számú többszöröseiek a hozzáadásával. Az alapredszer elemeit a 0 x itervallumból választjuk ki. Az alapredszer megoldásai az alábbi módo írhatók fel: d x 0 x i b / d mod i / d mod, i 1,2,, d 1 x, x 0 (6) (7) Bizoyítás ax b Legye q 1, q 2, q q 2 q1. Akkor a lieáris kogruecia egyelet ax q1 b q2 alakra írható át, amiből az ax q b egyelet adódik, vagyis hogy a b az a és az lieáris kombiációja. Ha azt akarjuk, hogy legye megoldás, akkor b La, fe kell álljo, ahol L a, az a és lieáris kombiációiak a halmaza. Ha ez em áll fe, akkor ics megoldás.

2 A lieáris kombiációba lévő elemeket viszot a d lkoa, legagyobb közös osztó osztja, és csak azokat osztja a lieáris kombiációk halmazáak jellemzési tétele szerit. Legye most b olya, hogy. Akkor va olya k b k d egész szám, hogy. A legagyobb közös osztó viszot az a és az lieáris kombiációja, azaz va olya és egész, hogy d a x y. x Ez a formula viszot egyeértékű az a x d mod lieáris kogruecia egyelettel, ha az szeriti maradékokat ézzük. Beszorozva itt k -val a x k d k mod adódik, amiből azoal látható, hogy az x b / d mod x k x megoldás. További megoldásokat kapuk, hogyha 0 x i képezzük az x0 i / d mod, i 1,2,, d 1 számokat, ugyais a lieáris kogruecia egyeletbe törtéő behelyettesítés utá az ax0 a i / d, i 1,2,, d 1 jeleik meg a baloldalo, ahol a második tag osztható -el, mert a az a -t osztja, így az megmarad, tehát ez a tag em módosítja az első tag általi maradékot. Ezeket a megoldásokat alapmegoldásokak evezzük. Nyílvávaló, hogy ha egész többszörösét hozzáadom az alapmegoldásokhoz, akkor újra megoldást kapok, csak az már em lesz alapmegoldás (em viselkedik maradékkét.) d y d b A lieáris kogruecia egyelet megoldására algoritmus kostruálható, ugyais a kívát kibővített euklideszi algoritmusból megkapható algoritmus Lieáris kogruecia megoldó 1 Lieáris_kogruecia_megoldó (a, b,, X) 2 // Iput paraméterek: a,b,z, >0 3 // Output paraméter : X egyidexes tömb 4 // idexelés 0-tól 5 Kibővített_Euklidesz (a,, d, x, y ) 6 Hossz[X] 0 7 IF d b 8 THEN x x b / d mod 0 9 Hossz[X] d 10 FOR i 1 TO d 1 DO x i / d mod 11 x i 0 12 RETURN (X) 13 // Hossz[X]=0 jeleti, hogy ics megoldás x a

3 1. Példa: 3604 x 136 mod 3332 Láttuk, hogy l ko3604, osztható 68-cal, így az egyeletek va megoldása. Az alapredszer 68 külöböző elemet tartalmaz. Most b / d 136/ 68 2, / d 3332 / 68 49, x A megoldások: x , x , x ,, 0 x mod Defiíció: A multiplikatív iverz Legye a lieáris kogruecia egyelet 2 ax 1 mod, a Z, Z, koa, 1 l (8) a alakú (azaz és legyeek relatív prímek). Az egyelet egyetle alapmegoldását az a szám szeriti multiplikatív iverzéek evezzük. Jelölése: 1 x a mod. (9) A multiplikatív iverz meghatározása törtéhet a lieáris kogruecia megoldó algoritmus segítségével. Természetese a FOR ciklus alkalmazására az eljárásba em lesz szükség. 2. Példa: 5 1? mod 8 5x 1 mod 8 megoldását keressük. Lépésszám a q r d x y = (-1) = = = Láthatóa lko(5,8)=1, tehát va multiplikatív iverz. 1=28+(-3)5= Az a együtthatója 3, amiek a 8 szeriti maradéka 3+8=5. Tehát az 5 multiplikatív iverze 8-ra ézve éppe saját maga. Elleőrzés: 55=25=38+1.

4 2.6. RSA Sok esetbe többek között a majd ismertetésre kerülő RSA algoritmusba szükség va egészek hatváya valamely modulus szeriti maradékáak meghatározására. Legye a, b, Z. A feladat c a mod meghatározása lehetőleg elfogadható idő alatt. Ilyeek bizoyul a moduláris hatváyozás algoritmusa. Ötlete a szám biáris felírásából jö. Legyeek a b bitjei: bk, bk 1,, b1, b0. A legmagasabb helyiértékű bit 1-es. Ha b -ek ki akarjuk számítai az értékét, akkor ezt megtehetjük a 2 hatváyaival törtéő számítással, k k1 1 0 b bk 2 bk 1 2 b1 2 b0 2. Ugyaezt az eredméyt megkaphatjuk a gazdaságosabb Horer séma szerit: b k 2 bk 1 2 b1 2 b0 b. (1) Itt láthatóa csak kettővel való szorzást és egy ulla vagy egy hozzáadását kell végezi, melyek számítástechikailag hatékoy műveletek. Ez aál ikább haszos, mivel még a b értékét sem kell kiszámítai az algoritmusba, hisze az adott, haem csak az egyes bitjeit kell eléri, ami eltolásokkal hatékoya megvalósítható. A b szám a kitevőbe va, ezért a hatváyozás sorá a kettővel való szorzásak a égyzetreemelés az egy hozzáadásáak pedig az alappal törtéő szorzás felel meg. Mide lépés utá vehető a modulo szeriti maradék, így a haszált számtartomáy mérete mérsékelt marad. (Mekkora?) A megfelelő algoritmus pszeudokódja: algoritmus Moduláris hatváyozó 1 Moduláris_hatváyozó (a, b,, c) 2 // Iput paraméterek: a,b,z, a,b,>0 3 // Output paraméter: cz, c0 4 p 0 5 c 1 6 FOR i k DOWNTO 0 DO 7 p 2p 8 2 c c mod 9 IF b i 1 10 THEN p p 1 11 c c amod 12 RETURN c b Az algoritmusba téylegese a p értékét em kell kiszámítai, mert az végül a b majd. értékét adja

5 1. Példa: mod 137 b =200510= ( ), a=118, =137. k b k 2 c mod c amod = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Az RSA algoritmus fel fogja tételezi, hogy agy prímszámaik vaak. Ilyeek keresésére egy eszköz lehet (em a leghatékoyabb és em abszolút biztos) az alábbi tétele alapuló algoritmus. 1. Tétel: A Fermat tétel Ha prím, akkor p A tételt em bizoyítjuk.. a p1 1 mod p, a 1,2,, p 1. (2) A tételre épülő prímszám elleőrzési algoritmus egy egyszerű, de em teljese megbízható változatáak a pszeudokódja: algoritmus Fermat féle álprímteszt 1 Fermat_teszt (, p) 2 // Iput paraméter: Z, >1 3 // Output paraméter: p logikai érték 4 // igaz lehet prím 5 // hamis em prím 6 7 Moduláris_hatváyozó (2, -1,, c) 3 p( c =1) 4 RETURN (p) Ha ez az algoritmus azt modja, hogy a szám összetett, akkor az biztosa em lesz prím. Ha azt modja, hogy lehet, hogy prím, akkor agy eséllyel valóba prímet vizsgált, ugyais ig terjedőe a számok között csak 22 olya va, amely em prím és a teszt esetlegese prímek miősíti. Ilyeek a 341, 561, 645, 1105,. Ötve bites számok eseté már csak a számok egy

6 milliomod része lehet ilye, 100 bitesekél pedig ez az aráy 1: Eze hibák egy része kiszűrhető azzal, hogy a 2 helyett más alapot is beveszük a moduláris hatváyozásba, például a 3-at, stb. Sajos azoba vaak olya számok, amelyek midegyik alap eseté prímek maszkírozzák magukat eél az algoritmusál. Ezek az úgyevezett Carmichael számok. A Carmichael számok relatíve agyo kevese vaak. (Valójába végtele sok ilye szám va. Ilyeek: 561, 1105, 1729, Az első egy milliárd szám között csak 255 ilye va.) 2. Példa: Dötsük el, hogy a 11 és a 12 prímek-e? 2 10 =? mod 11, 10 = (1010) 2 11 =? mod 12, 11=(1011) = = = = = = = = = = = = = mod 11 Tehát a 11 agy eséllyel prím mod 12 Tehát a 12 em prím. Eze előkészületek utá térjük rá a fejezet céljára a yilváos kulcsú titkosításra A titkosítás alapja az eredeti szöveg átalakítása, kódolása. A yílváos kulcsok haszálata azt jeleti, hogy mide résztvevőek va egy yílváos, mideki számára hozzáférhető kulcsa (P, személyes, Private) és egy titkos, más által em ismert kulcsa (S, titkos, Secret). Legye M az üzeet. Legye a két résztvevő A és B. A küldi B-ek az M üzeetet titkosítva. Az elküldött titkosított szöveg C=PB(M), B megkapja a C üzeetet és a titkos kulcsával dekódolja M=SB(C). A kulcsok egymás iverzei, és úgy vaak kialakítva, hogy a P kulcs révé köyű legye titkosítai, de a kulcs ismeretébe agyo eheze lehesse - praktikusa lehetetle legye - az S kulcsot meghatározi. A digitális aláírás ilyekor törtéhet úgy, hogy a küldő a titkosított C szöveg mellé akár yílta odaírja a saját Q azoosítóját (aláírását), majd aak az R=SA(Q) titkosítottját. Ezutá B a Q alapjá tudva, hogy kit evez meg az aláírás, aak privát kulcsával dekódolja R-et. Q =PA(R). Ha Q =Q, akkor em törtét átviteli hiba, vagy hamisítás, egyébkét ige. Persze Q az M-mel együtt is kódolható. Ez aak felel meg, mitha az első esetbe yílt levelezőlapo lee az aláírásuk, a másodikba pedig mitha borítékba tettük vola. Alább közöljük az RSA (Rivest Shamir - Adlema) yílváos kulcsú titkosítás algoritmusát. Az algoritmus feltételez két agy prímszámot. (A gyakorlatba legalább jegyűekre va szükség, hogy a titkosítás praktikusa feltörhetetle legye.) A P kulcs felépítése P e,, ahol a két prím szorzata, e pedig egy kis páratla szám. Az S S d,. kulcs

7 algoritmus RSA kulcsok meghatározása 1 RSA_kulcsok_meghatározása (p, q, e, P, S) 2 // Iput paraméterek: p, q, e 3 // Output paraméterek: P, S 4 IF p vagy q em prím vagy e<3 vagy e páros 5 THEN RETURN ( Nics kulcs ) 6 f p 1 q 1 pq 7 8 IF l koe, f 1 9 THEN RETURN ( Nics kulcs ) 10 1 d e mod f 11 RETURN P e,, S d, A szöveg titkosítása a C PM M e mod M SC C d mod alapjá törtéik. Dekódolása pedig az alapjá. A szöveg darabolásáak bitméretét az Az eljárás helyességét em bizoyítjuk. 3. Példa: Számpélda RSA algoritmusra (em életszerű, mivel a prímek kicsik) Legye a titkos választás: p 11, q 29, p q , 3 f A kibővített euklideszi algoritmust alkalmazzuk. e p 1 q szabja meg. e, 280 f f / e f mod e Láthatóa Lko f, e 1 és e multiplikatív iverze d e Ez utóbbi helyett 280-at hozzáadva vesszük a 187-et. Ezek utá akkor P 3;319 közölhető kulcs 3 PM M mod 319 S 187;319 titkos kulcs 187 SC C mod 319 Legye az üzeetük 100. Egy darabba titkosítható, mivel ez kisebb, mit 319. Titkosítsuk, majd fejtsük meg az üzeetet. Titkosítás: C= mod = = = = = Tehát a titkosított érték: C PM 254 d x y

8 Megfejtés: M= mod = Tehát a megfejtés: M SC = = = = = = = = = = = = = = FELADATOK 1. Bizoyítsuk be, hogy ha a bmod és k közös osztója a és b-ek, akkor a b mod! k k l kok, 2. Oldjuk meg az alábbi lieáris kogruecia egyeleteket! Adjuk meg a megoldások alapredszerét! Írjuk fel a teljes megoldásredszert! a. 2x 6 mod8 b. 4x 4 mod4 c. 18x 24 mod60 d. 63x 81 mod72 e. 2006x 2005 mod Határozzuk meg az alábbi számokat, ha értelmezve vaak! Az alapértelmezett megoldást adjuk meg! x 5 mod 9 a. b. x 2006 mod 2007 c. x 511 mod Számítsuk ki az alábbi számokat! mod 101 a. b mod 2007 c mod Mit mod a Fermat féle álprímteszt az alábbi számok eseté? 123, 234, 345, 511, 1023, 1105, 2047, A üze B-ek. RSA kódolással kódoljuk, majd dekódoljuk az alábbi üzeeteket és a hozzátartozó aláírást! Maximum háy bites egységekre lehet tördeli az üzeetet? a. pa=29, qa=31, ea=11, pb=97, qb=101, eb=7, M= x, Q= A

9 3. Elemi diamikus halmazok 3.1. A tömb adatstruktúra Egy adastruktúra számtala adatot tartalmazhat. Modhatjuk, hogy egy adathalmazt tároluk egy struktúrába. Számukra a diamikus halmazok leszek fotosak. Defiíció: Diamikus halmaz Az olya halmazt, amely az őt felhaszáló algoritmus sorá változik (bővül, szűkül, módosul) diamikus halmazak evezzük. A diamikus halmazok elemei tartalmazhatak az iformációs adatmezőike felül kulcsmezőt, és mutatókat (poitereket), amelyek a diamikus halmaz más elemeire mutatak. (pl: a következő elemre). Felsoroluk a diamikus halmazoko éháy általáosságba értelmezett műveletet. Kokrét esetekbe ezek közül egyesek el is maradhatak, vagy továbbiak is megjelehetek. Az S jelöli a szóba forgó halmazt, k kulcsot ad meg és x mutató a halmaz valamely elemére. Feltételezzük, hogy a kulcsok között értelmezett a kisebb, agyobb, egyelő reláció. Lekérdező műveletek KERES ( S, k, x ) adott k kulcsú elem x mutatóját adja vissza, vagy NIL, ha ics. MINIMUM ( S, x ) A legkisebb kulcsú elem mutatóját adja vissza MAXIMUM ( S, x ) A legagyobb kulcsú elem mutatóját adja vissza KÖVETKEZŐ ( S, x, y ) az x elem kulcsa utái kulcsú elem mutatóját adja vissza, NIL, ha x utá ics elem ELŐZŐ ( S, x, y ) az x elem kulcsa előtti kulcsú elem mutatóját adja vissza, NIL, ha x előtt ics elem BESZÚR ( S, x ) TÖRÖL ( S, x ) Módosító műveletek az S bővítése az x mutatójú elemmel az x mutatójú elemet eltávolítja S-ből Az egyes műveletek végrehajtásukat tekitve lehetek statikusak (passzívak), vagy diamikusak (aktívak) aszerit, hogy a struktúrát változatlaak hagyják-e vagy sem. A módosító műveletek alapvetőe diamikusak, a lekérdezők általába statikusak, de em ritká lehetek szité diamikusak. (A diamikus lekérdezés olya szempotból érdekes és fotos, hogy ha egy elemet a többitől gyakrabba keresek, akkor azt a struktúrába a keresés folyamá a megtalálási útvoalo közelebbi helyre helyezi át a művelet, ezzel megrövidíti a későbbi keresési időt erre az elemre, vagyis a művelet változást eredméyez a struktúrába.) Defiíció: A sorozat adatstruktúra Sorozatak evezzük az objektumok (elemek) olya tárolási módját (adatstruktúráját), amikor az elemek a műveletek által kijelölt lieáris sorredbe követik egymást. Tipikus műveletek: keresés, beszúrás, törlés. A sorozat egyik lehetséges implemetációja - gyakorlati megvalósítása, megvalósítási eszköze a tömb. A tömb azoos felépítésű (típusú) egymást fizikailag követő memóriarekeszeket jelet. Egy rekeszbe egy elemet, adatrekordot helyezük el. Az egyes tömbelemek helyét az idexük határozza meg. Az elemek fotos része a kulcsmező, melyet kulcs[ax] révé kérdezhetük le az A tömb x idexű eleme eseté. Számukra léyegtele lesz, de a gyakorlat szempotjából alapvetőe fotos része az adatrekordak az iformációs (adat) mezőkből álló

10 rész. A tömböt szokás vektorak is evezi. Ha a lieáris elhelyezése kívül egyéb szempotokat is figyelembe veszük, akkor ezt az egyszerű szerkezetet el lehet boyolítai. Ha például az elemek azoosítására idexpárt haszáluk, akkor mátrixról vagy táblázatról beszélük. Ilye esetbe az első idex a sort, a második az oszlopot adja meg. (Itt tulajdoképpe olya vektorról va szó, amelyek elemei maguk is vektorok.) A struktúráak és így az implemetációak is lehetek attributumai jellemzői, hozzákapcsolt tulajdoságai. A tömb esetébe ezeket az alábbi táblázatba adjuk meg. Attributum Leírás fej[a] A tömb első eleméek idexe. NIL, ha a tömbek ics eleme. vége[a], A tömb utolsó eleméek idexe. NIL, ha a tömbek ics eleme. hossz[a] A tömbelemek száma. Zérus, ha a tömbek ics eleme. tömbméret[a] aak a memóriaterületek a agysága tömbelem egységbe mérve, ahová a tömböt elhelyezhetjük. A tömb eze terület elejé kezdődik. Vizsgáljuk meg most a műveletek algoritmusait! A keresési algoritmus. Az A tömbbe egy k kulcsú elem keresési algoritmusa pszeudokóddal lejegyezve következik alább. Az algoritmus NIL-t ad vissza, ha a tömb üres, vagy a tömbbe ics bee a keresett kulcsú elem. A tömb elejétől idul a keresés. Ha a vizsgált elem egyezik a keresett elemmel, akkor azoal viszatérük az idexével. (Realizáció szempotjából úgy is elképzelhetjük a dolgot, hogy a tömb elemeiek idexelése 1-gyel kezdődik és a NIL eredméyt a 0 idexszel jelezzük.) Ha em egyezik, akkor az INC függvéyel öveljük eggyel az idex értékét (rátérük a következő elemre) és újra vizsgáluk. Addig öveljük az idexet, míg az érvéyes idextartomáyból ki em lépük vagy meg em találjuk a keresett kulcsú elemet. A legrosszabb eset az, ha az elem ics bee a tömbbe, ekkor ugyais az összes elemet meg kell vizsgáli így az algoritmus időigéye: T()=(), ahol =hossz[a], a tömbelemek száma algoritmus Keresés tömbbe // T 1 KERESÉS_TÖMBBEN (A, k, x ) 2 // Iput paraméter: A - a tömb 3 // k a keresett kulcs 4 // Output paraméter: x - a k kulcsú elem poitere (idexe), ha va ilye elem vagy NIL, ha ics 5 // Lieárisa keresi a k kulcsot. 6 // 7 x fej[a] 8 IF hossz[a] 0 9 THEN WHILE x vége[a] és kulcs[ax] k DO 10 INC(x) 11 IF x> vége[a] 12 THEN x NIL 13 RETURN (x)

11 Az új elem beszúrásáak algoritmusa az A tömb adott x idexű helyére szúrja be az új elemet. Az ott lévőt és a mögötte állókat egy hellyel hátrább kell toli. Emiatt az időigéy T()=() algoritmus Beszúrás tömbbe // T 1 BESZÚRÁS_TÖMBBE ( A, x, r, hibajelzés) 2 // Iput paraméter: A - a tömb 3 // x a tömbelem idexe, amely elé törtéik a beszúrás, ha a tömb em üres és az x idex létező elemre mutat. Üres tömb eseté az x idexek ics szerepe, a beszúradó elem az első helyre kerül. 4 // r a beszúradó elem (rekord) 5 // Output paraméter: hibajelzés - a beszúrás eredméyességét jelzi 6 // 7 IF hossz[a] 0 8 THEN IF (fej[a] x vége[a]) és (tömbméret[a] > hossz[a]) 9 THEN FOR i vége[a] DOWNTO x DO Ai+1 Ai Ax r INC(hossz[A]) INC(vége[A]) hibajelzés: sikeres beszúrás ELSE hibajelzés: em létező elem,vagy ics az új elemek hely 16 ELSE fej[a] vége[a] hossz[a] 1 17 A1 r 18 RETURN ( hibajelzés ) Ezzel az algoritmussal em tuduk az utolsó elem utá beszúri. A problémát egy erre a célra megírt külö algoritmussal is megoldhatjuk. Legye eek CSATOL_TÖMBHÖZ a eve. Az olvasóra bízzuk pszeudokódjáak megírását. Írjuk pszeudokódot arra az esetre, amikor a beszúrás az adott idexű elem mögé törtéik! Eek is va egy szépséghibája! Micsoda? Hogya korrigálható?

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Egyenletek és egyenletrendszerek megoldása a Z n halmazon Az a x = b egyenlet megoldása a Z n halmazon

Egyenletek és egyenletrendszerek megoldása a Z n halmazon Az a x = b egyenlet megoldása a Z n halmazon Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! Egyeletek és egyeletreszerek megolása a Z halmazo Az a x = b egyelet megolása a Z halmazo Az utóbbi iőbe mit a XII. osztályos alteratív taköyvekbe, mit

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére

Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére Feladat Adottak a p = 269 és q = 24 prímszámok, továbbá az e = 5320 nyilvános kulcs és az x = 48055 nyílt szöveg. Számolja ki n = p q és ϕ(n) értékét! Igazolja

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

4.2. Rendezés. 1. Példa: A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az aρb reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés.

4.2. Rendezés. 1. Példa: A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az aρb reláció azokat a számpárokat jelenti, amelyekre fennáll az a<b összefüggés. 4.. Redezés Defiíció: A reláció Valamely A halmaz eseté a ρ A A részhalmazt az A halmazo értelmezett relációak evezzük. Azt modjuk, hogy az A halmaz a és b eleme a ρ relációba va, ha (a,b) ρ. Rövide ezt

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása Tömbök kezelése Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása A számokkal jellemzett adatok, pl. személyi szám, adószám, taj-szám, vonalkód, bankszámlaszám esetében az elírásból származó hibát ún. ellenőrző

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Keresés és rendezés. A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán

Keresés és rendezés. A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán Keresés Rendezés Feladat Keresés és rendezés A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán 2016. november 7. Farkas B., Fiala

Részletesebben

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18. KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

I. ALAPALGORITMUSOK. I. Pszeudokódban beolvas n prim igaz minden i 2,gyök(n) végezd el ha n % i = 0 akkor prim hamis

I. ALAPALGORITMUSOK. I. Pszeudokódban beolvas n prim igaz minden i 2,gyök(n) végezd el ha n % i = 0 akkor prim hamis I. ALAPALGORITMUSOK 1. Prímszámvizsgálat Adott egy n természetes szám. Írjunk algoritmust, amely eldönti, hogy prímszám-e vagy sem! Egy számról úgy fogjuk eldönteni, hogy prímszám-e, hogy megvizsgáljuk,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Informatikai alapismeretek Földtudományi BSC számára

Informatikai alapismeretek Földtudományi BSC számára Informatikai alapismeretek Földtudományi BSC számára 2010-2011 Őszi félév Heizlerné Bakonyi Viktória HBV@ludens.elte.hu Titkosítás,hitelesítés Szimmetrikus DES 56 bites kulcs (kb. 1000 év) felcserél, helyettesít

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Emlékeztet! matematikából

Emlékeztet! matematikából Kriptográfia 2 Aszimmetrikus megoldások Emlékeztet matematikából Euklidész algoritmus - legnagyobb közös osztó meghatározása INPUT Int a>b0; OUTPUT gcd(a,b). 1. if b=0 return(a); 2. return(gcd(b,a mod

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben