Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei"

Átírás

1 Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás vázlatok. Téma szerit az el adást a sorozatok égy típusára szeretém kocetráli, égy olya típusra, amelyek midegyike a közismert számtai sorozat tagjaira épül. A dolgok közepébe vágva, rögtö sorolom a égy típust.. Hatváyösszegek: k + k + 3 k k. Itt és a továbbiakba is k-val tetsz leges rögzített pozitív egész kitev t jelölük.. Hatváyozott számtai sorozatok összegzése: a k + [a + d] k + [a + d] k [a + )d] k. Vegyük észre, hogy a = d = eseté ez a típus az. típusú hatváyösszegre redukálódik, k = eseté pedig a sima számtai sorozatra. 3. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok összegzése: cos a + cos[a + d] + cos[a + d] cos[a + )d]. 4. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegzése: cos k a + cos k [a + d] + cos k [a + d] cos k [a + )d].

2 A két utóbbi típus sziusz függvéyel is hasolóa tárgyalható, azoba a kosziusz függvéy választása eseté valamivel egyszer bb a tárgyalás, azért ezzel az esettel illusztráljuk a számítás módszerét. Ez a két utóbbi típus külööse érdekes abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a függvéy argumetumokat szögekek tekitve, ezek iráyai egyeletes lépésközökkel potosa körbejárják a szélrózsát. Az. típus felkeltette az érdekl désemet már gimazista koromba, és kiszámítottam az a = k sorozat els tagjáak zárt összegképletét a k = 7 kitev ig. Egy kis füzetet jelöltem ki képletgy jteméy céljára, melyek els lapjá szépe felsoroltam el ször a k =,, 3 kitev k esetére voatkozó közismert, majd folytatólagosa az általam kiszámított, ezt megel z e viszot általam em ismert k = 4, 5, 6, 7 kitev k esetére voatkozó összegképleteket. Valahogy így: = +) = +)+) = +) = +)+)[3+) ] = +) [+) ] = +)+)[3 +) 3+)+] = +) [3 +) 4+)+] 4 Amikor éppe ezzel voltam elfoglalva, potosabba: amikor már megvolt a hetedik hatváyok összegképlete, Autheried taár a füzetembe ezt megpillatva arra kért, hogy szereté, ha kit zém Kömal feladatkét. Ezt megel z e is felvetette már, hogy helyes vola, ha a mások által kit zött feladatok szorgalmas megoldása mellett magam is t zék ki feladatokat. Sajos a kreativitás soha em volt az er s oldalam, talá ezért ezt a kérését akkor em teljesítettem. Metségemre szeretém felhozi, hogy az is motivált a egatív hozzáállásomba, hogy a Budapeste talá havi de lehet, hogy aál ritkább) redszerességgel, Reima Istvá szervezésébe és vezetésével tartott Ifjúsági Matematikai Kör összejöveteleiek egyiké szóba hoztam, hogy é tudom a 3-ál agyobb kitev j hatváyösszegeket is zárt formulával, Reima taár úr azoba leitett, em hagyta, hogy err l beszéljek, mert bizoyára em tartotta elég fotosak vagy érdekesek. Évtizedekkel kés bb, kicsit eltér módo, léyegébe teljesítettem Autheried taár régi kérését, amikor sajos már em élt. Azzal a külöbséggel, hogy em általam már megoldott, haem még megoldatla feladatokat t ztem ki az iteretes holapomo. Mideesetre a taár régi kérése motivált abba, hogy a weblapomo yilváos pályázatot t ztem ki a magasabb kitev kre voatkozó hatváyösszegek zárt képleteiek a megadására. Eek megoldásába többe beszálltak, és ezáltal k = 35 kitev ig jutottam el a hatváyösszegek zárt képleteiek a felsorolásával a holapomo. A Térlefed coverig) kódok kérdései c. 0-re elkészült köyvembe pedig egy külö rövid fejezetet szátam megoldatla problémák felsorolására a köyv témájába. 4

3 Az említett iskolás kori füzetemek további lapjai a többszörös szögek szögfüggvéyeire voatkozó képleteket gy jtöttem össze, evezetese si kx és cos kx kifejezését si x és cos x poliomjakét. Példakét az egyik ilye képletsort idézem, cos kx kifejezését cos x poliomjakét. Ez volt a kis füzetem egyik további lapjáak egy részlete. Arra még emlékszem, hogy cos 7x-él tovább is folytattam, de arra már em, hogy potosa meddig. lehet, hogy valahol 0 körül álltam meg, de lehet, hogy csak 5 körül. cos x = cos x cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x cos 4x = 8 cos 4 x 8 cos x + cos 5x = 6 cos 5 x 0 cos 3 x + 5 cos x cos 6x = 3 cos 6 x 48 cos 4 x + 8 cos x cos 7x = 64 cos 7 x cos 5 x + 56 cos 3 x 7 cos x A feti képletsor közvetleül ugya em tartozik az el adás témájához, viszot segédeszközül szolgál a 4. típusú összegképletek kezeléséhez. Ha ugyais a cos kx kifejezés poliom el állítását egy bizoyos k-ig bezárólag megadtuk, akkor ezek segítségével a cos k x hatváyokat is fel tudjuk íri külöböz argumetumú kosziusz függvéyek lieáris kombiációjakét. Nevezetese cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az utóbbi képletsor viszot hídat képez a 3. és 4. típusú összegzési formulák között. Ilye képletek segítségével a 4. típusú összegzéseket vissza tudjuk vezeti a 3. típusra. Eze bevezetés utá vegyük sorra az el adás témájakét felsorolt típusokat. 3

4 . Hatváyösszegek képletei A kit zött cél: Állítsuk el a i k = k + k + 3 k k alakú összegeket zárt alakba. A k 7-re voatkozó kokrét esetekr l már szó volt, az alábbiakba újra felsoroljuk eze speciális esetek összegképletét: = +) = +)+) = +) = +)+)[3+) ] = +) [+) ] = +)+)[3 +) 3+)+] = +) [3 +) 4+)+] 4 Létezik egy szép általáos képlet is, amelyr l diákkét még em tudtam, csak jóval id sebb korba találtam meg a szakirodalomba: ahol B = 6, B 4 = 30, B 6 = 4 4 k i k = k+ k + + k + ) k B j k j+, j j j= a Beroulli számok. A Beroulli számok deíciója és további elemei köyvekbe és iteretes portálok táblázataiba megtalálhatók.) Nem tartozik szorosa a témához, mégis érdemes itt megemlítei, hogy egatív kitev j véges hatváyösszegek eseté zárt formulát em ismerük, ezzel szembe a végtele összegekre létezek klasszikus eredméyek: a = eseté a harmoikus sort kapjuk, amelyre a végtele összeg diverges. Aszimptotikusa a log x függvéy görbéjéhez illeszkedik.) )-él kisebb egész kitev kre a végtele összeg koverges; zárt képletet páros egatív kitev kre ismerük, például = π = π = π

5 3. Hatváyozott számtai sorozatok összegképletéek meghatározása Ebbe a szakaszba azokkal a sorozatokkal foglalkozuk, melyekél a sorozat általáos tagja a = [a + d )] k. A megoldás tetsz leges k eseté visszavezethet az el z szakaszba megfogalmazott típusra, például k = eseté közöséges számtai sorozat) [a + di )] = a + d[ )] = a + d ), k = eseté [a + di )] = a + ad[ )] + d [ ) ] = k = 3 eseté = a + ad ) + d ) ), 6 [a+di )] 3 = a 3 +3a d[ )]+3ad [ ) ]+ +d 3 [ ) 3 ] = = a 3 + 3a d ) + 3ad ) ) 6 + d 3 ). 4 Az általáos esetbe tetsz leges k kitev re [a + i )d] k = a k + = a k + k j= ) k a k j d j j [ a k + i= k j= i ) j = a k + i= ] k )a k j i ) j d j = j k k )a k j d j i j. j j= 5

6 4. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok Tekitsük az olya sorozatokat, melyek általáos tagja a = cos[a + d )]. Az összegképlet: si[a+ )d] si[a d], ha d 0 mod π) si cos[a + i )d] = d cos a, ha d 0 mod π) ) Külö gyelmet érdekel az a speciális eset, amikor d = π e, ahol e egy 0 és közötti egész. Az el bbi képletet erre a speciális esetre alkalmazva azt kapjuk, hogy cos[a + i ) π e] = 0 ha 0 < e <. ) 5. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok Az el z szakaszba tárgyalt sorozat általáos elemét k-adik hatváyra emeljük: a = cos k [a+d )]. A k = kitev re voatkozó eredméy birtokába erre az általáosabb problémára is tuduk megoldást találi. Láttuk, hogy cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az általáos esetre külö páros és külö páratla kitev kre az alábbi képletek bizoyíthatók: [ r cos r x = ) r ) ] r + cos jx, r 3) r r j cos r+ x = r r j=0 j= ) r + cosj + )x. 4) r j 6

7 A feti összefüggések alapjá például cos [a + i )d] = + cos[a + i )d] = = + si[a+ )d] sia d), ha d 0 mod π) si d cos a, ha d 0 mod π), 5) = cos 3 [a + i )d] = si[a+ )d] si[a d] 4 si d cos[a + i )d] + 4 cos[3a + i )3d] = + si[3a+ )3d] si[3a 3d], ha d 0 mod π) 4 si 3d 3 3 si[a+ )d] si[a d] + cos 3a, 4 si d 4 ha d 0 mod π ), de d 0 mod π) 3 3 cos a + cos 3a, ha d 0 mod π) 4 4 A hatváykitev további övelése sorá a hasoló módo felírható formulák egyre boyolultabbá válak, mivel egyre több külöböz modulusra kell egyszerre gyelemmel lei. Viszoylag köyebb dolguk va abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozat összegképletét általáos formulával is meg tudjuk adi, azoba k és paritásától függ e egymástól többékevésbé eltér összegképletek írhatók fel. Páros k = r eseté = r ) r + r Páratla k = r + eseté [ cos r+ a + i ) π ] = [ cos r a + i ) π ] = 6) r r h= r r h= 0 ha páros, r h=0 r r r h ) cos ha ha páros, r r h) cos ha ha páratla. r+ r h ) cosh + )a ha páratla. 7) 7

8 6. Alkalmazások matematikai verseyfeladatok megoldására A hatváyösszegek képleteire em kerestem az el adásomhoz kokrét alkalmazásokat. Ehelyett csak ayit szereték elmodai, hogy diákkori matematikai feladatmegoldói praxisomba gyakra vettem haszát ezekek a képletekek természetese csak k =,, 3 kitev vel külöböz algebrai, kombiatorikai és szöveges Kömal és egyéb feladatok megoldására. Mivel az ilye feladatok a kevésbé ehéz kategóriába tartozak, azt hiszem ikább az I-II. osztályosok 4-6 évesek) számára kiírt gyakorlatokba fordultak el. Szögfüggvéyekkel kapcsolatos összegképletek emzeti és emzetközi taulmáyi verseyek feladatai között is felbukkatak. Ilyeekre mutatuk éháy példát az alábbiakba. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 96/4. feladat. Oldjuk meg a következ egyeletet: cos x + cos x + cos 3x =. Egy lehetséges megoldás: A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott égyzetre emelt) számtai sorozat 5) összegképlete szerit cos x + cos x + cos 3x = 3 + si[x+6 )x] six x) si x, ha x 0 mod π) 3 cos x, ha x 0 mod π), A x 0 mod π) eset kizárható, mert ilyekor az összeg értéke midig. Ezért a kit zött feladat a következ egyeletre vezet: 3 + si 7x si x si x =. Átredezéssel: 0 = si 7x + si x = si 4x cos 3x = 8 si x cos x cos x cos 3x. Eek megoldása már triviális, csak e feledkezzük el az x 0 mod π) hamis gyökök kizárásáról. 8

9 Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 963/5. feladat. Bizoyítsuk be, hogy cos π 7 cos π 7 + cos 3π 7 =. Egy lehetséges megoldás: A cos x = cosπ x) összefüggés alapjá a feladatba szerepl kifejezést úgy is írhatjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7. A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat ) összegképlete szerit si[x+3 )x] si[x x] si 6x =, ha x 0 mod π) si x si x cos x + cos 3x + cos 5x = 3 cos x, ha x 0 mod π). Az x = π 7 esetre kokrétizálva, iét azt kapjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = si 6π 7 si π 7 = si π 7 si π 7 =. Egy 997. évi erdélyi matematikai verseyfeladat: Bizoyítsuk be, hogy [si 7 x + si 7 x + π 3 + [cos 7 x + cos 7 x + π 3 ) + si 7 x + 4π 3 ) + cos 7 x + 4π 3 A 7) összegképletet k = 7 r = 3), = 3 esetére alkalmazva 3 cos 7 [ x + i ) π 3 ] = h=0 )] + 8) )] = [ ] ) 7 cosh + )3x = 3h 63 cos 3x. 64 A sziusz hatváyösszegeket a si x = cosx π ) összefüggés alapjá kosziusz hatváyösszegekké átalakítva 3 si 7 [ x + i ) π 3 ] = 3 cos 7 [ x π + i )π 3 Ezek alapjá már egyszer e következik a 8) egyel ség. ] = 63 cos 3x π ) 64 = 63 si 3x. 64 A 8) alatti egyel ség úgy is iterpretálható, hogy a bal oldalo álló kifejezés em változik meg, vagyis tehetetle marad az x szög tetsz leges változtatása eseté. Ezzel az észrevétellel kapcsolatba azo t dtem, hogy egyetle kokrét esetre voatkozó tehetetleségi tulajdoság ömagába em túl érdekes, de milye szép lee, ha be lehete bizoyítai egy általáos tehetetleségi tételt tetsz leges kitev és tetsz leges számú tagból álló hasoló eseté. Az erre adott válasz részbei tárgyalását a következ külö szakaszba tettem. 9

10 7. A tehetetleségi probléma teljeskör megoldása Az erre voatkozóa felvetett kérdés ömagába is elég komplex ahhoz, hogy akár egy öálló külö el adás tárgya lehete. Ezért most csak rövide és bizoyítás élkül szeretém ismerteti a válasz léyegét. Az el z szakaszba felvetett tehetetleségi probléma megoldásával foglalkozva kiderült, hogy teljes általáosa em igaz, de ige sok esetbe feáll a tehetetleségi tulajdoság, vagyis az, hogy a [ si k x + i ) π ) ] [ + cos k x + i ) π ) ] 9) összeg értéke em függ x-t l a k, ) párok egy jól meghatározható halmazára. Ugyaez a probléma geometriai iterpretációba is megfogalmazható. Tekitsük a ξ, η) koordiátaredszerbe az origó középpotú egység sugarú körbe írt szabályos sokszögeket. Legye egy tetsz leges ilye -szög 3, tetsz leges) egyik csúcsáak a ξ- tegellyel bezárt szöge x. Ekkor a szabályos -szög P ξ, η ), P ξ, η ),..., P ξ, η ) csúcsaiak koordiátái: ξ = cos x, η = si x, ξ = cos x + π ),..., ξ = cos x + ) π ), η = si x + π ),..., η = si x + ) π ), tehát a vizsgált tehetetleségi probléma a szabályos sokszögek csúcsaiak koordiátáival kifejezve úgy hagzik, hogy a [ ] [ ξi k + η k i ] égyzetösszeg mely k, ) párok eseté függetle és mely k, ) párok eseté em függetle az egységkörbe írt szabályos -szög helyzetét l. A válasz léyegét a következ két táblázat tartalmazza: 0

11 A 9) kifejezés értéke x-t l függetle az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k < 3 midig páros k < k < Ezzel szembe a 9) kifejezés értéke x-t l függ mide más esetbe, vagyis az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k 3 soha páros k k

12 8. Bizoyítás vázlatok Valameyi itt következ bizoyítás elemi. Általáos képletek bizoyítása helyett ikább speciális esetek bizoyításra törekszem a jobba követhet ség érdekébe. A hatváyösszegek képleteiek bizoyítása kissé eltér páratla, illetve páros esetbe. Páratla k = r + eseté az [ + )]r+ [ )]r+ = r i=0 ) r + r i+ r i azoosságból iduluk ki, amit úgy kapuk, hogy a bal oldal tagjaira a biomiális tételt alkalmazzuk. Összevoás utá mide második tag kiesik.) Ezt követ e értékét egyesével csökketve r = 0 és r = eseté közvetleül megkapjuk a kivát összegképletet, r eseté pedig egy rekurzív formulához jutuk. k = r = 0) eset: [ + )] [ )] = [ )] [ ) )] =... = 0 = A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 3 r = ) eset: [ + )] = [ + )] [ )] = 3 [ )] [ ) )] = ) 3... = 3 0 = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy [ + )] = )

13 k = 5 r = ) eset: [ + )]3 [ )]3 = [ )]3 [ ) )]3 = 3 ) 5 + ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]3 = ) ) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. k = 7 r = 3) eset: [ + )]4 [ )]4 = [ )]4 [ ) )]3 = 4 ) ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]4 = ) ) Ezutá az el z esettel hasoló módo fejezzük be a számítást, a hetedik hatváyok összegéek zárt formulával törté el állítását. 3

14 Páros k = r eseté a páratla esetél kicsit boyolultabb a számítás, mivel a + ) [ + )]r ) [ )]r = r c i r i egyel ségb l iduluk ki. A c i értékeket a kokrét esetekre voatkozó számítások sorá potosítai fogjuk.) k = r = ) eset: + ) [ + )] ) [ )] = 3 ) [ )] 3) [ ) )] = 3 ) = = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 4 r = ) eset: i=0 + ) [ + )] = ) + ) [ + )] ) [ )] = ) [ )] 3) [ ) )] = 5 ) 4 + ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )] = ) ) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. 4

15 k = 6 r = 3) eset: + ) [ + )]3 ) [ )]3 = ) [ )]3 3) [ ) )]3 = 7 ) ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )]3 = ) ) Ett l fogva a befejezés a korábbiakhoz hasoló. 5

16 A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok ) összegképlete az iskolai táblázatokból jól ismert egyik képlet alkalmazásakét származó ] ] si [ a + i ) d si [ a + i 3 ) d = cos[a + i )d] si d egyel ségek i = -t l -ig törté összegzésével adódik. voatkozó egyel ség evides.) A d 0 mod π) esetre A d = π e 0 < e < ) speciális esetbe az ) képlet els sora érvéyes, ahol a számlálóba lév két sziusz függvéy argumetuma π egész számú többszörösével tér el egymástól, és így a számláló két tagja kiejti egymást. A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegképletéhez el ször is a kosziusz függvéyek hatváyaira kell képleteket találi. Bebizoyítható a már korábba 3)-4) sorszámmal is felírt) alábbi általáos formula: cos r x = r [ r ) + r r j= ) ] r cos jx, r j cos r+ x = r r j=0 ) r + cosj + )x. r j A bizoyítást elhagyjuk, bár em túlságosa ehéz, de hosszadalmas iparos mukát igéyel az általáos bizoyítás véghezvitele. Ezekb l a képletekb l x = a + i )d helyettesítéssel és i-re törté összegzéssel adódik, hogy cos r [a + i )d] = r ) r + r r r j= ) r cos[ja + i )jd] r j és cos r+ [a + i )d] = r r j=0 ) r + cos[j + )a + i )j + )d]. r j Itt a kett s szummázásoktól megszabadulhatuk, ha a bels, i szeriti összegzésekre alkalmazzuk a kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat) összegképletét. Ha ezt megtettük, akkor végül a vizsgált érdekes speciális esetre, a d = π esetre felírt 6)-7) képletek levezetése csak techika kérdése. 6

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1)

= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1) MATEMATIKAI INDUKCIÓ Michael Lambrou. Fejezet. Matematikatörtéeti bevezető A filozófiába és az alkalmazott tudomáyokba az idukció fogalma azt jeleti, hogy egyedi esetekből általáos következtetésre jutuk.

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23.

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23. Algebra 11 1. évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3. Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs,

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

A figurális számokról (II.)

A figurális számokról (II.) A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben