6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

Átírás

1 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése. Motivációs feladat: Változtassuk az egyszerű kamatos kamatra adott feladato. Ne egyszer fizessük be a bakba egy bizoyos összeget, haem redszerese, például havota. Feltéve, hogy tőkésítés is havota törtéik, és a kamatláb fix, vajo meyi pézt sikerül összegyűjtei hóap alatt? Az első alkalommal befizetett összegél ötször kell kamatos kamatot számoli, a másodikál már csak égyszer, és így tovább. 4 p p p p p T0 T0 T0 T0 T A feti képletbe behelyettesítve tuduk számoli. Kicsit időigéyes, de még megoldható. De mi va akkor, ha évről lee szó? A felírt összeg hasoló godolatmeettel már az 60 tőkésítés miatt 60 tagból álla. Hogya lehete ezt az összeget miél egyszerűbbe kiszámoli? Ilye és ehhez hasoló feladatokra ad választ a matematika következő fejezete, amit számsorozatokak evezük. Elméleti összefoglaló Speciális függvéyekkel foguk foglalkozi, amelyek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza, de helyettesítési értékkét már bármilye valós számot kaphatuk. A függvéyekél szokásos jelöléstől is kicsit eltérük. Eddig a függvéyeket f -fel, g - vel vagy h -val jelöltük. Most az a, b vagy c betűket haszáljuk. A függetle változót pedig x helyett -el jelöljük, ami alsó idexkét jeleik meg. Ez a jelölésbeli eltérés azoal felismerhetővé teszi, hogy a függvéyek egy speciális halmazával, a számsorozatokkal foglalkozuk. Defiíció: Számsorozatak evezzük azokat a speciális függvéyeket, amelyek a természetes számokhoz egy-egy valós számot redelek. a( ) a :. Nézzük meg egy-két kokrét sorozatot és próbáljuk meg egyszerű logikai következtetésekkel a legelemibb tulajdoságaitkat leolvasi.. Példa: a, ha =;;... Írjuk fel a sorozat éháy tagját. Ha a sorozatot megadó képletbe az helyére az -et íruk, megkapjuk az első elemet. Ha -t íruk a másodikat, és így tovább. a = a a a4 a0 a00 a

2 Ha helyére egyre agyobb természetes számot íruk, akkor reciproka egyre kisebb pozitív szám lesz. Azaz agyobb idexhez kisebb helyettesítési érték tartozik. A függvéyekél már megismert hasoló tulajdoság alapjá az ilye sorozatokat evezzük szigorúa mooto csökkeőkek. Ebből az következik, hogy az első elemél, azaz -él agyobbat a sorozat em vesz fel. Szité a függvéyekhez hasolóa, modjuk azt, hogy a sorozat felső korlátja, azaz a sorozat felülről korlátos. A sorozat csak pozitív értékeket vesz fel, így mide sorozatbeli elem agyobb 0-ál. Ezt a tulajdoságot hívjuk úgy, hogy a sorozat alulról korlátos és a ullát evezzük alsó korlátak. Vegyük észre, hogy a sorozat agyo agy idexű elemei egyre közelebb és közelebb esek ullához. Úgy is modhaták, hogy a sorozat agyo agy idexű elemei mide határo túl megközelítik a ullát. Ezt az érdekes tulajdoságot a továbbiakba úgy modjuk, hogy a sorozatak a határértéke ulla és jelöljük a következőképpe: a 0 vagy a 0 vagy 0 pozitív valós Megjegyzés: Hasoló következtetésekhez juthatuk az a k típusú sorozatokál ( k természetes szám), például az a sorozatál.. Példa: c ha =; ;... Írjuk fel a sorozat éháy elemét. c c c c 7,80 c A képlet alapjá modhatjuk, hogy mide elem -szöröse az előtte lévőek. Ez pedig azt jeleti, hogy a sorozat mide eleme agyobb, mit a ála eggyel kisebb idexű. Ezt a későbbiekbe szigorúa mooto övekedések evezzük. A sorozat pozitív tagokból áll, így a ulla most is alsó korlát. De tuduk adi eél jobb, a ulláál agyobb alsó korlátot is. A szigorú mooto övekedés miatt a sorozat legkisebb eleme egybe a sorozat alsó korlátja is. Eél jobb, eél agyobb alsó korlát már em adható. Ezt szokás a sorozat legagyobb alsó korlátjáak evezi. Tehát most a legagyobb alsó korlát. A sorozat éháy tagja alapjá úgy tudák megfogalmazi, hogy a sorozat tagjai a agyo agy számok fele tartaak, felső korlát ics. Ezt a tulajdoságot evezzük a későbbiekbe úgy, hogy a sorozat határértéke plusz végtele. Jele:. Példa: d c vagy c., ha. Írjuk fel a sorozat éháy tagját. d d 6 d 04 d, Az a sejtés, hogy a sorozat szigorúa mooto ő. Pedig ez em igaz. d d 4 d 8 d =6 d = 4 0

3 Most már jobba látjuk, hogy ez a sorozat hol pozitív, hol egatív értékeket vesz fel. Ezt evezzük úgy, hogy a sorozat em moto ő, em mooto csökke, egyszerűbbe em mooto. Ebből a példából jól látható, hogy éháy tag felírása em elegedő, hogy a mootoitást egyértelműe eldötsük. Ez a sorozat az előző kettőtől teljese eltér. A agy idexű tagok a agyo agy pozitív és a agyo kicsi egatív értékek között igadozik. Most em tuduk adi olya számot, amit a agy idexű tagok mide határo túl megközelíteek. A felírt példák alapjá a sorozatok jellemzéséél három fotos tulajdoságot foguk vizsgáli. A mootoitást, a korlátosságot és a határértéket. Adjuk meg eze tulajdoságok potos defiícióit! Defiíció: Egy a sorozat mooto övekvő, ha a a mide természetes szám eseté. Defiíció: Egy a sorozat szigorúa mooto övekvő, ha a a mide természetes szám eseté. Defiíció: Egy a sorozat mooto csökkeő, ha a a mide természetes szám eseté. Defiíció: Egy a sorozat szigorúa mooto csökkeő, ha a a mide természetes szám eseté. Mootoitás precíz vizsgálatához több módszer is alkalmazható. Mi az alábbi tételeket fogjuk haszáli. Tételek: Ha a a 0 mide természetes szám eseté, akkor a szigorúa mooto övekvő. Ha a a 0 mide természetes szám eseté, akkor a mooto övekvő. Ha a a 0 mide természetes szám eseté, akkor a szigorúa mooto csökkeő. Ha a a 0 mide természetes szám eseté, akkor a mooto csökkeő. Defiíció: Egy a sorozatot felülről korlátosak evezzük, ha létezik egy olya K valós szám, amelyre a K teljesül mide természetes szám eseté, és a K számot a sorozat felső korlátjáak evezzük. Defiíció: Egy a sorozatot alulról korlátosak evezzük, ha létezik egy olya k valós szám, amelyre a k teljesül mide természetes szám eseté, és a k számot a sorozat alsó korlátjáak evezzük. Defiíció: Egy sorozatot korlátosak evezük, ha alulról és felülről is korlátos. Ha egy sorozatak va alsó korlátja, akkor végtele sok va, hisze az eél kisebb összes szám is alsó korlát lesz. Az alsó korlátok tehát egy halmazt alkotak. Ebbe a halmazba midig va egy legagyobb elem, melyet a legagyobb alsó korlátak evezük.

4 Ha egy sorozatak va felső korlátja, akkor végtele sok va, hisze az eél agyobb összes szám is felső korlát lesz. A felső korlátok is egy halmazt alkotak. Ebbe a halmazba midig va egy legkisebb elem, melyet a legkisebb felső korlátak evezük. Kidolgozott feladatok:. feladat: Írja fel az alábbi sorozat első, majd a -edik tagját! 4 a, ha ;;... Megoldás: Helyettesítsük a sorozatot megadó képletbe az helyére redre egyet, kettőt, hármat, legvégül pedig huszoegyet. 4 7 a a 9 4 a a 04. feladat: Írja fel az alábbi sorozat -edik, majd az -edik elemét! 4 a, ha ;;... Megoldás: Ha a sorozat -edik elemét szereték meghatározi, akkor helyére a sorozat képletébe em egy kokrét számot, haem -et kell íri. Hasolóa az -edik elem felírásához helyére írjuk -t, és redezzük a számlálót és a evezőt is. ( ) 4 7 a ( ) 4 ( ) 4 a ( ). feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot mootoitás szempotjából! 4 a, ha ;;... Megoldás: Néháy elem felírásából már azt sejtjük, hogy a sorozat mooto övekvő. Bizoyítsuk be, hogy jó a sejtésük. A defiíció szerit bármely két egymás követő elemet kell összehasolítai. Vigyázzuk, em két kokrét elempárról va szó, haem bármelyik kettőről. Eek egyik módszere az, hogy a sorozat -edik és -edik tagjaiak külöbségét vizsgáljuk bármely természetes szám eseté. Állítsuk elő a sorozat -edik elemét. 4( ) 4 a Most már felírhatjuk a külöbséget. 4 4 a a Hozzuk közös evezőre a törteket.

5 4 4 (4 ) (4 ) Számlálóba végezzük el a kijelölt műveleteket Vizsgáljuk meg a kapott törtet. Azt látjuk, hogy a számláló pozitív. Mivel természetes szám, a evező is csak pozitív lehet, hisze két pozitív szám szorzata pozitív. Ez azt jeleti, hogy midig agyobb számból vouk ki egy kisebbet, tehát két egymást követő elemél a agyobb idexű midig agyobb a ála éppe eggyel kisebb idexű elemél. Tehát defiíció szerit a szigorúa mooto ő. 4. feladat: Vizsgáljuk meg korlátosság szempotjából az előbb már vizsgált a sorozatot. 4 a, ha ;;... Megoldás: Az a sorozatról már tudjuk, hogy szigorúa mooto övekvő. Ez azt jeleti, hogy az első elem kisebb, mit bármely utáa következő elem. Így az első elem alsó korlátak tekithető. a k a mide természetes szám eseté. Vajo va-e felső korlátja a sorozatak? Lehet, hogy mide határo túl övekedek az értékék? Eek eldötésére alakítsuk át a sorozat képletét. Osszuk le tagokét -el! 4 a 4 4 Ebből az alakból agyo jól látszik, hogy 4-ből midig kivouk egy kicsi pozitív számot. Tehát a sorozat felső korlátja 4, és ez azt is jeleti, hogy a korlátos. A sorozat mide tagja legalább és kisebb, mit 4.. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot mootoitás szempotjából! a, ha ;;... Megoldás: Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk meg az a a külöbség előjelét! Írjuk fel először az -edik tagot. ( ) 4 a ( ) Most már fel tudjuk íri a vizsgáladó külöbséget. 4 ( 4)( ) ( )( ) a a ( )( ) Végezzük el a számlálóba a kijelölt szorzásokat, majd redezzük a kifejezéseket. 4 ( 6) 0 ( )( ) ( )( ) Redezés utá a számlálóba csak egy egatív szám maradt. A evezőbe egy szorzat va, amelyek midkét téyezője pozitív mide lehetséges -re, így egy egatív és egy pozitív szám háyadosa csak egy egatív szám lehet. Ez azt jeleti, hogy redre kisebb számból vouk ki egy agyobbat, tehát két egymást követő elemél a agyobb

6 idexű elem midig kisebb a ála éppe eggyel kisebb idexűél. Tehát defiíció szerit a szigorúa mooto csökkeő. 6. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot korlátosság szempotjából! a, ha ;;... Megoldás: Az a sorozatot már mootoitás szempotjából vizsgáltuk és azt kaptuk, hogy a szigorúa mooto csökke. Ez azt jeleti, hogy az első elem agyobb, mit bármely utáa következő elem, így az első elem felső korlátak tekithető. 4 a K a mide ;;... eseté Vajo va-e alsó korlátja a sorozatak? Vegyük észre, hogy a sorozat mide eleme agyobb 0-ál, mivel a számláló és a evező is pozitív mide lehetséges -re. Így a 0 a defiíció szerit alsó korlátak tekithető. Nézzük meg, hogy tuduk-e találi egy jobb, a 0-ál agyobb alsó korlátot. Írjuk át a sorozatot egy másik formába: a A kapott kifejezésből jól látható, hogy -hez redre egy pozitív számot aduk, tehát is egy alsó korlát. Bebizoyítható, hogy eél jobb, azaz agyobb alsó korlát már em létezik, de eek bizoyításától eltekitük. Megjegyzés: Szemléletese megfogalmazva a számláló agyobb a evezőél mide természetes szám eseté, akkor a tört csak -él agyobb szám lehet, tehát az alsó korlát. 7. feladat: Vizsgálja meg mootoitás szempotjából az alábbi sorozatot! 4 b, ha ;;... 7 Megoldás: Az előző feladathoz hasolóa vizsgáljuk az -edik és -edik tag külöbségét. Először írjuk fel az -edik elemét a sorozatak! 4( ) 4 b 7( ) 7 Most már felírható a vizsgáladó külöbség: b 4 4 ( 4 )( 7 ) ( 4 )( 7 ) b 7 7 ( 7 )( 7 ) Végezzük el a számlálóba a kijelölt szorzásokat, majd redezzük a kifejezéseket! 8 (8 6) 0 ( 7 )( 7 ) ( 7 )( 7 ) A számlálóba a redezés utá most egy pozitív számot kaptuk. A evezőbe lévő midkét téyező egatív mide lehetséges eseté. Így a tört is midig pozitív, ami azt jeleti, hogy a vizsgált sorozat szigorúa mooto övekvő. 8. feladat: Vizsgálja meg korlátosság szempotjából az alábbi sorozatot! 4 b, ha ;;... 7

7 Megoldás: Az előző feladatból tudjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto ő, így a legkisebb tagja az első elem, ami tekithető alsó korlátak. Írjuk fel a sorozat éháy tagját, hogy vajo lehet-e felső korlátja? b = b b 0 b 00 b A felírt tagok alapjá -él kisebb számokat kapuk. Bizoyítsuk, be, hogy ez mide elemre teljesül. 4 7 Szorozzuk meg az egyelőtleség midkét oldalát 7 -el, ami midig egatív, ha természetes szám. Vigyázzuk, ilyekor az egyelőtleség iráya megváltozik! 4 7 A kapott egyelőtleség midig feáll, ha ;;... természetes szám. Tehát a sejtés igaz, a sorozat egyik felső korlátja. A sorozat felülről és alulról is korlátos. 9. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot mootoitás és korlátosság szempotjából! c 7, ha ;;... Megoldás: Vizsgáljuk először a mootoitást! Az a sejtésük, hogy a sorozat mooto övekvő. Írjuk fel az -edik elemet! c 7 Írjuk fel a -edik és az -edik tag külöbségét! c c 7( ) 7 7 ( ) Mivel redezés utá a külöbség három pozitív tag összegére egyszerűsödik, így a sorozat szigorúa mooto övekvő. Vizsgáljuk most a korlátosságot! A szigorú mooto övekedés miatt a sorozat alsó korlátja a sorozat első eleme, azaz k c 7 c, ha természetes szám. Vajo va-e felső korlát? Úgy érezzük, hogy icse felső korlátja a sorozatak, ami azt jeleti, hogy bármilye agy pozitív számot is adák meg, midig va olya sorozatbeli elem, ami ezt a agy számot képes meghaladi. Szemléletese fogalmazva, bármely agy pozitív számál létezik agyobb eleme a sorozatak. Például legye a agyo agy szám Azt sejtjük, hogy va olya tagja a sorozatak, ami agyobb, mit , 4 Vegyük a sorozat 47. tagját. c Valóba agyobb, mit A módszert bármely agy számra haszálhatjuk, így c felülről em korlátos. Vegyük észre azoba azt is, hogy ha a megoldásba az is bee va, hogy a sorozat összes olya tagja, amelyek idexe meghaladja a 46-t, él agyobb lesz. k Megjegyzés: Hasolóa eredméyre juták a c típusú sorozatokál ( k természetes szám). De ugyaezt modhatjuk el akkor is, ha a kitevőre csak ayit kötük ki, hogy legye pozitív. Például a mooto ővekvő és felülről em korlátos. sorozat szité szigorúa c

8 0. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából! a 7 és b = 7, ha ;;... Megoldás: Az a sejtésük, hogy az a sorozat mooto övekvő. Írjuk fel -edik elemet. ( ) a 7 Írjuk fel a -edik és az -edik tag külöbségét. a a (49 ) Mivel 7 bármely hatváya csak pozitív lehet, így a külöbség mide lehetséges -re pozitív. A sorozat tehát szigorúa mooto övekvő, de akkor a sorozat legkisebb eleme és egybe alsó korlátja is 49. A sorozat éháy tagját felírva, érezzük, hogy a sorozat agyo erőse övekszik. Azt tudjuk modai, hogy a sorozatak ics felső korlátja, mivel bármilye agyo agy számot aduk, midig létezik a sorozatak olya tagja, ami agyobb, mit az előre megadott agyo agy szám. Szemléletese fogalmazva, bármely agy számál létezik agyobb eleme a sorozatak. Például legye a agyo agy szám a Milye -re fog teljesüli, hogy Vegyük midkét oldal természetes alapú logaritmusát! l7 l( ) Osszuk el az egyelőtleség midkét oldalát l7-tel, ami egy pozitív szám. Így az egyelőtleség iráya em változik. Azt kaptuk, hogy ha 6, akkor l( ),9 l 7 6 a , téyleg agyobb, mit 0 milliárd. Ez a módszer bármilye agy pozitív számál haszálható. Tehát a valóba felülről em korlátos. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a megoldásba az is bee va, hogy ha, azaz a 6. tagtól kezdve a sorozat összes többi tagja már agyobb, mit 0 milliárd. A b sorozat tulajdoságait a míusz előjel épp az ellekezőjére megváltoztatja. A övekedésből csökkeés, az alsó korlátból, felső korlát lesz. Így a b sorozat szigorúa mooto csökkeő, felső korlátja -49, és alulról em korlátos, a agyo kicsi egatív értékek fele tart. Megjegyzés: Általába is modhatjuk, hogy a q típusú sorozatok, ha q szigorúa mooto övekedek, alulról korlátossak, de felülről em.. feladat: Vizsgálja meg mootoitás és korlátosság alapjá az alábbi sorozatot!

9 d, ha ;;... Megoldás: Írjuk fel a sorozat első tagját. d 0,; d 0, ; d 0, d ; 0, 06 d 0, 0; 4 Jól látható, hogy a sorozat egymás utá következő elemei felváltva pozitívak illetve egatívak. Így azt modhatjuk, hogy a sorozat em mooto övekvő és em mooto csökkeő, egyszerűbbe em mooto. Mivel 0, pozitív egész hatváyai 0 és közé esek, így a páros idexű tagok 0 és közé, a páratla idexűek pedig - és 0 közé esek. Tehát a sorozat korlátos és felső korlát, alsó korlát -. Másrészt az is látszik, hogy a sorozat evezője egyre agyobb, így az a sejtésük, hogy a sorozat hol pozitív, hol egatív előjelű számokkal, de mide határo túl megközelíti a ullát, tehát d 0. Megjegyzés: Hasoló eredméyre jutuk a korlátosak, és mide határo túl megközelítik a ullát. q típusú sorozatokál, ha q, akkor Elméleti összefoglaló Egy sorozat határértéke azt mutatja meg, hogy agyo agy idexek eseté egy adott sorozat milye értékeket vehet fel. Találkoztuk már olya sorozattal, amire azt modtuk, hogy agy idex eseté a sorozat elemei egy bizoyos szám (jelöljük A -val) közelébe vaak. A közelséget fogalmazzuk meg a sorozat elemeiek és az A számak az eltérésével, távolságával, ami csak pozitív szám lehet. Ezt az eltérést a A -kel tudjuk kifejezi, ahogy két szám eltérését, távolságát megadhatjuk a számok külöbségéek abszolútértékével. Például és eltérése, távolsága: 8. Defiíció: Az a sorozat határértéke az A valós szám, ha bármely kicsi pozitív számhoz létezik olya N küszöbszám, ha N, akkor a A teljesül. Átfogalmazva: Akkor modjuk, hogy egy sorozat határértéke A valós szám, ha bármilye kicsi eltérést, távolságot ( -t) egedük is meg az A-tól, a sorozat kellőe agy idexű elemei még eél is közelebb vaak A-hoz. Szemléletese: Egy a sorozat határértéke egy A valós szám, ha agyo agy idexek eseté a sorozat elemei az A szám körül sűrűsödek, másképpe A -t mide határo túl megközelítik. Defiíció: Egy sorozatot kovergesek evezük, ha létezik véges határértéke, mide más esetbe divergesek. Tételek: Ha egy sorozat felülről korlátos és mooto övekvő, akkor a sorozat koverges. Ha egy sorozat alulról korlátos és mooto csökkeő, akkor a sorozat koverges.

10 A diverges sorozatok között külöböztessük meg azokat, amelyek mide határo túl övekedek. illetve csökkeek. Az ilye sorozatokra modjuk azt, hogy tágabb értelembe vett koverges sorozatok, és plusz illetve míusz végtelebe tartaak. Defiíció: Egy a sorozat határértéke, ha bármely K 0 valós számhoz létezik olya N küszöbszám, ha N, akkor a K is teljesül. Jele: a Átfogalmazva: Egy a sorozat határértéke, ha bármilye agy számot aduk is meg, va olya küszöbszám, amelyél agyobb idexű elemek még eél is agyobbak. Defiíció: Egy a sorozat határértéke, ha bármely k 0 valós számhoz létezik olya N küszöbszám, ha N, akkor a k is teljesül. Jele: a Átfogalmazva: Egy a sorozat határértéke, ha bármilye kicsi egatív számot aduk is meg, va olya küszöbszám, amelyél agyobb idexű elemek még eél is kisebbek. Nevezetes határértékek:. Kostas sorozat (mide tagja ugyaaz a valós szám) határértéke ömaga. a c c c Példa: k., ha k 0 Példa: k. 0, ha k 0 Példa: a b 4, 4, 0 vagy vagy valós szám 0, ha k > 0 valós szám k Példa:

11 6. 7. Példa:, 4 0 vagy 0 vagy 0 7 ha q q 0 ha q diverges ha q 4, 0, 7 0 0, diverges = diverges 8. Matematika egyik evezetes sorozata a sorozat. Be lehet bizoyítai, hogy szigorúa mooto övekvő és felülről korlátos, azaz egy koverges sorozat. A határértéke pedig egy irracioális szám, amit e -vel jelölük és tizedesjegy potossággal az értéke pedig: e,788. Matematikába az e -ek kitütetett szerepe va, ezzel az alappal szokás megadi x expoeciális és logaritmus függvéyt is ( f ( x) e, g( x) log x l x ). A sorozat határértéke megváltozik, ha a számlálóba lévő -et bármilye más valós számra lecseréljük. Kidolgozott feladatok: a a e, e, a 8. feladat: Az a sorozat határértéke 0. Adjo küszöbszámot az -hez! Megoldás: Azt szereték meghatározi, hogy a sorozat milye idexű tagjától kezdve fogják tagjai a 0-t -él kisebb eltéréssel megközelítei. 000 A defiícióból tudjuk, hogy ehhez azt kell megvizsgáli, hogy a sorozat milye idexű elemei fogják teljesítei az a 0 egyelőtleséget. 000 Oldjuk meg az egyelőtleséget! Az abszolút értéke belül egy pozitív szám va, így az abszolút érték elhagyható e

12 Oldjuk meg a kapott egyelőtleséget! , 6 Tehát a 0,00-hez tartozó küszöbszám, azaz N=98. Ez azt jeleti, hogy a sorozat 99. tagjától kezdve a sorozatbeli elemek a 0-t 0,00-él kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozat végtele sok tagja a 0-t 0,00-ál kisebb eltéréssel közelíti meg és csak véges sok va, amelyekre ez em teljesül. Megjegyzés: Természetese köszöbszámak 98-ál agyobb számok is megfelelek. De a feladatok megoldásáál midig igyekszük a legkisebb ilye értéket megadi. Ha -ak egyre kisebb értéket aduk, az előző megoldás alapjá midig találuk egy küszöbszámot. Ez azt jeleti, hogy a sorozat elemei egyre közelebb és közelebb kerülek 0-hoz.. feladat: Az a sorozat határértéke. Adjo küszöbszámot az -hoz! 00 Megoldás: Azt szereték meghatározi, hogy a sorozat milye idexű tagjától kezdve fogják a -t -él kisebb eltéréssel megközelítei. 00 Írjuk fel a vizsgáladó egyelőtleséget! 00 Hozzuk közös evezőre: ( ) 00 Redezzük a számlálót: 00 Az abszolút értéke belül egy egatív szám va, mivel számláló egatív, evező pozitív mide lehetséges eseté. Egy egatív szám abszolút értékét megkapjuk, ha szorozzuk a számot --gyel Oldjuk meg a kapott egyelőtleséget! Tehát a 0,0-hoz tartozó küszöbszám 498, ami azt jeleti, hogy a 499. idexű tagjától kezdve a sorozat elemei a -t 0,0-ál kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozat végtele sok tagja a -t 0,0-ál kisebb eltéréssel közelíti meg és csak véges sok va, amelyekre ez em teljesül.

13 feladat: Határozza meg az a, b, c, d sorozat határértékét! Megoldás: A sorozatok külöböző kitevőjű hatváyai. Ilye esetekbe a kitevő előjele döti el a határértéket. Ha a kitevő pozitív, akkor a határérték, ha a kitevő egatív, akkor pedig a, b, kitevő pozitív 7 c 0, d = 0 7 kitevő egatív 4 4. feladat: Határozza meg az a, b, c, d 6 7 sorozat 7 határértékét! Megoldás: Az első két sorozatál valós számot osztuk pozitív kitevőjű hatváyaival. Ezek redre 0-hoz tartaak. 4 valós a 0, b 0 mivel k Az utolsó kettő egyszerű kostas sorozatok. c, d (kostas sorozat ömagához tart) 7 7. feladat: Határozza meg az a Megoldás: A vizsgált sorozat sorozat határértékét! q típusú és az alap. ha q q 0 ha q diverges ha q A evezetes határérték. sora szerit, ha az alap abszolútértékbe -él kisebb, akkor a határérték 0. Tehát feladat: Határozza meg az a, sorozat határértékét! Megoldás: A vizsgált sorozat q típusú és az alap,. ha q q 0 ha q diverges ha q A evezetes határértékek most. sorát kell ézi, mert az alap --él kisebb, akkor határérték em létezik.

14 Tehát, diverges feladat: Határozza meg a b sorozat határértékét! Megoldás: Fel kell ismeri, hogy ebbe az esetbe az alábbi evezetes határértékkel va dolguk: Mivel most a 7, így a a e, a 7 8. feladat: Határozza meg a b sorozat határértékét! Megoldás: Fel kell ismeri, hogy ebbe az esetbe az alábbi evezetes határértékkel va dolguk: a a e, a Fotos, hogy a tört előtti előjel plusz legye. Ha a míuszjelet bevisszük a számlálóba, akkor a, így e e e Műveletek koverges és tágabb értelembe vett koverges sorozatokkal Végtele geometriai sor Taulási cél: Koverges és tágabb értelembe vett koverges sorozatokkal végzett műveletek megismerése, és ezek segítségével határérték meghatározása. Végtele geometriai sor megismerése és alkalmazása pézügyi számításokál. Motivációs feladat Most már ismerjük a sorozat határértékéek fogalmát és éháy evezetes határértéket. Ezek ismeretébe próbáljuk meg megadi a határértékét az alábbi sorozatak. a Ha agyo agy a törtek értékei agyo kicsik, tehát a sorozat -höz közeli értékeket vesz fel. Úgy tűik, hogy a határérték a tagok határértékeiek összege. Vajo általába is igaz lehet, hogy koverges sorozatok összegéél a határértékek összeadódak? Elméleti összefoglaló

15 A sejtés valóba igaz. Ha koverges sorozatokkal műveleteket hajtuk végre, akkor a határértékekre az alábbi tételeket modhatjuk ki. Tétel: Ha a A, b B, valamit A és B tetszőleges valós számok, akkor. l im( a b ) A B. l im( a b ) A B. a A l im, ha B 0 b B 4. k a k a, ha a 0 és k=;;... Megjegyzés: Szemléletese úgy fogalmazhatók meg a tételek, hogy ha koverges sorozatokkal műveleteket végzük, akkor a határértékekkel ugyaazokat a műveleteket végezzük el. Ha a számolás elvégezhető (0-val em tuduk osztai), akkor késze vagyuk. Hasoló tételek igazak a tágabb értelembe vett kovergecia eseté is, de bizoyos esetekbe a határérték em adható meg ilye egyszerűe. Tételek: Legye c és d. Ekkor a következő tételek érvéyesek:. ( c d ). ( c d? ). c d 4. c? d. Legye a A és c, akkor ( c a ) A

16 6. Legye a A és c, akkor ( a c ) A 7. ha A 0 Legye A, ekkor Ac 0 ha A 0 ha A 0 8. ha A 0 Legye a A és c, ekkor a c? ha A 0 ha A 0 9. Ha a ha a 0 mide -re 0, akkor a ha a 0 mide -re 0. Ha a valós szám valós szám, ekkor 0 a Gyűjtsük össze azo eseteket, amikor a határértékről semmit em tuduk modai. 0 Ilyeek például rövid jelöléssel a, 0,,,. A kritikus esetekbe a 0 sorozatokat valamilye azoos átalakítással em kritikus típusba visszük át, és ezutá határozzuk meg a határértékeket. Kidolgozott feladatok:. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 8 8 a 6 7 Megoldás: Haszáljuk fel az ismert evezetes határértékeket és határérték tételeket. 8 Mivel, akkor Másrészt mivel 8, ezért feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!. 00

17 Megoldás: Haszáljuk fel, hogy Másrészt mivel, ezért 0. a a a e e e 0 e. feladat: Határozza meg az alábbi határértékét! 0. Megoldás: Alakítsuk ki a evezetes határértékeket, majd alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt! 0. 0 e e e 4. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 4 4 ( 7 ) Megoldás: Egy poliom határértékét kell meghatározi. Keressük meg -ek a legmagasabb fokszámú hatváyát, majd emeljük ki. A kialakított szorzatba téyezőkét olvassuk le a határértékeket és alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt ( 7 ) 7 7 Megjegyzés: Egy poliom határértékét midig -ek a legmagasabb fokszámú kifejezése határozza meg. Ha együtthatója pozitív, akkor a poliom plusz végtelebe tart, ha egatív, akkor míusz végtelebe. Így egy poliom határértéke ráézésre leolvasható.. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 4 Megoldás: Ebbe az esetbe em egy egyszerű poliom határértékét szereték eldötei, haem aak egy gyökös kifejezését. Haszáljuk az előző módszert! A gyökö belül emeljük ki -ek a legmagasabb kitevőjű hatváyát, majd a szorzattá alakítás utá téyezőkét vojuk gyököt! Téyezőkét olvassuk le a határértékeket, és képezzük ezek szorzatát!

18 4 Megjegyzés: Vigyázzuk agyo a külöböző gyökös kifejezésekkel! Ha gyök alatt összeg vagy külöbség áll, em szabad tagokét gyököt voi. Ismeri kell ezekívül a gyökös kifejezések hatváyá való átírását, illetve fordítva. Hol az egyik, hol a másik alak a célravezető. 6. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 4 Megoldás: Először a gyökö belül emeljük ki legmagasabb hatváyát, majd vojuk téyezőkét gyököt! Az első gyökös kifejezést írjuk fel hatváy alakba, majd olvassuk le téyezőkét a határértékeket. Az első téyezőbe hatváykitevője egy pozitív szám, így feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 6 7 Megoldás: Vizsgáljuk meg külö a számláló és a evező határértékét. 6 7 Ez egy kritikus eset, ebből az alakból még em tudjuk leolvasi a határértéket. Mid a számlálóba mid a evezőbe emeljük ki a legmagasabb kitevőjű hatváyait, azaz az -et. Az egyszerűsités utá olvassuk le a számlálóba és a evezőbe a határértékeket, és alkalmazzuk a határérték tételeket: feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 4 7 Megoldás: Vizsgáljuk meg a számláló és a evező határértékét. 47

19 Egy kritikus esetet kell vizsgáli. Most is emeljük ki a számlálóba és a evezőbe is legmagasabb kitevőjű hatváyait, majd az előzőekhez hasolóa próbáljuk meg egyszerűsítei! Most az -es tagok em ejtik ki egymást, egy két téyezős szorzat alakult ki. Téyezőkét olvassuk le a határértékeket feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! ( )() () Megoldás: Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket a számlálóba és a evezőbe is, akkor két poliom háyadosáak határértékét kell meghatározi. ( )( ) ) ( ) (9 6 ) Most már az előzőekhez hasolóa járjuk el Kritikus esetet vizsgáluk, emeljük ki a legmagasabb kitevőjű hatváyát külö a számlálóba, külö a evezőbe, alakítsuk ki két téyezős szorzatot, ha lehet egyszerűsítsük Az első téyező 0-hoz, a második -hez, így a határérték Megjegyzés: Az előző feladatok azoos jellegűek voltak. Olya kifejezések határértékét kerestük, melyekbe poliomot poliommal osztottuk, s a határérték típusa volt. Ilyekor célszerű -ek a legmagasabb kitevőjű hatváyát kiemeli mid a számlálóba, mid a evezőbe, majd egyszerűsítei. Az átalakítás utá már csak olya kifejezések szerepelek, amelyekek külö-külö már ismerjük a határértékét. Végül alkalmazi kell a megfelelő határérték tételeket. 0. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

20 4 7 Megoldás: A tört gyököt tartalmaz. Számlálóba emeljük ki -et, a evezőbe először emeljük ki a gyökö belül -t, majd téyezőkét vojuk gyököt! Az egyszerűsítés utá már tuduk határértéket számoli feladat: Határozza meg az a 4 6 sorozat határértékét! Megoldás: A feladat típusú. Az egyél agyobb alapú expoeciális kifejezésekél a agyobb alapú expoeciálist kell kiemeli. 4 4 (4 6 ) Felhaszálva, hogy 4 4 0, mivel feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 7 4 Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározi, amelybe expoeciális kifejezések vaak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a evező Kritikus esetet kell vizsgáli. Ahhoz, hogy ki tudjuk emeli, hatváyozás azoosságait felhaszálva alakítsuk ki számszorosát, úgy hogy a kitevőbe csak legye Most már kiemelhetjük a számlálóba és evezőbe külö-külö a legagyobb alapú expoeciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsük feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározi, amelybe expoeciális kifejezések vaak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a evező.

21 7 4 8 Kritikus esetet kell vizsgáli. Ahhoz, hogy ki tudjuk emeli, hatváyozás azoosságait felhaszálva érjük el, hogy a kitevőkbe csak legye Most már kiemelhetjük a számlálóba és evezőbe külö-külö a legagyobb alapú expoeciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsük Nem tuduk úgy egyszerűsítei, mit az előző feladatál megtettük. Két téyezős szorzat alakult ki, ahol az első téyező végtelebe tart, mivel az expoeciális kifejezés alapja egy -él agyobb szám. Elméleti összefoglaló Legye a egy tetszőleges valós számsorozat. Ha a sorozat tagjait összeadjuk egy végtele összeget kapuk, amit végtele sorak evezük. Nézzük éháy evezetes sort. Ha a, akkor belőle előállítható sor: harmoikus sor Ha a, akkor belőle előállítható sor: hiperharmoikus sor Defiíció: Az a sorozatot mértai sorozatak evezzük, ha természetes szám és q -t a mértai sorozat kvócieséek evezzük. a a q, ahol Defiíció: Ha a a q egy mértai sorozat, akkor a belőle képezhető sort geometriai sorak (máséve mértai sorak) evezzük. A geometriai sor általáos alakja:

22 ahol 0, a a q a q + a q a q q a 0 Defiíció: Az a a a a4 a a6 tetszőleges végtele sor -edik részletösszegéek evezzük az S a a a a ak összeget. A sorhoz k redelhető részletösszegek egy sorozatot alkotak. Példa: Harmoikus sorra írjuk fel a részletösszegek sorozatáak első tagját. Az első részletösszeg a sor első tagjából áll. A második részletösszeg a sor első két tagjáak az összege. A harmadik részletösszeg a sor első három tagjáak az összege és így tovább. S S =+ S =+ S 4=+ S =+ 4 4 A hiperharmoikus sor 8. részletösszege a sor első 8 tagjáak az összege. S k A geometriai sor. részletösszege a sor első tagjáak az összege. S a a q a q + a q A felírt példák alapjá látszik, hogy ha övekszik, a részletösszegek sorozata a sor egyre több és több tagját tartalmazza. Így, ha a részletösszegek S sorozatáak va határértéke, akkor azt idokolt a sor összegéek tekitei. Defiíció: Ha egy tetszőleges sorál a részletösszegek S sorozatáak va véges határértéke, akkor azt a sor összegéek evezzük. Ilyekor a sort kovegesek modjuk. Ha a részletösszegek sorozatáak ics véges határértéke, akkor a sort divergesek evezzük. Tétel: A harmoikus sor diverges, a hiperharmoikus sor pedig koverges. A geometriai sor egy kivételes esetbe tartozik. A részletösszegek határértéke a q kvócies értékétől függ. S sorozatáak Tétel: A következő alakba: k aq geometriai sor eseté a részletösszegek k S sorozata felírható a S q a q, ahol q. Ha q, akkor S a a a a. Ie látható, hogy S határértékét csak akkor va véges határértéke, ha q. q határértéke döti el. Az utóbbiak tudjuk, hogy

23 k Tétel: A aq geometriai sor koverges, ha q teljesül, ekkor a sor összege: k a S. q Ha q, akkor a geometriai sor diverges. Példa: Egy bakba beteszük T Ft-ot évi 6% kamatlábbal. Kamatos kamattal számolva meyi pézük lesz az első, második, harmadik és. év végé? Az első év végé fog először kamatozi a pézük. A második év végé másodszor, harmadik év végé harmadszor, akkor. év végé alkalommal. T T T T T T T T,06,06,06,06. Jól látható, hogy az. év végé felvehető összeg: adható meg. T T,06 mértai sorozattal Példa: Ha 4 évig mide év elejé beteszük a bakba T összeget, akkor meyi péz lesz a számláko a 4. év végé? Az éves kamatláb legye most is 6%. Valójába az előbbi mértai sorozat első égy tagjáak összegére vagyuk kívácsiak. T,06 + T,06 T,06 T,06 4 Példa: Ha 4 évig mide hóap elejé beteszük a bakba T összeget, akkor meyi péz lesz a számláko a 4. év végé? Az éves kamatláb legye most is 6%. A számoláshoz szükségük va a tőkésítések számára, ami most 4 48 és a havi kamatlábra, ami pedig az éves kamatláb hóapra eső időaráyos része, azaz 6 p havi 0,%. Az első alkalommal befizetett összeget a 48 hóap alatt 48-szor tőkésítik, a második befizetett összeget 47-szer és így tovább. A utolsó összeget csak egyszer tőkésítik. Így egy 48 tagból álló összeget kellee kiszámoli. T,00 T,00 T,00 T, Az összeg valójába egy geometriai sor 48. részletösszege, ahol az első tag at,00 és q, Kidolgozott feladatok , 00,00,00,00,00,00,00 S T T T T T. feladat: Írja fel a k 8 k sor. és. részletösszegét!

24 Megoldás: Egy sor harmadik részletösszeg a sor első három tagjáak, az. pedig az első tagjáak összege. S S k k k k k. feladat: Dötse el, hogy a 8 sor koverges-e! Ha ige, adja meg a sor k összegét! Megoldás: Az előző feladatba már felírtuk a sor első pár tagját. Jól látható, hogy ez egy geometriai sor, amelyek a kvóciese. Ha a geometriai sor kvóciese pedig agyobb, mit, akkor a sor em koverges.. feladat: Dötse el, hogy a sor koverges-e! Ha ige, adja meg a sor összegét! k k Megoldás: Ha észrevesszük, hogy a sor átírható a következő alakba k k k k, akkor azoal látható, hogy ez egy egyszerű geometriai sor. A kovergeciához elegedő megézi a kvóciest. Mivel a q, amire teljesül a feltétel, így a sor koverges. Az összeg számolásához szükségük va még az első tagra. Most a, így az összeg: a S 7, q k 4. feladat: Dötse el, hogy a sor koverges-e! Ha ige adja meg a sor összegét! k Megoldás: Írjuk fel a sor pár tagját: k k 6 Ez egy geometriai sor, a kovergecia eldötéséhez elegedő a kvóciest vizsgáli. Most q, amelyre teljesül, hogy, ezért a sor koverges. Olvassuk le a sor első tagját: a. Most már számolhatjuk az összeget: a S q 7 7 További kidolgozott feladatok

25 . feladat: Vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szempotjából az alábbi sorozatot! Koverges-e a sorozat? Ha ige, akkor adjo küszöbszámot -hoz! 00 a 7 4 Megoldás: Mootoitáshoz vizsgáljuk az -edik és -edik tag külöbségét. Először írjuk fel az -edik elemét a sorozatak. ( ) 4 a 7 4( ) 4 Most már felírható a vizsgáladó külöbség: 4 ( 4)(7 4 ) ( )( 4 ) a a ( 4 )(7 4 ) Végezzük el a számlálóba a kijelölt szorzásokat, majd redezzük a kifejezéseket. 8 ( ) 0 ( 4 ) (7 4 ) ( 4 )(7 4 ) Tehát a sorozat szigorúa mooto ő. Mivel a sorozat szigorúa mooto ő, így a sorozat alsó korlátja a sorozat első tagja, azaz 4. A felső korlát vizsgálata előtt ézzük meg, hogy koverges-e a sorozat. a A sorozat koverges (egy véges szám a határértéke). Szigorúa mooto övekedve közelíti meg -t, azaz a sorozat tagjai kisebbek leszek, mit, így a sorozat felső 4 4 korlátja. 4 Küszöbszám meghatározásához vizsgáli kell, hogy milye -re teljesül az a A egyelőtleség. A határértéket ismerjük, be tuduk helyettesítei Botsuk fel a zárójelet az abszolút értéke belül Hozzuk közös evezőre a törteket.

26 4() (7 4 ) 4(7 4 ) 00 Redezzük a számlálót. 4(7 4 ) 00 Vizsgáljuk meg az abszolút értéke belül lévő tört előjelét. A számláló midig pozitív, a evező midig egatív, ha > természetes szám. Ha a törtet szorozzuk--gyel, akkor az abszolút érték elhagyható. Baloldalo a egatív előjelet vigyük a számlálóba. 4(7 4 ) 00 4(7 4 ) 00 Oldjuk meg a kapott egyelőtleséget. Ügyeljük arra, hogy mivel 7 4 mide > eseté egatív, az átalakításál az egyelőtleség iráya megváltozik (7 4 ) , 7 8 Tehát a keresett küszöbszám 6, ha. Ez a szám azt jeleti, hogy ha a sorozat 00 valamely tagjáak az idexe agyobb eél a számál, akkor ezek az elemek él kisebb eltéréssel közelítik a határértéket, azaz a -t feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! lm i Megoldás: Az előző feladatok alapjá, ha gyökös kifejezés alatt poliom szerepel, akkor először a gyökö belül emeljük ki legmagasabb kitevőjű hatváyát Majd téyezőkét vojuk gyököt. A evezőt is alakítsuk a szokásos módo Az első gyökös kifejezést írjuk fel törtkitevős hatváy alakjába, majd végezzük el az osztást.

27 Az első téyezőbe hatváykitevője egy pozitív szám, így a keresett határérték.. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! ( )( ) (4 ) Megoldás: Ha elvégezzük a számlálóba és a evezőbe is a kijelölt műveleteket, akkor két poliom háyadosát kapjuk. 4 4 ( )( ) 4 (4 ) (6 40 ) 6 40 Emeljük ki legmagasabb kitevőjű hatváyát a számlálóba és a evezőbe is Olvassuk le téyezőkét a határértékeket feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 7 Megoldás: A határérték típusa. A gyökök miatt most em olya köyű egyszerűsítei, mit az előző feladatokba, célszerű előbb a számlálóba és a evezőbe is a gyök alatt egy kiemelést végrehajtai. A számlálóba a gyök alatt emeljük ki -et, a evezőbe (szité a gyök alatt) pedig -et, majd téyezőkét vojuk gyököt! A kifejezés két tört szorzatára botható, melyekek külö-külö vizsgálhatjuk a határértékét.

28 A második tört határértéke egy em 0 véges érték, hisze a számláló -hoz, a evező pedig -hez tart. A tört határértéke tehát. Az első törtbe a gyököket célszerű ikább hatváy alakra átíri, ekkor az osztást el is tudjuk végezi, s csak egyetle hatváyt kapuk Most már a szorzat téyezőiek ismerjük a határértékét, amit felhaszálva fejezzük be a feladatot.. = feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! 4 7 a 9 Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározi, amibe expoeciális kifejezések vaak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a evező! Egy kritikus esetet kell eldötei. A hatváyozás azoosságait felhaszálva alakítsuk át az expoeciális kifejezéseket a számlálóba és a evezőbe is (4 ) ( ) 98 Most már emeljük ki a számlálóba és a evezőbe is a legagyobb alapú expoeciális kifejezést! Kéttéyezős szorzatot kaptuk. Nézzük meg téyezőkét a határértékeket

29 . feladat: 8 éve keresztül mide év elejé beteszek a bakba Ft-ot. A 8. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, ha az éves kamatláb 4%? Megoldás: Írjuk fel a 8 tagból álló összeget! Haszáljuk fel, hogy az először befizetett összeget a 8 év alatt 8-szor tőkésítik, a második befizetett összeget már csak 7-szer, a 8. év elejé befizetett összeget pedig csak egyszer , , , , ,04 Vegyük észre, hogy egy geometriai sor 8. részletösszegét kell kiszámoli, ahol a ,04 és q,04, így a felvehető összeg: 8, , , 06Ft,04 6. feladat: Egy kis vállalkozás jauári yeresége Ft volt. A körülméyek úgy alakultak, hogy az év hátralévő részébe, mide hóapba a yereség az előző hóaphoz képest %-kal csökket. Meyi volt a teljes éves yereség? Megoldás: A jauári yereség Ft. Februárba már csak eek a 9%-a, azaz ,9 Ft míg márciusba már csak ,9 Ft, és így tovább. Decemberbe már csak ,9 Ft. A teljes éves yereség ezek szerit: , , , ,9 egy geometriai sor. részletösszegét kell számoli. a és q 0,9. A yereség: 0, ,Ft 0,9