Analízis I. gyakorlat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis I. gyakorlat"

Átírás

1 Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4.

2 Tartalomjegyzék Előszó Sorozatok és sorok Számsorozatok Feladatok Számsorok Feladatok Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Feladatok Függvéysorok Feladatok Hatváysorok Hatváysorok kovergeciája Feladatok Taylor-sorok, Taylor-poliomok Feladatok Taylor-poliomok általi közelítés Feladatok Előszó A gyakorlati jegyzet a Szécheyi Istvá Egyetem mesterszakos mérökhallgatói számára, az Aalízis I. tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatoko keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és a vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példáya letölthető a oldalról, vagy a ~emetha/ oldal oktatás meüpotja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejeletését a vagy a címre várjuk. A kidolgozásra került feladatok jeletős része Dr. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszöet értük. Sorozatok és sorok Számsorozatok Defiíciók: Az a valós sorozat korlátos, ha található olya K R korlát, hogy a < K mide N idex eseté. Az a valós sorozat mooto övő ill. csökkeő, ha a a + ill. a a + mide N idex eseté. A sorozat szigorúa mooto, ha az állítás szigorú egyelőtleséggel is teljesül. Az a valós számsorozat koverges és határértéke a R, ha bármely ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a a < ɛ. Jelölése lim a = a. Egyébkét a sorozatot divergesek evezzük. Az a valós sorozat határértéke + ill., ha mide K R számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a > K ill. a < K. Jelölése lim a = ±. Az a valós sorozat Cauchy-sorozat, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy a a m < ɛ mide, m > N idex eseté. Határérték tulajdoságai: Sorozat határértéke em függ az első éháy elemétől.

3 Valós számsorozat potosa akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. Mooto és korlátos sorozat midig koverges. Mooto sorozatak midig va határértéke. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a + b ) = a + b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a b ) = a b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b 0, akkor lim Ha a sorozat koverges, lim a = a és c R, akkor lim c a = c a. a b ) = a b. Ha a sorozat koverges, lim a = a és f : R R folytoos x = a-ba, akkor lim fa ) = fa). Ha a pozitív sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0 és 0 b a mide N idexre, akkor b is ullsorozat, azaz lim b = 0 redőr-elv). Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = lim b = a és a c b mide N idexre, akkor a c sorozat is koverges és lim c = a redőr-elv). Ha a sorozat diverges és lim a = +, valamit a b mide N idexre, akkor b is diverges, és lim b = +. Nevezetes határértékek: + ha α > 0 lim α = ha α = 0 0 ha α < 0 lim α = + ha α > ha α = 0 ha α < diverges ha α lim α = α > 0) lim = lim! = + + ha α > α lim = 0 ha α k diverges ha α < α lim! = 0 lim! = + lim lim ) + k = e k + k r ) r = e k ameyibe r +

4 Feladatok a.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + sorozatak? a = + ) + + ) = Mide N-re 0 < a < 0 így redőr-elv értelmébe a koverges és a 0. b.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 4 + ) sorozatak? a = 4 + ) ) = = c.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = +3 ) sorozatak? a = + 4 ) ) = + 4 ) 8 4 e 8 d.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = ) sorozatak? a = ) Ahol ) e, ezért létezik N N küszöbidex, hogy mide > N idexre ) > e. Ekkor mide > N-re > a > e, így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. e.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + 3 sorozatak? a = + 3 < = = mide > idexre. Ugyaakkor a > mide N idexre így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. f.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 3+ + ) 9 sorozatak? a = 9 + ) 9 9 = 9 9 Számsorok Defiíciók: Legye a egy valós számsorozat. Az a + a + + a + = a végtele összeget végtele számsorak, az a, a,... számokat pedig a sor tagjaiak evezzük. Az s k = k a kifejezés a sor k-adik részletösszege. 3

5 Az a tagokból álló sorozatot kovergesek evezzük, ha az s k = k a részletösszegek által alkotott sorozat koverges, külöbe a sort divergesek modjuk. A lim k s k = s határértéket a sor összegéek evezzük. Az a tagokból álló sorozatot összege ±, ha az s k = határértéke lim k s k = ±. Sorösszeg tulajdoságai: Sor kovergeciája em függ az első éháy tagjától. k a részletösszegek által alkotott sorozat Ha az a sor koverges, akkor a a sor is koverges. Legye a egy koverges valós számsor és legye a = A, legye továbbá c R. Ekkor a ca sor is koverges és ca = ca Legyeek a és b koverges valós számsorok, továbbá jelölje sorösszegüket b = B. Ekkor a a + b ) sor is koverges és a + b ) = A + B Kovergeciakritériumok: a = A és Cauchy-féle kovergeciakritérium. A a végtele sor potosa akkor koverges, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N és m > 0 egész eseté +m a k < ɛ. k= Kovergecia szükséges feltétele. Ha a a végtele sor koverges, akkor az a sorozat koverges és lim a = 0. Összehasolító kritériumok. Legyeek a és b emegatív tagú sorok és N N küszöbidex olya, hogy a b mide > N idexre. Ekkor ha a a sor diverges, akkor a b 0 sor is diverges miorás-kritérium) ha a b sor koverges, akkor a a 0 sor is koverges majorás-kritérium). Leibiz-kritérium. Legye a 0 mide N idexre, legye a mooto csökkeő és legye lim a = 0. Ekkor a ) a alteráló sor koverges. Gyökkritérium. Tegyük fel, hogy lim a = ρ. Ekkor ha ρ < ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. 4

6 Háyadoskritérium. Tegyük fel, hogy lim a+ a ρ < = ρ. Ekkor ha ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. Itegrálkritérium. Legye a > 0 és legye f : [, ) R + mooto csökkeő folytoos függvéy, melyre f) = a mide N-re. Ekkor a a sor potosa akkor koverges, ha az fx) dx improprius itegrál koverges és véges. Nevezetes sorok: Mértai sor Expoeciális sor Hiperharmoikus sor q k q q ha q < = ha q diverges ha q =k = q! = eq { α = koverges ha α > diverges ha α Feladatok a.) Koverges-e a! végtele sor? Diverges, mert a! sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. b.) Koverges-e a = Diverges, mert a + l c.) Koverges-e a + l végtele sor? sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. + végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot sor is koverges. d.) Koverges-e a végtele sor? mide N-re, és a Alkalmazzuk a majorás kritériumot = 6 mide idexre, és a ezért a sor is koverges. sor koverges, ezért a sor koverges, 6 5

7 e.) Koverges-e a +8 végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. +8 = 0 mide 8 idexre, és a ezért a +8 f.) Koverges-e a sor is diverges végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot ezért a g.) Koverges-e a sor is diverges. cos végtele sor? = 3 = 0 mide 3 idexre, és a 3 = sor diverges, sor diverges, Diverges, mert a cos sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. h.) Koverges-e a = cos végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot az koverges, így a = i.) Koverges-e a cos cos = sor is koverges. + végtele sor? sorra. 0 cos Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + mide -re, az + sor is diverges. j.) Koverges-e a Diverges, mert lim em teljesül. k.) Koverges-e a mide -re és a = végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = sor sor diverges, ezért a = lim 6) ) = +, a sor kovergeciájáak szükséges feltétele végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Koverges, mert két koverges mértai sor összege ) = 3 4 l.) Koverges-e a = +) Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +) = s k = 9 ) = 35 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? k = = ) +), ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat + ) = + 4 k + ) k + )

8 m.) Koverges-e a 0.) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert 0. <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 0.) = 0.) = 0..) Koverges-e a ) e végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: e ) e = e ) e ) = e e +. = o.) Koverges-e a ) si π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert si π <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 si π ) = 3 si π 3 = 3. p.) Koverges-e a ) cos π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert cos π 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: cos π ) cos π = 3 3 cos π =. 3 = q.) Koverges-e a + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 3 A mértai sor koverges, mert 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: + 3 = ) 6 = 6 3 = 8. 3 = r.) Koverges-e a 3 ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 5 = A sor két koverges mértai sor összege, mert 5, 5 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 ) + 5 = 3 ) 4 + = 5) 3 ) ) + 5) 5 ) 4 = s.) Koverges-e a = = = l ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel l ) + = l+) l, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat ) + s k = l = lk + ), vagyis a sor diverges. = 7

9 t.) Koverges-e a végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel + + = + sorozat k + + k s k = + = vagyis a sor koverges és összege u.) Koverges-e a = Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel által alkotott sorozat + = =. + +, ezért a sor részösszegei által alkotott k + k+, +) ++ ) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? s k = k = vagyis a sor koverges és összege. v.) Koverges-e a = +)+) = + = +) ++ ) +) +, ezért a sor részösszegei =, + ) + + ) k + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +)+) = + + +, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat k s k = + ) + ) = k + + ) k + 4, = vagyis a sor koverges és összege 4. w.) Koverges-e a = + végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + 0 mide -re, az + sor is diverges. x.) Koverges-e a = Diverges, mert a 3 3 y.) Koverges-e a 3 3 végtele sor? = sor diverges, ezért a sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim a+ a = lim 3 + +)! 3! Másképpe, a sor koverges, mert expoeciális sor, összege z.) Koverges-e a 3 4) végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim = lim 3! = e = 0 <, így a sor koverges. 3 4 = 3 4 <, így a sor koverges. 8

10 aa.) Koverges-e a ) l végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim l = 0, így a sor koverges. ab.) Koverges-e a ) 3 végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim = 0, így a sor koverges. 3 ac.) Koverges-e a!) végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +) + = 0 <, így a sor koverges. ad.) Koverges-e a + a+ a végtele sor? = lim +)!) +)!) = lim Diverges, mert a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. ae.) Koverges-e a +)+)! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +3 +) = 0 <, így a sor kover- ges. af.) Koverges-e a = 5 +3 a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ag.) Koverges-e a = 3 l 3) végtele sor? = lim Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ah.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim ai.) Koverges-e a! a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim, így a sor koverges. aj.) Koverges-e a = cos a+ a végtele sor? = lim +)+3) +)! +)+)! = lim = 0 <, így a sor koverges. ) 3 l 3 = l 3 <, így a sor koverges. = lim +) 3 +)! 3! +)! +) +! = lim +) 3 = lim = 0 <, így a sor koverges. +) = lim Alkalmazzuk a miorás kritériumot. cos 0 mide -re, a sor is diverges. cos 9 = +) + = e < + sor diverges, ezért a

11 ak.) Koverges-e a Diverges, mert e + e + ) végtele sor? ) = e +) + +, vagyis a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. al.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim + ) = e 3 <, így a sor koverges. am.) Koverges-e a!) )! Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. koverges. a+ a végtele sor? lim a+ = lim a = lim +) )! 3! +)!) +)!!) )! = lim = lim 3 +) +)+) = 4 <, így a sor Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Legye f 0, f, f,..., f,... : R R függvéysorozat. A függvéysorozat kovergeciahalmaza az a legbővebb H R halmaz, amelye mide függvéy értelmezett H D f mide N idexre), és mide x H-ra az f x) számsorozat koverges. A függvéysorozat határértéke az az f : H R függvéy, melyre fx) = lim f x) mide x H-ra. A kovergeciahalmaz és a limesz megállapítása a külöböző x R értékekhez tartozó f x) számsorozatok vizsgálatával törtéik. Feladatok a.) Határozzuk meg az f : x R + 0 3x + x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! { ha x > 0 lim 3x = 0 ha x = 0 lim x) = + ha x > ha x = 0 ha x < A kovergeciahalmaz a [0, ] itervalum. A limeszfüggvéy: ha x = fx) = ha 0 < x < 0 ha x = 0. b.) Határozzuk meg az f : x e x 3) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < e x 3) x 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ] itervalum. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha x < 3. 0

12 c.) d.) Határozzuk meg az f : x x ) ) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x ) 0 x, x. A kovergeciahalmaz a [0, ] \ {}. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 vagy x = fx) = 0 ha 0 < x < és x. Határozzuk meg az f : x ) x 3 4 függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < x 7. A kovergeciahalmaz a, 7] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 7 fx) = 0 ha < x < 7. e.) Határozzuk meg az f : x R + 0 +x f.) Az f x) sorozat mide x R + -ra ullsorozat. A kovergeciahalmaz a [0, ) itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 fx) = 0 ha 0 < x. függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Határozzuk meg az f : x π, π ) tg x függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x π, π )-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = π fx) = 4 0 ha π 4 < x < π. 4 g.) Határozzuk meg az f : x R \ {0} 3 x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R \ {0}-ra egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < 3 x 3 x vagy x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3) [3, ) halmaz. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha 3 < x. Függvéysorok A f függvéysor kovergeciahalmaza a k f részletösszegek alkotta függvéysorozat kovergeciahalmaza, és a sor összegfüggvéye a részletösszegek alkotta sorozat limesze. A kovergeciahalmaz és az összegfüggvéy meghatározásakor a f x) számsorozatra alkalmazhatjuk a sorok kovergeciakritériumait.

13 Feladatok a.) Határozzuk meg a ) 3x + x) függvéysor x 0) kovergeciahalmazát és összegét! Ha x > 0, akkor a 3x + x) sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. Ha x = 0, akkor a sort kapjuk, ami koverges. A kovergeciahalmaz a {0} halmaz. Az összegfüggvéy az f0) = 0 függvéy. b.) Határozzuk meg a e x 3) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A e x 3) sor mide x R-re egy mértai sor. A sor kovergeciájáak feltétele: < e x 3 < x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ) itervalum. Az összegfüggvéy: fx) = e x 3. c.) Határozzuk meg az x ) ) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A x ) ) sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x ) < 0 < x <, x. A kovergeciahalmaz a 0, ) \ {}. Az összegfüggvéy: d.) Határozzuk meg az A fx) = x ) ) = 4x x. x 3 ) 4 függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! x 3 ) 4 sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < < x < 7. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Az összegfüggvéy: e.) Határozzuk meg az fx) = ) x 3 = 4 7 x. 4 +x függvéysor x R+ 0 ) kovergeciahalmazát és összegét! Az x = 0 potba a sor diverges, mert a tagjai által alkotott sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. x R + eseté alkalmazzuk a miorás kritériumot. +x x 0 mide x R + -re és x-re, és az x sor diverges mide x R+ -re, így a +x függvéysor is diverges mide x R + -re. = A sor tehát diverges, a kovergeciahalmaz az. f.) Határozzuk meg az tg x függvéysor x π, π )) kovergeciahalmazát és összegét!

14 A tg x sor mide x π, π )-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x < π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ) itervallum. Az összegfüggvéy: g.) Határozzuk meg az A 3. fx) = tg x = cos x cos x si x. 3 ) x függvéysor x R \ {0}) kovergeciahalmazát és összegét! 3 ) x sor mide x R\{0}-ra egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < 3 x < 3 < x vagy x < A kovergeciahalmaz a, 3) 3, ) halmaz. Az összegfüggvéy: fx) = 3 x = x x 3. Hatváysorok Legye a valós sorozat, legye továbbá a R. A a x a) függvéysor eve a közepű hatváysor, az a számok a hatváysor együtthatói. Nevezetes hatváysorok: Expoeciális függvéy 0 közepű hatváysora: A sziusz függvéy 0 közepű hatváysora: si x = A kosziusz függvéy 0 közepű hatváysora: e x = cos x =! x ) )! x ) )! x. Mértai sor: x = x + x = ) x Midhárom hatváysor koverges a valós számok halmazá. 3

15 Hatváysorok kovergeciája Mide hatváysorhoz található egy r [0, ) valós, a hatváysor kovergeciasugara. A hatváysor koverges az {x : x a < r} halmazo és diverges diverges az {x : x a > r} halmazo. Az x = a r és x = a + r potokba külö meg kell vizsgáli a kovergeciát. Tegyük fel, hogy az a sorozatak va határértéke. Ekkor a kovergeciasugár az r = lim a = lim a képlettel Cauchy Hadamard-formula) számítható, ami a gyökkritérium következméye. A képletet a 0-tól külöböző együtthatókra kell alkalmazi, ha az a együtthatók között végtele sok 0 található. Hasolóa ha az sorozatak va határértéke, akkor a kovergeciasugár az a+ a r = lim a+ a = lim alteratív képlettel számítható, ami a háyadoskritérium következméye. Midkét képletet az 0 =, = 0 módo értelmezzük. Feladatok a.) Határozzuk meg a = Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x Az x = a r = potba a a a + hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [, ) itervallum. b.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = lim ) 3 =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a 3 sor diverges, mert tagjai em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. c.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. = 4

16 d.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a függvéysorokra voatkozó hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x! = e y y=x = e x ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. e.) Határozzuk meg a x )! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x )! +)+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. f.) Határozzuk meg a = x 5 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 5 potba a hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim 5 = 5. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = 5 potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [ 5, 5) itervallum. g.) Határozzuk meg a = x ) Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 0 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim ) =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a [0, ] itervallum. = = 5

17 h.) Határozzuk meg a 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a ) sor, valamit az x = a + r = 3 potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3 ) itervallum. i.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara ) x 3 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a sor, valamit az x = a + r = 3 potba a ) sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3) itervallum. j.) Határozzuk meg a x 3 3)! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 3 a 3 = lim 3 3)! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim 3+) 3+3)! x 3 = lim x 3 3)! 3+3)3+)3+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. k.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara x 3)! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x 3) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x 3) = lim x 3! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x 3) = e y! y=x 3 = e x 3 amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. 6

18 l.) Határozzuk meg a = ) + x 6) 3 Az a = 6 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 3 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a 3, 9] itervallum. m.) Határozzuk meg a = x + Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = 9 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! + a + = lim + = lim ) + =. = ) + hiperharmoikus sor, valamit az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor divergesek. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum..) Határozzuk meg a ) x ) )! Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! = lim )!) =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x ) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x ) = lim x ) +)+) = 0 < mide x R-re, )! így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, ) x ) = cos y )! y=x = cosx ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. o.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a sor diverges. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. p.) Határozzuk meg a = x) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 7

19 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim =. Az x = a r = potba a = Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a, ] itervallum. q.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = potba a x 3 ) 4 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 4 = 4. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = 7 potba a sorok divergesek, = mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Másképpe, a mértai sor koverges akkor, ha x 3 4 < x, 7), így a kovergeciahalmaz a, 7) itervallum, a kovergeciasugár pedig 4. A sor összege r.) Határozzuk meg a ) x 3 = 4 y x) +)+3) Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a kovergesek, mert +)+3) < [, ] itervallum. y= x 3 4 = 4 7 x. = = ) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim + ) + 3) =. +)+3) sor, valamit az x = a+r = potba a és a ) +)+3) sorok hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a Taylor-sorok, Taylor-poliomok Legye f : R R sima függvéy a c R pot egy köryezetébe. Ekkor a f ) a) x a)! hatváysort az f függvéy a körüli Taylor-soráak evezzük. A 0 körüli Taylor-sor eve MacLauri-sor. Függvéyt a gyakorlatba potosabba a gyakorlato :-) ) előforduló példákba a kovergeciahalmazo előállítja a Taylor-sora. Ha a Taylor-sorak csak az első pár elemét tartjuk meg, akkor az f függvéy T x) = -edredű a körüli Taylor-poliomját kapjuk. k=0 f k) a) x a) k k! 8

20 Feladatok a.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x f0) = 0 f x) = cos x f 0) = f x) = 4 si x f 0) = 0 f x) = 8 cos x f 0) = 8 f x) = 6 si x f 0) = 0 T 4 x) = x 4 3 x3 b.) c.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli harmadredű Taylor-poliomját! fx) = si 4x f0) = 0 f x) = 4 cos 4x f 0) = 4 f x) = 6 si 4x f 0) = 0 f x) = 64 cos 4x T 4 x) = 4x 3 3 x3 f 0) = 64 Számítsuk ki az fx) = e cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e cos x f0) = e f x) = si x e cos x f 0) = 0 f x) = cos x + si x) e cos x f 0) = e f x) = si x + 3 si x cos x si 3 x) e cos x f 0) = 0 f x) = si 4 x + cos x + 3 cos x 4 si x 6 si x cos x) e cos x f 0) = 4e T 4 x) = e e x + e 6 x4 d.) Számítsuk ki az fx) = e si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e si x f0) = f x) = cos x e si x f 0) = f x) = si x + cos x) e si x f 0) = f x) = cos x 3 si x cos x + cos 3 x) e si x f 0) = 0 f x) = cos 4 x + si x + 3 si x 4 cos x 6 si x cos x) e si x f 0) = 3 T 4 x) = + x + x 8 x4 e.) Számítsuk ki az fx) = l + x ) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! f x) = x + x = x y = x ) x = ) x + y= x l + x ) = fx) = f ) ) x) dx = C + + x+ = x = T 4 x) = x x4 9

21 f.) Számítsuk ki az fx) = e x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e x) = e y y=x =! x T 4 x) = + x + x4 g.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = ) + )! x)+ = 4) + )! x+ T 4 x) = x 4 3 x3 h.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = T 4 x) = x ) + )! x4+ i.) Számítsuk ki az fx) = x l + x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! l + x)) = + x = y l + x) = x l + x) = + x dx = C + + x dx = = ) x y= x ) + x+ = ) + x+ ) + x+ T 4 x) = x x3 + 3 x4 j.) Számítsuk ki az fx) = xe x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = x e y ) y= x = x x ) =!! x + T 4 x) = x x + x3 6 x4 0

22 Taylor-poliomok általi közelítés Legye a R rögzített, x R olya, hogy az f : R R függvéy + )-szer differeciálható az [a, x] itervallumo. Mide ilye x R-hez található olya ξ [a, x], hogy fx) = f ) a) x a) + f +) ξ)! + )! x a)+ = T,ax) f + f +) ξ) x a)+ + )! k=0 Taylor-formula Lagrage-maradéktaggal). Az fx) T f,ax) közelítés hibájára az alábbi becslés adható: fx) T,ax) f max ξ [a,x] f +) ξ) x a +. + )! Feladatok a.) Számítsuk ki az e 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! e x =! x T 4 x) = + x + x + 6 x3 + 4 x4 T 4 0.) = e 0. = e x T 4 x) max ξ [0,x] e ξ x 5 = 5! e 0. T 4 0.) e0. 5! 0.5 < { e x 5! x 5 ha x 0 5! x 5 külöbe b.) Számítsuk ki a cos 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! cos x = ) )! x T 4 x) = x + 4 x4 T 4 0.) = cos 0. = cos x T 4 x) max ξ [0,x] siξ) x 5 = 5! cos 0. T 4 0.) si < ! { si x 5! x 5 ha x [ π, π ] 5! x 5 külöbe A Taylor-sorba em jeleik meg x 5 -es tag, ezért jobb becslés is adható a hibára: cos x T 5 x) max ξ [0,x] cosξ) x 6 = 6! 6! x 6 cos 0. T 5 0.) 6! 0.6 <.4 0 9

23 c.) Számítsuk ki a si 5 közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! si x = ) + )! x+ T 4 x) = x 6 x3 π ) T 4 = π si = ) si x T 4 x) max ξ [0,x] cosξ) x 5 = 5! 5! x 5 π π ) π ) 5 si T 4 < ) 36 5! 36 d.) Számítsuk ki a tg 5 közelítő értékét a függvéy másodredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! tg x) = cos x) tg x) = six) cos 3 x) tg x) = cos x) + 6 si x) cos 4 x) tg0) = 0 tg 0) = tg 0) = 0 T x) = x π ) T = π tg = ) 6 4 cos max ξ) ξ [0,x] cos tgx) T x) 4 ξ) x 3 = 3 cos x) 3! 3 cos 4 x 3 ha x < π x) ) π π ) 3 cos tg T 36) ) π 36 π ) cos ) 4 π < e.) Számítsuk ki az l 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát!

24 l x) x=0 = 0 l x)) = x) l x)) x=0 = l x)) =! x) l x)) x=0 =! l x)) =! x) 3 l x)) x=0 =! l x)) = 3! x) 4 l x)) x=0 = 3! l x)) = 4! x) 5 T 4 x) = x x 3 x3 4 x4 T 4 0.) = l0.9) = ! max ξ [0,x] 5 ξ) l x) T 4 x) 5 x 5 x = 5 x) ha x 0 5! 5 x 5 külöbe l0.9) T 4 0.) < f.) Számítsuk ki az l.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! l + x) x=0 = 0 l + x)) = l + x)) + x) x=0 = l + x)) =! + x) l + x)) x=0 =! l + x)) =! + x) 3 l + x)) x=0 =! l + x)) = 3! + x) 4 T 3 x) = x x + 3 x3 T 3 0.0) = l.0) = ! max ξ [0,x] +ξ) l + x) T 3 x) 4 x 4 4 = x4 ha x 0 4 4! x 4 +x) külöbe l.0) T 3 0.0) = g.) Számítsuk ki a.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 3

25 + x x=0 = + x) = + x) + x) x=0 = + x) = 4 + x) 3 + x) x=0 = 4 + x) = x) 5 + x) x=0 = x) = x) 7 T 3 x) = + x 8 x + 6 x3 T 3 0.0) = = max ξ [0,x] 6 + ξ) 7 + x T 3 x) x 4 = 4!.0 T 3 0.0) < { 5 8 x4 ha x x4 + x) 7 külöbe h.) Számítsuk ki a 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! x x=0 = x) = x) x) x=0 = x) = 4 x) 3 x) x=0 = 4 x) = 3 8 x) 5 x) x=0 = 3 8 x) = 5 6 x) 7 x) x=0 = 5 6 x) = 05 3 x) 9 T 4 x) = x 8 x 6 x3 5 8 x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] 3 ξ) 9 x T 4 x) x 5 = 5! 0.9 T 4 0.) < { 7 56 x5 x) 9 ha x x 5 külöbe i.) 0.9 Számítsuk ki a közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 4

26 ) x) = x) x) x) x) x) 3 ) 3 = 4 x) 5 ) 5 = 8 x) 7 ) 05 = 6 x) 9 ) 945 = x) 3 x) = x=0 ) x) = x=0 ) x) = 3 x=0 4 ) x) x) ) x=0 = 5 8 x=0 = 05 6 T 4 x) = + x x x x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] T 4 x) x ξ) x 5 = 5! T 4 0.) < { x5 x) ha x x 5 külöbe 5

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6. Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)

Részletesebben

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához

Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematika A2 tételek

Matematika A2 tételek Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben