Analízis I. gyakorlat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis I. gyakorlat"

Átírás

1 Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4.

2 Tartalomjegyzék Előszó Sorozatok és sorok Számsorozatok Feladatok Számsorok Feladatok Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Feladatok Függvéysorok Feladatok Hatváysorok Hatváysorok kovergeciája Feladatok Taylor-sorok, Taylor-poliomok Feladatok Taylor-poliomok általi közelítés Feladatok Előszó A gyakorlati jegyzet a Szécheyi Istvá Egyetem mesterszakos mérökhallgatói számára, az Aalízis I. tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatoko keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és a vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példáya letölthető a oldalról, vagy a ~emetha/ oldal oktatás meüpotja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejeletését a vagy a címre várjuk. A kidolgozásra került feladatok jeletős része Dr. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszöet értük. Sorozatok és sorok Számsorozatok Defiíciók: Az a valós sorozat korlátos, ha található olya K R korlát, hogy a < K mide N idex eseté. Az a valós sorozat mooto övő ill. csökkeő, ha a a + ill. a a + mide N idex eseté. A sorozat szigorúa mooto, ha az állítás szigorú egyelőtleséggel is teljesül. Az a valós számsorozat koverges és határértéke a R, ha bármely ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a a < ɛ. Jelölése lim a = a. Egyébkét a sorozatot divergesek evezzük. Az a valós sorozat határértéke + ill., ha mide K R számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a > K ill. a < K. Jelölése lim a = ±. Az a valós sorozat Cauchy-sorozat, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy a a m < ɛ mide, m > N idex eseté. Határérték tulajdoságai: Sorozat határértéke em függ az első éháy elemétől.

3 Valós számsorozat potosa akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. Mooto és korlátos sorozat midig koverges. Mooto sorozatak midig va határértéke. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a + b ) = a + b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a b ) = a b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b 0, akkor lim Ha a sorozat koverges, lim a = a és c R, akkor lim c a = c a. a b ) = a b. Ha a sorozat koverges, lim a = a és f : R R folytoos x = a-ba, akkor lim fa ) = fa). Ha a pozitív sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0 és 0 b a mide N idexre, akkor b is ullsorozat, azaz lim b = 0 redőr-elv). Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = lim b = a és a c b mide N idexre, akkor a c sorozat is koverges és lim c = a redőr-elv). Ha a sorozat diverges és lim a = +, valamit a b mide N idexre, akkor b is diverges, és lim b = +. Nevezetes határértékek: + ha α > 0 lim α = ha α = 0 0 ha α < 0 lim α = + ha α > ha α = 0 ha α < diverges ha α lim α = α > 0) lim = lim! = + + ha α > α lim = 0 ha α k diverges ha α < α lim! = 0 lim! = + lim lim ) + k = e k + k r ) r = e k ameyibe r +

4 Feladatok a.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + sorozatak? a = + ) + + ) = Mide N-re 0 < a < 0 így redőr-elv értelmébe a koverges és a 0. b.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 4 + ) sorozatak? a = 4 + ) ) = = c.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = +3 ) sorozatak? a = + 4 ) ) = + 4 ) 8 4 e 8 d.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = ) sorozatak? a = ) Ahol ) e, ezért létezik N N küszöbidex, hogy mide > N idexre ) > e. Ekkor mide > N-re > a > e, így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. e.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + 3 sorozatak? a = + 3 < = = mide > idexre. Ugyaakkor a > mide N idexre így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. f.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 3+ + ) 9 sorozatak? a = 9 + ) 9 9 = 9 9 Számsorok Defiíciók: Legye a egy valós számsorozat. Az a + a + + a + = a végtele összeget végtele számsorak, az a, a,... számokat pedig a sor tagjaiak evezzük. Az s k = k a kifejezés a sor k-adik részletösszege. 3

5 Az a tagokból álló sorozatot kovergesek evezzük, ha az s k = k a részletösszegek által alkotott sorozat koverges, külöbe a sort divergesek modjuk. A lim k s k = s határértéket a sor összegéek evezzük. Az a tagokból álló sorozatot összege ±, ha az s k = határértéke lim k s k = ±. Sorösszeg tulajdoságai: Sor kovergeciája em függ az első éháy tagjától. k a részletösszegek által alkotott sorozat Ha az a sor koverges, akkor a a sor is koverges. Legye a egy koverges valós számsor és legye a = A, legye továbbá c R. Ekkor a ca sor is koverges és ca = ca Legyeek a és b koverges valós számsorok, továbbá jelölje sorösszegüket b = B. Ekkor a a + b ) sor is koverges és a + b ) = A + B Kovergeciakritériumok: a = A és Cauchy-féle kovergeciakritérium. A a végtele sor potosa akkor koverges, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N és m > 0 egész eseté +m a k < ɛ. k= Kovergecia szükséges feltétele. Ha a a végtele sor koverges, akkor az a sorozat koverges és lim a = 0. Összehasolító kritériumok. Legyeek a és b emegatív tagú sorok és N N küszöbidex olya, hogy a b mide > N idexre. Ekkor ha a a sor diverges, akkor a b 0 sor is diverges miorás-kritérium) ha a b sor koverges, akkor a a 0 sor is koverges majorás-kritérium). Leibiz-kritérium. Legye a 0 mide N idexre, legye a mooto csökkeő és legye lim a = 0. Ekkor a ) a alteráló sor koverges. Gyökkritérium. Tegyük fel, hogy lim a = ρ. Ekkor ha ρ < ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. 4

6 Háyadoskritérium. Tegyük fel, hogy lim a+ a ρ < = ρ. Ekkor ha ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. Itegrálkritérium. Legye a > 0 és legye f : [, ) R + mooto csökkeő folytoos függvéy, melyre f) = a mide N-re. Ekkor a a sor potosa akkor koverges, ha az fx) dx improprius itegrál koverges és véges. Nevezetes sorok: Mértai sor Expoeciális sor Hiperharmoikus sor q k q q ha q < = ha q diverges ha q =k = q! = eq { α = koverges ha α > diverges ha α Feladatok a.) Koverges-e a! végtele sor? Diverges, mert a! sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. b.) Koverges-e a = Diverges, mert a + l c.) Koverges-e a + l végtele sor? sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. + végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot sor is koverges. d.) Koverges-e a végtele sor? mide N-re, és a Alkalmazzuk a majorás kritériumot = 6 mide idexre, és a ezért a sor is koverges. sor koverges, ezért a sor koverges, 6 5

7 e.) Koverges-e a +8 végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. +8 = 0 mide 8 idexre, és a ezért a +8 f.) Koverges-e a sor is diverges végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot ezért a g.) Koverges-e a sor is diverges. cos végtele sor? = 3 = 0 mide 3 idexre, és a 3 = sor diverges, sor diverges, Diverges, mert a cos sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. h.) Koverges-e a = cos végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot az koverges, így a = i.) Koverges-e a cos cos = sor is koverges. + végtele sor? sorra. 0 cos Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + mide -re, az + sor is diverges. j.) Koverges-e a Diverges, mert lim em teljesül. k.) Koverges-e a mide -re és a = végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = sor sor diverges, ezért a = lim 6) ) = +, a sor kovergeciájáak szükséges feltétele végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Koverges, mert két koverges mértai sor összege ) = 3 4 l.) Koverges-e a = +) Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +) = s k = 9 ) = 35 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? k = = ) +), ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat + ) = + 4 k + ) k + )

8 m.) Koverges-e a 0.) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert 0. <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 0.) = 0.) = 0..) Koverges-e a ) e végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: e ) e = e ) e ) = e e +. = o.) Koverges-e a ) si π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert si π <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 si π ) = 3 si π 3 = 3. p.) Koverges-e a ) cos π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert cos π 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: cos π ) cos π = 3 3 cos π =. 3 = q.) Koverges-e a + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 3 A mértai sor koverges, mert 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: + 3 = ) 6 = 6 3 = 8. 3 = r.) Koverges-e a 3 ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 5 = A sor két koverges mértai sor összege, mert 5, 5 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 ) + 5 = 3 ) 4 + = 5) 3 ) ) + 5) 5 ) 4 = s.) Koverges-e a = = = l ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel l ) + = l+) l, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat ) + s k = l = lk + ), vagyis a sor diverges. = 7

9 t.) Koverges-e a végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel + + = + sorozat k + + k s k = + = vagyis a sor koverges és összege u.) Koverges-e a = Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel által alkotott sorozat + = =. + +, ezért a sor részösszegei által alkotott k + k+, +) ++ ) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? s k = k = vagyis a sor koverges és összege. v.) Koverges-e a = +)+) = + = +) ++ ) +) +, ezért a sor részösszegei =, + ) + + ) k + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +)+) = + + +, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat k s k = + ) + ) = k + + ) k + 4, = vagyis a sor koverges és összege 4. w.) Koverges-e a = + végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + 0 mide -re, az + sor is diverges. x.) Koverges-e a = Diverges, mert a 3 3 y.) Koverges-e a 3 3 végtele sor? = sor diverges, ezért a sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim a+ a = lim 3 + +)! 3! Másképpe, a sor koverges, mert expoeciális sor, összege z.) Koverges-e a 3 4) végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim = lim 3! = e = 0 <, így a sor koverges. 3 4 = 3 4 <, így a sor koverges. 8

10 aa.) Koverges-e a ) l végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim l = 0, így a sor koverges. ab.) Koverges-e a ) 3 végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim = 0, így a sor koverges. 3 ac.) Koverges-e a!) végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +) + = 0 <, így a sor koverges. ad.) Koverges-e a + a+ a végtele sor? = lim +)!) +)!) = lim Diverges, mert a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. ae.) Koverges-e a +)+)! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +3 +) = 0 <, így a sor kover- ges. af.) Koverges-e a = 5 +3 a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ag.) Koverges-e a = 3 l 3) végtele sor? = lim Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ah.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim ai.) Koverges-e a! a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim, így a sor koverges. aj.) Koverges-e a = cos a+ a végtele sor? = lim +)+3) +)! +)+)! = lim = 0 <, így a sor koverges. ) 3 l 3 = l 3 <, így a sor koverges. = lim +) 3 +)! 3! +)! +) +! = lim +) 3 = lim = 0 <, így a sor koverges. +) = lim Alkalmazzuk a miorás kritériumot. cos 0 mide -re, a sor is diverges. cos 9 = +) + = e < + sor diverges, ezért a

11 ak.) Koverges-e a Diverges, mert e + e + ) végtele sor? ) = e +) + +, vagyis a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. al.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim + ) = e 3 <, így a sor koverges. am.) Koverges-e a!) )! Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. koverges. a+ a végtele sor? lim a+ = lim a = lim +) )! 3! +)!) +)!!) )! = lim = lim 3 +) +)+) = 4 <, így a sor Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Legye f 0, f, f,..., f,... : R R függvéysorozat. A függvéysorozat kovergeciahalmaza az a legbővebb H R halmaz, amelye mide függvéy értelmezett H D f mide N idexre), és mide x H-ra az f x) számsorozat koverges. A függvéysorozat határértéke az az f : H R függvéy, melyre fx) = lim f x) mide x H-ra. A kovergeciahalmaz és a limesz megállapítása a külöböző x R értékekhez tartozó f x) számsorozatok vizsgálatával törtéik. Feladatok a.) Határozzuk meg az f : x R + 0 3x + x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! { ha x > 0 lim 3x = 0 ha x = 0 lim x) = + ha x > ha x = 0 ha x < A kovergeciahalmaz a [0, ] itervalum. A limeszfüggvéy: ha x = fx) = ha 0 < x < 0 ha x = 0. b.) Határozzuk meg az f : x e x 3) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < e x 3) x 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ] itervalum. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha x < 3. 0

12 c.) d.) Határozzuk meg az f : x x ) ) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x ) 0 x, x. A kovergeciahalmaz a [0, ] \ {}. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 vagy x = fx) = 0 ha 0 < x < és x. Határozzuk meg az f : x ) x 3 4 függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < x 7. A kovergeciahalmaz a, 7] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 7 fx) = 0 ha < x < 7. e.) Határozzuk meg az f : x R + 0 +x f.) Az f x) sorozat mide x R + -ra ullsorozat. A kovergeciahalmaz a [0, ) itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 fx) = 0 ha 0 < x. függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Határozzuk meg az f : x π, π ) tg x függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x π, π )-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = π fx) = 4 0 ha π 4 < x < π. 4 g.) Határozzuk meg az f : x R \ {0} 3 x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R \ {0}-ra egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < 3 x 3 x vagy x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3) [3, ) halmaz. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha 3 < x. Függvéysorok A f függvéysor kovergeciahalmaza a k f részletösszegek alkotta függvéysorozat kovergeciahalmaza, és a sor összegfüggvéye a részletösszegek alkotta sorozat limesze. A kovergeciahalmaz és az összegfüggvéy meghatározásakor a f x) számsorozatra alkalmazhatjuk a sorok kovergeciakritériumait.

13 Feladatok a.) Határozzuk meg a ) 3x + x) függvéysor x 0) kovergeciahalmazát és összegét! Ha x > 0, akkor a 3x + x) sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. Ha x = 0, akkor a sort kapjuk, ami koverges. A kovergeciahalmaz a {0} halmaz. Az összegfüggvéy az f0) = 0 függvéy. b.) Határozzuk meg a e x 3) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A e x 3) sor mide x R-re egy mértai sor. A sor kovergeciájáak feltétele: < e x 3 < x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ) itervalum. Az összegfüggvéy: fx) = e x 3. c.) Határozzuk meg az x ) ) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A x ) ) sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x ) < 0 < x <, x. A kovergeciahalmaz a 0, ) \ {}. Az összegfüggvéy: d.) Határozzuk meg az A fx) = x ) ) = 4x x. x 3 ) 4 függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! x 3 ) 4 sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < < x < 7. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Az összegfüggvéy: e.) Határozzuk meg az fx) = ) x 3 = 4 7 x. 4 +x függvéysor x R+ 0 ) kovergeciahalmazát és összegét! Az x = 0 potba a sor diverges, mert a tagjai által alkotott sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. x R + eseté alkalmazzuk a miorás kritériumot. +x x 0 mide x R + -re és x-re, és az x sor diverges mide x R+ -re, így a +x függvéysor is diverges mide x R + -re. = A sor tehát diverges, a kovergeciahalmaz az. f.) Határozzuk meg az tg x függvéysor x π, π )) kovergeciahalmazát és összegét!

14 A tg x sor mide x π, π )-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x < π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ) itervallum. Az összegfüggvéy: g.) Határozzuk meg az A 3. fx) = tg x = cos x cos x si x. 3 ) x függvéysor x R \ {0}) kovergeciahalmazát és összegét! 3 ) x sor mide x R\{0}-ra egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < 3 x < 3 < x vagy x < A kovergeciahalmaz a, 3) 3, ) halmaz. Az összegfüggvéy: fx) = 3 x = x x 3. Hatváysorok Legye a valós sorozat, legye továbbá a R. A a x a) függvéysor eve a közepű hatváysor, az a számok a hatváysor együtthatói. Nevezetes hatváysorok: Expoeciális függvéy 0 közepű hatváysora: A sziusz függvéy 0 közepű hatváysora: si x = A kosziusz függvéy 0 közepű hatváysora: e x = cos x =! x ) )! x ) )! x. Mértai sor: x = x + x = ) x Midhárom hatváysor koverges a valós számok halmazá. 3

15 Hatváysorok kovergeciája Mide hatváysorhoz található egy r [0, ) valós, a hatváysor kovergeciasugara. A hatváysor koverges az {x : x a < r} halmazo és diverges diverges az {x : x a > r} halmazo. Az x = a r és x = a + r potokba külö meg kell vizsgáli a kovergeciát. Tegyük fel, hogy az a sorozatak va határértéke. Ekkor a kovergeciasugár az r = lim a = lim a képlettel Cauchy Hadamard-formula) számítható, ami a gyökkritérium következméye. A képletet a 0-tól külöböző együtthatókra kell alkalmazi, ha az a együtthatók között végtele sok 0 található. Hasolóa ha az sorozatak va határértéke, akkor a kovergeciasugár az a+ a r = lim a+ a = lim alteratív képlettel számítható, ami a háyadoskritérium következméye. Midkét képletet az 0 =, = 0 módo értelmezzük. Feladatok a.) Határozzuk meg a = Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x Az x = a r = potba a a a + hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [, ) itervallum. b.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = lim ) 3 =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a 3 sor diverges, mert tagjai em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. c.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. = 4

16 d.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a függvéysorokra voatkozó hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x! = e y y=x = e x ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. e.) Határozzuk meg a x )! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x )! +)+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. f.) Határozzuk meg a = x 5 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 5 potba a hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim 5 = 5. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = 5 potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [ 5, 5) itervallum. g.) Határozzuk meg a = x ) Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 0 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim ) =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a [0, ] itervallum. = = 5

17 h.) Határozzuk meg a 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a ) sor, valamit az x = a + r = 3 potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3 ) itervallum. i.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara ) x 3 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a sor, valamit az x = a + r = 3 potba a ) sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3) itervallum. j.) Határozzuk meg a x 3 3)! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 3 a 3 = lim 3 3)! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim 3+) 3+3)! x 3 = lim x 3 3)! 3+3)3+)3+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. k.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara x 3)! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x 3) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x 3) = lim x 3! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x 3) = e y! y=x 3 = e x 3 amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. 6

18 l.) Határozzuk meg a = ) + x 6) 3 Az a = 6 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 3 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a 3, 9] itervallum. m.) Határozzuk meg a = x + Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = 9 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! + a + = lim + = lim ) + =. = ) + hiperharmoikus sor, valamit az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor divergesek. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum..) Határozzuk meg a ) x ) )! Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! = lim )!) =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x ) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x ) = lim x ) +)+) = 0 < mide x R-re, )! így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, ) x ) = cos y )! y=x = cosx ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. o.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a sor diverges. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. p.) Határozzuk meg a = x) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 7

19 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim =. Az x = a r = potba a = Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a, ] itervallum. q.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = potba a x 3 ) 4 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 4 = 4. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = 7 potba a sorok divergesek, = mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Másképpe, a mértai sor koverges akkor, ha x 3 4 < x, 7), így a kovergeciahalmaz a, 7) itervallum, a kovergeciasugár pedig 4. A sor összege r.) Határozzuk meg a ) x 3 = 4 y x) +)+3) Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a kovergesek, mert +)+3) < [, ] itervallum. y= x 3 4 = 4 7 x. = = ) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim + ) + 3) =. +)+3) sor, valamit az x = a+r = potba a és a ) +)+3) sorok hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a Taylor-sorok, Taylor-poliomok Legye f : R R sima függvéy a c R pot egy köryezetébe. Ekkor a f ) a) x a)! hatváysort az f függvéy a körüli Taylor-soráak evezzük. A 0 körüli Taylor-sor eve MacLauri-sor. Függvéyt a gyakorlatba potosabba a gyakorlato :-) ) előforduló példákba a kovergeciahalmazo előállítja a Taylor-sora. Ha a Taylor-sorak csak az első pár elemét tartjuk meg, akkor az f függvéy T x) = -edredű a körüli Taylor-poliomját kapjuk. k=0 f k) a) x a) k k! 8

20 Feladatok a.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x f0) = 0 f x) = cos x f 0) = f x) = 4 si x f 0) = 0 f x) = 8 cos x f 0) = 8 f x) = 6 si x f 0) = 0 T 4 x) = x 4 3 x3 b.) c.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli harmadredű Taylor-poliomját! fx) = si 4x f0) = 0 f x) = 4 cos 4x f 0) = 4 f x) = 6 si 4x f 0) = 0 f x) = 64 cos 4x T 4 x) = 4x 3 3 x3 f 0) = 64 Számítsuk ki az fx) = e cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e cos x f0) = e f x) = si x e cos x f 0) = 0 f x) = cos x + si x) e cos x f 0) = e f x) = si x + 3 si x cos x si 3 x) e cos x f 0) = 0 f x) = si 4 x + cos x + 3 cos x 4 si x 6 si x cos x) e cos x f 0) = 4e T 4 x) = e e x + e 6 x4 d.) Számítsuk ki az fx) = e si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e si x f0) = f x) = cos x e si x f 0) = f x) = si x + cos x) e si x f 0) = f x) = cos x 3 si x cos x + cos 3 x) e si x f 0) = 0 f x) = cos 4 x + si x + 3 si x 4 cos x 6 si x cos x) e si x f 0) = 3 T 4 x) = + x + x 8 x4 e.) Számítsuk ki az fx) = l + x ) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! f x) = x + x = x y = x ) x = ) x + y= x l + x ) = fx) = f ) ) x) dx = C + + x+ = x = T 4 x) = x x4 9

21 f.) Számítsuk ki az fx) = e x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e x) = e y y=x =! x T 4 x) = + x + x4 g.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = ) + )! x)+ = 4) + )! x+ T 4 x) = x 4 3 x3 h.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = T 4 x) = x ) + )! x4+ i.) Számítsuk ki az fx) = x l + x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! l + x)) = + x = y l + x) = x l + x) = + x dx = C + + x dx = = ) x y= x ) + x+ = ) + x+ ) + x+ T 4 x) = x x3 + 3 x4 j.) Számítsuk ki az fx) = xe x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = x e y ) y= x = x x ) =!! x + T 4 x) = x x + x3 6 x4 0

22 Taylor-poliomok általi közelítés Legye a R rögzített, x R olya, hogy az f : R R függvéy + )-szer differeciálható az [a, x] itervallumo. Mide ilye x R-hez található olya ξ [a, x], hogy fx) = f ) a) x a) + f +) ξ)! + )! x a)+ = T,ax) f + f +) ξ) x a)+ + )! k=0 Taylor-formula Lagrage-maradéktaggal). Az fx) T f,ax) közelítés hibájára az alábbi becslés adható: fx) T,ax) f max ξ [a,x] f +) ξ) x a +. + )! Feladatok a.) Számítsuk ki az e 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! e x =! x T 4 x) = + x + x + 6 x3 + 4 x4 T 4 0.) = e 0. = e x T 4 x) max ξ [0,x] e ξ x 5 = 5! e 0. T 4 0.) e0. 5! 0.5 < { e x 5! x 5 ha x 0 5! x 5 külöbe b.) Számítsuk ki a cos 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! cos x = ) )! x T 4 x) = x + 4 x4 T 4 0.) = cos 0. = cos x T 4 x) max ξ [0,x] siξ) x 5 = 5! cos 0. T 4 0.) si < ! { si x 5! x 5 ha x [ π, π ] 5! x 5 külöbe A Taylor-sorba em jeleik meg x 5 -es tag, ezért jobb becslés is adható a hibára: cos x T 5 x) max ξ [0,x] cosξ) x 6 = 6! 6! x 6 cos 0. T 5 0.) 6! 0.6 <.4 0 9

23 c.) Számítsuk ki a si 5 közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! si x = ) + )! x+ T 4 x) = x 6 x3 π ) T 4 = π si = ) si x T 4 x) max ξ [0,x] cosξ) x 5 = 5! 5! x 5 π π ) π ) 5 si T 4 < ) 36 5! 36 d.) Számítsuk ki a tg 5 közelítő értékét a függvéy másodredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! tg x) = cos x) tg x) = six) cos 3 x) tg x) = cos x) + 6 si x) cos 4 x) tg0) = 0 tg 0) = tg 0) = 0 T x) = x π ) T = π tg = ) 6 4 cos max ξ) ξ [0,x] cos tgx) T x) 4 ξ) x 3 = 3 cos x) 3! 3 cos 4 x 3 ha x < π x) ) π π ) 3 cos tg T 36) ) π 36 π ) cos ) 4 π < e.) Számítsuk ki az l 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát!

24 l x) x=0 = 0 l x)) = x) l x)) x=0 = l x)) =! x) l x)) x=0 =! l x)) =! x) 3 l x)) x=0 =! l x)) = 3! x) 4 l x)) x=0 = 3! l x)) = 4! x) 5 T 4 x) = x x 3 x3 4 x4 T 4 0.) = l0.9) = ! max ξ [0,x] 5 ξ) l x) T 4 x) 5 x 5 x = 5 x) ha x 0 5! 5 x 5 külöbe l0.9) T 4 0.) < f.) Számítsuk ki az l.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! l + x) x=0 = 0 l + x)) = l + x)) + x) x=0 = l + x)) =! + x) l + x)) x=0 =! l + x)) =! + x) 3 l + x)) x=0 =! l + x)) = 3! + x) 4 T 3 x) = x x + 3 x3 T 3 0.0) = l.0) = ! max ξ [0,x] +ξ) l + x) T 3 x) 4 x 4 4 = x4 ha x 0 4 4! x 4 +x) külöbe l.0) T 3 0.0) = g.) Számítsuk ki a.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 3

25 + x x=0 = + x) = + x) + x) x=0 = + x) = 4 + x) 3 + x) x=0 = 4 + x) = x) 5 + x) x=0 = x) = x) 7 T 3 x) = + x 8 x + 6 x3 T 3 0.0) = = max ξ [0,x] 6 + ξ) 7 + x T 3 x) x 4 = 4!.0 T 3 0.0) < { 5 8 x4 ha x x4 + x) 7 külöbe h.) Számítsuk ki a 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! x x=0 = x) = x) x) x=0 = x) = 4 x) 3 x) x=0 = 4 x) = 3 8 x) 5 x) x=0 = 3 8 x) = 5 6 x) 7 x) x=0 = 5 6 x) = 05 3 x) 9 T 4 x) = x 8 x 6 x3 5 8 x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] 3 ξ) 9 x T 4 x) x 5 = 5! 0.9 T 4 0.) < { 7 56 x5 x) 9 ha x x 5 külöbe i.) 0.9 Számítsuk ki a közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 4

26 ) x) = x) x) x) x) x) 3 ) 3 = 4 x) 5 ) 5 = 8 x) 7 ) 05 = 6 x) 9 ) 945 = x) 3 x) = x=0 ) x) = x=0 ) x) = 3 x=0 4 ) x) x) ) x=0 = 5 8 x=0 = 05 6 T 4 x) = + x x x x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] T 4 x) x ξ) x 5 = 5! T 4 0.) < { x5 x) ha x x 5 külöbe 5

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben