Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika szigorlat (A1-A2-A3)"

Átírás

1 Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika (Scolar Kiadó, Budapest, 2009)

2 A1 miimumkérdések Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz 3. Csoport, gyűrű, test 4. Komplex számok algebrai, expoeciális, trigoometrikus alakja 5. Komplex számok hatváyozása 6. Komplex számok gyökvoása Numerikus sorozatok 1. Numerikus sorozat határértéke 2. Koverges, diverges sorozat 3. Nevezetes sorozatok 4. Cauchy sorozat 5. Torlódási pot Függvéyek, Derivált 1. Függvéy, értelmezési tartomáy, értékkészlet 2. Függvéy határérték 3. Függvéy folytoosság 4. Iverz függvéy 5. Derivált 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele 7. L Hospital szabály Középérték tételek és Itegrálás 1. Lagrage középérték tétel 2. Rolle középérték tétel 3. Cauchy középérték tétel 4. Riema-itegrálhatóság 5. Newto-Leibitz formula 6. Improprius itegrálok Numerikus sorok 1. umerikus sor fogalma 2. umerikus sor kovergeciája (feltételes is), 3. umerikus sor divergeciája 4. kovergecia tesztek

3 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz: egyetle eleme sics o emüres halmaz: legalább egy eleme o jól megadott halmaz: ha bármely elemről eldöthető, hogy beletartozik-e A és B az X alaphalmaz részhalmazai, ekkor metszet: A B = { x X x A x B } Két halmaz diszjukt, ha metszetük üres halmaz. uió: A B = { x X x A x B } külöbség: A \ B = { x X x A x em B } egyéb: A A az A részhalmaza ömagáak: reflexív tulajdoság ha A B és B A A = B vagyis atiszimmetrikus (A részhz.-a B-ek és fordítva) ha A B és B C A C trazitív tulajdoság (A a agyobb hz.-ak is részhz.-a) 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz Descartes-szorzat: az A és B halmazok Descartes-szorzatá az A és B halmazok elemeiből alkotott összes redezett elempár halmazát értjük. Jelölése: A B = { (a;b) a A b B } Az A B szorzathalmaz egy T A B részhalmaza az A és B halmazok elemei közti kételemű (biér) reláció Ha (a; b) T, akkor a és b relációba vaak: atb Hatváyhalmaz: egy halmaz összes részhalmazaiak halmaza Egy elemű halmazak 2 darab részhalmaza va Kommutativitás = felcserélhetőség Asszociativitás = csoportosíthatóság Disztributivitás = szétbothatóság 3. Csoport, gyűrű, test (~A2) félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak ÉS létezik zérus elem ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak és kommutatívak is ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe tehát elvégezhető: az összeadás, a kivoás és a szorzás 1

4 test: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe, mit algebrai struktúrába tehát elvégezhető az összeadás, kivoás, szorzás és az osztás 4. Komplex számok algebrai, trigoometrikus, expoeciális alakja algebrai alak: z = a + bi (z valós része a, képzetes része pedig b) kojugált: z = a bi abszolút érték: z = a 2 + b 2 (Pitagorasz-tételből), és mivel z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 +b 2, ezért z = z z trigoometrikus alak: z = r(cosφ + i siφ), mivel cosφ = a r siφ = b r Tehát a = rcosφ és b = rsiφ, ie már egyértelműe következik a trigoometrikus alak az algebraiból r-t kiemelve (a = r cosφ és bi = r isiφ) expoeciális alak: z = r e i φ ez csak egy szimbólum, rövidítés, ami megköyíti a számolást a komplex számokkal, léyegébe a trigoometrikus alak kicsit rövidebbe. 5. Komplex számok hatváyozása z = [r(cosφ + isiφ)] = r (cos(φ) + isi(φ)) (de Moivre-képlet) Bizoyítás: teljes idukcióval 1) =1 OK =2 OK 2) idukciós feltétel: = k ekkor z k = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) ha = k + 1, akkor z k+1 = z k z = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) r(cos(φ) + isi(φ)) = r k+1 [cos(kφ + φ) + isi(kφ + φ)] = r k+1 [cos((k + 1)φ) + isi((k + 1)φ)] és k+1 az volt, tehát a bizoyítás kész. 6. Komplex számok gyökvoása z 1 = z 2 = r 1 (cos(φ 1 ) + isi(φ 1 )) = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) z 1 = z 2 Két komplex szám akkor egyelő, ha a hosszuk és argumetumuk is egyelő: r 1 = r 2 (hossz) φ 1 = φ 2 + k 2π (argumetum) forgásszög, periodicitás miatt p = 2π Így φ 1 = φ 2+k 2π k {0, 1, 2,, 1} Tehát z φ + k2π φ + k2π = r [cos + i si ] Az -edik gyökvoás utá olya komplex számokat kapuk, amik egy szabályos sokszög (-szög) csúcsai! Tehát -edik gyökvoás eseté db komplex szám a megoldás. 2

5 Numerikus sorozatok Mitől umerikus? Attól, hogy a sorozat a pozitív egész számok halmazá értelmezett függvéy. 1. Numerikus sorozat határértéke TÉTEL: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha bármely poz. ε-hoz létezik olya N(ε) küszöbidex (küszöbszám), hogy a sorozat N(ε)-ál agyobb idexű elemei már az a ε-sugarú köryezetébe esek. (az ilye idexű elemekből végtele sok va!) TÉTEL 2: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha az a bármely poz. ε-sugarú köryezeté kívül csak véges sok eleme va a sorozatak. (ez ekvivales az első tétellel) Következméy: Ha egy sorozatak véges sok elemét megváltoztatjuk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszük / elhagyuk belőle, akkor sem a kovergecia, sem a határérték em változik meg! 2. Koverges, diverges sorozat DEFINÍCIÓ: Az (a ) koverges, ha va olya a R szám, hogy mide ε > 0 valós szám eseté létezik N(ε) valós küszöbszám, hogy a a < ε, ha > N(ε) azaz a ε < a < a + ε Az a számot az (a ) határértékéek hívjuk, és a lim a = a vagy az a a, ha jelölést haszáljuk. Az (a ) diverges, ha em koverges. Tételek: - Koverges sorozat korlátos. (Mide koverges sorozat korlátos, de em mide korlátos sorozat koverges, csak az, ami mooto is, így pl. ( 1) em!) - Mooto korlátos sorozat koverges. - Mooto, em korlátos sorozatak va határértéke. koverges va határértéke va határértéke/torlódási potjai em biztos, hogy koverges Bolzao-Weierstrass-tétel: mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. 3. Nevezetes sorozatok Olya sorozatok, amelyek határértékét NEM KELL BIZONYÍTANI, csak felhaszáli! Beroulli-féle egyelőtleség: ha x 1, akkor (1 + x) 1 + x I. a 0, ha a < 1 1, ha a = 1 +, ha a > 1 diverges, ha a < 1 II. a 1, ha (a > 0) III. a k 0 (ullsorozat), ha a < 1 és k rögzített természetes szám 3

6 IV. V. 1, ha ( 2) a 0 (a R) Hisze a faktoriális gyorsabba ő, mit a hatváyfüggvéy!! Legfotosabb: (1 + α ) e α 4. Cauchy sorozat Defiíció: Az (a )-t Cauchy-sorozatak evezzük, ha mide ε > 0 eseté N(ε) küszöbidex, hogy a a m < ε, ha, m > N(ε) (, m N) Tétel: Cauchy-féle kovergecia kritérium (szükséges ÉS elégséges feltétel) Az (a ) akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy sorozat! 5. Torlódási pot Defiíció: A h a H halmaz torlódási potja, ha h bármely köryezetébe va H-ak h-tól külöböző eleme. A t szám a sorozat torlódási potja, ha t akármilye kicsi köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. Például ( 1) Fotos: A határérték is torlódási pot! Függvéyek, derivált 1. Függvéyek, értelmezési tartomáy, értékkészlet függvéy: ha az A (emüres) halmaz mide egyes eleméhez hozzáredeljük a B (emüres) halmaz potosa egy elemét, akkor ezt a leképezést függvéyek evezzük. értelmezési tartomáy: azo elemek halmaza, melyekhez a függvéy hozzáredel egy-egy elemet a B halmazból, jele esetbe ez az A halmaz. D f = A értékkészlet: A képhalmaz, azaz a B halmaz azo elemei, melyeket az f függvéy téylegese hozzáredel az A valamelyik eleméhez. Az értékkészlet tehát része a képhalmazak: R f B 2. Függvéy határérték Azt modjuk, hogy az f függvéy határértéke az a potba A, ha mide ε > 0 számhoz létezik olya δ(ε) > 0, hogy ha 0 < x a < δ(ε), akkor f(x) A < ε. /Ez a Cauchy-féle defiíció/ x a < δ(ε) azt jeleti, hogy: δ(ε) < x a < δ(ε) /+a a δ(ε) < x < a + δ(ε) Szemléletesese: azt jeleti, hogy a függvéyértékek (f(x)-ek) tetszőlegese megközelítik az A számot, ha az ε értékek elég közel kerülek a-hoz. 4

7 Az f függvéyek az a potba acsa (akkor és csak akkor) va határértéke, ha va bal- és jobboldali határértéke és ez a kettő megegyezik! Határérték a végtelebe Az f függvéy határértéke + -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x > N(ε). Az f függvéy határértéke -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x < N(ε). A végtele, mit határérték Az f függvéy határértéke a-ba +, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) > N, ha 0 < x a < δ(n). Az f függvéy határértéke a-ba, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) < N, ha 0 < x a < δ(n). 3. Függvéy folytoosság Az f függvéy az értelmezési tartomáyáak a potjába folytoos, ha ebbe a potba létezik határértéke és ez egyelő az adott potbeli helyettesítési értékkel, azaz ha lim f(x) = f(a). x a Defiíció: Az f függvéyt folytoosak evezzük az a D f potba, ha bármely ε > 0 eseté va olya δ(ε) > 0 szám, hogy ha x a < δ(ε), akkor f(x) f(a) < ε. Az f függvéy egy itervallumo egyeletese folytoos, ha bármely ε > 0 számhoz va olya δ > 0 szám, hogy f értelmezési tartomáyáak bármely x 1, x 2 elemére, amelyek távolsága egymástól kisebb δ-ál, feáll az f(x 1 ) f(x 2 ) < ε egyelőtleség. Tétel: Az f függvéy potosa akkor folytoos értelmezési tartomáyáak a potjába, ha ott balról és jobbról is folytoos. Def.: Az f függvéy folytoos az ]a, b[-o, ha folytoos ]a, b[ mide potjába. Az f függvéy folytoos az [a, b]-o, ha folytoos ]a, b[-o és a-ba balról, b-be jobbról folytoos. A folytoosság éháy evezetes következméye: - ha f folytoos egy zárt itervallumo, akkor ott egyeletese folytoos. - Bolzao-tétel: ha a függvéy a zárt itervallumo folytoos, és az itervallum két végpotjába az értékei külöböző előjelűek, akkor az itervallum belsejébe va zérushelye. Másképp: felvesz mide f(a) és f(b) közé eső értéket egy folytoos függvéy egy zárt itervallumo. - Weierstrass-tétel: Zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi a miimumát és a maximumát is függvéyértékkét; továbbá mide olya értéket, ami a legagyobb és legkisebb érték közé esik. (Arról em szól a tétel, hogy a függvéy HOL veszi fel a mi. és max. értékét.) 5

8 4. Iverz függvéy Ha az f: X Y függvéyél a leképezés iráyát megfordítjuk, vagyis az Y halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemeire, akkor ez a fordított leképezés általába em függvéy, mert em biztos, hogy egy y Y elemek egyetle x X elem felel meg. Ezért fotos az, hogy f bijektív, azaz kölcsööse egyértelmű legye, mert ekkor az f 1 -gyel jelölt fordított leképezés is már függvéy lesz. Defiíció: Ha az f: X Y függvéy kölcsööse egyértelmű, akkor az f 1 = Y X függvéyt f iverz függvéyéek evezzük. Ekkor igaz az alábbi összefüggés: f 1 (f(x)) = f(f 1 (x)) = x Egyszerűbbe megfogalmazva: az f és az f 1 függvéyekél az értelmezési tartomáy és az értékkészlet helyet cserél. Eek következtébe az ábrázolásál a koordiátategelyek helyet cserélek, s az y = f(x) és y = f 1 (x) görbék egymásak tükörképei az y = x egyeesre ézve. 5. Derivált Legye f: I R R függvéy értelmezve az x I potba és aak egy köryezetébe. Ha x a, akkor az f(x) f(a) háyadost differeciaháyadosak evezzük. x a f(x) f(a) Ha létezik és véges a lim határérték, akkor azt az f függvéy deriváltjáak vagy x a x a a potbeli differeciálháyadosáak evezzük és a d f(a) vagy f (a) jelöléseket haszáljuk. dx f(x+ x) f(x) Régi jelölés: lim = f (x) x 0 x Ha x-szel elkezdek közelítei a-hoz: a szelőkből éritő lesz. m = tgα = f(x) f(a) x a Adott potbeli derivált = adott potbeli éritő meredeksége! Az éritő egyelete: y = f (a)(x a) + f(a) ~ m(x x 0 ) = y y 0 átredezve Defiíció: az f: [a; b] R függvéy balról differeciálható a b potba, ha létezik és véges a f(x) f(b) lim egyoldali határérték. x b x b Az f: [a; b] R függvéy jobbról differeciálható az a potba, ha létezik és véges a lim x a+ f(x) f(a) x a egyoldali határérték. Eszerit megkülöböztetük bal- és jobboldali deriváltat. TÉTEL: az f: I R függvéy differeciálható az a I potba ha létezik (és így véges) a bal- és jobboldali deriváltja a-ba ÉS ezek egyelők. TÉTEL: ha az f függvéy differeciálható az x 0 potba, akkor ott folytoos. (DE: attól, hogy folytoos, em biztos, hogy differeciálható a függvéy mide potjába!) Defiíció: az f: ]a; b[ R függvéy differeciálható ]a;b[-o, ha differeciálható x ]a; b[ potba. Az f: [a; b] R függvéy differeciálható [a;b]-o, ha differeciálható ]a; b[-o ÉS a-ba jobbról, b-be balról differeciálható. 6

9 +Az iverz függvéy deriválási szabálya:! f: I R R fv. szig. mo. és folytoos az x 0 pot egy köryezetébe; f (x 0 ) 0. Ekkor az f fv. iverze is differeciálható a b f(x 0 ) potba és (f 1 (b)) 1 = f (x 0 ) 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele Defiíció: Legye f: I R R, a I. Azt modjuk, hogy f-ek a-ba lokális maximuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. f-ek a-ba lokális miimuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. Szükséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható és f-ek α it I-be szélsőértéke va, akkor f (α) = 0. // α it I: olya α, ami I egy belső potja Elégséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható ÉS α it I, továbbá va ekük egy r > 0 számuk, amire az teljesül, hogy f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális maximuma va. f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális miimuma va. Egyszerűbbe: az f függvéyek az x 0 -ba lokális szélsőértéke va, ha f (x 0 ) = 0 DE f (x 0 ) 0. - ha a 2. derivált pozitív, akkor lokális miimuma (kovex!) - ha a 2. derivált egatív, akkor lokális maximuma va (kokáv!) - Általáosabba: f (α) = 0 = f (α) = 0 = f (α) = 0 f ( 1) (α) = 0, de f () (α) 0 (f -edik deriváltja MÁR NEM NULLA) - Ekkor f () deriváltját vizsgáljuk: ha páros, akkor va csak szélsőértéke (ugyaúgy, vagyis ha pozitív, akkor lokális miimum; ha egatív, akkor lokális maximum.) 7. L Hospital szabály TÉTEL: Legye f és g differeciálható függvéyek az α pot egy köryezetébe (α-ba em szükségképpe). Továbbá, lim f(x) = lim g(x) = 0 x α x α vagy lim x α f(x) = lim x α g(x) = Ahol α {a; a + 0; a 0; ± } lim x α f (x) lim f(x) Ekkor: = x α lim g (x) lim x α x α g(x) Fotos, hogy akkor lehet csak haszáli, ha a háyados határértéke 0 0 vagy alakú! 7

10 Középérték tételek és itegrálás Függvéyek és deriváltjaik kapcsolatáak vizsgálatakor haszálhatjuk fel a középértéktételeket 1. Rolle középértéktétel Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, továbbá f(a) = f(b) = 0. Ekkor létezik ξ ]a; b[, melyre f (ξ) = 0 (vízszites éritő!) Ha f(x) 0 (azoosa, mide potba ulla) ekkor yilvá f(ξ) = f (ξ) = 0. Érdekesebb: ha f(x) 0 α) eset: Weierstrass tétele miatt (folytoos függvéy zárt itervallumo felveszi a szélsőértékét függvéyértékkét) létezik a függvéyek maximuma! Azaz va olya ξ, amire igaz, hogy f(ξ) f(x) mide x [a; b] eseté. Ekkor f(x) f(ξ) törtet vizsgálva: x ξ az f(x) f(ξ) számláló midig 0, mert f(ξ) f(x) a evező pedig pozitív, ha x > ξ, így az egész tört egatív, tehát f (ξ) 0 a evező pedig egatív, ha x < ξ, így az egész tört pozitív, tehát f (ξ) 0 De ha lim ξ x f(x) f(ξ) x ξ = f (ξ) = 0 (csak az egyelőség a jó ekük) β) eset: α-val aalóg módo bizoyítható. γ) eset: α és β esetekből összerakható. 2. Lagrage középértéktétel (a Rolle középértéktétel általáosítása) Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) = f (ξ) b a Ez körülbelül azt jeleti: ha húzuk egy voalat (húrt) a két végpot között, akkor lesz legalább egy pot a függvéye, amiek a deriváltja (vagyis az adott potbeli éritő meredeksége!) megegyezik a húr meredekségével! Vagyis az ábrá a piros húr párhuzamos lesz a zöld éritővel! 8

11 Tekitjük az (a, f(a)) és a (b, f(b)) potokat összekötő húrt, amiek az egyelete: h(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a //ez az m(x x 0 ) = y y 0 képletből jö ki g(x) f(x) h(x), így g(a) = f(a) h(a) = f(a) f(a) = 0 és g(b) = f(b) h(b) = f(b) f(b) = 0 g folytoos az [a; b]-o, mert f és h is az g differeciálható ]a; b[-o, mert g (x) = f (x) h (x) = f (x) f(b) f(a) b a A Rolle-tételt alkalmazva a g függvéyre: létezik ξ ]a; b[, melyre g (ξ) = 0 (vízszites éritő) Így g (ξ) = f (ξ) f(b) f(a) b a = 0 = f (ξ) = f(b) f(a) b a 3. Cauchy középértéktétel Legye f és g folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) Bizoyítás Alkalmas segédfüggvéy bevezetésével: h(x) f(x) + λg(x) ahol λ-t úgy választjuk meg, hogy h(a) = h(b) teljesüljö. h(a) = h(b) f(a) + λg(a) = f(b) + λg(b) átredezve f(a) f(b) = λ[g(b) g(a)] leosztva, (-1)-et kiemelve f(b) f(a) g(b) g(a) = λ h(x) f(x) + λg(x) volt, tehát h (x) f (x) + λg (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) Most még alkalmazzuk a Rolle tételt a segédfüggvéyre: ξ ]a; b[, melyre h (ξ) = 0, ebből h (ξ): = f (ξ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (ξ) = 0, ezt átredezve adódik, hogy f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) Megjegyzés: a Cauchy-féle középértéktételből g(x) = x választással adódik a Lagrage középértéktétel: f(b) f(a) b a hisze így g(b) = b és g(a) = a g (x) = x = 1 9 = f (ξ) 1

12 4. Riema-itegrálhatóság Defiíció: f: [a, b] R korlátos függvéy. (Nem kell folytoosak, ill. deriválhatóak leie!) I = sup{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle alsó itegrál I = if{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle felső itegrál Az f függvéy Riema-itegrálható [a; b]-o, ha a Darboux-féle alsó- és felső itegráljai megegyezek. E közös értéket az f függvéy Riema-itegráljáak evezzük és f(x)dx-szel jelöljük. Darboux tétele: 0 I s(f, d) < ε valamit 0 S(f, d) I < ε teljesül. Vagyis: a felső/alsó it. közelítő összeg tetszőlegese kicsivé tehető. A Riema-itegrálhatóság kritériumai: Korábba: a S(f, d) felső itegrálközelítő összeg mooto csökke, a s(f, d) alsó itegrálközelítő összeg mooto ő! A kettő itegrálközelítő összeg határértéke pedig -be a Riema-itegrál. b a m i if{f(x) x [x i 1 ; x i ] } M i sup{f(x) x [x i 1 ; x i ] } a beírt téglalapok közül a legagyobb magassága a köré írt téglalapok közül a legkisebb magassága s(f, d) i=1 m i (x i x i 1 ) S(f, d) i=1 M i (x i x i 1 ) O(f, d) Oszcillációs összeg: S(f, d) s(f, d) TÉTEL: első kritérium, oszcillációs összeggel Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f R[a; b] (az [a, b]-o értelmezett Riema-itegrálható függvéyek halmazáak eleme az f függvéy) potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté létezik olya d beosztás, hogy O(f, d) < ε; vagyis hogy az oszcillációs összeg tetszőlegese kicsivé tehető! Bizoyítása: f Riema-itegrálható [a, b]-o, tehát I = I = I. A Darboux-tételt összeadva így kijö, hogy S(f, d) s(f, d) < 2 ε = ε, azaz O(f, d) < ε 2 TÉTEL: második kritérium, itegrálközelítő összeggel (ezt akartuk bizoyítai) Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható ε > 0 eseté δ(ε) > 0, hogy σ(f, d, t) I < ε ha d < δ(ε) (d beosztásáak fiomsága kisebb) és t egy tetszőleges közbeeső érték-vektor. A σ(f, d, t) f(t i) (x i x i 1 ) i=1 összeget az f függvéy d beosztásához, t közbeeső érték vektorhoz tartozó itegrálközelítő összegéek hívjuk. 10

13 Bizoyítása: Darboux-tételből! s(f, d) > I ε ill. S(f, d) < I + ε TÉTEL: harmadik kritérium, ormális beosztással I ε < s(f, d) σ(f, d, t) S(f, d) < I + ε ε < σ(f, d, t) I < ε így σ(f, d, t) I < ε Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható [a;b]-o ha bármely (d k ) ormális beosztássorozat és t (k) közbeeső értékvektor-sorozat eseté σ(f, d k, t (k) ) koverges. Ekkor lim σ(f, d k, t (k) ) = f. k a 5. Newto-Leibiz-formula az itegrálszámítás alaptétele b Legye f R[a, b]-o és F: [a, b] R olya, hogy F folytoos [a, b]-o, deriválható az ]a, b[-o és F (x) = f(x) mide x ]a, b[-ra (azaz F deriváltja mide potba f-et adja!). Jelölése: F(b) F(a) [F(x)] a b b Ekkor f(x)dx = F(b) F(a) a Bizoyítása: természetese egy mide határo túl fiomodó, ormális beosztássorozattal. 6. Improprius itegrál Eddig, a Riema-itegrálál: legye f korlátos Defiíció:! a, b R b, a < b A bővített valós számok halmaza: R b R { ; + }, továbbá teljesüljö a következő két feltétel is: 1. Mide [x, y] ]a, b[ eseté f legye Riema-itegrálható [x, y]-o. (x, y R) 2. Létezze olya c R, a < c < b, hogy lim f(t)dt x a x c és y lim f(t)dt y b c határértékek létezzeek és végesek legyeek. Ekkor az I lim f(t)dt x a x c + lim y b y c f(t)dt összeget az f függvéy improprius itegráljáak b a evezzük az ]a, b[-o és f(t)dt-vel jelöljük. - Azt is modjuk, hogy az f függvéy improprius Riema-itegrálja az ]a; b[ itervallumo koverges. - Ha az 1. feltétel teljesük, DE a 2. feltétel NEM, akkor az f függvéy improprius Riemaitegrálja ]a,b[-o diverges! (Ez fotos, mert ekkor em létezik az improprius itegrál.) - I értéke függetle c-től - Ha f em korlátos az itervallum egy γ belső potjáak köryezetébe, akkor az itervallumot kettévághatjuk; az improprius itegrál additív 11

14 Numerikus sorok Defiíció: Az a umerikus sorozat tagjaiból képzett végtele összeget umerikus sorak evezzük. a =1 1. Numerikus sor fogalma a = a 1 + a 2 + a 3 + =1 Az (a ) umerikus sorozatból képezzük az alábbi sorozatot: s 1 a 1 s 2 a 1 + a 2 s 3 a 1 + a 2 + a 3 2. Numerikus sor kovergeciája s = a j j=1 Azt modjuk, hogy a a sor koverges, ha (s ) koverges. - a a sor. tagja vagy általáos tagja - s a sor. részletösszege Az (s ) sorozat határértékét a a sor összegéek modjuk, azaz s = lim s = lim a j = a j A umerikus sorok kovergeciájáak szükséges feltétele: Ha a umerikus sor koverges (a ) umerikus sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0. Állítás: A aq 0 végtele geometriai sor koverges q < 1, ekkor a sorösszeg a j=1 A umerikus sorok kovergeciájáak elégséges feltétele: TÉTEL: A a umerikus sor koverges ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε) ε-tól függő szám, hogy: a +1 + a a m < ε ha, m > N(ε) és m > Cauchy-féle kovergecia kritérium: a a m < ε, ha, m > N(ε) Vagyis: a umerikus sor koverges ha (s ) Cauchy-sorozat! TÉTEL: Ha a koverges, akkor bármely csoportosított sora is koverges és a két sor összege megegyezik! (Megfordítva is igaz.) Defiíció: a a sort abszolút kovergesek evezzük, ha a koverges. Ha a sor koverges, DE NEM abszolút koverges, akkor feltételes kovergeciáról beszélük. j=1 1 1 q 12

15 TÉTEL: Abszolút koverges sor feltételese is koverges. (Visszafelé em igaz!) (Ott érdekes ez, ahol poz. és eg. számok váltogatják egymást.) TÉTEL: Abszolút koverges sor bármely átredezett sora is koverges. 3. Numerikus sor divergeciája Például, ha a szükséges feltétel (ullsorozat) em teljesül, akkor diverges. Jellegzetes diverges sor: 4. Kovergecia tesztek 1 =1 Majorálás/miorálás: Legye a és b emegatív tagú sorok, melyekre a < b mide természetes számra vagy egy bizoyos -től, ekkor: Miorás kritérium: HA a diverges, akkor b is az. Majorás kritérium: HA b koverges, akkor a is az. D Alambert-féle háyadosteszt Legye a egy pozitív tagú sor (hogy e osszuk 0-val). Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy a lim +1 < q ( N vagy > a 0 ), akkor a koverges. a Ha lim +1 a > 1, akkor diverges; ha lim +1 a a kovergeciájáról! = 1, akkor em tuduk semmit a Cauchy-féle gyökteszt Legye a egy emegatív tagú (a gyökvoás miatt) umerikus sor. Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy lim a < q ( N vagy > 0 ), akkor a koverges. 13

16 + TÉTEL: itegrál kritérium Ha x 1 eseté az f folytoos, emegatív és csökkeő, akkor f() umerikus sor koverges vagy diverges aszerit, hogy az f(x)dx 1 improprius itegrál koverges vagy diverges-e. DEFINÍCIÓ: A ( 1) +1 b umerikus sort alteráló umerikus sorak hívjuk. TÉTEL: Leibiz típusú sorok A ( 1) +1 b alteráló umerikus sor koverges ha (b ) mooto csökkeő ullsorozat. Továbbá, s s < b +1, ahol s a ( 1) +1 b alteráló sor sorösszege, s pedig az. részletösszege. 14

17 Matematika A2 szóbeli beugró kérdések 2015 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test 2. Euklideszi tér 3. Vektortér 4. Vektorok lieáris függősége és függetlesége 5. Lieáris egyeletredszer 6. Lieáris egyeletredszer megoldhatóságáak szükséges és elégséges feltétele 7. Mátrix determiás 8. Mátrix iverz 9. Mátrix rag Lieáris algebra II. 1. Lieáris leképezés fogalma 2. Ragullitás tétele 3. Magtér, képtér 4. Sajátvektor, sajátérték 5. Bázis traszformáció 6. Hasoló mátrixok 7. Ortogoális mátrix Függvéysorozatok, függvéysorok 1. Függvéysorozat 2. Függvéysor 3. Függvéysorozat, függvéysor kovergeciája, egyeletes kovergeciája 4. Weierstrass-tétel 5. Cauchy-Hadamard-tétel 6. Hatváysor 7. Taylor-poliom, Taylor-sor 8. Kovergecia sugár, kovergecia tartomáy 9. Fourier-sor Többváltozós függvéyek 1. Primitív függvéy 2. R R leképezés differeciálhatósága 3. Iráymeti derivált 4. Parciális derivált 5. Gradies 6. Jakobi mátrix 7. Szélsőérték 8. Kvadratikus formák defiitsége 9. Riema-itegrálhatóság (alsó-felső Darboux-itegrál)

18 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 2015 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és létezik zérus (vagy egység-) elem, ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és kommutatívak is, ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe már két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet is asszociatív (azaz tetszőlegese zárójelezhető). test: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe szité két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet itt is asszociatív. Továbbá, létezik a második műveletre is az egység (e) és az iverz (a*) elem. 2. Euklideszi tér Valós euklideszi térbe értelmezhetőek: skaláris szorzat: < x, y >: = x 1 y 1 + x 2 y x y Tulajdoságai: szimmetrikus, homogé, additív, emegatív (vektorterek axiómái) vektor hossza: x < x, x > vektorok közbezárt szöge: cos (x, y) <x,y> x y Def.: Az olya lieáris teret (vektorteret), amelybe skaláris szorzat va értelmezve, euklideszi térek evezzük. Pl. a geometriai vektortér euklideszi tér. Cauchy-Buyakovszkij-Schwarz-egyelőtleség : < x, y > 2 < x, x > < y, y > Ahol < x, x > = x 2 2 illetve < y, y > = y (ld. vektor hossza) Következméye: valós euklideszi terekbe igaz a háromszög-egyelőtleség: x + y x + y Tétel: mide dimeziós euklideszi térbe létezik ortoormált (egységyi hosszúak az ortogoális, azaz egymásra merőleges bázisvektorok) bázis. 1

19 3. Vektortér Def.: Az elemek egy V halmazát a γ számtest (valós, egész, komplex számok stb.) felett vektortérek evezzük, ha értelmezve va 2 művelet: egy összeadás (+) a vektortér elemei között és egy szorzás ( ) a számtest és a vektortér elemei között, és érvéyesek az alábbiak: 1) ha a, b V, akkor a + b V 2) a + b = b + a a, b V kommutativitás (+) 3) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c V asszociativitás (+) 4) létezik zéruselem, ahol a + 0 = 0 + a = a a V 5) létezik az iverz elem, amelyre a + ( a) = 0 6) ha a V, α γ, akkor α a V 7) α(a + b) = αa + αb disztributivitás (+) a ( )-ra 8) (α + β)a = αa + βa a V 9) α(βa) = (αβ)a asszociativitás ( ) a ( )-ra Általáosa: a, b V és α, β γ 1)-5) állítások az összeadásra, 6)-9) állítások a szorzásra voatkozak 4. Vektorok lieáris függősége és függetlesége Az {a 1, a 2,, a } vektorok lieárisa függetleek, ha csak a triviális, α i = 0 megoldása va az α 1 a 1 + α 2 a α a = 0 egyeletek. Ellekező esetbe bármely α em ulla lieárisa összefüggőek (azaz em függetleek) ezek a vektorok. Az α 1 a 1 + α 2 a α a vektor az a 1, a 2,, a vektorok lieáris kombiációja. 5. Lieáris egyeletredszer Def.: A véges sok elsőfokú egyeletet és véges sok ismeretlet tartalmazó egyeletredszert lieáris egyeletredszerek evezzük. Az egyeletredszer felírható az A x = b ú. mátrix alakba, ahol A az együttható mátrix, x az ismeretleek vektora és b az eredméyvektor. - homogé: ha az eredméyvektor ullvektor - ihomogé: ha az eredméyvektorba va akár csak egy darab 0-tól külöböző szám 6. Lieáris egyeletredszer megoldhatóságáak szükséges és elégséges feltétele A lieáris egyeletredszer akkor, és csak akkor oldható meg, ha együttható mátrixáak ragja megegyezik (az eredméyvektorral) bővített mátrixáak ragjával. Másképpe: az együttható mátrix ragja em ő, ha hozzávesszük a b-t. Tehát: rg (A) = rg(a b) - ics megoldás, ha rg (A) rg (A b) - 1 db megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) = - végtele sok megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) < ( az ismeretleek száma) Megoldási módszerek: A iverzével, Cramer-szabállyal, Gauss(-Jorda) elimiációval. 2

20 7. Mátrix determiás Az R tér a 1,, a vektoraihoz (vagyis az dimeziós tér db vektorához) hozzáredelük egy valós számot, amit determiásak evezük és det(a 1, a 2, a )-el jelölük. Axiomatikus felépítés a hozzáredeléshez szükséges axiómák: 1) Additív tulajdoság: ha az i-edik oszlopba vagy sorba csupa kéttagú összeg szerepel, akkor a determiás előállítható két olya determiás összegekét, melyekek az i-edik sorába vagy oszlopába csak a kéttagú összegek első, ill. második tagja szerepel. 2) Homogé tulajdoság: determiást számmal úgy szorzuk, hogy csupá egyik soráak vagy oszlopáak elemeit szorozzuk a számmal. Hasolóa, csak a determiás egyetle oszlopából vagy sorából kell kiemeli a λ számot a determiás elé, hogy e változzo az értéke. 3) Ha a determiás 2 oszlopát felcseréljük, akkor értéke ( 1)-szeresére változik. 4) Az egységmátrix determiása 1. Fotos, hogy csak kvadratikus, azaz égyzetes mátrixokak va determiása. 8. Mátrix iverz A égyzetes A mátrix iverzé olya A 1 -gyel jelölt x-es mátrixot értük, melyre A A 1 = A 1 A = E Csak akkor létezik, ha az A mátrix determiása em ulla, vagyis az A mátrix reguláris. (Vagyis em sziguláris.) Kiszámítási módszerek: adjugálttal vagy Gauss-elimiációval. 9. Mátrix rag Def.: A mátrix ragja egyelő a mátrix lieárisa függetle sorvektoraiak vagy oszlopvektoraiak számával. Másképpe: megegyezik a maximális, el em tűő aldetermiásáak redjével. (aldetermiás redje v. redszáma: háyszor háyas) Avagy: lieárisa függetle oszlopvektorok maximális száma = rag Egy mátrix ragja em változik meg, ha - tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól külöböző számmal szorozzuk - tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük - tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk Lieáris algebra II. 1. Lieáris leképezés fogalma Legye V 1 és V 2 ugyaazo test (R,C) feletti vektortér. A φ: V 1 V 2 lieáris leképezés, ha teljesül, hogy φ(λu 1 + v 1 ) = λφ(u 1 ) + φ(v 1 ) A liearitás tehát azt jeleti, hogy a leképezés az összegre tagokét hat, a skalár kiemelhető. Úgy is modhatjuk, hogy ez a lieáris leképezések additív és homogé tulajdosága. Megjegyzés: φ(0) = 0 Fogalmak: lieáris traszformáció: ha V 1 = V 2 (pl. R 3 R 3 ) ijektív traszformáció: ha φ(u 1 ) = φ(v 1 ), akkor u 1 = v 1 Tehát két külöböző elemhez em redelhetjük ugyaazt, az ősképekek meg kell egyeziük! (kölcsööse egyértelmű, de V 2 em mide eleme képelem) szürjektív traszformáció: v 2 V 2 eseté v 1, hogy φ(v 1 ) = v 2 (V 2 mide eleme képelem, de em kölcsööse egyértelmű!) bijektív (kölcsööse egyértelmű) traszformáció: ha ijektív és szürjektív is 3

21 2. Ragullitás tétele Más éve: dimeziótétel dim Kerφ + dimimφ = dim V 1 azaz def φ + rgφ = dimv 1 ahol Kerφ a leképezés magtere, Imφ a képtere (V 2 részhalmaza), V 1 pedig a tárgytér. 3. Magtér, képtér - magtér: Kerφ = {v 1 V 1 φ(v 1 ) = 0} Megjegyzés: Kerφ altér V 1 -be. A magtér dimeziója a leképezés ú. defektusa. - képtér: Imφ = {v 2 V 2 v 1 V 1, φ(v 1 ) = v 2 } Megjegyzés: Imφ dimeziója a leképezés ragjával egyelő. 4. Sajátvektor, sajátérték Számos műszaki-gazdasági probléma az A x = λx alakú egyeletredszer megoldását igéyli, ahol λ valós vagy komplex paraméter. Akkor va az (A λe) x = 0 homogé egyeletredszerek triviálistól külöböző megoldása (x 0), ha a det (A λe) = 0 ú. karakterisztikus egyelet ulla. Ha létezik zérustól külöböző megoldásvektora az első kettő egyeletek, akkor a λ számokat az A mátrix sajátértékeiek, a sajátértékekhez tartozó x megoldásvektorokat pedig sajátvektorokak evezzük. Def.: Legye v 0. Ekkor v-t a φ: V V lieáris leképezés sajátvektoráak hívjuk, ha φ(v) = λv. λ T, tehát azo T testbeli elem, amely felett V vektortér. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértékek modjuk. Megjegyzések: - valós, szimmetrikus mátrix mide sajátértéke és sajátvektora valós és a sajátvektorok ortogoálisak (egymásra párokét merőlegesek) - külöböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lieárisa függetleek - az A mátrixra alkalmazott tetszőleges S 1 A S hasolósági traszformáció változatlaul hagyja az A mátrix sajátértékeit. - mide valós szimmetrikus mátrixhoz megadható egy olya ortogoális S mátrix (azaz olya, amiek a traszpoáltja megegyezik az iverzével), amelyre S 1 A S = A d Ekkor az A d diagoális mátrix főátlójába az A mátrix sajátértékei vaak. A diagoizálás is bázis traszformáció, azo alapul! - az A mátrix k-adik hatváyáak sajátértékei egyelők az A sajátértékeiek k-adik hatváyával - ha v sajátvektora φ-ek, akkor μv is sajátvektor, hisze a sajátvektor sosem egyértelmű; végtele sajátvektora va egy vektorak, miket csak az iráya érdekel, így a hossza em is számít (általába ezért adjuk meg egységhosszúra). 5. Bázis traszformáció Egy dimeziós vektorokból álló dimeziós lieáris térek végtele sok bázisa va. Az egyik bázisból át lehet téri a másikba. Amikor a bázisak csak az egyik vektorát cseréljük ki, akkor elemi bázistraszformációt hajtuk végre. Egy adott bázisból egy másik bázisba való áttérést bázistraszformációak evezzük. Az új bázist a bázistraszformáció mátrixáak iverzével kaphatjuk meg: A = S 1 A S 4

22 ahol A az új bázis, A az eredeti bázis, S pedig a bázis traszformáció mátrixa. Legye {b 1,, b } és {b 1,, b } bázisok V-be, ekkor az egyikről a másikra való áttérés S mátrixa: b 1 = s i1 b i ; b j = s ij b i ; b = s i b i i=1 i=1 i=1 6. Hasoló mátrixok Az A = S 1 A S s 11 s 1 S = [ ] s 1 s hasolósági traszformáció. - Az A és A mátrixokat hasoló mátrixokak evezzük, ha létezik olya S reguláris mátrix, amely kielégíti a feti egyeletet - Hasoló mátrixok determiása és ragja is megegyezik (az első állítás a determiások szorzattétele alapjá köye belátható.) 7. Ortogoális mátrix Egy mátrix ortogoális, ameyibe iverze megegyezik a traszpoáltjával, azaz A 1 = A T Ez azért előyös, mert ekkor A T A = A 1 A = E Megjegyzés: ortoormált egy bázis, ha az ortogoális bázis vektorai egységyi hosszúak. Függvéysorozatok, függvéysorok 1. Függvéysorozat A számsorozathoz úgy jutottuk, hogy a természetes számokhoz számokat redeltük. Redeljük most ezekhez függvéyeket. Def.: Ha a természetes számok midegyikéhez egy-egy függvéyt redelük, akkor függvéysorozatot kapuk. Legyeek e függvéysorozat elemei az f 1, f 2,, f, függvéyek, amelyek az I itervallumo értelmezettek. Rögzítsük egy x I helyet. Ekkor az f 1 (x), f 2 (x),, f (x), számsorozat lehet koverges vagy lehet diverges. Ha koverges, akkor létezik a lim f (x) = f(x) határérték. Ez azt jeleti, hogy akármilye kicsi ε > 0-hoz va olya ε tól és x-től függő N természetes szám, hogy > N eseté f (x) f(x) < ε. Az N szám a küszöbszám. - f az (f ) függvéysorozat határfüggvéye. - azok az x számok, melyekél a sorozat koverges: a függvéysorozat kovergeciatartomáyát alkotják. - Az így értelmezett kovergeciát potokéti kovergeciáak evezzük. Def.: Az f I R R, N sorozatot függvéysorozatak evezzük. 5

23 2. Függvéysor Def.: Legye f I R R függvéysorozat. Képezzük a következő részletösszegfüggvéyeket: s 1 (x) f 1 (x) s 2 (x) f 1 (x) + f 2 (x) Cauchy-féle kovergeciakritérium s (x) f i (x) i=1 Az így előálló (s ) függvéysorozatot az (f ) függvéysorozatból képzett függvéysorak evezzük és f -el jelöljük. - Az olya végtele sort, amelyek tagjai függvéyek, függvéysorak evezzük. - Itt em határfüggvéy va, haem összegfüggvéy: s(x) lim s (x) 3. Függvéysorozat, függvéysor kovergeciája, egyeletes kovergeciája - A függvéysorozat kovergeciáját a határfüggvéytől függetleül is értelmezhetjük: a) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egy x 0 H potba, ha mide ε > 0 eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté f (x 0 ) f m (x 0 ) < ε b) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges potokét a H I halmazo, ha mide ε > 0 eseté N(ε, x) olya ε-tól és x-től függő N természetes szám, hogy, m > N(ε, x) eseté x H-ra f (x) f m (x) < ε c) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egyeletese az E H halmazo, ha mide ε > 0 eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté x E-re f (x) f m (x) < ε Eze esetek közül a legléyegesebb az az eset, amikor N függetleíthető x-től, vagyis N mide x I eseté küszöbszám. Ilyekor a függvéysorozat egyeletese koverges, más szóval egyeletese tart a határfüggvéyéhez. Ez azért fotos, mert az egyeletese koverges függvéysorozatokál az elemek éháy jeletős tulajdosága öröklődik a határfüggvéyre (pl. differeciálhatóság, itegrálhatóság). - Függvéysorok kovergeciája: a) A f függvéysor koverges az x 0 potba, ha az (s ) függvéysorozat koverges x 0 -ba. b) A f függvéysor koverges a H I halmazo, ha az (s ) függvéysorozat koverges H -. c) A f függvéysor egyeletese koverges E H halmazo, ha az (s ) függvéysorozat egyeletese koverges E H halmazo. A f függvéysor egyeletese koverges az E H halmazo akkor, és csak akkor, ha bármely ε > 0 hoz létezik csak ε-tól függő N szám, hogy s (x) s m (x) < ε, ha, m > N(ε), x E-re. 6

24 4. Weierstrass-tétel Az előbb leírt Cauchy-féle kovergecia kritériummal elég ehézkes vizsgáli az egyeletes kovergeciát, de erre való a Weierstrass-tétel is, ami a függvéysorok egyeletes kovergeciájáak elégséges feltétele: Legye f I R R a függvéysorozat és f a belőle képzett függvéysor; a pedig egy koverges umerikus sor. Ha bármely x J eseté teljesül, hogy f (x) a mide N-re, akkor a f függvéysor egyeletese koverges J-. Értelmezés: ha felülről tudjuk becsüli (majoráli) a függvéysorozatukat egy koverges umerikus sorozattal, akkor a függvéysorozatból képzett függvéysor is koverges, mégpedig egyeletese koverges lesz. (majorás kritérium). Megjegyzés: a Weierstrass-tételbeli kovergecia abszolút kovergecia is, azaz a f függvéysor is koverges. A függvéysorokál is az egyeletese kovergesek a külöleges jeletőségűek, mert például a sor tagjaiak folytoossága, differeciálhatósága, itegrálhatósága öröklődik az összegfüggvéyre. 5. Cauchy-Hadamard-tétel Legye r a a x hatváysor (ld. következő pot) kovergeciasugara a) ha r = 0, akkor a hatváysor csak az x 0 = 0 potba koverges (legrosszabb eset) b) ha r =, akkor a hatváysor bármely x 0 R eseté koverges c) ha 0 < r <, akkor a hatváysor i. abszolút koverges, ha x < r, vagyis r < x < r ii. diverges, ha x > r, vagyis x > r vagy x < r - r -be és r -be külö-külö ki kell értékeli, hogy koverges-e A c) eset a legfotosabb, eek a bizoyítása a következő: i. x 0 < r feltétel eseté a gyöktesztet alkalmazva ii. limsup a x 0 a gyökvoás azoossága miatt x 0 limsup a = x 0 1 r ami a feltétel miatt kisebb, mit 1. Tehát létezik olya q < 1, hogy a x 0 a gyökteszt miatt koverges (x 0 tetszőleges volt, bármely x-re igaz ez, ha x < r). Ugyacsak a gyökteszt miatt, ha x > r, akkor a x hatváysor diverges, hisze q = x 0 r > 1 ekkor. Megjegyzés: azt, hogy a függvéysor hol állítja elő az összegfüggvéyét, csak a hatváysorokál ilye egyszerű meghatározi: 1 r = limsup a = lim a (egyelők, ha a határérték létezik és felveszi függvéyértékkét). 7

25 6. Hatváysor Az alkalmazásokba legtöbbször a függvéysorok speciális osztályával, a hatváysorokkal találkozuk. Előyük, hogy e sorok tagjai egyszerű függvéyek, köye lehet őket deriváli, illetve itegráli. Def.: f (x) a (x a) kitütetett, speciális függvéysorozatból képezzük a hatváysort: a (x a) =0 a : a hatváysor. együtthatója a: a sorfejtés cetruma Defiíció szerit a hatváysor kovergeciasugaráak reciproka: 1 r = limsup a, r R b Tétel. Ha a a x 0 (a = 0 a cetrum és 0-tól összegzük) hatváysor koverges az x 0 potba, akkor az x < x 0 helyeke abszolút és egyeletese is koverges. 7. Taylor-poliom, Taylor-sor Def.: Ha az egyváltozós valós f függvéy az értelmezési tartomáyáak egy belső x 0 potjába legalább -szer differeciálható, akkor a T f, (x) f(k) (x 0 ) k (x x k! 0) poliomot a függvéy x 0 helyhez tartozó -edfokú Taylor-poliomjáak, az R (x) f(x) T (x) külöbséget pedig Lagrage-féle maradéktagak evezzük, ami k=0 R (x) = f(+1) (ξ) ( + 1)! x+1 Valamely akárháyszor differeciálható f függvéyek a Taylor-poliommal való közelítése akkor haszos, ha (a szumma felső határa) övelésével a közelítés hibája tetszőlegese kicsivé tehető, azaz a maradéktag a végtelebe 0-hoz tart. Tehát ha, akkor a Taylorpoliomból egy végtele sor, a Taylor-sor lesz: f(x) = f(k) (x 0 ) k (x x k! 0) k=0 Def.: Ha f akárháyszor differeciálható az x 0 D f helye, akkor a feti végtele sort az f függvéy x 0 helyhez tartozó Taylor-soráak, a sor előállítását pedig a függvéy sorbafejtéséek evezzük. Feltétel, hogy a maradéktag 0-hoz tartso, csak akkor állítja elő a függvéyt a Taylor-sor! Az x 0 = 0 helyhez tartozó Taylor-sort Maclauri-sorak evezzük. Ekkor f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x 2 + = f(k) (0) k! k=0 x k, x < r Megjegyzés: Hasolóképpe, az x 0 = 0 esetre felírt Taylor-formulát Maclauri-formuláak is evezzük. a = f() (0), ha a hatváysor a! x alakú. (Vagyis a = 0 a cetrum). 8

26 8. Kovergeciasugár, kovergeciatartomáy Mivel mid a Taylor-sor, mid a Maclauri-sor hatváysor, ezért e sorok kovergeciatartomáyát a kovergeciasugár kiszámításával határozzuk meg, a szokásos módo, legikább háyadosteszttel vagy gyökteszttel: 1 r = lim a k+1 k a k 9. Fourier-sor Trigoometrikus poliomak evezzük a következő alakú függvéyt: t k (x) a 0 + a 1 cosx + b 1 six + a 2 cos2x + b 2 si2x + + a k coskx + b k sikx A Fourier-sor léyegébe a trigoometrikus poliomból képzett trigoometrikus sor. Így a Fourier-sor általáos képlete: f(x) = a 0 + (a k coskx + b k sikx) k=1 A Fourier-sorfejtés csak (általába 2π szerit) periodikus függvéyekre alkalmazható. Ehhez az f függvéyek, amiek a Fourier-sorát akarjuk megállapítai, korlátosak és Riema szerit itegrálhatóak is kell leie. A feti képletbeli ú. Fourier-együtthatók a következők: Egyszerűsítések: 2π a 0 = 1 2π f(x)dx ; b 0 = 0 0 2π a k = 1 f(x) coskxdx π 0 2π b k = 1 f(x) sikxdx π 0 - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páratla, akkor csak sziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így a 0 = a k = 0 - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páros, akkor csak kosziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így b k = 0 Általáosa, 2l szerit periodikus függvéyek Fourier-sora: 2l a 0 = 1 2l f(x)dx 0 2l a k = 1 kπx f(x) cos dx l l 0 2l b k = 1 kπx f(x) si dx l l 0 9

27 Többváltozós függvéyek 1. Primitív függvéy Def.: Legye D R yílt halmaz, f: D R. Ekkor az F: R R függvéyt az f függvéy primitív függvéyéek evezzük, ha F (x) = f(x) x D eseté. A primitív függvéy R R típusú, ezért a deriváltja egy vektor, ami éppe a parciális deriváltakból áll össze, s ez egyelő f(x) kompoes függvéyeivel: ( F(x) x 1, F(x) x 2,, F(x) ) = (f x 1 (x), f 2 (x),, f (x)) j {1,2,, } Vagyis pl. j F = f j (A primitív függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltja a j-edik kompoes függvéyt adja eredméyül; j megy 1-től -ig.) Tétel. Szükséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Ha D R yílt halmaz, és F: R R az f primitív függvéye, akkor i f j = j f i Azaz f j-edik kompoes függvéyéek az i-edik változó szeriti parciális deriváltja megegyezik az i-edik kompoes függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltjával. Tétel. Elégséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Legye D R kovex, yílt halmaz. Ha f: D R folytoosa differeciálható és i f j = j f i i, j {1,2,, } eseté, akkor az f-ek létezik primitív függvéye. 2. R R k leképezés differeciálhatósága Def.: Legye U R yílt halmaz, f: U R k leképezés. Azt modjuk, hogy f differeciálható az a D f potba, ha létezik A: R R k lieáris leképezés és ω: R R k leképezés, melyre ω(0) = 0, valamit létezik ω(h) lim h 0 h = 0, hogy f(x) f(a) = A(x a) + ω(x a) Az A leképezések egy kx-es mátrix felel meg, hisze a deriválás egy (lieáris) leképezés! x a = h helyettesítéssel: f(a + h) f(a) = A(h) + ω(h) 3. Iráymeti derivált Egyváltozóba az adott potbeli derivált egyértelmű, de többváltozós függvéyek eseté az adott potba végtele sok éritője va a felületek, ezért kiválasztuk egy síkot, amivel elmetsszük ezt a felületet. Ez a görbe kimetsz a felületből egy egyeest, eek pedig már kokrét éritője va. Az iráymeti derivált az adott iráy által kimetszett függvéy deriváltja: f e = lim f(a + λe) f(a) =< e, gradf >, ahol e = 1 λ 0+0 λ Ha a feti határérték létezik és az egy valós szám, akkor ezt az f a potbeli, e iráyú iráymeti deriváltjáak evezzük. Jele: e f(a). Az a vektor által mutatott pothoz tehát em midegy, hogya, melyik iráyból közelítük. 10

28 4. Parciális derivált A koordiátategelyek iráyába eső iráymeti deriváltak kitütetett szerepe va, ez a parciális derivált. Ekkor az egyik koordiátategely iráyából tartuk az adott potba, a másik változót rögzítjük, kostasak tekitjük, és úgy deriváluk. A többváltozós függvéy valamely változója szeriti deriváltját parciális deriváltak evezzük: Jele: f x = f x vagy f y = f y 5. Gradies Def.: Legye f: R R típusú függvéy, ekkor f gradiesvektora az egyes változók szeriti parciális deriváltakból áll: f x 1 f grad f = f = x 2 f [ x ] - mide potba merőleges a poto áthaladó szimmetriavoalra - a függvéy legagyobb övekedéséek iráyába mutat 6. Jakobi mátrix Def.: Legye f: R R k típusú függvéy. Tudjuk, hogy a deriválás is egy lieáris leképezés, így megfeleltethető eki egy kx-es mátrix: f (a) A M kx A deriválás mátrix reprezetációja a legegyszerűbb esetbe: [ 2 0 0] Jelölés: f (a) = Jf(a)= f 1 f 1 x 1 x gradf 1 (a) = gradf 2 (a) f k f k [ x 1 x ] kx [ gradf k (a)] Léyege: azoos oszlopba a külöböző függvéyekek ugyaazo változó szeriti parciális deriváltja kerül; azoos sorba pedig az adott függvéy egyes parciális deriváltjai, vagyis a gradiesek. 7. Szélsőérték Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek szükséges, de em elégséges feltétele: az első parciális deriváltak ullák legyeek az (x 0, y 0 ) potba, azaz f x (x 0, y 0 ) = 0 f y (x 0, y 0 ) = 0 Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek elégséges feltétele: az ú. Hesse-mátrix determiása agyobb legye, mit 0, azaz f xx f xy = f f yx f xx f yy f 2 xy = D(x, y) > 0 yy (A második parciális deriváltak folytoosak, így f xy = f yx ) 11

29 Tehát va lokális szélsőérték, ha D > 0. Eze belül: a függvéyek lokális miimuma va, ha S(x 0 ) = f xx + f yy > 0 lokális maximuma va, ha S(x 0 ) = f xx + f yy < 0 S(x 0 ) a főátlóba lévő elemek összege, vagyis a Hesse-mátrix yoma (Spur, Trace). Nem döthető el, hogy va-e szélsőérték, ha D = 0. Nics szélsőérték, ha D < Kvadratikus formák defiitsége Def.: ψ: V V R szimmetrikus bilieáris forma és η(x) = ψ(x, x) kvadratikus forma. Az η: V R kvadratikus formát i. pozitív defiitek modjuk, ha η(x) > 0 ii. egatív defiitek modjuk, ha η(x) < 0 iii. pozitív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) 0 iv. egatív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) 0 x 0 V eseté. Ha ezek egyike sem teljesül, akkor idefiit kvadratikus formáról beszélük. A kvadratikus formák defiitsége kapcsolatba hozható a lokális szélsőértékek létezésével: 1) Ha Q pozitív defiit, akkor f-ek az x 0 potba lokális miimuma va. 2) Ha Q egatív defiit, akkor f-ek az x 0 potba lokális maximuma va. 3) Ha Q idefiit, akkor f-ek az x 0 potba ics szélsőértéke. 4) Ha Q szemi-defiit: em tudjuk megmodai, hogy va-e szélsőértéke. 9. Riema-itegrálhatóság (alsó-felső Darboux-itegrál) Legye f: I R R típusú korlátos függvéy. Ekkor az f függvéyt Riemaitegrálhatóak modjuk, ha S(f) = S(f) (alsó és felső Darboux-itegrál megegyezik). S(f): = su p{s(f, d) d beosztása I ek} alsó Darboux-itegrál S(f): = if{s(f, d) d beosztása I ek} ahol A d beosztáshoz tartozó alsó itegrálközelítő összeg: k S(f, d) if(f(i i )) Vol(I i ) i=1 A d beosztáshoz tartozó felső itegrálközelítő összeg: S(f, d) sup(f(i i )) Vol(I i ) ahol k i=1 felső Darboux-itegrál Vol(I i ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b k a k ) szorzat az i. itervallum térfogata. Ameyibe az alsó- és felső Darboux-itegrál megegyezik, akkor ezt a közös értéket f(x)dx -szel jelöljük és Riema-itegrálak evezzük. I 12

30 Matematika A3 szóbeli beugró kérdések 2015 Vektoraalízis Duális tér 2. Leképezés adjugáltja, szimmetrikus és atiszimmetrikus leképezés 3. Mátrix vektorivariása és yoma (trace, spur) 4. Gradies, divergecia és rotáció 5. Nabla vektor 6. Laplace operátor, harmoikus függvéy Vektoraalízis Skalárpoteciálos vektormező 2. Vektorpoteciálos vektormező 3. Görbe 4. Görbe ívhossza 5. Felület 6. Felszíszámítás 7. Stokes-tétel 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel 9. Gree-tételek Differeciálegyeletek Közöséges -edredű differeciálegyelet 2. Differeciálegyelet megoldásáak típusai (általáos, partikuláris, sziguláris) 3. Cauchy-feladat 4. Lipschitz-feltétel 5. Picard-Lidelöf tétel 6. Iráymező Differeciálegyeletek Szeparábilis és arra visszavezethető DE 2. Beroulli-féle DE 3. Riccati-féle DE 4. Egzakt DE 5. Lieáris álladó együtthatós DE 6. Lieárisa függetle függvéyredszer 7. Wroski-determiás 8. Differeciálegyelet-redszer

31 A3 miimumkérdések szóbelire 2016 Vektoraalízis Duális tér V Hom(V, R), ahol (V, +, λ) vektortér, V elemei pedig ú. lieáris formák, azaz és v φ(v) φ(αv + βw) = αφ(v) + βφ(w) Megjegyzés: homomorfizmus alatt két algebrai struktúra közötti művelettartó leképezést értük. Pl. ha az egyik struktúrába valamely elemek közt valamilye reláció áll fe, akkor eze elemeikek képei a másik struktúrába is ebbe a relációba állak. (Edomorfizmus: ha a képhalmaz részhalmaza az alaphalmazak, pl. Z N) V halmazt természetes módo vektortérré tehetjük a következőképpe: (α + β)v = αv + βv, α, β V (ρ φ)v = ρ φ(v) ρ R, φ V Így (V, +, λ) már vektortér, amit V duális teréek is evezük. Vektortér és duális teréek dimeziója megegyezik. 2. Leképezés adjugáltja, szimmetrikus és atiszimmetrikus leképezés Legye E = (V, < ; >) adott euklideszi tér (tehát egy olya vektortér, amibe értelmezve va a skaláris szorzás), és φ: V V egy lieáris leképezés. Ekkor a φ : V V leképezést a φ leképezés adjugáltjáak modjuk, ha v 1, v 2 V eseté < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ (v 1 ) ; v 2 > Idempotes tulajdoság: adjugált adjugáltja az eredeti leképezés, azaz (φ ) = φ. Szimmetrikus leképezés: φ szimmetrikus leképezés, ha adjugáltja ömaga, azaz φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V Atiszimmetrikus leképezés: φ atiszimmetrikus leképezés, ha φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V 3. Mátrix vektorivariása és yoma (trace, spur) Tekitsük a következő, 3x3-as atiszimmetrikus mátrixak és a w vektorak a szorzatát: 0 a 12 a 13 w 1 a 12 w 2 + a 13 w 3 [ a 12 0 a 23 ] [ w 2 ] = [ a 12 w 1 + a 23 w 3 ] a 13 a 23 0 w 3 a 13 w 1 a 23 w 2 Egy atiszimmetrikus lieáris traszformáció midig leírható egy rögzített vektorral való vektoriális szorzatkét. Ezt a vektort evezzük a mátrix vektorivariásáak. v 1 w 1 v 2 w 3 v 3 w 2 [ v 2 ] [ w 2 ] = [ v 3 w 1 v 1 w 3 ] v 3 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 A w = v w 1

32 w együtthatóiak meg kell egyezie, tehát a vektorivariás: v 1 v 2 a 23 a 13 v [ ] = [ ] v 3 a 12 A vektorivariás csak ortogoális traszformációkkal szembe ivariás. Egy lieáris traszformáció mátrixáak főátlójába lévő elemek összege mide KR-be ugyaayi, tehát a koordiáta-traszformációkkal szembe ivariás. Ezt az összeget a lieáris traszformáció (V 1 = V 2 ) első skalárivariásáak / yomáak / spurjáak / tracejéek evezzük. (És ez a sajátértékek összege.) 4. Gradies, divergecia, rotáció A gradies csak skalármező (azaz skalár-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. u: R 3 R grad u = u u u i + j + x y z k A gradiest tehát úgy kapjuk, hogy a skalármezőt az összes változója szerit, külö-külö (parciálisa) lederiváljuk, és egy oszlopvektorba redezzük. u x u grad u = y u ( z) A gradies tehát vektormeyiség. Ha bevezetjük az ú. abla vektort: x = y ( z) Akkor grad u formálisa a abla vektorak és az u skalármezőek a szorzatakét írható fel: grad u = u Megjegyzés: Skalármező gradiese, illetve vektormező divergeciája és rotációja függetle a koordiátaredszertől. A divergecia csak vektormező (azaz vektor-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. Eredméye skalármeyiség. v: R 3 R 3 Defiíció szerit div v = sp(j v ), tehát v Jakobi-mártixáak a yoma: div v = f 1 x + f 2 y + f 3 z Ahol f i a v vektormező i-edik kompoesfüggvéye. Formálisa div v a abla vektorak és a v vektormezőek a (skaláris) szorzatakét írható fel: div v = v(r) Ha div v = 0, akkor a vektormező forrásmetes. 2

33 A rotáció szité csak vektormező (azaz vektor-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. Eredméye viszot vektormeyiség. Defiíció szerit 1 2 rotf = 1 2 (Df Df ), ahol Df a derivált mátrix (Jakobi-mátrix), amiek a soraiba az egyes kompoesfüggvéyek gradiesei vaak. Df pedig Df traszpoáltja. Formálisa rot v a abla vektorak és a v vektormezőek a vektoriális szorzatakét írható fel: rot v = v(r) v: R 3 R 3 eseté rot v = f z y f y z f x z f z x f y ( x f x y ) Fotosabb azoosságok, ha x r = ( y) z div r = 3 rot r = 0 Illetve a zérus azoosságok: rotgrad u = 0 divrot v = 0 5. Nabla vektor x = y ( z) Igazából em vektor, haem operátor, de vektorkét kezelve a legtöbb művelet köyebbe elvégezhető a segítségével. 6. Laplace operátor, harmoikus függvéy A Laplace-operátor defiíció szerit: = = 2 x y z 2 Akkor harmoikus például az u skalár-vektor (R 3 R) függvéy, ha u = 0 = u = grad u = divgrad u = 0 Tehát kielégíti az ú. Laplace-egyeletet. (Feltétel: legye kétszerese differeciálható az u függvéy.) 3

34 Vektoraalízis Skalárpoteciálos vektormező Egy v: V V vektormező skalárpoteciálos, ha u: V R skalármező, hogy v = grad u. (Fizikai) erőtér eseté a vektortér más éve kozervatív, ha ez teljesül. Ekkor u-t v poteciálfüggvéyéek evezzük. Feltétel: rot v = 0. (örvéymeteség) Megjegyzés: Ha egy vektormező előáll egy skalármező gradiesekét, akkor a vektormező bármely görbe meti skalárértékű voalitegrálja csak a kezdő- és a végpottól függ, tehát függetle az úttól. Egy vektortérek végtele sok skalárpoteciálja va (a kostas miatt). A skalárértékű voalitegrál értéke (a muka) a poteciálkülöbséggel egyelő: B < v(r(t)), r (t) > = u(b) u(a) A A poteciálfüggvéyek a voalitegrállal kapcsolatba az a szerepe, mit egy egyváltozós függvéy határozott itegráljával kapcsolatba a primitív függvéyek. 2. Vektorpoteciálos vektormező Egy v: V V vektormező vektorpoteciálos, ha w: V V vektormező, hogy v = rot w, azaz előáll egy másikmező rotációjakét. (w vektor tetszőleges koordiátáját ulláak választjuk a megoldás sorá.) Feltétele: div v = 0. (forrásmeteség) 3. Görbe Legye I R egy em feltétleül korlátos itervallum. Ekkor az r: I R 3 leképezést reguláris görbéek hívjuk, ha r immerzió, azaz a derivált leképezése ijektív (a képek egyelőségéből következik az ősképek egyelősége: φ(a) = φ(b) a = b). 4. Görbe ívhossza A pályasebesség I fölötti itegrálját a térgörbe ívhosszáak evezzük: (avagy a sebesség idő szeriti voalitegrálját) L(r) = r (τ) dτ I Más defiíció szerit, amikor egy tetszőleges síkgörbe ívhosszát olya húrok összegével közelítjük, amik 0-hoz tartaak: Egy y = f(x) egyelettel adott, szakaszokét sima görbe a x b határok közötti ívhossza: b s = ds = x=a 1 + y 2 A töröttvoalak hosszáak az összege is az ívhossz, mide határo túli fiomítás eseté: b x=a r(t i ) r(t i 1 ) i 5. Felület Legye S R 3, ekkor S-t reguláris (szabályos) felületek modjuk, ha p S pothoz létezik p-ek olya V R 3 köryezete, hogy a φ: U R 2 V S leképezés - differeciálható homeomorfizmus (diffeomorfizmus, azaz differeciálható bijekció) - és φ immerzió, azaz a φ q : R 2 R 3 (q potba) ijektív lieáris leképezés φ eve: parametrizáció dx p V S eve: p koordiátaköryezete 4

35 6. Felszíszámítás Triagularizáció (felszí lefedése háromszögekkel) helyett kicsi, elemi, éritő paralelogrammákkal közelítjük a felszít, amik már em tudak elváli a felülettől (ez az alapelve). Az ú. skaláris felületelem: ds = r u r v u v Ahol r r és a paramétervoalak P potbeli éritővektorai. (A felülete a P potot az u és v u v ú. paramétervoalak metszésekét vettük fel; r a P potba mutató vektor) A skaláris felületelem a két differeciálvektor által kifeszített elemi paralelogramma területe. Amit, ha mide határo túl fiomítuk, akkor a következő itegrál megadja a teljes felszít: S = ds = r u r v dudv T T 7. Stokes-tétel A görbe meti és a felületi itegrálok közötti kapcsolatot írja le. Kétdimeziós Newto-Leibizformuláak is szokták evezi. Legye F: [a, b] [a, b] R 3 jobbkéz-szabály szerit iráyított, parametrizált peremes felület. Továbbá, legye v: R 3 R 3 legalább egyszer folytoosa differeciálható vektormező, ekkor: < v(r), ds > < rot v, df > G Tehát a G görbe meti voalitegrál megegyezik az F felülete vett felületi itegrállal. df = Ezáltal is belátható, hogy ha a vektormező örvéymetes, akkor bármely zárt görbe meti itegrálja zérus, hisze, ha rot v = 0, akkor a skalárszorzat ulla a kettős itegrálba. Megjegyzések: - kétoldalú, zárt felület legye adott, amit egy zárt görbe határol - azoos peremmel redelkező S 1 és S 2 felületek eseté az itegrálok megegyezek - perem élküli felület eseté ulla a kettős itegrál értéke - ha em iráyítható a felület, akkor felbotjuk iráyítható részekre - fizikai alkalmazás pl. gerjesztési törvéy 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel A felületi itegrál és a térfogati itegrál között teremt kapcsolatot. Szükséges egy korlátos, zárt felület és egy kifelé mutató ormálvektor. Legye V: [a, b] 3 R 3 iráyított, paraméterezett elemi tértartomáy és v: R 3 R 3 V- legalább egyszer differeciálható vektormező, ekkor: F < v(r), df >= div (v(r)) dv F Ahol F a határfelülete V-ek. A tételből látható, hogy forrásmetes (div v = 0) vektortér zárt felületre vett itegrálja (avagy átáramlási feleslege) ulla. 9. Gree-tételek Legyeek φ, ψ: R 3 R kétszerese folytoosa differeciálható skalármezők. A Gauss- Osztrogradszkij-tételbe vegyük fel a v vektorteret v = φ gradψ alakba. Ekkor div v = v = (φ ψ) = φ ψ + φ ψ = gradφgradψ + φ ψ V 5

36 Ezt felhaszálva kapjuk az első, ú. aszimmetrikus Gree-tételt: < φ gradψ, df >= (gradφgradψ + φ ψ) dv F V Az első Gree-tételbe φ és ψ szerepét felcserélve, és az így kapott egyeletet kivova az első tétel egyeletéből, a második, ú. szimmetrikus Gree-tételt kapjuk: Differeciálegyeletek 1. < φ gradψ ψ gradφ, df > = (φ ψ ψ φ) dv F A differeciálegyeletek a természetbe lejátszódó folyamatok, műszaki, fizika és kémiai problémák matematikai leírásáak élkülözhetetle elemei. 1. Közöséges -edredű differeciálegyelet Differeciálegyeletek az olya egyeletet evezzük, melybe ismeretle függvéyek, ezek deriváltjai, valamit függetle változó(k) fordul(ak) elő. Közöséges: csak egyetle függetle (x) változó va bee (em parciális, ahol több) Red: az ismeretle (y, y" ) legmagasabb fokszámú deriváltja V Defiíció szerit Legye y: R R -szer folytoosa differeciálható függvéy, y = y (0), y = y (1),, y () deriváltfüggvéyek szité folytoosak és jelölje x a függetle változót! Ekkor az F(x, y, y, y",, y () ) = 0 egyelet az y-ra voatkozó, -edredű, közöséges differeciálegyelet. (A feti megadást implicit megadásak is hívjuk, mivel a legmagasabb fokszámú derivált em fejezhető ki egyértelműe, explicite.) 2. Differeciálegyelet megoldásáak típusai (általáos, partikuláris, sziguláris) Általáos: amely kielégíti a differeciálegyeletet (DE-t) és potosa ayi, egymástól függetle, tetszőleges kostast tartalmaz, aháyad redű a DE. Az általáos megoldás a homogé és az ihomogé rész összege: y á = y H + y IH Partikuláris: amely az általáos megoldásból úgy származtatható, hogy az abba szereplő kostasokak meghatározott értéket aduk. (pl. Cauchy kezdetiérték-feladat) Általáosabba: partikuláris megoldás, ha a megoldásfüggvéy legalább 1-gyel kevesebb egymástól függetle álladót tartalmaz, mit aháyad redű a DE. Sziguláris: olya megoldás, amely NEM kapható meg az általáos megoldásból az álladók megfelelő választásával. (pl. szeparábilis DE eseté) 3. Cauchy-feladat Más éve kezdetiérték-feladat. Az -edredű DE olya megoldását keressük, amely kielégíti az y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,, y ( 1) (x 0 ) = y 0 ( 1) kezdeti feltételt, ahol x 0, y 0, y 0,, y 0 ( 1) adott számok. Egy DE megoldása sorá meg va adva megfelelő számú peremfeltétel (PF), amikkel az itegrálás sorá feltűő álladók értéke meghatározható. Ayi PF kell, aháyad redű a DE. 6

37 4. Lipschitz-feltétel Ha az f függvéy teljesíti a Lipschitz-feltételt az adott tértartomáyo, akkor a megoldásgörbék em metszik egymást (azaz létezik egyértelmű megoldás, egy poto csak egy darab itegrálgörbe halad át). Defiíció: Az f függvéy a D tartomáyo az y változóra ézve kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha létezik M pozitív valós szám, hogy f(x, y 2 ) f(x, y 1 ) M y 2 y 1 (x, y 1 ), (x, y 2 ) D 5. Picard-Lidelöf tétel Ez egybe egzisztecia- és uicitástétel is. Legye y = f(x, y) egy explicit alakba adott DE, és D = I 1 I 2 yílt téglalap tartomáy, ahol I 1, I 2 yílt itervallumok és legye (x 0, y 0 ) D, továbbá I. f folytoos midkét változójába D- II. f elégítse ki a Lipschitz-feltételt y változóra D-. Ekkor: egyértelműe létezik φ: (x 0 ε, x 0 + ε) R függvéy, melyre φ (x) = f(x, φ(x)) φ (x 0 ) = y 0 egyarát teljesül, azaz a φ megoldás egyértelmű. Megjegyzések: - ha f függvéyről csak a folytoosságot feltételezzük: Peao-feltétel - hasolóa a Cauchy-feltételhez (ott I. feltétel ugyaaz, II. feltétel, hogy az f függvéy y szeriti parciális deriváltja korlátos D-beli potba), a Picard-Lidelöf tétel is erősebb, szigorúbb tétel. Hisze, a tételbe elegedő, de em szükséges feltételek vaak, ezáltal lehet, hogy em teljesül midkét feltétel, mégis va egyértelmű megoldás! 6. Iráymező Az iráymező a differeciálegyelet megoldásairól ad szemléletes képet. Az y = f(x, y) DE megoldása geometriailag a következőképpe szemléltethető. Az f függvéy értelmezési tartomáyáak mide egyes (x, y) potjához redeljük hozzá a rajta átmeő, y = f(x, y) iráytagesű (meredekségű) egyeesek (megoldásgörbéek) a potot tartalmazó kicsiy szakaszát. E szakaszok összessége alkotja a differeciálegyelet iráymezőjét; a szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a DE megoldásáak geometriai képét. Tehát sok-sok potba berajzoljuk az éritők egy kicsiy darabját, ezek leszek a képe is látható voalelemek, amik összessége az iráymező. Izoklia: az a görbe, amelyek potjaihoz azoos iráyú, vagyis párhuzamos voalelemek tartozak. 7

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai

A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai A. függelék Laplace-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel hogy az f(t),t [, ) egy olya függvéy, amely az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: f(t) dt

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Interpolációs módszerek Szakdolgozat. Tálas András Matematika Bsc Matematikai elemző szakirány

Interpolációs módszerek Szakdolgozat. Tálas András Matematika Bsc Matematikai elemző szakirány EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNY EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Iterpolációs módszerek Szakdolgozat Tálas Adrás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Dr Havasi Áges Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben