18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

Átírás

1 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei. Függetle összeg kovergeciája. Kolmogorov-háromsortétel. Nagy számok er s törvéyei. Gyege kovergecia, karakterisztikus függvéy. Cetrális határeloszlás tétel. Iterált logaritmus tétel.) Alapfogalmak. Deíció. Valószí ségi mértéktére egy (Ω, A, P) hármast értük, ahol Ω egy emüres halmaz (az elemi eseméyek halmaza), A egy Ω- értelmezett σ-algebra (az eseméyek halmaza) és P egy valószí ségi (azaz -re ormált) mérték az Ω alaphalmazo. Deíció.2 Legye (X, F) egy mérhet tér. Egy X : Ω X leképezés valószí ségi változó, ha (A, F)-mérhet, azaz X (F ) A mie F F eseté. Az X valváltozó által geerált σ-algebra: σ(x) := {X (F ) F F} Ω. Deíció.3 Az X valváltozó eloszlása az alábbi mérték a képtére: Q X (F ) := P (X (F )), F F. Deíció.4 Az X : Ω R valósba képez valváltozó eloszlásfüggvéye: F X (t) := P (X < t) = Q X ((, t)), ahol t R. Valós valváltozó abszolút folytoos eloszlású, ha eloszlása abszolút folytoos a Lebesgue-mértékre. Ilyekor létezik a s r ségfüggvéye: (ami persze em más, mit a Rao-Nykoim erivált). f X (t) := Q X λ Tétel.5. F X eloszlásfüggvéy mooto öv, balról folytoos és F ( ) = 0, F ( ) =. (Megjegyzés: ez csak -imba karakterizál!) 2. f X s r ségfüggvéy f X 0 λ-m.m. és R f X(t) λ(t) =. Készítette Mátyás Zalá.

2 Deíció.6 Függetleség.. A,..., A véges sok eseméy függetle, ha P (A i... A ik ) = k P (A ij ) k és i... i k eseté. 2. A, A 2,... végtele sok eseméy függetle, ha mie véges részreszere függetle. 3. {A γ A, γ Γ} halmazreszerek függetleek, ha mie olya {A γ, γ Γ} részreszer függetle, ahol A γ A γ. 4. X γ, γ Γ valószí ségi változók függetleek, ha σ(x γ ), γ Γ függetle halmazreszerek. Tétel.7 Kolmogorov 0- törvéye. Legyeek A, A 2,... σ-algebrák, B := σ(a, A +,...) peig a megfelel farok σ-algebrák. Ekkor C B = eseté P (C) = 0 vagy P (C) =. Tétel.8 Borel-Catelli lemma. Legyeek A, A 2,... eseméyek. Ekkor a) P (A ) < P (lim sup A ) = 0 = b) Ha az eseméyek függetleek is, akkor a tétel megforítható. Deíció.9 Várható érték (mometum): E(X) := X(ω)P (ω), ha Ω ez létezik. Magasabb mometumok: E(X k ) Szóráségyzet: D 2 (X) := E[(X E(X)) 2 ], ha X L 2 Kovariacia: cov(x, Y ) := E[(X EX)(Y EY )] = E(XY ) E(X)E(Y ) Tétel.0 Ha a megfelel mometumok létezek, akkor EX = R t Q X(t) = R tf X(t) λ(t) = X 0 egészérték EX = = [ F X (t) F X ( t)] t 0 P (X ) Jese egyel tleség. ϕ kovex, létezik EX E(ϕ(X)) és E(ϕ(X)) ϕ(ex) (Megjegyzés: Az egyel tleség iráya köye megjegyezhet arról, hogy a szóráségyzet miig emegatív.) 2

3 EX <, EY < eseté X, Y függetle E(XY ) = EX EY Függetleség eseté D 2 (X + Y ) = D 2 (X) + D 2 (Y ) X, Y függetle korrelálatla (Vigyázat! Forítva em igaz!!!) 2 Kovergeciafajták és kapcsolataik. Az valószí ség (azaz P-m.m.), L p -beli és sztochasztikus kovergecia fogalmait ismertek tekitem, ezeket em eiálom. Deíció 2. Legye (S, ρ) egy teljes szeparábilis metrikus tér, (Q ) = peig rajta értelmezett mértékek sorozata. A mértéksorozat gyegé koverges és határértéke Q, ha f C b (S) (azaz folytoos és korlátos függvéy) eseté f Q w f Q. Jelölése: Q Q. Valváltozók X sorozata eloszlásba kovergál egy X valváltozóhoz, ha w Q X Q X gyegé. Jelölése: X X. Deíció 2.2 H L (Ω, A, P ) valváltozók halmaza egyeletese itegrálható, ha sup X P 0, mi c. X H{ X >c} Tétel 2.3 (A kovergeciafajták közötti kapcsolatok.) val. kov. = sztoch. kov. = eloszlásbeli L p -kovergecia = sztoch. kov. = eloszlásbeli X X sztochasztikusa = k : X k X val. Riesz-lemma. X X sztochasztikusa és létezik ε ullsorozat, amire P ( X X > ε ) < = valószí séggel is koverges. = A sztochasztikus és a gyege kovergecia metrizálható. L p X X X sztochasztikusa és { X p } = egyeletese itegrálható. X Cramer-Sluckij lemma. X X eloszlásba és ϱ(y, X ) 0 sztochasztikusa = Y X eloszlásba. w Q Q F (x) F (x) x c(f ) folytoossági potba. 3

4 Deíció 2.4 Legye (S, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér. Valószí ségi mértékek P halmaza feszes, ha ε > 0 K ε kompakt halmaz, amire Q P eseté Q(S \ K ε ) < ε. P relatív kompakt, ha mie végtele halmazáak va gyegé koverges részhalmaza. Tétel 2.5 Prohorov tétele. (S, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér eseté feszesség relatív kompaktság. Tétel 2.6 Helly tétele. F eloszlásfüggvéyek R-e = F k részsorozat és G mooto öv, balról folytoos függvéy, hogy F k (x) G(x) mie x c(g) folytoossági potba. 3 Cetrális határeloszlás tételek. Deíció 3. Az X : Ω R valósba képez valváltozó karakterisztikus függvéye ϕ X : R C, ahol ϕ X (t) := E(e itx ). (Megjegyzés: A vájtszem ek azoal észrevehetik, hogy ez em más, mit a mometumgeeráló függvéy megszorítva a képzetes tegelyre.) Tétel 3.2 (A karakterisztikus függvéy tulajoságai.) ϕ X (t), ϕ X (0) = és ϕ X pozitív szemieit függvéy. X,..., X függetle valváltozók = ϕpi X i (t) = i ϕ Xi (t) E X < = ϕ X -szer folytoosa iereciálható, és emellett ϕ (k) X (0) = ik E(X k ), ahol k =,...,. Lévy-féle iverziós formula. lim c 2π c c e ita e itb ϕ X (t)t = it Uicitás tétel. ϕ X meghatározza F X -et. = P (a < X < b) + [P (X = a) + P (X = b)]. 2 Folytoossági tétel. X X = ϕ X (t) ϕ X (t) véges itervallumo egyeletese. Megforítva: ϕ X (t) Ψ(t) t R és Ψ 0-ba folytoos függvéy = Ψ = ϕ X karakterisztikus függvéy és X X gyegé. 4

5 Deíció 3.3 Staar ormális eloszlás. X staar ormális eloszlású valváltozó, ha karakterisztikus függvéye ϕ X (t) = e t2 2. Jelölés: X N(0, ). Tétel 3.4 Moivre-Laplace tétel. (Alias -imeziós szimmetrikus bolyogás.) X, X 2,... függetle valváltozók P (X = ) = P (X = ) = eloszlással, S := X i. Ekkor S N(0, ). i= Tétel 3.5 Hicsi iterált logaritmus tétele. Legye X, X 2,... egy imeziós szimmetrikus bolyogás. Ekkor valószí séggel lim sup lim if S 2 log log = S 2 log log =. Deíció 3.6 X j, ( =,... ; j =,..., k ) függetle szériasorozat, ha a szerepl valváltozók x -re függetleek. Aszimptotikus kicsiység (AK) feltétele: max 0, mi. j D2 X j, Cetrális határeloszlás (CH): X N(0, ). Lieberg-feltétel (L): ε > 0-ra L(, ε) := k E(Xj,χ 2 { Xj, >ε}) 0, mi. Tétel 3.7 Lieberg-Feller tétel. Legye X j, ( =,... ; j =,..., k ) k egy függetle szériasorozat, EX j, = 0, D 2 X j, =, S := k X j,. Ekkor a részletösszegekre (L) (AK) + (CH). Megjegyzés 3.8 A cetrális határeloszlás tételek szemléletese azt fejezik ki, hogy agy számú kicsi, közel függetle véletle hatás összegz ése jó közelítéssel ormális eloszlást ereméyez. Ez az ige általáos moell sok jeleségre alkalmazható (lás pélául a regeteg külöböz statisztikai próbát), ez az oka a CHT közpoti szerepéek. Természetese emcsak a kovergecia téye, haem aak sebessége is léyeges, err l szól a hírhet Berry-Essée tétel. 5

6 4 Függetle összeg kovergeciája. Ebbe a fejezetbe el foruló X, X 2,... valváltozók függetleek, részletösszegüket S -el jelöljük. Tétel 4. Kolmogorov tétele. S 0 vagy valószí séggel kovergál. Lévy tétele. S sztochasztikusa koverges valószí séggel koverges. Nagy számok gyege törvéye. X, X 2,... függetle, azoos eloszlású (ii. = iepeet a ietically istribute) valváltozók, EX sztochasztikusa, s t L 2 -be is. EX 2 < = S Feller tétele. X i ii. eseté a számsorozat, amelyre S a 0 sztochasztikusa P ( X > ) 0, mi. Nagy számok er s törvéye. X i függetle vv.-k, i= i= D 2 (X i ) i 2 < = [X i EX i ] 0 valószí séggel. (Speciálisa X i ii. eseté S EX valószí séggel.) Kolmogorov féle er s törvéy. X i ii. = (i) S c kostas valószí séggel = EX <. (ii) EX < = S EX valószí séggel. Kolmogorov háromsor tétele. Jelölje a c szitbe levágott valváltozót Xj c := X j χ { Xj c}. (i) Tfh. c : P ( X j > c) < j EXj c < j D 2 (Xj c ) < j } = j X j val. koverges. (ii) X j valószí séggel koverges = a feti három sor c R eseté koverges. 6