Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány"

Átírás

1 Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet x otot lehet szerezi a félév sorá: 40 ot:. ZH a félév közeé 40 ot:. ZH a félév végé 0 ot: beaaó felaatokkal ( ot 0 x ot: szorgalmi felaatokkal Mikét ZH- miimálisa teljesítei kell a 30 %-ot, azaz a otot. Ha egy ZH sikertele, em íro meg, vagy javítai szeretél, akkor vizsgai szak els heté lesz lehet ség a ótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH ayagából javíthatsz, és a jobbik ereméyt veszem gyelembe, azaz em lehet rotai. Két sikertele vagy meg em írt ZH eseté gyakuv-t írsz, és maximum kettest kahatsz. A ZH-ko a kiosztott táblázatoko kívül haszáli lehet egy A4-es lara (akár mikét olalára KÉZZEL írott "uskát". Beaaók: Miegyik maximálisa otot ér, a legjobb 0-et veszem gyelembe. A beaaókál több felaatot is kihiretek, amik közül ízlés szerit válogathattok. A beaaók célja, hogy folyamatosa tauljatok, gyakoroljatok, ezért x határi ig lehet ket beyújtai. 0-34, ,99 Osztályozás: , , Személyes aatok Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE TTK Szoba D vargal4@cs.elte.hu Hola Ajálott iroalom Bogáré Mogyorói Prékoa Réyi Szász: Valószí ségszámítási felaatgy jteméy Arató Prokaj Zemléi: Valószí ségszámítás elektroikus jegyzet (kés bb: takoyvtar.hu, most htt:// oktatas.html. De Méré roblémája, 654. De Méré lovag agy szerecsejátékos volt, az alábbi két kéréssel forult Pascal-hoz: Ha egy kockát 4-szer felobuk, akkor mi aak a valószí sége, hogy legalább egy hatos obás lesz? Ha két kockát 4-szer felobuk, mi aak a valószí sége, hogy legalább egy ula hatos lesz? A lovag tisztába volt vele, hogy az els kérésre aaó válasz -él kicsivel kisebb, a másoikra eig -él kicsivel agyobb, e fogalma se volt, miért. a. Számítsuk ki a két valószí ség otos értékét! b. A két valószí ség miért va közel egymáshoz?. Markowitz-moell, 95. Számlavezet bakoál reelkezésere áll Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált három ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé 4%, 3% szórással; a C ortfólióé eig 5%, 4% szórással. A ortfóliók hozama függetle egymástól. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy várhatóa 4%-os hozamot roukáló, ÉS miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A, B és C ortfóliókba.] 3. Mi a valószí sége, hogy egy szabályos kockával -szer obva, mie szám legalább egyszer kijött? 4. Péterek 0, Marcsiak 30 Ft-ja va. Egy játékba Péter valószí - séggel yer Ft-ot Marcsitól és ugyaeyi valószí séggel veszít Ft-ot. Aig játszaak, míg valamelyikük elyeri a másik összes ézét. Milye valószí séggel yer Péter? 5. Legye X abszolút folytoos eloszlású, Y = ax + b (a, b R. Határoz meg Y eloszlás-, s r ségfüggvéyét, várható értékét és szóráségyzetét! R(X, Y =? 6. Legye X E(0, 3 és Y = X. Határoz meg Y s r ségfüggvéyét és várható értékét!

2 7. Legye X valószí ségi változó s r ségfüggvéye f X (x = π e x x, Y valószí ségi változó s r ségfüggvéye eig f Y (y = π e 4y +4y. Va-e olya alkalmas g függvéy, hogy Y = g(x teljesüljö? Ha va, határoz meg ez(eket a függvéy(eket! 8. Mutass élát olya (Ω, A, P valószí ségi mez re és ezekbe olya A, B, C eseméyekre, amelyekre a. A, B és C árokét függetleek, azoba em teljese függetleek; b. P (A B C = P (AP (BP (C teljesül, azoba az A, B, C eseméyek em teljese függetleek! 9. Gerg egyetemista, aki gyalog 30 ercre lakik az egyetemt l, és egész évbe em vásárol jegyet/bérletet tömegközlekeésre. Ha metróval megy be órára, akkor az elle rök 50% eséllyel, ameyibe eig villamossal, akkor 5%-os eséllyel csíik yako mie úto. A ótíj összege 6 ezer Ft. Egész évbe 00 alkalommal kell bemeie az egyetemre. Mie egyes alkalommal 0, valószí séggel választja a villamost, valószí séggel eig a metrót. a. Határoz meg a értékét, ha egész évbe átlagosa 3 ezer Ft-ot "szá" a bírságokra! b. Az éves iákbérlet 40 ezer Ft-ba kerül. Számíts ki aak a valószí - ségét, hogy Gerg az éves bérlettel jobba jár! c. Gerg t október 4-é az egyetemre meet megbírságolták az elle rök. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy villamossal közlekeett! 0. Legye X emegatív iszkrét valószí ségi változó. a. Bizoyítsuk be, hogy EX = P (X k! k= b. Eek segítségével vezessük le a geometriai eloszlás várható értékét!. Legyeek X,..., X i.i.. valószí ségi változók. Jelölje S = X i. Tegyük fel, hogy X i -k ozitívak, EX < és E (/S <. Határoz meg az E ( Sk S meyiséget, ha a. k b. k > B. [IX..] Számlavezet bakoál reelkezésere áll Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált két ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé eig 4%, 3% szórással. A ortfóliók hozama közötti korreláció 0, 5. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi i= éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A és B ortfóliókba.] SZ. Legye { F (x folytoos eloszlásfüggvéy, F (0 = 0. Mutas meg, hogy 0 ha x < G(x := F (x F ( x ha x is eloszlásfüggvéy. ( ot SZ. Legyeek X N(0, és Y Bi (, függetle valószí ségi változók. U := sg(x Y, ahol sg(.. az el jelfüggvéy. Határoz meg U várható értékét! ( ot SZ3. Legye X E( 3, 4, Y = g(x = X + X +. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét és várható értékét! Milye tíusú valószí ségi változó Y? ( ot. Legye X emegatív valószí ségi változó. Jelölje F (x = F (x-et, amit túlélésfüggvéyek evezük. Tegyük fel, hogy a valószí ségi változóak tetsz leges re mometuma létezik és véges. a. Bizoyíts be, hogy EX = F (x 0 b. Bizoyíts be, hogy EX k = kx k F x 0 c. Ezek segítségével számíts ki az exoeciális eloszlás k-aik (k {,, 3,...} mometumát! 3. Legye X olya valószí ségi változó, amelyr l a következ k ismertek: D X = 3 6 és EX + EX 4 = EX 3. Határoz meg X eloszlását! 0 ha x 0 x 4. Legye F (x = ha 0 < x cx + ha < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós c és araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg X várható értékét! c. Milye eloszlású X, ha X abszolút folytoos? { a + a e 5. x ha x 0 Legye F (x = b + b e x ha x > 0

3 a. Határoz meg az ismeretle valós a, a, b és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg az ismeretle aramétereket, ha X abszolút folytoos és EX = 0! ( B. [IX.9] Legye X E(0,, Y = log X X. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét, s r ségfüggvéyét és várható értékét. [Y eloszlásáak eve: logisztikus eloszlás.] B3. [IX.9] (x 3 ha x 0 Legye F (x = a + bx ha 0 < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós a és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Számíts ki X várható értékét! c. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? 0 ha x SZ4. Legye F (x = ax + bx + c ha < x ha x > a. Határoz meg az ismeretle valós a, b és c araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye és tujuk róla, hogy a várható értéke! b. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? (+= ot SZ5. Legye F (x eloszlásfüggvéy és a R ozitív szám. Számítsuk ki a következ itegrált: [F (x + a F (x] x! ( ot SZ6. Mutassuk meg, hogy az X valószí ségi változó várható értéke otosa akkor létezik, amikor [X]-é, továbbá X = [X] otosa akkor, amikor X egész érték! ( ot 6. Legye X tetsz leges valószí ségi változó, F (x eloszlásfüggvéyel. a. Határoz meg Y = F (X eloszlását! b. Ez alajá hogya tuuk geeráli egy X eloszlású val. változót? 7. Legyeek X, Y, Z E(0, függetleek. Határoz meg a következ traszformáltak s r ségfüggvéyét: a. U = X + Y ; b. U = X + Y + Z; c. U = X Y ;. U = ax + by, ahol a, b R. 8. a. Mutas meg, hogy πσ x e x σ x = π σ! Milye valószí ségszámítási értelmet tuuk ai az itegrálak? b. Legyeek X, Y N(0, eloszlású, egymástól függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X Y s r ségfüggvéyét és várható értékét! Milye eloszlású U? c. Legyeek X N(0, σ és Y N(0, σ egymástól függetle valószí - ségi változók. Mutas meg, hogy ekkor X Y (0, Cauchy σ σ! 9. Legyeek X i N(0,, i függetleek. Ekkor Y = Xi valószí ségi változó eloszlását szabaságfokú khíégyzet-eloszlásak evezzük, jelölése: Y χ. i= a. Mutassuk meg, hogy X Γ (,! b. Mutassuk meg, hogy X +X Ex(! c. Mutassuk meg karakterisztikus függvéyek élkül, hogy Y Γ (,! 0. Szai mie a villamossal és busszal közlekeik, hogy eljusso az egyetemre. Az alábbi ábra tartalmazza a közlekeési i ket: Ott- Villamos- Busz- Egyeho 5 megálló 0 megálló 8 5 tem Taasztalatai alajá átlagosa ercet vár a villamos megállójába és 4 ercet a busz megállójába. Szai ma reggel kés bb ébret fel, ezért csak 7:43-kor iult el otthoról, az els órája 8:5-kor kez ik. Becsüljük külöböz, értelmes valószí ségi moellek segítségével aak a valószí ségét, hogy el fog kési!. Box-Müller traszformáció. Legyeek X, X E(0, függetleek. Legyeek Y = log X cos(πx, Y = log X si(πx. Mutassuk meg, hogy Y, Y N(0, függetleek!. Legyeek X χ, Y χ q függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X +Y és V = függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! gyalog villamossal gyalog busszal gyalog X X+Y 3

4 3. Legyeek X Γ(α, λ, Y Γ(β, λ függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X + Y és V = Y X+Y függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! 4. Kockázati folyamat iszkrét i be. Egy biztosító 00. jauár -jé 0 M Ft t kével reelkezik. Ügyfelei egy év alatt 0 M Ft biztosítási íjat zetek. Az év sorá bekövetkezett káreseméyekre a biztosító miig a következ év elejé teljesíti a kizetést, mie káresetél M Ft-ot. Korábbi taasztalatok alajá meggyelték, hogy egy év alatt a káreseméyek száma 5 araméter Poisso-eloszlást követ. A biztosító cs be megy, ha aktuális t kéje kevesebb lesz 0-ál. Határozzuk meg aak a valószí ségét, hogy a biztosító a. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; b. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; c. 03. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be. 5. Mely c-re leszek kétimeziós s r ségfüggvéyek az alábbiak? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c ha 0 < x < és 0 < y < x a. f X,Y (x, y = { c (x + y ha (x, y (0, b. f X,Y (x, y = 6. ( Legye X és Y függetle staar ormális eloszlású. Határozzuk meg X + 3Y együttes s r ségfüggvéyét és kovariaciamátrixát! X + Y 7. Legyeek X N(m, σ, Y N(m, σ, r := R(X, Y. Határozzuk meg az együttes s r ségfüggvéyüket! P (X < m, Y < m =? 8. Legye X = (X, X{, X 3 T s r ségfüggvéye a következ : f X (x, x, x 3 = a ex ( ( x ( 3 + x + ( + (x3 }, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. (X, X 3 T s r ségfüggvéyét;. a P (X < 0, X 3 < valószí séget! B4. [ X.6.] Juliska éi a városi iaco értékesíti almáját. Mi az értékesítési meyiség, mit az ár véletleek tekithet (lehet vele alkuozi. Az egy a alatt elaott meyiség (kg Pareto eloszlású 5 4 és 0 araméterekkel, míg az elaott almák ára (Ft/kg egyeletes eloszlású 80 és 0 araméterekkel. Tegyük fel, hogy a meyiség és az ár függetleek egymástól. Költségei aota 4000 foritot teszek ki (beziköltség. a. Várhatóa meyi rotra fog szert tei egy a alatt? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy Juliska éi ai rotja meghalaja az 5000 foritot! { B5. [ X.6.] Legye (X, Y T s r ségfv.-e f(x, y = π ha x + y Határozzuk meg az U = X + Y és a V = arctg ( Y X valószí ségi változók közös s r ségfüggvéyét! B6. [ X.3.] Legye az (X, Y T ot egyeletes eloszlású a (, 0, (0, 0, (0, otok által meghatározott háromszögbe. Mi lesz az (X, Y T kétimeziós eloszlás kovariaciamátrixa? B7. [ X.3.] Legye X { = (X, X, X 3 T s r ségfüggvéye } a következ : f X (x, x, x 3 = a ex x x 8 x 3 + x, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. a P (X < 0, X >, X 3 < valószí séget! SZ7. Legyeek X, X,..., X Ex( függetleek. Legye Y i = X i i =,,..., eseté és Y = i= X i i= Számítsuk ki Y = (Y, Y,..., Y együttes s r ségfüggvéyét. Függetleek a kooriáták? ( ot SZ8. Legyeek X N 3 (0, I 3, továbbá Y i = i =,, 3. X i X +X +X 3 Határozzuk meg Y s r ségfüggvéyét! ( ot SZ9. Mely c-re lesz kétimeziós s r ségfüggvéy az alábbi? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c max{x, y} ha (x, y (0, f X,Y (x, y = ( ot SZ0. Legyeek X és Y ormális eloszlásúak, R(X, Y = 0. Mutassuk meg, hogy ekkor X és Y függetleek! ( ot SZ. Rékáak és Bálitak együtt 000 arab giccsbábut kell elkészíteie. A bábuk gyártása két részb l áll: el ször egy gé segítségével elkészítik a orcelá bábut, maj befestik. A festés ieje elég változékoy, ezért ezt valószí ségi változóak tekitjük. Ha Réka/Bálit egyeül végezé el a mukát, akkor a következ i t vee igéybe számukra a muka (mie szám órába érte : X i. 4

5 Géi megmukálás Festés Réka egyeül X E(4, 6 Bálit egyeül 3 Y E(3, 5 Az üzembe va elege bábukészít gé és festék, hogy együtt olgozva, egymást e tartsák fel. El ször az összes bábut legyártják géel, ezutá állak eki a festések. a. Várhatóa meyi i alatt végezek, ha mikette olgozak? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy mikette olgozva, 3 óra alatt befejezik a mukát! (0,5+,5= ot 9. Legyeek X és Y valószí ségi változók, ε > 0 valós szám. Lássuk be, hogy ekkor P (X + Y > ε P (X > ε/ + P (Y > ε/. 30. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz a sztochasztikus kovergeciából következik az eloszlásbeli kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, vsz. hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az valószí ség kovergeciából következik az sztochasztikus kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk L be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az L -beli kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. 33. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók, a, b R. Bizo- yítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor ax + b ax + b. 34. Legyeek X és Y ( =,,... valószí ségi változók. Igaz-e, hogy ameyibe m.m. a. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. + Y X + Y ; b. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; c. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; L. X X és Y L Y, akkor X L + Y X + Y ; m.m. e. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. Y XY ; f. X X és Y Y, akkor X Y XY ; g. X X és Y Y, akkor X Y XY ; L h. X X és Y L Y, akkor X L Y XY ; 35. Legyeek X ( =,,... valószí ségi változók és a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X a, akkor X a. 36. Igaz-e, hogy ameyibe X X, akkor X X Cramér-Szluckij lemma. Legyeek X, Y ( =,,... és X valószí ségi változók, a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X és Y a, akkor a. X + Y X + a; b. X Y ax. 38. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [, ]. Vizsgáljuk az alábbi valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ +, ] X (ω = ha ω [, ] 39. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: e ha ω [ 0, ] X (ω = 40. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ 0, ] { X (ω = 4 ha ω [ és X(ω =, 3 ] 4. Mutassuk meg, hogy X X, e X X 4. Vizsgáljuk aak a valószí ségi változó sorozatak a kovergeciáját, amelyél a valószí ségi változók függetleek és eloszlásuk az alábbi: P (X = =, P (X = 0 =. B8. [X.0.] Legyeek X I ( + ( ( =,,..., X I függetleek. Vizsgáljuk meg, hogy X tart-e X-hez valószí séggel, sztochasztikusa, eloszlásba, L -be! B9. [X.0.] Mutassuk meg, hogy ameyibe lim E(X X = 0, akkor lim EX = EX és lim EX = EX. 5

6 SZ. Legyeek X ( =,,... ( és X valószí ségi változók. Mutassuk meg, hogy X X E X X + X X 0 ( ot SZ3. Az el z szorgalmi ereméyét felhaszálva lássuk be a Riesz-lemmát: ha X X, akkor létezik olya vsz. k részsorozat, amire X k X, k azaz sztochasztikusa koverges valószí ségi változók sorozatáak va valószí séggel koverges részsorozata. ( ot SZ4. Mie N számhoz létezik k és m úgy, hogy = k + m, ahol k = 0,,... és m { = 0,,..., k. k ω [ m, m+ Legye X (ω = k k Milye értelembe kovergál X? ( ot 4. X i -k (i =,,... függetle val. változók Hova kovergál és hogya? X a. X i I( X5 X b. X i Bi(, / +...+X X X4 X c. X i : az i-eik kockaobás ereméye +...+X. X i E(, 6 (i =,,... X... X e. X i Ex( (i =,,... e X +...+e X X +...+X 3 f. X i N(, 3 (i =,, Függetle, valószí séggel sikeres kísérleteket végzük. Legye Y i =, ha az i-eik és az i+-eik kísérlet sikeres. Teljesül-e az Y, Y,... sorozatra a agy számok gyege törvéye? 44. Egy részvéy éves hozama valószí séggel 90%, valószí séggel 50%. Az éves hozamok függetleek egymástól. Mihez tart a t kék, ha a. teljes t kéket, azaz C Ft-ot fektetük be és em vesszük ki a ézüket? b. mie évbe az aktuális összt kék felét fektetjük be, másik felét eig ottho rizzük? 45. Határozzuk meg a karakterisztikus függvéyt, ha X eloszlása a. P (X = k = k, k = 0,,...; b. P (X = k = P (X = k = k, k = 0,,...; c. I(;. Geo(; e. NegBi(, ; f. Ex(λ; g. Γ(α, λ; h. E(a, b; i. E(, ; j. Cauchy(0, ; k. { N(0,. t < t < l Kakterisztikus függvéyek-e az alábbiak? a. si(t; b. ϕ; c. ϕ ;. ϕ ; e. cos(t; f. cos (t; g. cos(t ; h. e it t ; i. e t4 ; j. e t ; k. e t ; 47. Fejezzük ki a valószí ségi változó -eik mometumát és szóráségyzetét a karakterisztikus függvéy segítségével! 48. Keressük olya karakterisztikus függvéy sorozatot, amiek a limesze em karakterisztikus függvéy! 49. Keressük élát olya X és Y valószí ségi változókra, amelyekre ϕ X+Y (t = ϕ X (t ϕ Y (t, azoba X és Y em függetleek! 50. Legyeek X E (, és P (Y = = P (Y = = függetleek. Karakterisztikus függvéyek segítségével állaítsuk meg X + Y eloszlását! 5. Milye eloszlású arab függetle Cauchy-eloszlású valószí ségi változó átlaga? 5. Mutassuk meg, hogy két függetle, azoos eloszlású valószí ségi változó külöbsége em lehet E(, eloszlású! B0. [XI.0.] Va egy szabálytala kockák, ami egy -es, két -es és három 3-as szereel. A kockát sokszor felobjuk egymás utá. Kovergál-e valahova (ha ige, milye értelembe a obott számok szorzata? B. [XI.0.] Legyeek X Poi( és Y Poi(3 függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X + Y karakterisztikus függvéyét, maj eek segítségével számíts ki U várható értékét! 6

7 B. [XI.7.] Karakterisztikus függvéy a ϕ(t = +t 4 függvéy? SZ5. Legye ϕ karakterisztikus függvéy. Bizoyítsuk be, hogy a. 4Re( ϕ(t Re( ϕ(t; b. 8( ϕ(t ϕ(t. SZ6. Mutassuk meg, hogy tetsz leges X valószí ségi változóra és ϕ(t karakterisztikus függvéyére teljesül a következ egyel tleség: ϕ(t E tx! ( ot 53. Számítsuk ki a következ -szeres itegrál értékét, ha : x x4 x x... x! x 54. Hamis érmével obuk. 0,5 a fej valószí sége. a. Becsüljük meg a CHT-vel aak valószí ségét, hogy 0000 obásból legalább 530 fej! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! b. Háyszor kell obi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószí séggel több legye, mit 0,505? 55. Legye X araméter Poisso eloszlású. Mihez tart eseté a. P(X < ; b. P(X < /? 56. Legyeek X,..., X E(0, b függetleek, ahol b > 0 valós araméter. Legye Y = mi(x,..., X. Határoz meg Y határeloszlását, ha! 57. Legye X Geo ( λ. Határozzuk meg X határeloszlását, ha! X 58. Legye X Negbi(,. Számítsuk ki határeloszlását, ha (! 59. Legyeek X i E(0,, i=,..., függetle valószí ségi változók, és jelölje Y a maximumukat. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim P (( Y > t 60. Legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású, µ > 0 várható érték és σ szórású emegatív valószí ségi változók. Legye S = X +...+X, és t > 0 eseté N(t = max{k 0 : S k t}. Számíts ki N(t t µ t amit t! 6. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim e k=0 k k! határeloszlását, B3. [XI.4.] Egy szabályos kockát 3000-szer felobuk egymás utá. Határoz meg aak a valószí ségét a CHT-vel, hogy a 6-osok száma 470 és 560 között lesz! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! B4. [XII..] Számíts ki az alábbi határértéket: ( lim k k: k (X i i i= 6. Legyeek X i I( i i =,,... függetleek, Y =. Mi a i ( i i= feltétele, hogy Y gyegé tartso egy ormális eloszláshoz? 63. Legyeek X i E(0, i =,,... függetleek. Mutassuk meg, hogy P 4 ix i i= < x Φ ( 3x 3? 64. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók. Mely esetekbe teljesítik a Lieberg-feltételt? a. P (X i = i = P (X i = i = ; b. P (X i = i = P (X i = i =. SZ7. Egy szabályos érmével aig obuk, amíg mi a fejekb l, mi az írásokból legalább k arabot em kauk. Jelölje ν k az ehhez szükséges obások számát. Számíts ki ν k k határeloszlását, amit k k. ( ot SZ8. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók, P (X = α = P (X = α =, k, ahol α rögzített valós szám. Bizoyítsuk be, hogy akkor és csak akkor érvéyes rájuk a CHT, ha α! ( ot SZ9. Legyeek X i N(0, i i =,,... függetleek. a. Teljesül az {X } N sorozatra ( a Lieberg-feltétel? b. Számítsuk ki a lim P X +...+X > határértéket! ( ot SZ0. Legyeek X, X,... függetleek, P (X = = P (X = = és P (X = 0 =. Teljesül az {X } N sorozatra a CHT? ( ot 65. Legye X E(,, Y = X. Határozzuk meg a. Y legjobb égyzetes közelítését X tetsz leges függvéye segítségével; b. X legjobb égyzetes közelítését Y tetsz leges függvéye segítségével; c. X legjobb égyzetes közelítését Y lieáris függvéye segítségével! 7

8 66. Teljes valószí ség tétele folytoos esetbe. Legye A tetsz leges eseméy, Y abszolút folytoos valószí ségi változó. Ekkor bizoyítsuk be a teljes várható érték tétel segítségével, hogy P (A = P (A Y = yf Y (y y. 67. Legye (X, Y valószí ségi vektorváltozó egyeletes eloszlású az {(x, y R : x + y } egységkörlao. Számítsuk ki az f X Y (x y feltételes s r ségfüggvéyt és az E(X Y feltételes várható értéket! 68. Legye (X, Y kétimeziós ormális eloszlású. Határozzuk meg az X Y feltételes eloszlást! 69. Tegyük fel, hogy a magyar férak magassága és testsúlya kétimeziós ormális eloszlású. A férak átlagmagassága 78 cm, 9 cm szórással; átlagos testsúlyuk eig 85 kg, 0 kg szórással. A magasság és a testtömeg közötti korreláció 0,7. a. Feltéve, hogy egy fér 80 kg, mi a valószí sége, hogy magasabb 80 cm-él? b. Átlagosa mekkora súlyú egy 90 cm magas fér? c. Átlagosa milye magas egy 94,44 kg-os fér? 70. Legyeek X és Y egymástól függetle, staar ormális eloszlásúak. Határozzuk meg karakterisztikus függvéy segítségével X Y eloszlását! Haszáljuk fel, hogy tetsz leges a, b > 0 eseté e a x b x x = π e ab a Legyeek X, X,..., X függetle, λ araméter ( Poisso-eloszlású valószí ségi változók. Határoz meg az E X X i feltételes várható i= értéket! B5. [XII.8.] Legye (X, { Y valószí ségi vektorváltozó együttes s r ségfüggvéye f X,Y (x, y =. e y ha 0 x y Számíts ki az E(Y X feltételes várható értéket! B6. [XII.8.] Egy obókockát kétszer felobuk. Legye U az els obás ereméye, V a másoik obás ereméye, és X = U + V, valamit Y = U V. Hogya közelítsük Y -t X segítségével, ha a. csak lieáris függvéyt haszálhatuk; b. tetsz leges függvéyt alkalmazhatuk? { c ha 0 < x < és + x < y < x SZ. Legye f X,Y (x, y = Határoz meg a c értékét, maj az E(X Y és E(X Y feltételes várható értékeket! ( ot SZ. Legyeek X, X,..., X valószí ségi változók egyeletesek a iszkrét {,,..., N} halmazo, jelölje X = max(x,..., X -et. Mutas meg, hogy E(X X = (X + (X + (X (X! ( ot SZ3. Legyeek X, Y valószí ségi változók, r := R(X, Y. Bizoyítsuk be, hogy E(D (Y X ( r D Y! ( ot 7. Jelölje S a számegyees egész kooriátájú otjai szimmetrikusa mozgó ot helyzetét az. léés utá, S 0 = 0. Mutassuk meg, hogy a. S martigál; b. S szubmartigál, S martigál; e ts ch(t c. e S szubmartigál, martigál. 73. Mutassuk meg, hogy ha az X szubmartigálra E(X = E(X mie -re, akkor X martigál. 74. Legye a, b > 0, tegyük fel, hogy (X, F és (Y, F szubmartigálok. Mutassuk meg, hogy (ax + by, F és (max(x, Y, F is szubmartigálok. Fogalmazzuk meg aalóg állításokat szuermartigálokra! 75. Lehet-e egyszerre X és X is martigál az X,..., X által geerált σ-algebrára ézve? 76. Legyeek X, X,... i.i.. valószí ségi változók, P (X = = 3, P (X = = és P (X = 4 = 6. Legye S = X X. Keressük meg az összes olya α valós számot, amelyre Y = e αs martigál az F = σ(s,..., S σ-algebrára ézve! SZ4. Tekitsük a következ bolyogást: P (X = = P (X = =, az X i is a + és értékeket veszi fel, e P (X i = X i = P (X i = X i =. Legye S = X X. Mutassuk meg, hogy Y = S + X ( martigál! ( ot SZ5. Jelölje S szimmetrikusa bolyogó ot helyzetét az. léés utá. Keressük miél több olya kétváltozós oliomot, amire (S, martigál! ( ot 8

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban? BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is

Részletesebben

Valószín ségszámítás (jegyzet)

Valószín ségszámítás (jegyzet) Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

ELTE TTK Budapest, január

ELTE TTK Budapest, január Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények

Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás:

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Játékszabályok. a keresett valószín ség:

Játékszabályok. a keresett valószín ség: Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot:

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés) Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula

Barczy Mátyás és Pap Gyula Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Szerzők

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet

Részletesebben

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Valószínűségszámítás II. feladatsor

Valószínűségszámítás II. feladatsor Valószíűségszámítás II. feladatsor 214. szeptember 8. Tartalomjegyzék 1. Kovolúció 1 1.1. Poisso és Gamma eloszlások kapcsolata............................... 2 2. Geerátorfüggvéyek 3 2.1. Véletle tagszámú

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Autoregressziós folyamatok

Autoregressziós folyamatok Autoregressziós folyamatok.. Példa.. Az ε(t) folyamat függetle érték zaj, ha a várható értéke és ε(t)-k függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók.. Az ε(t) folyamat fehér zaj, ha Eε(t) =, és ε(t)-k

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél 1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/2014 1. félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemplei/ 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

= λ valós megoldása van.

= λ valós megoldása van. Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt

Részletesebben

Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi

Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................

Részletesebben

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10. 2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)

Részletesebben

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019. Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis

Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis Megbízható kémiai modellek kifejlesztése sok mérési adat egyidejő feldolgozása alajá uráyi amás www.turayi.eu ELE Kémiai Itézet Reakciókietikai Laboratórium Eddig dolgoztak eze a témá: (témavezetık: uráyi

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben