fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és"

Átírás

1 A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki, hogy ha vesszük függetle és egyforma eloszlású valószíűségi változó átlagát, akkor ez az átlag agyo általáos feltételek mellett egy kostashoz tart eseté. A részletesebb tárgyalásba meg kell értei, hogy milye értelembe tartaak ezek az átlagok kostashoz, illetve hogy milye feltételeket kell teljesíteie a valószíűségi változók eloszlásáak ahhoz, hogy egy ilye kovergecia érvéyes legye. Ezekívül szereték meghatározi a limeszbe megjeleő kostas értékét is. Mit láti fogjuk ez a szám agyo általáos esetbe azo valószíűségi változók várható értékével egyelő, amelyekek az átlagát tekitettük. Függetle valószíűségi változók kovergeciájáak a fogalmát több külöböző módo defiiálhatjuk, és e defiiciók midegyike értelmes. Ebbe az előadásba a agy számok erős és gyege törvéyét ismertetem, amelyek a majdem mideütt és a sztochasztikus kovergeciával kapcsolatosak. A agy számok erős törvéye aak adja meg a szükséges és elégséges feltételét, hogy függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagai egy valószíűséggel tartsaak egy számhoz, a agy számok gyege törvéye pedig aak, hogy ez a kovergecia sztochasztikus értelembe teljesüljö. Mit láti fogjuk mid a agy számok erős mid a agy számok gyege törvéye bizoyos mometum jellegű feltételek teljesülése eseté érvéyes. Ezek a feltételek azt követelik meg, hogy a tekitett átlagba résztvevő valószíűségi változók csak viszoylag kis valószíűséggel vegyeek fel agy értékeket. Ez összhagba va a cetrális határeloszlástételről taultakkal. A cetrális határeloszlástétel akkor érvéyes, ha teljesül a Lideberg feltétel. Ez szité olya megkötést jelet, hogy a tekitett valószíűségi változók csak kis valószíűséggel veszek fel agyo agy értékeket. Az eredméyek jobb megértése érdekébe először áttekitem az eredméyekbe megjeleő kovergecia fogalmak közötti kapcsolatot. Felidézek több korábba tault eredméyt. Ugyacsak ismertetem a agy számok erős és gyege törvéyéek olya korábba tault, egyszerűsített változatát, amelyekbe ezeket az eredméyeket a szükségesél erősebb feltételek teljesülése eseté bizoyítottam be. E bizoyítások összehasolítása az eredeti eredméyek bizoyításával érthetőbbé teszi bizoyos érvelések szerepét és bizoyos részeredméyek jeletőségét. A bizoyítások sorá éháy ömagába is érdekes eredméy is megjeleik. Ilye eredméy a Kolmogorov egyelőtleség, amely függetle valószíűségi változók részletösszegeiek maximumáról ad olya becslést, mit amilyet a Csebisev egyelőtleség ad akkor, ha csak e szuprémum utolsó tagját becsüljük. Ezekívül bebizoyítok éháy olya eredméyt, amelyek bizoyítása az itt tárgyalt módszerek segítségével törtéik. Ilye a Kolmogorov-féle három sor tétel, amely megadja aak szükséges és elégséges feltételét, hogy végtele sok függetle valószíűségi változó összege egy valószíűséggel kovergáljo. Egy másik fotos tárgyaladó eredméy az úgyevezett Kolmogorovféle ulla egy törvéy, amely arra ad magyarázatot, hogy miért találkozuk függetle valószíűségi változók tulajdoságaiak a vizsgálatáál gyakra olya eseméyekkel,

2 amelyekek a valószíűsége bizoyos esetekbe ulla más esetekbe egy, de sohasem valamely e két szám közötti érték. Ahhoz, hogy a agy számok erős és gyege törvéyét megfogalmazhassuk, először meg kell aduk az eze eredméyekbe haszált kovergeciák defiicióját és tisztázuk kell ezek kapcsolatát egymással. Ezekívül felidézem az eloszlásba való kovergecia fogalmát is aak érdekébe, hogy ezt is összehasolíthassuk a feti két kovergeciafogalommal. Az egy valószíűségű kovergecia defiiciója: Valószíűségi változók ξ, =, 2,..., sorozata akkor kovergál egy valószíűséggel egy ξ valószíűségi változóhoz, ha egyrészt ezek a valószíűségi változók ugyaazo az Ω, A, P valószíűségi mező vaak defiiálva, másrészt P ω: lim ξ ω = ξω =. Megjegyzés: Az egy valószíűségi kovergecia fogalmát a mértékelméletbe is haszálják, de ott azt majdem mideütt való kovergeciáak is hívják. Az agol yelvű irodalomba az almost sure covegece, almost everywhere covergece vagy covergece with probability oe kifejezések haszálatosak. A sztochasztikus kovergecia defiiciója: Valószíűségi változók ξ, =,2,..., sorozata akkor kovergál sztochasztikusa egy ξ valószíűségi változóhoz, ha egyrészt ezek a valószíűségi változók ugyaazo az Ω, A, P valószíűségi mező vaak defiiálva, másrészt mide ε > 0 számra lim P ξ ω ξω > ε = 0. Megjegyzés: A mértékelméletbe előforduló kifejezések közül a mértékbe való kovergecia felel meg eek a fogalomak. Az egyetle apró külöbség a mértékelmélet és valószíűségszámítás szóhaszálata között abba va, hogy a mértékelméletbe véges, de em feltétleül valószíűségi azaz egyre ormált mértékeket tekiteek. Az eloszlásba való kovergecia defiiciója: Valószíűségi változók ξ, =, 2,..., sorozata akkor kovergál eloszlásba egy Fu eloszlásfüggvéyhez vagy az eze eloszlásfüggvéy által meghatározott eloszláshoz, ha lim Pξ < u = Fu mide olya u számra, ahol az F eloszlásfüggvéy függvéy folytoos. Azt modjuk, hogy a ξ, =,2,..., valószíűségi változók sorozata eloszlásba kovergál egy ξ valószíűségi változóhoz, ha ez a sorozat eloszlásba kovergál az Fu = Pξ < u eloszlásfüggvéyhez. A következő kapcsolat érvéyes a feti kovergeciafogalmak között. Egy valószíűségi kovergecia Sztochasztikus kovergecia Eloszlásba való kovergecia. 2

3 Először megtárgyalom az egy valószíűségi és sztochasztikus kovergecia kapcsolatát. Ha ξ ω ξω egy valószíűséggel, akkor defiiálva az { } A = A ε = ω: sup ξ k ω ξω < ε k halmazokat kapjuk, hogy az egymásba skatulyázott A halmazokra, azaz A ω A 2, P A =. Ezért lim PA =. Mivel {ω: ξ ω ξω < = ε} A, P ξ ω ξω < ε, azaz P ξ ω ξω ε 0, ha. Ez azt jeleti, hogy az egy valószíűségű kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. Megfogalmazom az alábbi állítást, amelyet em ehéz bebizoyítai. De mivel em lesz rá később szükségük, azért elhagyom a bizoyítást. Állítás: Valószíűségi változók ξ, =,2,..., sorozata, akkor és csak akkor kovergál egy valószíűséggel egy ξ valószíűségi változóhoz, ha az η = sup ξ k ξ valószíűségi k változók sorozata sztochasztikusa kovergál ullához, azaz mide ε > 0 számra lim P sup ξ k ξ > ε = 0. k Lássuk példát arra, hogy lehetséges olya ξ, =,2,..., és ξ valószíűségi változókat kostruáli, amelyekre a ξ, =,2,..., sorozat sztochasztikusa tart ξ- hez, de a ξ sorozat em kovergál egy valószíűséggel a ξ valószíűségi változóhoz. Tekitsük a következő Ω, A,P valószíűségi mezőt: Ω a [0,] itervallum, A a Borel mérhető halmazok σ-algebrája a [0,] itervallumo, a P valószíűségi mérték a Lebesgue mérték. Legye ξ x = { ha x [ 2 k 2 k, + 2 k 2 k] 0 ha x / [ 2 k 2 k, + 2 k 2 k] akkor ha 2 k < 2 k+, k =,2,..., és ξx = 0 mide 0 x számra. Ekkor P ξ ξ > ε = 2 k mide > ε > 0 számra, ha 2 k < 2 k+. Tehát a ξ, =,2,..., sorozat sztochasztikusa kovergál a ξ valószíűségi változóhoz. Viszot mivel lim sup ξ x = mide 0 x számra, ezért a ξ sorozat em kovergál egy valószíűséggel a ξ valószíűségi változóhoz. Másrészt tekitsük egy ξ valószíűségi változót és ξ, =,2,..., valószíűségi változók olya sorozatát, amelyre P ξ ξ > ε < mide ε > 0 számra. Ekkor = 3

4 a Borel Catelli lemmából következik, hogy a ξ sorozat egy valószíűséggel kovergál a ξ valószíűségi változóhoz. Ez azt jeleti, hogy egyrészt mit az előző példa mutatja a lim P ξ ξ > ε reláció teljesülése mide ε > 0 számra elegedő a sztochasztikus, de em elegedő az egy valószíűséggel való kovergeciához. Másrészt az erősebb P ξ ξ > ε < reláció teljesülése mide ε > 0 számra elegedő az egy = valószíűségi kovergeciához is. A sztochasztikus kovergecia és eloszlásba való kovergecia közötti kapcsolatra érvéyesek a következő állítások.. álllítás sztochasztikus és eloszlásba való kovergecia kapcsolatáról. Ha valamely ξ, =,2,..., valószíűségi változók sztochasztikusa kovergálak egy ξ valószíűségi változóhoz, akkor ezek a ξ valószíűségi változók eloszlásba is kovergálak ehhez a ξ valószíűségi változóhoz. Idoklás: Legye x folytoossági potja a ξ valószíűségi változó F eloszlásfüggvéyéek, és rögzítve egy ε > 0 számot válasszuk olya δ = δε > 0 számot, melyre Fx ε 2 Fx δ Fx + δ < Fx + ε 2. Ezutá válasszuk olya 0 = 0 ε,δ számot, amelyre P ξ ξ δ < ε 2. Ekkor Pξ < x < Pξ < x + δ + P ξ ξ δ Fx + δ + ε 2 Fx + ε. Másrészt Pξ > x < Pξ > x δ + P ξ ξ δ Fx δ + ε 2 Fx + ε, ha 0. Ie Fx ε Pξ < x Fx + ε 0 eseté. Mivel mide ε > 0 eseté érvéyes egy ilye becslés, ie következik a megfogalmazott állítás. Természetese lehetséges, hogy ξ valószíűségi változók egy sorozata eloszlásba kovergál egy ξ valószíűségi változóhoz, de sztochasztikusa em kovergál. Erre példa az az eset, amikor a ξ valószíűségi változók függetleek, és azoos eloszlásúak. Ekkor az eloszlásba való kovergecia yílvá teljesül, de ha a ξ valószíűségi változók eloszlása em elfajult, azaz a ξ valószíűségi változók em egyelőek egy kostassal egy valószíűséggel, akkor e valószíűségi változók em kovergálak sztochasztikusa. Viszot abba az esetbe, ha a limesz kostas akkor igaz a következő állítás: 2. állítás sztochasztikus és eloszlásba való kovergecia kapcsolatáról. Ha valamely ξ, =,2,..., valószíűségi változók egy a kostashoz kovergálak eloszlásba, azaz egy olya valószíűségi változóhoz, amelyek értéke egy valószíűséggel ez az a kostas, akkor a ξ, =,2,..., valószíűségi változók sorozata sztochasztikusa is kovergál ehhez az a kostashoz. Idoklás: A limeszkét megjeleő valószíűségi változó eloszlásfüggvéye az az Fx eloszlás, amelyre Fx = 0, ha x a, és Fx = ha x > a. Az Fx függvéyek az x = a potot kivéve mide pot folytoossági potja. Ezért mide ε > 0 számra lim Pξ < a + ε =, lim Pξ < a ε = 0. Ie következik, hogy lim P ξ ξ < ε = lim P ξ a < ε = lim Pξ < a + ε Pξ a ε =. Ie következik a 2. állítás eredméye. 4

5 Ezutá megfogalmazom potosa, hogy mikor modjuk, hogy teljesül a agy számok gyege és erős törvéye, és megfogalmazok két tételt, amelyek megadják e két törvéy teljesüléséek a szükséges és elégséges feltételét. Ezt a két eredméyt összehasolítom. Nagy számok gyege törvéyéek a defiiciója. Legye ξ, =,2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata egy valószíűségi mező, S = ξ k, k =,2,... Azt modjuk, hogy ezek a ξ, =,2,..., valószíűségi változók teljesítik a agy számok gyege törvéyét, ha létezik olya E szám, amelyre teljesül, hogy az S, =,2,..., valószíűségi változók sztochasztikusa kovergálak az E számhoz, azaz ahhoz a valószíűségi változóhoz, amely egy valószíűséggel az E kostassal egyelő. Nagy számok erős törvéyéek a defiiciója. Legye ξ, =,2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata egy valószíűségi mező, S = ξ k, k =,2,... Azt modjuk, hogy ezek a ξ, =,2,..., valószíűségi változók teljesítik a agy számok erős törvéyét, ha létezik olya E szám, melyre teljesül, hogy az S, =, 2,..., valószíűségi változók egy valószíűséggel kovergálak az E számhoz, azaz ahhoz a valószíűségi változóhoz, amely egy valószíűséggel az E kostassal egyelő. Tétel a agy számok erős törvéyéről. Legye ξ, ξ 2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata, és defiiáljuk e sorozat S = ξ k, =,2,..., részletösszegeit. Ha E ξ =, akkor az S ω, =,2,..., sorozat egy valószíűséggel diverges. Ha E ξ <, akkor a ξ,ξ 2,... sorozat teljesíti a agy számok erős törvéyét E = Eξ kostassal, azaz ebbe az esetbe S ω lim = Eξ majdem mide ω Ω-ra. Tétel a agy számok gyege törvéyéről. Legye ξ k, k =,2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata valamely F eloszlásfüggvéyel. Eze valószíűségi változók ξ k, =,2,..., átlagai akkor és csak akkor teljesítik a agy számok gyege törvéyét, azaz akkor és csak akkor kovergálak sztochasztikusa esetébe valamely a, < a <, számhoz, ha teljesülek a u relációk. A lim u u számmal ahová az u lim x[f x + Fx] = 0, és lim xf dx = a x u u xf dx = a feltételbe szereplő a szám, megegyezik azzal az a ξ k, =,2,..., átlagok kovergálak. 5

6 A feti két tétel összehasolításából következik, hogy ha teljesülek a agy számok erős törvéyéről szóló tétel feltételei, akkor a agy számok gyege törvéyéről szóló tétel feltételeiek is teljesüliük kell. Lássuk be közvetleül ezt az állítást. A Lebesgue tételből és az E ξ < relációból következik, hogy lim xf dx = u xf dx = Eξ. Másrészt x Fx uf du, és lim uf du = 0 x x x szité a Lebesgue tétel szerit. Tehát lim x Fx = 0, ha E ξ <. Hasolóa x lim xf x = 0 ebbe az esetbe. x Aak érdekébe, hogy a agy számok gyege és erős törvéyéek a kapcsolatát jobba megértsük tekitsük éháy példát.. példa. Tekitsük függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók olya ξ,ξ 2,..., sorozatát, amelyekek va sűrűségfüggvéyük, és az fx = C x α, ha x, fx = 0, ha x < alakú, ahol α >, és a C = Cα kostas úgy va választva, hogy fx dx =, azaz fx sűrűségfüggvéy. Ha α > 2, akkor E ξ = x fx dx <, és érvéyes a agy számok erős törvéye. Ha α = 2, akkor E ξ = x fx dx =, és a agy számok erős törvéye em teljesül. Sőt, ebbe az esetbe Fx = C x x dx = Cx, ha x >, ezért lim xfx = C > 0, és a agy számok gyege 2 x törvéye sem teljesül. Ha < α < 2, akkor szité sem a agy számok erős sem a agy számok gyege törvéye em teljesül. 2. példa. Tekitsük függetle, egyforma, Cauchy eloszlású ξ,ξ 2,..., valószíűségi változókat, azaz olya valószíűségi változókat, amelyekek fx = π +x, < x < 2, alakú sűrűségfüggvéyük va. Az első példa érvelése az α = 2 esetbe mutatja, hogy ezek a valószíűségi változók sem teljesítik a agy számok gyege törvéyét. Sőt, mit később láti fogjuk, eek a sorozatak a következő evezetes tulajdosága is megva. E valószíűségi változók ξ átlagaiak az eloszlása mide számra ugyaaz a Cauchy eloszlás, mit a ξ valószíűségi változó eloszlása. 3. példa: Legye ξ k, k =,2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata, az fu =, ha u > 3, fu = 0, ha u 3, képlettel megadott C u 2 log u C du u 2 log u sűrűségfüggvéyel. A C kostast az = reláció határozza meg. u >3 Defiiáljuk az S = m ξ k, =,2,..., részletösszegeket. Ekkor E ξ =, ezért ezek a valószíűségi változók em teljesítik a agy számok erős törvéyét. Másrészt az S átlagok sztochasztikusa tartaak ullához, azaz mide ε > 0 számra P S > ε 0, ha. Ez azt jeleti, hogy ez a sorozat teljesíti a agy számok gyege törvéyét. A 3. példa idoklása: E valószíűségi változókra E ξ = ufu du = 2C 3 u log u du =, mert x 3 u log u du = [log log u]x 3, és lim log log x =. Ez például oa látható, x hogy az x log x primitív függvéye a log log x függvéy. Ez azt jeleti, hogy ez a sorozat em teljesíti a agy számok erős törvéyét. Mivel a ξ valószíűségi változók 6 u u

7 sűrűségfüggvéye páros függvéy, aak megmutatása érdekébe, hogy az S = ξ k valószíűségi változók sztochasztikusa tartaak ullához a agy számok gyege törvéyéről szóló tétel alapjá elég megmutati azt, hogy lim x[ Fx + F x] = lim x x x x 2C u 2 du = 0. log log u a 2C u 2 log log u Mivel mide ε > 0 számhoz létezik olya x = xε küszöbidex, amelyre ε u, ha u x, ezért x 2C 2 x u 2 log log u du εx x u 2 du = ε, ha x xε. Mivel ez az egyelőtleség mide ε > 0 számra érvéyes, ie következik az a formulába megfogalmazott reláció. Később, a gyakorlato megtárgyalom, hogya lehet a 3. példa állítását közvetleül, a agy számok gyege törvéyéről szóló tétel felhaszálása élkül bebizoyítai. A feti példák hasolítottak egymáshoz abba, hogy midegyikbe a sűrűségfüggvéy a plusz-miusz végtele köryezetébe aszimptotikusa úgy viselkedett, mit u 2 szorozva egy logaritmus hatváy redű korrekciós taggal. E korrekciós tag agysága befolyásolta, hogy bízoyos itegrálok kovergesek-e vagy divergesek, és ettől függött, hogy teljesül-e a agy számok erős vagy gyege törvéye. Láttuk, hogy a agy számok külöböző törvéyeit kimodó tételekbe és példákba az játszott fotos szerepet, hogy az összeadadók eloszlásfüggvéyei hogya viselkedek a ± köryezetébe, milye gyorsa tartaak ott az eloszlásfüggvéyek egyhez illetve ullához. Ettől függ ugyais, hogy az ott szereplő itegrálok kovergesek vagy divergesek. Rátérek a agy számok erős törvéyéek a bizoyítására. A bizoyításba haszos az alábbi lemma, amely azt a tulajdoságot, hogy egy valószíűségi változó abszolut értékéek a várható értéke véges ekvivales módo fejezi ki a valószíűségi változó eloszlásfüggvéyéek a segítségével. Lemma aak jellemzéséről, hogy egy valószíűségi változó abszolut értékéek a várható értéke mikor véges. Egy ξ valószíűségi változó abszolut értékéek E ξ várható értéke akkor és csak akkor véges, ha P ξ > <. A lemma bizoyítása. Vezessük be a következő ξ valószíűségi változót: ξ = j, ha j < ξ j, j =,2,... Ekkor P0 ξ ξ =, ezért a ξ és ξ valószíűségi változók várható értéke egyszerre véges vagy végtele. Másrészt E ξ = jp ξ = j = jpj < ξ j, ezért eek az összegek a kovergeciáját vagy divergeciáját j= kell vizsgáluk. Felírhatjuk, hogy jpj < ξ j = jp ξ > j P ξ > j. j= 7 = j= j=

8 Redezzük át a feti összeget a következő módo. Tetszőleges N számra N jpj < ξ j = j= = N j= N jp ξ > j P ξ > j j= P ξ > jj + j NP ξ > N = N j= P ξ > j NP ξ > N. Megmutatom, hogy N határátmeettel a feti relációból következik a Lemma állítása. Valóba, ha E ξ <, akkor választható egy K < szám úgy, hogy tetszőleges N egész számra NP ξ > N j=n+ jpj < ξ j jpj < ξ j K. Ebbe a becslésbe a K kostas em függ az N j= számtól. Így az előző becslés alapjá az E ξ < esetbe létezek olya uiverzális L és K számok, amelyekre L N j= P ξ > j K mide N =,2,... számra, és ie P ξ > j <. és lim j= Ha E ξ =, akkor N j= N j= N= P ξ > j =, mert ekkor P ξ > j N jpj < ξ j =. N jpj < ξ j, j= Megjegyzés: Az összegek a feti számolásba törtét átredezését Abel-féle átredezések evezik, és ez sokszor haszos. Az Abel-féle átredezés egyébkét az itegrálszámításba alkalmazott parciális itegrálás diszkrét megfelelője. Megjegyzem, hogy eek a feti lemmáak igaz a következő általáosítása, amelyet hasolóa lehet bizoyítai. De mivel erre em lesz szükségük, eek bizoyítását elhagyom. A várható érték létezéséről szóló lemma általáosítása. Egy ξ valószíűségi változó akkor és csak akkor teljesíti az E ξ r < mometum feltételt valamely r számra, ha r P ξ > <. = 8

9 A agy számok erős törvéyéek először a egatív felét bizoyítom be. A agy számok erős törvéyéről szóló tételek ezt a részét az alábbi lemma tartalmazza. Lemma függetle, egyforma eloszlású em itegrálható valószíűségi változók átlagáak a viselkedéséről. Ha ξ,ξ 2,... függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók, és E ξ =, akkor az S ω = ξ k ω, =,2,..., átlagok sorozata majdem mide ω Ω elemi eseméyre diverges. A lemma bizoyítása. Felhaszájuk azt a lemmát, amely azt jellemzi, hogy egy valószíűségi változó abszolut értékéek a várható értéke mikor véges. Eze eredméy, az E ξ = reláció és a ξ j valószíűségi változók azoos eloszlása miatt érvéyes a P ξ > = P ξ > = reláció. A ξ valószíűségi változók = = függetlesége miatt az {ω: ξ ω > } eseméyek is függetleek. Ezért a Borel Catelli lemmából következik, hogy majdem mide ω Ω-ra ξ ω > végtele sok az ω elemi eseméytől függő idexre. Tekitsük egy olya ω Ω elemi S ω eseméyt, amelyre lim az ω elemi eseméytől. Ilye ω potokba a lim lim S ω S ω = lim = a valamilye véges a számra. Ez az a szám függhet ξ ω ulla valószíűségi halmazo teljesülhet. S ω = a reláció is teljesül. Ezért = 0. Ez a reláció viszot, mit láttuk, csak egy A agy számok erős törvéyéről szóló tétel kovergecia részéek bizoyítása megfelelő becslések alkalmazását igéyli. Aak érdekébe, hogy a bizoyításba felmerülő problémákat és godolatokat jobba megértsük, felidézem e tétel azo gyegébb változatáak a bizoyítását, amelyet a bevezető valószíűségszámítás előadáso ismertettem. j= A agy számok erős törvéyéről szóló tétel egy gyegébb változata. Legye ξ,ξ 2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata egy Ω, A,P valószíűségi mező, amelyekre teljesül az Eξ 4 < feltétel, és vezessük be az S = ξ j valószíűségi változókat. Ekkor az S ω valószíűségi változók majdem mide ω Ω-ra kovergálak az Eξ, számhoz, azaz eze valószíűségi változók sorozata teljesíti a agy számok erős törvéyét az E = Eξ kostassal. A tétel bizoyítása. Bevezetve a ξ j = ξ j Eξ j, j =,2,..., valószíűségi változókat olya függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változókat kapuk, amelyekek a várható értéke ulla, és E ξ 4 < 0. Ezekívül ξ j = ξ j + Eξ. Ezért elég beláti a tétel állítását ulla várható értékű valószíűségi változók átlagára. j= Tekitsük ezt az esetet, és számoljuk ki az E S j= 4 = 4 Eξ + + ξ 4 9

10 várható értékeket. ES 4 = Eξ + + ξ 4 = Eξk j<k k<l j j k, j l Eξ 2 jeξ 2 k + 4 EξjEξ 2 k Eξ l } {{ } =0 j,k j k + 24 Eξ j Eξ k Eξ l Eξ m } {{ } j<k<l<m =0 = Eξ Eξ 2 2, EξjEξ 3 k } {{ } =0 ezért P S > ε = P = S 4 > ε 4 Eξ4 + 3 Eξ 2 2 ε 4 4 ε 4 E S = ES4 4 ε 4 cost. 2 ε 4. Ebből a becslésből következik, hogy = P S > ε < mide ε > 0 számra, és a Borel Catelli lemma köyebbik feléből következik, hogy mide ε > 0 számra és majdem mide ω Ω potba teljesül, hogy ε, ha 0 ω. Alkalmazva ezt a relációt mide ε = k törvéyét. S ω számra k =,2,..., megkapjuk a agy számok erős A bizoyításba függetle, ulla várható értékű egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagáak a egyedik mometumára adtuk jó becslést, és ebből a becslésből következett a agy számok törvéye. Ahhoz azoba, hogy ezt a becslést végre tudjuk hajtai, szükség volt arra a feltételre, hogy a tekitett valószíűségi változókak létezik egyedik mometuma. Felmerül a kérdés, hogya lehet a feti érvelést úgy módosítai, hogy az megadja a agy számok törvéyét jóval gyegébb mometum feltételek eseté is. Ha a tekitett valószíűségi változókak létezik második mometuma, de eél erősebb mometumfeltételt em teszük fel, akkor az előző módszer megfelelője a Csebisev egyelőtleség alkalmazása lee függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagára. Felidézem a Csebisev egyelőtleséget. Csebisev egyelőtleség: Ha egy ξ valószíűségi változó második mometuma Eξ 2 = m 2, akkor tetszőleges x > 0 számra P ξ > x m 2 x 2. 0

11 Ie következik, ha ezt az egyelőtleséget a ξ = ξ Eξ valószíűségi változóra alkalmazzuk, hogy P ξ Eξ > x Var ξ x 2, Függetle, ulla várható értékű és véges második mometummal redelkező ξ, ξ 2,..., valószíűségi változók S = ξ j összegéek eloszlására a Csebisev egyelőtleség a következő becslést adja. j= P S > x = P j= ξ j > x Var S x 2 = Var ξ j j= x 2 Ha függetle, egyforma eloszlású ulla várható értékű valószíűségi változók átlagát tekitjük, akkor a feti egyelőtleség a P S > ε Eξj 2 j= ε 2 2 = Eξ2 ε 2 becslést adja. Ebből a becslésből következik a agy számok gyege törvéye, de em következik a agy számok erős törvéye. Viszot az alább ismertetedő Kolmogorov egyelőtleség segítségével, amely tekithető a függetle valószíűségi változók összegéek eloszlásáról szóló Csebisev egyelőtleség élesítéséek is, be lehet bizoyítai a agy számok törvéyét az általáos esetbe. Ismertetem ezt az eredméyt. Kolmogorov egyelőtleség. Legyeek ξ,...,ξ függetle, em feltétleül egyforma eloszlású valószíűségi változók, Eξ k = 0, Eξk 2 = Varξ k = σk 2, S k = k ξ p, k =,...,. Ekkor mide x > 0-ra. P sup k S k x ES2 x 2 = σk 2 x 2 Tekitsük függetle, ulla várható értékű, véges második mometummal redelkező valószíűségi változók sorozatát, és legye S az első tag részletösszege. Nyilvávaló, hogy sup S k ω S ω. Viszot vaak a valószíűségszámításak olya eredmé- k yei, amelyek azt fejezik ki, hogy a tekitett sup k p= S k ω kifejezés em sokkal agyobb, mit az ebbe a szuprémumba szereplő utolsó S ω tag. Ezekbe az eredméyekbe aak a valószíűségét hasolítják össze, hogy e két kifejezés értéke agyobb, mit valamilye x > 0 szám, és ezek bizoyos értelembe azoos agyságredűek.

12 A Kolmogorov egyelőtleség is tekithető ilye jellegű eredméyek. Ez az egyelőtleség ugyaazt a felső becslést adja a P sup S k ω > x valószíűségre, mit k amit a Csebisev egyelőtleség ad a P S ω > x valószíűségre. A Kolmogorov egyelőtleség bizoyítása előtt megmutatom, hogya lehet eze egyelőtleség és az alább megfogalmazott em valószíűségszámítás jellegű eredméyt tartalmazó Kroecker lemma segítségével bebizoyítai a agy számok erős törvéyét az általáos esetbe. A Kroecker lemma bizoyítását is későbbre halasztom. Kroecker lemma: Ha az a és q, =,2,..., valós számokak olya sorozatai, amelyekre a összeg koverges, a q sorozat mooto ő és lim q =, akkor = a k q k = 0. lim q Érdemes a Kroecker lemma következméyekét megfogalmazi aak alábbi speciális esetét, amelyet a = x és q = választással kapuk. Kroecker lemma következméye. Legye x, =,2,..., valós számok olya sorozata, amelyre a x összeg koverges. Ekkor lim x k = 0. = A agy számok erős törvéyét a feti eredméyek segítségével fogom bebizoyítai az általáos esetbe. A bizoyításba alkalmas csokítást foguk alkalmazi, amely lehetővé teszi, hogy véges második mometummal redelkező valószíűségi változókkal dolgozzuk. A agy számok törvéyéről szóló tétel koverges részéek a bizoyítása a feti eredméyek segítségével. Azt kell megmutati, hogy ameyibe ξ,ξ 2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók, és E ξ <, akkor Eξ k ω Eξ valószíűséggel. Bevezetve a ξ = ξ Eξ, =,2,..., valószíűségi változókat em ehéz beláti, hogy az állítást elegedő beláti ulla várható értékű valószíűségi változók átlagára. Ezért a továbbiakba felteszem, hogy Eξ = 0. Vezessük be a ξ valószíűségi változó ξ = ξ + ξ, ξ = ξ I ξ, ξ = ξ I ξ > alakú felbotását, ahol IA az A halmaz idikátorfüggvéyét jelöli. Felhaszálva a lemmát aak jellemzéséről, hogy egy valószíűségi változó abszolut értékéek a várható értéke mikor véges kapjuk, hogy Pξ k 0 = P ξ k > k <. Ezért a Borel Catelli lemma alapjá egy valószíűséggel csak véges sok k idexre teljesül a ξ k ω 0 reláció, és ξ k ω 0 egy valószíűséggel. A tétel bizoyításához 2

13 azt kell beláti, hogy a Ezelőtt azt mutatom meg, hogy Eξ k = ξ k ω 0 egy valószíűséggel reláció szité teljesül. Eξ k Eξ k ω 0. Valóba, E ξ I ξ k 0, ha, mert az E ξ < relációból következik, hogy E ξ I ξ k 0, ha k. Eze össszefüggés alapjá a tétel bizoyításához azt kell igazoli, hogy ξ kω Eξ kω 0 egy valószíűséggel. Eek érdekébe először azt mutatom meg, hogy k 2 Var ξ k Eze állítás igazolásáak céljából írjuk fel az k 2 Eξ 2 k <. k 2 Eξ 2 k k 2 j 2 Pj ξ k < j = k 2 j= k j 2 Pj ξ < j j= egyelőtleséget, és összegezzük ezt mide k =, 2,... idexre. Azt kapjuk, hogy k 2 Eξ 2 k k 2 amit állítottam. cost. k j 2 Pj ξ < j = j= j 2 Pj ξ < j j= jpj ξ < j cost.e ξ + <, j= k 2 k=j Az előző egyelőtleség és a Kolmogorov egyelőtleség segítségével belátom, hogy a ξ k ω Eξ k ω k végtele összeg valószíűséggel koverges. b 3

14 Ehhez elég azt megmutati, hogy a T ω = ξ k ω Eξ k ω k, =,2,..., sorozat egy valószíűséggel Cauchy sorozat. Viszot a Kolmogorov egyelőtleség alapjá P sup T k T > ε = lim P sup T k T > ε k< N k<n = lim N P ε 2 j= mide -re és ε > 0-ra. Ezért P sup k<n k j ξ j Eξ j j= > ε j 2 Eξ 2 j j 2 Eξ j Eξ j 2 ε 2 sup k,l< T k ω T l ω > 2ε P + P sup T l ω T ω > ε l< Vezessük be az A = A ε = {ω: sup k,l< j= sup T k ω T ω > ε k< 2 ε 2 j= j 2 Eξ 2 j. T k ω T l ω > 2ε}, =,2,... halma- zokat. Mivel lim j Eξ 2 2 j = 0, az utolsó becslésből következik, hogy lim PA = j= 0. Mivel az A halmazok egymásba skatulyázottak, A A 2 A 3 ezért ez a reláció azt jeleti, hogy majdem mide ω-hoz létezik olya = ω, ε idex, amelyre ω / A, azaz T k ω T l ω 2ε. Mivel ez mide ε > 0 számra igaz, sup k,l< ie következik, hogy a T ω sorozat Cauchy sorozat majdem mide ω Ω elemi eseméyre, és a b reláció érvéyes. A Kroecker lemma következméye és a b reláció alapjá ξ k Eξ k 0 egy valószíűséggel. A tétel bizoyítását befejeztük. Be kell még bizoyítai a Kolmogorov egyelőtleséget és a Kroecker lemmát. A Kolmogorov egyelőtleség bizoyítása: Defiiáljuk a τω = mi{k: k ; S k ω x} valószíűségi változót. τω = ha S k ω < x mide k -re. Azt állítom, hogy ES 2 τω ES2. c Az utolsó egyelőtleség és a Csebisev egyelőtleség alapjá P max S k > x = P S τω > x ES2 τω k x 2 ES2 x 2, 4

15 és ez a Kolmogorov egyelőtleség. A kívát egyelőtleség bebizoyításáak érdekébe vegyük észre, hogy ES 2 ESτω 2 = ES S k S S k + 2S k I{τω = k} = ES S k 2 I{τω = k} + 2 ES S k S k I{τω = k}. Mivel az S S k és S k I{τω = k} valószíűségi változók függetleek, az S S k a ξ l, l = k +,...,, az S k I{τω = k} az ξ l, l =,...,k valószíűségi változóktól függ, és ES S k = 0, ezért ES S k S k I{τω = k} = ES S k ES k I{τω = k} = 0. Ie következik, hogy a d azoosság jobboldaláak a második tagja ulla. Mivel az első tag egy em egatív valószíűségi változók várható értékéek az összege, ezért a d azoosságból következik az c reláció. A Kolmogorov egyelőtleséget bebizoyítottuk. A Kroecker lemma bizoyítása. A bizoyítás az u. Abel féle átredezés módszeré alapul. Vezessük be az s = a k meyiségeket. Legye q 0 = 0. Ekkor q a k q k = q k= s k s k+ q k = s + q + q s k q k q k. Rögzítve egy tetszőlegese kis ε > 0 számot válasszuk egy olya N = Nε küszöbidexet, amelyre igaz, hogy s k < ε ha k > N. Ez lehetséges, mert lim s = 0. Mivel q k q k 0 mide k idexre a q k sorozat mootoitása miatt, ezért q k=n Másrészt, mivel lim q = és lim s = 0 lim s k q k q k εq q N ε. q q s + q + N s k q k q k = 0. d A feti becslésekből következik, hogy lim sup q a k q k ε. 5

16 Mivel ez az állítás tetszőleges ε > 0-ra igaz, ie következik a Kroecker lemma. A agy számok erős törvéyéek bizoyításáak fotos része volt azo b formulába megfogalmazott állítás igazolása a Kolmogorov egyelőtleség segítségével, amely szerit a ξ k Eξ k k összeg koverges. Természetes módo felmerül az az általáosabb kérdés, hogy végtele sok függetle valószíűségi változó összege mikor koverges. A Kolmogorov egyelőtleség segítségével erre a kérdésre is kielégítő választ lehet adi. Ismertetek két ilye jellegű eredméyt. Az első eredméy, amelyet Kolmogorov-féle egy-sor tételek is evezek az irodalomba egy gyakra jól haszálható, egyszerűe elleőrizhető feltételt ad a kovergecia teljesülésére. A második, az irodalomba Kolmogorov-féle három sor tételek hívott eredméy, amely eek élesítése, megadja aak szükséges és elégséges feltételét, hogy végtele sok függetle valószíűségi változó összege egy valószíűséggel kovergáljo. Ismertetem ezt a két eredméyt. Kolmogorov-féle egy sor tétel. Legyeek ξ,ξ 2,..., függetle valószíűségi változók, amelyekek létezek véges Eξk 2 < második mometumai mide k =,2,... számra, és Eξ k = 0 mide k =,2,... idexre. Ha Var ξ k <, akkor a ξ k sorozat egy valószíűséggel kovergál. Kolmogorov-féle három sor tétel. Legyeek ξ,ξ 2,..., függetle valószíűségi változók. Rögzítsük valamely C > 0 számot, és defiiáljuk a ξ k = ξ ki{ ξ k < C} valószíűségi változókat, k =,2,..., ahol IA az A halmaz idikátorfüggvéye. A ξ k véletle összeg akkor és csak akkor koverges egy valószíűséggel, ha a ξ k, k =,2,..., valószíűségi változók sorozata teljesíti a következő feltételeket: i Pξ k ξ k = P ξ k C <, ii A iii Eξ k Var ξ k <. összeg koverges.. megjegyzés: A Kolmogorov-féle három sor tétel eredméye speciálisa azt is jeleti, hogy ha a bee szereplő i, ii és iii feltétel teljesül valamilye C > 0 számra, akkor az mide C > 0 számra teljesül. Ezt em ehéz közvetleül beláti, de eek bizoyításától eltekitek. Viszot megmutatom, hogy ameyibe függetle valószíűségi változók sorozata teljesíti a Kolmogorov-féle egy sor tétel feltételeit, akkor teljesíti a Kolmogorov-féle három sor tétel feltételeit is. Ez speciálisa azt is jeleti, hogy a Kolmogorov-féle egy sor tétel bizoyítását elhagyhatjuk, elég a Kolmogorov-féle három sor tételt bebizoyítai. Ha függetle ξ,ξ 2,..., valószíűségi változók sorozata teljesíti a Kolmogorov-féle egy sor tételét, azaz Eξk 2 <, Eξ k = 0 mide k =,2,... idexre, és Eξk 2 <, 6

17 akkor ezek a valószíűségi változók teljesítik a Kolmogorov-féle három sor tétel feltételeit is. Az i feltétel teljesül, mert a Csebisev egyelőtleség alapjá Pξ k ξ k = P ξ k C C Eξ 2 2 k, ezért Pξ k ξ k = C Eξ 2 k 2 <. Érvéyes a ii feltétel alábbi élesebb változata is: Eξ k <. Valóba, mivel Eξ k = 0, ezért Eξ k = Eξ ki ξ k > C C Eξ2 k I ξ k > C C Eξ2 k, és ie Eξ k C Eξk 2 <. Végül a iii reláció is teljesül, mert Var ξ k Eξk 2 <. 2. megjegyzés: A Kolomogorov-féle három sor tétel aak adja meg a szükséges és elégséges feltételét, hogy függetle valószíűségi változók összege egy valószíűséggel kovergáljo. Érdemes megjegyezi, hogy ameyibe e feltételek valamelyike em teljesül, és a tekitett összeg em kovergál egy valószíűséggel, akkor az csak ulla valószíűséggel kovergálhat. Közbülső eset icse. Tehát em lehetséges megadi például olya függetle valószíűségi változókat, amelyek összege modjuk /2 valószíűséggel kovergál és /2 valószíűséggel divergál. Ez következik a valószíűségszámítás egyik alapvető eredméyéből, az úgyevezett 0 törvéyből, amelyet a három sor tétel bizoyítása utá fogok tárgyali. A Kolmogorov-féle három sor tételek itt csak az elégséges részét bizoyítom be, a feltételek szükségességéek bizoyítását a kiegészítésbe teszem meg. Eek az az oka, hogy egyrészt alkalmazásokba az elégségesség a Tétel fotos része, másrészt a szükségesség bizoyítása az ittei tárgyalástól eltérő módszert igéyel. Láttuk ugyais, hogya lehet függetle valószíűségi változók szőráségyzeteiek az ismeretébe e változók összegeit megbecsüli. De, ha a függetle valószíűségi változók összegéek a kovergeciájából a valószíűségi változók szóráségyzeteiek összegére akaruk következteti, akkor ez új godolatokat igéyel. A Kolmogorov-féle három sor tétel elégségesség részéek bizoyítása. Azt akarjuk megmutati, hogy ameyibe a függetle ξ valószíűségi változók teljesítik az i, ii és iii feltételeket, akkor a T = ξ k ω, =,2,..., valószíűségi változók egy valószíűséggel kovergesek. Hasolóa érvelve, mit amikor a agy számok erős törvéyéek a kovergecia részét bizoyítottuk, megmutathatjuk, hogy elég beláti azt, hogy tetszőleges ε > 0 számra lim P Vegyük észre, hogy m P sup ξ k > ε m k= k= m sup ξ k > ε m k= 0. Pξ k ξ k m + P sup 7 m k= ξ k > ε

18 továbbá k= Pξ k ξ k m + P sup ξ k Eξ k > ε sup m k= m k= m k= m Eξ k Pξ k ξ k 0 eseté az i feltétel miatt, és sup m ha > ε a ii feltétel miatt. Végül a Kolmogorov egyelőtleség alapjá m P sup ξ k Eξ k > ε Var ξ k k= 4 2 ε 2 0, ha m k=, Eξ k k= < ε 2, a iii tulajdoság miatt. Ezekből az egyelőtleségekből következik a Kolmogorov-féle három sor tételbe megfogalmazott kovergecia, ha teljesülek az i iii feltételek. Következő lépésbe az úgyevezett Kolmogorov-féle ulla egy törvéyt tárgyalom, amely iformálisa és kissé pogyolá megfogalmazva azt modja ki, hogy egy olya eseméyek, amely függetle valószíűségi változók sorozatáak csak a végtele távoli tagjaitól függ vagy ulla vagy egy a valószíűsége. Kissé potosabba, olya eseméyeket tekitük, amelyekre igaz az, hogy bármely idexre azok bekövetkezése vagy be em következése em függ a ξ ω,...,ξ ω valószíűségi változók értékeitől. Aak érdekébe, hogy a tételt potosa meg tudjam fogalmazi először bevezetem a farok σ-algebra fogalmát. Valószíűségi változók sorozata által meghatározott farok σ-algebra defiiciója. Legye ξ,ξ 2,..., valószíűségi változók sorozata valamely Ω, A,P valószíűségi mező. E valószíűségi változók sorozata által meghatározott F farok σ-algebrát az F = F képlet határozza meg, ahol F = Bξ,ξ +,... a legszűkebb olya = σ-algebra, amelyre ézve a ξ,ξ +,... valószíűségi változók midegyike mérhető. Ezutá megfogalmazom a Kolmogorov-féle ulla egy törvéyt. Kolmogorov-féle ulla egy törvéy. Legye ξ,ξ 2,..., függetle valószíűségi változók sorozata egy Ω, A, P valószíűségi mező, és tekitsük e sorozat által meghatározott F farok σ-algebrát. Ha egy A eseméyre A F, akkor vagy PA = 0 vagy PA =. A tétel bizoyítása. Tekitsük egy A F eseméyt, és jelölje B az A eseméytől függetle eseméyekből álló redszert, azaz B B akkor és csak akkor, ha PA B = PAPB. Azt állítom, hogy F B, ahol F = Bξ,ξ 2,... a legszűkebb olya σ- algebra, amelyre ézve a ξ,ξ 2,... valószíűségi változók midegyike mérhető. Valóba, tetszőleges =,2,... számra mide B Bξ,...,ξ, eseméy függetle az A eseméytől, mert A F F +, és a F + = Bξ +,ξ +2,... és Bξ,...,ξ σ-algebra elemei egymástól függetle eseméyek. Vezessük be a µ B = PA B és µ 2 B = PAPB halmazfüggvéyeket mide B A halmazra. Láttuk, hogy µ B = µ 2 B mide B F = Bξ,...,ξ 8 =

19 halmazra. Ezekívül, mid µ mid µ 2 mérték az A σ-algebrá. Továbbá az előbb defiiált F halmazredszer algebra, és az F algebrát tartalmazó legszűkebb σ-algebra a F σ-algebra. Mivel egy mérték kiterjesztése egy algebráról az őt tartalmazó legszűkebb σ-algebrára egyértelmű, ie következik, hogy µ B = µ 2 B, azaz PA B = PAPB mide B F halmazra, mit állítottam. A bebizoyított állításból speciálisa az is következik, hogy mide A F eseméy függetle ömagától, azaz PA = PA 2. Ez az összefüggés úgy is felírható, hogy PA PA = 0, azaz vagy PA = 0 vagy PA =, és ezt kellett beláti. Nem ehéz beláti, hogy aak az eseméyek a bekövetkezése, hogy függetle ξ,ξ 2,... valószíűségi változók ξ k ω összege kovergál em függ az első éháy ξ k valószíűségi változó értékétől, ezért ez az eseméy eleme az F σ-algebráak. Így eek az eseméyek a valószíűsége vagy ulla vagy a Kolmogorov-féle ulla egy törvéy alapjá. Hasolóa, aak a valószíűsége, hogy függetle valószíűségi változók T ω = ξ k ω átlagai Cauchy sorozatot alkotak, azaz kovergesek, vagy ulla vagy egy a Kolmogorov-féle ulla egy törvéy alapjá. Aak a valószíűsége, hogy a < limif T limsup T ω < b szité vagy ulla vagy egy tetszőleges a és b számokra. Eze észrevétel segítségével be lehet láti, hogy a T valószíűségi változók sorozata vagy valószíűséggel diverges, vagy létezik egy olya < a < szám, hogy a T sorozat egy valószíűséggel ehhez az a számhoz kovergál. A Kolmogorov féle ulla-egy törvéy segítségével az is látható, hogy tetszőleges q, ha sorozatra P lim sup q ξ k = A = valamely A számra. Az, hogy A = vagy A = szité lehetséges ebbe a relációba. Hasoló állítás érvéyes akkor is, ha limsup helyett limif-et tekitük. Rátérek a agy számok gyege törvéyéek a tárgyalására. Nem ehéz beláti ezt az állítást a Csebisev egyelőtleség segítségével függetle, egyforma eloszlású véges második mometummal redelkező valószíűségi változók átlagaira. De, mit láttuk, ha függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók abszolut értékéek véges a várható értéke akkor ezek átlagai teljesítik a agy számok erős és ezért a agy számok gyege törvéyét is. Ez azt jeleti, hogy a véges második mometumok követelése túl erős feltétele a agy számok gyege törvéyéek. Megfogalmaztam egy eredméyt, amely megadja aak szükséges és elégséges feltételét, hogy teljesüljö a agy számok gyege törvéye. Ez a feltétel kissé gyegébb követelméyt ír elő aál, hogy az átlagba résztvevő valószíűségi változók abszolut értékéek legye véges a várható értéke. Alább megfogalmazok majd bebizoyítok egy tételt, amely a agy számok gyege törvéyéek feltételeit megadó eredméy élesítéséek tekithető. Tétel függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagaiak sztochasztikus kovergeciájáról. Legye ξ,ξ 2,..., függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók sorozata, és jelölje Fx e valószíűségi változók eloszlásfüggvéyét. Akkor és csak akkor létezik valós számok olya A, =,2,..., sorozata, amelyre a 9

20 T = ξ k A, =,2,..., sorozat sztochasztikusa ullához tart, ha teljesül a lim x Fx+F x = 0 feltétel. Ha létezik valós számok ilye A sorozata, akkor x az választható, mit A = xf dx, =,2,... Az előző tétel alapjá a agy számok gyege törvéye akkor és csak akkor teljesül valamely a kostassal, ha lim x Fx + F x = 0, és lim xf dx = a. x Ahhoz, hogy belássuk eze eredméy segítségével a a agy számok gyege törvéyéről u szóló tételt, elegedő megmutati, hogy az adott feltételek mellett a lim xf dx = u u a reláció érvéyes valós u és emcsak egész számokra. Ez következik a lim u [u] x u xfdx lim [u] + F[u] + F [u] = 0 u becslésből, ahol [u] az u szám egész részét jelöli. Ez a becslés a lim x Fx + x F x = 0 reláció következméye. Az előadás fő részébe a függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagaiak sztochasztikus kovergeciájáról szóló tételek csak az elégségesség részét bizoyítom. A szükségességről szóló rész bizoyítását a kiegészítésbe ismertetem. A függetle, egyforma eloszlású valószíűségi változók átlagaiak sztochasztikus kovergeciájáról szóló tétel elégségesség részéek a bizoyítása. Tegyük fel, hogy a ξ k valószíűségi változók Fx eloszlásai teljesítik a lim x Fx+F x = 0 feltételt. x Adott egész számra defiiáljuk a ξ k = ξ k = ξ k I ξ k és ξk = ξ k = ξ k ξ k, k, valószíűségi változókat. Ekkor ξ k = ξ k + ξ k, ezért elegedő azt megmutati, hogy ξ k A 0 és ξ k 0, ahol sztochasztikus kovergeciát jelöl. A második reláció következik a tétel feltételeiből, mert P ξ k 0 P ξ k = [F + F] 0, ha. Az első reláció a Csebisev egyelőtleség segítségével bizoyítható, mert mide ε > 0 számra P ξ k A > ε = P ξ k E ξ k > ε Ezért a bizoyítás befejezéséhez elég azt megmutati, hogy lim Var ξ E ξ 2 = u 2 F du = L 20 L u 2 F du + Var ξ 2 ε L u Var ξ u 2 F du = Var ξ ε. = 0. Mivel

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Határérték-tételek véletlen mezőkre

Határérték-tételek véletlen mezőkre Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Approximációs tételek a kupogyűjtő problémába Doktori Ph.D.) értekezés tézisei Pósfai Aa Témavezetők: Dr. Csörgő Sádor egyetemi taár és Dr. Adrew D. Barbour egyetemi taár Matematika- és Számítástudomáyok

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben