Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
|
|
- Kornél Kozma
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális törtfüggvéyek primitív függvéyeit! a b dx l x C x + 3 x 3 4 dx x 3 4 x 3 3 dx + C 3 3 x C 3x + 6 5x dx 3 5x + 5 5x dx 3 5x + dx x 5 5x dx x + 33 l 5x + C 5 x 3 x 6x + 7 dx 6x x 3 x + 8 dx x 6 x 6x + 7 dx lx 6x C 3x x 3 x + 8 dx l x 3 x C x dx c dx x + x + dx x + arc tgx + + C + x x 6x + 5 dx x x 6x + 5 dx x x 6x + 5 dx x 6 x 6x + 5 dx + dx lx 6x x lx 6x dx 8 + x 3 4 lx 6x arc tg x /4 + C lx 6x arc tg x dx x 6x C d x 3x + dx dx x x / A x + B x / dx A + Bx B A/ x x / dx, amiből következik, hogy A + B és B A/, azaz A, B, így ezeket az értékeket visszaírva x dx l x l x / + C x / 4x + 3x 9 4x x 3 + x 3x dx + 3x 9 A xx x + 3 dx x + B x + C x + 3 dx x A + B + C + xa + 3B C 3A dx, xx x + 3 amiből A + B + C 4, A + 3B C 3 és 3A 9. Ezt megoldva kapjuk, hogy A 3, B és C, 3 x + x x + 3. Számítsuk ki az alábbi határozott itegrálokat! dx 3 l x + l x l x C
2 a π π e x dx e x ] e e e cos x dx si x] π π siπ si π b parciális itegrálással egy primitív függvéy xe x e x, ezért xe x dx xe x e x ] e e e e e + mivel arc tg x dx arc tg x dx, parciális itegrálással egy primitív függvéy az x arc tg x l + x, így 3 arc tg x dx x arc tg x ] 3 l + x 3 arc tg 3 l arc tg 3 l c Midkét esetbe helyettesítéses itegrálással lehet egy-egy primitív függvéyt megkeresi. A t arc si x helyettesítés utá x si t, dx cos t dt, így x dx si t cos t dt cos t dt arc si x + x x + C, + cos t dt t + si t + C ezért x dx arc si x + x ] x π 4. A második esetbe a t e x helyettesítés utá x l t, dx t vagyis e x + e x dx t + t t dt dt, így + t dt t l + t + C ex le x + + C, e x + e x dx ex le x + ] e le + l 3. Számítsuk ki az alábbi síkidomok területét! a { x, y R : x y x + } b az y si x és az y /πx görbék által határolt síkidom. Megoldás. a A kérdéses síkidom em más, mit az y x + egyees és az y x parabola által bezárt síkrész. Az egyees és a parabola metszéspotjaiak abszcisszái és. A keresett területet em más, mit a, ] itervallumo értelmezett fx x + grafikoja alatti terület és a gx x grafikoja alatti terület külöbsége. A Newto-Leibiz formulából az első terület x + dx x + x] + 4 5, míg a második x dx ] x Tehát a kérdéses terület b A keresett terület most is megkapható két itegrál külöbségekét: T π/ si x dx π/ /πx dx π/4.. gyakorlat
3 . Számítsuk ki az alábbi impropius itegrálokat! a x dx b e x dx c + x dx Megoldás. a mert b hisze c d l t. e x dx e t. d Mivel x x + x dx t dx e t x dx e x dx xe x dx f x l x dx ] t l x l t l, t e x dx e x ] t e t, t ] t dx dx + x + x arc tg x arc tg t arc tg π arc tg. x x + egy primitív függvéye l x l x +, ezért x x + t dx x x + l t l t + l l + Mivel t-vel -hez tartuk, azért az abszolútérték elhagyható, és így x x + ] t dx l x l x + l 3 l t l t + +. dx l t t + + l 3 + l 3 l 3, ugyais l t t+ t+ l t+ l t+, és ez a függvéy t eseté l -hoz tart. e A, itervallumo xe x egy primitív függvéye xe x dx xe x e x dx xe x e x, így f A, itervallumo így xe x dx x l x. Számítsuk ki az alábbi impropius itegrálokat! xe x e x] t te t e t e e ]. egy primitív függvéye x l x dx x l x dx l l x, x l x dx ] t l l x l l t l l. a l x dx b x dx Megoldás. a A, ] itervallumo l x egy primitív függvéye l x dx x l x dx x l x x, ezért l x dx t + t l x dx x l x x] t l t l t t]. t + t + 3
4 b A, itervallumo x egy primitív függvéye dx x / dx x /, x ezért dx x /] t x t t t/ / Milye valós α-ra leszek kovergesek az alábbi impropius itegrálok? Mivel egyelőek? a dx b xα x α dx Megoldás. a A α eseté x α dx egy primitív függvéye -ak a, itervallumo, ezért αxα xα αx α Ha α, akkor egy primitív függvéy l x, így ] t x dx Az itegrálok tehát α > eseté leszek kovergesek. b Az a esethez hasolóa α -re: Ha α, akkor x α dx t + αx α ] x dx t ] { αt α ha α <, α α ha α >. l x]t l t. ] { t + α ha α >, αt α α ha α <. l t + x] t Az itegrálok tehát α < eseté leszek kovergesek. l t. t + 3. gyakorlat Egy középpotú a id hatváysor kovergeciahalmaza egy olya középpotú itervallum, amelyek R sugarát az alábbi képlettel számolhatjuk: R :, ha a evező véges és em ulla, sup a illetve defiíció szerit legye R :, ha a evező végtele és R :, ha a evező ulla. Itt csak olya példák fogak szerepeli, amelyekbe az a sorozatak határértéke is létezik, ezért a feti defiícióba a sup helyett egyszerűe eszre lehet godoli. A kovergecia-itervallum végpotjairól azoba a tétel semmit sem mod, így ott egy hatváysor lehet koverges, illetve diverges is.. Számítsuk ki a a id hatváysor kovergeciasugarát, ahol a : Megoldás. a R sup a b b R sup c R sup. c.. d! e + 4
5 d R sup! e R sup +! +.!.. Számítsuk ki az alábbi hatváysorok kovergeciahalmazát! a! id b! id c id d id e id Megoldás. Először kiszámoljuk a kovergeciasugarat, majd a kapott itervallum végpotjaiba is megvizsgáljuk a kovergeciát. a R sup! a kovergeciasugár, tehát a kovergeciahalmaz R.! b R sup! a kovergeciasugár, így a kovergeciahalmaz {}.! c R. Az x potba sup, míg x eseté diverges sor, így a kovergeciahalmaz,. d R. Az x potba, az x potba sup a sor, ezek kovergesek a második azért, mert abszolút koverges. Ezért a kovergeciahalmaz, ]. e R sup. Az x potba a sor, amely diverges, az x potba, amely egy Leibiz típusú sor, így koverges. Ezért a kovergeciahalmaz,. 3. Állítsuk elő deriválással az adott H halmazo az f függvéyt fx a x alakba, ahol a H,, fx x, b H,, x fx + x. Megoldás. a Ismeretes, hogy x, eseté x x. Hatváysort a kovergeciaitervallum belsejébe lehet tagokét deriváli, így x x x x + x. x b Mivel mide x, eseté ezért x helyébe x-et írva x x, + x x x teljesül mide x, eseté. Továbbá, ha x helyébe x -et helyettesítük, akkor + x x. 5
6 A kérdéses függvéy az függvéy deriváltja, így + x x + x + x x x x. 4. Állítsuk elő itegrálással az adott H halmazo az f függvéyt fx a x alakba, ahol a H,, fx l + x, b H,, fx arc tg x. Megoldás. a Az előző feladatba láttuk, hogy t, eseté + t t. A kovergecia-itervallum belsejébe hatváysort tagokét itegrálhatuk. Így t, eseté l + x x + t dt x x t dt t dt + x+ x t dt x + x. b Ugyacsak láttuk, hogy t, eseté +t t. Az arc tg x függvéy az itegrálja, így arc tg x x + t dt x t dt x t dt + x+. + x függvéy 4. gyakorlat Előadáso szerepel éháy evezetes Taylor-sor, ezek a következők: e x si x cos x sh x ch x! x + x + x + x ! x+ x x3 6 + x5...! x x + x x + +! x + x3 6 + x x! + x + x ahol a feti Taylor-sorok egész R-e kovergesek és ott elő is állítják a függvéyeket, míg az alábbi sor-előállítás csak a, ] itervallumo érvéyes: l + x x x x + x Ezeke kívül még érdemes felíri a mértai sor összegét is: x x + x + x + x ahol x,. 6
7 . A evezetes Taylor-sorok felhaszálásával határozzuk meg az alábbi függvéyek közepű Taylor-sorát! Mi a kovergeciahalmaz? a si x b + x c e x d xe x x e + x Megoldás. Felhaszáljuk a már ismert Taylor sorokat, majd az egyértelműséget haszáljuk, azaz: ha egy R, R itervallumba fx a x, akkor a jobb oldalo álló hatváysor az f függvéy közepű Taylor sora. a A si függvéy középpotú hatváysorába x helyébe x -et írva si x adódik. A hatváysor kovergeciasugara, mert sup 4+ +! +! x4+ sup + +!. b A, itervallumo x helyébe x -et írva A kovergeciahalmaz pedig marad,. c x R eseté ezért A kovergeciahalmaz R. d így x x. + x x. e x e x e x xe x! x, x.! x,! x +.! Ez lesz a Taylor sor, ami az egész R-e koverges, mert + sup!. e A, itervallumo ezért A kovergeciahalmaz marad,. + x x, x + x x +. 7
8 . Írjuk fel az alábbi függvéyek közepű Taylor-sorát! Mi a kovergeciahalmaz? a 4x b arc tg x Megoldás. a A mértai sor, -e érvéyes előállításásból kiidulva ahol x <, azaz x < / eseté érvéyes a formula. 4x x x 4 x, b Korábba előállítottuk ezt a függvéyt hatváysor alakjába a, itervallumo, így eze a halmazo a Taylor sor egyértelműsége miatt a függvéy Taylor sora is ez lesz. A kovergeciahalmaz most azoba bővebb: arc tg x + x+, ahol ez a hatváysor az x és x potokba is koverges, mert midkettő Leibiz típusú: + és + +. Ha em jut eszükbe a módszer, amivel kiszámoltuk ezeket a Taylor-sorokat, kiidulhatuk a defiícióból is, azaz számoljuk ki a megadott függvéyek deriváltjait és írjuk fel a sort. f x! 3. Mi az alábbi umerikus sorok összege? Haszáljuk fel az előző feladatok eredméyeit. a! b + Megoldás. a e x! x, ezért! e. b Az előző feladatból arc tg x és arc tg x folytoos függvéy az x potba, Abel tétele miatt 4. Írjuk fel közepű hatváysor alakba e x egy primitív függvéyét! Megoldás. Korábba láttuk, hogy mide x R-re e x x -et íruk: e x itegráli a hatváysort. + x+, ha x,. Mivel a hatváysor koverges az x potba, + arc tg π 4.! x, ezért az egyelőség feáll, ha x helyébe! x. Egy primitív függvéy meghatározásához em kell mást tei, mit tagokét e x dx x dx! x dx!! + x+. Legyeek a N és b N valós számsorozatok, ekkor az 5. gyakorlat x a + a cos x + b si x hozzáredeléssel értelmezett függvéysort trigoometrikus sorak evezzük. Legye f : R R egy π-szerit periodikus függvéy, amely Riema-itegrálható a π, π] itervallumo az itervallum választásába csak az léyeges, hogy a hosszúsága π legye, tekitheték a, π] itervallumot is, ekkor az alábbi defiíciók értelemszerűe módosuláak. Ekkor az a π b π π π π π ft cos t dt,,... ft si t dt,,... 8
9 számokat az f függvéy Fourier-együtthatóiak evezzük. A Fourier-együtthatókkal képzett trigoometrikus sort az f függvéy Fourier-soráak evezzük. A potokéti kovergecia Fourier-sorok esetébe em olya egyszerű kérdés, például f folytoosságából még em következik, hogy a Fourier-sor mide potba f-hez tart, de ha például f differeciálható, akkor már ige. Ha egy f függvéy páros, akkor mide N eseté az ft si t függvéy páratla, így a π, π] itervallumo az itegrálja, ezért a Fourier-sorába a b számok midegyike. Ha egy f függvéy páratla, akkor mide N eseté ft cos t páratla függvéy, ezért a Fourier-sorába az a számok midegyike.. Adjuk meg az alábbi f : R R függvéyek Fourier-sorát! a fx x, ha x, π, és k Z-re fx + kπ : fx Megoldás. A függvéy Fourier-sora az egész R-e koverges, és mide x R \ {kπ k Z} eseté előállítja a függvéyt. A Fourier-együtthatók: a π a π b π π π π Így a Fourier-sor: π ft dt t dt 4π π π π ft cos t dt π t cos t dt t π π ft si t dt π t si t dt t π π ] π si t π si t cos t π si x. ] π + π cos t dt dt π π cos t ] π π. b fx π x, ha x, π, f :, és k Z fx + kπ : fx Megoldás. Mide x R eseté előállítja a függvéyt a Fourier-sor, és tiszta sius-sor, mert a függvéy páratla azaz a. A b együtthatók: b π A Fourier-sor: π ft si t dt π π π t si t dt π si x. π t ] π cos t π c fx x, ha x π, π és k Z-re fx + kπ : fx Megoldás. f páros függvéy, így mide N-re b. A többi Fourier-együttható: a π π π ft dt π π t dt π π π a π ft cos t dt π t cos t dt t π π π π π cos π { ha páros ha páratla A Fourier-sor tehát 4 π ] π si t π si t π 4 cos x. π cos t. dt cos t π d fx π x, ha x π, π, és k Z fx + kπ : fx Megoldás. A Fourier-sor tiszta cosius-sor azaz b mide N eseté lesz, ugyais f páros függvéy. Az a együtthatók: a π a π π π π ft dt π π π ft cos t dt π π + π t cos t π t dt π π ] π π π π t cos t dt π + π cos t si t π t dt π π 4 ] π + π si t π t ] π dt 9
10 Így a Fourier-sor: π cos x. 6. gyakorlat. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvéyek összes lehetséges elsőredű parciális deriváltfüggvéyét! Megoldás. a fx, y x, fx, y. b fx, y, fx, y 3y. c fx, y x, fx, y 3y. d fx, y xy 4, fx, y 4x y 3. a fx, y x b fx, y y 3 c fx, y x + y 3 d fx, y x y 4 e fx, y e x +y f fx, y x y e fx, y e x e y, így fx, y e y e x x, fx, y e x e y y. f fx, y xy ye e y, fx, y x y e y y y y e y x e y.. Határozzuk meg a f, f, 3 f, f, f, 3 f, 3 f, 3 f függvéyeket az alábbi függvéyek eseté: a fx, y, z 5z, b fx, y, z x + y + z, c fx, y, z ze x y. Megoldás. a fx, y, fx, y, 3 fx, y 5. Ebből adódik, hogy mide magasabb redű parciális deriváltfüggvéy. b fx, y, fx, y, 3 fx, y. Ebből adódik, hogy mide magasabb redű parciális deriváltfüggvéy. c fx, y ze x y, fx, y ze x y, 3 fx, y e x y. A másodredű deriváltak: fx, y fx, y ze x y, fx, y fx, y ze x y, 3 fx, y e x y. A harmadredű deriváltak: 3 fx, y e x y, 3 fx, y e x y. 3. Határozzuk meg az előző feladatba szereplő függvéyek Jacobi-mátrixát egy x, y, z R 3 potba! Mi lesz f,, 3? Megoldás. A Jacobi-mátrix egy x, y, z potba: f x, y, z fx, y, z, fx, y, z, 3 fx, y, z. a f x, y, z,, 5 kostas mátrix, így f,, 3 is ezzel egyelő. b f x, y, z,, kostas mátrix, így f,, 3 is ezzel egyelő. c f x, y, z z e x y, z e x y, e x y. Ebből pedig x, y, z -ba,, 3-at helyettesítve: f,, 3 3e, 3e, e. 4. Mi lesz az f : R R függvéy Jacobi-mátrixa egy x, y potba, ha fx, y e y a xy b x 4 + x y + y 4 c l x + y Megoldás. A Jacobi-mátrix egy x, y potba: f x, y fx, y, fx, y. a y, x b 4x 3 + x y, x y + 4y 3 x y c x +, y x + y
11 5. Mi lesz a g : R R függvéy Jacobi-mátrixa egy x, y potba, ha gx, y a x, y b x 4 + x y + y 4, x 4 + x y + y 4 c e x cos y, e x si y Megoldás. Ha f f, f, akkor a b f f f f f 4x3 + x y 4y 3 + y x c 4x 3 + x y 4y 3 + y x cos y ex e x si y e x si y e x cos y. Számítsuk ki f 3, 4-et, ahol 7. gyakorlat a fx, y xy b fx, y x 4 + x y + y 4 c fx, y l x + y Megoldás. Ha f : R R, akkor a f x, y b fx, y fx, y fx, y fx, y c Mutassuk meg, hogy ux, y + ux, y teljesül, ha ux, y lx + y, illetve ha ux, y arc tg x y! Megoldás. a az összegük. b az összegük zérus. l x + y y x x + y, l x + y x y x + y, arc tg x xy y x + y, arc tg x xy y x + y, 3. Számítsuk ki az alábbi R R függvéyek primitív függvéyeit! a fx, y x, y b fx, y x + xy, x y + y 3 c fx, y x x + y, y x + y Megoldás. Ha va primitív függvéy, azaz va olya F : R R függvéy, amelyre F f és F f, akkor F x, y f x, y dx + cy, ahol a cy függvéy a F f x, y dx + cy f. összefüggésből határozható meg. a b f x, y dx F x, y x + y. x + xy dx x3 3 + x y + cy
12 Így azaz c y y 3. Így a primitív függvéy c Ez már egy korábbi feladatsoro is szerepelt: x f x, y x y + y 3 3 y 3 + x y + cy, F x, y x3 3 + x y + y4 4. F x, y lx + y. 8. gyakorlat Legye ϕ : a, b] Ω egy folytoosa differeciálható görbe. Ekkor a görbe ívhossza: lϕ b a ϕt dt. Legye Ω R egy tartomáy, f : Ω R folytoos függvéy. Legye ϕ : a, b] Ω egy folytoosa differeciálható görbe, amelyre ϕa, b] Ω. Ekkor az f függvéy ϕ görbe meté vett voalitegráljá az ϕ f : b a fϕt, ϕt dt valós itegrált értjük. Ha f-ek létezik Ω-ba primitív függvéye azaz egy olya F : Ω R függvéy, amelyre F f, vagyis if x f ix mide i,,..., -re, akkor f F ϕb F ϕa. ϕ Ezt az F függvéyt az f poteciálfüggvéyéek is evezik. Ebből következik, hogy ha f-ek va poteciálja, akkor zárt görbe eseté azaz ha ϕa ϕb f voalitegrálja ϕ meté.. Számítsuk ki a következő görbe asztroid ívhosszát: ϕ :, π] R, ϕt : a cos 3 t, a si 3 t, ahol a >. Megoldás. A görbe ívhosszáak képletét felírva π 3a cos t si t + 3a si t cos t dt π 3a si t cos tcos t + si t dt 3 π a π si t dt 6a si t dt 3a cos t] π/ 6a.. Számítsuk ki a következő görbe csavarvoal ívhosszát: ϕ :, h] R 3, ϕt : t, r cos t, r si t, ahol h, r >. Megoldás. lϕ h h + r si t + r cos t dt + r dt h + r dt h + r. 3. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π] R, ϕt cos t, si t azaz a felső egységfélkör, és fx, y y, x! Megoldás. ϕt si t, cos t, így π f si t, cos t, si t, cos t dt ϕ π si t + cos t dt π dt π. 4. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, ] R, ϕt, t az, és, potokat összekötő szakasz, és fx, y e x +y,! Megoldás. ϕ f e +t,,, dt.
13 5. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π] R, ϕt cos t, si t, fx, y x + y, x + y! Megoldás. Az f függvéy egy primitív függvéye F x, y x y + xy +, így f F ϕπ F ϕ. Zárt görbé mide primitív függvéyel redelkező függéy itegrálja zérus. 6. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π/] R, ϕt 3 cos t, si t és ϕ fx, y x x + y, y x + y! Megoldás. Korábba láttuk, hogy f egy primitív függvéye F x, y lx + y. Ezért f l + l3 + l 9 l 3. ϕ 9. gyakorlat Kétváltozós f : R R függvéy itegráljáak kiszámításáshoz az alábbi lebotási tételt haszálhatjuk, ameyibe egy téglalapo itegráluk:. Tétel Fubii. Legye f : R R folytoos függvéy, és a, b] c, d]. Ekkor b d d b f fx, y dy dx fx, y dx a c c a dy Hasoló állítás fogalmazható meg az 3 esetre is. Gyakra egy általáosabb Q R halmazo például egy körö kell itegráli. Ha va olya T R halmaz és egy Φx, y : T Q bijektív leképezés, amely folytoosa differeciálható, akkor f fφ u, v, Φ u, v detφ u, v du dv, Q T ahol tehát a Φ leképezés Jacobi mátrixáak determiásáak abszolút értékével szorzuk. Nyílvá a T halmazak olyaak kell lei, ami már köyű itegráli, ilye például egy téglalap. Ha egy origó középpotú, R sugarú körö kell itegráli, akkor Q {x, y R : x + y R }, T, R], π] és Φ r cos ϕ, r si ϕ. Ekkor detφ r, ϕ cos ϕ r si ϕ si ϕ r cos ϕ r és Q f,r],π]. Számítsuk ki az alábbi többdimeziós itegrálokat! x a, ahol, ], ]; + y b si y, ahol, ], ]; c x + y, ahol, ], ]; d cos x cos y cos z, ahol, π/], π/], π/]. Megoldás. a fr cos ϕ, r si ϕ r dr dϕ. b x dx dy + y + y si y dx dy x dx dy si y + y x 3 3 dx dy ] dy 7 3 si y dy, dy + y 7 3 arc tg y] 7π. 3
14 mert közepű itervallumo páratla függvéy itegrálja zérus. c d π/ π/ π/ x + y dy dx ] x + y 3 x 3 3 dx + x dx 3 3 x + 3 x3/ + ] 3 x cos x cos y cos z dx dy dz π/ cos z π/ cos y π/ x + x + 3 dx 3 π/ cos x dx dy dz cos x dx.. Számítsuk ki az alábbi többdimeziós itegrálokat, ahol : { x, y R : x + y } a zárt egységkörlap a síko! a dx dy b x dx dy c y dx dy Megoldás. Polártraszformációval, azaz az x r cos ϕ, y r si ϕ r, ], ϕ, π] helyettesítéssel π fx, y dx dy fr cos ϕ, r si ϕ r dϕ dr. a b c y dx dy dx dy x dx dy π π π r dϕ dr r r cos ϕr dϕ dr r si ϕr dϕ dr π dϕ dr π r cos ϕ dϕ dr π r 3 si ϕ dϕ dr r rπ dr π ] π. r dr. r r 3 4 π dr π 4 ] π 4.. gyakorlat Gyakra olya síkidomo kell itegráli, amelyet alulról és felülről folytoos függvéyek grafikojai határolak. Ha ϕ, ψ : a, b] R folytoos függvéyek, akkor az N x { x, y R : x a, b], ϕx y ψx } halmazt az x-tegelyre ézve ormáltartomáyak evezzük. Ekkor b ψx f fx, y dy dx N x a ϕx Hasoló állítás fogalmazható meg olya N y tartomáyra, amely az y-tegelyre ézve ormáltartomáy. Legye Ω R egy paramétertartomáy ez legtöbbször egy téglalap, Φ : Ω R 3 egy kölcsööse egyértelmű, folytoosa differeciálható leképezés a paramétertartomáy és ΦΩ között, amelyet a Φ által meghatározott sima felületek evezük. Eek a felületek a felszíét az uφu, v vφu, v du dv Ω képlettel lehet kiszámoli. Ha a feti felület mide potjához hozzáredelük egy valós számot modjuk mide egyes potjához a potbeli hőmérséklelet, azaz adott egy U : ΦΩ R folytoos függvéy, akkor U-ak a feti felületre vett felszíi itegráljá az U : UΦu, v uφu, v vφu, v du dv Φ Ω itegrált értjük. Ha pedig a felület mide potjához egy vektort redelük például sebességet, azaz adott egy F : ΦΩ R 3 folytoos függvéy, akkor az F függvéy Φ-re vett felületi itegráljá az F : F Φu, v, uφu, v vφu, v du dv itegrált értjük. Φ Ω 4
15 . Számítsuk ki N x f értékét, ha a N x : { x, y R : x, ], y x }, fx, y. b N x : { x, y R : x, ], y x }, fx, y y. c Számítsuk ki az fx, y xy függvéy itegrálját az y x és az y x + görbék grafikojai által határolt tartomáyo. Megoldás. a b N x f N x f x x dy dx y dy dx y] x dx ] x 3 y3/ dx x dx 3 x3 dx 3 ] x x x 4 c A megadott parabola és egyees az x és x potba metszik egymást, ezért a ormáltartomáy most az N x : { x, y R : x, ], x y x + } halmaz lesz. f N x x+ x xy dy dx x x4 4 + x3 3 ] x 7 8 x+ x y dy dx x y ] x+ x dx 4 ] 8 3. x 5 + 3x 3 + x dx. Legye Φ :, ], ] R 3, Φu, v : u + v, u v, u, és legye U : R 3 R, Ux, y, z : x + y + z. Számítsuk ki az U felszíi itegrált! Φ Megoldás. u Φ,,, v Φ,,, a vektoriális szorzatuk pedig i j k u Φ v Φ,,, és u Φ v Φ A felszíi itegrál u + v + u v + u 6 dv du 3 6 u dv du 3 6 u du Legye Φ :, ], ] R 3, Φu, v : u + v, u v, u, és legye F : R 3 R 3, F x, y, z : y, x, z. Számítsuk ki az F felületi itegrált! Φ Megoldás. Φ ugyaaz, mit az előbb, ezért ismét u Φ v Φ,,. A felületi itegrál u v, u + v, u,,, du dv du dv. 4. Legye Φ :, π], π] R 3, Φu, v : si v cos u, si v si u, cos v egy felület. Számítsuk ki a felszíét! Megoldás. u Φ si v si u, cos u si v,, v Φ cos v cos u, cos v si u, si v, a vektoriális szorzatuk pedig i j k u Φ v Φ si v si u cos u si v cos v cos u cos v si u si v cos u si v, si v si u, si v cos v. Mivel u Φ v Φ cos u si v + si v si u + si v cos v si v cos u si v + si v si u + cos v cos u si 4 v + si 4 v si u + si v cos v si v si v, ezért a felszí π π si v dv du π π cos v] π du du 4π. 5
16 5. Legye Φ :, π/4] π/3, π/] R 3, Φu, v : si v cos u, si v si u, cos v egy felület. Számítsuk ki a felszíét! Megoldás. Ugyaaz, mit az előbb: u Φ v Φ cos u si v, si v si u, si v cos v. és u Φ v Φ si v. A felszí: π/4 π/ π/3 si v dv du π/ π/4 π/3 si v du dv π 4 π/ π/3 si v dv π 4 cos v]π/ π/3 π 8. 6
2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához
Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenMatematika A2 tételek
Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenKétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Részletesebben( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés
FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I
BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenA2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015
A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)
RészletesebbenMatematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései
Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenMatematika szigorlat (A1-A2-A3)
Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben