AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I"

Átírás

1 BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

2 Speciálisa az építészmérök hallgatók számára felépített elméleti ayag az elmélet megértését segítő feladatokkal. A taayag az építészekek szükséges mélységbe és részletezettséggel tárgyalja a következő témaköröket: umerikus sorozatok; egyváltozós függvéyek határértéke, differeciálszámítás és alkalmazásai, itegrálszámítás és alkalmazásai, vektoralgebra, a tér aalitikus geometriája, mátrialgebra, lieáris egyeletredszerek. Kulcsszavak: umerikus sorozat, függvéy határérték, folytoosság, differeciálszámítás, differeciálszámítás alkalmazási, éritő, szélsőérték, itegrálszámítás, terület, térfogat, ívhossz, súlypot, felszí, görbület, paraméteres görbék, mátri, lieáris egyeletredszer. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3 Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudomáyos (matematika és fizika) képzés a műszaki és iformatikai felsőoktatásba című projekt keretébe. Készült: a BME TTK Matematika Itézet godozásába Szakmai felelős vezető: Fereczi Miklós Lektorálta: Sádor Csaba Az elektroikus kiadást előkészítette: Erő Zsuzsa Címlap grafikai terve: Csépáy Gergely László, Tóth Norbert ISBN: Copyright: 6, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME A termiusai: A szerző evéek feltütetése mellett em kereskedelmi céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4

5 Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés...3. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke Koverges és diverges sorozatok Néháy evezetes sorozat határértéke Függvéyek Elemi függvéyek Iverz elemi függvéyek Függvéyhatárérték-defiíciók Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek Folytoos függvéyek Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai Differeciálszámítás A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok Középértéktételek, L Hospital-szabály A differeciálháyados alkalmazásai Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom Itegrálszámítás Rövid áttekités Primitív függvéyek Itegrálási techikák Határozott itegrál A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja A határozott itegrállal kapcsolatos legfotosabb tételek Az aalízis alaptétele Improprius itegrál Az itegrálszámítás alkalmazásai Vektorok Lieáris tér (vektortér) Lieáris altér Mátriok Az m -es mátriok vektortere a valós számhalmaz felett Mátriok szorzása Lieáris traszformációk (leképezések)... 6 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I 8. Determiások Másod- és harmadredű determiások A másod- és harmadredű determiások alkalmazásai, geometriai iterpretációk Az -edredű determiás és tulajdoságai Mátri iverzéek kiszámolása a determiás segítségével Koordiátageometria Egyees és sík Illeszkedési és metszési feladatok a térbe Térelemek távolsága Hajlásszögek... 7 PÉLDATÁR... 7 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

7 . Bevezetés 3. Bevezetés Amikor mi, laikusok távolról közelítük meg egy építméyt, figyelmük fokozatosa terelődik át az egészről a részletekre, szem előtt tartva a teljes egységet, a kocepciót, a fizikai köryezet által meghatározott feltételeket, az aráyokat, a szimmetriát, a szíeket, fiomságot, féy és áryék kölcsöhatását és a harmóiát. Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerit a tökéletes harmóia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok aráyaival fejezhető ki. A püthagoraszi harmóiára egyik legszebb példák a következő: ha egy háromszög oldalaiak aráya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppe Püthagorasz tételéből következik, mert Az igazság kedvéért meg kell itt említeük, hogy bár a matematikatörtéet ezt Püthagoraszak tulajdoítja (hisze ő bizoyította), a babiloiak is haszálták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a külöbséggel, hogy ők em tudták, hogy ez igaz valameyi derékszögű háromszögre. A Püthagorasz-tétel (másképpe írva Pitagorasz-tétel) tulajdoképpe közvetle őse a agy Fermat-sejtések (amit érdekes módo, bár 994-be boyolult matematikai módszerekkel bizoyítottak, előszeretettel továbbra is sejtések evezük). Ez a sejtés a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legboyolultabb elképzeléseivel, ami több mit három évszázado át leyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olya egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti. 67-be Toulouse-ba Pierre de Fermat (6 665) fracia matematikus és jogász halála utá megjelet a Diophatosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel című kötet, melybe Fermat a 8. probléma tőszomszédságába széljegyzetkét kijeletette, hogy az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 4 Az építészek matematikája, I y z egyeletek bármilye rögzített 3,4,5,... számra icse pozitív egész, yz, megoldása. Matematikusok emzedékeit őrjítette meg igerkedő megjegyzésével, amit szité ide írt be: Igazá csodálatos bizoyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskey, semhogy ideírhatám. (Lásd Simo Sigh, A agy Fermat-sejtés, Park Köyvkiadó, Budapest, 999.) Hogy miért említjük ilye részletességgel ezt az érdekes, püthagoraszi gyökerekkel redelkező, de csak a múlt évszázad végé bizoyított feladatot? Többek között azért, mert az előadáso elhagzó tételeket (legtöbbjüket itt em is bizoyítjuk) évek múltá köye elfelejthetik, ezt valószíűleg em. Míg az itt tault matematikatételek agy többségéek az utca embere hátat fordítaa, még a Fermat-sejtés bizoyítása előtti időkbe, New Yorkba, a Nyolcadik utcai metróállomás falá a következő falfirka jelet meg: y z : ics megoldás. Igazá csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most ics időm ideíri, mert jö a metró. Az aráy (pl. 3:4) eve görögül logosz, az aráypáré (pl. 6:8=9:) pedig aalógia. A görögök szerit világszemléletük három alapfogalma a harmóia, a logosz és a szimmetria. Adrea Palladio (58 58) észak-itáliai építész hitvallása szerit egy valamirevaló épületek hármas követelméyek kell megfelelie: kéyelem, tartósság, szépség, ha ezek közül valamelyik is hiáyzik, az épület em méltó evére. Palotáival és villáival, új aráyaival, tiszta voalvezetésével a reeszász építészet egyik legtermékeyebb mesterévé vált, megszámlálhatatla követővel. A Villa Capra La Rotoda matematikai precizitással kiszámolt aráyossággal redelkező Palladio-villa terveit a római Patheo ihlette és Viceza városá kívül, egy dombtetőre épült. Elevezése, a La Rotoda a közpoti, kör alakú kupolás hallra utal. Az épület a fet említett credo mide egyes potjáak megfelel, szimmetrikus szerkezeteit, díszítőelemeit, klasszikus formáit több mit égyszáz évig utáozták. Amikor Püthagorasz Hippaszosz evű fiatal taítváya felfedezte, hogy a (pl. az egységyi oldalú égyzet átlójáak hossza) em fejezhető ki két természetes szám háyadosakét, tehát a püthagoreus értelembe véve em szám, a püthagoreusok egész világszemlélete összeomlott. Úgyhogy ikább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudomást az ilye számok létezéséről. Talá ez az egyetle dicstele tett, ami a evükhöz kapcsolható. A -t és az irracioális számokat csak a mester halála utá merték újra életre keltei. Vegyük most egy és oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, és oldalú téglalapot kapuk, ami ugyaolya aráyú, mert : :. Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot ügyese egymás mellé rakva olya agyobb lapot kapuk, mely hasoló az eredetihez. Ha egy egységyi hosszúságú szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbikek és a agyobbikak az aráya egyelő legye a agyobbikak és az egészek az aráyával, azaz a agyobbik részt -szel jelölve, másodfokú egyeletet kapuk, melyek egyetle 5 pozitív megoldása az és ekkor a agyobbik és kisebbik aráya 5, az araymetszési aráy. Az araymetszésről Velecébe, 59-be Fra Luca Paccioli De Divia Proportioe címmel köyvet írt, melyet barátja, Leoardo da Vici illusztrált. Nézzük meg az araymetszés egyéb előfordulását is. Fiboacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, körül, yulak szaporodását vizsgálva, bevezette és taulmáyozta a következő umerikus sorozatot:,,,3,5,8,3,,, azaz általáosa u u u. A Fiboacci-sorozat egymást követő tagjaiak háyadosa: ; ;,5;,666;,6;,65;,653,..., az araymetszés értékéhez tart. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

9 . Bevezetés 5 A Fiboacci-számok aráyai a természetbe is megtalálhatók: a szilvafa gallyai a levelek általába félfordulatra követik egymást, a bükkél, mogyoróál ez /3, a tölgyél, sárgabarackál /5, körtefáál, yárfáál 3/8, maduláál, fűzfáál 5/3, és így tovább. Ezek az aráyok éppe a másodszomszéd Fiboacci-számok aráyai. Kepler szerit éppe az araymetszés adta az ötletet a Teremtőek, hogy bevezesse a hasoló dolgokak hasoló dolgokból való származtatását. Bevezetők em teljes, ha em teszük említést a párhuzamos egyeeseket időkét metszőkek ábrázoló perspektivitásról. A perspektív traszformáció a reeszász ideje alatt terjedt el, főkét a firezei Filippo Bruelleschiek köszöhetőe. Taítváya, Masaccio olya Szetháromság-képet festett a firezei Sata Maria Novella templom falára, hogy azt hitték, áttörték a templom falait. Ahogy a perspektivitás em a végső szó a traszformációk világába, úgy Bruelleschi sem az az építészetbe. Azóta is agyszerű megoldások, kocepciók születek, egyre újabb harmóiákat teremtük, igyekezvé miél jobba kihaszáli a redelkezésükre álló matematikai eszközöket, lehetőségeiket és képzeletüket. I am certai of othig, but the holiess of the heart s affectios ad the truth of Imagiatio What the Imagiatio seizes as Beauty must be Truth. (Joh Keats, Letter, November, 87.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

10 6 Az építészek matematikája, I. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke.. Koverges és diverges sorozatok... Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R valós értékű függvéyeket sorozatokak evezzük. Például: a) b),,,,..., azaz 3 4,,,,..., azaz 3 4 c),,,,..., azaz a a, ( ), d),4,9,6,..., azaz a, a, e),, 3, 4, , azaz a, f) 3 4,,,, , azaz a g),,,, , azaz a.,... Megjegyzés: A sorozat ideezését kezdhetjük -val, sőt, egy,,,... mm m R függvéyt is sorozatak evezük, ameyibe m tetszőleges természetes szám. Ekkor az jelölést haszáljuk. a m..3. Defiíció: Az a m sorozat (mooto) övekedő, ha mide N eseté szigorúa övekedő, ha mide a a, N eseté a a, a a, N eseté a a. (mooto) csökkeő, ha mide N eseté szigorúa csökkeő, ha mide..4. Megjegyzés: A feti példákba az a) és g) szigorúa csökkeő, d) és e) szigorúa övő, b), c) és f) sorozat alteráló előjelű, tehát em mooto. a..5. Defiíció: Az sorozat korlátos, ha létezik olya A és B szám, amelyekkel mide N eseté teljesül az Aa B egyelőtleség (ekkor az A-t a sorozat egy alsó korlátjáak, B-t pedig egy felső korlátjáak evezzük)...6. Megjegyzés: A feti példákba a d) sorozat em korlátos, a többi ige...7. Defiíció: A h R számot az a sorozat határértékéek (vagy limeszéek) evezzük, ha tetszőleges pozitív -hoz található mide eseté az a h egyelőtleség teljesül. N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

11 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke Megjegyzés: A határérték előbbi defiíciója úgy is megfogalmazható, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a h, h yílt itervallumba kell esi. Ez egybe azt is jeleti, hogy eze az itervallumo kívül legfeljebb darab, azaz véges sok sorozatelem lehet. A határérték jelölésére az alábbi kifejezést haszáljuk: lim a h vagy a h. Szokás ilyekor azt modai, hogy a tart h-hoz, vagy a kovergál h-hoz...9. Megjegyzés: Ha egy sorozatak va határértéke, akkor azt modjuk, hogy koverges, ha ics, akkor divergesek evezzük. Hagsúlyozzuk, hogy a végtele em valós szám, tehát a feti defiíció értelmébe em lehet egy sorozat határértéke. Eek elleére szoktuk arról beszéli, hogy egy sorozat végtelehez tart. Ezt a következőképpe kell értei:... Defiíció: Az a bármely valós k számhoz található az a k sorozat végtelehez tart, (avagy mide határo túl övő) ha N természetes szám úgy, hogy mide eseté egyelőtleség feáll. Jelölése: lim a. Hasolóa defiiálható a mide határo túl csökkeő sorozat (azaz amikor bármely valós K számhoz található természetes szám úgy, hogy mide lim a.... Példa: Igazoljuk, hogy lim. eseté az a N K egyelőtleség feáll. Jelölése: Megoldás: Tekitsük egy tetszőleges számot. Belátjuk, hogy találuk olya N természetes számot, hogy mide eseté az (mivel ). Ameyibe az N küszöbszámot -ak választjuk, ez telje- sül, tehát lim.... Tétel: Ha az a sorozat koverges, akkor korlátos. Bizoyítás: Legye egyelőtleség teljesül. lim a h és tekitsük az számot. A határérték defiíciója értelmébe létezik N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide eseté az h a h egyelőtleség teljesül. Vezessük be a következő jelöléseket: a,..., a, h és M : ma a,...,, h m: mi a. Ekkor yilvá ma M N...3. Defiíció: A t számot a sorozat torlódási potjáak evezzük, ha va a sorozatak a t számhoz kovergáló részsorozata. A -t és -t is a sorozat torlódási potjáak tekitjük, ha va a sorozatak mide határo túl övő illetve csökkeő részsorozata...4. Következméyek:. Mide határérték egybe torlódási pot is. (Ez a defiíciók azoali következméye.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

12 8 Az építészek matematikája, I. Ha egy t szám torlódási potja az a t t sorozatak, akkor bármely eseté a, itervallumba (azaz a t szám sugarú yílt köryezetébe) végtele sok sorozatelem va. 3. Ha egy sorozatak va határértéke, akkor egyetle egy va. Bizoyítás: Tegyük fel idirekt, hogy az a sorozatak két külöböző határértéke is va, k l jelölje ezeket l és k és legye l k. Tekitsük az : számot. Ekkor yilvá az l sugarú yílt köryezete és a k sugarú yílt köryezete diszjuktak (em metszik egymást). lim a l, így az előbb rögzített -hoz létezik egy N küszöbszám, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a, l l yílt itervallumba kell esi. De k is az a sorozat határértéke, ezért ugyaahhoz az -hoz létezik egy m N küszöbszám, hogy mide m ide eseté a sorozat tagjaiak a k, k yílt itervallumba kell esi. Le- N. Ekkor mide eseté az a midkét köryezetek eleme, gye : ma, m ami elletmodás, hisze azok diszjuktak voltak. N 4. Ha egy korlátos sorozatak egyetle torlódási potja va, akkor koverges. 5. Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges. 6. Mide a sorozatból kiválasztható mooto (övekedő vagy csökkeő) részsorozat...5. Bolzao Weierstrass-tétel: Korlátos sorozatak va koverges részsorozata. Bizoyítás: A 6. tulajdoság alapjá az adott korlátos sorozatak va mooto részsorozata. Nyilvá e mooto részsorozat is korlátos, tehát az előbbi következméyek közül az 5. miatt koverges is...6. Cauchy-féle kritérium: Az a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha tetszőleges pozitív -hoz található N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide m, eseté az a a egyelőtleség teljesül. m..7. Megjegyzés: Cauchy-sorozatokak evezzük azokat a sorozatokat, amelyek redelkezek a Cauchy-féle kritériumba szereplő tulajdosággal. Ezek szerit a Cauchy-kritérium azt modja ki, hogy egy sorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. A Cauchy-féle kritérium bizoyítását itt most em adjuk meg, bár az egyik iráy (a szükségesség) a háromszög egyelőtleség miatt rögtö adódik. Eek elleére szükségesek éreztük magát a kritériumot megemlítei, mert a szakirodalomba számos helye találkozhatak a Cauchy-sorozat elevezéssel...8. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha az sorozat koverges és határértéke a, valamit a b lim a b lim a lim b a b, a sorozat is koverges és határértéke b, akkor: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

13 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 9 lim a b lim a lim b ab, lim a b lim a lim b a b. Ha még az is teljesül, hogy b, akkor a lim b lim a a. limb b Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés-eredméy, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egy- szerű, szükségük lehet a következőkre:..9. Tétel ( redőrelv vagy szedvicstétel ): Ha mide N eseté az a u b egyelőtleség teljesül és lim a lim b u, akkor létezik az sorozat határértéke és lim u u. si... Példa: Számítsuk ki a lim határértéket. si Megoldás: Mivel si, ezért. Tudjuk, hogy lim lim, így a redőrelv miatt.. Néháy evezetes sorozat határértéke u si lim.... Tétel: A következő állítások midegyike igaz:., haq lim q, haq, diverges, egyébkét. lim k a, ha a és k N, a 3. lim, tetszőleges a R eseté,! 4. lim e. Néháy bizoyítás: Az. bizoyításához felhaszáljuk a Beroulli-egyelőtleséget: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

14 Az építészek matematikája, I... Segédtétel (Beroulli-egyelőtleség): Ha N tetszőleges természetes szám, és a h R valós szám eleget tesz a h és h feltételekek, akkor h 3 Bizoyítás: A q q q qq q q q h. azoosságba a jobb oldalo álló db. zárójeles kifejezés között a q a legkisebb, akár q, akár q. Ezért midkét esetbe q q. Ie q h helyettesítéssel kapjuk a bizoyítadó állítást.. bizoyítása q eseté (a többi eset triviális). Vezessük be az h jelölést. Nyilvá q q miatt h. Továbbá Most q q. h h h h lim miatt a jobb oldal -hoz tart. Ezzel bizoyítottuk az állítást. A 4. határérték létezéséek bizoyítása 3 lépésből áll: Az. lépésbe megmutatjuk, hogy az u sorozat szigorúa övő. A. lépésbe megmutatjuk, hogy a v sorozat szigorúa csökkeő. Az u v egyelőtleségből következik, hogy midkét sorozat korlátos, tehát koverges. lim v u, azaz a két sorozatak közös határ- A 3. lépésbe megmutatjuk, hogy értéke va, ezt pedig e-vel jelöljük, tehát lim e. Az. lépésbe igazoluk kell, hogy Szorozzuk meg midkét oldalt -gyel. Ekkor kapjuk, hogy, azaz ugyaaz, mit. Ez pedig a Beroulli-egyelőtleség miatt igaz. A. lépés igazolása ugyaígy törtéhet: az állítás a következő, azaz.., ami Szorozva -el, adódik, hogy. Ez pedig azért igaz, mert ha a bal oldalra alkalmazzuk a Beroulli-egyelőtleséget, akkor Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

15 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke. Végül a 3. lépés: v u 4. Az utolsó egyelőtleségél felhaszáltuk, hogy u v v 4. Megjegyzés: Az e~,78888 szám a természetes logaritmus alapja, irracioális szám (köyű megjegyezi az első tizedesjegy utái 8888 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Lev Nikolajevics Tolsztoj születési éve 88). 873-ba Charles Hermite (8 9) fracia matematikus bizoyította, hogy az e szám egybe traszcedes is (azaz em gyöke egyetle racioális együtthatójú poliomak sem)...3. Megjegyzés: A. és 3. határértékeket köyebb megjegyezi (sőt újakat is felírhatuk), ha figyelembe vesszük, hogy «e «! «k...4. Példák: Számítsuk ki a b sorozat határértékét, ha. b (mid a számlálóba, mid pedig a evezőbe előforduló legmagasabb hatváyát emeltük ki, ez midkét helye volt, így egyszerűsítettük -el). Megoldás: b Számítsuk ki a 3 c sorozat határértékét, ha 3 75 c Megoldás: c (itt pedig a számlálóba is és a evezőbe is a 6 -t emeltük ki, mert aak volt abszolút értékbe legagyobb az alapja, ezzel egyszerűsítettük itt is). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

16 Az építészek matematikája, I 3. Függvéyek 3.. Elemi függvéyek 3... Defiíció: Legyeek H R és K R valós számhalmazok. Redeljük hozzá mide H számhoz egyetle y K számot. Az ilye egyértelmű hozzáredelést függvéyek evezzük. ab itervallumo kove, ha bármely és ab, és f f, eseté a következő egyelőtleség áll fe: f f Defiíció: Az f függvéy az, Hasolóa defiiáljuk a kokáv függvéyt is, csak ott az egyelőtleség fordított iráyú. Szoktuk még modai, hogy kove egy függvéy, ha grafikoja megtartja a vizet, pl. az 3 csak a itervallumo kove, a, itervallumo pedig kokáv., ab, Ameyibe bármely eseté az f grafikojához létezik egyértelmű éritő egyees, az f függvéyt lokálisa koveek evezzük egy adott ab, potba, ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő fölött helyezkedik el, lokálisa kokávak pedig abba az esetbe, ha ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő alatt helyezkedik el Elemi függvéyek grafikojai: A most következő elemi függvéyek grafikojából következteti lehet értelmezési tartomáyukra ( D f ), értékkészletükre ( R f ), esetleg mootoitásukra, paritásukra és periodicitásukra. (Feltételezzük, hogy a függvéy fogalma a középiskolai taulmáyok alapjá mideki előtt ismert, mit ahogy az alábbi függvéytai fogalmak is: értelmezési tartomáy, értékkészlet, kölcsööse egyértelmű leképezés, páros, illetve páratla függvéy, periodikus függvéy.) k Hatváyfüggvéyek: f f f 3 f 3 4 f 4 5 f 5 6 f 6 7, ahol k pozitív egész szám Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

17 3. Függvéyek 3 Páratla gyökfüggvéyek: f() f() f() 3 f 4 () Páros gyökfüggvéyek: 4 4 f() f() 6 6 f() 3 Midegyik páros gyökfüggvéy kokáv az értelmezési tartomáyá. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

18 4 Az építészek matematikája, I Trigoometrikus függvéyek (si, cos, ta): A si és cos függvéyek periodikusak, főperiódusuk T, míg a tg és ctg (melyek szité periodikusak) főperiódusa T. Epoeciális függvéyek: f a (a>) y y e 3 y f()=^ f()=e^ f()=(/)^ y Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

19 3. Függvéyek 5 Érdemes megjegyezi, hogy az epoeciális függvéy mootoitása az alaptól függ: ameyibe a függvéy alapja a, az epoeciális függvéy szigorúa övekvő, míg a a alap eseté az epoeciális függvéy szigorúa csökkeő. Értelmezési tartomáya R, értékkészlete pedig, (vigyázat, az ábráko úgy éz ki, mitha a függvéy metszeé az tegelyt, valójába csak egyre jobba közeledik hozzá). Természetes alapú epoeciális függvéy: y e, ahol az alapszám (az e) egy, az előző fejezetbe vizsgált evezetes sorozat határértéke: lim e. Hiperbolikus függvéyek e e Kosziusz hiperbolikusz függvéy: ch :, szokásos jelölés még y cosh. A grafikoja az y e és y e grafikookból következik: 3.5 y f()=cosh() f()=e^ f()=e^(-) e e Sziusz hiperbolikusz függvéy: sh :, szokásos jelölés még y sih. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

20 6 Az építészek matematikája, I sh e e Tages hiperbolikusz függvéy: th :, szokásos jelölés még y tah, az ch e e alábbi közös ábrá a, értékkészletű (em metszi az y illetve y egyeeseket, csak egyre jobba közeledik hozzájuk), szigorúa mooto övekvő függvéy y f()=tah() f()=sih() f()=cosh() f()=- f()= Iverz elemi függvéyek Az f függvéy iverz függvéyéek evezzük és f -gyel jelöljük azt a függvéyt, mely mide valós b számhoz (mely az eredeti f függvéy értékkészletéhez ( Rf -hez ) tartozik), azt az a számot redeli az f értelmezési tartomáyából ( D f -ből ), melyhez az f a b -t redelte, vagyis ha f b a. f a b, akkor Ie következik, hogy f f b b és f f a a, mit ahogy az is, hogy az f értelmezési tartomáya az f értékkészlete, és f értékkészlete az f értelmezési tartomáya. Tehát csak kölcsööse egyértelmű függvéyek va iverze, hisze szükséges, hogy a egyértelmű legye. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

21 3. Függvéyek Tétel: Az f függvéy ivertálhatóságáak elégséges feltétele a függvéy szigorú mootoitása. Az iverz függvéy megőrzi a mootoitást (azaz pl. szigorúa övekvő függvéy iverze is szigorúa övekvő). f függvéy és az f függvéy grafikoja egymásak az y egyeesre vett tü- Az körképei. Az ábrá az y 3 függvéy és iverze, az 3 látható. y 3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

22 8 Az építészek matematikája, I A természetes alapú logaritmusfüggvéy f R f e Az :,, (e alapú) epoeciális függvéy szigorúa övekvő, tehát midehol létezik az iverze, ezt a függvéyt evezzük természetes alapú logaritmusfüggvéyek, f :, R f l. Mivel az e alapú epoeciális függvéy szigorúa övekvő,, ezért a természetes logaritmusfüggvéy is az. (Az egyéb alapú ( a, a ) logaritmusfüggvéy mootoitása megegyezik az ugyaolya alapú epoeciális függvéy mootoitásával.) Az y si függvéy em ivertálható a, itervallumo, mert em kölcsööse egyértelmű. Ivertálható a, tartomáyo, itt szigorúa mooto ő. Az iverz függvéyét arkusz sziusz (arcus sius) függvéyek evezzük, jele arcsi. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

23 3. Függvéyek 9 Az y arcsi értelmezési tartomáya a, itervallum, értékkészlete pedig,. Hasolóa ábrázolhatjuk a többi trigoometrikus és hiperbolikus függvéy iverzeit is szigorúa mooto szakaszoko: a cos függvéyt a, itervallumo ivertáljuk, így az arccos :,, a tagest a, itervallumo, így arctg :, R, R,, a kotagest a, itervallumo, így arcctg : a kosziusz hiperbolikuszt a, itervallumo, így ar ch, :,, (area kosziusz hiperbolikuszak evezzük), a sziusz hiperbolikuszt R-e, így ar sh : R R (area sziusz hiperbolikuszak modjuk),, R (area tages hiperbolikusz, szoktuk a tages hiperbolikuszt R-e, így ar th : még arta h -val jelöli), míg ch e e a kotages hiperbolikuszt az R halmazo, így sh e e,, R (area kotages hiperbolikusz). arcth : Megjegyezzük még, hogy a th és cth függvéyek iverzei redelkezek még logaritmusos alakkal is, mely a következő: arth l, arcth l Függvéyhatárérték-defiíciók Tegyük fel, hogy az potjába ( lehet kivétel). f értelmezve va valamely, az Defiíció: Az f függvéyek az R körüli yílt itervallum mide R helye létezik a határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek mid bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség Defiíció (határérték II.): Az f függvéyek az az a h R hoz kovergáló lim f h. valós szám, ha bármely, az sorozat eseté az R helye létezik a határértéke és f függvéy értelmezési tartomáyából választott és - f függvéyérték sorozat kovergál h -hoz. Jelölés: A két defiíció ekvivales (itt em bizoyítjuk). A második defiíció olya feladatokál haszálható eredméyese, ahol várhatóa ics határérték. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

24 Az építészek matematikája, I Példa: Számítsuk ki a lim si határértéket. Megoldás: Vegyük az alábbi két, ullához tartó számsorozatot:,,,,..., 5 4,,,,..., lim si, míg lim si, így a feladatba kért határérték em létezik Defiíció: Az f függvéyek az R helye létezik a jobb oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Hasolóa értelmezzük a függvéy Defiíció: Az f függvéyek az R helye vett bal oldali határértékét: R helye létezik a bal oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Jelölés: lim f h ill. lim f h Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek az R helye végtele a határértéke, ha tetszőleges pozitív A számhoz létezik olya szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f > A egyelőtleség. Jelölés: lim f. (Hasolóa defiiáljuk a lim f esetet is.) Tétel: Az f függvéyek az szám, ha lim f lim f h. R helye létezik a határértéke és az a h R valós Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

25 3. Függvéyek Defiíció: Az f függvéy határértéke eseté a h R valós szám, ha bármely számhoz található k valós szám úgy, hogy a függvéy értelmezve va k eseté és eze értékekre teljesül az egyelőtleség. f h Jelölés: lim f h. (Hasolóa defiiáljuk a lim f h esetet is.) 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha létezik lim f lim g, akkor létezik a két függvéy összegéek, külöbségéek, szorzatáak a határértéke is és a következők érvéyesek: és továbbá, ha lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim lim g, akkor létezik az f g lim f. lim g f,,, g függvéy határértéke is, és 3.4. Tétel (Összetett függvéy határértéke): Ha lim g a b és lim f b olya szám, hogy a eseté g b, akkor lim f g c. a c, továbbá va Tétel (redőrelv vagy szedvicstétel függvéyhatárértékekre): Ha az f, g és h függvéyek értelmezve vaak az pot egy köryezetébe és itt f g h, valamit lim f lim h L lim g L., akkor Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés eredméye, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egyszerű, szükségük lehet a következőkre: Tétel (Nevezetes függvéyhatárértékek):. Ha az szöget radiába adjuk meg, akkor igaz), si lim (természetese lim is si Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

26 Az építészek matematikája, I tg. ugyaakkor igaz, hogy lim (természetese lim is igaz), tg 3. lim e képletet, mit egy (természetese, lim y y alakot, ahol... ), y e is igaz, a léyeg, hogy úgy tekitsük a loga lim loga e, ameyibe a, a, speciális esetbe l a a e lim l a, ha a, a, speciális esetbe lim, lim, ahol R. l lim, Bizoyítai csak az. tulajdoságot fogjuk a redőrelv segítségével: Ívmértekkel mérve az szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy si tg, ie si -szel osztva: si cos. Mivel lim, ezért a redőrelv szerit cos si lim. Ekkor lim lim. si si Néháy példa függvéyhatárérték-számításra Szimbolikusa példa ) lim lim 3. (Kiemeltük előforduló legmagasabb hatváyát (ugyaezt tettük vola, ha ), majd leegyszerűsítettük.) si si si ) lim lim lim Tétel. képletét.). (Haszáltuk a 3) ( ) lim lim 6 4, valamit 5 4 (5 4) 4 4 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

27 3. Függvéyek ( ) 4) lim lim 3. (Vegyük észre, ( ) hogy ameyibe, előforduló legalacsoyabb hatváyát emeljük ki.) 5) lim lim ( ). (Haszáltuk, hogy és.) si 6) lim si lim si lim ) lim lim e Folytoos függvéyek Defiíció: Az f függvéy folytoos az helye, ha értelmezett az helye, és aak egy köryezetébe, létezik a lim f lim f f. és Defiíció: Az f függvéy folytoos az, folytoos Defiíció: Az f függvéy balról folytoos az helye, ha ab itervallumo, ha aak mide potjába értelmezett az helye, és aak egy bal oldali köryezetébe, azaz lim f és létezik a lim f f., -ba, A jobb oldali folytoosságot hasolóa defiiáljuk, csak ott jobb oldali köryezetet tekitük és -ba jobb oldali határértéket Defiíció: Az f függvéy folytoos az [a,b] itervallumo, ha folytoos az (a,b) itervallumo és az a potba jobbról, b potba pedig balról folytoos Példák: az f az, ha Q Dirichlet-függvéy sehol sem folytoos,, ha R Q f abszolút érték függvéy pedig mideütt folytoos függvéy. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben