Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
|
|
- Nóra Kovács
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra Pfeil Tamás matematikai elemz szakos adjuktus hallgató Budapest 07
2 Tartalomjegyzék Bevezetés. Elméleti összefoglaló.. Végtele sorok Hatváysorok Taylor-sorok, Taylor-formula A végtele sor összege =. Alkalmazások.. Végtele sorok összege Biomiális sorfejtések és alkalmazásaik Irodalomjegyzék Köszöetyilváítás
3 Bevezetés Témámak a hatváysorok alkalmazását választottam umerikus sorok vizsgálatára. Szakdolgozatomat két részre osztottam. Az els részbe, vagyis az elméleti összefoglalóba ismertetem a témával kapcsolatos deíciókat, tételeket, állításokat, ezzel bemutatom a végtele sorok, hatváysorok és Taylor-sorok elméleti hátterét. A következ fejezetbe végtele sorok összegéek vizsgálatával, majd a biomiális sorokkal és alkalmazásaikkal foglalkozom.
4 . fejezet Elméleti összefoglaló.. Végtele sorok. Deíció. Legye N +. Ekkor!! = ( )( 4)..., ha páros.!! = ( )( 4)..., ha páratla. Emellett legye 0!! =.. Deíció. Legye (a ) egy valós számsorozat. Jelölje (s ) azt a sorozatot, melyek tagjai s = a s = a + a. s = a + a a = k= a k Ezeket a számokat a. a végtele sor részletösszegeiek evezzük, ahol s az -edik = részletösszeget jelöli. Ha létezik a = lim s. = lim s, azt a végtele sor összegéek evezzük. Jelölés:
5 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ. Deíció. A a végtele sort kovergesek evezzük, ha a részletösszegek (s ) = sorozata koverges. A (s ) sorozata diverges.. Tétel. Ha a = a végtele sort divergesek evezzük, ha a részletösszegek = 4. Deíció. Adott R eseté a a végtele sor koverges, akkor lim a = 0. alakú sort mértai sorak evezzük, ahol a mértai sor kvóciese.. Tétel. A mértai sor akkor és csak akkor koverges, ha <, és ekkor az összege.. Tétel. Ha a eseté a a végtele sor koverges és összege s, akkor bármely c valós szám = c a végtele sor is koverges és összege c s, azaz = 4. Tétel. Ha a és = ca = c a. b koverges végtele sorok és az összegük a, illetve b, akkor a = (a +b ) végtele sor is koverges és összege a+b, azaz = 5. Deíció. Legye = (a +b ) = = = a + b. a végtele sor, ( k ) idesorozat és legye 0 = 0. Ekkor a = végtele sor egy zárójelezése (a k + + a k a k ) = k= k= k i= k + = (a a ) + (a a ) + (a a ) Állítás. Ha egy végtele sor koverges, akkor aak bármely zárójelezése is koverges, és az összege változatla.. Bizoyítás. Legye a = a a i = = végtele sor koverges, tehát az (s ) részletösszegsorozata tart egy s valós számhoz. Legye ( k ) idesorozat és legye 0 = 0, ekkor a k végtele sor egy zárójelezése, eek k-adik részletösszegét jelölje s k. k= i= k + a i
6 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 4 Mivel s k = s k mide k idere, továbbá a koverges (s ) sorozat mide részsorozata = is koverges és a részsorozat határértéke egyel az eredeti sorozat határértékével, ezért s k s. 6. Deíció. A a végtele sort abszolút kovergesek evezzük, ha a a végtele sor koverges. 7. Deíció. A a végtele sort feltételese kovergesek evezzük, ha koverges, = de em abszolút koverges. 8. Deíció. Legye a végtele sor és b : N + N + egy bijekció, azaz a pozitív egész = számok halmazáak ömagára törté bijektív leképezése. Ekkor a a a végtele sor b bijekcióhoz tartozó átredezéséek evezzük. = = a b() végtele sort A következ kritériumok segítségével gyakra eldöthetjük, hogy koverges vagy diverges végtele sorral álluk szembe. = 5. Tétel (D'Alembert-féle háyadoskritérium). Legye (a ) egy olya sorozat, melyre mide ide eseté a 0. Ha lim a + a <, akkor a Ha lim a + a >, akkor a a végtele sor abszolút koverges. = a végtele sor diverges. = 6. Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Ha lim a <, akkor a a végtele sor abszolút koverges. Ha lim a >, akkor a 7. Tétel (Leibiz-kritérium). A = a végtele sor diverges. = ( ) + a alakú végtele sor koverges, ha (a ) egy = pozitív tagú ullsorozat és va olya N pozitív egész szám, hogy mide N ide eseté a a +.
7 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 5 8. Tétel (Összehasolító kritériumok). Legye a emegatív tagokból álló végtele = sor. Ha va olya koverges c végtele sor és N pozitív egész szám, hogy mide = N eseté a c, akkor a a végtele sor koverges. = Ha va olya emegatív tagokból álló diverges d végtele sor és N pozitív = a végtele sor diver- egész szám, hogy mide N eseté a d, akkor a ges. =.. Hatváysorok 9. Deíció. Legye 0 R és a, N sorozat. Ekkor a ( 0 ) egy 0 középpotú hatváysor. Az a, N számokat a hatváysor együtthatóiak hívjuk. A hatváysor kovergeciahalmaza azo valós számok halmaza, melyekre a a ( 0 ) végtele sor koverges. 9. Tétel (CauchyHadamard-tétel). Bármely hatváysor kovergeciahalmaza itervallum, mely a végpotjaitól eltekitve a hatváysor középpotjára szimmetrikus. A hatváysor az itervallum mide bels potjába abszolút koverges. 0. Tétel (CauchyHadamard-formula). Legye R = lim sup a. Ha 0 < R, akkor. Ha 0 > R, akkor a ( 0 ) abszolút koverges. a ( 0 ) diverges. pozitív valós szám. A feti R számot a hatváysor kovergeciasugaráak evezzük. Ha lim sup a = 0, akkor a hatváysor mide valós számra abszolút koverges. Ekkor azt modjuk, hogy a hatváysor kovergeciasugara R =. Végül lim sup a = eseté a hatváysor csak az 0 helye koverges, ilyekor azt modjuk, hogy a hatváysor kovergeciasugara R = 0.
8 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 6 Ha a hatváysor kovergeciahalmaza a K itervallum, akkor ( 0 R, 0 + R) K [ 0 R, 0 + R]. 0. Deíció. A a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéyéek evezzük azt az f függvéyt, mely a hatváysor kovergeciahalmazá va értelmezve és ott a függvéyérték f() = a ( 0 ).. Tétel. Ha a ( 0 ) pozitív kovergeciasugarú hatváysor és összegfüggvéye f, akkor az összegfüggvéy a kovergeciahalmaz bels potjaiba tetsz legese sokszor diereciálható, és ott mide k N + eseté f (k) () = ( )... ( k + )a ( 0 ) k. =k. Következméy. Ha a pozitív kovergeciasugarú a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye f, akkor a = f () (a), N.!. Tétel (Abel-tétel). A a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye folytoos a ko- vergeciaitervallum mide potjába.. Deíció. Legye az f függvéy értelmezve az I itervallumo és legye az F függvéy diereciálható ugyaott. Az F függvéyt f egy primitív függvéyéek evezzük az I itervallumo, ha F () = f() mide I eseté.. Deíció. Az f függvéy összes primitív függvéyéek halmazát az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük. Jelölése: f()d.. Deíció. Legye [a, b] zárt itervallum, N + és a = 0 < <... < < = b. A P = { 0,,..., } halmazt [a, b] felosztásáak evezzük. 4. Deíció. Legye f az [a, b] zárt itervallumo értelmezett korlátos függvéy. Azt modjuk, hogy az I szám az f függvéy [a, b] itervallumo vett Riema-itegrálja, ha bármely ε > 0 számhoz létezik olya δ > 0 szám, hogy az [a, b] itervallum mide olya P = { 0,,..., } felosztására, melyre P < δ, bárhogya is választjuk ki a c k értéket
9 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 7 az [ k, k ] itervallumból, teljesül, hogy f(c k ) k I < ε. A Riema-itegrál jelölése I = b a f. k=. Tétel. Ha az f függvéy folytoos az [a, b] itervallumo, akkor az [a, b] itervallumo Riema-itegrálható. 4. Tétel. Tegyük fel, hogy a a ( 0 ) hatváysor az ( 0 R, 0 + R) itervallum mide potjába koverges, és ott az összegfüggvéye f. Ekkor ezekbe a potokba ( 0 ) + koverges a a hatváysor is, továbbá az ( 0 R, 0 + R) itervallumo + ( 0 ) + f()d = a + C, C R Tétel. Legye a a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye f, a kovergeciahalmazát pedig jelölje K. Ha [a, b] K, akkor b a f()d = b a a ( 0 ) d = [ a ( 0 ) + + ] b. a.. Taylor-sorok, Taylor-formula 5. Deíció. Ha az f valós függvéy -szer diereciálható az 0 potba, akkor a T () = k=0 f (k) ( 0 ) ( 0 ) k k! poliomot az f függvéy 0 középpotú -edik Taylor-poliomjáak evezzük. 6. Deíció. Legye az f valós függvéy akárháyszor diereciálható az 0 potba. A f () ( 0 )! ( 0 ) = f( 0 )+ f ( 0 )! ( 0 )+ f ( 0)! hatváysort az f függvéy 0 középpotú Taylor-soráak evezzük. ( 0 ) f () ( 0 ) ( 0 ) +...! Megjegyzés. A Taylor-poliomok a Taylor-sor részletösszegei. Ha speciálisa 0 = 0, akkor a megfelel f () (0)! = f(0) + f (0)! + f (0)! f () (0) +...!
10 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 8 Taylor-sor az f függvéy úgyevezett Mclauri-sora. Ha 0 valamely köryezetébe f akárháyszor diereciálható függvéy és deriváltjai e köryezetbe abszolútértékbe közös korlát alatt maradak, akkor a függvéy e helyhez tartozó Taylor-sora koverges és el állítja a függvéyt, vagyis f () ( 0 ) f() = ( 0 )! = f( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + f ( 0)! hacsak az 0 pot szóbaforgó köryezetébe esik. ( 0 ) f () ( 0 ) ( 0 ) +...,! 6. Tétel (Taylor-formula a maradéktag Lagrage-féle alakjával). Legye az I yílt itervallumo értelmezett f valós függvéy ( + )-szer diereciálható és legye 0 I. Ekkor mide I eseté létezik olya c szám 0 és között, melyre R () = f() T () = f (+) (c) ( + )! ( 0) Tétel (Biomiális sorfejtés). Legye α R. Ekkor mide R, < eseté ( ) ( ) ( ) α α α ( ) α ( + ) α = =, 0 ahol ( ) α =, 0 ( ) α = A hatváysor kovergeciasugara. α(α )... (α + ), N +.!.4. A = végtele sor összege Elemi úto meghatározzuk a végtele sor összegét. = ( Alkalmazzuk a Moivre-formulát az 0, π ) számra! (cos() + i si()) = cos() + i si(), N +. ( ) cos() + i si() (cos() + i si()) cos() + i si() = = = (ctg() + i). (si()) (si()) si() A biomiális tételt haszálva: ( ) (ctg() + i) = ctg () + 0 ( ) ( ) ctg ()i ctg()i + ( ) i =
11 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 9 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] = ctg () ctg () i ctg () ctg () cos() + i si() (si()) és (ctg() + i) egyel, ezért a képzetes rész is egyel, azaz si() si() = ( ) ctg () ( ) ctg () Ha a kitev páratla szám, azaz = m +, akkor [( ) ( ) ( )] si((m + )) m + m + m + = ctg m () ctg m () ( ) m. si() m+ m + Az egyelet jobb oldalá ctg () poliomja található, melyek zérushelyei l = l =,,..., m, hisze ( ) lπ si (m + ) = si(lπ) = 0. m + lπ m +, Az,,..., m zérushelyek külöböz számok a ( 0, π ) itervallumba, ezért az m- edfokú ( ) ( ) ( ) m + m + m + y m y m ( ) m m + poliom gyökei ctg ( ), ctg ( ),..., ctg ( m ). Mivel ctg szigorúa mooto csökke ( a 0, π ) itervallumo és,..., m az itervallum külöböz elemei, ezért ctg ( l ), l =,..., m, a ( ) poliom összes gyöke. A A poliom gyökei és együtthatói közötti egyik összefüggés (Viète-formula) szerit ( m+ ) ctg ( ) + ctg ( ) ctg m(m ) ( m ) = ( m+ ) =. ( si () = ctg () +, 0, π ) azoosság alapjá pedig si ( ) + si ( ) si ( m ) = m+ctg ( )+ctg ( )+...+ctg ( m ) = Tudjuk, hogy mide Ezt alkalmazva az l = si ( ) > lπ m+ ( 0, π ) számra si() < < tg(), vagyis lπ, l =,..., m számokra azt kapuk, hogy m + (m + ) l π > ctg ( ) lπ, l =,..., m. m + (*) m(m + ). si() > > ctg().
12 . FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 0 Az m számú egyel tleséglácot összeadva az eredméy m(m + ) > (m + ) (m + ) (m + ) > π π m π m(m ). Ebb l ekvivales átalakítással a m-edik részletösszegre a m következ t kapjuk: π m(m + ) (m + ) > m > π m(m ) (m + ). Mivel hogy m(m + ) m(m ) lim = lim = m (m + ) m (m + ), ezért a red relv alapjá azt kapjuk, lim ( m ) = π m 6.
13 . fejezet Alkalmazások.. Végtele sorok összege. Példa. ()!! = e. Tudjuk, hogy az epoeciális függvéy ulla középpotú Taylor-sorfejtése e =!, R. Az változó helyére az értéket behelyettesítve megkapjuk a kérdéses végtele sort: e ( = e = )! =! = ()!!.. Példa. ( ) + = l + π. Vizsgáljuk meg a ( ) + + hatváysort, az összegfüggvéye legye f. El ször határozzuk meg a hatváysor kovergeciasugarát a háyadoskritériummal! A középpotba mide hatváysor abszolút koverges, ezért most tegyük fel, hogy 0. Ebbe az esetbe lim a + = lim ( ) ( ) +4 + = lim =. a Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, és ha >, akkor a hatváysor diverges.
14 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK Ezutá ézzük meg a kovergeciaitervallum végpotjaiba a végtele sort! Ha =, ( ) akkor a végtele sor Leibiz-típusú, tehát koverges, és = eseté a + ( ) + ( )+ = + végtele sor diverges. Tehát a kovergeciahalmaz (, ]. A hatváysor összegfüggvéye a kovergeciaitervallum belsejébe tagokét diereciálható, ezért a (, ) itervallumo f () = ( ) = ( ) = ( ) = ( + ) ( + ). Határozzuk meg a racioális törtfüggvéy primitív függvéyeit, amihez el ször botsuk azt parciális törtekre! + = A + + B + C + = A A + A + B + B + C + C + = (A + B) + (B A + C) + (A + C). + A + B = 0 B A + C = 0 A + C = Az egyeletredszer megoldása A =, B =, C =. Itegráljuk a vizsgált racioális törtfüggvéyt! + d = + d d = l + + d = l Teljes égyzetté alakítással adjuk meg + = ( ) d = 4 = 4 Az el z ek szerit + d = l d+ primitív függvéyeit: 4 ( ) + = 4 ( ) +, arctg( ) + K = + d + arctg( ) + K. + d + d.
15 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK ( ) = l + 6 l( + ) + arctg + K. Alkalmas K R eseté f() = ( ) 6 l Az = 0 értéket behelyettesítve: ( ) 0 = f(0) = arctg 6 l () + + K. ( ) arctg + K, < <. (*) Ekkor a K = π 6 eredméyt kapom. Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, a ( ) egyel ség jobb oldalá álló függvéy pedig folytoos az = helye, ezért ( ) + = f() = l + π 6 + π 6 = l + π.. Példa. = = l. Iduljuk ki a mértai sorból! = = Helyettesítsük helyébe a értéket! + = =, <. ( ), <. Tudjuk, hogy a hatváysor összegfüggvéyéek primitív függvéyeit tagokéti itegrálással számolhatjuk ki, ezért létezik olya C R, melyre l( + ) = C = C + ( ) Az egyel ség az = 0 helye a C = 0 értéket adja. = +, (, ). ( ) Határozzuk meg a CauchyHadamard-formulával a hatváysor kovergeciasugarát! lim ( ) + = =.
16 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 4 A hatváysor = eseté koverges, = eseté pedig diverges, tehát a kovergeciaitervallum (, ]. Az Abel-tétel szerit a ( ) sorfejtés = eseté is érvéyes. Helyettesítsük helyébe a értéket, így l( ) sorfejtését kapjuk meg: l ( ) = ( ) ( ) = = =, [, ). Ebb l következik, hogy Ha =, akkor l ( ) = = [, ). 4. Példa. = 6. ( l ) = l = ( ),. = = El ször megoldjuk a feladatot a mértai sorfejtésb l kiidulva, majd egy hatváysor összegfüggvéyét megkeresve is. A két megoldás lépései léyegébe azoosak. Els megoldás. Iduljuk ki az = =, < sorfejtésb l! A kovergeciaitervallum mide bels potjába tagokéti deriválással azt kapjuk, hogy ( ) = Ezt megszorozzuk az változóval: ( ) = = ( ) = =. =, <. A kapott sorfejtést ismét deriváljuk tagokét, majd az eredméyt szorozzuk meg az változóval! = ( ) + ( ) = ( ) = =, =
17 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 5 Az = + ( ) = =, <. = értéket behelyettesítve megkapom a keresett összeget: = Második megoldás. Vizsgáljuk meg a helye a kérdéses összeg, vagyis = = 6. = hatváysort, mivel eek értéke az = =. Jelölje a hatváysor összegfüggvéyét f. Határozzuk meg a hatváysor kovergeciasugarát és a kovergeciaitervallumát a háyadoskritérium segítségével! A középpotba mide hatváysor abszolút koverges, ezért most tegyük fel, hogy 0. Ebbe az esetbe lim ( + ) + = lim ( + ) =. Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, és > eseté a hatváysor diverges. Ha 0, akkor osszuk el az f() függvéyértéket az változóval! f() =. = Jelölje F az f(), (0, ) függvéyek azt a primitív függvéyét, melyre lim F () = 0. 0 Ekkor a jobb oldalo tagokét képezve az primitív függvéyeket F () = Ismét alkalmazzuk a korábbi lépéseket!, (0, ). = F () =, = F () d = C + = C + alkalmas C kostas eseté a (0, ) itervallumo. Deriváljuk az egyel ség midkét oldalát, majd szorozzuk meg az változóval: F () = ( ),
18 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 6 F () = Ismételjük meg az el bbi lépéseket!, (0, ). ( ) f() = F () = + ( ), ( + ) f() = ( ). Végül számoljuk ki a kapott függvéyt az = ( ) helye! Mivel f = megkaptuk a vizsgált végtele sor összegét. 5. Példa. = Legye f() = = π (l ). =,. 8 Gyökkritérium segítségével határozzuk meg, hogy hol koverges a hatváysor. = lim =. lim = 6, ezzel Ha <, akkor a hatváysor koverges, és ha >, akkor a hatváysor diverges. Vizsgáljuk meg a hatváysort a kovergeciaitervallum végpotjaiba! = eseté ( ) koverges és = eseté szité koverges. Tehát a hatváysor = kovergeciahalmaza [, ]. Ezutá belátjuk, hogy = f() + f( ) + l () l ( ), (0, ) kostasfüggvéy. Mivel a kovergeciaitervallum belsejébe a hatváysor összegfüggvéyéek deriváltfüggvéyét tagokéti deriválással határozhatjuk meg, ezért f () = =, <. Az f deriváltfüggvéy az helye f ( ) ( ) =, 0 < <. Másrészt az f függvéy az helye ( ) f( ) =, 0. = =
19 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 7 Deriváljuk az l() l( ), (0, ) függvéyt: (l () l ( )) = l ( ) + l () l ( ) l () ( ) =. Ezért mide (0, ) eseté és (f() + f( ) + l() l( )) = f () f ( ) + = Tudjuk, hogy Ezek alapjá = = ( ) + = = ( ) + = l() = = = l( ) l( ) l() l( ) l(). + ( ) ( ), 0 < = l( ) = = =, <. = l() (f() + f( ) + l() l( )) = ( ) + ( ) = 0, (0, ). Ezzel beláttuk, hogy az f() + f( ) + l() l( ), (0, ) függvéy kostasfüggvéy. Határozzuk meg e függvéy tagjaiak határértékét, amikor tart egyhez balról! π lim f() = 0 6, mert f egy hatváysor összegfüggvéye, ahol a hatváysor a [, ] itervallumo koverges és ott az összegfüggvéye folytoos. Ezért az helye balról a határértéke az ottai függvéyérték, ami f() = = π az.4. alfejezet szerit. 6 lim f( ) = 0 az f függvéy ulla potbeli folytoossága miatt. 0 = A harmadik tag határértékéek kiszámításához a L'Hospital-szabályt kétszer egymás utá alkalmazhatom, hisze az els háyados számlálójáak és evez jéek a határértéke az adott helye, a másodikak pedig 0. lim l() l( ) = lim 0 l( ) 0 l() = lim 0 l
20 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 8 Határértéket véve az = helye balról l = lim 0 = lim l()+ l 0 = 0. π lim (f() + f( ) l() l( )) = 0 6, és f() + f( ) + l() l( ), (0, ) kostasfüggvéy, ezért f() + f( ) + l() l( ) = π, (0, ). 6 Ha pedig az = Tehát helye tekitjük a kostasfüggvéyt, akkor f ( ) + f = = ( ) + l ( ) l + (l ) = π 6. = π (l ). ( ) = π 6, Megjegyzés. Iduljuk ki az t = + t + t +... = t, t < sorfejtésb l. Tetsz leges (0, ) eseté midkét oldalt a [0, ] itervallumo itegrálva, a jobb oldalo tagokét itegrálva azt kapjuk, hogy Osszuk az változóval! 0 t dt = 0 0 t dt, l( ) = = + +, 0 < <. l( ) A L'Hospital-szabály segítségével vizsgáljuk meg az l( ), (0, ) függvéy határ- értékét a ulla helye! = =, 0 < <. (*) + l( ) lim 0 = lim 0 =,
21 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 9 hisze az els háyados számlálójáak és evez jéek 0 a határértéke az adott helye. Az l( ), (0, ) függvéyt folytoosa kiterjesztjük a ulla potra a határértékkel, [ akkor a kiterjesztett függvéy folytoos a 0, ] itervallumo, így Riema-itegrálható a [ 0, ] itervallumo. A ( ) egyel ség midkét oldalát itegrálva a [ 0, ] itervallumo a következ eredméyt kapjuk: Ezért 0 l( ) d = 0 [ + ( + ) ] l( ) d = 0 = = = ( ( ) ) 0 = = π (l ). =. l( + ) Ismert, hogy d [ ] em elemi függvéyekb l áll, mégis az itegradus a 0, itervallumo vett Riema-itegrálját ki tudtuk számoli. 6. Példa. ( ) + = l. = Tudjuk, hogy mide (, ] eseté l( + ) = ( ) = + Az = értéket behelyettesítve megkapjuk az példabeli végtele sor összegét: l = ( ) +. Ez a végtele sor feltételese koverges, mivel diverges. = Tekitsük a 6. példabeli végtele sorak azt a b átredezését, ahol b = = =., b = 4, b = 4, N+. Vegyük az átredezett végtele sor -edik részletösszegét: s = }{{ } 4 + }{{ 6} ( }{{ 0} ) }{{ 4 }
22 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 0 = = ( A kapott szorzat második téyez je a ezért eseté a határértéke l. A másik két részsorozat = ( ) + ), N +. végtele sor -edik részletösszege, s + = s + +, s + = s + 4, N+. Ezért az (s + ) és (s + ) részsorozatok határértéke is l, így az (s ) részletösszegsorozat határértéke is l, azaz = l. 7. Példa. Változtassuk meg a harmoikus sor tagjaiak el jelét úgy, hogy három pozitív tag utá három egatív tag következze, majd ez ismétl djö. Legye tehát akkor b + = ( ) +, b + = ( ) +, b + = ( ) +, N, b = = El ször lássuk be, hogy s = Ez a ( + + ) = b koverges. = ( ( ( ) ) ) ( +...+( ) ), N +. végtele sor -edik részletösszege. Ez utóbbi végtele sor Leibiz-típusú, ezért koverges, vagyis (s ) koverges. Mivel s + = s + ( ) + lim (s ), s + = s + + ( ) + lim (s ), ezért (s ) koverges, vagyis a b végtele sor koverges. =
23 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK így Mivel + = ( ) = , <, f() = = ( + + ) ( ) = ( + + ) ( ) +... = , <. Az utóbbi hatváysor kovergeciasugara R =, mert mide együttható (c = ( ) [ ], N) abszolútértéke, ezért a CauchyHadamard-formula szerit R = c =. lim Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges. Az utolsó egyel ség azért teljesül, mert egy koverges végtele sor mide zárójelezése is koverges, és a zárójelezett végtele sor összege egyel az eredeti végtele sor összegével. A c hatváysor összegfüggvéyét a (, ) itervallumo tagokét itegrálva ahol K R d = K , Határozzuk meg a bal oldali itegrált parciális törtekre botással! = + + ( + )( + ) = A + + B + C +, + + = (A + B) + (B A + C) + (A + C), A + B = B A + C =. A + C = Az egyeletredszer megoldása A =, B =, C =. Itegráljuk a vizsgált racioális törtfüggvéyt: + + d = + + d + = l d + + d. A. példába teljes égyzetté alakítás segítségével meghatároztuk a jobb oldali primitív függvéyeket: arctg( d = ) + L, L R. +
24 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK A fetiek alapjá + + d = + l d = l d + + d ( ) = l + + arctg l( + ) + + L, L R. Jelölje a b = R =, mert R = hatváysor összegfüggvéyét g. A hatváysor kovergeciasugara lim b = lim =. Tehát a hatváysor koverges a (, ] itervallumo. El ször az = 0 értéket helyettesítem be, ekkor az L = π eredméyt kapom. Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, tehát 8. Példa. = Iduljuk ki az sorfejtésb l. g() = l + ( ) + = π 4. = = π + π = π l +., < Az változó helyére helyettesítsük be a értéket: + = = ( ), <. Vegyük midkét oldal primitív függvéyeit a (, ) itervallumo. A hatváysor primitív függvéyeit tagokét képezhetjük, ezért alkalmas C R eseté arctg() = ( ) C, <. Határozzuk meg a jobb oldalo álló hatváysor kovergeciasugarát a háyadoskritérium segítségével! lim = lim + + =.
25 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK A hatváysor < eseté abszolút koverges, és > eseté diverges, tehát a kovergeciasugara. A hatváysor = és = eseté is Leibiz-típusú, ezért koverges, így a kovergeciahalmaza [, ]. Az = 0 értéket behelyettesítve a C = 0 eredméyt kapom, tehát arctg() = ( ) +, <. + Ha =, akkor az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a [, ] itervallumo, továbbá az arctg függvéy is folytoos a [, ] itervallumo, így ( ) + = = arctg = π Példa. ( ) ( + ) = π 6. A 8. feladat megoldásakor meghatároztuk az arctg függvéy ulla középpotú sorfejtését, ami az = helye ( ) arctg = ( ( ) + ) + = ( ) ( + ) amib l következik, hogy = , ( ) ( + ) = = arctg ( ) = π 6.
26 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 4.. Biomiális sorfejtések és alkalmazásaik. Példa. ( )!! + = ( ),. ()!! ( ) α Ismert, hogy a biomiális sor < eseté abszolút koverges, és ( + ) α = ( ) α + 0 A biomiális sorfejtés α = eseté Mivel eseté ( ) = ezért a keresett sorfejtés ( ) α + ( + ) = ( ) α +... = ( ), <. ( ) ( ) ( )... ( + )! ( ) α, <. ( )!! = ( ), ()!! + = + + ( )!! ( ), <. ()!! Határozzuk meg a kovergeciasugarat a háyadoskritérium segítségével! ( ) (+ )!! + lim ((+))!! = lim + =, = ( ) ( )!! ()!! ha 0. A középpotba pedig mide hatváysor koverges. Tehát ha <, akkor a végtele sor abszolút koverges, ha >, akkor pedig diverges. Ha =, akkor ( )!! ( ) ( ) = ()!! Becsüljük az utóbbi végtele sor tagjait! ( )!!. ()!! 0 < ( )!! ()!! = ( )!! ()!! < < + ( ). A majoráskritérium miatt a is koverges. = végtele sor koverges, ekkor ( )!! ()!!
27 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 5 Ha =, akkor Leibiz-típusú, ezért koverges. ( )!! ( ) ()!! Tehát az = helye a hatváysor koverges és = eseté is koverges a ( )!! hatváysor, hisze ( ) is abszolút koverges. Vagyis a kovergecia- ()!! halmaz [, ]. Vizsgáljuk meg a Taylor-formula segítségével a maradéktagot, hogy az milye eseté tart ullához! Legye f() = +, D(f) = [, ]. Eek a függvéyek a deriváltfüggvéyei: f () = ( + ), f () = ( ) ( + ), ( ) ( f () = ) ( ) ( + ) 5,. f () + ( )!! () = ( ) ( + ), N + (, ) eseté, amit teljes idukcióval igazolhatuk. A Lagrage-féle maradéktagos Taylor-formula szerit mide [, ) számhoz létezik olya c () (, ) ulla és között, melyre + = k=0 f (k) ( 0 ) k! k + f (+) (c ()) +. ( + )! E Taylor-formula maradéktagja: eek az abszolútértéke ( )!! R () = ( ) + ( + )! ( + c ()) + +, R () = ( )!! + c () ( + )!! + c () Az R () maradéktag rögzített eseté akkor és csak akkor tart ullához eseté, ha R () ullához tart. +.
28 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 6 Ha, akkor c () <, ezért + c () korlátos. Ha + c () < mide ( )!! idere, akkor ( + )!! 0 szerit R () 0, ha. A 0 < esetbe mide idere 0 c () <, ezért 0 <, így + c () eseté R () 0. Ha = 0, akkor yilvá R () = 0 0, amikor. Ha < 0, akkor < c () < 0 mide idere, ezért 0 < + c () <, amib l következik 0 > >. Tehát + c () + c () <, ezért R () 0, ha. Kérdés, hogy (, ) eseté Taylor-formula maradéktagja ullához tart-e eseté. Ezt az esetet más módo kell megközelíteük. Tekitsük tetsz leges α R eseté a ( ) α biomiális sort, az összegfüggvéye legye f. Tudjuk, hogy f diereciálható a (, ) itervallumo, és itt f () = α(α )... (α + ).! = Ezt szorozzuk meg az ( + ) téyez vel! ( ) f α(α )... (α + ) ()( + ) = ( + )! = = = α(α )... (α + ) +! Alakítsuk át az els tagot: = α + Ezért α(α )... (α + ) = α +! = m= = α(α )... (α m) (m + ) m = α + (m + )! f ()( + ) = α + = α + m= = m= α(α )... (α m) m + m! ( α(α )... (α ) +! = α(α )... (α + ).! α(α )... (α + )! α(α )... (α m) m, <. m! α(α )... (α + )! = α(α )... (α + )! )
29 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 7 = α+ = α(α )... (α + )! [(α ) + ] = α+α = ( ) α = αf(), <. Szétválasztható változójú diereciálegyeletet kaptuk az f összegfüggvéyre: ( + )f () = αf(), (, ). A szétválasztás utá itegráljuk midkét oldalt, majd megoldjuk az egyeletet: f () f() = α +, l f() = α l + + C, f() = K( + ) α alkalmas C, K R eseté a (, ) itervallumo. Ekkor az = 0 értéket behelyettesítve K = megoldást kapom. Tehát f() = ( + ) α, (, ). Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, tehát az = helye vett sorfejtés eredméye ( )!! ( ) ()!! = =, az = helye vett sorfejtésb l pedig az következik, hogy. Példa. + = + ( )!! ( ) ( ) = ()!!. = ( )!! ( ), (, ]. ()!! A biomiális sorfejtés α = eseté Mivel eseté ( ) = ( ( + ) = ezért a vizsgált biomiális sorfejtés ( ), <. ) ( ) ( )... ( + )! + = + ( )!! ( ), <. ()!! = ( )!! = ( ), ()!!
30 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 8 Tudjuk, hogy a biomiális sor kovergeciasugara, ezért ha <, akkor a végtele sor abszolút koverges és ha >, akkor a végtele sor diverges. Ha =, akkor a végtele sor + ( )!! ( ). ()!! = Nézzük meg, hogy a tagok abszolútértékéek sorozata mooto csökke -e. Tetsz leges N + eseté ( )!! ()!! > ( + )!! ( + )!!, + > +, ( )!! ( )!! tehát az a = sorozat mooto csökke. Mivel <, N +, ()!! ()!! + ezért az (a ) sorozat ullához tart, így a végtele sor Leibiz-típusú, tehát koverges. Az Abel-tétel alapjá a sorfejtésb l az = helye következik ( )!! ( ) ()!! = =. Ha =, akkor a végtele sor + ( )!! ( ) ( ) = + ()!! = = ( )!!. ()!! Mivel ( )!! <, N +, ezért a mioráskritérium alapjá a végtele sor ()!! = eseté diverges.. Példa. = + = ( )!! ()!!, <. A. Példabeli sorfejtésbe helyébe helyettesítsük a számot, akkor éppe a keresett sorfejtést kapjuk. 4. Példa. arcsi() = + = ( )!! ( + )()!! +,. Az el z példabeli sorfejtés midkét oldaláak primitív függvéyeit képezve azt kapjuk, hogy arcsi() = + = ( )!! ( + )()!! + + C, <, ahol C R alkalmas kostas. Az = 0 értéket behelyettesítve megkapjuk, hogy C = 0.
31 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 9 A középpotba mide hatváysor koverges. Ha pedig 0, akkor a háyadoskritérium segítségével vizsgáljuk meg a kovergeciát. lim ( + )!!()!! + ( + )!!( )!! + = lim + + =. Ha <, akkor hatváysor abszolút koverges, ha pedig >, akkor diverges. A hatváysor az = helye + = ( )!! ()!!( + ). Becsüljük az utóbbi végtele sor tagjait eseté: A = koverges. 0 < ( )!! ()!!( + ) < ( + ) <. végtele sor koverges, ekkor a majoráskritérium miatt ( )!! ()!!( + ) is Ha =, akkor az = potbeli végtele sor elletettjét kapjuk, ami szité koverges. Vizsgáljuk meg az = végpotba a hatváysort. Ekkor azt kapjuk, hogy 5. Példa. π = arcsi = + = ( )!! ()!! +. = + ( )!! ( ),. + ()!! = A. Példabeli sorfejtésbe helyébe az számot helyettesítve a keresett sorfejtéshez jutuk. 6. Példa. arsh() = + = ( ) ( )!! ( + )()!! +,. Az 5. Példabeli egyel ség midkét oldalá primitív függvéyeket képezve arsh() = + ( ) ( )!! ( + )()!! + + C, < = alkalmas C valós számra. Az = 0 értéket behelyettesítve C = 0 az eredméy. A hatváysor yilvá koverges = 0 eseté. Ha pedig 0, akkor a háyadoskritérium segítségével állapítjuk meg a kovergeciasugarat. lim ( + )!!()!! + ( + )!!( )!! + = lim + + =.
32 . FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 0 Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, ha pedig >, akkor diverges. Ha =, akkor ( ) ( )!! ()!!( + ) Leibiz típusú, ezért koverges. Amikor =, akkor az = helye vett végtele sor elletettjét kapjuk, ami koverges. Az = potba a sorfejtés eredméye arsh() = + ( )!! ( ) ()!! +. = Tudjuk, hogy arsh() = l( + + ), R, ezért ( )!! ( ) ()!! + = l( + ). =
33 Irodalomjegyzék [] Németh József: El adások a végtele sorokról (00), Polygo Kiadó, Szeged [] B. P. Gyemidovics (974): Matematikai Aalízis Feladatgy jteméy, Taköyvkiadó, Budapest [] Laczkovich Miklós - T. Sós Vera (007): Aalízis II., Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest [4] George B. Thomas: Thomas-féle Kalkulus. (0), Typote Kiadó, Budapest [5] Urbá Jáos: Határértékszámítás (004), M szaki Köyvkiadó, Budapest
34 Köszöetyilváítás Szeretém megköszöi témavezet mek Pfeil Tamásak a sok segítséget, a türelmet és a precizitást, amivel a szakdolgozatomat kezelte. Köszööm családom támogatását, akik lehet vé tették számomra, hogy eljussak idáig. Köszöet barátaimak, akik midig biztattak és mellettem álltak.
2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenVÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK
VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Függvények közelítése
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Függvéyek közelítése Szakdolgozat Készítette: Bedeek Eszter Matematika BSc Matematikai elemz szakiráy Kozules: Mezei Istvá adjuktus Alkalmazott Aalízis
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenMeghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.
Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés
FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához
Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenKÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév
KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenI. FEJEZET: ANALÍZIS... 3
Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
Részletesebben