1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

Átírás

1 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét (vagy a Q halmaz ú. szeletekét, esetleg raioális számokból álló ú. Cauhy sorozatkét) törtéhet, a valós számok halmazát R jelöli. Nyilvávaló, hogy N Z Q R: A valós számok összeadását (kivoását) és szorzását (osztását), valamit ezekkel a m½uveletekkel kapsolatos algebrai szabályokat szité ismertek tételezzük fel. A valós számok körébe a égyzetgyökvoás em végezhet½o el korlátlaul, pl. az x = 3 egyeletek em létezik megoldása R-be, ami azt jeleti, hogy p 3 a valós számok körébe em értelmezhet½o. Mivel egy valós szám égyzete em egatív, ezért az alábbi egyeletekek sis megoldása R-be: x x + = x = 0, x4 + 5 = 0, x 16 + p x 1 + 3p 7x + = 0: Természetes ígéy, hogy b½ovítsük a valós számok körét úgy, hogy a feti egyeletek midegyike értelmes és megoldható legye ebbe a b½ovebb számhalmazba. Az egyeletek felírásából két következtetést is levohatuk. Egyrészt a valós számokak szerepeliük kell a bevezetésre kerül½o új számok között, másrészt az összeadást (kivoást) és a szorzást (hatváyozást) is értelmezük kell az új számokra, mégpedig feltétleül úgy, hogy ezek az új m½uveletek az új számok között megbújó valós számoko a már jól ismert eredméyt szolgáltassák. A bevezetésre kerül½o új m½uveletekt½ol elvárjuk, hogy a korábba megismert és jól haszosítható szabályok is teljesüljeek reájuk. A legegyszer½ubb és legkézefekv½obbek látszó megoldást választjuk, bevezetük egy új számot, amelyet i-vel jelölük és amelyre teljesül az i = 1 egyel½oség. A továbbiakba ezt az i-t mide szempotból úgy kezeljük mit az algebrába szokásos változókat, tehát a számolások sorá az i-vel úgy báuk mit a már megszokott x, y vagy z változókkal. Az a b R valós számokat haszálva most már képezhetjük az a + bi alakú kifejezést, amely az i változó els½ofokú poliomja és amelyet komplex számak evezük. Ha a + bi = + di teljesül a d R valós számokra, akkor el½obb b = d majd ie bi = di és a = adódik. Valóba, b 6= d eseté átredezéssel az a = (d b)i egyel½oséghez jutuk, ie a em zéró d b-vel való osztás utá azt az elletmodást kapák, hogy i = a d 1 b

2 valós szám. A poliomokról egyébkét is olya megállapodásuk va, hogy a + bi = + di () a = és b = d: Az algebrai kifejezésekkel (poliomokkal) a megszokott módo számolva és az i = 1 egyel½oséget is felhaszálva a komplex számok összeadására (kivoására) és szorzására az alábbi természetes értelmezést kapjuk: (a + bi) ( + di) = (a ) + (b d)i (a + bi) ( + di) = a ( + di) + bi ( + di) = a + adi + bi + bidi = = a + bdi + adi + bi = (a bd) + (ad + b)i: A em zéró komplex szám reiprokát is kiszámolhatjuk: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a b i = a bi a + b = a a + b b a + b i: Az eddigiek alapjá lehet½oségük va a komplex számok olya értelmezésére, amely matematikai szempotból szabatos és amelybe em szükséges az i számak az ajádékkét való elfogadása és külöböz½o tulajdoságaiak megkövetelése. 1.A.De íió. Az a b R valós számokkal képzett (a b) alakba írható redezett párokat evezzük komplex számokak, amelyek az R = R R sík potjaiak (vagy origóból iduló vektoraiak) felelek meg. A komplex számok összeadása (kivoása) a vektorokhoz hasolóa törtéik: az a b d R valós számokat haszálva (a b) ( d) = (a b d) A komplex számok szorzását a korábba látottak alapjá értelmezzük: (a b) ( d) = (a bd ad + b): Most (a 0) ( 0) = (a 0) és (a 0) ( 0) = (a 0) ezért az (a 0) alakú komplex számok úgy viselkedek a m½uveletekre ézve, mit az els½o koordiátáikba szerepl½o valós számok, következésképpe (a 0) helyett egyszer½ue a-t íruk. Haszáli fogjuk az i = (0 1) jelölést, így teljesülek az alábbiak: (a b) = (a 0) + (0 b) = (a 0) + (b 0) (0 1) = (a 0) + (b 0) i = a + bi A komplex számok halmazára a i = i i = (0 1) (0 1) = ( 1 0) = 1: C = f(a b) j a b Rg = fa + bi j a b Rg jelölést vezetjük be. Egy z = (a b) = a + bi komplex szám valós részé a Re(z) = a valós számot és képzetes részé az Im(z) = b valós számot értjük.~

3 1.1.Állítás. A z 1 = (a 1 b 1 ), z = (a b ), z 3 = (a 3 b 3 ) és w = ( d) komplex számokra teljesülek az alábbiak: (z 1 + z ) + z 3 = z 1 + (z + z 3 ) (asszoiatívitás) (z 1 z ) z 3 = z 1 (z z 3 ) ( d)( + d z 1 + z = z + z 1 (kommutatívitás) z 1 z = z z 1 ( d) + (0 0) = ( d) (eutrális elem létezése) ( d) (1 0) = ( d) ( d) + ( d) = (0 0) (additív iverz létezése) d ) = (1 0) feltéve, hogy ( d) 6= (0 0) (multiplikatív iverz létezése) + d (z 1 + z ) w = (z 1 w) + (z w) (disztributívitás): Bizoyítás. A (z 1 z ) z 3 = z 1 (z z 3 ) azoosság igazolására szorítkozuk. z 1 z = (a 1 b 1 ) (a b ) = (a 1 a b 1 b a 1 b + b 1 a ) továbbá (z 1 z ) z 3 = (a 1 a b 1 b a 1 b + b 1 a ) (a 3 b 3 ) = = ((a 1 a b 1 b )a 3 (a 1 b + b 1 a )b 3 (a 1 a b 1 b )b 3 + (a 1 b + b 1 a )a 3 ) z z 3 = (a b ) (a 3 b 3 ) = (a a 3 b b 3 a b 3 + b a 3 ) z 1 (z z 3 ) = (a 1 b 1 ) (a a 3 b b 3 a b 3 + b a 3 ) = = (a 1 (a a 3 b b 3 ) b 1 (a b 3 + b a 3 ) a 1 (a b 3 + b a 3 ) + b 1 (a a 3 b b 3 )) (a 1 a b 1 b )a 3 (a 1 b + b 1 a )b 3 = a 1 (a a 3 b b 3 ) b 1 (a b 3 + b a 3 ) (a 1 a b 1 b )b 3 + (a 1 b + b 1 a )a 3 = a 1 (a b 3 + b a 3 ) + b 1 (a a 3 b b 3 ): 1.B.De íió. A z = (a b) = a + bi és w = ( d) = + di komplex számokra 1. a z-ek az 0 egész kitev½oj½u hatváyát z 0 = 1 és k 0 eseté z k+1 = z k z megkövetelésével rekurzív módo értelmezzük (0 0 -t em értelmezzük!), tehát z = ((:::((z z) z) :::) z) z ahol az egyel½oség jobb oldalá potosa darab z szerepel. ha w 6= (0 0) = 0 + 0i = 0, akkor w-ek a reiprokát (amelyre a w 1 vagy az 1 w jelölést egyarát haszáljuk) a w 1 = 1 w = + d d d = + i + d + d + d egyel½oség értelmezi (ameyibe d = 0, akkor w = ( 0) = és most w 1 = 1 = w ( 1 0) = 1), a z háyadoso (törtkifejezése) a z w 1 = z 1 szorzatot értjük w w 3

4 3. a z kojugáltját a egyel½oség értelmezi 4. a z abszolut értéke a valós szám z = (a b) = a bi = p a + b 0 5. ha z 6= (0 0) = 0 + 0i = 0, akkor a z arkusza vagy szöge mide olya ' valós szám, amelyre a egyel½oségek teljesülek. Mivel os ' = Re(z) és si ' = Im(z) Re(z) Im(z) + = 1 ezért létezik olya ', amely kielégíti a feti egyel½oségeket, s½ot ' a egész számú többszöröseit½ol eltekitve egyértelm½ue meghatározott, jelölése ' =ar(z) (tehát ar(z) a z komplex szám végtele sok arkuszáak bármelyikét jeletheti!).~ 1..Állítás. A z = a + bi, w = + di 6= 0, w 1 = 1 + d 1 i 6= 0, w = + d i 6= 0, u és z k = a k + b k i ( 1 k ) komplex számokra teljesülek az alábbiak. 1. Az -téyez½os z 1 z ::: z szorzat értéke függetle aak zárójelezését½ol.. z z m = z +m (z ) m = z m (z 1 z ) = z 1 z (itt m 1 egészek) u w = z () u = z w és (w 1 ) = (w ) 1 (itt 1 egész) ez utóbbi a w hatváy értelmezését is jeleti: w = (w 1 ) = (w ) 1, w k w l = w k+l (w k ) l = w kl (w 1 w ) k = w k 1 w k (itt k l Z tetsz½oleges egészek) z 1 w 1 z w = z 1w z w 1 w 1 w z 1 w 1 z w = z 1 z w 1 w : (z) = z z 1 z = z 1 z z 1 z = z 1 z z = z w w : 5. z = 0 () = 0 = = zz jz 1 z j = jz 1 jjz j jz 1 + z j jz 1 j+jz j : 4

5 6. Ha r = és ' =ar(z), akkor z = r(os ' + i si ') amelyet a z komplex szám trigoometrikus alakba való felírásáak evezük, ha az s 0 és valós számokra akkor s(os + i si ) = r(os ' + i si ') s = r és ' = k () valamilye k Z egész számra, tehát s = és =ar(z), ami azt jeleti, hogy a trigoometrikus alak egyértelm½u. 7. Ha r k = jz k j, ' k =ar(z k ) és R = jwj, =ar(w), akkor jz 1 z ::: z j = jz 1 j jz j ::: jz j ar(z 1 z ::: z )=ar(z 1 )+ar(z )+:::+ar(z ) azaz továbbá z = z w jwj ar = ar(z) ar(w) w z 1 z ::: z = r 1 r :::r (os(' 1 + ' + ::: + ' ) + i si(' 1 + ' + ::: + ' )) z w = r (os(' ) + i si(' )) R z = r (os(') + i si(')): 8. A w = z egyel½oség potosa akkor teljesül, ha = r = p R és ar(z) = ' = + k azaz ha ahol k f0 1 ::: z = p R os + k 1g valamilye egész szám. + i si + k Bizoyítás. 1. A bizoyítás a 14..Állításál található.. Lásd a 14.C, 14.D és 14.E De íiókat és az utáuk következ½o megjegyzéseket, továbbá a 14.3.Állításbeli. részt. 3. u w = z () u = z w felhaszálásával egyszer½ue adódak. 4. Köye igazolható. 5

6 5. Köye igazolható. 6. Köye igazolható. 7. z 1 z =r 1 (os ' 1 +i si ' 1 )r (os ' +i si ' )=r 1 r (os ' 1 +i si ' 1 )(os ' +i si ' )= = r 1 r ((os ' 1 os ' si ' 1 si ' ) + i(os ' 1 si ' + si ' 1 os ' )) = = r 1 r (os(' 1 + ' ) + i si(' 1 + ' )) : 8. Köye igazolható. 1.C.De íió. Ha 1 egész szám, akkor az " komplex számot -edik egységgyökek evezzük, ha " = 1. Azt modjuk, hogy " primitív -edik egységgyök, ha " = 1 és bármely 1 k 1 egész kitev½ore " k 6= 1.~ 1.3.Állítás. 1. -edik egységgyökök szorzata is -edik egységgyök, -edik egységgyök reiproka is -edik egységgyök, ha " egy -edik egységgyök, akkor tetsz½oleges k l Z egészekre:. Az -edik egységgyökök a következ½ok: j k l (azaz k l osztható -el) =) " k = " l : os k + i si k = os + i si k ahol 0 k 1, ha k = 1 akkor primitív -edik egységgyököt kapuk. 3. Ha " primitív -edik egységgyök, akkor tetsz½oleges k l Z egészekre: " k = " l () j k l (azaz k l osztható -el) ezért 1 " " ::: " 1 külöböz½oek és az (összes) -edik egységgyökökek egy teljes felsorolását (permutáióját) jeletik. 4. A k Z egészre és az " primitív -edik egységgyökre " k primitív -edik egységgyök () k és relatív prímek ( lko(k ) = 1). 5. Ha " tetsz½oleges primitív -edik egységgyök és w = z1 teljesül a w és z 1 komplex számokra, akkor a w = z egyel½oség potosa akkor teljesül egy z komplex számra, ha létezik olya 0 k 1 egész szám, amelyre z = z 1 " k (ameyibe w 6= 0, akkor ezt a k egészet egyértelm½ue meghatározza z). 6

7 Bizoyítás. 1. Ha " 1 = 1 és " = 1, akkor (" 1 " ) = " 1" = 1 és (" 1 1 ) = (" 1) 1 = 1, továbbá k l = t és " k 1 = " k 1 l " l 1 = " t 1 " l 1 = (" 1) t " l 1 = " l 1.. Az 1..Állítás 8. része alapjá yilvávaló. 3. Legye k l = t + r, ahol k l-ek az -el való maradékos osztásáál t a háyados és 0 r 1 a maradék. Ekkor " k = " l miatt " k " l = 1 és " r = " (k l) t = " k " l (" ) t = 1 ahoa " primitívitására való tekitettel r = 0, illetve az j k l oszthatóság adódik. 4. Ha " k primitív -edik egységgyök, akkor a már bizoyított 3. rész szerit va olya 0 t 1 egész, amire " kt = (" k ) t = ". Ismét a 3. részt haszálva kapjuk, hogy kt 1 osztható -el, ami azt jeleti, hogy lko(k ) = 1. Ha d =lko(k ) > 1, akkor (" k ) d = " k d = (" ) k d = 1 ami 1 d 1 miatt azt jeleti, hogy "k em primitív -edik egységgyök. 5. Ha w 6= 0, akkor a w = z és a w = z1 egyel½oségeket egymással elosztva kapjuk, hogy ( z z 1 ) = z = 1. Tehát z z1 z 1 egyike az -edik egységgyökökek, ahoa a már igazolt 3. rész szerit z z 1 = " k, illetve z = z 1 " k következik valamilye 0 k 1 egész kitev½ore. 7