(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

Átírás

1 A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak evezzük valós értékű függvéyeket Például: a),,,, 3 4 b),,,, 3 4 c),,,, a, a d),4,9,6, e),, 3, 4, f) 3 4,,,, a ( ), a,, a, a g),,,, a, Megjegyzés: A sorozat idexezését kezdhetjük -val, sőt, egy,,, m m m R függvéyt is sorozatak evezük, ameyibe m tetszőleges természetes szám Ekkor az a jelölést haszáljuk m 3 Defiíció: Az a m sorozat (mooto) övekedő, ha mide N eseté a a, szigorúa övekedő, ha mide N eseté a a, (mooto) csökkeő, ha mide N eseté a a, szigorúa csökkeő, ha mide N eseté a a 4 Megjegyzés: A feti példákba az a) és g) szigorúa csökkeő, d) és e) szigorúa övő, b), c) és f) sorozat alteráló előjelű, tehát em mooto 5 Defiíció: Az a sorozat korlátos, ha létezik olya A és B szám amelyekkel mide N eseté teljesül az A a B egyelőtleség (ekkor az A-t a sorozat egy alsó korlátjáak, B-t pedig egy felső korlátjáak evezzük)

2 6 Megjegyzés: A feti példákba a d) sorozat em korlátos, a többi ige 7 Defiíció: A h R számot az a evezzük, ha tetszőleges pozitív -hoz található hogy mide eseté az a h sorozat határértékéek (vagy limeszéek) egyelőtleség teljesül N természetes szám (küszöbszám) úgy, 8 Megjegyzés: A határérték előbbi defiíciója úgy is megfogalmazható, hogy mide idex eseté a sorozat tagjaiak a h, h yílt itervallumba kell esi Ez egybe azt is jeleti, hogy eze az itervallumo kívül legfeljebb darab véges sok sorozatelem lehet A határérték jelölésére az alábbi kifejezést haszáljuk: lim a h vagy a h Szokás ilyekor azt modai, hogy a tart h-hoz, vagy a kovergál h-hoz 9 Megjegyzés: Ha egy sorozatak va határértéke, akkor azt modjuk, hogy koverges, ha ics, akkor divergesek evezzük Hagsúlyozzuk, hogy a végtele em valós szám, tehát a feti defiíció értelmébe em lehet egy sorozat határértéke Eek elleére szoktuk arról beszéli, hogy egy sorozat végtelehez tart Ezt a következőképpe kell értei: Defiíció: Az a sorozat végtelehez tart, (avagy mide határo túl övő) ha bármely valós k számhoz található N természetes szám úgy, hogy mide eseté az a k egyelőtleség feáll Jelölése: lim a Hasolóa defiiálható a mide határo túl csökkeő sorozat (azaz amikor bármely valós K számhoz található N természetes szám úgy, hogy mide eseté az a K egyelőtleség feáll Jelölése: lim a Példa: Igazoljuk, hogy lim Megoldás: Tekitsük egy tetszőleges számot Belátjuk, hogy találuk olya természetes számot, hogy mide eseté az (mivel ) Ameyibe az választjuk, ez teljesül, tehát lim egyelőtleség teljesül N küszöbszámot N -ak Tétel: Ha az a sorozat koverges, akkor korlátos Bizoyítás: Legye lim a h és tekitsük az számot A határérték defiíciója értelmébe létezik N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide eseté

3 az h a h egyelőtleség teljesül Vezessük be a következő jelöléseket: és M : max a,, a, h m: mi a,, a, h Ekkor yilvá m a M N 3 Defiíció: A t számot a sorozat torlódási potjáak evezzük, ha va a sorozatak a t számhoz kovergáló részsorozata A -t és -t is a sorozat torlódási potjáak tekitjük, ha va a sorozatak mide határo túl övő illetve csökkeő részsorozata 4 Következméyek: Mide határérték egybe torlódási pot is (Ez a defiíciók azoali következméye) Ha egy t szám torlódási potja az a t, t sorozatak, akkor bármely eseté a itervallumba (azaz a t szám sugarú yílt köryezetébe) végtele sok sorozatelem va 3 Ha egy sorozatak va határértéke, akkor egyetle egy va Bizoyítás: Tegyük fel idirekt, hogy az a sorozatak két külöböző határértéke k l is va, jelölje ezeket l és k és legye l k Tekitsük az : számot Ekkor yilvá az l sugarú yílt köryezete és a k sugarú yílt köryezete diszjuktak (em metszik egymást) lim a l, így az előbb rögzített -hoz létezik egy N küszöbszám, hogy mide idex eseté a sorozat tagjaiak a l, l yílt itervallumba kell esi De k is az a sorozat határértéke, ezért ugyaahhoz az -hoz létezik egy m mide m idex eseté a sorozat tagjaiak a k, k Legye N : max, m N N küszöbszám, hogy yílt itervallumba kell esi Ekkor mide eseté az a midkét köryezetek eleme, ami elletmodás, hisze azok diszjuktak voltak 4 Ha egy korlátos sorozatak egyetle torlódási potja va, akkor koverges 5 Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges sorozatból kiválasztható mooto (övekedő vagy csökkeő) a 6 Mide részsorozat 5 Bolzao-Weierstrass tétel: Korlátos sorozatak va koverges részsorozata Bizoyítás: A 6 tulajdoság alapjá az adott korlátos sorozatak va mooto részsorozata Nyilvá e mooto részsorozat is korlátos, tehát az előbbi következméyek közül az 5 miatt koverges is 6 Cauchy-féle kritérium: Az a tetszőleges pozitív -hoz található eseté az a am egyelőtleség teljesül, m sorozat akkor és csak akkor koverges, ha N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide 3

4 7 Megjegyzés: Cauchy-sorozatokak evezzük azokat a sorozatokat, amelyek redelkezek a Cauchy-féle kritériumba szereplő tulajdosággal Ezek szerit a Cauchykritérium azt modja ki, hogy egy sorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchysorozat A Cauchy-féle kritérium bizoyítását itt most em adjuk meg, bár az egyik iráy (a szükségesség) a háromszög egyelőtleség miatt rögtö adódik Eek elleére szükségesek éreztük magát a kritériumot megemlítei, mert a szakirodalomba számos helye találkozhatak a Cauchy-sorozat elevezéssel 8 Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha az a koverges és határértéke a, valamit a b lim a b lim a lim b a b, lim a b lim a lim b a b, lim a b lim a lim b a b Ha még az is teljesül, hogy b, akkor lim a a a lim b limb b sorozat sorozat is koverges és határértéke b, akkor: Határérték számításál először is behelyettesítük Ameyibe kokrét szám,, vagy a helyettesítés eredméy, késze vagyuk Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egyszerű, szükségük lehet a következőkre: 9 Tétel ( csedőr-elv vagy szedvicstétel ): Ha mide N eseté az a u b egyelőtleség teljesül és lim a limb u u sorozat határértéke és lim u u, akkor létezik az si Példa: Számítsuk ki a lim határértéket si Megoldás: Mivel si, ezért Tudjuk, hogy lim lim, így a csedőrelv miatt Néháy evezetes sorozat határértéke: si lim Tétel: A következő állítások midegyike igaz:, ha q lim q, haq, diverges, egyébkét 4

5 lim k a, ha a és k N, a 3 lim, tetszőleges a R eseté,! 4 lim e Néháy bizoyítás: Az bizoyításához felhaszáljuk a Beroulli egyelőtleséget: Segédtétel (Beroulli egyelőtleség): Ha N tetszőleges természetes szám, és a h R valós szám eleget tesz a h és Bizoyítás: 3 A q q q q q q q q h feltételekek, akkor h h azoosságba a jobb oldalo álló db zárójeles kifejezés között a q a legkisebb, akár q, akár q Ezért midkét Ie q h helyettesítéssel kapjuk a bizoyítadó állítást esetbe q q bizoyítása q eseté (a többi eset triviális) Vezessük be az q miatt h Továbbá q q h h h h Most lim miatt a jobb oldal -hoz tart Ezzel bizoyítottuk az állítást A 4 határérték létezéséek bizoyítása 3 lépésből áll: Az lépésbe megmutatjuk, hogy az u sorozat szigorúa övő h jelölést Nyilvá q A lépésbe megmutatjuk, hogy a v sorozat szigorúa csökkeő Az u v egyelőtleségből következik, hogy midkét sorozat korlátos, tehát koverges lim v u a két sorozatak közös határértéke A 3 lépésbe megmutatjuk, hogy va, ezt pedig e-vel jelöljük, tehát lim e 5

6 Az lépésbe igazoluk kell, hogy Szorozzuk meg midkét oldalt ami ugyaaz, mit igaz -gyel Ekkor kapjuk, hogy A lépés igazolása ugyaígy törtéhet: az állítás a következő Ez pedig a Beroulli egyelőtleség miatt, Szorozva -el, adódik, hogy Ez pedig azért igaz, mert ha a baloldalra alkalmazzuk a Beroulli egyelőtleséget, akkor Végül a 3 lépés: v u 4 Az utolsó egyelőtleségél felhaszáltuk, hogy u v v 4 Megjegyzés: Az e~,78888 szám a természetes logaritmus alapja, irracioális szám (köyű megjegyezi az első tizedesjegy utái 8888 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Leo Nikolajevics Tolsztoj születési éve ba Charles Hermite (8-9) fracia matematikus bizoyította, hogy az e szám egybe traszcedes is (azaz em gyöke egyetle racioális együtthatójú poliomak sem) 3 Megjegyzés: A és 3 határértékeket köyebb megjegyezi (sőt újakat is k felírhatuk), ha figyelembe vesszük, hogy «e «! «4 Példák: Számítsuk ki a b sorozat határértékét, ha b Megoldás: b

7 (mid a számlálóba, mid pedig a evezőbe előforduló legmagasabb hatváyát emeltük ki, ez midkét helye volt, így egyszerűsítettük -el) Számítsuk ki a 3 c sorozat határértékét, ha 3 75 c Megoldás: c pedig a számlálóba is és a evezőbe is a 6 t emeltük ki, mert aak volt abszolút értékbe legagyobb az alapja, ezzel egyszerűsítettük itt is (itt 7