Analízis feladatgy jtemény II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis feladatgy jtemény II."

Átírás

1 Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához ( taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003

2 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata Rekurzív sorozatok határértéke Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja II. Megoldások 7. Valós sorozatok Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata Rekurzív sorozatok határértéke Sorozat alsó és fels határértéke

3 I. rész Feladatok 3

4

5 . Valós sorozatok 5. Valós sorozatok.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok Deíciók, tételek és megjegyzések D. A természetes számok halmazá értelmezett függvéyeket sorozatokak hívjuk. Ha X egy tetsz leges emüres halmaz, akkor x : N X egy X-beli sorozat. Eek a függvéyek az N helye felvett x() helyettesítési értékét az x sorozat -edik tagjáak evezzük és az x szimbólummal jelöljük, az számot pedig az x tag idexéek modjuk. Ezt felhaszálva magát a sorozatot gyakra úgy jelöljük, hogy (x, N) vagy (x ). D. Egy a : N R függvéyt valós sorozatak evezük. Mj. Mj. Mj3. Mide rögzített r egész szám eseté az { Z r} R függvéyeket is sorozatokak tekitjük. A további deíciók, tételek ezekre is érvéyesek leszek, de ezt külö em fogjuk modai. Sorozatok megadása. Egy a = (a ) : N R sorozat megadása tehát azt jeleti, hogy mide N eseté megadjuk a -et. Ez törtéhet explicit módo. Például: (a) a := 3 + ( N), (b) a := 00 ( = 0,,,...), { (c), ha =, 3, 5,... a :=, ha =, 4, 6,.... Sorozatot megadhatuk azoba úgy is, hogy megadjuk a sorozat els (éháy) tagját, a további tagokat pedig az el ttük lev (k) felhaszálásával deiáljuk. Az ilye esetekbe azt modjuk, hogy a sorozatot rekurzív módo adtuk meg. Például: (a) a := α, a + := a + d ( N), ahol α és d rögzített valós számok; (b) a := α, a + := α + a ( N), ahol α rögzített valós szám. Sorozatok ilyeté formá való megadását egylépéses rekurzióak evezzük. k-lépéses rekurzióról beszélük akkor, ha a sorozat egy tagját az el tte lev k-tag függvéyébe adjuk meg. Kétlépéses rekurzióra egy példa: a :=, a := és a + := a + + a ( N). (Ezt a sorozatot Fiboacci-sorozatak evezzük.) A rekurzív sorozatokról. o A rekurzív összefüggésb l kiidulva éháy esetbe viszoylag egyszer e meg lehet adi a sorozat -edik tagját az idex függvéyébe (l. a feladatokat). o Vessük fel azt a kérdést, hogy (például egylépéses) rekurzióval vajo jól deiáltuk-e egy sorozatot, azaz ha megadjuk a sorozat kezd tagját és azt, hogy az (+)-edik tag hogya függ az -edik tagtól, akkor ezek egyértelm e meghatározzák-e már mide természetes szám eseté a sorozat -edik tagját. Az ituíciók szerit erre a kérdésre ayira yilvávalóa igaz a válaszuk, hogy az els pillaatba a kérdés felvetése sem t ik idokoltak. A megérzésük természetese helyes, és ezt be is lehet bizoyítai. Az egylépéses rekurziókra voatkozóa érvéyes a

6 6. Valós sorozatok rekurziótétel: Ha f : R R egy tetsz leges függvéy és α R egy adott valós szám, akkor! a = (a ) : N R sorozat, amelyre a = α és a + = f(a ) ( N) teljesül. Megjegyezzük még azt is, hogy többlépéses rekurziókra is hasoló állítás érvéyes. T. Az (a ) : N R és a (b ) : N R sorozat akkor és csak akkor egyel, ha bármely idex eseté az azoos idex tagok egyel ek, azaz a = b ( N). D3. Az a : N R sorozat mooto öveked [szigorúa mooto öveked ], ha mide N eseté a a + [a < a + ]; mooto csökke [szigorúa mooto csökke ], ha mide N idexre a a + [a > a + ]. Eze sorozatok közös eve a mooto sorozat. Mj4. Sorozat mootoitását sokszor a teljes idukció elvével igazolhatjuk. Gyakra haszos lehet, ha a mootoitás deíciójába szerepl egyel tleség helyett egy vele ekvivales egyel tleséget próbáluk igazoli. Például: a + a ( N) a + a 0 ( N); ha a > 0 ide -re, akkor a + a ( N) a + a ( N). D4. Az (a ) : N R sorozat alulról korlátos, ha létezik olya k R szám, hogy mide N idexre a k; felülr l korlátos, ha létezik olya K R szám, hogy mide N eseté a K; korlátos, ha alulról is és felülr l is korlátos. T. Egy számsorozat potosa akkor korlátos, ha az értékkészlete korlátos, azaz ha létezik olya K R + szám, hogy a K mide N eseté. Mj5. Sorozat korlátosságát, például egy megsejtett fels korlátot sok esetbe a teljes idukció módszerével igazolhatjuk. D5. Az a = (a ) : N R sorozat értékkészletéek szuprémumát [imumát] a sorozat szuprémumáak [imumáak] evezzük: Feladatok sup a := sup R a = sup{a N} [if a := if R a = if{a N}]. F. Mutassa meg, hogy a tetsz leges α, d és q valós számmal képzett (a) a := α, a + := a + d ( N) számtai sorozat -edik tagja a = α + ( )d ( N); (b) a := α, a + := qa ( N) mértai sorozat -edik tagja a = αq ( N). F. Tetsz leges α, A és B valós számokból kiidulva képezzük az a := α, a + := Aa + B ( N) rekurzív módo megadott sorozatot. Az α, A, B és az számok függvéyekét adja meg a sorozat -edik tagját. (Ha A =, akkor (a ) egy számtai-, ha B = 0 akkor pedig egy mértai sorozat.)

7 .. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok 7 F3. (Fiboacci, 0.) Háy yúlpár származik az év végéig egyetle yúlpártól, ha mide pár mide hóap végé egy újabb párt hoz létre, és ezek az utódpárok életük második hóapjától kezdve szaporodak? F4. Mutassa meg, hogy az a :=, a :=, a + := a + a + ( N) Fiboacci-sorozat -edik tagja ( a = ( + 5 ) ( ) 5 ) ( N). 5 F5. Hogya lehet az a :=, a :=, a + := a +a + ( N) Fiboacci-sorozat -edik tagjára az el z feladatba mutatott összefüggést megkapi? F6. Határozza meg az alábbi sorozatok -edik tagját az idex függvéyekét: (a) a := és a + := a ( N), (b) a := 0 és a + := a ( N), (c) a :=, a := és a + := a + + a ( N). F7. Mutassa meg, hogy az a := ( N) sorozatra a következ teljesül: a második tagtól kezdve a sorozat midegyik tagja a szomszédos tagok harmoikus közepe, azaz a = + ( =, 3,...). a a Ezért szokás az a := ( N) sorozatot harmoikus sorozatak evezi. F8. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) : N R sorozat (a) felülr l em korlátos, (c) em mooto öveked, (e) em korlátos, (b) alulról em korlátos, (d) em mooto csökke, (f) em mooto. F9. Korlátosság és mootoitás szempotjából vizsgálja meg az alábbi sorozatokat: (a) számtai sorozatok, (b) mértai sorozatok, (c) a := + ( =,,...), (d) a := ( ) (e) ( ), (f) ( ( ) 3), (g) a := ( N), (h) a := 7 ( =,,...), ( N). F0. Igazolja, hogy ha az (a, N) valós sorozat mooto, akkor a számtai közepekkel képzett σ := a + a + + a ( N) sorozat is mooto. Mit lehet modai a (σ ) sorozat korlátosságáról?

8 8. Valós sorozatok F. Mutassa meg, hogy az (a) a := ( N) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, (b) a := ( N) sorozat mooto öveked és felülr l em korlátos. Mj6. Itt hívjuk fel a gyelmet a következ kre. A mootoitás midkét esetbe yilvávaló. Jóval ehezebb a korlátosság kérdése. A problémát az okozza, hogy ehéz el re láti azt, hogy a sorozatok tagjai agy idexek eseté hogya viselkedek. Midkét sorozat -edik tagját úgy képezzük, hogy az el tte lev taghoz agy -ekre egy kicsi számot aduk. A feladat állítása szerit tehát az ilye esetekbe el fordulhat az is, hogy korlátos sorozatot kapuk, de az is el fordulhat, hogy az így képzett sorozat em lesz korlátos. (Megjegyezzük még azt is, hogy a korlátosságra voatkozó sejtést pl. számítógépes kísérletezéssel lehete kialakítai.) F. Mutassa meg, hogy az (a) a := ( + ) ( N) sorozat mooto öveked és korlátos, (b) a := ( + ) + ( N) sorozat mooto csökke és korlátos. F3. Mooto-e az a := ( ) ( N) sorozat? F4. Határozza meg az alábbi sorozatok szuprémumát és imumát, legkisebb és legagyobb tagját, ha azok létezek: (a) ( ( ), N), (b) ( ( ), N ), (c) (, N), (d) ( , N )... Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke Deíciók, tételek és megjegyzések D6. Az (a ) : N R valós sorozatot kovergesek evezzük akkor, ha létezik olya A valós szám, hogy eek mide köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok tagja va, azaz ( ) A R, hogy ε > 0 eseté az { N a k ε (A)} halmaz véges. Mj7. Mivel k ε (A) = (A ε, A + ε), ezért a k ε (A) a A < ε és a k ε (A) a A ε. T3. Az (a ) : N R valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha ( ) A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Mj8. Szavakkal: Az (a ) : N R valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha létezik olya A R valós szám, hogy eek mide ε > 0 sugarú köryezetéhez létezik olya 0 N küszöbidex, hogy a sorozat mide 0 -ál agyobb (vagy egyel ) idex a tagja bee va az A szám ε-sugarú köryezetébe.

9 .. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 9 T4. Ha az (a ) : N R sorozat koverges, akkor egyetle olya A R szám létezik, amelyre ( ) (illetve a vele ekvivales ( )) teljesül. Ezt az A számot az (a ) sorozat határértékéek evezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: Mj9. a := A, (a ) := A, + és úgy olvassuk, hogy esz a, ha tart + -hez egyel A-val, esz a egyel A-val. Azt a téyt, hogy (a ) = A így is jelöli fogjuk: a A ( + ) vagy a + A, és ezt úgy olvassuk, hogy a tart vagy kovergál A-hoz, ha tart + -hez. T5. Legye (a ) : N R egy valós sorozat. Ekkor Mj0. Mj. Mj. (a ) = A R ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Szavakkal: Az (a ) sorozatak a A R valós szám akkor és csak akkor határértéke, ha az A szám mide köryezetéhez létezik olya küszöbidex, hogy a sorozat mide eél agyobb (vagy egyel ) idex tagja bee va a szóba forgó köryezetbe. Pogyolá fogalmazva: Az a téy, hogy az (a ) sorozatak az A R valós szám a határértéke azt jeleti, hogy a sorozat agy idex tagjai közel vaak az A számhoz. (Felhívjuk a gyelmüket arra, hogy ez a kissé potatla megfogalmazás em helyettesítheti a potos deíciót!) Az ε > 0 számot hibakorlátak is evezik. Világos, hogy az 0 küszöbidex függ az ε számtól, ezért 0 -at az ε-hoz tartozó küszöbidexek is szokás hívi. Az is yilvávaló, hogy egy adott ε számhoz tartozó 0 küszöbidex em egyértelm ; ui. bármely 0 -ál agyobb természetes szám is egy jó küszöbidex. D7. Az (a ) : N R valós sorozat diverges, ha em koverges, azaz (l. (*)) A R számhoz ε > 0, illetve egy másik változatba (l. (**)) hogy az { N a k ε (A)} halmaz végtele, A R számhoz ε > 0, hogy 0 N idexhez 0 idex, amelyre a A ε. D8. Az (a ) valós sorozatak plusz végtele a határértéke (vagy az (a ) sorozat plusz végtelehez tart), ha mide P valós számhoz létezik olya 0 idex, hogy mide 0 idexre a > P teljesül, azaz P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a > P. Jelölés: (a ) = + vagy a + ( + ). D9. Az (a ) valós sorozatak míusz végtele a határértéke (vagy az (a ) sorozat míusz végtelehez tart), ha mide P valós számhoz létezik olya 0 idex, hogy mide 0 idexre a < P teljesül, azaz P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a < P. Jelölés: (a ) = vagy a ( + ).

10 0. Valós sorozatok D0. A plusz, illetve a míusz végtele ε > 0 sugarú köryezetét így értelmezzük: T6. Legye (a ) egy valós sorozat. Ekkor k ε (+ ) := ( ε, + ), illetve k ε ( ) := (, ). ε (a ) = + ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k ε (+ ), (a ) = ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k ε ( ). D. Azt modjuk, hogy az (a ) : N R valós sorozatak va határértéke, ha a sorozat koverges vagy plusz végtele vagy míusz végtele a határértéke. Ez azzal egyeérték, hogy ( ) A R, hogy ε > 0 valós szám eseté az { N a k ε (A)} halmaz véges, Mj3. Mj4. illetve egy másik változatba A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N idex, hogy 0 idexre a k ε (A). A feti tulajdosággal redelkez A R elem egyértelm e meghatározott. Ezt az (a ) sorozat határértékéek evezzük. Jelölés: (a ) = A R. ( ) tehát azt jeleti, hogy va olya A R elem, amelyikek mide köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok tagja va. Jegyezze meg jól, hogy a továbbiakba a (a ) R jelölés azt jeleti, hogy az (a ) sorozat koverges (azaz véges a határértéke), a (a ) R jelölés pedig azt fejezi ki, hogy az (a ) sorozatak va határértéke (azaz a sorozat koverges vagy + vagy pedig a határértéke). Feladatok F5. Bizoyítsa be a T3. tételt. F6. Fogalmazza meg többféleképpe azt a téyt, hogy az (a ) valós sorozat határértéke. F7. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak koverges? em határértéke? Lehet-e egy ilye sorozat F8. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em koverges! Igazolja, hogy a ( ( ), N ) sorozat em koverges, azaz diverges. F9. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) : N R sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebb l az, hogy az (a ) sorozat koverges? F0. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz-e az, hogy 0 N, hogy ε > 0 számra és 0 idexre a A < ε?

11 .. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke F. Koverges-e az (a ) valós sorozat, ha (a) A R és ε > 0, hogy a A < ε N eseté; (b) A R hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy a 0 A < ε; (c) A R és 0 N hogy > 0 idexre és ε > 0 számra a A < ε? F. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy az (a ) valós sorozatak ics határértéke. F3. A határérték deíciója alapjá mutassa meg, hogy (a) (c) (e) = ; (b) = 5 ; = + ; (d) = + ; = ; (f) =. F4. A deíció alapjá dötse el, hogy va-e határértéke az alábbi sorozatokak. Melyik sorozat koverges? + (a) a := + + ( N); (b) a := + ( N); + (c) a := + ( N); (d) ( 3 3 ) ; (e) a := + ( N); (f) a := + ( N); (g) + + a := ( N); (h) a := ( N); + (i) ( + ( ) ) ; (j) ( ( ) ) ; (k) ( + ( ) ) ; (l) ( ( ) ). F5. Kovergecia szempotjából vizsgálja meg a számtai sorozatokat. F6. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) =: A R. Bizoyítsa be, hogy (a) A 0, (b) a ( a ) sorozat is koverges és a = A. + Mit lehet modai az ( a ) sorozat határértékér l akkor, ha (a ) = +? F7. Legye m > természetes szám, és tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) =: A R. Mutassa meg, hogy ekkor A 0, továbbá az ( m a, N ) sorozat is koverges és m a = m A. + Mit lehet modai az ( m a, N ) sorozat határértékér l akkor, ha (a ) = +? F8. Igazolja, hogy ha (a ) = + és létezik olya N N, hogy a b mide N természetes számra, akkor (b ) = +.

12 . Valós sorozatok.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata Deíciók, tételek és megjegyzések Mj5. Sorozatok kovergeciájáak a vizsgálata és határértékéek a meghatározása a deíció alapjá ige sok esetbe em egyszer feladat. A továbbiakba olya alapvet eredméyeket ismertetük, amelyek megköyítik az ilye feladatok megoldását. A deíció egyszer következméyei T7. Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) olya valós sorozatok, amelyekhez N N idex úgy, hogy a = b N idexre. Ekkor az (a ) sorozatak akkor és csak akkor va határértéke, ha a (b ) sorozatak va határértéke, és ekkor (a ) = (b ). Mj6. Ez az egyszer állítás azt fejezi ki, hogy a határérték szempotjából közömbös, hogy mi va a sorozat elejé, csupá az számít, hogy a sorozat elég agy idex tagjaira mi igaz. A sorozat határértékéek a létezése és agysága em változik, ha a sorozat véges sok tagját megváltoztatjuk, véges sok tagot beiktatuk vagy akár elhagyuk. T8. (A kovergecia egy szükséges feltétele.) Ha az (a ) : N R sorozat koverges, akkor (a ) korlátos. Mj7. A korlátosság tehát a kovergeciáak egy szükséges feltétele. A korlátosság a kovergeciáak azoba em elégséges feltétele, azaz a korlátosságból em következik a kovergecia. Például: a ( ( ) ) sorozat korlátos, de em koverges. K. Ha egy (a ) valós sorozat em korlátos, akkor (a ) diverges (azaz em koverges). D. (Részsorozat.) Legye a = (a ) : N R egy sorozat és ν = (ν ) : N N egy szigorúa mooto öveked sorozat (az ilye ν-t idexsorozatak fogjuk evezi). Ekkor az a ν = (a ν, N) sorozatot az (a ) sorozat (ν ) idexsorozat által meghatározott részsorozatáak evezzük. Mj8. Mj9. Szemléletese szólva: az a = (a ) sorozatból az a ν = (a ν ) részsorozatot úgy kapjuk, hogy az a = (a, a, a 3,...) sorozatból kiválasztjuk a ν < ν < ν 3 <... idex tagokat. Az a ν sorozat -edik tagja tehát a ν, azaz az a = (a ) sorozat ν -edik tagja. Mivel a is és ν is az N halmazo értelmezett függvéyek, ezért az a ν kompozíció is az N halmazo értelmezett függvéy (ui. D a ν = { N ν D a = N} = N), azaz a ν valóba egy sorozat. T9. (Részsorozatok határértéke.) Ha az a = (a ) sorozatak va határértéke, akkor tetsz leges ν = (ν ) idexsorozattal képzett a ν részsorozatáak is va határértéke, és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével: a ν = a.

13 .3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 3 K. Ha az (a ) valós sorozatak va két olya részsorozata, amelyek határértéke külöböz, akkor az (a ) sorozatak ics határértéke. Mooto sorozatok kovergeciája és határértéke T0. o Ha az (a ) : N R sorozat mooto öveked és felülr l korlátos [mooto csökke és alulról korlátos], akkor az (a ) sorozat koverges, és (a ) = sup{a N} R [(a ) = if{a N} R]. o Ha az (a ) : N R sorozat mooto öveked [mooto csökke ], akkor az (a ) sorozatak va határértéke, és (a ) = sup{a N} R [(a ) = if{a N} R]. Mj0. Az o alatti állítás szerit a mootoitás és a korlátosság együtt a kovergeciáak egy elégséges feltételele. Jegyezze meg jól, hogy ezek együttese a kovergeciáak em szükséges feltétele, azaz ha egy sorozat koverges, akkor ebb l általába em következik, hogy a sorozat mooto. A ( ( ) / ) sorozat például koverges (0 a határértéke), de em mooto. T. (A BolzaoWeierstrass-féle kiválasztási tétel.) Mide korlátos valós sorozatak va koverges részsorozata. T. Ha egy sorozat felülr l em korlátos, akkor va + -hez tartó mooto részsorozata, ha alulról em korlátos, akkor va -hez tartó mooto részsorozata. A redezés és a kapcsolata T3. (A közrefogási elv.) Tegyük fel, hogy az (a ), (b ) és (c ) valós sorozatokra teljesülek a következ k: (i) létezik olya N N idex, hogy a b c mide N idexre, (ii) az (a ) és a (c ) sorozatak va határértéke és (a ) = (c ) =: A R. Ekkor a (b ) sorozatak is va határértéke és (b ) = A. T4. Tegyük fel, hogy (a ) és (b ) valós sorozatokak va határértéke. Mj. o Ha (a ) > (b ), akkor létezik olya N N idex, hogy a > b teljesül mide N idexre. o Ha va olya N N idex, hogy a b teljesül mide N eseté, akkor (a ) (b ). Felhívjuk az Olvasó gyelmét arra, hogy az el z tétel o része em potos megfordítása a o részek. Az o -be ui. a határértékre a (a ) > (b ) szigorú egyel tleséget tettük fel, a o részbe viszot csak a (a ) (b ) relációra tudtuk következteti. Eél többet még akkor sem állíthatuk, ha az (a ) és (b ) sorozat tagjaira a szigorúbb a > b ( N) feltételt tesszük. Például: az a := +, b := ( N) sorozatokra yilvá a > b ( N) teljesül, de (a ) = (b ) =.

14 4. Valós sorozatok A m veletek és a kapcsolata D3. Az (a ) : N R ullasorozat, ha (a ) = 0, azaz Mj. ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a < ε. Pogyolá fogalmazva: a tetsz legese kicsi, ha elég agy. T5. o Az (a ) sorozat akkor és csak akkor ullasorozat, ha ( a ) ullasorozat. o Az (a ) : N R sorozatak az A R valós szám akkor és csak akkor határértéke, ha (a A) ullasorozat, azaz (a ) = A R (a A) = 0. 3 o Tegyük fel, hogy az (a ) és (α ) valós sorozatokra teljesülek a következ k: (i) az (α ) : N R + 0 ullasorozat, (ii) létezik olya N N, hogy a α mide N eseté. Ekkor (a ) is ullasorozat. T6. o Ha (a ) és (b ) ullasorozatok, akkor (a + b ) is ullasorozat. o Ha (a ) ullasorozat és (c ) tetsz leges korlátos sorozat, akkor (a c ) ullasorozat. Mj3. o -b l persze következik az is, hogy ullasorozatok szorzata is ullasorozat. Kihagsúlyozzuk azt, hogy az el z tételbe ullasorozatok háyadosáról em modtuk semmit. Eek oka az, hogy két ullasorozat háyadosáál mide lehetséges eset el fordulhat (l. a feladatokat). T7. (M veletek koverges sorozatokkal.) Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) valós sorozat koverges és (a ) =: A R, (b ) =: B R. Ekkor o az (a + b ) sorozat is koverges, és (a + b ) = A + B; o az (a b ) sorozat is koverges, és (a b ) = AB; 3 o mide λ valós számra a (λa ) sorozat is koverges, és (λa ) = λa; 4 o ha 0 R (b) és B = (b ) 0, akkor az ( a b ) sorozat is koverges, és ( a b ) = A B. T8. (A m veletek és a határérték kapcsolata.) Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) valós sorozatokak va határértéke és (a ) =: A R, (b ) =: B R. Ekkor o az (a + b ) sorozatak is va határértéke, és (a + b ) = A + B, feltéve, hogy A + B értelmezve va; o az (a b ) sorozatak is va határértéke, és (a b ) = AB, feltéve, hogy AB értelmezve va; 3 o ha b 0 ( N), akkor az ( a ) (a sorozatak is va határértéke, és ) A = b b B, feltéve, hogy A értelmezve va. B

15 Mj4..3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 5 Ha az el z tételbe szerepl m veletek valamelyikéek ics értelme, akkor az egyel ségek bal oldalá álló sorozatok határértékéek a létezésér l általába semmit sem tuduk modai. Ezeket a kritikus határértékeket rövide a (+ ) + ( ) (vagy + ), 0 (± ), ± ± szimbólumokkal szoktuk jelöli. Ezekbe az esetekbe ics általáos szabály. Pl. az A = +, B = esetbe az (a ) és a (b ) sorozat megválasztásától függ e mide el fordulhat. Lehet az, hogy az (a +b ) sorozatak va véges határértéke, vagy va végtele határértéke, de az is el fordulhat, hogy ics határértéke. Hasoló a helyzet a többi kritikus esetbe is (l. a feladatokat). Vaak azoba olya eljárások, amelyekkel az említett kritikus esetek egy jelet s része is kezelhet. Ilye a diereciálhatóság fogalmára épül ú. L'Hospital-szabály, amelyet kés bb foguk ismerteti. A Cauchy-féle kovergeciakritérium D4. Az (a ) valós sorozatot Cauchy-sorozatak evezzük, ha ε > 0 számhoz 0 N, hogy m, 0 idexre a a m < ε. Mj5. Pogyolá fogalmazva: (a ) akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elég agy idex tagjai tetsz legese közel vaak egymáshoz. T9. (A Cauchy-féle kovergeciakritérium.) Az (a ) valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha (a ) Cauchy-sorozat. Feladatok F9. Bizoyítsa be a m veletek és a határérték kapcsolatára voatkozó T8. tételt. Nevezetes sorozatok F30. Mértai sorozat: Legye q R. A (q ) mértai sorozat határértékére a következ k teljesülek: + q = 0, ha q < =, ha q = = +, ha q > em létezik, ha q. A (q ) mértai sorozat tehát akkor és csak akkor koverges, ha q < vagy q =. F3. (a) Mide a > 0 valós szám eseté az ( a ) sorozat koverges és ( a) =. + (b) Az ( ) sorozat koverges és =. + (c) Az (!) sorozat diverges, de +! = +. F3. Az e szám értelmezése: Az ( + ) ( N) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, tehát koverges. Legye e := ( +. + )

16 6. Valós sorozatok Mj6. Az ( ( + /) ) sorozat határértékére külö szimbólum bevezetéséek idoka a következ. Igazolható, hogy ez a határérték irracioális, s t traszcedes szám. Ez utóbbi azt jeleti, hogy ics olya egész együtthatós poliom, amiek ez a szám gyöke lee. (A szám például irracioális, de em traszcedes szám, mert gyöke az x = 0 egyeletek.) Egy valós számot algebrai számak evezük akkor, ha va olya egész együtthatós poliom, amelyek ez a szám gyöke. ( tehát algebrai szám.) Az e számot Euler vezette be 748-ba. F33. Az e számhoz kovergáló sorozatok: (a) Az ( + ) + ( N) sorozat mooto csökke és alulról korlátos, ezért koverges. A határértéke az e szám: ( + + = e. + ) (b) Az (! ) sorozat koverges, és eek is e a határértéke: +! = e. F34. (a) A ( k= (b) A ( k= k, N ) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, tehát koverges. ) k, N sorozat mooto öveked és felülr l em korlátos, ezért + k = +. (Ez a sorozat tehát diverges.) k= F35. (a) Ha k rögzített természetes szám és a > rögzített valós szám, akkor k + a = 0. (b) Tetsz legese rögzített k N természetes és q < valós szám eseté k q = 0. (c) Mide a R eseté! (d) + = 0. a +! = 0. Mj7. Tekitse például az ( 3 ) sorozatot. Mivel ( 3 ) = ( ) = + ( 3 is és is akármilye agy lehet, ha elég agy), ezért a háyados határértékére voatkozó tétel erre a sorozatra em alkalmazható ( kritikus határérték). A feladat (a) részéb l azoba az következik, hogy 3 0 ( + ), ami azt jeleti, hogy a 3 tört akármilye kicsi lehet, ha elég agy, azaz sokkal agyobb, mit 3, ha elég agy. Rövide azt modjuk, hogy a ( ) sorozat er sebbe tart + -hez, mit az ( 3 ) sorozat. Általába: ha az (a ) és a (b ) sorozatak is + a határértéke (azaz (a ) = (b ) = + ), akkor azt modjuk, hogy (b ) er sebbe (vagy sokkal gyorsabba) tart + -hez, mit (a ), ha a = 0. + b

17 .3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 7 Ebbe az esetbe azt is modjuk, hogy b sokkal agyobb, mit a, ha elég agy; és ezt így jelöljük: a b, ha agy. A most bevezetett jelöléssel a feladat állításait így fejezhetjük ki: ha a > rögzített valós és k rögzített természetes szám, akkor k a! ha agy. További feladatok F36. Az alábbi sorozatok közül melyek az (, N) sorozat részsorozatai: (a) (,, 3,...), (b) (, 4, 6, 8,...), (c) (,, 4, 3, 6, 5,...), (d) (,,,, 3, 3,...). F37. Határozza meg az (/, N) sorozatak az alábbi ν = (ν, N) idexsorozatokhoz tartozó részsorozatait: (a) ν := (,, 3,...), (b) ν := (, 4, 7, 0, 3,...). F38. Tetsz leges ν idexsorozatra igazolja, hogy ν ( N). F39. Bizoyítsa be, hogy hogy ha ν, µ idexsorozatok, akkor ν µ is az. F40. Egy a sorozatról azt tudjuk, hogy az értékkészlete véges halmaz. Mutassa meg, hogy va olya ν idexsorozat, amellyel az a ν részsorozat egy kostas sorozat. F4. Mutassa meg, hogy egy a valós sorozat akkor és csak akkor em korlátos felülr l, ha va olya ν idexsorozat, hogy a ν = +. F4. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét. Dötse el azt is, hogy a sorozat koverges vagy diverges. ( 3 ) 7 (a) a := ( N), (b) a := ( N), (c) a := ( N), (d) a := 3 + ) ( , (f) (e) ( ( + ) 3 + ( ) (g) ( ( N), ), ) ( ), (h). 3 + F43. Legye P (x) := α k x k + α k x k + + α x + α 0 (x R, α i R, i = 0,,,..., k) egy potosa k-adfokú poliom (azaz α k 0). Mutassa meg, hogy { P () = +, ha α k > 0 +, ha α k < 0. Mj8. A feti állítás azt fejezi ki, hogy egy poliom agy N helyeke való viselkedése csak a f együtthatójáak (azaz α k -ak) az el jelét l függ.

18 8. Valós sorozatok F44. Legye P : R R egy tetsz leges potosa r-edfokú (r N) poliomfüggvéy. Mutassa meg, hogy P ( + ) =. + P () F45. Legye P, Q poliom, és tegyük fel, hogy Q() 0 mide N eseté. Határérték szempotjából vizsgálja meg a ( P ()/Q() ) sorozatot. F46. Kovergesek-e a következ sorozatok? Ha ige, akkor mi a határértékük? (a) ( ) +, ( ) (b) + + 3, (c) ( ) + 3, ( (d) ( + )), (e) a := 3/( ( + ) ( ) ) ( =, 3, 4,...), (f) ( ) ( ), (g) F47. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) > 0. Mutassa meg, hogy ekkor ( a ) =. F48. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozatra (a ) = + teljesül. Vizsgálja meg határérték szempotjából az ( a ) sorozatot. F49. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozatra (a ) = 0 teljesül. Vizsgálja meg határérték szempotjából az ( a ) sorozatot. F50. Koverges-e az a := ( + ) ( N) sorozat? F5. Tegyük fel, hogy az (α ) : N R + olya sorozat, amelyre α = + teljesül. Igazolja, + hogy ( + ) α = e. + α F5. Bizoyítsa be, hogy mide x R számra + ( x ) + = e x. F53. Határozza meg a következ sorozatok határértékét: (a) a := ( ) ( =,,...); (b) a := ( + ) + ( =,,...); (c) a := ( + ) ( ( 6 7) ) 3+ ( =, 3,...); (d) ; (e) a := ( 3 3) 3 ( =, 3,...); (f) a := ( + 5) /6 ( = 8, 9,...); (g) a := ( 4 + 3) ( N); (h) a := ( 4 + 3) 5 ( N); 5 5 (i) a := ( 3 + ) + ( N); (j) a := ( ( + 3)! ) ( N). +! 3

19 .3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 9 F54. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét. Dötse el azt is, hogy a sorozat koverges vagy diverges. (a) (, N ), (b) ( + 00, N ), (c) a := 3 ( =,,...); (d) a := + ( N); + 3 (e) a := 3 + ( =,,...); (f) a := 3 ( =,,...); (g) a := ( N); (h) a := (i) ( ) ( + + ) ; (j) ; (k) a := + ( + ) + + () ( =,,...); (l) a := ( =,,...); + (m) a := 4 8 ( =,,...). ( N); F55. Legye a 0 és b 0 valós szám. Koverges-e az a + b ( N) sorozat? Ha ige, akkor mi a határértéke? F56. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat koverges, A := a. Mutassa meg, hogy (a) A + < eseté az ( ( + a ) ) sorozat koverges, (b) A + > eseté az ( ( + a ) ) sorozat diverges. Mit lehet modai kovergecia szempotjából az ( ( + a ) ) sorozatról, ha A + =? F57. Határozza meg az a, b, c R paramétereket úgy, hogy legye. ( a + b + c ) = + F58. Mutassa meg, hogy ha az (a ) sorozat koverges és (a ) = A R, akkor az ( a ) sorozat is koverges és ( a ) = A. Igaz-e az állítás megfordítása? F59. Legye (b ) olya ullasorozat, amelyre 0 R (b ) teljesül. Mit lehet modai az (/b ) sorozat határértékér l? F60. Adjo meg olya (a ) és (b ) ullasorozatokat, amelyekre b 0 mide N eseté és = +, vagy ( a ) =, vagy b = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik.

20 0. Valós sorozatok F6. Igaz-e, hogy ha (a) (a ) koverges és (b ) diverges (a + b ), illetve (a b ) diverges, (b) (a ) diverges és (b ) diverges (a + b ), illetve (a b ) diverges, (c) (a ) koverges és (a + b ) koverges (b ) koverges, (d) (a ) koverges és (a b ) koverges (b ) koverges? F6. Keresse olya (a ), (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = + és (b ) = teljesül, és = +, vagy =, vagy (a + b ) = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik. F63. Keresse olya (a ) és (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = 0 és (b ) = + teljesül, és = +, vagy =, vagy (a b ) = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik. F64. Adjo meg olya (a ) és (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = + és (b ) = + (0 R (b)) teljesül, és ( a ) = +, vagy = c, (c 0 egy adott valós szám) vagy b em létezik. F65. Bizoyítsa be, hogy ha (a ) koverges és (a ) = α, akkor Mit lehet modai az α = esetbe? ( a ) {+, ha α > = 0, ha α <. F66. Legye (a ) emegatív, -hez kovergáló sorozat, (b ) pedig egy tetsz leges korlátos sorozat. Mutassa meg, hogy ekkor (a b ) =. F67. Legye (a ) egy olya koverges sorozat, amelyek egyik tagja sem 0. Kovergecia szempotjából mit tud modai az ( a + ) sorozatról? a F68. Tegyük fel, hogy az (a ) valós sorozat koverges. Bizoyítsa be, hogy a σ := a + a + + a ( N) sorozat is koverges és (a ) = (σ ). Adjo példát olya (a ) sorozatra, amely diverges, de a feti (σ ) koverges. Mutassa meg azt is, hogy ha (a ) = +, akkor (σ ) = +.

21 .4. Rekurzív sorozatok határértéke F69. Legye (a ) olya valós sorozat, amelyre a > 0 mide N eseté és Bizoyítsa be, hogy h := a + a + + a ( N). (a) ha (a ) koverges, akkor (h ) is koverges, továbbá (h ) = (a ); (b) ha (a ) = +, akkor (h ) = +. F70. Legye (a ) olya valós sorozat, amelyre a > 0 mide N eseté és g := a a a ( N). Mutassa meg, hogy (a) ha (a ) koverges, akkor (g ) is koverges, továbbá (g ) = (a ); (b) ha (a ) = +, akkor (g ) = +. F7. Legye (a ) : N R + egy tetsz leges sorozat és Igazolja, hogy b := a, b + := a + a ( N), továbbá c := a ( N). (a) ha (b ) koverges, akkor (c ) is koverges, továbbá (c ) = (b ); (b) ha (b ) = +, akkor (c ) = +. Adjo meg olya (a ) sorozatot, amelyre (c ) koverges, de (b ) diverges. F7. Az el z feladat eredméyét felhaszálva adjo újabb bizoyítást arra, hogy + F73. Tegyük fel, hogy (a ) olya sorozat, amelyre a! = e. Mj9. ( a k+ a k, N ) k= sorozat korlátos. (Az ilye (a ) sorozatot korlátos változású sorozatak evezzük.) Mutassa meg, hogy ekkor (a ) koverges. Igaz-e ez fordítva is?.4. Rekurzív sorozatok határértéke Rekurzív módo megadott sorozatok kovergeciájáak vizsgálatáál sokszor (de em midig!) haszálható a következ módszer. Ha sikerül bebizoyítai azt, hogy a sorozat mooto (öveked vagy csökke ) és korlátos (alulról vagy felülr l), akkor ebb l már következik, hogy a sorozat koverges. A sorozat határértékét pedig a rekurzív összefüggésb l yerhet egyelet gyökeib l próbáljuk kiválasztai. F74. Koverges-e az a :=, a + := a ( N) sorozat? Ha ige, akkor mi a határértéke?

22 . Valós sorozatok F75. Mutassa meg, hogy az a := 0, a + := a3 + ( N) sorozat koverges, és számítsa ki a határértékét. F76. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét: (a) a := 6, a + := 5 6 a ( N); (b) a :=, a + := a + a 3 + ( N); (c) a := 0, a + := a ( N); 9 (d) a := 5, a + := a ( N); 9 (e) a := /, a + := 3 4a ( N). F77. Bizoyítsa be, hogy ha α [0, ], akkor az a := α, a + := a + α sorozat koverges, és számítsa ki a határértékét. ( N) F78. Legye α R +, a R + és a + := αa a + α ( =,,...). Mikor koverges az (a ) sorozat, és mi ekkor a határértéke? F79. Az α > 0 valós paraméter mely értékeire koverges az sorozat, és ekkor mi a határértéke? a := α, a + := α + a ( N) F80. Legye (a) a := α, a + := a + a ( N, α 0); (b) a := 0, a + := α + a ( N, α 0); (c) a := 0, a + := α ( N, α 0); + a (d) a := α, a + := a ( N, 0 α ); (e) a := α, a + := 3 a ( N, α R); a 3 (f) a := α, a + := + 3 ( N, α 0); (g) a := α, a + := 3 3a + ( N, α R). Kovergesek-e a feti sorozatok? Ha ige, akkor mi a határértékük? F8. A emegatív α < β valós számokból kiidulva a következ képpe képezzük az (a ) és a (b ) sorozatot: a := α, b := β és a + := a b, b + := a + b ( N). Igazolja, hogy a sorozatok kovergesek és a határértékük egyel. Léyeges-e az α < β feltétel? (C.F. Gauss yomá ezt a közös értéket az α és a β számok számtai-mértai közepéek evezzük.)

23 .5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja 3.5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja Deíciók, tételek és megjegyzések D5. Az A R elemet az (a ) valós sorozat egy s r södési helyéek (vagy torlódási helyéek) evezzük, ha A mide köryezete a sorozatak végtele sok tagját tartalmazza, azaz ε > 0 valós szám eseté az { N a k ε (A)} végtele halmaz. Az a = (a ) sorozat s r södési helyeiek a halmazát H a -val fogjuk jelöli: H a := {A R A s r södési helye az a sorozatak} R. Mj30. Az A R elem az (a ) sorozatak em s r södési helye akkor és csak akkor, ha ε > 0 valós szám, amelyre az { N a k ε (A)} halmaz véges. Mj3. Egy sorozatak több s r södési helye is lehet. A s r södési hely lehet véges, de lehet + és is. Érdemes meggodoli például a következ ket: Ha a := ( ), akkor H a = {0}; ha a := ( ( ) ), akkor H a = {, }; ha a := (), akkor H a = {+ }; ha a := ( ( ) ), akkor H a = {+, }. T0. Az (a ) valós sorozatak A R akkor és csak akkor s r södési helye, ha az (a ) sorozatak va A-hoz tartó részsorozata, azaz A H a ν = (ν ) : N N idexsorozat, amelyre a ν = (a ν ) = A. T. Mide (a ) valós sorozatak va s r södési helye, azaz a : N N sorozat eseté H a. D6. Legye a = (a ) egy tetsz leges valós sorozat és H a a s r södési helyeiek a halmaza. A H a halmaz szuprémumát, illetve imumát az (a ) sorozat esz szuperiorjáak, illetve esz iferiorjáak evezzük, és a a, illetve a a szimbólumokkal jelöljük. Azaz: a := sup H a R, illetve a := if H a R. Mj3. Mivel mide a : N R sorozatra H a, ezért a H a halmazak va szuprémuma is és imuma is; tehát mide valós sorozatak va esz szuperiorja is és esz iferiorja is. A deíció yilvávaló következméyei: (a) mide a : N R sorozatra a a; (b) az a : N R sorozat tetsz leges olya a ν részsorozatára, amelyek va határértéke feáll a a a ν a egyel tleség.

24 4. Valós sorozatok Mj33. Mj34. Az a = (a ) sorozat esz szuperiorját, illetve esz iferiorját az (a ) sorozat fels határértékéek, illetve alsó határértékéek is evezzük, és jelölésükre a sup a, sup(a ) illetve if a, if(a ) + + szimbólumokat is haszáli fogjuk. A következ tétel azt modja meg, hogy egy sorozat esz szuperiorját és esz iferiorját hogya lehet a sorozat tagjaiak segítségével jellemezi. T. Legye a = (a ) : N R egy tetsz leges sorozat. Ekkor { (i) L > A számál a sorozatak csak véges sok tagja agyobb, és (a ) = A R (ii) K < A számál a sorozatak végtele sok tagja agyobb; (a ) = A R { (i) l < A számál a sorozatak csak véges sok tagja kisebb, és (ii) k > A számál a sorozatak végtele sok tagja kisebb. T3. Egy a = (a ) : N R sorozatra Mj35. a = a R ha az (a ) sorozatak egyetle s r södési helye va, { ha az (a ) sorozatak va határértéke, és ekkor (a ) = (a ) = (a ). Jegyezze meg jól tehát azt, hogy mide valós sorozatak va esz szuperiorja és esz iferiorja; határértéke azoba csak bizoyos sorozatokak létezik. A esz szuperior és esz iferior több voatkozásba pótolja a határértéket azokba az esetekbe, amikor az em létezik. Feladatok F8. Adjo meg olya valós sorozatot, amelyek potosa 3 s r södési helye va. F83. Adjo meg olya valós sorozatot, amelyik s r södési helyeiek a halmaza az egész számok halmaza. F84. Keresse meg az alábbi sorozatok összes s r södési helyét, és határozza meg a sorozatok esz szuperiorját és esz iferiorját: (a) a := ( ) ( + ) ( N); (b) a := + ( ) + + ( N); + (c) a := 3 + ( 4) ( N); (d) a := + + ( ) ( N). F85. Va-e olya valós sorozat, amelyek mide valós szám s r södési helye? F86. Legye (a ) egy valós soroazat, és képezzük az sorozatokat. Mutassa meg, hogy A : = sup{a k k =, +, +,...} ( N), B : = if {a k k =, +, +,...} ( N) (A ) = (a ) és (B ) = (a ).

25 .5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja 5 F87. Igazolja, hogy ha az alábbi m veletek elvégezhet k, akkor (a) (a ) + (b ) (a + b ) (a ) + (b ), (b) (a ) + (b ) (a + b ) (a ) + (b ). F88. Legye a 0, b 0 ( N). Igazolja, hogy ekkor (a) (a ) (b ) (a b ) (a ) (b ), (b) (a ) (b ) (a b ) (a ) (b ). F89. Tegyük fel, hogy a 0 ( N). Igazolja, hogy (a) ha (a ) 0, akkor (a ) =, a (b) ha (a ) 0, akkor (a ) = a.

26 6. Valós sorozatok

27 II. rész Megoldások 7

28

29 . Valós sorozatok 9. Valós sorozatok.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok M. Az állítás teljes idukcióval igazolható. M. A sorozat els éháy tagjáak felírása utá köye megsejthet, hogy a = A α + B A k ( =, 3,...). Ezutá ezt az összefüggést teljes idukcióval lehet bebizoyítai. M4. Az állítás teljes idukcióval igazolható. k=0 M5. A (q ) alakú geometriai sorozatok között keresse olyaokat, amelyek kielégítik az a + = a + + a ( N) rekurzív összefüggést. Két ilye em azoosa ulla sorozat lesz. Ezek segítségével adja meg az összes ilye tulajdoságú valós sorozatot. Végül válassza ki közülük azt, amelyikre a = a = teljesül. M0. Vegye gyelembe, hogy σ + σ = a + a + + a + a + + = a a a + a + = ( + ) = (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) ( + ) a + a + + a = ( N). M. (a) A sorozat yilvá mooto öveked. A korlátosságot pedig így igazoljuk: k = ( ) = k= ( = + ( + ) 3) ( + 3 ( + + 4) ) = ( N). (Érdemes megjegyezi a bizoyítás sorá alkalmazott ötletet: Az k(k+) alakú törtet két egyszer bb szerkezet tört külöbségekét lehet felíri ( ) k(k + ) = k k +.) (b) A sorozat yilvá mooto öveked. Az, hogy felülr l em korlátos azt jeleti, hogy P R számhoz 0 N, hogy 0 k= k > P. Adott P számhoz 0 = m0+ alakú idex létezését látjuk be. Az alapötlet a következ : a összeget így csoportosítjuk: 0 k= k + + ( ) ( + 5 8) + + ( + k + ) ( + + k + k + + m ) m0 + m0.

30 30. Valós sorozatok Mivel k + + k k + k k k + k =, ezért midegyik zárójelpár közötti összeg. Így mide 0 = m0+ eseté 0 k= k + m 0 +, és ez > P, ha m 0 > P. (Ilye m 0 N szám létezése az archimédeszi-tulajdoságból következik.) A ( ) állítást tehát bebizoyítottuk. M. (a) A mooto övekedés bizoyításához a számtai- és a mértai közép közötti egyel tleséget alkalmazzuk az ( + ) darab, ( + ), ( + ),..., ( + ) számra: ( + ) = ( + )( + ) ( + ) ( + ( + + ) ) + ( ) +. = + + Ez az egyel tleség mide N eseté feáll, ezért az ( ( + ), N ) sorozat valóba mooto öveked. A korlátosság bizoyításához is a számtai- és a mértai közép közötti egyel tleséget alkalmazzuk, de most az ( + ) darab,, ( + ), ( + ),..., ( + ) számra: ( + ) = ( + )( + ) ( + ( ) + ( + ) ) + =, + azaz ( + ) 4 mide N eseté. (b) Alkalmazzuk az ( + ) darab közötti egyel tleséget: + számra és -re a számtai- és a mértai közép ( ) + = ( ( + ) ) + ( + ) +, = + + azaz ( + ) + ( + ) + ( ( + + ) + ( + ) + ) + ( + ) +. Ez mide N számra teljesül, ezért az ( + ) + ( N) sorozat valóba mooto csökke. Mivel a > 0 ( N), ezért a mooto csökkeésb l már a korlátosság is következik... Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke M5. : Tegyük fel, hogy az (a ) sorozat koverges, azaz A R, hogy ε > 0 eseté a k ε (A) köryezete kívül a sorozatak véges sok tagja va. Ha egy köryezete kívül a sorozatak ics tagja, akkor midegyik tag a köryezete belül va, azaz ekkor 0 = jó küszöbidex. Ha a k ε(a) köryezete kívül va tagja a sorozatak, akkor va egy ilye

31 .. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 3 tulajdoságú, maximális idex tag is. Legye eek idexe 0. Ekkor mide 0 idexre a k ε (A), azaz a A < ε. : Tegyük fel, hogy az (a ) sorozathoz A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Ekkor mide ε > 0 szám eseté az A szám ε-sugarú köryezeté kívül csak az a, a,..., a 0 tagok közül bizoyosak lehetek. A számuk tehát véges. M6.. ε > 0 eseté az { N a k ε ( )} = { N a ( ) ε} halmaz véges.. ε > 0 számhoz olya 0 N idex, hogy > 0, N eseté a + < ε. M7. ε > 0, hogy 0 N idexhez > 0, N, amelyre a + ε. A (0, N) sorozat koverges, és a határértéke em / (haem 0). M8. Az (a ) valós sorozat em koverges A R számhoz ε > 0, hogy a k ε (A) = (A ε, A + ε) köryezete kívül a sorozatak végtele sok tagja va. A ( ( ) ) sorozat em koverges, ui. vegyük egy tetsz leges A R számot, és eek tekitsük (például) az -sugarú köryezetét. Három eset lehetséges: ez a köyezet em tartalmazza az potot, em tartalmazza a potot, sem -et sem ( )-et em tartalmazza. Midhárom esetbe a sorozatak végtele sok tagja va a szóba forgó köryezete kívül. M9. Nem. A ( ( ), N ) sorozat diverges, de az A = szám mide köryezete tartalmazza eek a sorozatak végtele sok (mide páros idex ) tagját. M0. Az (a ) sorozatra felírt tulajdoság potosa azt jeleti, hogy a sorozat 0 -ál agyobb idex tagjai mid A-val egyel ek. Bár eek a sorozatak is A a határértéke, azoba más, például az (A + ) sorozatak is A a határértéke. Az állítás tehát em igaz. M. (a) Nem. (b) Nem. M. A R elemhez ε > 0 valós szám, hogy az { N a k ε (A)} végtele halmaz (azaz mide A R elemek va olya köryezete, amelyik a sorozatak végtele sok tagját em tartalmazza). Ez azzal egyeérték, hogy A R elemhez ε > 0, hogy 0 N számhoz 0 idex, amelyre a k ε (A). M3. (a) Azt kell igazoli, hogy mide ε > 0 valós számhoz létezik olya 0 természetes szám, hogy mide 0 idexre < ε. Azt kell tehát megvizsgáli, hogy adott ε > 0 eseté milye N számokra teljesül ez az egyel tleség. Eek megoldása em egyszer feladat, ezért a következ ötletet alkalmazzuk: a bal oldalál egy agyobb kifejezésr l fogjuk megmutati, hogy még az is kisebb ε-ál bizoyos idext l kezdve. Legye tehát ε > 0 egy tetsz leges valós szám. Ekkor a bal oldalt például így övelhetjük: = ( = + ) ( ) = 3.

32 3. Valós sorozatok Mivel 3 < ε, ha 0 := [3/ε] +, ezért tetsz leges ε > 0 eseté az < ε egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. (c) Azt kell bebizoyítai, hogy mide P R számhoz létezik olya 0 N, hogy mide 0 idexre > P. + 3 Legye P egy rögzített valós szám. Feltehet, hogy P > 0. Most a bal oldalál kisebb kifejezésr l fogjuk megmutati, hogy még az is agyobb P-él bizoyos idext l kezdve. A bal oldal például így csökkethet : > + 3 = 4 (ez mide N eseté igaz). Mivel 4 > P, ha 0 = [4P ] +, ezért tetsz leges P > 0 eseté az egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. (e) Azt kell igazoli, hogy mide P R számhoz létezik olya 0 N, hogy mide 0 idexre 3 + < P. + Legye P egy rögzített valós szám. Feltehet, hogy P < 0. Most a bal oldalál agyobb kifejezésr l fogjuk megmutati azt, hogy még az is kisebb P -él bizoyos idext l kezdve. A bal oldal például így övelhet : < > P = + < + = ( N). (Godoljo arra, hogy egatív törteket hogya lehet öveli!) Mivel 0 = [ P ] +, ezért tetsz leges P < 0 eseté a < P egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. < P (< 0), ha M4. Az a kérdés, hogy a sorozat agy idex tagjai közel vaak-e valamilye R-beli A elemhez. A megadott alakokból ezt ehéz láti. Érdemes olya átalakításokat keresi, amelyek elvégzése utá már világosabb képet kaphatuk a sorozat viselkedésér l. Ebb l egy sejtést alakíthatuk ki magukak, amit persze utáa be is kell bizoyítauk. (a) Most osszuk el a számlálót is és a evez t is -tel (a tört értéke ekkor em változik): a = ( N).

33 .. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 33 Nagy -ekre a számláló -hez, a evez -höz, a háyados tehát /-hez va közel. Ez alapjá a sejtésük az, hogy =. Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté = ( + + ) < = és ez < ε, ha 0 := [/ε] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy + A sorozat tehát koverges. (e) Most meg gyökteleítsük, azaz: =. a := + = ( + ) + + = ( N). Ez alapjá a sejtésük: ( + ) = 0, Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté + = < és ez < ε, + + ha 0 := [/ε ] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy ( ) + = 0. + A sorozat tehát koverges. (g) Mivel mide természetes számra + + = + ezért a sejtés: a sorozat koverges és , + + =. + Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté = + + = + + ( ) = = ha 0 := [/ε] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy =. + és ez < ε,

34 34. Valós sorozatok (h) Mivel mide természetes számra = = + + ezért a sejtés: a sorozat diverges, de ( ) = +. + Bizoyítás: Legye P > 0 egy tetsz leges valós szám. Ekkor = ha > > > = =, ha > 5, 8, > és 8 > P, ha > (8P ). Azt kaptuk tehát, hogy mide P > 0 valós szám eseté > P, ha 0 = max{5, [64P ] + }, és azt jeleti, hogy ( ) = +. (k) Az ( + ( ) ) sorozatak ics határértéke (a sorozat tehát diverges), mert R mide eleméek va olya köryezete, amelyik a sorozatak végtele sok tagját em tartalmazza. M5. Az a := α+( )d ( N) számtai sorozatra (itt α és d adott valós számok) a következ k teljesülek: (a) a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha d = 0, és ekkor (a ) = α; (b) ha d > 0, akkor (a ) = + ; (c) ha d < 0, akkor (a ) =. M6. (a) Idirekt: Tegyük fel, hogy (a ) = A < 0. Ekkor az ε = A > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k A (A). Azoba a k A / (A) a ( A A, A + A ) (3A =, A ), és ez azt jeleti, hogy a < 0 mide 0 eseté, ami elletmod az a 0 ( N) kezdetbe tett feltételükek. (b) Felhaszáljuk a következ egyel ségeket: a A = ( a A ) a + A a + A = a + A (a A ) ( N). Tegyük fel el ször azt, hogy (a ) = A > 0. Ekkor az el z k alapjá azt kapjuk, hogy a A A a A ( N).

35 .3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 35 Mivel (a ) = A, ezért Következésképpe ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε A. ε > 0 számhoz 0 N, hogy az a A < A ε A = ε egyel tleség mide 0 idex eseté feáll, ami éppe azt jeleti, hogy ( a ) = A. Tegyük fel most azt, hogy (a ) = A = 0. Ekkor ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a = a < ε. Ezért a < ε mide 0 eseté, ami azt jeleti, hogy ( a ) = 0 teljesül ebbe az esetbe is. (c) Ha (a ) = +, akkor ( a ) = +. Ui. (a ) = + P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a > P, ezért P R + számhoz 0 N, hogy 0 eseté a > P, ami azt jeleti, hogy a = +. M7. Haszálja fel az a m b m = (a b)(a m + + b m ) azoosságot..3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata M9. o Az összegre voatkozó állítás igazolása. Emlékeztetük arra, hogy ha A, B R, akkor az A + B összeg akkor va értelmezve, ha (i) A, B R; { R (ii) A = + és B = +, { R (iii) A = és B =, és ekkor A + B = és ekkor A + B = { + + ; { ; (Tehát csak (+ ) és ( ), valamit ( ) és (+ ) összegét em értelmeztük.) Az (i) esetbe az állítás a koverges sorozatok összegére voatkozó korábbi tételükb l következik. Az (ii) eset igazolása. (a) Tegyük fel el ször azt, hogy (a ) = A = + és (b ) = B R. Megmutatjuk, hogy ekkor (a + b ) = +. Mivel (b ) koverges, ezért korlátos (alulról is!), azaz M R, hogy b M N eseté. A (a ) = + feltételb l pedig az következik, hogy P R számhoz 0 N, hogy a > P M 0 idexre.

36 36. Valós sorozatok Ezért P R számhoz 0 N, hogy a + b > P M + M = P 0 idexre, és ez valóba azt jeleti, hogy (a + b ) = +. (b) Tegyük fel, hogy (a ) = (b ) = +. Ekkor P R számhoz N, hogy a > P idexre, és tehát P R számhoz N, hogy b > P P R számhoz 0 N, idexre, hogy a + b > P + P = P teljesül mide 0 := max{, } idex eseté, ami azt jeleti, hogy (a +b ) = +. Az (iii) eset hasolóa igazolható. o A szorzatra voatkozó állítás igazolása. Emlékeztetük arra, hogy ha A, B R, akkor az A B szorzatot akkor értelmeztük, ha (i) A, B R; > 0 valós + < 0 valós (ii) A = + és B és ekkor A B = = + + =, ; > 0 valós < 0 valós + (iii) A = és B és ekkor A B = = + =, +. (Tehát csak 0-ak (+ )-el és ( )-el való szorzatát és fordítva em értelmeztük.) A szorzatra voatkozó tétel tehát 9 állítást tartalmaz. Az A, B R eset a koverges sorozatok szorzatára voatkozó korábbi tételb l következik. A femaradó 8 állítás közül csak kett t igazoluk, a többit hasolóa lehet beláti. (a) Tegyük fel, hogy (a ) = + és (b ) = B > 0 valós szám. Megmutatjuk, hogy ekkor (a b ) = +. Mivel (b ) = B > 0, ezért a B >0 számhoz N, hogy b > B (> 0) idexre. A (a ) = + feltételb l pedig az következik, hogy P R + számhoz N, hogy a > P B/ (> 0) idexre. Így P R + számhoz 0 N, hogy a b > P (B/) = P (> 0) B/

37 .3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 37 teljesül mide 0 := max{, } idexre, ami valóba azt jeleti, hogy (a b ) = +. (b) Tegyük fel, hogy (a ) = (b ) = +. Ekkor és Ezért P R + számhoz N, hogy a > P (> 0) idexre az számhoz N, hogy b > (> 0) idexre. P R + számhoz 0 N, hogy a b > P teljesül mide 0 := max{, } idex eseté, és ez azt jeleti, hogy (a b ) = +. 3 o A háyadosra voatkozó állítás igazolása. Most is emlékeztetük arra, hogy A, B R eseté az A/B háyadost akkor értelmeztük, ha (i) A R, B R \ {0}; { = + (ii) A R és B =, (iii) B R \ {0} és A = és ekkor A B = 0; { = + =, +, ha B > 0 és A = + és ekkor A B =, ha B < 0 és A = +, ha B > 0 és A = +, ha B < 0 és A = Vegyük észre azt hogy (a ) ( ) ( ) = a b b (azaz az (a /b ) sorozat az (a ) sorozat és az (/b ) reciprok sorozat szorzata). Ezért a szorzatra voatkozó állítás miatt elég igazoli a következ t: ha (b ) {+, }, akkor ( b ) = 0. Tegyük fel pl. azt, hogy (b ) = +. Ekkor Ebb l az következik, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy b > ε 0 idexre. ε > 0 számhoz 0 N, hogy (0 <) b < ε idexre. Ezzel a (b ) = + esetbe megmutattuk, hogy ( b ) = 0. A (b ) = esetbe az állítás hasolóa igazolható. M30. Mértai sorozat. (a) Legye q <. Ha q = 0, akkor az állítás yilvávaló. Ha 0 < q <, akkor az q > számot írjuk fel az q = +h (h > 0) alakba. A Beroulli-egyel tleséget alkalmazva azt kapjuk, hogy q = ) = ( q ( + h) + h h Ebb l az következik, hogy tetsz leges ε > 0 számra a q h < ε ( N).

38 38. Valós sorozatok egyel tleség mide 0 := [ hε] + idexre teljesül, ami azt jeleti, hogy (q ) = 0. (b) Ha q =, akkor az (, N) kostas sorozatot kapjuk, ami koverges, és a határértéke. (c) Legye q > egy rögzített valós szám. Írjuk fel a q számot q = + h (h > 0) alakba. A Beroulli-egyel tleség alapjá q = ( + h) + h > h amib l következik, hogy (q ) = +, ui. ( N), P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre feáll a q > h > P egyel tleség; legye ui. 0 := [P/h] +. (d) Ha q, akkor a ( q ) sorozat páros, illetve páratla idex részsorozataiak külöböz a határértéke (a páros idex részsorozat határértéke +, a páratla idex részsorozaté pedig ), ezért a (q ) sorozatak ics határértéke. (e) A kovergeciára voatkozó állítás a deíció közvetle következméye. M3. (a) (i) Tegyük fel el ször azt, hogy a > rögzített valós szám, és írjuk fel az a ( N) számokat az a = + h (h > 0, N) alakba. Elég azt igazoli, hogy (h ) ullasorozat. A Beroulli-egyel tleség alapjá a = ( + h ) + h ( N), ezért 0 < h a ( N). Ebb l következik, hogy tetsz leges ε > 0 valós szám eseté a 0 < h < a < ε egyel tleség mide 0 := [ ] a ε + idexre teljesül, ami azt jeleti, hogy (h ) = 0, tehát a =. + (ii) Ha a =, akkor az (, N) kostas sorozatot kapjuk, amiek valóba a határértéke. (iii) Ha 0 < a <, akkor a >, ezért (i) és a koverges sorozatokra voatkozó m veleti tétel alapjá a = ( ( + ). a) (b) Írjuk fel az számokat az = + h (h 0, N) alakba. Mivel h 0, ezért a biomiális tétel alapjá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (+h ) = + h + h + + h h ( ) = h ( N), 0 amib l azt kapjuk, hogy 0 h ( =, 3,...).

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben