Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Átírás

1 Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December Feladatok megoldása feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek ics olya eleme ami A-ak e lee eleme ezért szimmetrikus diereciájuk elemei között csak A elemei közül lehetek elemek és ezért ha a B-ek va is eleme akkor az a két halmaz metszetébe va tehát a B a két halmaz metszetével egyel (B az A-ak részhalmaza)) EkkorC = A \ B eseté A \ C = A B = B (Ha A-ból kivesszük az összes elemet ami em eleme a metszetek (B-ek) akkor a metszetet (B-t kapjuk)) A B A = A \ C = B igazolása: A \ C = B = B \ A = Ø (Mivel ha lee olya eleme B-ek ami em lee eleme A-ak is akkor A-ból egy tetsz leges halamzt kivova em kaphaták meg a B összes elemét) B \ A = Ø = A B A (Mivel a B-ek ics olya eleme ami A- ak e lee eleme ezért szimmetrikus diereciájuk elemei között csak A elemei közül lehetek elemek)..-8. feladat: (Va-e két szimmetrikus homogé biér reláció amikek szorzata em az?) 1. reláció 1. reláció 1 1 Midkette szimmetrikus homogé biér relációk viszot.reláció 1.reláció = = A két reláció szorzata 1 1

2 ami em szimmetrikus feladat: e) (R R 1 = Ø R szigrorúa atiszimmetrikus) Idirekt bizoyítás: Tegyük fel hogy a ba R b R 1 amire a = b (azaz em igaz hogy R R 1 = Ø és ézzük egy példát a metszetre) Ekkor a = b = (x y) viszot mivel b = (x y) R 1 = c = (y x) (R 1 ) 1 Mivel (R 1 ) 1 = R (iverzél vett tulajdoságok között volt) ezért: a c R amelyekre a = (x y) és b = (y x) ami elletmod a szigorú atiszimmetria deíciójáak tehát elletmodásra jutottuk és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást. f) (R trazitív R R R) R trazitív azaz a b R; a = (x y) b = (y z) = c = (x z) R ami azt jeleti hogy R R -ba mide reláció megtalálható R-be is (azaz R R R) (Ugyais R R-et úgy kapjuk hogy azo egyik potból egy másikba akkor va yíl (gráfos ábrázolással) ha az els potból megy egy yíl harmadik potba ahoa viszot a másodikba megy yíl viszot a b R; a = (x y) b = (y z) = c = (x z) R pot azt jeleti hogy ha el áll egy ilye helyzet (egyik potból egy közös potba megy yíl ahoa a másikba megy yíl) akkor az x-b l megy yíl a z-be tehát em szegi meg a trazitivitás deícióját és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást.) g) (R dictohom R R 1 = AxA) R dictohom (deíciója alapjá)= i j A (i j) R (j i) R Ekkor i j A-ra teljesül (i j) R vagy (j i) R viszot ekkor (i j) R esté (j i) R 1 vagy (j i) R esté (i j) R 1 de mideképp igaz hogy (i j) R R 1 (j i) R R 1 Viszot ez azt jeleti hogy R R 1 = AxA (és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást.) h) (R trictohom R R 1 I a párokét diszjuktak és egyesítésük AxA) R trictohom deíciója alapjá i j A-ra (i j) R (j i) R i = j és ezek közül mide i j párra potosa az egyik teljesül. Látszik hogy az i és j szerepét tekitve teljese szimmetrikus ezért ha R trichotom = R 1 trichotom. R-be: i j A (i j) R (j i) R (de csak az egyik lehet) R 1 -be (az el z i j-kre): (i j) R = (j i) R 1 és (j i) R = (i j) R 1 (Tehát párokét diszjuktak (i = j em lehet és R-be a

3 trictohom deíciója miatt csak az egyik eset fordulhat el és ezért mide R-beli egyiráyú yíl megfordul (gráfos abárzolásba)) és egyesítésük AxA \ I a (Mivel mide i j esetbe az uiójukba bee lesz (i j) és (j i) is)) Mivel ezek alapjá egyik elem sics ömagával relációba R-be és R 1 - be (trichotom deíciója) ezért I a midkett vel diszjukt. Tehát R R 1 = AxA \ I a = R R 1 I a = AxA és beláttuk R-r l és R 1 -r l hogy diszjuktak és azt is hogy I a midkett vel diszjuktr R 1 I a tehát párokét diszjuktak és egyesítésük AxA feladat: részberedezés: RAT (reexív atiszimmetrikus trazitív) elem halmazok részberedezései: elem halmazok részberedezései: x x 4 elem halmazok részberedezései: x x x x x x x x x - 1 x x x x x x x x

4 x x x x x (Megjegyzés: Reexivitás: A f átló x-ekkel va tele; Atiszimmetria: Egy x-et em a f átlóból vszük és tükrözzük a f átlóra akkor ott em lehet x; Trazitivitás: Ha egyik sorba va x az egyik oszlopba akkor abba a sorba mide olya oszlopba is x va mit abba a sorba aháyadik oszlopba az az x volt.) (További megjegyzés: A számozás ügyes megválasztásával midig el lehet éri hogy a f átló alatt e legye x.) feladat: c)((ϱ(a); ) ) egy kommutatív csoport (Abel csoport)) Eek belátásához azt kell beláti hogy asszociatív: tulajdosága miatt bármilye ABC halmazra igaz hogy A (B C) = (A B) C (eredméye mide esetbe azo elemek uiója amely midhárom halmazba bee vaak vagy csak potosa egy halmazba vaak bee) egységelemes: egységeleme Ø ugyais mie A-raA Ø = A mide elemek va iverze: A iverze A ugyais A A = Ø (mide elem saját magáak az iverze) kommutatív: tulajdosága miatt bármilye AB halmazra igaz hogy A B = B A (eredméyük (A B)\(A B) és (B A)\(B A) ami az uió és a metszet kommutativitása miatt megegyezik) d) (({igazhamis}; ) egy kommutatív csoport (Abel csoport)) Eek belátásához azt kell beláti hogy asszociatív: tulajdosága miatt: x (y z)=(x y) z (igazságtábla megegyezik midkét esetbe csak akkor lesz igaz az x (y z) ha midhárom igaz vagy ha közülük csak potosa egy igaz) egységelemes: egységeleme igaz ugyais igaz igaz = igaz és hamis igaz = hamis mide elemek va iverze: igaz iverze igaz (igaz igaz = igaz) és hamis iverze hamis (hamis hamis = igaz) kommutatív:: tulajdosága miatt: x y=x y (megitcsak az igazságtáblát felírva látszik hogy akkor és csak akkor igaz x y és y x is amikor megegyezik az értékük) 4

5 feladat: (f(x) = x ; g(x) = x ) a) f g = g(f(x)) = f(x) = x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x 0 b) g f = f(g(x)) = g(x) = x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x c) f f = f(f(x)) = f(x) = x = 4 x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x 0 d) g g g = g(g(g(x)) = ((x ) ) = x 6 amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R feladat: -edik komplex egységgyökök szorzata: Komplex számokál taultak alapjá: darab -edik egységgyök va és ezek trigoometrikus alakja: j. komplex egységgyök: 1 (cos0 + i si0)j = 1 (cos(0 + j 60 ) + i si(0 + j 60 )) Ezek szorzata: 1 60 j=0 1 (cos(0 + j ) + i si(0 + j 60 )) = 1 (cos( 1 ) + i si( 1 )) 1 = ( 1) 60 = 60 ( 1) = 180 ( 1) ami azt jeleti hogy páros eseté cos( 1 ) = cos(( 1) 180) = cos(180) = 1 és si( 1 ) = cos(( 1) 180) = si(180) = 0 és páratla eseté azt jeleti hogy cos( 1 ) = cos(( 1) 180) = cos(0) = 1 és si( 1 ) = cos(( 1) 180) = si(0) = 0 Tehát az -edik komplex egységgyökök szorzata i = 1 ha az páratla és i = 1 ha az páros feladat: -elem halmazo... (a) háy darab homogé biér reláció kostruálható? darab ugyais darab iráyított él lehet a gráfkét ábrázolt relációba ( lehetséges potból további darab csúcsba) és ezekr l egyesével el kell dötei a kostruált relációkba bekerükek-e. i. Ebb l háy reexív? ( 1) darab (= = ) ugyaolya módszer alapjá mit az a) feladatrészbe csak az el z esetbe vizsgált lehetséges élb l le kell vouk darab élt (amelyek reexívek) 5

6 feladat: azokról ugyais em döthetük hogy bee vaak-e a relációkba. ii. és háy szimmetrikus? ( ) darb ugyais ( ) módo válszthatuk ki két külöböz csúcsot a gráfkét ábrázolt relációba és ezekél egyesével dötetük arról hogy párkét bee vaak-e a relációkba majd az darab reexív élr l tetsz leges dötetük bee va-e a relációkba ugyais az ics befolyással a szimmetrikusságára a relációak. iii. Meyi a szimmetrikus és reexív? ( ) darab ugyais elletétbe a c) részfeladattal itt em dötetük arról hogy bee vaak-e a relációkba a csúcsokból ömagukba futó élek. a) (τ() + 1) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 - gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot az egyikük a másik pedig vagy midkettejük kisebb -él. vagy az egyikük a másik pedig 1 (Mivel osztókról természetes számokról beszélük.) Ekkor viszot az összes osztója a számak kivéve -et kisebb vagy egyel a feléél tehát ha az oszói számát ézem akkor mideképpe igaz hogy τ() + 1 b) (τ() + ) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 -gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot az egyikük a másik pedig vagy az egyikük a másik pedig vagy midkettejük kisebb -ál. vagy az egyikük a másik pedig 1 (Mivel osztókról természetes számokról beszélük.) Ekkor viszot az összes osztója a számak kivéve -et és -t kisebb vagy egyel a harmadáál tehát ha az oszói számát ézem akkor mideképpe igaz hogy τ() + c) (τ() ) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 - gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor 6

7 em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot vagy a 1 vagy b 1 agyobb -él vagy midkett. Miért? Ha midkette kisebbek leéek -él akkor a szorzatuk kisebb lee mit = (mivel természetes számok körébe vagyuk) ami pedig elletmodás ha meg az egyikük pot a másik pedig em akkor m velet em lee egyértelm ami sziteé elletomdás. Tehát mide osztó egyértelm e osztópárba rakható és mide osztópárba az egyik tag mideképpé kisebb -él a másik tag pedig agyobb -él vagy az osztópár igazából egy osztó csak a. Viszot ebb l látszik hogy maximum darab pár lehet tehát számak maximum maximum osztója va azaz τ() 7